Phương pháp giải nhanh chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn trong kì thi THPT QG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NAM ĐÀN 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MƠN TỐN

Tên đề tài:
PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH CHIỀU BIẾN
THIÊN VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM ẨN TRONG KÌ
THI THPT QG.
Giáo viên: Nguyễn Văn Hạnh
Tổ: Tốn – Tin

NĂM HỌC 2020-2021
I. Đặt vấn đề
0


Theo chủ trương của Bộ giáo dục & đào tạo, kì thi THPT quốc gia mơn
tốn đã và đang sử dụng hình thức thi trắc nghiệm, đây là một sự thay đổi lớn
trong việc kiểm tra đánh giá đối với bộ mơn tốn. Khi thi trắc nghiệm, địi hỏi
học sinh phải có sự hiểu biết thật sâu sắc về kiến thức và phải biết sắp xếp trình
tự tư duy logic hơn, nhanh hơn để đáp ứng thời gian hoàn thành một câu trắc
nghiệm trung bình khoảng 1,8 phút. Trong đó câu dễ khoảng 3 phút, câu khó
khoảng 1 phút, nhanh hơn nhiều so với yêu cầu đánh giá cũ.
Trong chương trình tốn THPT, chiều biến thiên và cực trị của hàm số
được hoàn thiện trong SGK lớp 12 chương I, thơng qua bài tốn đạo hàm. Nội
dung này là bài toán “ cứng” trong đề thi THPT quốc gia, đặc biệt chiều biến
thiên và cực trị của hàm ẩn là một trong những câu khó của đề thi.
Với mong muốn giúp các em học sinh THPT tiếp thu tốt các kiến thức cơ
bản về chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn, đồng thời biết vận dụng một cách
linh hoạt kiến thức đó để giải tốn và áp dụng trong thực tiễn, tôi đã chọn đề tài

" Phương pháp giải nhanh chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn trong kì thi
THPT QG".
Bằng kiến thức cơ bản về đạo hàm, việc xét dấu của đạo hàm giúp học
sinh phát triển khả năng phân tích tổng hợp về chiều biến thiên và cực trị của
hàm ẩn, từ đó học sinh hiểu bài, nhớ lâu, thay cho ghi nhớ dưới dạng thuộc lịng,
học tủ, phù hợp với tâm sinh lí học sinh, đơn giản dễ hiểu thay cho việc ghi nhớ
lí thuyết hàn lâm.
II. Giải quyết vấn đề
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
1.1. Quy tắc tính đạo hàm của hàm số, đạo hàm của hàm hợp
Định lí 1
n
n 1
n
a) Hàm số y  x  n ��, n  1 có đạo hàm tại mọi x �� và  x  '  nx

.
b) Hàm số y  x có đạo hàm tại mọi x dương và

 x  '  21x .

Định lí 2
Giả sử u  u  x  , v  v  x  là các hàm số có đạo hàm tại điểm x thuộc tập
xác định. Ta có

 u  v   u ' v '
 u  v  '  u ' v '
 uv  '  u ' v  uv '
1

�u � u ' v  uv '
'
 v  v  x  �0 
��
2
v
v
��
Định lí 3
Nếu hàm số u  g  x  có đạo hàm tại x là u 'x và hàm số y  f  x  đạo
hàm tại u là y 'u thì hàm hợp y  f  g  x   có đạo tại x là y 'x  y 'u .u 'x
1.2. Các định lý về điều kiện đủ của chiều biến thiên của hàm số.
Định lí 1
Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm trên K
a) f '  x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số đồng biến trên K .
b) f '  x   0 với mọi x thuộc K thì hàm số nghịch biến trên K .
Quy tắc
+ Tính f '  x  , giải phương trình f '  x   0 tìm nghiệm.
+ Lập bảng xét dấu f '  x   0 .
+ Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Định lí 2. Tìm m để hàm số y  f  x, m  đơn điệu trên khoảng (a,b)
a) Để hàm số đồng biến trên khoảng  a, b  thì f '  x  �0, x � a, b  .
b) Để hàm số nghịch biến trên khoảng  a, b  thì f '  x  �0, x � a, b 
1.3. Các định lý về điều kiện đủ về cực trị của hàm số
Định lí 1
a) Nếu f '  x0   0 hoặc f '  x  không xác định tại x0 và f '  x  đổi dấu
từ dương sang âm khi x qua x0 thì x0 là điểm cực đại của hàm sô.
b) Nếu f '  x0   0 hoặc f '  x  không xác định tại x và f '  x  đổi
0

dấu từ âm sang dương khi x qua x0 thì x0 là điểm cực tiểu của hàm sơ.
Quy tắc
+) Tính f '  x 
2


+) Tìm các điểm tới hạn của hàm số (tại đó f '  x0   0 hoặc f '  x 
không xác định)
+) Lập bảng xét dấu f '  x  dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Chiều biến thiên và cực trị của hàm ẩn là một nội dung mới lạ đối với học
sinh THPT.
Học sinh còn bở ngỡ, lúng túng và mất khá nhiều thời gian khi gặp dạng
toán này.
3. Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm
Bài toán 1. Xét chiều biến thiên của hàm ẩn
u  x �
1.1. Cho biểu thức f '  x  . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f �
�
�.
1.2. Cho bảng biến thiên của f '  x  . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
f�
u  x �
�
�.
u  x �
1.3. Cho đồ thị f '  x  Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f �
�
�.
u  x �

1.4. Cho đồ thị f '  x  . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f �
�
� g  x 

.

u  x �
1.5. Cho biểu thức f '  x, m  . Tìm m để hàm số f �
�
�đơn điệu trên
khoảng K .
Bài toán 2. Xét cực trị của hàm ẩn
2.1. Cho bảng biến thiên của hàm số f  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm
u  x �
số f �
�
�
2.2. Cho đồ thị của hàm số f  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số
f�
u  x �
�
�
u  x �
2.3. Cho biểu thức f '  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f �
�
�
2.4. Cho đồ thị của hàm số f '  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số
f�
u  x �
�

�
trị.

u  x �
2.5. Cho biểu thức f  x, m  . Tìm m để hàm số f �
�
�có k điểm cực
3


trị.

2.6. Cho biểu thức f '  x, m  . Tìm m để hàm số f �
có điểm cực
u  x �
�
� k
u  x, m  �
2.7. Cho đồ thị f  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f �
�
�.

4. Các bài toán minh họa
Bài toán 1 . xét chiều biến thiên của hàm ẩn
u  x �
1.1. Cho biểu thức f '  x  . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f �
�
�
Bài tập 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x    x  1  x 2  2 x  với
2

x ��. Hỏi hàm số g  x   f x  x  2 đồng biến trên khoảng nào sau đây
2



A.  2; 1 .



B.  1;0  .

C.  0;3 .

D.  3;� .

Hướng dẫn
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Biểu thị g '  x  qua công thức của f '  x 
- Xét dấu g '  x 
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
Ta có
g '  x   2  x  1 f '  x 2  2 x  2 
 2  x  1  x 2  2 x  2  1
 2  x  1

3

2

  x  2x  2
2

2

 2  x2  2x  2



  x  1  1
4

Xét g '  x   0 �  x  1

3

0  x 1
  x  1  1  0 � �
�
x2
�
4

Vậy hàm số g  x  đồng biến trên các khoảng  0;1 và  2;� .
Ta thấy  2; � � 3; � . Chọn D

4


Bài tập 2. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  1

2

 x  2

với

� 5x �
��. Hỏi hàm số g  x   f � 2
�đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
�x  4 �
A.  �; 2  .

B.  0;2  .

C.  2;4  .

D.  2;1 .

Hướng dẫn
- Tìm nghiệm của f '  x 

- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Tìm nghiệm của g '  x 
- Xét dấu g '  x 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
x0
�

�
x 1
Ta có f '  x   0 � x  x  1  x  2   0 � �
�
x2
�
2

Xét g '  x  

20  5 x 2

x

2

 4

2

� 5x �
f '� 2
�
;
�x  4 �

�
20  5 x 2  0
�
x  �2

�
� 5x  0
2
�
�x  4
x0
g ' x   0 � � 5x
��
�
x  1  nghiem boi chan  
�2
1
�
x

4
�
x  4  nghiem boi chan 
�
� 5x
2
�2
�x  4

5


Bảng biến thiên

Vậy hàm số g  x  đồng biến trên các khoảng  2;0  và  2;� . Do

 2;4  � 2;� nên ta Chọn C
2
Bài tập 3. Cho hàm số có đạo hàm f '  x   x  2 x . Hàm số

� x�
g  x  f �
1  � 4 x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
� 2�
A.  �; 6  .



B.  6;6  .



D.  6;� .

C. 6 2;6 2 .

Hướng dẫn
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 

- Biểu thị g '  x  qua công thức của f '  x 
- Tìm nghiệm của g '  x 

- Xét dấu g '  x 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận
Giải

2
�
1 � x�
1�
9 x2
� x� � x�
1  � 4   �
1  � 2 �
1 �
Ta có g '  x    f ' �
� 4  
�
2 � 2�
2�
2 8
� 2� � 2�
�

9 x2
g '  x   0 �   0 � x  �6
2 8
Dấu của g '  x  :
x
g ' x 

�

-6
-

0

�

6
+

0

6


Vậy hàm số g  x  đồng biến trên khoảng  6;6  . Chọn B.

1.2. Cho bảng biến thiên của f '  x  . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
f�
u  x �
�
�
Bài tập 4. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm f '  x  như
sau
x

�

f ' x 

-1
-

0

0
+

0

1
-

�

2

0

+

0

+

Hàm số g  x   f  1  2 x  Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây
1 �
A. �
.
 ;0 �
�
2
�

�

1
�
C. �
.
� ; ��
2
�
�

B.  �;0  .

1�
D. �
0; �.
�
� 2�

Hướng dẫn
- Nhận xét về các khoảng dấu của f '  x 
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 

- Xét dấu g '  x  ( dựa vào dấu của f '  x  )
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
x  1
�
Từ bảng biến thiên suy ra : f '  x   0 � �
0  x 1

�
Hàm số g  x   f  1  2 x  đồng biến nếu g '  x   0
Ta có g '  x   2 f '  1  2 x  ;
x 1
�
1  2 x  1
�
�
g ' x   0 � f '  1  2 x   0 � �
�
1
�
0

1

2
x

1
0 x
�
�
2
� 1�
0; �và  1;� . Chọn D
Vậy g  x  đồng biến trên các khoảng �
� 2�
Bài tập 5. Cho hàm số y  f ( x) có bảng xét dấu của đạo hàm f '  x  như
sau

x

�

1

2

�
7


f ' x 

+



0

-

0

+



Hàm số g  x   f x  x 2 Hàm số nghịch biến trên khoảng nào sau đây:
A.  �;0  .

B.  �;2  .

�1
�
D. � ; ��
.
�2
�

C.  1;2  .

Hướng dẫn
- Tìm nghiệm của f '  x 

- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Xét dấu g '  x 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
x 1
�
Từ bảng xét dấu suy ra f '  x   0 � �
x2
�
2
Ta có g '  x    1  2 x  f '  x  x  ;

1  2x  0
�

1  2x  0
�
� 2
� 1
g ' x   0 � �
��
xx 2� �
x
2
f
'
x

x

0
2


�
�
2
�
x

x

1
�
Dấu của g '  x  :

x
g ' x 

1
2

�
+

0

�
-

�1
�
Vậy hàm số g  x  nghịch biến trên khoảng � ; ��. Chọn D
�2
�
Bài tập 6. Cho hàm số y  f ( x) có bảng biến thiên như sau

8


�
�

2x2 
Hàm số g  x   f �
� 1�

1; �.
A�
� 4�

5
3�
x  �nghịch biến trên khoảng nào sau đây
2
2�

�1 �
B � ;1�.
�4 �

�5�
1; �.
C�
� 4�

�9
�
D � ; ��
.
�4
�

Hướng dẫn
- Tìm nghiệm của f '  x 

- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 

- Tìm nghiệm của g '  x 
- Xét dấu g '  x 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
x  2
�
Từ bảng xét dấu suy ra f '  x   0 � �
x3
�
5�
�
4x  �
.f
Ta có g '  x   �
2�
�

3�
� 2 5
2
x

x

�
�
;
2
2�

�

� 5
� 5
x
4
x


0
�
� 2
8
�
�
5
3
1
g ' x   0 � �
2 x 2  x   2 � �
x  1; x 
�
�
2
2
4
�
�
5
3

9
�
�
2 x2  x   3
x  1; x 
�
�
2
2
4
Dấu của g '  x  :

9


x

�

g ' x 

-1
-

0

+

1
4

5
8

0

- 0

9
4

1
+

0

-

0

�
+

Từ bảng xét dấu của g '  x  suy ra hàm số g  x  nghịch biến trên các khoảng
1 5� �9�
1; �. Do
�và �
�4 8 � � 4 �

 �; 1 , �

�;

�9� �5�
1; ���
1; �
. Chọn C
�
�4� �4�

Bài tập 7. Cho hàm số y  f ( x ) có bảng xét dấu của đạo hàm f '  x  như sau:

� x�
1  � x nghịch biến trên khoảng nào sau đây
Hàm số g  x   f �
� 2�
A.  0;2  .

B.  2;4  .

C.  4; 2  .

D.  2;0  .

Hướng dẫn
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 

- Xét dấu g '  x  (dựa vào dấu của f '  x  )
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
Ta có g '  x   

1 � x�
f '�
1  � 1
2 � 2�

� x�
� x�
1  � x nghịch biến � g '  x   0 � f ' �
1  � 2
Hàm số g  x   f �
� 2�
� 2�
x
� x�
1  � 2 � 2  1   3 � 4  x  2 . Do đó hàm số nghịch biến
Nếu f ' �
2
� 2�
trên khoảng  4; 2 
10


x
� x�
1  � 2 � 1  1   a  0 � 2  2  2 a  x  4 . Hàm số nghịch
Nếu f ' �
2
� 2�
biến trên khoảng  2  2a;4  . Loại A, B, D và chọn C.

Bài tập 8. Minh họa 2019 Cho hàm số f  x  có bảng xét dấu của đạo hàm như
sau

3
Hàm số g  x   3 f  x  2   x  3x đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A.  1;� .

B.  �; 1 .

C.  1;0  .

D.  0;2  .

Hướng dẫn
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 

- Xét dấu f '  x  2  (dựa vào dấu của f '  x  . Suy ra dấu của g '  x 
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
Cách 1





2
3
�
�

Xét g  x   3 f  x  2   x  3 x . Ta có g '  x   3. �
�f  x  2   1  x �

1 �x  2 �3 �
1 �x �1
�
��
 x  2  �0 � �
Ta có f �
.
x  2 �4
x �2
�
�
�
 x  2  �0, x � 1;1
�f �
� y�
 0, x � 1;1 .
Suy ra � 2
1

x

0,

x
�

1;1



�
Vậy ta chọn đáp án C.
Cách 2. Phương pháp thử





2
3
�
�
 3. �
Xét y  3 f  x  2   x  3 x . Ta có y�
�f  x  2   1  x �

�3 � � �
�7 � 5 �
Ta có y�
� � 3. �f � � � 0 nên loại đáp án A, D.
�2 � � �2 � 4 �
y�
 2   3. �
 0   3�
�f �
� 0 nên loại đáp án B.
Vậy ta chọn đáp án C.
u  x �

1.3. Cho đồ thị của f '  x  . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số f �
�
�
11


Bài tập 9. Cho hàm số y  f  x  liên
tục trên � và có đồ thị f '  x  như hình
vẽ bên.
Hàm số g  x   f  1  2 x  đồng biến
trên khảng nào sau đây?
A.  0;1

�1 �
 ;0 �
B. �
.
�2 �

C.  �;0 

D.  0;�

Hướng dẫn
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Nhận xét về dấu của f '  x 

- Xét dấu g '  x  (dựa vào dấu của f '  x  )
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải

Ta có g '  x   2 f '  2  x 
x  1
�
Dựa vào đồ thị, ta có f '  x   0 � �
1 x  2
�
Hàm số g  x   f  1  2 x  đồng biến khi và chỉ khi

g '  x   2 f '  2  x   0 � f '  2  x   0

x 1
�
1  2 x  1
�
�
��
� 1
�
1

1

2
x

2
  x0
�
�2

�1
�2

�
�

 ;0 �và  1; � .
Vậy g  x   f  1  2 x  đồng biến trên các khoảng �
Chọn B
Bài tập 10. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
� và có đồ thị f '  x  như hình vẽ bên.
2
Hàm số g  x   f  3  x  nghịch biến trên
khảng nào?

A.  3; 2 

B.  2;0 

C.  0;2 

D.  2;3
12


Hướng dẫn
- Tìm nghiệm của f '  x 

- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Tìm nghiệm của g '  x 

- Xét dấu g '  x  (dựa vào dấu của f '  x  )
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
x  6
�
�
x  1
Từ đồ thị suy ra f '  x   0 � �
�
x2
�
2
Ta có g '  x   2 xf '  3  x  ;

x0
�
g ' x   0 � �
2
�f '  3  x 
Dấu của g '  x  :
x

�

g ' x 

x0
�
x0

�
� 2
�
3  x  6
x  �3
�
�
��
2
�
�
0
x  �2
3  x  1
� 2
�
x  �1
3 x  2
�
�
�

-3
-

0

-2

0

-1

+ 0

-

0

+ 0

1
- 0 +

2

�

3

0 - 0

+

Từ bảng xét dấu và đối chiếu các đáp án, ta chọn D
Bài tập 11. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên
� và có đồ thị

f '  x  như hình vẽ bên.

Hàm số g  x   f





x 2  2 x  2 đồng biến

trên khảng nào?



A. �; 1  2 2







C. 1;2 2  1

B.  �; 1





D. 2 2  1; �

Hướng dẫn
- Tìm nghiệm của f '  x 

- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Tìm nghiệm của g '  x 

13


- Xét dấu g '  x  (dựa vào dấu của f '  x  )
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
x  1
�
�
x 1
Từ đồ thị suy ra f '  x   0 � �
�
x3
�
x 1

Ta có g '  x  

f'





x2  2x  2 ;

x  2x  2
x 1 0
�
x  1 nghiem boi le 
�
�
� 2
g ' x   0 � � x  2 x  2  1 � �
x  1  2 2
�
� 2
x  1  2 2
� x  2x  2  3 �
Dấu của g '  x  :
2

x
f ' x 

�

1

1  2 2
-

0

+

0

�

1  2 2
-

0

+

Từ bảng xét dấu và đối chiếu các đáp án, ta chọn D
1.4. Cho đồ thị của f '  x  . Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
f�
u  x �
�
� g  x 
Bài tập 12. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm
liên tục trên �và có đồ thị hàm số f '  x  như
hình vẽ .
2
Hàm số g  x   2 f  x   x đồng biến trên
khoảng nào sau đây :

A.  �; 2 

B.  2;2 

C.  2;4 

D.  2;�

Hướng dẫn
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 

- Nhận xét về số nghiệm của g '  x  dựa vào sự tương giao của các đồ thị
- Xét dấu g '  x 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
14


Giải
Ta có g '  x   2 f '  x   2 x ;
g ' x   0 � f ' x   x
Số nghiệm của phương trình g '  x   0 bằng số
giao điểm của đồ thị hàm số y  f '  x  và đường
thẳng d : y  x .
Đường thẳng d : y  x cắt đồ thị hàm số
y  f '  x  tại các điểm  2; 2  ,  2;2  và  4;4 

Ta thấy trên khoảng  2;2  đồ thị hàm số y  f '  x  nằm phía trên đường thẳng
d : y  x nên g '  x   0 suy ra hàm số g  x   2 f  x   x 2 đồng biến trên
khoảng  2;2  . Chọn D
Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số g '  x   2 f '  x   2 x và kết luận.
Bài tập 13. Cho hàm số y  f  x  có đạo
hàm liên tục trên �và có đồ thị hàm số
f '  x  như hình vẽ bên.

x2  2 x
Hàm số g  x   f  x  1 
2

nghịch biến trên khoảng nào sau đây :
A.  3;1

B.  2;0 

� 3�
C. �
1; �
� 2�

D.  1;3

Hướng dẫn
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 

- Nhận xét về dấu của g '  x  dựa vào sự
tương giao của các đồ thị
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
Ta có g '  x    f '  1  x    1  x  .
15


x2  2 x
Để hàm số g  x   f  1  x  

2
nghịch biến ta phải có g '  x   0
� f ' 1  x     1  x  .

Đặt t  1  x , bất phương trình trở thành f '  t   t
Kẻ đường thẳng d : y   x cắt đồ thị hàm số
 3;3 ,  1; 1 ,  3; 3

f ' x 

tại các điểm

t  3
�
Quan sát đồ thi ta thấy bất phương trình f '  t   t � �
1 t  3
�
1  x  3
x4
�
�
��
Từ đó � f '  1  x     1  x  � �
11 x  3 �
2  x  0
�
Đối chiếu đáp án ta chọn B.
u  x �
1.5. Cho biểu thức f '  x, m  . Tìm m hàm số f �
�

�đơn điệu trên
khoảng K
Bài tập 14. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x   x  x  1

2

x

2

 mx  9  với

x ��. Có bao nhiêu số nguyên m  100 để hàm số g  x   f  3  x  đồng
biến trên khoảng  3;�
A. 8 .

B. 7 .

C. 6 .

D. 5 .

Hướng dẫn
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 

- Biểu thị g '  x  qua công thức của f '  x 
- Xét dấu g '  x 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải

2
2
�3  x   m  3  x   9�
Ta có g '  x    f '  3  x     3  x   2  x  �
�

16


Hàm số g  x   f  3  x  đồng biến trên khoảng  3;� phải có
g '  x  �0, x  3 .
2
2
� f '  3  x  �0, x  3 �  3  x   2  x  �
�0, x  3
�3  x   m  3  x   9�
�

 m
ۣ

 x  3

2

9

x 3

Ta có h  x 

min h  x 
 h  x  , x  3  m (3;
�)

 x  3


2

9

x 3

 m min h  x 
 3;�

 x 3

9
�2
x3

 x  3

9
6
x3

6 . Do m �Z � m � 1,2,3, 4,5,6 . Chọn C .

Bài tập 15. Cho hàm số f  x  có đạo hàm f '  x    x  1

2

x

2

 2 x  với

x ��. Có bao nhiêu số nguyên m  100 để hàm số g  x   f  x 2  8 x  m 
đồng biến trên khoảng  4;�
A. 18 .

B. 82 .

C. 83 .

D. 100 .

Hướng dẫn
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 

- Biểu thị g '  x  qua công thức của f '  x 
- Xét dấu g '  x 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
Ta có f '  x   0 �  x  1

2

x

2



x0
�
 2x  0 � �
x2
�



2
Xét g '  x    2 x  8  f ' x  8 x  m . Để hàn số g  x  đồng biến trên khoảng

 4;�

phải có g '  x  �0, x  4 �  2 x  8  f '  x 2  8 x  m  �0, x  4

�
f '�
8x m 
 x�۳
2

0, x

4

�
x 2  8 x  m �0, x  4
�2
x  8 x  m �2, x  4
�

m 18

Vậy 18 �m  100 . Chọn B
Bài toán 2. Xét cực trị của hàm ẩn.
17


2.1. Cho bảng biến thiên của hàm số f  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số
f�
u  x �
�
�

Bài tập 16. Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên �và có bảng biến thiên như sau

5
3�
x  �có bao nhiêu điểm cực trị?
2
2�

�
�

2 x2 
Hàm số g  x   f �
A3 .

B4 .

C5 .

D6.

Hướng dẫn
- Tìm nghiệm của f '  x 

- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Tìm nghiệm của g '  x 

- Xét dấu g '  x  (dựa vào dấu của f '  x  )
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải

x  2
�
Từ bảng biến thiên suy ra f '  x   0 � �
x3
�
5�

�
4x  �
.f
Ta có g '  x   �
2�
�

3�
� 2 5
2x  x  �
;
�
2
2�
�

18


� 5
� 5
x
4
x


0
�
� 2
8

�
�
5
3
1
g ' x   0 � �
2 x 2  x   2 � �
x  1; x 
�
�
2
2
4
�
�
5
3
9
�
�
2 x2  x   3
x  1; x 
2
2
4
�
�
Dấu của g '  x  :
x
g ' x 

�

1
4

-1
-

0

+

0

5
8
- 0

9
4

1
+

0

-

0

�
+

3�
� 2 5
2 x  x  �có 5 điểm cực trị.
Từ bảng xét dấu suy ra hàm số g  x   f �
2
2�
�
Chọn C
Bài tập 17. Cho hàm số y  f ( x ) liên tục trên � và có bảng biến thiên như
sau

Hàm số g  x   f  x  có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
A.5 .

B. 7 .

C.9 .

D.11.

Hướng dẫn

- Nhận xét về tính chẵn, lẻ của các hàm số y  f  x  , g  x   f  x  và đồ
thị tương ứng của chúng.
- Nhận xét về số giao điểm nhiều nhất của đồ thị hàm số y  f  x  với trục
hoành ứng với phần bên phải trục tung.

- Suy ra số giao điểm nhiều nhất của đồ thị hàm số y  f  x  với trục hoành
và số cực trị tương ứng.
19


- Suy ra số cực trị nhiều nhất của hàm số g  x   f  x  .
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải

Nhận xét: Hàm số y  f  x  là hàm số chẵn nên có đồ thị đối xứng nhau qua
trục tung.
Hàm số g  x   f  x  có đồ thị nằm trên trục hồnh và đối xứng nhau qua
trục tung.
Từ bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số y  f  x  có 1 điểm cực tiểu x  3
nằm bên phải trục tung nên đồ thị hàm số y  f  x  cắt trục hồnh tại nhiều
nhất 2 điểm có hồnh độ dương.

 

Do đó đồ thị hàm số y  f x cắt trục hoành tại nhiều nhất 4 điểm hay hàm
số y  f x có nhiều nhất 3 cực trị.

 

Suy ra hàm số g  x   f  x  có nhiều nhất 7 điểm cực trị. Chọn B.
Bài tập 18. ( Câu 44 đề tốt nghiệp 2020 Mã đề 101) Cho hàm số bậc bốn
f  x  có bảng biến thiên như sau:

Số điểm cực trị của hàm số g  x   x 4 �

�f  x  1 �
� là
2

A. 11 .

B. 9 .

C. 7 .

D. 5 .

Hướng dẫn
- Nhận xét về dạng của hàm số y  f '  x  . Từ đó suy ra hàm số y  f  x 
- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Tìm nghiệm của g '  x 
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải

20


Vì f  x  là hàm số bậc bốn nên f '  x  là hàm số bậc ba nhận các giá trị 1, 0,1
3
làm nghiệm. Do đó f '  x   ax( x  1)( x  1)  a ( x  x ) � f  x   a (

x4 x2
 )b
4 2

Vì f (�1)  2, f (0)  3 f  �1  2, f (0)  3 nên suy ra a  20, b  3
4
2
Vậy f  x   5 x  10 x  3 .

Đạo hàm
4
g�
2 f  x  1  xf �
 x   4 x3 �
 x  1  2 x3 f  x  1 �
 x  1 �
�f  x  1 �
� 2 x f  x  1 f �
�
�
2

.
�
x0
�
2 x 3 f  x  1  0
�
� �f  x  1  0
 x  0 � �
Ta có g �
.
2 f  x  1  xf �
 x  1  0 �

�
2 f  x  1  xf �
 x  1  0
�
x  1 �1, 278
�
�
x  1 �0, 606
4
a) f  x  1  0  * � 5  x  1  10  x  1  3  0 � �
�
x  1 �0, 606
�
x  1 �1, 278
�
� Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 .
t  x 1

b) 2 f  x  1  xf �
 x  1  0 � 2  5t 4  10t 2  3   t  1  20t 3  20t   0
t �1,199
�
�
t �0, 731
4
3
2
�
�
� 30t  20t  40t  20t  6  0

�
t �0, 218
�
t �1, 045
�
� Phương trình có bốn nghiệm phân biệt khác 0 và khác các nghiệm của

phương trình  * .
Vậy số điểm cực trị của hàm số g  x  là 9 . Chọn B.
u  x �
2.2. Cho đồ thị f  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f �
�
�
Bài tập 19. Cho hàm số y  f  x  liên tục
trên � và có đồ thị như hình vẽ bên.





2
Hàm số g  x   f x  3 x có bao nhiêu

điểm cực tiểu?
21


A.1 .

B.3 .

C.5 .

D. 7 .

Hướng dẫn
- Tìm nghiệm của f '  x 

- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Tìm nghiệm của g '  x 
- Xét dấu g '  x 

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải

x  2
�
Từ đồ thị suy ra f '  x   0 � �
x0
�





Ta có g '  x    2 x  3  f ' x  3 x .
2

� 3
� 3

x
x
�
�
2
2
2x  3  0
�
�2
�
g ' x   0 � � 2
��
x  3 x  2 � �
x  1, x  2
f
'
x

3
x

0

� 
�
�
x  0, x  3
x 2  3x  0
�
�

�
�
Dấu g '  x 
x

�

0

g ' x 

-





0

3
2

1

+

0

-

0

+

0

�

3

2
-

0

+

2
Vậy g  x   f x  3x có 2 điểm cực đại và 3 điểm cực tiểu. Chọn B

Bài tập 20. Cho hàm số y  f  x  liên tục
trên � và có đồ thị như hình vẽ bên.
Hàm số g  x   f  x   4 có bao nhiêu
điểm cực trị?
A. 2 .

B.3 .

C. 4 .

D.5 .

Hướng dẫn
- Nhận xét về cách xác định đồ thị hàm số y  f  x   4 từ đồ thị hàm số
22


y  f  x
- Từ đó suy ra cách xác định đồ thị hàm số g  x   f  x   4
- Dựa vào đồ thị suy ra số điểm cực trị của hàm số g  x 
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Giải
Đồ thị hàm số g  x   f  x   4 có được bằng cách
Tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  lên trên 4 đơn vị ta được đồ thị hàm số

f  x  4

Lấy đối xứng phần phía dưới Ox của đồ thị hàm số f  x   4 qua trục hoành

Từ đồ thị suy ra hàm số g  x   f  x   4 có 3 điểm cực trị. Chọn B.
u  x �
2.3. Cho biểu thức f '  x  . Hỏi số điểm cực trị của hàm số f �
�
�
Bài tập 21. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm f '  x    x  1  x  1 2  x  2 





2
với mọi x ��. Hàm số g  x   f x  4 x  2 có bao nhiêu điểm cực trị?

A. 2 .

B.3 .

C.5 .

D. 7 .

Hướng dẫn
- Tìm nghiệm của f '  x 

- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Tìm nghiệm của g '  x 

- Nhận xét về dấu g '  x 
- Suy ra số điểm cực trị.
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
23


Giải
x 1  0
�
x  1
�
�
2

2
�
 x  1  0 � �x  1
Ta có f '  x   0 �  x  1  x  1  x  2   0 � �
�
�
x2
x20
�
�



2
Ta có g '  x    2 x  4  f ' x  4 x  2



� g '  x    2 x  4   x 2  4 x  2  1  x 2  4 x  2  1
  2 x  4   x 2  4 x  3   x 2  4 x  1

2

x

2

2

x

2

 4x  2  2

 4x 

2x  4  0
�
x2
�
�2
�
x  4x  3  0
x  1, x  3
�
�
g ' x   0 � � 2
�
.
2
x  2 � 2  nghiem kep 
�x  4 x  1  0 �
�
�
2
x  0, x  4
�
x  4x  0
�

Ta thấy g '  x  đổi dấu qua các nghiệm đơn x  0, x  1, x  2, x  3, x  4 và không
2
đổi dấu qua các nghiệm kép x  2 � 2 . Vậy hàm số g  x   f  x  4 x  2  có 5
điểm cực trị. Chọn C



Bài tập 22. Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm f '  x    x  1  x  1 2 x 2  4
với mọi x ��. Hàm số g  x   f x có bao nhiêu điểm cực trị?

 

A.3 .

- Tìm nghiệm của f '  x 

B.5 .

C. 7 .



D.9 .

- Tính đạo hàm của hàm hợp g  x 
- Tìm nghiệm của g '  x 

- Xét dấu g '  x  (dựa vào dấu của f '  x  )
- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
Hướng dẫn

- Nhận xét về cách xác định đồ thị hàm số g  x   f

y  f ( x)

 x

từ đồ thị hàm số

- Tìm nghiệm của f '  x 
- Nhận xét về điểm cực trị của hàm số y  f ( x )

 

- Dựa vào tính chất của đồ thị hàm số chẵn f x

suy ra số điểm cực trị

- Đối chiếu các đáp án và kết luận.
24