Hướng dẫn học sinh giải nhanh phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong thi trắc nghiệm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT NGHI LỘC 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI NHANH PHƯƠNG TRÌNH,
BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT
TRONG THI TRẮC NGHIỆM
MƠN: TON

Tác giả: Trần Bích Hiệp
Tổ: Toán - Tin

1


Năm học: 2020 - 2021
MC LC
NI DUNG
PHN I: T VN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

TRANG
1
1
1

3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

1

4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
6. NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI
7. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
8. ĐÓNG GÓP MỚI CỦA ĐỀ TÀI
PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản
2. Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit
3. Tư duy về phương trình, bất phương trình có chứa tham số
4. Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình.
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các bài toán cơ bản.
2 .GP2: Hướng dẫn học sinh phát hiện nhanh phương pháp .
3 .GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải tốn.
4 .GP4: Kĩ thuật “chuyển về phương trình”.
5 GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí các bài tốn chứa tham số .
III. BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
IV. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM
1. ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚT.
PHẦN III. KẾT LUẬN
1. KẾT LUẬN
2. KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO

1
2
2
2
2

3
3
3
3
3
4
4
4
6
10
15
16
25
28
29
32
32
32
34

DANH MỤC BẢNG CHỮ CÁI VIẾT TẮT
Chữ cái viết tắt
GD & ĐT

Chữ đầy đủ
Giáo dục và đào tạo
2


GV

Giáo viên

HĐ

Hoạt động

HS

Học sinh

KT-KN-TĐ

Kiến thức - Kĩ năng - Thái độ

NB

Nhận biết

SGK

Sách giáo khoa

TH

Thông hiểu

THPT

Trung học phổ thông

THPTQG

Trung học phổ thông quốc gia

VD

Vận dụng

VDC

Vận dụng cao

GP

Giải pháp

TNKQ

Trắc nghiệm khách quan

MTCT

Máy tính cầm tay

3


PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình, bất phương trình là một vấn đề quan trọng của Tốn học phổ
thơng, nó trải dài và xun suốt từ cấp học THCS lên cấp THPT. Đây là một vấn
đề hay và khó, xuất hiện nhiều ở dạng câu phân loại mức độ vận dụng trong các đề
thi.
Giải bài tập Tốn là phần quan trọng, khơng thể thiếu trong mơn Tốn học,
làm bài tập khơng những giúp học sinh củng cố khắc sâu thêm kiến thức mà đồng
thời còn rèn luyện khả tư duy của cho học sinh. Bài tập phương trình, bất phương
trình mũ và logarit là một bài toán rất quan trọng, xuất hiện nhiều trong các đề thi
THPT quốc gia ở mức độ vận dụng và vận dụng cao. Tuy nhiên các nội dung lí
thuyết phần này trong hệ thống SGK phổ thơng được trình bày khá đơn giản, và
chưa có hướng xử lí nhanh cho thi trắc nghiệm khách quan (TNKQ). Điều này gây
khó khăn rất nhiều cho việc tiếp thu kiến thức, hình thành dạng tốn và phương
pháp giải tốn cho học sinh.
Vì vậy, trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi muốn nêu ra một cách xây dựng
các định hướng “giải nhanh bài toán phương trình, bất phương trình mũ và
logarit” theo hướng TNKQ.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong sáng kiến kinh nghiệm này tơi sẽ chỉ ra nội dung phương pháp đã trang
bị cho học sinh để giải tốn phương trình, bất phương trình mũ và logarit cũng như
các kĩ năng giải nhanh câu hỏi TNKQ. Đó là: “ Hướng dẫn học sinh giải nhanh
phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong thi trắc nghiệm ”. . Từ đó
có thể làm tốt các dạng toán này mang lại kết quả cao trong kỳ thi THPTQG.
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
*Về kiến thức :
+ Các phương pháp giải bài tốn phương trình , bất phương trình mũ và logarit.
+Các kĩ thuật giải nhanh phương trình , bất phương trình mũ và logarit.
*Về học sinh: là đối tượng học sinh lớp 12 chuẩn bị tham gia thi THPT Quốc gia.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Phương pháp dạy học theo hướng giải quyết vấn đề
Nghiên cứu tư liệu và sản phẩm hoạt động sư phạm

Phương pháp quan sát thực tế: quan sát tư duy và giải toán của học sinh
4


Phương pháp hỏi đáp: trao đổi trực tiếp với giáo viên, học sinh về những vấn đề
liên quan đến nội dung đề tài
Phương pháp thống kê, phân tích số liệu
5. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Vận dụng lý thuyết sách giáo khoa 12, giải quyết một số dạng toán liên quan
đến phương trình ,bất phương trình mũ và logarit dành cho học sinh lớp 12 thi
THPTQG.
6. NHIỆM VỤ- YÊU CẦU CỦA ĐỀ TÀI
- Nhiệm vụ của đề tài:
-Đưa ra được nội dung phương pháp giải toán , các dấu hiệu nhận biết và
phương pháp giải nhanh tương ứng để giải câu hỏi trắc nghiệm khách quan
(TNKQ) về phương trình, bất phương trình mũ- logarit.
-Nghiên cứu, hệ thống các bài tốn minh họa cho các phương thức được đưa ra.
-Nghiên cứu, đánh giá tính khả thi khi vận dụng vào thực tiễn giảng dạy.
- Yêu cầu của đề tài:
 Học sinh phải nắm được kiến thức cơ bản của các bài toán được vận dụng
như: giải các phương trình ,bất phương trình mũ- logarit dạng cơ bản ,
 Khi áp dụng các phương thức vào trong quá trình dạy học, giáo viên cần
vận dụng đúng quy trình, đưa ra lượng bài tập cũng như thời gian”đủ nhiều” để
học sinh có sự thấm nhuần về phương pháp.
7. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Nội dung phương trình, bất phương trình được học sinh làm quen từ THCS nên
gần gũi với học sinh và đa số học sinh đã biết một số thao tác cơ bản.
Phương trình, bất phương trình mũ và logarit xuất hiện nhiều trong các đề thi
THPT Quốc Gia nên học sinh được làm quen với một khối lượng lớn các bài tập
đặc sắc, phong phú, đa dạng về nội dung cũng như dạng toán

Trong giảng dạy nếu đơn thuần chỉ truyền thụ kiến thức cơ bản mà “lãng
qn” đi hoạt động tìm tịi, sáng tạo, nghiên cứu thì bản thân người giáo viên sẽ bị
mai một kiến thức và học sinh cũng bị hạn chế khả năng suy luận, tư duy sáng tạo.
- Một số học sinh mang khuynh hướng học đối phó đề thi nên không muốn
hiểu sâu, hiểu rộng một vấn đề nào đó của tốn học.
8. ĐĨNG GĨP MỚI CỦA ĐỀ TÀI
Do đây là một nội dung khó, có nhiều câu xuất hiện trong các đề thi với tư
cách là câu phân loại khó nên đa số các bài tốn để giải nó là rất khó khăn. Vì vậy
gây cho học sinh một thói quen rằng: bài tốn rất khó và khơng có động lực để
vượt qua.
Do sự đa dạng về nội dung, phương pháp cũng như mức độ khó, khối lượng
bài tập khổng lồ làm cho nhiều học sinh “loạn kiến thức” , không thể phân biệt
được các dạng bài tập và không vận dụng nổi các phương pháp giải bài tốn.
Đa số học sinh giải tốn theo thói quen, mị mẫm để giải tốn chứ chưa thực
5


sự chú trọng đến tư duy phương pháp, tư duy giải nhanh. Do đó hiệu quả học và
giải tốn chưa cao.
Việc thi TNKQ đòi hỏi học sinh tư duy nhanh, giải toán nhanh, kĩ năng
nhanh nên nhiều học sinh chưa đáp ứng được, nhất là phần phương trình, bất
phương trình có chứa tham số dạng đáp án gián tiếp.
Đề tài có nhiều bài tập hay, khó và mới lạ kích thích học sinh tìm tịi,sáng
tạo. Đề tài cịn có một số bài toán áp dụng thực tế quen thuộc với học sinh giúp các
em liên hệ với các môn khoa học khác cũng như trong cuộc sống.

PHẦN II: NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. Phương trình, bất phương trình mũ – logarit cơ bản
- Phương trình mũ cơ bản có dạng a x = b ( a > 0, a ≠ 1) .

Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit.
- Phương trình logarit cơ bản có dạng log a x = b ( a > 0, a ≠ 1) .
Để giải phương trình ta sử dụng định nghĩa logarit.
- Bất phương trình mũ cơ bản có dạng a x > b ( hoặc a x < b, a x ≤ b, a x ≥ b )
với a > 0, a ≠ 1 .
Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit.
- Bất phương trình logarit cơ bản có dạng log a x > b
( hoặc log a x ≥ b,log a x < b,log a x ≤ b ) với a > 0, a ≠ 1 .
Để giải bất phương trình ta sử dụng tính chất hàm số mũ và logarit.
2. Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ – logarit
- Phương pháp đưa về cùng cơ số
a x = a k ⇔ x = k và log a x = log a k ⇔ x = k ( k > 0 )
- Phương pháp đặt ẩn phụ
Ẩn phụ t = a x hoặc t = log a x
- Phương pháp mũ hóa hoặc logarit hóa
Mũ hóa hai vế hoặc logarit hóa hai vế
- Phương pháp hàm số
Sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số dạng hàm hoặc hàm đặc trưng.
3. Tư duy về phương trình, bất phương trình có chứa tham số
- Để giải quyết các bài tốn có chứa tham số ta thường sử dụng các phương pháp
cơ bản sau:
6


* Phương pháp 1: Dùng tư duy hàm số
Giả sử hàm số y = f ( x ) có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên D lần lượt là M
và N. Với hàm phụ thuộc tham số thực m là g ( m ) , ta có:
+ Phương trình f ( x ) = g ( m ) có nghiệm trên D ⇔ N ≤ g ( m ) ≤ M
+ Bất phương trình f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm trên D ⇔ g ( m ) ≤ M
+ Bất phương trình f ( x ) ≥ g ( m ) có nghiệm với mọi x ∈ D ⇔ g ( m ) ≤ N

Chú ý: Các dạng bất phương trình cịn lại suy luận tương tự.
Trong trường hợp hàm số không có M hoặc N hoặc cả hai, chúng ta cần
xem xét cụ thể trên bảng biển thiên hàm số tương ứng để xây dựng các điều kiện
cho tham sô. Trong một số trường hợp cần sử dụng inf hoặc sup.
*Phương pháp 2: Xây dựng các điều kiện tương ứng cho bài toán.
Nội dung này sẽ được đề cập chi tiết trong mục 2 – GP2
4. Mối quan hệ giữa phương trình và bất phương trình.
Định lí (*): “Hàm số f(x) liên tục trên ( x1; x2 ) và phương trình f(x) = 0 vô nghiệm
trên ( x1; x2 ) . Khi đó f(x) khơng đổi dấu trên ( x1; x2 ) ”.
Chứng minh:
Giả sử f(x) đổi dấu trên ( x1; x2 ) suy ra tồn tại a, b ∈ ( x1; x2 ) , a < b mà f ( a) f (b) < 0
. Do f(x) liên tục trên [ a; b ] nên f(x) = 0 có nghiệm trên (a; b): Trái giả thiết. Từ
đó ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét:
Như vậy, nếu biểu thức f(x) liên tục trên khoảng 2 nghiệm liên tiếp x1 < x2 thì f(x)
khơng đổi dấu trên ( x1; x2 ) . Do đó để xét dấu f(x) trên ( x1; x2 ) ta chỉ cần thử một
giá trị cụ thể trên ( x1; x2 ) . Khi đó việc xét dấu f(x) trên tập xác định được quy về
giải phương trình f(x) = 0 trên tập xác định.Từ đó ta giải được bất phương trình
liên quan đến xét dấu của f(x).
II. CƠ SỞ THỰC TIỄN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
1. GP1: Hướng dẫn học sinh giải nhanh các bài toán cơ bản.
Ví dụ 1. Tìm số nghiệm ngun của phương trình 2 x
A. 4 .

B. 3 .

C. 2.

4

+35 x 2 + 24+ x − 2

3

= 210 x +50 x+

x −2

.

D.1 .

Tư duy: Đây là phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) = a v( x ) được mở rộng từ
phương trình mũ cơ bản. Việc giải phương trình này cần chú ý điều kiện xác định
của các hàm số u ( x ) , v ( x ) để tránh sai lầm.
7


Lời giải
Ta có: Pt ⇔ x 4 + 35 x 2 + 24 + x − 2 = 10 x 3 + 50 x + x − 2
 x 4 − 10 x3 + 35 x 2 − 50 x + 24 = 0
⇔
⇔ x ∈ { 2;3;4}
x
−
2
≥
0

Do đó chọn đáp án A

Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :
Pt ⇔ x 4 + 35 x 2 + 24 + x − 2 = 10 x 3 + 50 x + x − 2
⇔ x 4 − 10 x 3 + 35 x 2 − 50 x + 24 = 0 ⇔ x ∈ { 1;2;3;4}
Nguyên nhân là không chú ý điều kiện xác định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) dẫn đến
giải sai bài tốn. Bài tốn cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT)
tuy nhiên khơng nhanh hơn cách giải tự luận.
Ví dụ 2. Trên đoạn [ −150;120] , bất phương trình

(

)

3 −1

110 x

>

(

)

3 −1

x 2 −10200

có

bao nhiêu nghiệm nguyên.

A. 180 .

B. 90 .

C. 181 .

D. 91 .

Tư duy: Đây là bất phương trình mũ quen thuộc : a u( x ) > a v( x ) được mở rộng từ
phương trình mũ cơ bản. Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều kiện xác
định của các hàm số u ( x ) , v ( x ) và cơ số a để tránh sai lầm.
Lời giải
Ta có: Bpt ⇔ 110 x < x 2 − 10200 ⇔ − x 2 + 110 x − 10200 < 0
⇔ x ∈ ( −∞; −60 ) ∪ ( 170; +∞ )
Kết hợp u cầu bài tốn, bpt có 90 nghiệm ngun.
Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Bài tốn này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm :
Bpt ⇔ 110 x < x 2 − 10200 ⇔ − x 2 + 110 x − 10200 < 0 ⇔ x ∈ ( −60;170 )
Nguyên nhân là không chú ý cơ số a = 3 − 1∈ ( 0;1) dẫn đến giải sai bài tốn.
Ví dụ 3.Tìm tổng bình phương các nghiệm của phương trình:
ln( x 2 − 6 x + 7) = ln( x − 3)
8


A. 7 .

B. 25.

D. 49 .

C. 29.

Tư duy: Đây là phương trình logarit quen thuộc : log a u ( x ) = log a v ( x ) được mở
rộng từ phương trình logarit cơ bản. Việc giải phương trình này cần chú ý điều
kiện xác định của logarit để tránh sai lầm.
Lời giải
x − 3 > 0
2
⇔ x =5
Ta có: ln( x − 6 x + 7) = ln( x − 3) ⇔  2
x
−
6
x
+
7
=
x
−
3

Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không chú ý
điều kiện xác định của logarit dẫn đến không loại nghiệm và chọn phương án sai
C, hoặc xử lí khơng tốt dẫn đến chọn phương án sai A, D.
Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên cũng
khơng nhanh hơn cách giải tự luận.
Ví dụ 4. Tìm nghiệm của bất phương trình log 1 ( 3 x − 1) ≥ 3 .

2

3
A. x ≥ .
8

3
B. x ≤ .
8

1 3
C. x ∈  ;  .
3 8

 1 3
D. x ∈  ;  .
 3 8

Tư duy: Đây là bất phương trình logarit cơ bản : log a u ( x ) ≥ b được mở rộng từ
bất phương trình logarit cơ bản. Việc giải bất phương trình này cần chú ý điều kiện
xác định của logarit và cơ số để tránh sai lầm.
Lời giải
3x − 1 > 0

 1 3
3
Ta có: log 1 ( 3x − 1) ≥ 3 ⇔ 
 1  ⇔ x ∈ 3; 8



2
3x − 1 ≤  2 ÷



Do đó chọn đáp án D
Nhận xét
Bài tốn này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi không
chú ý điều kiện xác định của logarit và cơ số logarit dẫn đến chọn phương án sai.
Bài tốn giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) bằng cách thử nghiệm và loại
trừ đáp án, tuy nhiên cũng không nhanh hơn cách giải tự luận.
Nhiệm vụ giải pháp: Tổng hợp giải toán các dạng cơ bản tương tự như các ví dụ
trên và chỉ ra các sai lầm thường gặp.
2 .GP2: Hướng dẫn học sinh phát hiện nhanh phương pháp .
9


Ví dụ 5. Tính tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình
log 3 x.log 9 x.log 27 x.log 81 x =
A.

82
.
9

B.

80
.
9

2
.
3
C. 9 .

D. 0 .

Tư duy: Việc xuất hiện log 3 x;log 9 x;log 27 x;log 81 x giúp học sinh liên hệ tới
phương pháp đặt ẩn phụ logarit t = log a x, a ∈ { 3;9;27;81} . Tùy kinh nghiệm học
sinh mà việc chọn cơ số thuận lợi cho biến đổi giải toán.
Lời giải
t
Đặt: t = log81 x ⇔ x = 81
t
t
t
Pt trở thành: ( log 3 81 .log 9 81 .log 27 81 ) t =

t = 0,5
2
⇔ 16t 4 = 1 ⇔ 
3
t = −0,5

1
Khi đó : x = 9 và x = . Do đó chọn đáp án A
9
Nhận xét
Bài tốn này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ

t = log81 x lại cho thêm điều kiện t > 0 nên chọn C là phương án sai.
Nguyên nhân là chưa nắm vững thao tác đặt ẩn phụ cho biểu thức mũ và logarit.
Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) tuy nhiên khơng
nhanh hơn cách giải tự luận.
Ví dụ 6. Phương trình ( 3 + 5 ) + ( 3 − 5 ) = 3.2 x có hai nghiệm x1 ; x2 . Giá trị biểu
x

x

thức A = x12 + x22 bằng bao nhiêu?
A. 9.

B. 13.

C. 1.

D. 2.
−1

3− 5  3+ 5 
= 
Tư duy: Việc xuất hiện (3 + 5 ) , (3 − 5 ) , 2 , ta nghĩ ngay đến
÷
÷
2
 2 
x

x

x

x

 3+ 5 
Chia 2 vế cho 2 đưa về phương trình bậc hai ẩn là 
÷
÷.
 2 
x

−1

3+ 5 3− 5
3− 5  3+ 5 
.
=1⇔
= 
Lời giải. Nhận xét 3 + 5 3 − 5 = 4 ⇔
÷
÷ .
2
2
2
 2 

(

x

)(

x

)

2x

x

 3+ 5   3− 5 
 3+ 5 
 3+ 5 
+ 
= 3 ⇔ 
− 3. 
Do đó: 
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷ +1 = 0
 2   2 
 2 
 2 

10

 3 + 5  x 3 + 5

÷ =
2
 2 ÷
 x =1

⇔
⇔
 x = −1.
x

 3 + 5  3 − 5
=
÷

÷
2
 2 

Vậy A = 2. Chọn D.
Ví dụ 7. Cho hàm số f ( x ) = 2 x.7 x . Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?.
2

2
A. f ( x ) < 1 ⇔ x + x log 2 7 < 0.

2

B. f ( x ) < 1 ⇔ x ln 2 + x ln 7 < 0.

C. f ( x ) < 1 ⇔ x log 7 2 + x 2 < 0.

D. f ( x ) < 1 ⇔ 1 + x log 2 7 < 0. [3]

Tư duy: Đây là bài tốn dạng biến đổi bất phương trình bằng phương pháp logarit
hóa .Từ đó kiểm tra cẩn thận các đáp án để chỉ ra khẳng định sai.
Lời giải
Khi logarit hóa hai vế cần chú ý tới cơ số a ∈ ( 0;1) hay a > 1 để biến đổi đúng.
Đáp án A đúng , vì logarit hai vế với cơ số a = 2 > 1 nên không đổi chiều BPT, và
các biến đổi sau đó là đúng.
Đáp án B đúng, vì logarit hai vế với cơ số a = e > 1 nên không đổi chiều BPT, và
các biến đổi sau đó là đúng.
Đáp án C đúng, vì logarit hai vế với cơ số a = 7 > 1 nên không đổi chiều BPT, và
các biến đổi sau đó là đúng.
Đáp án D sai, vì logarit hai vế với cơ số a = 2 > 1 nên không đổi chiều BPT, nhưng
biến đổi sai lầm khi rút gọn x .
Nhận xét
Đây là một câu hỏi khá hay của đề BGD, một số học sinh rất lúng túng không tìm
được cách giải thích. Một số học sinh dùng MTCT thử giá trị để tìm phương án sai
nhưng lại gặp bất lợi khi thói quen chọn x > 0 .
Ví dụ 8. Bất phương trình 4 x2 − 2( x+1) ≤ 2 x + 1 − x 2 có tập nghiệm là đoạn [ a; b ] .
2

Tính a 2 + b 2 .
A. 6

B. 1

C. 2

D. 5

Tư duy: Việc xuất hiện hàm mũ có tính chất tương tự và hàm đa thức giúp học sinh
liên hệ tới phương pháp hàm số. Đây là câu hỏi tương đối rõ ràng về phương pháp
giải toán.
Lời giải
Bpt ⇔ 22 x + 2 x 2 = 2(
2

x +1)

2

+ ( x + 1) ⇔ f ( 2 x 2 ) ≤ f

f ( t ) = 2t + t đồng biến trên R.

2

( ( x + 1) )
2

với hàm đặc trưng

11


Bpt ⇔ 2 x 2 ≤ ( x + 1) ⇔ x 2 − 2 x − 1 ≤ 0 ⇔ x ∈ [ a; b ] , a = 1 − 2, b = 1 + 2

2

Khi đó a 2 + b 2 = 6 . Do đó chọn đáp án A
Nhận xét
Bài toán này tương đối rõ ràng về phương pháp giải toán, trong thực tế học sinh
nắm vững cách nhận diện phương pháp sẽ làm rất nhanh.
Ví dụ 9. Tổng T tất cả các nghiệm của phương trình log 3 (5 − 3 x ) + x = 0 (1) là :
A. 2.

B. 0.

C. 4 .

D. 1.

Tư duy. Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi
không chú ý điều kiện xác định của logarit và cơ số logarit dẫn đến chọn phương
án sai. Chú ý đến yêu cầu của bài tốn là tính tổng các ngiệm .
Lời giải. Đk . 5 − 3 x > 0 ⇔ x < log 3 5
x
x
Ta có (1) ⇔ log 3 (5 − 3 ) = − x ⇔ 5 − 3 =

1
⇔ 32 x
x
3

 x 5 + 21
3 =

2
− 5.3 x + 1 = 0 ⇔ 
 x 5 − 21
3 =
2


3 x1 + x2 = 3 x1 .3 x2 = 1 ⇔ x1 + x 2 = log 3 1 = 0

Ví dụ 10. Tập hợp các giá trị của tham số m để phương trình 6 x + (3 − m).2 x − m = 0
có nghiệm thuộc khoảng (0; 1).
A. [ 3;4] ;

B. [ 2;4] ;

C. ( 2;4) ;

D. ( 3;4 ) .

Tư duy: Việc xuất hiện hàm mũ có tính chất tương tự ,khơng đưa được về
cùng cơ số nên giúp học sinh liên hệ tới phương pháp hàm số bằng cách cô lập
tham số .Đây là câu hỏi tương đối rõ ràng về phương pháp giải toán.
6 x + 3.2 x
B. Lời giải .Ta có 6 + (3 − m).2 − m = 0 ⇔ m = x
2 +1
x

Xét f (x) =

6 x + 3 .2 x

2x +1

x

xác định trên R , có f ' ( x) > 0 , ∀x ∈ R , nên hàm số f(x) đồng

biến trên R .

⇒ 0 < x < 1 ⇔ f (0) < f ( x ) < f (1) ⇔ 2 < f ( x) < 4 ⇒ Chọn C

Ví dụ 11. Cho a là số thực dương thỏa mãn a ≠ 1 và bất phương trình
15
2log a ( 23 x − 23 ) > log a ( x 2 + 2 x + 15 ) nhận x =
làm một nghiệm. Tìm tập
2
nghiệm của bất phương trình.

12


19 
 17 

B. S =  1; ÷
C. S =  −∞; ÷ D. S = ( 2;19 ) .
2
 2

Tư duy: Nhận thấy bất phương trình giải được bằng phương pháp biến đổi đưa về
cùng cơ số. Vấn đề cần giải quyết là cơ số như thế nào ?.

A. S = ( 2;8 )

Lời giải
Vì bpt nhận x =
2log a

15
làm một nghiệm nên:
2

299
> log
2

a

345
299
345
⇔ log a
> log a
⇔ a >1
4
2
4

2
2
Khi đó: Bpt ⇔ log a ( 23 x − 23) > log a ( x + 2 x + 15 ) ⇔ 23 x − 23 > x + 2 x + 15 .

⇔ x 2 − 21x + 38 < 0 ⇔ x ∈ ( 2;19 )
Do đó chọn đáp án D
Nhận xét
15
của bất
2
phương trình để thu được a > 1 . Một số học sinh sử dụng MTCT cũng cho kết quả
nhanh.
Bài toán này một số học sinh gặp khó khăn khi xử lí nghiệm x =

3 .GP3: Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để hỗ trợ giải toán.
Kĩ năng MTCT 1: Thử giá trị để chọn đáp án trả lời.
Ví dụ 12. Tìm tập nghiệm S của phương trình log
A. S = { 2 + 5} B. S = { 2 − 5; 2 + 5}

C. S = { 3}

2

( x − 1) + log 1 ( x + 1) = 1
2

 3 + 13 

 2 


D. S = 

Tư duy: Đây là một câu hỏi cơ bản trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng

MTCT là rất khả thi.
Hướng dẫn dùng MTCT
Bước 1: Nhập hàm số vế trái vào MTCT
Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC), thử từng đáp án để chọn phương án
trả lời. Phương án đúng là A
Nhận xét
Trong thực tế dạy học, thời gian để học sinh giải bằng MTCT và tự luận là tương
đương nhau. Nhưng sử dụng MTCT có ưu điểm hơn cho các học sinh trung bình
trở xuống, vì nếu làm tự luận các em vẫn gặp sai lầm khi không xét điều kiện xác
định cho phương trình và biến đổi sai.
13


Ví dụ 13. Đề HSG tỉnh Nghệ AN năm 2019-2020. Giải phương trình
2009 x ( x 2 + 1 − x) = 1 .
Tư duy: Đây là câu hỏi tự luận trong đề thi HSG tỉnh ,nên vấn đề tìm ra phương
pháp tư duy cho bài toán này bằng cách thử nghiệm bằng MTCT rất hiệu quả ,để
tìm ra hướng giải phù hợp cho bài tự luận .
Hướng dẫn dùng MTCT
Bước 1: Chuyển về vế trái rồi nhập hàm số vế trái vào MTCT
Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC) cho nghiệm x = 0 là nghiệm duy nhất
Lời giải. Xét
x

f ( x ) = 2009 x ( x 2 + 1 − x) − 1 ⇒ f ' ( x ) = 2009 x . ln 2009.( x 2 + 1 − x) + 2009 x .(
= 2009 x ( x 2 + 1 − x)(ln 2009 −

Vì

x2 +1 − x > 0 ⇒

1
x2 +1

1
x2 +1

x +1
2

− 1)

)

< 1 < ln 2009

⇒ f ' ( x ) > 0, ∀x ∈ R ⇒ f ( x ) đồng biến trên R.

Và f(0) = 0 . Phương trình có nghiệm duy nhất x = 0
Nhận xét. Dùng MTCT để thử nghiệm ta có thể giúp HS tư duy cách giải nhanh
hơn bằng phương pháp hàm số .
Ví dụ 14 .Biết rằng a là số thực dương sao cho bất đẳng thức 3x + a x ≥ 6 x + 9 x
đúng với mọi số thực x .Mệnh đề nào sau đây đúng ?.
A. a ∈ ( 10;12]

B. a ∈ ( 16;18]

C. a ∈ ( 14;16]

D. a ∈ ( 12;14]

Tư duy: Đây là một câu tương đối lạ và khó, việc thử giá trị bằng MTCT là cách
giải dễ nhận thấy khi làm TNKQ cho bài toán này.
Hướng dẫn dùng MTCT
x
x
x
x
x
x
x
x
Ta có: a ≥ 6 + 9 − 3 ⇔ a ≥ f ( x ) với f ( x ) = 6 + 9 − 3 ( vì có a > 1 )
x
x
x
Bước 1: Nhập hàm số f ( x ) = 6 + 9 − 3 vào MTCT

Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC):
Thay x = 1 ta được f ( 1) = 12 nên a ≥ 12
Thay x =
a

1
100

1
 1 
ta được : f 
÷ ≈ 1,029247799 nên

100
 100 

≥ 1,029247799 ⇒ a ≥ ( 1,029247799 )

100

≈ 17,8646578
14


Do đó chọn đáp án B
Nhận xét
Trong thực tế dạy học, học sinh khơng có hướng giải tự luận cho câu vận dụng cao
này. Tuy nhiên, khi sử dụng MTCT để khảo sát giá trị thì rất nhiều học sinh đi đến
được đáp án cần chọn. Việc sử dụng MTCT chọn giá trị cũng cho học sinh trải
nghiệm rất tốt, khi học sinh dùng chức năng TABLE để khảo sát giá trị f ( x ) trên
các khoảng đặc trưng khác nhau và tìm giá trị x hợp lí.
Trên cơ sở sử dụng MTCT, học sinh có lời giải tự luận như sau:
Từ thực hành MTCT dự đoán a = 18 , và tiến hành chứng minh bđt:
3x + 18 x ≥ 6 x + 9 x đúng với mọi số thực x .
x
x
x
x
x
x
x
Chứng minh: 3 − 6 + 18 − 9 ≥ 0 ⇔ 3 ( 3 − 1) ( 2 − 1) ≥ 0 (10)

Do (a) đúng với x = 0 và 3x − 1,2 x − 1 cùng dấu với mọi x khác 0 nên (10) đúng
với mọi số thực x .
Ví dụ 15. Tập hợp các giá trị m để phương trình ln(3x − mx + 1) = ln(− x 2 + 4 x − 3)
Có nghiệm là nửa khoảng [ a; b ) . Tổng a + b bằng .
A.

10
.
3

B. 4.

C.

22
.
3

D. 7 .

Tư duy: Đây là một câu hỏi về tìm giá trị tham số ,để ứng dụng được MTCT ta
đưa về bài tốn cơ lập tham số .
Lời giải :Ta có :
1 < x < 3
2

−
x
+
4

x
−
3
>
0


⇔
ln(3 x − mx + 1) = ln(− x 2 + 4 x − 3) ⇔ 
x2 − x + 4
2
3x − mx + 1 = − x + 4 x − 3
m
=

x


Xét hàm số g ( x) =

x2 − x + 4
trên khoảng ( 1; 3) bằng MTCT tìm Min ,Max của
x

g(x) trên khoảng (1;3)
Phương trình có nghiệm khi min g ( x) ≤ m < max g ( x) trên khoảng (1;3)
3 ≤ m < 4 ⇒ a + b = 7 . Chọn D.

Ví dụ 16. Số nghiệm của phương trình 2 x = 2 x + 7 là:
A.0;

B. 3;

C. 2 ;

D. 1.

Tư duy: Đây là một câu hỏi cơ bản trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng
MTCT là rất khả thi.
Hướng dẫn dùng MTCT
Bước 1: Nhập hàm số vế trái vào MTCT
15


Bước 2: Dùng chức năng thử giá trị (CALC), thử từng đáp án để chọn phương án
trả lời. Phương án đúng là C.
1

1

1

1

7600

Ví dụ 17. Số nghiệm của phương trình log x + log 2 x + log 4 x + log 8 x = 9009 ( 1)
2
2
2

2
bằng:
A.4 ; B. 3 .

C. 2 .

D.1 .

Tư duy:
Việc xuất hiện log 2 x, log 2 2 x, log 2 4 x, log 2 8 x, giúp học sinh liên hệ tới phương
pháp đặt ẩn phụ logarit t = log 2 x, với điều kiện là x > 0. Tùy kinh nghiệm học
sinh mà việc chọn cơ số thuận lợi cho biến đổi giải toán.
Lời giải
1
t

Đặt: t = log 2 x . Phương trình trở thành +

1
1
1
7600
+
+
=
(2)
t + 1 t + 2 t + 3 9009

Sử dụng chức năng SHIFT CALC của MTCT ta tìm được nghiệm của phương
trình ( 2) như sau :

t
t

t

t

= 3,5
= −0,474112585
= −1,591971642 Từ đây dễ dàng ta suy ra các nghiệm x
= −2,692336843

Khi đó : x = 0,154712659; x = 0,33717809; x = 0,719909476; x = 11,3137085 . Do đó chọn
đáp án A
Nhận xét
Bài tốn này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ
t = log 2 x, lại cho thêm điều kiện t > 0 nên chọn D là phương án sai.
Nguyên nhân là chưa nắm vững thao tác đặt ẩn phụ cho biểu thức mũ và logarit.
Bài toán cũng có thể giải được bằng máy tính cầm tay (MTCT) nhanh hơn nhiều so
với cách giải tự luận .
Như vậy MTCT khơng chỉ hỗ trợ tích cực trong giải tốn TNKQ mà trong một số
tình huống cịn định hướng giải toán tự luận.
Kĩ năng MTCT 2: Loại trừ đáp án bằng phép chọn.
Ví dụ 18. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình
log 22 x − 2log 2 x + 3m − 2 < 0 có nghiệm thực.
A. m < 1

B. m <

2

3

C. m < 0

D. m ≤ 1
16


Tư duy:
Đây là một câu hỏi trong đề thi của BGD, việc thử nghiệm bằng MTCT là có hiệu
quả cho học sinh.
Hướng dẫn dùng MTCT
Bước 1: Chọn giá trị m =

2
ta có bpt: log 22 x − 2log 2 x < 0 ⇔ 0 < log 2 x < 2 (1)
3

Thử MTCT thấy x = 2 là nghiệm nên m =

2
là một giá trị cần tìm.
3

Khi đó: Đáp án B và C bị loại
Bước 2: Chọn giá trị m = 1 ta có bpt:
log 22 x − 2log 2 x + 1 < 0 ⇔ ( log 2 x − 1) < 0
2

Bpt thu được vô nghiệm nên m = 1 khơng là giá trị cần tìm.

Khi đó: Đáp án D bị loại.
Bước 2: Đáp án chọn là A
Nhận xét
Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu điểm rõ rệt
so với cách làm tự luận. Học sinh có nhiều cách chọn cho tham số m và hình thành
kĩ năng thử ngược để loại trừ đáp án.
Ví dụ 19.Tìm các giá trị thực m để phương trình log 32 x − m log 3 x + 2m − 7 = 0 có 2
nghiệm thực x1 , x 2 thỏa mãn x1 .x 2 = 81 .
A. m = −4

B. m = 44 .

C. m = 81 .

D. m = 4

Tư duy:
Đâycũng là một câu hỏi trong đề thi của BGD năm 2017 , việc thử nghiệm bằng
MTCT là có hiệu quả cho học sinh.
Lời giải:
x1 .x 2 = 81
lấy
log
cơ
số
log 3 x1 x 2 = log 3 81 ⇔ log 3 x1 + log 3 x 2 = 4 ⇒ m = 4

Từ

Lấy m = 4

3

cả

2

thay vào pt dùng MTCT tìm nghiệm .
Kĩ năng MTCT 3: Khảo sát miền giá trị.

Ví dụ 20.. Cho phương trình 4 x +1+ 3− x − 14.2 x+1+ 3− x + 8 − m = 0 . Tìm tất cả
các giá trị thực của tham số m để phương trình có nghiệm.
A. −41 ≤ m ≤ 32.

B. −12 ≤ m ≤

13
.
9
17

vế


C. −41 ≤ m ≤ −32.

D. −12 ≤ m ≤ 1.

Tư duy: Đây là một câu hỏi mức độ Vận dụng trong đề thi của trường THPT
Lương Thế Vinh – Hà Nội năm 2018 . Việc sử dụng MTCT để giải tốn có hiệu

quả hơn giải tự luận, sau khi học sinh biết cô lập tham số.
Hướng dẫn dùng MTCT
Cô lập tham số ta được: m = f ( x )
Bước 1: Mở chức năng TABLE trong MTCT và nhập hàm
f ( X) =4

X +1+ 3− X

− 14.2

X +1+ 3− X

+8

Chọn: Start: X = −1 , End : X = 3 , Step:

4
29

Bước 2: Căn cứ bảng giá trị trên MTCT ta thu được: a ≤ m ≤ b.
a ≈ −40,99999983 , b = −32 . Do đó chọn phương án C
Nhận xét
Trong thực tế dạy học, đây là câu hỏi mà việc giải bằng MTCT có ưu điểm rõ
rệt so với cách làm tự luận. Một số học sinh thực hiện hai lần quy trình trên khi
thêm bước ẩn phụ t = x + 1 + 3 − x để đơn giản khi dùng MTCT.
Ví dụ 21 . Cho phương trình 2 x + m = log 2 ( x − m) ,m là tham số . Có bao nhiêu giá
trị nguyên m ∈ ( − 18;18) để phương trình đã cho có nghiệm .
A.17.

B. 18.

C. 9 . D. 19.

Tư duy: Đây là một câu hỏi mức độ Vận dụng trong đề thi THPTQG năm 2018 .
Việc khảo sát miền giá trị để giải tốn có hiệu quả hơn sau khi học sinh biết cô lập
tham số.
Lời giải .Đk x ≥ m
2 x + m = t
⇒ 2 x + x = 2 t + t (1)
Đặt t = log 2 ( x − m) ⇒  t
2 + m = x

Do hàm số f (u ) = 2 u + u đồng biến trên R, nên t = x ⇒ m = x − 2 x
Khảo sát miền giá trị của hàm số g ( x) = x − 2 x bằng MTCT thấy g ( x) ≤ − 0,914
Do m nguyên thuộc khoảng ( -18; 18 ) nên m ∈ { − 17,−16,..... − 1} có 17 giá trị thỏa
mãn.
4 .GP4: Kĩ thuật “chuyển về phương trình”.
Giải bất phương trình bằng kĩ thuật “chuyển về phương trình” được thực hiện
theo thuật tốn sau:
Bước 1: Tìm tập xác định D của bpt.
18


Chuyển bpt về dạng: f ( x) ≥ 0 (hoặc dạng tương ứng)
Bước 2: Giải phương trình f ( x) = 0
Bước 3: Xét dấu của f ( x) trên tập xác định D dựa vào định lí (*).
Kết luận nghiệm cho bài tốn.

(

)

3
3
Ví dụ 22.Giải bất phương trình: log x + log x + 35 − x > log 3

tập nghiệm là khoảng ( a; b ) . Tính S = a 3 + 2b 2
A. S = 8 .

B. S = 26 .

C. S = 10 .

30
35 − x3

ta được

D. S = 28 .

Tư duy: Bài toán này nếu giải trực tiếp bpt thì phải xét điều kiện và việc giải bpt

(

)

3
3
3
3

thu được: x. 35 − x x + 35 − x > 30 cũng gặp nhiều khó khăn và tốn thời gian

nhiều. Dùng kĩ thuật “chuyển về phương trình”, việc giải tốn nhẹ nhàng và thích
hợp với thi TNKQ.
Lời giải
Bước1: Tập xác định bpt: D = ( 0; +∞ )

(

)

(

)

30
bpt ⇔ log  x x + 3 35 − x 3  > log
⇔ x 3 35 − x 3 x + 3 35 − x 3 − 30 > 0

3

35 − x3

(

)

⇔ f ( x ) > 0 , với f ( x ) = x 3 35 − x 3 x + 3 35 − x3 − 30 trên D = ( 0; +∞ )

(

)

3
3
3
3
Bước 2: Giải phương trình: x. 35 − x x + 35 − x − 30 = 0 .

Đặt : y = 3 35 − x 3 .
 xy ( x + y ) = 30  xy ( x + y ) = 30
 xy = 6
⇔
⇔
Ta có hệ pt:  3


3
3
( x + y ) − 3xy ( x + y ) = 35  x + y = 5
 x + y = 35
x = 2
x = 3
Khi đó: 
hoặc 
y = 3
y = 2
Giải và kiểm tra, ta được nghiệm phương trình f ( x) = 0 là: x = 3 và x = 2
Bước 3: Lập bảng xét dấu của f ( x) trên D = ( 0; +∞ )
x

f(x)

0

2
−

0

+∞

3
+

0

−

Căn cứ bảng xét dấu, Tập nghiệm của bpt là: ( 2;3)
Do đó chọn đáp án B
19


Nhận xét
Đây là một kĩ thuật giải toán nhanh bpt, rất phù hợp với thi TNKQ. Qua kĩ thuật
này, thực sự học sinh thấy được mối quan hệ biện chứng giữa pt và bpt.
Từ bài giải, học sinh có thể đọc được tập nghệm của bpt còn lại một cách nhanh
chóng và nhận thấy việc giải bpt thực chất là xét dấu của biểu thức tương ứng trên
tập xác định.
5 GP5: Hướng dẫn học sinh xử lí các bài tốn chứa tham số .

Hướng xử lí 1: Các bài tốn xử lí bằng MTCT.
Bài tốn xuất hiện với các phương án chọn có dạng đáp số, thay vì giải trực tiếp
chúng ta có thể dùng MTCT để xử lí (Xem 3). Hướng xử lí này sẽ khơng thực hiện
được nếu bài tốn có đáp án dạng gián tiếp.
Hướng xử lí 2: Cơ lập tham số
Đây là hướng xử lí cho lớp bài tốn có thể độc lập tham số và việc giải tốn có thể
quy về khảo sát hàm số. Dạng này xuất hiện rất nhiều trong các đề thi.
Ví dụ 23. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m ∈ [ 0;10] để tập nghiệm của
log 22 x + 3log 1 x 2 − 7 < m ( log 4 x 2 − 7 ) chứa khoảng ( 256;+∞ ) ?.

bất phương trình

2

A. 7.

B. 10.

C. 8.
D. 9.
Tư duy: Bài tốn có thể cơ lập được tham số m , và để bài toán đơn giản nên sử
dụng phép ẩn phụ t = log 2 x .
Lời giải
Đặt: t = log 2 x . Khi đó: x ∈ ( 256; +∞ ) ⇔ t ∈ ( 8; +∞ )
Bpt trở thành:
Hàm số f ( t ) =

t +1
t 2 − 6t − 7
⇔m>

(*)
t − 6t − 7 < m ( t − 7 ) ⇔ m >
t −7
t −7
2

t +1
nghịch biến trên [ 8;+∞ )
t −7

Suy ra: f ( t ) ≤ 3, ∀t ∈ [ 8; +∞ ) ⇒ f ( t ) < 3, ∀t ∈ ( 8; +∞ )
Do đó m ≥ 3 nên chọn đáp án C
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ
t = log 2 x mà không hạn chế lại cho t và không cô lập tham số để giải toán.

20


Ví dụ 24. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình
9 x − 8.3x + 3 = m có đúng hai nghiệm thuộc khoảng ( log 3 2;log 3 8 ) .
A. 4

B. 16

C. 5

D. 17

Tư duy: Bài tốn cơ lập được tham số m , và để bài toán đơn giản nên sử dụng

phép ẩn phụ t = 3x .
Lời giải
Đặt: t = 3x . Khi đó: x ∈ ( log 3 2;log 3 8 ) ⇔ t ∈ ( 2;8 ) . Pt trở thành: m = t 2 − 8t + 3 .
2
Hàm sô f ( t ) = t − 8t + 3 trên [ 2;8] có bảng biến thiên:

x

2

f '( x )

4

8

0
3

f ( x)

-9

-13
Căn cứ bbt, yêu cầu bài toán ⇔ −13 ≤ m < −9
Do đó m có 4 giá trị nguyên thỏa mãn nên chọn đáp án C
Nhận xét
Bài toán này trong thực tế giảng dạy, một số học sinh gặp sai lầm khi đặt ẩn phụ
t = 3x mà không hạn chế lại cho t và chỉ đặt điều kiện cho phương trình có hai
nghiệm phân biệt bằng biệt thức ∆ .

Ví dụ 25. Tập hợp các giá trị m để phương trình 16 x − 2(m − 3)4 x + 3m + 3 = 0 có
nghiệm là:


1

A.  − ∞;−  ∪ [ 8;+∞)
3

1

C.  − ∞;−  ∪ ( 8;+∞)


3




1
3

B.  − ∞;−  ∪ [ 8;+∞)
D. ( − ∞;−1) ∪ [ 8;+∞)

Tư duy: Bài tốn tương tự ví dụ 22 sử dụng cơ lập được tham số m , và để bài
toán đơn giản nên sử dụng phép ẩn phụ t = 4 x .
Lời giải . Đặt: t = 4 x . Pt trở thành: t 2 − 2(m − 3)t + 3m + 3 = 0 .
Vì t = −

3
t 2 + 6t + 1
, t >0
không phải là nghiệm ⇒ m =
2
2t − 3

21


Xét f (t ) =

t 2 + 6t + 1
, t > 0 ta có bảng biến thiên
2t − 3

t

0

1,5

+∞

5

f’(t)
+∞
f(t)

−

+∞

1
3

8
-∞



1
3

Căn cứ bbt, yêu cầu bài toán m ∈  − ∞;−  ∪ [ 8;+∞) . Chọn đáp án B
Hướng xử lí 3: Xây dựng các điều kiện cho tham số.
Ví dụ 26. Có bao nhiêu giá trị ngun của tham số m để phương trình
( m + 1) .16 x − 2 ( 2m − 3) .4 x + 6m + 5 = 0 có hai nghiệm thực trái dấu.
A.1

B. 0

C. 2

D. 4

Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn
phụ dạng mũ: t = 4 x .
Lời giải

2
Đặt: t = 4 x . Pt trở thành: ( m + 1) t − 2 ( 2m − 3) t + 6m + 5 = 0 . (15)

Giả sử : x1 < 0 < x2 ⇔ 0 < t1 < 1 < t2
Yêu cầu bài toán ⇔ pt(15) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 0 < t1 < 1 < t2
a ≠ 0

⇔ ∆ > 0, S > 0, P > 0 ⇔ m ∈ ( −4; −1)
( t − 1) ( t − 1) < 0
1
 1
Do đó m có 2 giá trị nguyên thỏa mãn nên chọn đáp án C
Nhận xét
Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ
trong phép ẩn phụ dạng mũ. Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây
dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ.

22


Ví dụ 27. Giá trị thực của tham số m để phương trình log 32 x − 3log 3 x + 3m − 5 = 0
có hai nghiệm thực x1 , x2 thỏa mãn ( x1 + 3) ( x2 + 3) = 72 thuộc khoảng nào sau đây?
 5 
A.  − ;0 ÷
 3 

 5
B.  0; ÷
 3

 5 10 
C.  ; ÷
3 3 

 10 
D.  ;5 ÷
 3 

Tư duy: Bài tốn này cần xây dựng mối liên hệ giữa t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn
phụ dạng logarit: t = log 3 x .
Lời giải
Đặt: t = log 3 x . Pt trở thành: t 2 − 3t + 3m − 5 = 0 . (16)
Ta có: t = log 3 x ⇔ x = 3t

x1.x2 = 3t1.3t2 = 3t1 +t2 = 33 = 27 và x1 + x2 = 3t1 + 3t2 = 3t1 + 33−t1
t
3−t
Khi đó: ( x1 + 3) ( x2 + 3) = 72 ⇔ x1 x2 + 3 ( x1 + x2 ) = 63 ⇔ 3 1 + 3 1 = 12

Yêu cầu bài tốn ⇔ pt(16) có nghiệm t1 , t2 thỏa mãn 3t1 + 33−t1 = 12
∆ ≥ 0
t
3−t
⇔ t
. Mà: 3 1 + 3 1 = 12 ⇔ t1 = 1 hoặc t1 = 2 .
3−t1
1
3 + 3 = 12
7
Khi đó ta thu được m = . Do đó chọn đáp án C

3
Nhận xét
Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ
trong phép ẩn phụ dạng mũ. Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây
dựng điều kiện cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ.
Ví dụ 28. Số các gía trị thực m ngun để phương trình sau có 2 nghiệm dương
x
phân biệt m log 2 (3 + 3) + (m − 5) log 3 +3 2 + 2(m − 1) = 0 (1) là :
x

A.4.

B. vô số

C. 2 .

D. 0.

Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn
phụ dạng logarit: t = log 2 (3 x + 3) .
Lời giải.
Đặt t = log 2 (3 x + 3) ,điều kiện t > log 2 3

⇒ log 3x +3 2 =

1
t

Phương trình có dạng . f(t)= mt 2 + 2(m − 1)t + m − 5 = 0 (2)
Vì x > 0 ⇒ 3 x > 1 ⇒ 3 x + 3 > 4 ⇒ t > 2

Để pt(1) có 2 nghiệm dương phân biệt thì pt (2) có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn 2

23



∆ ' > 0

⇔ a. f (2) > 0
S
 >0
2

không có giá trị m thỏa mãn . Chọn D.

Nhận xét
Đây là bài toán mà việc xây dựng điều kiện cho bài toán làm nổi bật mối liên hệ
trong phép ẩn phụ dạng mũ. Học sinh rất dễ mắc sai lầm khi chuyển qua điều kiện
cho ẩn phụ t . Qua bài toán giúp học sinh hiểu rõ bản chất khi xây dựng điều kiện
cho tham số với phương trình, bất phương trình mũ.
Ví dụ 29. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình
3
3m + 27 3 3m + 27.2 x = 2 x có nghiệm thực?
A. 6.

B. 4.

C. Vô số.

D. Không tồn tại m.

Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa nghiệm x và nghiệm u = 2 x
Hướng dẫn giải
Ta có 3 3m + 27 3 3m + 27.2 x = 2 x ⇔ 27 3 3m + 27.2 x = 23 x − 3m.

( 1)

Đặt 2 x = u, điều kiện: u > 0 và 3 3m + 27.2 x = v ⇒ v3 = 3m + 27.u.
3
(1) trở thành u = 27v + 3m.

( 2)

( 3)

3
3
2
2
Từ (3) và (2) suy ra u − 27v = v − 27u ⇔ ( u − v ) . ( u + uv + v + 27 ) = 0

⇔ u = v.
1 2 3v 2
2
2
u
+
uv
+
v

+
4
=
(
u
+
v) +
+ 27 > 0, ∀ u, v ∈ R nên
Do
2
4
3

3m + 27u = u ⇔ m =

Xét hàm số f ( u ) =
Ta có f ′ ( u ) =

u 3 − 27u
, với u > 0.
3

u 3 − 27u
với u > 0.
3

1
3u 3 − 27 ) ; f ′ ( u ) = 0 ⇔ u = 3 do u > 0.
(
3

f ( u ) = −54. Do đó có vơ số giá trị ngun của m để phương trình có
Suy ra (min
0;+∞ )
nghiệm thực.

Chọn C.
Nhận xét
24


Đây là bài toán ở cấp độ vận dụng cao ,học sinh vận dụng ẩn phụ đưa về hệ
phương trình ,cơ lập tham số m để tìm miền giá trị của hàm số .
Ví dụ 30. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để phương trình
2.4 x −1 − 5.2 x −1 + m = 0, ( *) có nghiệm?
A. 3.

B. 0.

C. 1.

D. 4.

Tư duy: Bài toán này cần xây dựng mối liên hệ giữa t1 , t2 với x1 , x2 qua phép ẩn
phụ dạng t = 2 x −1
Hướng dẫn giải
Đặt t = 2

x −1

, điều kiện t ≥

1
vì
2

x − 1 ≥ −1.

2
Khi đó ( *) ⇔ 2t − 5t = −m.

1



Xét hàm số y = −2t 2 + 5t trên  ; +∞ ÷. Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để tìm
2

miền giá trị của hàm số y
Do đó phương trình có nghiệm khi m ≤

25
.
8

Chọn A.
Ví dụ 31. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để bất phương trình
m.9 x − ( 2m + 1) .6 x + m.4 x ≤ 0 nghiệm đúng với mọi x ∈ ( 0;1) ?
A. 8.

B. Vô số.

C. 5.

D. 6.

Tư duy : Đây là 1 ví dụ tương tự cho bất phương trình mũ mà khi tìm tập nghiệm
bằng phép đặt ẩn phụ phải tìm điều kiện cho ẩn phụ ,1 điều mà học sinh hay mắc
sai lầm khi giải các bài tốn tham số .

Hướng dẫn giải
x

x

9
3
Ta có m.9 − ( 2m + 1) .6 + m.4 ≤ 0 ⇔ m.  ÷ − ( 2m + 1) .  ÷ + m ≤ 0.
4
2
x

x

x

x

3

3
Đặt t =  ÷ vì x ∈ ( 0;1) nên 1 < t < .
2
2
t

2
Khi đó bất phương trình trở thành m.t − ( 2m + 1) .t + m ≤ 0 ⇔ m ≤ t − 1 2 .
( )

t

3
Đặt f ( t ) = t − 1 2 với 1 < t < .
( )
2

Hướng dẫn học sinh sử dụng MTCT để tìm miền giá trị của hàm số f(t)
25