rèn luyện cho học sinh tư duy giải toán khoảng cách trong không gian theo những định hướng khác nhau

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH TƯ DUY GIẢI TỐN
KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN THEO NHỮNG
ĐỊNH HƯỚNG KHÁC NHAU

Mơn: Toán.

Tháng 3 năm 2021


SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT ANH SƠN I

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

TÊN ĐỀ TÀI:

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH TƯ DUY GIẢI TỐN
KHOẢNG CÁCH TRONG KHƠNG GIAN THEO NHỮNG
ĐỊNH HƯỚNG KHÁC NHAU

Mơn: Tốn.
Họ và tên: Hồ Sỹ Trung
Tổ: Toán - Tin
\

Anh Sơn, tháng 3 năm 2021


MỤC LỤC
Trang
Nội dung
PHẦN 1. MỞ ĐẦU ............................................................................................................
1
PHẦN II. PHẦN NỘI DUNG ...........................................................................................
3
3
I. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN .............................................................
1.1 Tư duy ......................................................................................................................
3
1.1.1 Khái niệm về tu duy ..........................................................................................
3
1.1.2 Đặc điểm tư duy ................................................................................................
3
1.1.3 Các thao tác tư duy ...........................................................................................
4
1.1.4 Các loại hình tư duy ..........................................................................................
5
1.2 Một số định hướng tính khoảng cách trong khơng gian ...........................................
6
1.2.1 Tính khoảng cách theo định nghĩa ....................................................................
6
1.2.2 Sử dụng công thức chuyển đổi về khoảng cách ................................................
10
1.2.3 Sử dụng tứ diện vng ......................................................................................
10

1.2.4 Sử dụng cơng thức tính thể tích ........................................................................
10
1.2.5 Tính khoảng cách theo phương pháp sử dụng tích có hướng............................
11
1.2.6 Tính khoảng cách dựa vào phương trình mặt phẳng, đường thẳng...................
11
1.3 Thực tiễn dạy học nội dung khoảng cách tại trường ................................................
11
II. GIẢI PHÁP RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH ........................................
15
2.1 Rèn luyện tư duy trí tuệ ............................................................................................
15
2.1.1 Rèn luyện tư duy phân tích – tổng hợp .............................................................
15
2.1.2 Rèn luyện tư duy tương tự hố, trừu tượng hóa, khái quát
26
hóa .........................
2.2 Rèn luyện tư duy phê phán .........................................................................
2.2.1 Rèn luyện tư duy tự đặt câu hỏi liên quan đến bài tốn ..........................
2.2.2 Học sinh trình bày lời giải, nhận xét và đánh giá kết quả .......................
2.3. Rèn luyện tư duy sáng tạo ...............................................................................
Khuyến khích học sinh tìm ra nhiều cách
giải 2.3.1.
.........................................

33
33
37
38

Rèn luyện phát triển bài toán và xây dựng các bài toán
mới 2.3.2.
......................
2.3.3 Tư duy sơ đồ......................................................................................................
2.4 Kết quả đề tài ............................................................................................................
2.4.1 Thực nghiệm Sư phạm ......................................................................................
2.4.2 Xử lí kết quả thực nghiệm ..............................................................................
2.4.3 Kết luận thực nghiệm ........................................................................................
PHẦN 3. KẾT LUẬN ........................................................................................................
1. Quá trình nghiên cứu của đề tài ....................................................................................
2. Ý nghĩa của đề tài .........................................................................................................
3. Kiến nghị đề xuất ..........................................................................................................
Tài liệu tham khảo ...............................................................................................................

40

39
42
46
46
50
50
50
52
52
52
54


DANH MỤC VIẾT TẮT TRONG ĐỀ TÀI

TT

Cụm từ

Được viết tắt bằng

1

Giáo dục đào tạo

GD&ĐT

2

Phương pháp dạy học

3

Dạy học

DH

4

Kỹ năng

KN

5

Sách giáo khoa

SGK

6

Giáo viên

GV

7

Học sinh

HS

8

Trung học phổ thông

9

Mặt phẳng

10

Đại học – Cao đẳng

PPDH

THPT
mp
ĐH - CĐ


PHẦN 1. MỞ ĐẦU
Đào tạo những người phát triển toàn diện, có tư duy sáng tạo, có năng lực
thực hành giỏi, có khả năng đáp ứng địi hỏi ngày càng cao trước u cầu đẩy
mạnh cơng nghiệp hóa – hiện đại hóa gắn với phát triển nền kinh tế tri thức và
xu hướng tồn cầu hóa là nhiệm vụ cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện
nay. Để thực hiện được nhiệm vụ đó thì sự nghiệp giáo dục cần được đổi mới.
Cùng với những thay đổi về nội dung, cần có những đổi mới căn bản về tư duy
giáo dục và phương pháp dạy học, trong đó phương pháp dạy học mơn tốn là
một yếu tố quan trọng. Bởi vì tốn học có liên quan chặt chẽ với thực tế và có ứng
dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ, sản xuất
và đời sống xã hội hiện đại, nó thúc đẩy mạnh mẽ các q trình tự động hóa sản
xuất, trở thành công cụ thiết yếu cho mọi ngành khoa học và được coi là chìa
khóa của sự phát triển.
Trong việc tiếp cận chương trình trung học phổ thơng mới, việc rèn luyện tư
duy, kỹ năng cho học học sinh có vai trị quan trọng vì đó là một trong các mục tiêu
dạy học. Đổi mới phương pháp giảng dạy để thích hợp với chương trình trung học
phổ thơng mới, là việc thay vì nặng về các kiến thức hàn lâm mà cần chú trọng đến
việc giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo. Rèn luyện tư duy, kỹ năng giải
tốn cho học sinh có tác dụng phát huy tính chủ động sáng tạo. Phát triển tư duy
cho học sinh, để gây hứng thú học tập, từ đó yêu cầu học sinh có kỹ năng vận dụng
kiến thức đã học vào tình huống mới, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề,
có năng lực độc lập suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp
tự học tối ưu.
Tốn học ngày càng có nhiều ứng dụng trong cuộc sống, những kiến thức và
kĩ năng toán học cơ bản đã giúp con người giải quyết các vấn đề trong thực tế cuộc

sống một cách có hệ thống và chính xác, góp phần thúc đẩy xã hội phát triển. Mặt
khác muốn học tốt Tốn thì cần có một tư duy tốt, kỹ năng này khơng phải là bẩm
sinh mà là do quá trình rèn luyện của não bộ mà thành.
Thực tế, không phải trẻ thông minh thì tự khắc tư duy giỏi; ngược lại, trẻ kém
thơng minh có thể khơng bao giờ tư duy giỏi; trẻ thông minh không cần kỹ năng tư
duy... Tuy nhiên, tiến sĩ Robert Sternberg - chuyên gia trí tuệ con người nổi tiếng
thế giới với khái niệm “Trí tuệ thành cơng” khẳng định: “Chỉ số thông minh (IQ)
cao, kết quả học tập tốt hoặc tấm bằng đại học danh giá vẫn chưa đủ. Nếu như bạn
khơng có tư duy sáng tạo thì sẽ rất khó khăn để bạn thành cơng". May mắn hơn trí
thơng minh thiên bẩm, kỹ năng tư duy có thể học được, thậm chí thành thục nếu
kiên trì rèn luyện thông qua các phương pháp khoa học, trong đó Tốn học là
phương pháp gần gũi và hữu hiệu.

1


Mơn Tốn ở trường phổ thơng góp phần hình thành và phát triển các phẩm chất
chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học cho học sinh; phát triển kiến thức, kĩ
năng then chốt và tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào
thực tiễn; Mơn Tốn góp phần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực toán
học bao gồm các thành phần cốt lõi sau: năng lực tư duy và lập luận tốn học; năng
lực mơ hình hố tốn học; năng lực giải quyết vấn đề toán học; năng lực giao tiếp
tốn học; năng lực sử dụng cơng cụ, phương tiện học tốn.
Mặt khác một trong các mơn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức
tính, phẩm chất của người lao động mới là mơn hình học khơng gian – lớp 11. Như
chúng ta đã biết, hình học khơng gian là mơn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung
phong phú, là môn học giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng khơng gian, phát
triển tư duy logic – khoa học. Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy có nhiều học
sinh khơng hứng thú với mơn học này, kết quả học tập của mơn học chưa cao. Lí do
vì sao? Có nhiều ngun nhân: Do học sinh lười tư duy nên nghĩ rằng mơn hình học

khơng gian rất trừu tượng, khó học, địi hỏi tính sáng tạo cao. Do giáo viên chưa có
phương pháp truyền đạt nội dung kiến thức phù hợp với nội dung bài dạy và năng
lực nhận thức của học sinh cũng như chưa trang bị tốt cho học sinh những thuật toán
cho các bài giải và chưa truyền được ngọn lửa u thích mơn học cho học sinh….
Xuất phát từ những lí do trên, tôi đã chọn đề tài: “rèn luyện cho học sinh tư
duy giải tốn khoảng cách trong khơng gian theo những định hướng khác
nhau”. Việc đưa rèn luyện tư duy sẽ được phát triển và tự phát triển nhiều năng lực
như năng lực giao tiếp; năng lực tự học, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo,…
Đó cũng là những năng lực chung và năng lực đặc thù của môn Tốn mà giáo viên
cần hình thành cho học sinh, nhằm đáp ứng được yêu cầu đặt ra của chương trình
giáo dục phổ thông mới.
Trong sáng kiến kinh nghiệm này, tôi trình bày những kinh nghiệm cá nhân về
rèn luyện cho học sinh tư duy, rèn các kỹ năng giải toán. Nhằm giúp học sinh phát
huy được tính sáng tạo, có nhiều sự lựa chọn, nhiều phương án để giải quyết vấn đề,
lựa chọn được phương án tối ưu nhất để giải các bài toán cũng như các vấn đề trong
cuộc sống. Qua đây, tơi mong muốn đóng góp vào việc nâng cao chất lượng mơn
học Tốn, hình thành cho học sinh những năng lực chung và năng lực chuyên biệt
trong mơn Tốn nhằm đáp ứng u cầu định hướng của chương trình giáo dục phổ
thơng mới.

2


PHẦN II. PHẦN NỘI DUNG
I- CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ CƠ SỞ THỰC TIỄN
1.1 Tư duy
1.1.1 Khái niệm về tư duy
Tư duy là quá trình tâm lý thuộc nhận thức lý tính là một mức độ nhận thức
mới về chất so với cảm giác và tri giác. Tư duy phản ánh những thuộc tính bên
trong, bản chất, những mối liên hệ có tính quy luật của sự vật, hiện tượng trong hiện

thực khách quan mà trước đó ta chưa biết. Theo từ điển Triết học: “Tư duy, sản
phẩm cao nhất của vật chất được tổ chức một cách đặc biệt là bộ não, là q trình
phản ánh tích cực thế giới quan trong các khái niệm, phán đốn, lí luận. Tư duy xuất
hiện trong quá trình hoạt động sản xuất của con người và đảm bảo phản ánh thực tại
một cách gián tiếp, phát hiện những mối liên hệ hợp quy luật. Tư duy chỉ tồn tại
trong mối liên hệ không thể tách rời khỏi hoạt động lao động và lời nói, là hoạt động
chỉ tiêu biểu cho xã hội loài người cho nên tư duy của con người được thực hiện
trong mối liên hệ chặt chẽ với lời nói và những kết quả của tư duy được ghi nhận
trong ngôn ngữ. Tiêu biểu cho tư duy là những quá trình như trừu tượng hố, phân
tích tổng hợp, việc nêu lên là những vấn đề nhất định và tìm cách giải quyết chung,
việc đề xuất những giả thuyết, những ý niệm. Kết quả của quá trình tư duy bao giờ
cũng là một ý nghĩ nào đó”.
1.1.2 Đặc điểm tư duy
Tư duy do con người tiến hành với tư cách là chủ thể có những đặc
điểm cơ bản sau:
+ Tính có vấn đề của tư duy. Tư duy chỉ nảy sinh khi gặp hồn cảnh có vấn đề.
Đó là những tình huống mà ở đó chỉ nảy sinh những mục đích mới, và những
phương tiện, phương pháp hoạt động cũ đã có trước đây trở nên khơng đủ để đạt
được mục đích đó. Nhưng muốn kích thích được tư duy thì hồn cảnh có vấn đề
phải được cá nhân nhận thức đầy đủ, được chuyển thành nhiệm vụ tư duy của cá
nhân, nghĩa là phải xây dựng được cái gì đã biết, cái gì chưa biết, cần phải tìm và có
nhu cầu tìm kiếm.
+ Tính gián tiếp của tư duy. Tư duy phản ánh sự vật hiện tượng một cách gián
tiếp bằng ngôn ngữ. Tư duy được biểu hiện bằng ngôn ngữ. Các quy luật, quy tắc,
các sự kiện, các mối liên hệ và sự phụ thuộc được khái quát và diễn đạt trong các từ.
Mặt khác những phát minh, những kết quả tư duy của người khác, cũng như kinh
nghiệm cá nhân của con người đều là những công cụ để con người tạo ra cũng giúp
chúng ta hiểu biết được những hiện tượng có trong hiện thực mà khơng thể tri giác
chúng một cách trực tiếp được.
3

+ Tính trừu tượng và khái quát của tư duy. Tư duy có khả năng tách trừu tượng
khỏi sự vật hiện tượng, những thuộc tính, những dấu hiệu cụ thể cá biệt, chỉ giữ lại
những thuộc tính thuộc bản chất nhất, chung cho nhiều sự vật hiện tượng rồi trên cơ
sở đó khái quát các sự vật và hiện tượng riêng lẻ khác nhau, nhưng có những thuộc
tính bản chất vào một nhóm, một loại phạm trù, nói cách khác tư duy mang tính chất
trừu tượng hóa và khái qt hóa. Nhờ đặc điểm này mà con người có thể nhìn vào
tương lai.
+ Tư duy có quan hệ chặt chẽ với ngôn ngữ. Tư duy của con người gắn liền với
ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện biểu đạt các quá trình và kết quả của tư
duy. Tư duy của con người khơng thể tồn tại ngồi ngơn ngữ được, ngược lại ngơn
ngữ cũng khơng thể có được nếu không dựa vào tư duy. Tư duy và ngôn ngữ thống
nhất với nhau nhưng không đồng nhất với nhau không thể tách rời nhau được.
+ Tư duy có mối quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính. Mối quan hệ này là
mối quan hệ hai chiều: Tư duy được tiến hành trên cơ sở những tài liệu nhận thức
cảm tính mang lại, kết quả của tư duy được kiểm tra bằng thực tiễn dưới hình thức
trực quan, ngược lại tư duy và kết quả của nó có ảnh hưởng đến q trình nhận thức
cảm tính. Những đặc điểm trên đây cho thấy tư duy là sản phẩm của sự phát triển
lịch sử - xã hội mang bản chất xã hội.
1.1.3 Các thao tác của tư duy
a. Các giai đoạn hoạt động của tư duy
Mỗi hành động tư duy là một quá trình giải quyết một nhiệm vụ nào đấy, nảy
sinh trong quá trình nhận thức hay hoạt động thực tiễn của con người. Tư duy là một
hoạt động trí truệ có các giai đoạn sau:
Giai đoạn 1: Xác định vấn đề và biểu đạt vấn đề;
Giai đoạn 2: Huy động các tri thức, kinh nghiệm;
Giai đoạn 3: Sàng lọc các liên tưởng và hình thành giả thuyết;
Giai đoạn 4: Kiểm tra giả thuyết;
Giai đoạn 5: Giải quyết nhiệm vụ đặt ra.

b. Các thao tác tư duy
Các giai đoạn của tư duy mới chỉ phản ánh được mặt bên ngoài, cấu trúc bên
ngồi của tư duy. Cịn nội dung bên trong nó diễn ra các thao tác trí tuệ, thao tác tư
duy là những quy luật bên trong của tư duy. Có các thao tác sau:
+ Phân tích và tổng hợp.
Phân tích là tách (trong tư tưởng) một hệ thống thành những vật, tách
một vật thành những bộ phận riêng lẻ. Tổng hợp là liên kết (trong tư tưởng) những
4


bộ phận thành một vật, liên kết nhiều vật thành một hệ thống. Phân tích và tổng hợp
là hai hoạt động trí tuệ trái ngược nhau nhưng lại là hai mặt của một quá trình thống
nhất.
+ So sánh và tương tự.
So sánh là sự xác định bằng trí óc giống hay khác nhau, sự đồng nhất hay
không đồng nhất, sự bằng nhau hay không bằng nhau giữa các sự vật hiện tượng.
Tương tự là sự phát hiện bằng trí óc sự giống nhau giữa các đối tượng để từ
những sự kiện đã biết của đối tượng này dự đoán những sự kiện đối với các đối
tượng kia.
+ Trừu tượng hóa.
Trừu tượng hóa là tách những đặc điểm bản chất khỏi những đặc điểm không
bản chất (sự phân biệt bản chất với không bản chất ở đây mang ý nghĩa tương đối,
nó phụ thuộc vào mục đích hành động).
+ Khái qt hóa và đặc biệt hóa.
Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đối tượng sang một tập hợp lớn hơn
chứa tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số đặc điểm chung của các phần tử
trong tập hợp xuất phát. Như vậy, trừu tượng hóa là điều kiện cần của khái quát hóa.
Đặc biệt hóa là chuyển từ việc khảo sát một tập hợp các đối tượng đã cho sang
việc khảo sát một tập hợp đối tượng nhỏ hơn chứa trong tập hợp ban đầu.
Khái quát hóa và đặc biệt hóa là hai mặt đối lập của một quá trình tư duy thống

nhất.
1.1.4 Các loại hình tư duy
Trong quá trình học thì cái mà học sinh lĩnh hội được đó là cách tư duy. Qua
q trình tư duy con người ý thức nhanh chóng, chính xác đối tượng cần lĩnh hội,
mục đích cần đạt được và con đường tối ưu đạt được mục đích đó. Khi có kỹ năng
tư duy thì người học có thể vận dụng để nghiên cứu các đối tượng khác. Điều cần
thiết trong tư duy là nắm được bản chất của sự vật, hiện tượng từ đó vận dụng vào
các tình huống khác nhau một cách sáng tạo. Thông qua hoạt động tư duy người học
có thể phát hiện ra vấn đề và đề xuất hướng giải quyết; biết phân tích, đánh giá các
quan điểm, các phương pháp của người khác đồng thời đưa ra ý kiến chủ quan, nêu
ra lí do, nội dung để bảo vệ quan điểm của mình.
Trong quá trình học, học sinh có thể được trang bị, rèn luyện và phát triển các
loại tư duy:
+ Tư duy độc lập.
Trong quá trình học tập, học sinh có thể được rèn luyện tư duy độc lập khi
được thực hiện các nhiệm vụ vừa sức với mình. Từ đó gây hứng thú học tập cho học
5


sinh đồng thời tạo điều kiện cho học sinh nắm bắt vấn đề một cách tự nhiên theo
đúng quy luật của q trình nhận thức. Tính độc lập của tư duy thể hiện ở khả năng
tự mình phát hiện vấn đề, tự mình xác định phương hướng, tìm ra cách giải quyết,
tự mình kiểm tra và hồn thiện kết quả đạt được.
+ Tư duy logic.
Tư duy logic là tư duy chính xác theo các quy luật và hình thức, khơng phạm
phải sai lầm trong lập luận, biết phát hiện ra những mâu thuẫn. Do đặc điểm của
khoa học Toán học, mơn Tốn có tiềm năng quan trọng có thể khai thác để rèn luyện
cho học sinh tư duy logic.
+ Tư duy trừu tượng.
Phát triển tư duy trừu tượng cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng. Tư duy

trừu tượng được biểu hiện ở sự đi sâu suy nghĩ, ở trí tưởng tượng, ở việc nắm vững
bản chất và quy luật của các vấn đề toán học, vận dụng một cách sáng tạo vào giải
quyết vấn đề trong thực tiễn.
+ Tư duy biện chứng.
Tất cả các sự vật và hiện tượng đều xảy ra trong một quy luật biện chứng. Do
đó, cần xem xét sự vật và hiện tượng trong mối quan hệ biện chứng, có tính quy
luật. Việc rèn luyện tư duy biện chứng cho học sinh cũng là một nhiệm vụ của môn
học.
+ Tư duy phê phán.
Trong quá trình học tập, tư duy phê phán sẽ giúp cho người học ln tìm được
hướng đi mới trong suy nghĩ và hành động, tránh rập khn, máy móc.
+ Tư duy sáng tạo.
Tư duy sáng tạo là một hình thức tư duy cao nhất trong quá trình tư duy, việc
tư duy sáng tạo giúp cho người học khơng bị gị bó trong khơng gian tri thức của
người thầy đặt ra. Tính sáng tạo của tư duy thể hiện rõ ở khả năng tạo ra cái mới:
phát hiện vấn đề mới, tìm ra hướng đi mới, tạo ra kết quả mới.
1.2 Một số định hướng tính khoảng cách trong khơng gian
1.2.1 Tính khoảng cách theo định nghĩa
a) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, mặt phẳng.

6


M
M

H
H

P)

Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng V ) là
khoảng cách MH, trong đó H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (P).
+) Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Phần này lưu ý học sinh: muốn tính được độ dài của đoạn AH, người ta thường
xem nó là chiều cao của tam giác ABC (với B, C thuộc đường  ). Nếu tam giác
ABC vng tại A thì tính độ dài AH như thế nào? có thể nhớ lại hệ thức trong tam
giác vuông: AH 

1
1
1
AB. AC


hoặc
.
2
2
BC
AH
AB
AC 2

Nếu tam giác cân tại A? thì H là trung điểm của BC. Nếu tam giác thường? thì
tính diện tích tam giác và độ dài BC, từ đó suy ra độ dài AH.

AH 

2SABC 2 p  p  a   p  b   p  c 


BC
a

+) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
“Các bước xác định khoảng cách từ 1 điểm M đến 1 mặt phẳng (P)” như sau:

d  M ,  P    MH (với H là hình chiếu của M lên (P)).

7


+ Tìm mặt phẳng (Q) qua M và vng góc với (P).
+ Tìm giao tuyến d của (P) và (Q).
+ Trong (Q), kẻ MH vng góc với a.
b) Khoảng cách giữa một đường thẳng và một mặt phẳng song song, giữa
hai mặt phẳng song song.
B

A

K

H
P)

Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng
cách từ 1 điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P).
B

A
Q)

H

K

P)

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ 1 điểm bất kì
của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia. ( Định nghĩa 3- SGK Hình học nâng cao 11 trang 114)
Phần này lưu ý với học sinh: để tính khoảng cách từ một đường thẳng, một
mặt phẳng đến một mặt phẳng song song, ta có thể quy về tính khoảng cách giữa
một điểm và một mặt phẳng.
8


c) Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
a
I

c

J
b

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau trong không gian là độ dài
đoạn vng góc chung của hai đường đó . ( Định nghĩa 4 - SGK Hình học nâng cao
11 - trang 115)
Để dựng đường vng góc chung ta có nhiều cách khác nhau

Trường hợp 1: 2 đường thẳng a và b vng góc với nhau.

Dựng mặt phẳng (P) chứa đường b song song với đường thẳng a, cắt đường
thẳng a tại M. Từ M kẻ MN vng góc và cắt đường thẳng a tại N. Khi đó MN là
đường vng góc chung.
Trường hợp 2:
Cách 1: a và b khơng vng góc với nhau:

Dựng mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b song song với đường thẳng a, dựng
hình chiếu a ' của a lên b, a ' cắt b tại M. Từ M kẻ MN vng góc và cắt đường
thẳng a tại N. Khi đó MN là đường vng góc chung.
Cách 2:
9


Bước 1) Dựng mặt phẳng (P) vng góc với a tại O
Bước 2) Tìm hình chiếu vng góc b1 của b trên mặt phẳng (P). Dựng hình
chiếu vng góc của O trên b1 là H
Bước 3) Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B
Bước 4) Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A thì đoạn AB là
đoạn vng góc chung
1.2.2 Sử dụng công thức chuyển đổi về khoảng cách
Cho hai điểm phân biệt A, B và mặt phẳng ( P) ,  A, B �( P )  . Khi đó:

- Nếu đường thẳng AB song song với ( P) thì d  A;( P )   d  B;( P )  .
- Nếu đường thẳng AB cắt ( P) tại điểm I thì

d  A;( P )  AI

.

d  B;( P )  BI

1.2.3 Sử dụng tứ diện vng
Cho hình chóp SABC có SA, SB, SC đơi một vng góc tại S, H là hình
chiếu của S lên mặt phẳng (ABC), khi đó:

d S , ABC    SH ;

1
1
1
1
 2 2
2
SH
SA SB
SC 2

1.2.4 Sử dụng cơng thức tính thể tích
Cho hình chóp SABC khi đó khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC):
d  S , ABC   

3VSABC
S ABC

Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có thể tính đường cao
10


của hình chóp, hình lăng trụ, từ đó ta có thể tìm được khoảng cách đó.

1.2.5 Tính khoảng cách theo phương pháp sử dụng tích có hướng.
Cho tứ diện ABCD, ta có:

uuur uuu
r
�
�
BC
,
BA
�
�
uuur
+) Khoảng cách từ A đến BC là: d  A; BC  
.
BC

uuur uuur uuur
�
BC , BD �
�
�BA
+) Khoảng cách từ điểm A đến (BCD): d  A;( BCD)   uuur uuur .
�
BC , BD �
�
�

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD là:
uuu

r uuur uuur
�
�
AB
� , CD �AC
d  AB; CD  
uuu
r uuur
�
�
AB
� , CD �

1.2.6 Tính khoảng cách dựa vào phương trình mặt phẳng, đường thẳng.
+) Khoảng cách từ điểm M  x0 ; y0 ; z0  đến mp ( ) : Ax  By  Cz  D  0 là:
d  M ;( )  

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

.

+)rKhoảng cách từ điểm A đến đường thẳng  đi qua M , có vectơ chỉ
phương u là:
r uuuu
r
�
�
u
,

AM
�
�
d  A;   
r
.
u

+) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

ur

Đường thẳng 1 đi qua điểm M 1 và có véc tơ chỉ phương u1 .
uu
r

Đường thẳng  2 đi qua điểm M 2 và có véc tơ chỉ phương u2 .
d  1;  2 

ur uu
r uuuuuur
�
�
u
,
u
�1 2 �M 1M 2

ur uu
r

�
�
u
,
u
1
� 2�

1.3 Thực tiễn dạy học nội dung khoảng cách tại trường
Để thấy được thực trạng dạy và học nội dung khoảng cách trong các trường
THPT ở Nghệ An, tôi điều tra mẫu trên trường THPT mà tôi đang giảng dạy và
tiến hành điều tra hai đối tượng là giáo viên và học sinh. Quá trình điều tra thu
được kết quả như sau:
11


a. Điều tra giáo viên
Bảng 1.1. Đội ngũ giáo viên toán của trường
Số lượng
Giáo viên

Tuổi nghề

Chất lượng
giảng dạy

Hệ đào
tạo

1 –10 10 –20 Trên 20 Cao Đại Trên Trung Khá

đẳnghọc ĐH bình
14

5

7

2

0

6

8

4

Giỏi

3

7

Qua điều tra trên cho thấy một số giáo viên có thâm niên cơng tác lâu năm
nên có những kinh nghiệm nhất định trong cơng tác giảng dạy. Do đó trình độ
các bước lên lớp và phương pháp dạy bộ mơn đều nắm vững. Tuy nhiên, cũng có
giáo viên trẻ nên chưa có nhiều kinh nghiệm trong cơng tác giảng dạy.
Qua thăm dò thực tế về nội dung và việc dạy khoảng cách của giáo viên
trường chúng tôi thu được kết quả như sau:
Bảng 1.2. Đánh giá về nội dung “khoảng cách” trong chương trình

Nội dung chương trình
Số lượng
giáo viên

14

Phù hợp

Khơng phù
hợp

10

Mức độ kiến thức
Dễ

4

Khó
0

Bình
thường

6

8

Kết quả điều tra cho thấy chương trình về “khoảng cách” của học sinh
trường là tương đối phù hợp, phân bố hợp lí, mức độ kiến thức trong chương trình

tương đối phù hợp với học sinh.
b. Điều tra học sinh
Bảng 1.3. Thống kê kết quả học tập
Số thứ tự

Lớp

Kết quả học tập

Sĩ số

Khá – Giỏi Trung bình Yếu - Kém
1

12D3

41

38

3

0

2

12D4

43

32

11

0

12


Qua điều tra cho thấy học sinh trường phần lớn có lực học khá – giỏi.
Bảng 1.4. Đánh giá mơn Tốn và nội dung “khoảng cách”
Số thứ tự

1

Lớp

Nội dung
Tính hứng
thú học tập

12D3
Hứng thú

27

24

Bình thường

11

14

Khơng hứng thú

3

5

21

29

20

14

Dễ

0

0

Khó

20

24

18

16

3

3

Khó
2

3

Đánh giá
mơn Tốn
Mức độ kiến
thức nội
dung
“Khoảng
cách”

12D4

Bình thường

Bình thường
Dễ

Kết quả điều tra trên cho thấy học sinh trường có hứng thú học tập mơn
Tốn và mức độ kiến thức mơn Tốn và kiến thức về “khoảng cách” là tương đối

phù hợp với học sinh.
Trước khi dạy thử nghiệm chúng tôi tiến hành kiểm tra 20 phút và sau khi
tiến hành dạy thử nghiệm xong rèn luyện các kỹ năng tính khoảng cách trong khơng
gian cho học sinh. Dưới đây là đề kiểm tra và kết quả kiểm tra:
+) Lớp 12D3 và 12D4.
Đề kiểm tra 20’ khảo sát học sinh đầu năm học 2020 – 2021
Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a tâm O,
SA vng góc với đáy, SC tạo với đáy một góc 450 . Tính theo a khoảng cách từ
điểm O đến mp(SCD) và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.
Đáp án. Hình vẽ đúng và đẹp 1đ.
Vậy d  O,  SCD   

a
2
(đvđd) (5 đ). � d  AB, SC   a
(đvđd) (4đ).
6
3

13


Hình ảnh thực tế đề bài

Hình ảnh các em học sinh tham gia làm bài khảo sát
Lớp
12D3
Tỉ lệ %
12D4
Tỉ lệ %

Kết quả khảo sát tại các lớp 12D3, 12D4
Sỹ số
8-10
5-8
<5
43
6
21
16
13,95%
48,84%
37,21%
41
2
17
22
5,26%
44,74%
50%

Qua hoạt động khảo sát tôi nhận thấy các em học sinh phần lớn đang “ngại”
giải các bài toán về khoảng cách trong khơng gian thuộc chương trình lớp 11. Mốt
trong những lý do đó là một số em trước học “vẹt” thiếu tính tuy duy nên khơng
nắm vững các phương pháp tìm khoảng cách, nhiều em chưa vẽ được hình nhiều em
thiếu các kỹ năng để giải. Do đó nhiều em đã khơng giải được bài tốn này.
14


II. GIẢI PHÁP ĐỂ RÈN LUYỆN TƯ DUY CHO HỌC SINH

2.1 Rèn luyện tư duy trí tuệ
Việc bồi dưỡng tư duy toán học cho học sinh cần được tiến hành trong mối
quan hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: Phân tích, tổng hợp, khái qt hóa,
trừu tượng hóa…, trong đó phân tích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng. Rèn
luyện cho học sinh những hoạt động đó là khâu quan trọng nhất trong dạy học tư
duy tốn học.
2.1.1 Rèn luyện tư duy phân tích – tổng hợp:
Trong mọi khâu của q trình dạy học, giải tốn, khai thác lớp các bài tốn,
năng lực phân tích và tổng hợp luôn luôn là một yếu tố quan trọng giúp học sinh
nắm vững kiến thức và vận dụng chúng. Các q trình phân tích và tổng hợp là tổ
hợp những thao tác tư duy cơ bản, tất cả những cái tạo thành hoạt động trí tuệ là
những dạng khác nhau của q trình phân tích, tổng hợp. Tư duy dù ở hình thức
nào đi chăng nữa cũng khơng thể tiến hành được nếu như khơng có phân tích và
tổng hợp. Vì vậy, để rèn luyện và phát triển năng lực tư duy cho học sinh, chúng
ta cần coi trọng việc rèn luyện năng lực phân tích và tổng hợp. Đó là những thao
tác trái ngược nhau, nhưng chúng lại có một mối quan hệ chặt chẽ với nhau, là hai
mặt của một q trình thống nhất.
Trong q trình ơn thi THPT Quốc gia, ơn thi học sinh giỏi thì câu khoảng
cách làm cho học sinh gặp khơng ít khó khăn, đây là bài tốn mà nhiều học sinh
khơng giải được. Hoặc giải được cũng mất rất nhiều thời gian. Nguyên nhân chủ
yếu ở đây đó là các em nắm chưa vững khái niệm về khoảng cách, các em thiếu các
phương pháp, kỹ năng thiếu các định hướng, tư duy để giải bài tốn về khoảng
cách. Do đó, để hướng dẫn học sinh giải được bài toán này cần rèn luyện cho học
sinh tư duy phân tích, tổng hợp. Trong nhiều bài tốn địi hỏi học sinh phải biết
phân tích các yếu tố đã cho để nhận biết đặc điểm riêng rồi tổng hợp lại để từ đó
rút ra cách giải. Về bản chất, hoạt động phân tích các giả thiết của bài toán, kết
luận của bài toán nhằm tách bài tốn đó thành một chuỗi hữu hạn các bài toán
nhỏ đã biết cách giải. Hoặc bài toán được chuyển thành bài toán khác đã biết
cách giải. Như vậy, cái đích của phân tích là “quy lạ về quen”. Cụ thể ta xét một
số ví dụ sau:

Bài 1.1 (Bài tốn mở đầu) [Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2020 – 2021]:
Cho hình lăng trụ ABC. A1B1C1 có đáy là tam giác đều cạnh bằng a và
BA1  BB 1  BC 1  a 3 . Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng  ABB1A1  .

15


Định hướng 1: sử dụng định nghĩa
Phân tích:
+) Giả thiết cho chúng ta biết điều gì? Hình lăng trụ là hình như thế nào? Đáy
là tam giác đều có những tính chất gì? BA 1  BB 1  BC 1 cho ta biết điều gì?
+) Từ kết luận tức yêu cầu của bài toán yêu cầu chúng ta cần làm gì? Để tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có những cách nào?
+) Để tính khoảng cách theo định hướng sử dụng định nghĩa thì phương pháp
dựng hình chiếu của một điểm đến một mặt phẳng như thế nào?
1
3

+) Đáy là tam giác đều cạnh a thì ta tính đươc AI, OI, OI  CI 

a 3
.
6

+) BA1  BB 1  BC 1  a 3 gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A1 B1C1
thì SO   A1 B1C1  .
+) Để tích khoảng cách theo định nghĩa ta cần dựng hình chiếu của C lên mặt
phẳng  ABB1A1  , giả sử là điểm E.
+) Gọi F là trung điểm AB thì hai mặt phẳng  CFA1  / /  BIC1 
�AB  FC

+) �AB  FA � AB   CFA1  �  ABB1 A1    CFA1 
�
1
+) Độ dài CE chính là độ dài đường cao của tam giác (CFA1) Tức là độ dài
đường cao từ C1 của tam giác BC1I
Tổng hợp:
Từ phân tích trên ta thấy để tìm khoảng cách từ C đến mặt phẳng  ABB1A1  ta
chỉ cần tính độ dài đường cao của tam giác BC1I .
16


Vậy CE 

BO.IC1 2a 2

BI
11

Định hướng 2: Sử dụng công thức chuyển đổi về khoảng cách:
Phân tích:
Như vậy vấn đề đặt ra ở đây thay vì tính khoảng cách từ điểm C đến mặt
phẳng  ABB1A1  ta có thể tính khoảng cách từ điểm nào đó đến mặt phẳng đó đơn
giản hơn hay khơng?
Nhận thấy O là chân đường cao hạ từ B đến mặt phẳng  A1 B1C1  , ta có thể
tính khoảng cách từ O đến  ABB1A1  hay khơng?
Tổng hợp:
Từ những phân tích trên ta có lới giải theo định hướng thứ 2 như sau:
�A1B1  C1I
� A1B1   BC1I  .

�
�A1B1  BO

Kẻ C1H  BI , mà C1H  A1B1 � C1H   A1B1BA . Vì CC1 //  A1B1BA :
d C, A1B1BA   d C1, A1B1BA   C1H .

là tam giác đều. Suy ra :
A1BC
1 1
1
a 3
a2 a 11
IO  C1O 
; BI  BA12  A1I 2  3a2  
.
2
6
4
2
BO  BI 2  IO2 

11a2 3a2 2a 2


.
4
36
3

Bài 1.2 (bài tốn tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng) [Kỳ thi

THPT Quốc gia năm 2019 mã đề 101, câu 40]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là
hình vng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc
với đáy. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) bằng:
A.

21a
14

B.

21a
7

C.

2a
2

D.

21a
28

Giải:
Bình luận: để tích khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng chúng ta cần
rèn luyện cho học sinh tư duy phân tích, tổng hợp qua theo các định hướng khác
nhau nhằm làm cho học sinh nắm vững các định hướng để tìm khoảng cách và qua
đó lựa chọn được phương án tối ưu để giải bài toán khoảng cách này.
Định hướng 1: Tính khoảng cách theo định nghĩa:
Phân tích:

17


Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần làm gì?
Dựng hình chiếu điểm A đến mặt phẳng (SBD) ta dựng như thế nào?.
Từ giả thiết cho ta chân đường cao hạ từ S đến mặt phẳng ABCD là điểm H.
Để tính khoảng cách thì cần tính AI, tìm ra mối liên hệ của AI với giả thiết của
bài tốn?
Để tính đường cao trong tam giác ta cầm tìm những yếu tố nào?

Tổng hợp:
Gọi H là trung điểm AB, O là tâm của hình vng ABCD. Suy ra SH  ( ABCD )
. Gọi I là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD) � AI  BD � BD   AOI  . Gọi
M  OI �SD , G  OA �HD , suy ra G là trọng tâm của tam giác ABD, SH / / GM do
cùng nằm trong mặt phẳng (SHD) và cùng vng góc với BD
Ta có:
SH 

a 3
2
a 3
a 2
1
a 2
; GM  SH 
; AO 
; GO  AO 
2
3
3

2
3
6
a 2 a 2 a 14
� OM  MG  OG 


3 18
6
2

2

MG. AO
d A, SBD    AI 

OM

a 3a 2
3
2  a 21
7
a 14
6

Định hướng 2: Sử dụng cơng thức chuyển đổi về khoảng cách:
Phân tích:
Như vậy vấn đề đặt ra ở đây thay vì tính khoảng cách từ điểm A đến mặt
phẳng (SBD) ta có thể tính khoảng cách từ điểm nào đó đến mặt phẳng đó đơn giản
hơn hay khơng?

18


Nếu H là trung điểm AB thì có tính được khoảng các từ H đến (SBD) hay
không?
Tổng hợp:
Gọi H là trung điểm AB. Suy ra SH  ( ABCD) và
d ( H , SBD  )
d A, SBD  



BH 1
 � d A, SBD    2d H , SBD  
AB 2

Gọi I là trung điểm OB, suy ra IH / / OA (với O là tâm của hình vng đáy).
1
a 2
HI  OA 
2
4

Kẻ HK  SI � HK   SBD  .
1
1
1
a 21



� HK 
2
2
2
HK
SH
HI
14
Ta có:
a 21
� d  A, SBD    2d  H , SBD    2 HK 
7

Định hướng 3: Sử dụng vào tính chất của tứ diện vng:
Phân tích:
Thay vì tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng cho hình đa diện
bất kỳ ta đưa về tính khoảng cách cho một hình đặc biệt đó là tứ diện vng hay
khơng?
Tổng Hợp:
Gọi O  AC �BD , H là trung điểm của AB ta có SH   ABCD  ta có tứ diện
vng SHBO vuông tại H. Nên:
1
d

2
 H , SBD  



1

1
1
4
4
4
28


 2 2 2  2
2
2
2
SH
HO
BH
3a a
a
3a

� d H , SBD   

a 21
a 21
� d A, SBD   
14
7

19

Định hướng 4: Dựa vào tích có hướng
z

S

A

D

y

H
I
B

C

x

Phân tích:
Hãy chọn hệ trục tọa độ và gán tọa độ các điểm trong hệ trục tọa độ đó?
Tổng hợp:
Gọi H là trung điểm của AB, N là trung điểm CD. Do tam giác SAB đều cạnh a
nên: SH 

a 3
a
; HB  ; NH  a
2
2

a
�2

�

�
�
0;0;
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H  0;0;0  ; B � ;0;0 �; N  0; a;0  ; S �
�
�

�

a 3�
�
2 �
�

�a
� �a
�
� D�
 ; a;0 �
; A � ;0;0 �
�2
� �2
�

Ta có:

�uur �a
a 3�
;0;

�SB �
�
�
2 �
uur uuu
r �a 2 3 a 2 3 a 2 �
� �2
�
� �
��
SB
,
SD
�
�
��2 ; 2 ; 2 �
�;
u
u
u
r
a 3 �
�
�
� �a
 ; a;

�
�SD �
�
�
2 �
� �2
uur uuu
r uur
�
�SA a 21
SB
,
SD
�
�
d A, SBD   

uur uuu
r
Vậy
7
�
�
SB
,
SD
�
�

uur � a

a 3�
SA �
 ;0; 
�
�
2 �
�2
�

Định hướng 5: dựa vào thể tích
20


Phân tích:
Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta có thể tính đường cao
của hình chóp, hình lăng trụ, do đó hãy tìm thể tích và diện tích đáy của hình chóp
tương ứng?
Tổng hợp:
a 3
Gọi H là trung điểm AB. Suy ra SH  ( ABCD) � SH 
, O là tâm của hình
2

vng ABCD
1
1 a 3 1 2 a3 3
VSABD  SH .SABD 
a 
3
3 2 2

12

Ta có: SB  a; BD  a 2, SD  SH 2  HD 2 
� S SBD

3a 2 5a 2

a 2
4
4

a2 7
 ( SB  SD  BD )( SB  SD  BD )(SB  SD  BD)( SD  SB  BD ) 
4

� d A, SBD   

3VSABD
S SBD

a3 3
3
a 21
 212 
7
a 7
4

Định hướng 6: dựa vào cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến một
mặt phảng khi biết phương trình mặt phẳng.

Phân tích:
Trong phần phương pháp tọa độ ta có cơng thức tính khoảng cách từ một
điểm đến một mặt phẳng. Do đó ta có rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải bài tốn
bằng cách sử dụng cơng thức này.
Muốn làm được việc đó cần hướng dẫn học sinh chọn hệ trục tọa độ? Để gán
hệ trục tọa độ thì cần chọn gốc, trục tọa độ như thế nào? Viết phương trình mặt
phẳng đi qua các điểm. Từ đó tính khoảng cách theo cơng thức.
Tổng hợp:
Gọi H là trung điểm của AB, I là trung điểm của CD. Ruy ra SH   ABCD 
a
2

Vì tam giác SAB đều nên , AH  HB  IC  , HI  a
a
�2

�

�
�
0;0;
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho: H  0;0;0  ; B � ;0;0 �; N  0; a;0  ; S �
�
�

�

a 3�
�
2 �

�

�a
� �a
�
� D�
 ; a;0 �
; A � ;0;0 �
�2
� �2
�
21