Sáng kiến kinh nghiệm SKKN rèn luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐỀ TÀI:
"RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH KỸ NĂNG GIẢI MỘT SỐ DẠNG
PHƢƠNG TRÌNH LƢỢNG GIÁC"

1


PHẦN I : ĐẶT VẤN ĐỀ .
Phương trình lượng giác là một trong những dạng toán thường xuất hiện trong đề thi đại
học và thi học sinh giỏi. Đa số học sinh đã giải quyết được những dạng phương trình
lượng giác cơ bản, tuy nhiên học sinh chưa thực sự giải quyết tốt khi gặp các phương
trình lượng giác trong đề thi. Việc cung cấp cho học sinh một số phương pháp giải
phương trình lượng giác là một việc làm cần thiết. Chính vì thế tôi chọn đề tài “ Rèn
luyện cho học sinh kỹ năng giải một số dạng phương trình lượng giác”
PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1.Cơ sở lý luận của vấn đề
a) Phƣơng trình lƣợng giác cơ bản:
+) sinx= m 
Với

m  1 và

 x    k 2
 x      k 2


(k  z ).

sin  =m (có thể lấy   arcsinm).

+) cosx= m  x    k 2 (k  z ).
Với

m 1

và cos  =m (có thể lấy   arccosm).

+) tanx= m  x=   k , với tan  =m ( có thể lấy  =arctanm) (k  z ).
+) cotx= m  x=   k , với cot  = m ( có thể lấy   arccotm) (k  z ).
b) Một số dạng phƣơng trình lƣợng giác đơn giản.
+) Phương trình bậc nhất hoặc bậc hai đối với f(x) ( f(x) là một biểu thức lượng giác nào
đó). Đặt ẩn phụ: t= f(x)
+)Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx: asinx+ bcosx= c (a2+b2  0)
Biến đổi vế trái về dạng: Csin(x+  ) hoặc Ccos(x+  )
+) Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx.
asin2x+ bsinxcosx+ ccos2x= 0 ( a2+ b2+ c2  0)
Chia hai vế cho cos2x( với cosx  0), hoặc chia hai vế cho sin2x( với sinx  0)
+) Phương trình dạng: asin2x+bsinxcosx+ ccos2x= d. (a2+b2+c2  0 ).
Viết: d= d(sin2x+ cos2x) rồi đưa về dạng phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx
và cosx.
2


+) Phương trình dạng: a(sinx+ cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
Đặt: t= sinx+ cosx=
 sin x cos x 

2 sin( x 

t2 1

2


4

)  2 cos(x 


4

(đk:

)

t  2)

phương trình bậc hai ẩn t.

+) Phương trình dạng: a(sinx- cosx)+ bsinxcosx+ c= 0
Đặt: t= sinx- cosx=

2 sin( x 


4

)   2 cos(x 


4

)

(đk:

t  2 ).

1 t2
 sin x cos x 
 phương trình bậc hai ẩn t.
2

Phương pháp giải phương trình lượng giác thông qua sơ đồ sau
Phương pháp giải phương trình lượng giác

Phương pháp giải
phương trình lượng giác
đưa về phương trình t ch

iến đổi
tổng
th nh
t ch

iến đổi
t ch
th nh
tổng

Phương pháp giải phương
trình lượng giác Đại số
hóa ng cách đặt ẩn phụ

Phương trình
ậc , ậc
đối với các
h số lượng
giác

Phương
trình ậc
đối với sin
v c s

Phương pháp giải
phương trình
h ng u ực

Phương
trình thuần
nhất ậc
đối với sin
v c s

Phương pháp giải phương
trình đưa về phương trình
lượng giác đã iết cách giải

Phương
trình đối
ứng đ
vơ sin ,
cosx

Phương trình lượng giác cơ ản

3


2. Thực trạng vấn đề .
Khi gặp i t án giải lượng giác ở phức tạp, học sinh rất lúng túng tr ng cách giải
quyết.Tuy nhiên hi nắ
ắt được quy luật của ột số dạng t án thì hó hăn sẽ được
giải quyết.
3. Giải pháp và tổ chức thực hiện
Để thực hiện đề t i n y, t i phân th nh 4 phương pháp. Mỗi phương pháp t i đưa ra ột
số các v dụ v các i tập áp dụng, các v dụ n y chủ yếu tr ng các đề thi đại học, đề thi
học sinh giỏi các nă gần đây v ột số i tập tương tự. Sau đây l ột số phương pháp
giải phương trình lượng giác
1.Phƣơng pháp1: Sử dụng các biến đổi lượng giác đưa về phương trình lượng giác đã
biết cách giải.Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần sử dụng các công thức lượng
giác như các công thức hạ bậc, góc nhân đ i, công thức biến đổi tổng thành tích, tích
thành tổng thì sẽ biến đổi đưa về phương trình lượng giác đã biết cách giải.
Ví dụ 1.(Đại học khối D - 2007) .Giải phương trình
x
2

x

2

(sin +cos )2 +

3 cosx

=2

(1a)

Giải:
Phương trình (1a) tương đương với :
cos2

x
x
 sin 2
2
2

 1+

sinx +

+2sin cos

x
2

x

2

3 cosx 

1
sinx
2

+

3 cosx

+

=2

3
cosx
2


  

 x  6  3  k 2
 x  2  k 2
 
 
 x       k 2
 x     k 2



6
6
3

1
2


6

=  cos(x- ) =

1
2

(k  z)

Vậy nghiệm của phương trình là : x=



+k2  , x= - +k2 
2
6

(k z) .

Ví dụ 2 . Giải phƣơng trình :
sin2xcosx +

3 cos3x

=2- cos2xsinx

(3a)

Giải:
Phương trình (3a) tương đương với :

4


1
2



(sin3x +sinx ) +

3 cos3x

sin3x +

2

 cos(



3 cos3x=

 3 x )=

6

1


6

= 2-

1
sin3x
2

 3x =

1
(sin3x
2

+

3
cos3x
2

k2   x =

Vậy phương trình có nghiệm là:

x=

- sinx)
=1

 k 2
(k z)
18
3

 k 2
18
3

(k  z)

Ví dụ 3 (Đại học khối A - 2005). Giải phương trình:
cos23xcos2x - cos2x = 0

(4a)

Giải
Phương trình (4a) tương đương với :
(1 + cos6x) cos2x - (1 + cos2x) = 0
 cos2x

+ cos6x cos2x - 1- cos2x = 0

 cos6x


1
2

cos2x -1= 0  (cos4x + cos8x )- 1= 0

cos8x+ cos4x- 2= 0
2

 2cos

4x + cos4x - 3 = 0

3

cos
4
x



2  cos 4 x  1 .

cos 4 x  1

+) cos4x = 1  4x = k2   x =

k
2

Vậy phương trình có nghiệm là: x=

(k  z).
k
2

(k  z).

Ví dụ4 (Đại học dự bị khối B- 2003).
Giải phương trình:

x 
(2  3 ) cos x  2 sin 2 (  )
2 4 1
2 cos x  1

(5a)

Giải
Đk: cosx 

1
2

(*)

Phương trình (5a) tương đương với:

5


(2-

3 )cosx


2

- [1- cos(x- )] = 2cosx- 1



(2-



(2-



2 cosx - 1-



sinx =

3 )cosx

3 )cosx


2

- 1+ cos(x- ) = 2cosx - 1
- 1+ sinx = 2 cosx -- 1
3 cosx

3 cosx 

+ sinx = 2 cosx - 1
tanx =

3  x=


+ k  ( k  z ).
3

Kết hợp với điều kiện (*)
Vậy phương trình có nghiệm là: x=


3

+(2k’+ 1) 

( k’  z).

Ví dụ 5 (Dự bị khối A- 2002 ).Giải phương trình
cos( 2x+



) + cos( 2x- )+ 4sinx = 2+
4
4

2 (1-

sinx)

(6a)

Giải:
Phương trình (6a) tương đương với
2 cos2x.cos


+ 4 sinx + 2 sinx - 2 4

 2

cos2x + ( 4 -



2

2

sin2x - (4 +

2 )sinx
2)

-2-

2=

2

=0

0

sinx + 2 = 0 (*)



1

x

 k 2

sin
x


1
6
(k z).

2  sin x   

5

2
x 
 k 2
sin x  2

6
Vậy phương trình có nghiệ
Ví dụ 6:(HSG-2011)

l

=


6

 k 2 ,

x=

5
 k 2

6

(k z).

Giải phương trình.

(1+ sinx) (1- 2sinx)+ 2(1+ 2sinx) cosx= 0.

(7a)

Giải.
Phương trình(7a) tương đương với:
6


1- sinx-2sin2x+ 2cosx+ 2sin2x= 0


cos2x+ 2sin2x= sinx2- 2cosx



1

Đặt:

sin  



2

cos 2 x 

5

sin 2 x 

1

5
1
5

2

5
cos 

,

sin x 

cos x

5

2
5

sin  cos2x+ cos  sin2x= sin  sin2x- cos  cosx

 sin( 2 x   )   cos(  x)  sin( 2 x   )  sin( x   



2 x    x    2  k 2
 
2 x      x      k 2
2



2

)



 x   2  k 2
 
 x    2  k 2
3
3
3


Vậy phương trình có nghiệm là: x=-



2

 k 2

hoặc x=


3

(k z)



2 k 2

3
3

(k z) *Một số bài

tập tƣơng tự
Giải các phƣơng trình sau :
1.(Đại học khối B- 2004). 5 sinx- 2 = 3( 1 - sinx ) tan2x
2.( Đại học khối B- 2003 ) . cotx - tanx + 4 sin2x =
3. (Đại học khối A - 2009).

(1  2 sin x) cos x
= 3
(1  2 sin x)(1  sin x)

4.(Đại học khối D- 2009).

3 cos5x

2
sin 2 x

- 2 sin3x cos2x -sinx= 0

5.(Đại học khối A - 2002). Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2  ) của phương trình :
sinx +

cos 3 x  sin 3 x
)
1  2 sin 2 x

= cos2x +3

6.(Đại học khối D - 2005) . cos4x +sin4x +cos(xx

7.

4sin2 2 -

3 cos2x

= 1 + cos 2( x-

3
4

)

8.(Đại học khối B- 2009) . sinx + cosx.sin2x +
9.

tanx= cotx+

2 cos 4 x
.
sin 2 x


 3
) .sin(3x- ) - = 0
4
4 2

3

cos3x= 2 ( cos4x + sin3x)
7

5(


2. Phƣơng pháp2: Phƣơng pháp đặt ẩn phụ.
Một số phương trình lượng giác có thể đưa ẩn phụ vào để chuyển về phương trình
đại số đã biết cách giảỉ, với cách đặt: t= sinu(x); t= cosu(x);
t= sinu(x)+ cosu(x)....( Chú ý đk ẩn phụ). Hoặc đưa ẩn phụ vào để chuyển về phương

trình lượng giác đơn giản hơn( ẩn phụ là biểu thức đại số ẩn x như:
t=

2x
,
3

t=


6



x
...
2

).

Ví dụ 1. Giải phương trình :
3(sinx +cosx)+ 2sin2x+ 3= 0 (2b).
Giải.
Phương trình ( 2b) tương đương với:
(2b/ )

3( sinx + cosx )+ 4 sinx cosx + 3 = 0
Đặt sinx + cosx = t ( t 

2

)  sinx.cosx =

t 2 1
2

Phương trình ( 2b/ ) trở thành:
2

2

3t + 2t - 2+3 = 0  2t +3t+ 1 = 0
+) Với t= -1  sinx + cosx = -1 

t  1
(t / m)

t   1
2

2 sin(


4

x+ )=-1



x



 k 2


1
= sin(- )  
 sin(x + ) = 2

4
4
2
 x    k 2

+)Với t = -

 sin(

x+

1

2

1
2

sinx + cosx = - 



1
)=4
2 2

2 sin(

(k  z)
x+


1
) =4
2


1

x


arcsin(

)  k 2

4
2 2

 x  3  arcsin(  1 )  k 2

4

2 2

Vậy phương trình có các nghiệm là:
8



2

x=- +k2  , x=  +k2  , x=


 arcsin(- 1 )+k2  , x= 3 +arcsin(- 1 )
4
2 2
2 2
4
(k  z)

Ví dụ 2. Giải phương trình : sin2x+ 2tanx= 3

( 3b)

Giải:
ĐK: cosx  0
Đặt tanx= t  sin2x=
2t
1 t2

2t

1 t2

. Phương trình (3b) trở thành:

+ 2t= 3  2t3- 3t2+ 4t- 3= 0  t= 1.

+) Với t= 1  tanx= 1

x


4

 k

(k  z)

Vậy phương trình có nghiệm là: x=


4

 k

(k  z)

Ví dụ 3: Giải phương trình:
3cosx+ 4sinx+

6

6
3 cos x  4 sin x  1

(4b)

Giải.
Đặt: 3cosx+ 4sinx+1= t  3cosx+ 4sinx= t- 1( t  o).
Phương trình (4b) trở thành: t- 1+


t2 -7t+ 6= 0

6
6 
t

t2- t+ 6= 6t

t  6

t  1

+) Với t= 6  4sinx+ 3cosx+ 1= 6  4sinx+ 3cosx= 5


3
4
cos x  sin x  1  sin  cos x  cos sin x  1
5
5



sin(x+  ) = 1  x   


2

 k 2 

+)Vớit=1  3cosx+4sinx=0 

x= -  

3
5

4
5

(sin   , cos   )

2

 k 2

(k z)

3
4

cos x  sin x  0  sin( x   )  0
5
5

9


(sin  

3
5

4
5

, cos   )  x    k  x    k (k z) .

Vậy phương trình có nghiệm là:
Ví dụ4:

x=-  


2

 k 2 ,

x=-   k (k z)

Giải phương trình:

sin3x - 6 sin2xcosx + 11sinxcos2x - 6 cos3x =0

(4b)

Giải:

2

+) Nếu cosx = 0  x= +k  (k  z)
Phương trình trở thành :  1 = 0 vô lý . Vậy cosx  0 .
Chia cả 2 vế của phương trình ( 4b) cho cos3x



0

khi đó phương trình (4b) trở thành:
tan3x- 6tan2x+11tanx-6=0

(4b/)

Đặt: tanx=t.
(4b/)  t3 - 6t2 +11t - 6 = 0  ( t- 1)( t2 - 5t +6) =0


t  1
t  2

t  3

(t- 1) (t-2) ( t- 3) = 0 

+)Với t=1  tanx =1  x=


+k 
4

(k  z)

+)Với t =2  tanx = 2  x=  + l 

(l  z , tan  =2)

+)Với t= 3  tanx= 3  x=  +m  (m  z ,tan  = 3)
Vậy nghiệm của phương trình là: x=


+k  , x=  +l  , x=  +m 
4

( k, l, m  z ; tan  =2 ;tan  =3).
Ví dụ5. Giải phương trình: sin(2x+


6

)  cos(x 



6

) 1

Giải.
Đặt: x-


6

 t  2x 


6

 2t 


2

10




sin( 2t  )  cos t  1  2 cos 2 t  cot  0
2
 
cos t  0
t  2  k


1
cos t 
t     k

2

3
+) t=


2

+) t=
+) t=-

 k  x 


3


3


6

 k 2  x 




6



 k  x 

2




 k 2  x 

3

2
 k
3

 k 2  x 


6




3


2

 k 2

 k 2  x 

(k  z)


 k 2
6

Vậy các nghiệm của phương trình là:

x

2


 k , x   k 2 , x 
 k 2 (k  z ).
3
2
6

Ví dụ6 (HSGT-2009)
Giải phương trình: sin(3 x 


4

)  sin 2 x.sin( x 


4

)

Giải.
Đặt: t  x 


4

.Phương trình đã cho trở thành:



sin(3t   )  sin( 2t  ) sin t   sin 3t   cos 2t sin t
2
sin t  0
 sin 3 t  sin t  0   2
 sin t. cos t  0
sin t  1
 sin 2t  0  t  k


2

x


4

Vậy các nghiệm của phương trình là:

k


2
x


4

k


2

(k  z ).

11


. (*) Một số bài tập tƣơng tự:
Bài 1: Giải các phƣơng trình sau:
1. (HVQHQT- 2000) . cos2x + cos22x + cos23x + cos24x =

3
2

2. ( Đại học dự bị khối B- 2004). 4(sin3x + cos3x) = cosx + 3sinx
3. (ĐHGTVT - 2001) . sin4x + sin4( x+



9
) + sin4(x - ) = .
8
4
4

4. (ĐHQGNH - 2000) . 2sinx + cotx = 2sin2x + 1
5. 2sin3x + 4 cos3x = 3sinx

3

6. 8 cos3( x+ ) = cos3x
7. 4cos3x +3
8.

2 sin2x

x
3 x
3 sin
cos(  )

2 2
2
2

= 8 cosx

+

x
3 sin
2
2

x
cos
2

x
x
2
=sin cos 2
2

+sin2(

x 

2 2

)cos

x
2

Bài 2: Cho phương trình:
cos6x + sin6x = msin2x
a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
Bài 3:

Cho phương trình :
(2sinx-1)( 2cos2x +2 sinx + m) =3 - 4cos2x

a) Giải phương trình khi m=1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có đúng 2 nghiệm thoả mãn:
0 x  
Bài 4:

Cho phương trình .
m(sinx+ cosx) +1+

1
(tanx
2

a) Giải phương trình khi m=

+cotx+

1

1
+
)
sin x cos x

=0

1
2

b) Xác định m nguyên để phương trình có nghiệm trong khoảng (0;


).
2

12


3.Phƣơng pháp3: Giải phƣơng trình lƣợng giác đƣa về phƣơng trình tích.
Rất nhiều phương trình lượng giác chỉ cần biến đổi lượng giác cơ bản để nhóm thừa số
chung đưa về phương trình tích, đây là hướng ra đề chủ yếu trong các đề thi đại học mấy
năm gần đây. Phương pháp này không phức tạp về tính toán, về thủ thuật biến đổi nhưng
đòi hỏi phải vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác để tạo các biến thức chung.
Một số kỹ năng nhóm thừa số chung đơn giản nhưng rất hiệu quả:
+)

cos2x = 1 -sin2x =( 1- sinx)(1+ sinx)

+)

sin2 x = 1- cos2x =( 1- cosx)(1+ cosx)

+)

cos2x = cos2x - sin2x =(cosx-sinx)(cosx+sinx)

+)

1+ sin2x =1+2sinxcosx=( sinx+cosx)2

+)

1- sin2x = 1- 2 sinxcosx =(sinx-cosx)2

Ví dụ 1: (Đại học khối D- 2008). Giải phương trình :
2sinx( 1 + cos2x)+sin2x = 1+2cosx (3a)
Giải.
Phương trình (3a) tương đương với:
2sinx( 1+ 2cos2x - 1) + 2sinxcosx =1 +2cosx


4sinxcos2x + 2sinxcosx =1+ 2 cosx



2 sinxcosx ( 1+ 2cosx) = 1 + 2cosx



(1 + 2 cosx) (2 sinxcosx - 1) = 0

2

 x  3  k 2

1

cos x  
2 cos x  1  0
2

 k 2
 

2   x  

3
2 sin x cos x  1  0

sin 2 x  1
 x    k

4

(k z)

Vậy các nghiệm của phương trình là:
x=

2
3

+k2  , x=-

2
3


4

+k2  , x= +k  ( k  z)

Ví dụ 2: (ĐHkB-2002 ) Giải phương trình:
sin23x - cos24x = sin25x - cos26x

(3b)

13


Giải.
Phương trình (3b) tương đương với:
sin23x + cos2 6x = sin25x + cos24x


1  cos 6 x
2

+

1  cos12 x
2

=

1  cos10 x
2

+



cos12x - cos6x = cos8x - cos10x



- 2sin9x.sin3x = 2sin9x.sinx



1  cos 8 x
2

2sin9x ( sinx+ sin3x ) =0

sin 9 x  0
 

sin x   sin 3x



x

k

9
9 x  k

 x  3x  k 2   x  k 
(k z).


2
 x    3x  k 2 

 x  k 
2


Vậy các nghiệm của phương trình là:

x=

k
9

, x=

k
(k z).
2

Ví dụ 3: (Đại học khối A- 2003 ). Giải phương trình .
cotx -1 =

cos 2 x
1  tan x

+sin2x -

1
sin2x
2

(3c)

Giải.
Điều kiện xác định:

tan x  1

cos x  0
sin x  0


(*)

Với điều kiện (*) phương trình (3c) tương đương với:

cos x
sin x




1=

cos x  sin x
sin x
cos x  sin x
sin x

cos2 x  sin 2 x
1  tan x

=

+ sin2x -

1
2sinxcosx
2

cos x(cos x  sin x)(cos x  sin x)
cos x  sin x

- sinx(cosx- sinx)

= cosx ( cosx - sinx) -sinx (cosx -sinx)

14




(cosx - sinx) ( 1 -sinxcosx + sin2x) = 0

cos x  sin x  0
 
2
1  sin x cos x  sin x  0

+) cosx -sinx = 0  tanx = 1  x=
+) 1 - sinxcosx +sin2x = 0  1 2


+ k  (k  z)
4

1
sin2x
2

+ sin2x = 0

- sin2x + (1 - cos2x) = 0  sin2x + cos2x = 3 (vô nghiệm)

+ k
4

Vậy nghiệm của phương trình là: x=

(k  z)

Ví dụ 4: (ĐHQG--HN-99). Giải phương trình.
cos6x + sin6x = 2( cos8x + sin8x)

(3d)

Giải.
Phương trình (3d) tương đương với:
2cos8x + 2sin8x - cos6x -sin6x = 0


cos6x ( 2 cos2x - 1) - sin6x ( 1- 2sin2x) = 0



cos6x .cos2x - sin6x .cos2x = 0



cos2x ( cos6x - sin6x ) = 0



cos2x ( cos2x - sin2x )( 1- sin2x.cos2x) =0




cos22x ( 1 - sin2x.cos2x) = 0  cos22x (1 cos2x = 0  2x =

1
sin22x)
4

=0




+k   x= + k ( k  z)
2
4
2

Vậy phương trình có nghiệm là:
Ví dụ5. (Đại học khối A- 2011).

x=



+ k (k z).
4
2

Giải phương trình:

1  sin 2 x  cos 2 x
 2 sin x sin 2 x
1  cot 2 x

(3e)

Giải.
15


ĐK: x  k 

( k  z)

Phương trình (3e) tương đương với:
sin2x( 1+ sin2x+ cos2x ) =
 sinx

2 sinxsin2x

( 2cosx + 2sinxcosx ) = 2

2 sinxcosx





cos x  0
 x  2  k

 x  4  k
(m, k  z) .

 
 
 x    2m
sin( x   )  1
cos x  sin x  2




4

Vậy phương trình có nghiệm là: x =


4

 k ,

4

x=


4

 2m

(m, k  z ).

Ví dụ 6. (Đại học khối B- 2011). Giải phương trình:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx
Giải:
sin2xcosx +sinxcosx = cos2x+ sinx+ cosx


2sinxcos2x- sinx+ sinxcosx= cos2x+ cosx



sinx(2cos2x-1)+ cosx(sinx-1)- cos2x=0



cos2x(sinx-1)+ cosx(sinx-1)= 0



(cos2x+ cosx)(sinx-1) = 0


2

x


k


cos 2 x   cos x
3
3


sin x  1
 x    k 2

2
Vậy các nghiệm của phương trình là:

x


2

 k 2 , x 


3

k

2
(k  z ).
3

Ví dụ7 (HSGT-2010). Giải phương trình:
cos2x+ cos3x- sinx- cos4x= sin6x.

(3f)

Giải.
(3f)  (cos2x-cos4x)- sinx+ (cos3x-2sin3x.cos3x)


(2sinxsin3x- sinx)- (2sin3xcos3x- cos3x)= 0.

16




(2sin3x- 1)(sinx- co3x) = 0

1

sin
3
x


2

cos 3x  cos(  x)

2






x

x


x


x


2
18
3
5
2

k
18
3






k



k

8





4

(k  z) .



2

 k

Vậy phương trình có nghiệm là:
x=


18

k

2

3

, x=

5
2
k
18
3

, x=


8

k


2



, x=-

4

 k

(k  z).

(*) Một số bài tập tƣơng tự:
Giải các phương trình sau:
1. Đại học hối A-2010).
2 ( Đại học khối D- 2011) .

(1  sin x  cos x) sin( x 
1  tan x


4

sin 2 x  2 cos x  sin x  1
tan x  3

=

1
2

cosx

=0

3.(Đại học khối D-2004) . (2cosx - 1) (2 sinx+ cosx) =sin2x - sinx
4.(Đại học khối B - 2005) . 1+ sinx + cosx + sin2x + cos2x = 0
5. (Đại học hối D - 2010). sin2x - cos2x + 3 sinx - cosx - 1 = 0
6. (Đại học khối A- 2007) . (1 + sin2x) cosx + ( 1+ cos2x) sinx=1+sin2x
7. (Đại học khối B-2010). (sin2x + cos2x) cosx + 2 cos2x -sinx = 0
4. Phƣơng pháp 4 : Phương pháp đánh giá.
Xét phương trình: f(x)= g(x) (c).

 f ( x)  A
 g ( x)  A

Trong đó f(x)  A; g(x)  A , suy ra (c)  
+)Chú ý một số bất đẳng thức cơ bản:

-1  sinx  1  sinnx  sin2x
-1  cosx  1  cosnx  cos2x

(n  2)
17


Ví dụ 1.

Giải phương trình sau:
cos2x + cos

3x
4

2=0

(4a)

Giải.
Phương trình (4a) tương đương với:
cos2x + cos
Do: cos2x  1; cos
 cos2x

+

3x
cos
4

=2

3x
4

=2

3x

4

1  cos2x + cos

3x

4

 x  k
cos 2 x  1


 
 

k 8
3x
cos 4  1
 x  3

2


x=k8  (k  z).

Vậy nghiệm của phương trình là: x=k8  (k  z).
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
sinx.cos4x = 1
Giải
sinx.cos4x = 1  sin 5 x  sin 3 x  2
Do: -1  sin5x  1, -1  - sin3x  1 nên sin5x-sin3x  2
Phuwowng trình đã cho tương đương với:

 k 2

x



sin 5 x  1

10
5

 x   t 2 .


2
sin 3x  1
 x     k 2

6
3
Vậy phương trình có nghiệm là: x =
Ví dụ 3.


2

 t 2

(k  z).

Giải phương trình :
cos2012x + sin2012 x = 1

Giải.
Ta có: sin2x ( 1- sin2010x)  0

( vì -1  sinx  1)
18


cos2x (1 - cos2010x )  0
Nên sin2x  sin2012x

( vì -1  cosx  1)

và cos2x  cos2012x

Do đó : sin2012x + cos2012x  sin2x + cos2x =1
Dấu “=”

ảy ra khi và chỉ khi :

sin 2 x  0

2010
2
2010
x 1
sin
sin x(1  sin x)  0
sin x  0


 2
(k  z)
 

x = k
2
2010
cos
x


0
cos x(1  cos x)  0

2
cos x  0

2010
x 1
cos

Vậy nghiệm của phương trình là : x = k


(k  z)
2

Qua ví dụ 3, ta có bài toán tổng quát:
Giải phương trình :
Ví dụ 4.

sinnx + cosnx = 1 ( n  2, n z).

Giải phương trình :
cos5x + sin5x + cos2x + sin2x = 1 +

2

(4a)

Giải.

Ta có: cos2x + sin2x =

2 sin(

2x +


)
4

2

cos2x( 1- cos3x )  0 (vì -1  cosx  1)
sin2x ( 1 -cos3x )  0 ( vì - 1  sinx  1)
Nên : cos5x + sin5x  cos2x + sin2 x = 1
Phương trình (4a) d n tới hệ:
cos x  0
2
3

cos
x
(
1

cos
x
)

0


cos5 x  sin 5 x  1
 2
sin x  1
3

 sin x(1  sin x)  0  
cos 2 x  sin 2 x  2
cox  1

cos
2
x

sin
2
x

2

cos 2 x  sin 2 x 


2

Hệ phương trình vô nghiệm, Phương trình đã cho vô nghiệm .
Ví dụ 5.

Giải phương trình:

19


2  cos2 3x

cos3x +

=2 (1+sin22x)

(4b)

Giải:
Ta có: 2(1+ sin22x)  2
1.cos3x+ 1.

x

2  cos2 3x

( vì 0  sin22x  1)
 (12  12 )(cos 2 3x  2  cos2 3x)

=2

 x.

(áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki )
Phương trình (4b) d n tới hệ sau:

sin 2 x  0

2(1  sin 2 2 x)  2


cos3x  2  cos2 3x
cos3x  2  cos2 3x  2




xk
sin 2 x  0


2


cos
3
x

1
2





xl

(k,l  z)  x=2n  (n  z).

3

Vậy nghiệm của phương trình là: x= 2n  ( n  z)
Ví dụ 6:

(ĐH Y Thái Bình) . Giải phương trình:
sin2x +

sin 2 3 x
3 sin 4 x

(cos3x.sin3x + sin3x.cos3x) = sinx.sin23x.

Giải:
Đk: sin4x  0  x  k


, kz
4

Ta có: cos3x.sin3x + sin3x.cos3x =

3
4

sin4x

Khi đó phương trình đã cho trở thành:
sin2x +



1
sin23x
4

( sinx -

Do (sinx -

1
2

= sinx.sin23x  (sinx- sin23x)2 +

1
sin23x)2
2

+

1
sin23x)2 
2

1
sin23x.cos23x
4

=0

1
(
4

sin23x - sin43x) = 0
(4c)

0 Và sin23x.cos23x  0.

20


Nên

phương

trình

(4c)

d n

tới

hệ

sau:

1


2
sin x  sin 3 x  0
2

2
2

sin 3 x. cos 3 x  0



k


sin 2 3 x  0
sin 3 x  0
x 



3  x  m

sin x  0
sin x  0

 x  t




k


x

.

6
3
 cos 2 3 x  0





 
x

 t 2 ( k , t , m  z )

1

sin
x

6



2

5


x

 t 2



6



kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm là:

6

x= +k2  , x =

5
6

+k2 

(k  z)


6

Vậy nghiệm của phương trình là: x= +k2  , x =

(*) Bài tập tƣơng tự:

5
6

+k2 

(k  z).

Giải các phương trình sau:

1)

sin3x - cos10x =2

2)

cos8x + sin10x = 1

3)

sinnx +cosnx = 1 (n  2, n  z)

4)

sinnx + cosmx =1 (m,n  2, m,n  z)

5)

(cos2x - sin4x)2 = 6 + 2sin3x

6)

sin3x + cos3x = 2- sin4x

7)

sinx +

2  sin 2 x

+ sinx

2  sin 2 x

(ĐHAN -97)
=3

4. Kiểm nghiệm
Để kiểm tra hiệu quả của đề tài tôi đã tiến hành kiểm tra trên hai đối tượng có chất
lượng tương đương là lớp 11M và 11N. Trong đó lớp 11N chưa được rèn21


luyện kỹ về các phương pháp này, sau đó cho kiểm tra 45 phút với câu hỏi như nhau.

ĐỀ KIỂM TRA(45 phút)
Giải các phương trình lượng giác sau:
1 (2đ). 5sinx - 2 = 3(1- sinx) tan2x
2 (2đ).

sin 2 x  2 cos x  sin x  1
tan x  3

0

1
1
2 x
2 x

cos

sin
3 (2đ).
4
3 2
2
4 (2đ). cos3x+ sin3x = 1
5 (2đ) . 2cos(2x-

3
5


5

) = 3sin(x+ ) + 5.

Kết quả thu được như sau:

Điểm < 5
Lớp

Sĩ số

Điểm [5; 8)

Điểm  8

Số
lượng

%

Số
lượng

%

Số
lượng

%

11M

39

9

23,1%

20

51,3%

10

25,6%

11N

47

28

59,6%

17

36,2%

2

4,2%

22


PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT.

Trong quá trình dạy học, đối với ỗi thể l ại iến thức, nếu giá viên iết tì ra
những cơ sở lý thuyết, iết phát huy v sáng tạ cái ới v hướng d n học sinh vận dụng
ột cách hợp lý v việc giải các i tập tương ứng thì sẽ tạ được điều iện để học sinh
củng cố v hiểu sâu về lý thuyết cùng với việc thực h nh giải t án ột cách hiệu quả
hơn, tạ được sự hứng thú, phát huy được t nh chủ động v sự sáng tạ tr ng việc học
của học sinh
Qua đề tài này tôi thu được một số bài học :
-Phải cho học sinh tiếp xúc với nhiều bài toán với những cách giải khác nhau.
- Rèn luyện cho học sinh phân tích bài toán để tìm lời giải tối ưu nhất.
- Rèn luyện cho học sinh cách trình bày một cách chặt chẽ , cô đọng.
Trên đây là một số kinh nghiệm mà tôi đã rút ra và áp dụng trong quá trình dạy học
nh m ngày càng giúp ích được nhiều hơn trong học tập môn toán của học sinh. Tuy
nhiên còn nhiều vấn đề cần hoàn thiện, rất mong được tiếp thu những ý kiến đóng góp
của các đồng nghiệp để bổ sung vào đề tài nh m hoàn thiện đề tài tốt hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

23