Tích phân và ứng dụng trong giải toán trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẶNG THỊ THÚY VÂN

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG
GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẶNG THỊ THÚY VÂN

TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG
GIẢI TỐN TRUNG HỌC PHỔ THƠNG
Chun ngành: Phương pháp tốn sơ cấp
Mã số: 60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HỒNG TRÍ

Đà Nẵng - Năm 2015

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan Tôi cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của riêng
tơ hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của TS.Lê Hồng Trí.
Các số liệu, kết quả trình bày trong luận văn là trung thực, khách quan
và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ cơng trình nào khác.
Tác giả luận văn

Đặng Thị Thúy Vân


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1.Tính cấp thiết của đề tài ......................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................. 2
3. Đối tượng và phạm vi nghiêm cứu ....................................................... 2
4. Phương pháp nghiên cứu ...................................................................... 2
5. Bố cục của luận văn .............................................................................. 2
CHƯƠNG 1: NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN ........................................ 3
1.1.NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH ........................................ 3
1.2.BÀI TỐN TÌM DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG .............................. 3
1.3. CÁC TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH................................. 6
1.4. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ........................................................................ 20
1.5. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN..................................... 22
1.5.1. Sử dụng các nguyên hàm cơ bản .................................................. 22
1.5.2. Phương pháp phân tích ................................................................ 22
1.5.3. Phương pháp đổi biến số............................................................... 23
1.5.4. Phương pháp tích phân từng phần ................................................ 27
1.6. CƠNG THỨC TÍCH PHÂN TRUY HỒI, ĐẲNG THỨC, BẤT ĐẲNG
THỨC TÍCH PHÂN, GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

TÍCH PHÂN.................................................................................................... 28
1.6.1 Cơng thức tích phân truy hồi ......................................................... 28
1.6.2. Đẳng thức, bất đẳng thức tích phân .............................................. 29
1.6.3. Giải phương trình, bất phương trình tích phân ............................ 31
1.7. TÍCH PHÂN SUY RỘNG ....................................................................... 35
1.7.1. Tích phân suy rộng loại 1 ............................................................ 35
1.7.2. Tích phân suy rộng loại 2.............................................................. 37


CHƯƠNG 2: TÍCH PHÂN CỦA CÁC DẠNG HÀM SỐ ĐẶC BIỆT..... 39
2.1. HÀM CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ............................................ 39
2.2. HÀM HỮU TỈ.......................................................................................... 41
2.3. HÀM LƯỢNG GIÁC .............................................................................. 50
2.4. HÀM VÔ TỈ ............................................................................................. 52
2.5. HÀM SIÊU VIỆT .................................................................................... 55
2.6. CÁC HÀM CÓ DẠNG ĐẶC BIỆT KHÁC ............................................ 56
CHƯƠNG 3: CÁC ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN ................................ 61
3.1. TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG ......................................................... 61
3.2. TÍNH ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CONG PHẲNG .............................................. 67
3.3. TÍNH THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ.......................................................... 70
3.3.1. Tính thể tích của vật thể khi biết diện tích thiết diện ngang......... 70
3.3.2. Thể tích vật thể trịn xoay ............................................................. 72
3.3.3. Diện tích mặt trịn xoay................................................................. 74
3.4. CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC...................................................... 78
3.5. TÌM CỰC TRỊ HÀM SỐ ......................................................................... 80
3.6. GIẢI PHUƠNG TRÌNH ĐẠI SỐ ........................................................... 81
3.7. TÍNH GIỚI HẠN DÃY ........................................................................... 84
3.8. GIẢI TOÁN TỔ HỢP.............................................................................. 86
KẾT LUẬN .................................................................................................... 89
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 90

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao)


DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
f : Hàm số f(x)
R : Tập hợp các số thực
® : Dẫn đến
Û : Tương đương
Þ : Suy ra

" : Với mọi
$ : Tồn tại


1

MỞ ĐẦU
1.Tính cấp thiết của đề tài
Tích phân là một khái niệm toán học, và cùng với phép toán ngược của
nó là vi phân, đóng vai trị chủ chốt trong lĩnh vực giải tích. Có thể hiểu đơn
giản, tích phân như là diện tích. Giả sử, cần tính diện tích của một hình phẳng
được bao bởi các đoạn thẳng, ta chỉ việc chia hình đó thành các hình nhỏ đơn
giản hơn và đã biết cách tính diện tích như: tam giác, hình vng, hình thang,
hình chữ nhật…. Nếu hình phức tạp hơn, nó được bao bởi đoạn thẳng lẫn
đường cong, ta cũng chia nó thành các hình nhỏ, nhưng có thêm các hình
thang cong. Tích phân sẽ giúp ta tính được diện tích của hình thang cong đó,
và nhiều ứng dụng khác. Phép tính tích phân đã được các nhà bác học sử dụng
từ trước thế kỉ XVIII. Đến thế kỉ XIX, Cauchy (1789-1857) và Riemann
(1826-1866) mới xây dựng được lý thuyết chính xác về tích phân. Lí thuyết
này về sau được Lebesgue (1875-1941) và Denjoy (1884-1974) hoàn thiện.

Để định nghĩa tích phân, các nhà tốn học ở thế kỉ XVII và XVIII không dùng
đến khái niệm giới hạn. Thay vào đó, họ nói “ tổng của một số vơ cùng lớn
những số hạn vô cùng nhỏ”. Chẳng hạn, diện tích của hình thanh cong là tổng
của một số vơ cùng lớn những diện tích của những hình chữ nhật vơ cùng
nhỏ. Tích phân được Leibnitz định nghĩa. Tích phân đã xuất hiện độc lập với
đạo hàm và nguyên hàm, thiết lập liên hệ giữa tích phân và nguyên hàm là
một phát minh vĩ đại của Newton và Leibnitz. Khái niệm hiện đại về tích
phân, xem giới hạn của các tổng tích phân là của Cauchy và Riemann. Người
đầu tiên lập ra bảng tra cứu tích phân có sẵn là Gauss (1777-1855). Ơng đã
cùng nhiều nhà tốn học khác ứng dụng tích phân vào các bài tốn của tốn
học và vật lý. Cauchy mở rộng tích phân sang số phức. Hermite (1822-1901)
tìm thấy một thuật tốn tính tích phân cho các hàm phân thức, và được mở
rộng cho các hàm phân thức chứa logarit vào những năm 1940 bởi Ostrowski.
Từ thập niên 1990 trở lại đây, các thuật tốn tính tích phân được tính bằng


2

máy tính điện tử. Một số phần mềm máy tính thương mại có khả năng tính
tích phân là Mathematica, Maple.
Chun đề này khơng thể thiếu trong chương trình tốn THPT, và đại
học. Vì vậy xuất phát từ nhu cầu này.Tơi chọn đề tài với tên:”Tích phân và
ứng dụng trong giải tốn Trung học phổ thơng” để tiến hành nghiên cứu,
nhằm làm tài liệu tham khảo và huy vọng tìm ra những ví dụ đặc sắc nhằm
làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Nhằm nghiên cứu, tìm hiểu định nghĩa, tính chất, phân loại các dạng
tích phân, tích phân suy rộng và một số ứng dụng trong giải toán THPT.
3. Đối tượng và phạm vi nghiêm cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu tích phân, phương pháp tính tích phân của các hàm đặc biệt
và ứng dụng trong giải toán THPT.
3.2. Phạm vi nghiêm cứu
Thực hiện nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của Thầy Lê Hồng Trí,
và các chun đề về tích phân, tích phân suy rộng, và ứng dụng.
4. Phương pháp nghiên cứu
Thu thập, phân tích các tài liệu và thơng tin liên quan đến tích phân và
ứng dụng.
Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn để thực hiện đề tài.
5. Bố cục của luận văn
Luận văn gồm 3 chương với cấu trúc như sau:
· Mở đầu
· Chương 1 : Nguyên hàm và tích phân
· Chương 2: Tích phân của các dạng hàm số đặc biệt
· Chương 3: Các ứng dụng của tích phân
· Kết luận


3

CHƯƠNG 1

NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
1.1. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH
Định nghĩa 1.1.1. Cho hàm số f ( x ) xác định trên ( a, b ) . Hàm số F ( x ) được
gọi là nguyên hàm của f ( x ) nếu F ( x ) xác định và khả vi trên khoảng ( a, b )
và F ¢( x) = f ( x) với "x Î ( a, b ) .
Định nghĩa 1.1.2. Nếu hàm số f ( x ) xác định trên đoạn [ a, b] , thì F ( x ) sẽ
được gọi là nguyên hàm của f ( x ) nếu F xác định trên [ a, b] , khả vi trong

( a, b ) và

F ¢( x) = f ( x ) với "x Ỵ ( a, b ) , và F+¢(a ) = f (a ) và F-¢ (b) = f (b) .

Định lý 1.1.1. Nếu hàm số f ( x ) có một nguyên hàm F ( x ) thì tập hợp d =

{F + C; C Ỵ R} là họ tất cả các nguyên hàm của f ( x )
phân bất định của f ( x ) . Kí hiệu:

ị f ( x)dx . Trong đó:

hay cịn gọi là tích
f ( x)dx là biểu thức

dưới dấu tích phân.
Chứng minh. Nếu G Ỵ d thì tồn tại C Ỵ R để G = F + C và (G ( x))¢ = ( F ( x)
+C )¢ = (F(x))¢ = f ( x) . Do đó mọi phần tử của d đều là nguyên hàm của f .

Ngược lại, giả sử G là một nguyên hàm của f thì ( G ( x) - F (x) )¢ =
G¢( x ) - F ¢( x) = f ( x ) - f ( x ) = 0 , cho nên G - F là một hằng số, ta kí hiệu C .

Vậy G = F + C . Tức là G Ỵ d .
1.2. BÀI TỐN TÌM DIỆN TÍCH HÌNH THANG CONG
Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và không âm trên đoạn [ a, b] . Xét hình
thang cong AabB, được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành, và
hai đường thẳng x = a, x = b . Vấn đề cần đặt ra đi tính diện tích hình thang
cong AabB này. (Hình 1.1)


4

Hình 1.1
Chia đoạn [ a, b] đáy của hình thang, thành một số hữu hạn đoạn nhỏ
bởi các điểm:
a = x0 á x1 á x2 á.....á xn = b .

(1.1)

Ta gọi mỗi phép chia này là một phép phân hoạch, kí hiệu p . Trên mỗi

(

)

đoạn nhỏ D k = [ xk -1 , xk ] k = 1, n , ta lấy một điểm bất kì x k .
Khi hàm số y = f ( x ) không đổi trên đoạn D k thì trong suốt đoạn này
giá trị của hàm số là f (x k ) và lúc đó diện tích của hình thang cong con bằng:
f (x k ) ( xk - xk -1 ) .
Trong trường hợp tổng quát, nếu đoạn D k rất nhỏ, thì f (x k ) ( xk - xk -1 )
là giá trị gần đúng của diện tích hình thang cong con tức là:
Sk » f (x k ) ( xk - xk -1 ) .
Khi đó, nếu kí hiệu S là diện tích hình thang cong AabB thì:
n

n

k =1

k =1

S = å Sk » å f (x k ) ( xk - xk -1 ) .

(1.2)

Rõ ràng nếu ta chọn phép phân hoạch p sao cho d (p ) = max ( xk - xk -1 )
càng nhỏ thì mỗi hình thang con càng gần trùng với hình chữ nhật có đáy là


5

D k và có chiều cao là f (x k ) .

Vậy, diện tích hình thang cong AabB là:
S = lim

d (p )® 0

n

å f (x ) ( x
k

k =1

k

- xk -1 ) .

(1.3)

Theo (1.3) nếu ứng với mỗi số e ñ 0 nhỏ bao nhiêu tùy ý, tồn tại d ñ 0 ,
sao cho với mọi phân hoạch p mà d (p ) ád và với mọi cách lấy các điểm x k
ta đều có:
n

å f (x )( x
k

k =1

- xk -1 ) - S áe .

k

(1.4)

Định nghĩa 1.2.1. Cho hai số thực a , b với a £ b và p = { x0 , x1 ,.., xn } là một
phân hoạch của đoạn [ a, b] , nếu a = x0 á x1 á...á xk -1 á xk á...á xn = b , với x0 , x1 , ... ,
xk ,..xn là các điểm chia của phân hoạch p . P là tập tất cả các phân hoạch

của đoạn [ a, b] và d (p ) = max ( xk - xk -1 ) là đường kính của phép phân
kỴ{1,..,n}

hoạch p .
Cho hàm f : [ a, b ] ® R . f khả tích trên [ a, b] , nếu tồn tại I Ỵ R . Sao
cho "e ñ 0 , $d ñ 0 , "p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } Ỵ P mà d (p ) ád , "x k Ỵ [ xk -1

(

)

, xk ] k = 1, n . Ta có :
n

å f (x )( x
k

k =1

k

- xk -1 ) - I áe

I được gọi là tích phân xác định của hàm số y = f( x) trên đoạn [ a, b ] và kí

hiệu là:
b

I = ò f ( x)dx .
a

(1.5)


6

1

Ví dụ.

Tính

ị xdx .
0

Vì hàm y = f ( x ) liên tục trên đoạn [ 0,1] nên f ( x ) khả tích trên [ 0,1] .
éi -1 i ù
Theo định nghĩa ta chia đoạn [ 0,1] thành n đoạn ê
, , i = 1, n bằng nhau
ë n n úû
và có độ dài là

1
1
. Tức là Dxi = xi - xi -1 = . Gọi xi là điểm nằm giữa các
n
n

đoạn trên, khi đó xi =

2i - 1
. Như vậy:
2n

1

n

n

ò xdx = lim å f (xi )Dxi = lim ồ
nđ+Ơ

0

nđ+Ơ

i =1

i =1

1 2i - 1
.
n 2n

1
1
1 n
= lim 2 å (2i - 1) = lim 2 n 2 = .
nđ+Ơ 2n
nđ+Ơ 2n
2
i =1
1.3. CC TNH CHT CA TCH PHÂN XÁC ĐỊNH
Định lý 1.3.1. Cho hai số thực a, b với aáb . Cho hàm f : [ a, b ] ® R . f khả
tích trên [ a, b] . Khi đó f bị chặn trên đoạn [ a, b] .
Chứng minh. Giả sử f không bị chặn trên đoạn [ a, b] . Do f khả tích, ta
chọn e = 1 , nên $d ñ 0, "p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } Ỵ P mà d (p ) ád , "x k Ỵ

[ xk -1 , xk ].( k = 1, n ) , ta có:

n

å f (x )( x
k =1

k

k

- xk -1 ) - I áe .

(1.6)

Chọn p = {u0 , u1 ,.., uk -1 , uk ,.., um } Ỵ P , mà d (p ) ád . f không bị chặn
trên đoạn [ a, b ] = [u0 , u1 ] È [u1 , u2 ] È ... È [um -1 , um ] , nên tồn tại k0 Ỵ {1,.., m}
sao cho f khơng bị chặn trên đoạn éëuk0 -1 , uk0 ùû .


7

Với mọi k Ỵ {1,..., m} \ k0 , do f không bị chặn trên đoạn éëuk0 -1 , uk0 ùû . Chọn

x k Ỵ [uk -1 , uk ] sao cho:

( )

f x k0 ñ

å f (x )( u
k

k ¹ k0

k

- uk -1 ) - I + 1
.

uk0 - uk0 -1

(1.7)

Từ (1.6) ta có:
m

å f (x )( u
k =1

k

k

( )(

)

- uk -1 ) - I á1 Û f x k0 uk0 - uk0 -1 + å f (x k )( uk - uk -1 ) - I á1 .

( )(

) å f (x )( u

( )(

)

( )(

)

f x k0 uk0 - uk0 -1 -

Ta có:

k ¹ k0

k

k ¹ k0

k

- uk -1 ) - I £

f x k0 uk0 - uk0 -1 + å f (x k )( uk - uk -1 ) - I á1.
k ¹ k0

f x k0 uk0 - uk0 -1 á å f (x k )( uk - uk -1 ) - I + 1 .

Nên:

k ¹ k0

Điều này trái với giả thuyết. Nên f bị chặn trên đoạn [ a, b] .
Định lý 1.3.2. Cho f , g là hai hàm khả tích trên đoạn [ a, b] thì f + g cũng
khả tích trên đoạn [ a, b] , và

b

b

b

a

a

a

ò [ f ( x) + g ( x)]dx = ò f ( x)dx + ò g ( x)dx .

Chứng minh. Do f là hàm khả tích trên đoạn [ a, b] .
Với mọi e ñ 0 nên

e
ñ 0 , $d1 ñ 0, "p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } Ỵ P , mà d (p ) ád1
2

(

)

"x k Ỵ [ xk -1 , xk ] k = 1, n thì:
n

å f (x )( x
k =1

k

k

b

e
- xk -1 ) - ò f ( x ) dx á .
2
a

(1.8)


8

Do g là hàm khả tích trên đoạn [ a, b] , nên $d 2 đ 0, "p ¢ = {u0 ,u1 ,..., u p -1 , u p ,..

(

)

u m } ẻ P , m d (p  ) ád 2 , "h p Ỵ éëu p-1 , u p ùû p = 1,m , thì:
b

m

å g (h )( u
p

k =1

- u p -1 ) - ò g ( x ) dx á

p

a

e
2

(1.9)

Chọn d = min {d1 , d 2 } nên d ñ 0 , "p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } Ỵ P mà d (p ) ád

(

)

"x k Ỵ [ xk -1 , xk ] k = 1, n .
n

å f (x )( x

Từ (1.8) ta có:

k

k =1

k

n

å g (x )( x

Từ (1.9) ta có:

k

k =1

Nên :

k

b

e
- xk -1 ) - ò f ( x ) dx á .
2
a

b

e
- xk -1 ) - ò g ( x ) dx ỏ .
2
a

b
ổb
ử
f
x
+
g
x
x
x
f
x
dx
+
g
x
dx
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
ỗũ
ữ ỏe .
ồ
k
k
k
k -1
ũ
k =1
a
ốa
ứ
n

Vy f + g cng khả tích trên đoạn [ a, b] và

b

b

a

a

ị [ f ( x) + g ( x)]dx = ò f ( x)dx +

b

ò g ( x)dx .
a

Định lý 1.3.3. Cho f khả tích trên đoạn [ a, b] , a Ỵ R thì a f khả tích trên
b

b

a

a

đoạn [ a, b] và ò a f ( x)dx = a ò f ( x)dx .
Chứng minh.

a = 0 , điều này được thỏa mãn.
a ¹0
"e đ 0, $d1 =

e
đ 0 , "p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } Ỵ P , mà d (p ) ád1 , "x k Ỵ
2a


9

[ xk -1, xk ] .
n

å f (x )( x

Ta có:

k

k =1

k

- xk -1 ) - ị f ( x ) dx á

d
Chọn d = 1 , từ (1.10) ta có:
2

åa f (x )( x
k

k =1

a

n

å f (x )( x
k

k =1

b

n

Nên:

b

k

k

áa

(1.10)
b

- xk -1 ) - ò f ( x ) dx á

- xk -1 ) - a ò f ( x ) dx = a
a

e
áe .
2a

a

n

å f (x )( x
k =1

k

k

e
.
2a
b

- xk -1 ) - ò f ( x ) dx
a

e
e
= áe .
2a 2
b

b

a

a

Vậy a f khả tích trên đoạn [ a, b] và ò a f ( x)dx = a ò f ( x)dx .
Định nghĩa 1.3.1. Cho f : [ a, b ] ® R bị chặn, ấb . Với mọi phân hoạch

p = { x0 , x1 ,..xn } Ỵ P . Ta có :
n

I ( f , p ) = å M k ( xk - xk -1 ) với M k = sup { f ( x ) / x Ỵ [ xk -1 , xk ]} ;
k =1
n

I ( f , p ) = å mk ( xk - xk -1 ) với mk = inf { f ( x ) / x Ỵ [ xk -1 , xk ]} .
k =1

Lần lượt là tổng Darboux trên và tổng Darboux dưới với phép phân hoạch p .
Trên [ a, b] với ấb thì p = { x0 , x1 ,.., xk ,..xn } Ỵ P và p ¢ = { x0¢ , x1¢,.., xk¢ ,..xn } ẻ P
Phõn hoch p c gi l mn hơn p ¢ nếu tập tất cả các điểm chia của p ¢
được chứa trong tập các điểm chia của p .
Bổ đề 1.3.1. Cho f : [ a, b ] ® R bị chặn, ấb . Cho p , p  ẻ P , nu p mn hn

p  thì:
1.

I ( f ,p ) £ I ( f ,p ¢) ;

2.

I ( f ,p ) ³ I ( f ,p ¢) .


10

Trong đó, p mịn hơn p ¢ nếu tất cả các điểm chia của p ¢ được chứa trong tập
điểm chia của p và:
n

I ( f , p ) = å M k ( xk - xk -1 ) với M k = sup { f ( x ) / x Ỵ [ xk -1 , xk ]} ;
k =1
n

I ( f , p ) = å mk ( xk - xk -1 ) với mk = inf { f ( x ) / x Ỵ [ xk -1 , xk ]} .
k =1

Chứng minh.

{

}

{

}

Cho p ¢ = x0 , x1 ,.., x k0 -1 , xk0 ,.., xn Ỵ P , và p = x0 , x1 ,.., xk0 -1 , u, xk0 ,.., xn Ỵ P .
Ta có:
I ( f , p ¢ ) = sup f ( x )( x1 - x0 ) + ... +
xỴ[ x0 , x1 ]

sup
xỴéë xk0 -1 , xk0 ùû

(

)

f ( x ) xk0 - xk0 -1 + . ..

.. . + sup f ( x )( xn - xn-1 ) .
xỴ[ xn -1 , xn ]

I ( f , p ) = sup f ( x )( x1 - x0 ) + ... + sup
xỴ[ x0 , x1 ]

xỴéë xk0 -1 ,u ùû

(

)

(

)

f ( x ) u - xk0 -1 +

sup f ( x ) xk0 - u + .. + sup f ( x )( xn - xn-1 ) .

xỴéë u, xk0 ùû

xỴ[ xn -1 , xn ]

Mà:

(

sup
xỴéë xk0 -1 , xk0 ùû

)

f ( x ) u - xk0 -1 ³ sup

sup
xỴéë xk0 -1 , xk0 ùû

(

)

xỴéë xk0 -1 ,u ùû

(

)

f ( x ) u - xk0 -1 .

(

(1.11)

)

f ( x ) xk0 - u ³ sup f ( x ) xk0 - u .
xỴéë u, xk0 ùû

(1.12)

Từ (1.11) và (1.12) ta được:
sup
xỴéë xk0 -1 ,x k0 ùû

Vậy
Mặt khác:

(

)

f ( x ) xk0 - xk0 -1 ³ sup

xỴéë xk0 -1 .u ùû

(

)

(

)

f ( x ) u - xk0 -1 + sup f ( x ) xk0 - u .

I ( f ,p ) Ê I ( f ,p Â) .

xẻộởu , xk0 ùû


11

(

)

inf

f ( x ) u - xk0 -1 £ inf

inf

f ( x ) xk0 - u £ inf

xỴéë xk0 -1 , xk0 ùû

xỴéë xk0 -1 , xk0 ùû

(

)

xỴéë xk0 -1 ,u ùû

xỴéë u, xk0 ùû

(

)

f ( x ) u - xk0 -1 .

(

(1.13)

)

f ( x ) xk0 - u .

(1.14)

Từ (1.13) và (1.14) ta được:
inf

xỴéë xk0 -1 ,x k0 ùû

(

)

f ( x ) xk0 - xk0 -1 £ inf

xỴéë xk0 -1 .u ùû

(

)

(

)

f ( x ) u - xk0 -1 + sup f ( x ) u - xk0 .
xỴéëu , xk0 ùû

I ( f ,p ) ³ I ( f ,p ¢) .

Vậy:

Bổ đề 1.3.2. Cho f : [ a, b ] ® R bị chặn, ấb , Với mi p , p  ẻ P .
Khi ú : I ( f , p ) £ I ( f , p  ) .
Chng minh. Chn p 0 ẻ P , mà p 0 mịn hơn p , và p 0 mịn hơn p ¢ , theo bổ
I ( f , p 0 ) £ I ( f , p ¢ ) và I ( f , p 0 ) ³ I ( f , p ) .

đề 1.3.1 ta được:
Mà:

I ( f ,p 0 ) £ I ( f ,p 0 ) .

Vậy:

I ( f ,p ) £ I ( f ,p ¢) .

Định nghĩa 1.3.2. Cho f : [ a, b ] ® R bị chặn, ấb ,

b*

ò f ( x )dx = inf I ( f ,p ) và
a

p ỴP

b

ị f ( x )dx = sup I ( f ,p ) được gọi lần lượt là tích phân trên và tích phân dưới.
p ỴP

a*

Định lý 1.3.4. Cho f : [ a, b ] ® R bị chặn, ấb . Khi đó các điều kiện sau
tương đương
1. f khả tích trên [ a, b] .
2.

b

b*

a*

a

ị f ( x )dx = ò f ( x )dx .

3. "e đ 0, $p Ỵ P : I ( f , p ) - I ( f , p ) áe .


12

4. "e ủ 0, $p , p  ẻ P : I ( f , p ) - I ( f , p ¢ ) áe . Khi đó :

b

b

a

a*

ị f ( x )dx = ò f ( x )dx

b*

= ò f ( x )dx .
a

Chứng minh.
Từ (2) Þ (3), ta cú :
b*

e
e

"e ủ 0 ị $p ẻ P : I ( f , p ) á ò f ( x ) dx + v $p  ẻ P : I ( f , p ¢ )đ ị f ( x ) dx - .
4
4
a
a*
b

Chọn p 0 Ỵ P mà p 0 mịn hơn p và p 0 mịn hơn p ¢ , ta có :

e
e
I ( f , p 0 ) ³ I ( f , p ¢ )đ ò f ( x ) dx - Þ - I ( f , p 0 ) á - ò f ( x ) dx . (1.15)
4
4 a*
a*
b

b

b*

I ( f , p 0 ) £ I ( f , p ) á ò f ( x ) dx +

Và

a

Từ (1.15) và (1.16) ta được:

e

.
4

(1.16)

e
I ( f , p 0 ) - I ( f , p 0 ) á áe .
2

Từ (3) ị (4). Chn p = p  . (3) Þ (4) là điều hiển nhiên.
(4) Þ (2). Theo bổ 1.3.2 ta cú : "p , p  ẻ P thì : I ( f , p ) ³ I ( f , p ¢ ) .
b

Nên :

sup I ( f , p ¢ ) £ I ( f , p ) Þ ị f ( x )dx £ I ( f , p ) , "p Ỵ P .
p ÂẻP

a*

b*

b

ị ũ f ( x )dx Ê inf I ( f , p ) = ò f ( x )dx .
p ỴP

a*

b

Vậy :

b*

ị f ( x )dx £ ị f ( x )dx .

a

Mặt khác:

a

*

a

e
e
"e đ 0 Þ đ 0 ị $p , p  ẻ P : I ( f , p ) - I ( f , p ¢ ) á .
4
4

(1.17)


13

b*

ò f ( x )dx £ I ( f ,p ) .

Và

(1.18)

a

b

b

*

*

ò f ( x )dx ³ I ( f ,p Â) ị - ũ f ( x )dx Ê - I ( f ,p ¢) .

a

a

b*

b

a

a*

e

ị f ( x )dx - ò f ( x )dx £ I ( f ,p ) - I ( f ,p ¢) á 4 áe .

Từ (1.18) và (1.19) ta được:
b*

b

a

*

ò f ( x )dx - ò f ( x )dx £ e ,

Suy ra:

(1.19)

a

"e đ 0 .

Qua giới hạn khi e ® 0 ta được:
b*

b

a

a*

b*

b

a

*

ò f ( x )dx - ò f ( x )dx £ 0 .
ò f ( x )dx £ ò f ( x )dx .

Nên:

a

b

b*

a*

a

(1.20)

ò f ( x )dx = ò f ( x )dx .

Từ (1.17) và (1.20) ta được:

Từ (1) Þ (3)

e
"e đ 0 Þ đ 0, $d ñ 0 , sao cho "p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } Ỵ P , mà d (p ) ád ,
8

(

)

"x k Ỵ [ xk -1 , xk ] k = 1, n , ta có :
n

å f (x )( x
k =1

k

"k = 1, n, M k = sup f ( x ) và
xỴ[ xk -1 , xk ]

k

e
- xk -1 ) - I á .
8

e
ñ 0 , nên $x k Î [ xk -1 , xk ] :
8(b - a )

M k ³ f (x k )ñ M k -

e
.
8(b - a )

(1.21)


14

n

Þ I ( f , p ) ³ å f (x k )( xk - xk -1 ) ³ I ( f , p ) k =1

e

n

å - 8(b - a ) ( x

Vì

k

k =1

- xk -1 ) =

e
.
8

-e
.
8

n
e
e
³ 0 ³ å f (x k )( xk - xk -1 ) - I ( f , p ) ³ - .
8
8
k =1

Nên:

n

å f (x )( x

Ta được:

k

k =1

- xk -1 ) - I ( f , p ) £

k

e
.
8

(1.22)

Từ (1.21) và (1.22) ta có:
n

n

k =1

k =1

I - I ( f , p ) = I - å f (x k )( xk - xk -1 ) + å f (x k )( xk - xk -1 ) - I ( f , p )
n

£ I - å f (x k )( xk - xk -1 ) +
k =1

n

å f (x )( x

k

e

.
4

I - I ( f ,p ) £

Vậy

k

k =1

- xk -1 ) - I ( f , p ) £

(1.23)
f ( x ) và

Mặt khác: "k = 1, n

m k = inf

Nên $hk Ỵ [ xk -1 , xk ]

m k £ f (hk ) á mk +

xỴ[ xk -1 , xk ]

e
ñ0 .
8(b - a )

e
.
8(b - a )

n

Suy ra:

e e e
+ = .
8 8 4

I ( f , p ) £ å f (hk )( xk - xk -1 ) £ I ( f , p ) +
k =1

e
8

n
e
e
Û - £ 0 £ å f (hk )( xk - xk -1 ) - I ( f , p ) £ .
8
8
k =1

Vậy:

n

å f (h )( x
k =1

k

(

k

- xk -1 ) - I ( f , p ) £

)

e
.
8

Do d (p ) ád , "hk Ỵ [ xk -1 , xk ]. k = 1, n , nên từ (1.21) ta được:

(1.24)


15

n

å f (h )( x
k

k =1

k

e
- xk -1 ) - I á .
8

(1.25)

Từ (1.24) và (1.25) ta có:
n

n

k =1

k =1

I - I ( f , p ) = I - å f (hk )( xk - xk -1 ) + å f (hk )( xk - xk -1 ) - I ( f , p )
n

£ I - å f (hk )( xk - xk -1 ) +
k =1

n

å f (x )( x
k =1

k

k

I - I ( f ,p ) £

Nên

- xk -1 ) - I ( f , p ) £

e e e
+ = .
8 8 4

e
.
4

(1.26)

Từ (1.23) và (1.26) ta có:
I ( f ,p ) - I ( f ,p ) = I ( f ,p ) - I + I - I ( f ,p ) £ I ( f ,p ) - I + I - I ( f ,p )

e e e
á + = áe .
4 4 2
I ( f , p ) - I ( f , p ) áe .

Vậy :

Định lý 1.3.5. Cho f khả tích trên đoạn [ a, b] , mà f ( x ) £ g ( x ) , "x Ỵ [ a, b]

Khi đó

b

b

a

a

ị f ( x ) dx £ ò g ( x ) dx .

Chứng minh.
Ta có: "p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } Ỵ P .
sup f ( x ) £ sup g ( x ) .

"k = 1, n

xỴ[ xk -1 , xk ]

"x Ỵ [ xk -1 , xk ] :
Nên:
Suy ra:

xỴ[ xk -1 , xk ]

f ( x ) £ g ( x ) £ sup g ( x ) .
xỴ[ xk -1 , xk ]

sup f ( x )( xk - xk -1 ) £ sup g ( x )( xk - xk -1 ) .

xỴ[ xk -1 , xk ]

xỴ[ xk -1 , xk ]

I ( f ,p ) £ I ( g ,p ) .


16

b*

I ( g , p ) £ ò g ( x ) dx + e .

"e đ 0, $p Ỵ P :

a

b*

b*

a

a

ò g ( x ) dx + e ³ I ( g ,p ) ³ I ( f ,p ) ³ ò f ( x ) dx .

Nên:

b*

b*

a

a

ò f ( x ) dx £ ò g ( x ) dx + e , "e đ 0 .

Suy ra

b*

b*

a

a

ị f ( x ) dx £ ò g ( x ) dx .

Qua giới hạn khi e ® 0 , thì:
b

b

a

a

ị f ( x ) dx £ ò g ( x ) dx .

Vậy:

Định lý 1.3.6. Nếu f ( x ) = c, "x Ỵ [ a, b ] thì

b

ị f ( x ) dx = c ( b - a ) .
a

(

)

Chứng minh. "p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } Ỵ P , "x k Ỵ [ xk -1 , xk ] k = 1, n .
Ta có:
n

n

k =1

k =1

å f (xk )( xk - xk -1 ) = å c ( xk - xk -1 ) = c ( x1 - x0 ) + c ( x2 - x1 ) + .. + c ( xn - xn-1 )
= c ( xn - x0 ) = c ( b - a ) .
"e đ 0 , chọn d = 1 Þ d ñ 0 , "p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } Ỵ P mà d (p ) ád ,

(

)

"x k Ỵ [ xk -1 , xk ]. k = 1, n .
Thì :

n

å f (x )( x
k =1

k

Vậy f khả tích trên [ a, b] và

k

- xk -1 ) - c ( b - a ) = 0áe .

b

ò f ( x ) dx = c ( b - a ) .
a

Định lý 1.3.7. Nếu f khả tích trên đoạn [ a,c] . ( ấbác ) thì f khả tích trên
đoạn [ a,b ] và [b, c ] . Ngược lại cho f khả tích trên đoạn [ a,b ] và [b, c ] thì


17

f khả tích trên đoạn [ a,c] . Khi đó

c

b

c

a

a

b

ị f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx .

Chứng minh. Cho f khả tích trên đoạn [ a,c] . Chứng minh f khả tích trên
đoạn [ a,b ] .
"e ñ 0 , do f khả tích trên đoạn [ a,c] , $p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xn } là phân
hoạch của [ a,c] : I ( f, p ) - I ( f, p ) áe , nên $k = 1, n sao cho b Ỵ [ xk -1 , xk ] .
Nếu b là một điểm chia ca p ị $k0 ẻ {1,..n} sao cho b = xk0 .

{

}

Cho p 1 = x0 , x1 ,..., x p -1 , x p ,..., xk0 Þ p 1 là một phân hoạch của [ a,b ] .
ỉ
Vì I ( f , p ) - I ( f , p ) = ỗ I ( f , p 1 ) + sup f ( x ) xk0 +1 - xk0 + ..

ỗ
xẻộở xk0 , xk0 +1 ựỷ
ố

(

)

ử ổ
+ sup f ( x )( xn - xn-1 ) ÷ - ç I ( f , p 1 ) + inf f ( x ) xk0 +1 - xk0 + ...
xỴéë xk0 , xk0 +1 ùû
xỴ[ xn -1 , xn ]
ø è
æ
+ inf f ( x )( xn - xn-1 ) ö÷ = ( I ( f , p 1 ) - I ( f , p 1 ) ) + ç sup f ( x ) xk0 +1 - xk0
ç xỴé xk , xk +1 ù
xỴ[ xn -1 , xn ]
ø
è ë 0 0 û

(

)

(

+

inf

xỴéë xk0 , xk0 +1 ùû

ỉ
ư
f ( x ) xk0 +1 - xk0 ÷ + .. + ỗ sup f ( x )( xn - xn-1 )
ø
è xỴ[ xn -1 , xn ]

(

)

f ( x )( xn - xn-1 ) ửữ .
xẻ[ xn -1 , xn ]
ø

- inf
Mà:
sup
xỴëé xk0 , xk0 +1 ûù

(

)

f ( x ) xk0 +1 - xk0 -

sup f ( x )( xn - xn-1 ) - inf

xỴ[ xn -1 , xn ]

Nên:

inf

xỴéë xk0 , xk0 +1 ùû

xỴ[ xn -1 , xn ]

(

)

f ( x ) xk0 +1 - xk0 ³ 0 .

f ( x )( xn - xn-1 ) ³ 0 .

I ( f , p 1 ) - I ( f , p 1 ) £ I ( f , p ) - I ( f , p ) áe .

Nếu b khơng là một điểm chia của p Þ $k0 Î {1,..n} sao cho b Î éë xk0 -1 , xk0 ùû .

)


18

{

}

Cho p 1 = x0 , x1 ,..., x p-1 , x p ,..., xk0 -1 , b Þ p 1 là một phân hoạch của [ a,b ] , ta
I ( f , p 1 ) - I ( f , p 1 ) £ I ( f , p ) - I ( f , p ) áe .

có:

Vậy f khả tích trên đoạn [ a,b ] .
Chứng minh tương tự, f khả tích trên đoạn [b, c ] .
Ngược lại:

e
"e đ 0 Þ đ 0, do f khả tích trên đoạn [ a,b ] Þ $p = { x0 , x1 ,..., xk -1 , xk ,..., xm }
2
e
của [ a,b ] : I ( f , p ) - I ( f , p ) á .
2
Do f khả tích trên đoạn [b, c ] Þ $p ¢ = {u0 , u1 ,...,u p -1 , x p ,..., xn } của [b, c ] :

e
I ( f ,p ¢) - I ( f ,p ¢) á .
2
Chọn p 0 = { x0 , x1 ,..., xm , u0 ,u1 ,..., xn } Þ p 0 là phân hoạch của [ a,c] .
Ta có:
I ( f , p 0 ) - I ( f , p 0 ) = éë I ( f , p ) + I ( f , p ¢ ) ùû - éë I ( f , p ) + I ( f , p ¢ ) ùû

e e
= éë I ( f , p ) - I ( f , p ) ùû + éë I ( f , p ¢ ) - I ( f , p ¢ ) ùû á + = e .
2 2
Vậy f khả tích trên đoạn [ a,c] .
b
c

ìb
ìc
ï ị f ( x ) dx = ò f ( x ) dx ³ I ( f , p )
ï ò f ( x ) dx = ò f ( x ) dx ³ I ( f , p ¢ )
*
ïa
ïb
a
b*
Ta có: í b
và
í
b*
c*
c
ï
ï
¢
ï ị f ( x ) dx = ò f ( x ) dx £ I ( f , p )
ï ò f ( x ) dx = ò f ( x ) dx £ I ( f , p )
a
b
ỵa
ỵb
c
ìc
ï ị f ( x ) dx = ò f ( x ) dx ³ I ( f , p 0 )
ïa
a*
íc

c*
ï
ï ị f ( x ) dx = ò f ( x ) dx £ I ( f , p 0 )
a
ỵa


19

Mà:

b

c

a

b

I ( f , p 0 ) = I ( f , p ) + I ( f , p ¢ ) £ ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx .
£ I ( f ,p ) + I ( f ,p ¢) = I ( f ,p 0 ) .
c

Và :

I ( f , p 0 ) £ ò f ( x ) dx £ I ( f , p 0 ) .
a

Nên:

b

c

c

a

b

a

ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx - ò f ( x ) dx £ I ( f ,p ) - I ( f ,p ) áe .
0

Þ

b

c

c

a

b

a

ị f ( x ) dx + ị f ( x ) dx - ò f ( x ) dx £ e ,

0

"e ñ 0 .

Qua giới hạn khi e ® 0 ta được:
b

c

c

b

c

c

a

b

a

a

b

a

ị f ( x ) dx + ò f ( x ) dx - ò f ( x ) dx £ 0 Þ ị f ( x ) dx + ò f ( x ) dx - ị f ( x ) dx = 0
b

c

c

a

b

a

Þ ị f ( x ) dx + ò f ( x ) dx = ò f ( x ) dx .
b

c

c

a

b

a

ò f ( x ) dx + ò f ( x ) dx = ò f ( x ) dx .

Vậy

Định lý 1.3.8. (Định lý giá trị trung bình)
Cho f liên tục trên đoạn [ a, b] . Khi đó tồn tại c Ỵ [ a, b ] sao cho
b

ị f ( x ) dx = f ( c )( b - a ) .
a

Chứng minh. Đặt
Nên:

m = min f ( x ) , M = max f ( x ) .
xỴ[ a ,b ]

xỴ[ a ,b ]

b

b

b

a

a

a

m £ f ( x ) £ M , "x Ỵ [ a, b ] Þ ị mdx £ ị f ( x ) dx £ ị Mdx .
b

1
Þm£
f ( x ) dx £ M .
b - a òa