Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 11 giải bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng bằng công thức hình chiếu trong hình lăng trụ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 2

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH KHÁ GIỎI LỚP 11 TÌM LỜI
GIẢI CHO BÀI TỐN TÍNH GĨC GIỮA 2 MẶT PHẲNG
TRONG HÌNH LĂNG TRỤ

Người thực hiện: Nguyễn Hồng Tun
Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn.
SKKN thuộc mơn: Tốn học

THANH HÓA, NĂM 2021
1


MỤC LỤC

2


1. Mở đầu
1.1. Lí do chọn đề tài.
Hình học khơng gian là mơn học gây khơng ít khó khăn cho cả người học và
người dạy, đa số học sinh khi mới học thường rất khó để tưởng tượng ra được sự tương
giao của các đối tượng trong không gian, giáo viên thì đơi khi lúng túng trong việc
hướng dẫn học sinh tiếp cận các khái niệm cũng như hướng dẫn giải tốn.
Mặt khác các bài tốn của hình học khơng gian xuất hiện trong các đề thi đặc biệt
là các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh và đề thi Tốt nghiệp THPT là các câu khó ở mức độ

vận dụng, vận dụng cao vì vậy để cung cấp cho học sinh nhiều cách tiếp cận sẽ tạo
điều kiện cho học sinh có nhiều hơn cơ hội giải quyết bài tốn.
Trong các dạng tốn về hình học khơng gian trong chương trình lớp 11 thì dạng
tốn tính góc giữa hai mặt phẳng là dạng tốn khó, thơng thường học sinh cần xác định
được góc rồi mới tính tốn nhưng chính điều đó lại gây khơng ít khó khăn cho học
sinh và cả giáo viên, nhằm cung cấp thêm cho học sinh và đồng nghiệp một cách tiếp
cận khác với dạng tốn này là tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức hình chiếu
với hy vọng giúp được học sinh khá giỏi ơn tập tốt để chuẩn bị cho kì thi học sinh giỏi
cấp tỉnh và cũng là tài liệu cho đồng nghiệp trong tổ chun mơn tham khảo.
Vì các lý do trên tôi mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm: “ Hướng dẫn học
sinh khá giỏi lớp 11 giải bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức
hình chiếu trong hình lăng trụ”.
1.2. Mục đích nghiên cứu.
Mục đích nghiên cứu nhằm cung cấp phương pháp tư duy cho học sinh trong các bài
toán vận dụng, vận dụng cao trong bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình
lăng trụ giúp các em có khả năng lấy được điểm cao các kì thi học sinh giỏi và trong
kỳ thi Tốt nghiệp THPT đồng thời giúp đồng nghiệp trong tổ chun mơn có thêm
nguồn tài liệu tham khảo trong giảng dạy.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài này nhằm tổng kết và phân loại đồng thời đưa ra cách giải quyết các bài
toán vận dụng, vận dụng cao trong bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng trong hình
lăng trụ xuất hiện trong các đề thi chọn Học sinh giỏi cấp tỉnh và đề thi Tốt nghiệp
THPT các năm gần đây.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.
-

Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu sách giáo khoa, sách tham khảo.
Phương pháp thực nghiệm sư phạm: Tổ chức một số tiết dạy.
- PP thống kê, xử lý số liệu: lấy phiếu thăm dò về mức độ hứng thú, thống kê
điểm kiểm tra của học sinh hai lớp thực nghiệm và đối chứng.

3


2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2.1.1. Cách xác định góc gữa 2 mặt phẳng cắt nhau bằng cách chỉ ra góc đó.
( a ) ( b)
D
Cho hai mặt phẳng
và
cắt nhau theo giao tuyến . Để tính góc giữa hai mặt
phẳng bằng cách chỉ ra góc giữa hai mặt phẳng đó theo các cách như sau
Phương pháp 1:
a,b
Dựng hai đường thẳng
lần lượt nằm trong hai
D
mặt phẳng và cùng vng góc với giao tuyến
( a ) ,( b) = ( a,b)
D
tại một điểm trên . Khi đó
.
( g)
Hiểu cách khác, ta xác định mặt phẳng
vng
( g) Ç ( a ) = a
D
góc với giao tuyến
và

( a ) ,( b) = ( a,b)
( g) Ç ( b) = b
. Suy ra
.

(

(

)

)

Phương pháp 2: (trường hợp đặc biệt)

A, B

Nếu có một đoạn thẳng nối hai điểm
với
A Ỵ ( a ) B Ỵ ( b)
AB ^ ( b)
A
,
mà
thì qua
hoặc
B
ta dựng đường thẳng vng góc với giao tuyến
D
H

của hai mặt phẳng tại
. Khi đó
·
a , b = AHB

(( ) ( ))

.

2.1.2. Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức hình chiếu.
Để tìm góc giữa hai mặt phẳng, ngồi cách xác định góc của 2 mặt phẳng đó và tính
ta cịn có thể tính góc giữa 2 mặt bằng cơng thức hình chiếu.
Sử dụng cơng thức hình chiếu: Cơng thức
Giả sử cần tính góc giữa 2 mặt phẳng

S ' = S.cosj

( A B C ) ( ABC )
1 1 1

và

là

j

4


B1. Xác định hình chiếu vng góc của

D A ' B 'C '

B2. Tính diện tích các tam giác

D A1B1C 1

và

D A1B1C 1

trên mặt phẳng

B3. Dựa vào công thức

là

D A ' B 'C '

SA 'B 'C ' = SD A B C .cosj Þ cosj =
1 1 1

( ABC )

SA ' B 'C '
SD A B C

1 1 1

.

2.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua thực tiễn dạy ôn thi cho Học sinh giỏi các năm gần đây và trao đổi với các thầy cơ
giáo trong bộ mơn tốn nhà trường, tơi nhận thấy việc các thầy cơ vẫn đang cịn gặp
nhiều khó khăn trong khi hướng dẫn các em tìm lời giải cho các bài tốn: Tính góc
giữa hai mặt phẳng, đặc biệt bài tốn đó đặt trong hình lăng trụ. Đa số chỉ hướng dẫn
các em cách dựng góc giữa hai mặt phẳng và tính .Vì vậy, tơi nhận thấy với cách làm
như vậy sẽ đưa học sinh vào một số thử thách trong giải toán dạng này:
Một là, các em chỉ biết một cách giải cho loại toán này, em dựng góc gặp khó
khăn thì khơng cịn giải pháp khác.
Hai là, một số bài toán phức tạp các em sẽ gặp khó khăn trong việc định hướng
tìm lời giải. Ngược lại, những em có hướng giải quyết bài tốn thì khơng đủ thời gian
để tìm lời giải nên dẫn đến tình huống đốn mị.
Từ thực tế đó, địi hỏi cần có trang bị thêm cho các em cách tư duy bài tốn
theo nhiều hướng khác trong đó có việc dạy các em tính góc bằng cơng thức hình
chiếu là việc làm rất cần thiết trong việc ôn luyện cho học sinh giỏi cũng như học sinh
mũi nhọn trong kì thi TNTHPT của nhà trường trong giai đoạn hiện nay.
2.3. Các giải pháp để giải quyết vấn đề.
Qua thực tế giảng dạy ôn tập cho các em về các bài toán liên quan đến tính góc giữa
hai mặt phẳng tơi chia thành các dạng bài tập và hướng dẫn các em phương pháp
chung để giải quyết đồng thời đưa cung cấp thêm cách giải quyết bài tốn bằng cơng
thức hình chiếu giúp các em có nhiều cách tiếp cận bài tốn và có nhiều hơn một
phương pháp giải cho dạng tốn này.
2.3.1.

Dạng 1: Góc giữa mặt đáy và mặt phẳng khác trong hình lăng trụ.

ABC .A ¢B ¢C ¢
Ví dụ 1. [Mức độ 3] Cho lăng trụ tam giác
có đáy là tam giác đều
¢

¢
¢
M
a
A A = A B = A C =a
AA ¢
cạnh bằng và
. Gọi
là điểm trên cạnh
sao cho
3a
AM =
( MBC ) ( ABC )
4
. Tính tang của góc hợp bởi hai mặt phẳng
và
.
Lời giải

5


Phân tích: đây là bài tốn tính góc giữa 2 mặt phẳng, sau đây ta sẽ trình bày hai
cách giải theo 2 cách tiếp cận, cách 1: dựng góc và tính, cách 2: sử dụng cơng thức
hình chiếu.
Cách 1. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng bằng cách chỉ ra góc.
( a ) ( b)
D
Cho hai mặt phẳng
và

cắt nhau theo giao tuyến .

a,b

Dựng hai đường thẳng

lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vng góc với
( a ) ,( b) = ( a,b)
D
D
giao tuyến
tại một điểm trên . Khi đó
.
( g)
D
Hiểu cách khác, ta xác định mặt phẳng
vng góc với giao tuyến
và
( a ) ,( b) = ( a,b)
( g) Ç ( a ) = a ( g) Ç ( b) = b
,
. Suy ra
.

(

(

)

)

Lời giải cách 1.
Gọi

O

ABC

A ¢O ^ ( ABC )

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
. Khi đó,
.
( ABC )
AH ^ BC
ABC
Trong mặt phẳng
, dựng
. Vì tam giác
đều nên
AH =

a 3
2

.

Ta có

6


ùù
BC ^ AH ỹ
ý ị BC ^ ( A ÂHA ) ị BC ^ MH
BC ^ A ÂO ùù
ỵ

Do ú,

( ( MBC ) ,( ABC ) )

Xét tam giác đều
Þ MB =

A ¢AB

.
·
= ( MH , AH ) = MHA = a
.

ta có

13
·
MB 2 = MA 2 + AB 2 - 2MA.AB.cosMAB
= a2
16

13
3
a Þ MH = MB 2 - BH 2 = a
4
4

·
Þ cosMHA
=

2

2

.

2

AH + MH - AM
3
3
=
Þ cosa =
Þ tan a = 2
2AH .MH
3
3

.

Cách 2. Sử dụng công thức hình chiếu.
Sử dụng cơng thức hình chiếu: Cơng thức
Cần tính góc giữa 2 mặt phẳng

S ' = S.cosj

( MBC ) ( ABC )
và

B1. Xác định hình chiếu vng góc của
D HBC
B2. Tính diện tích các tam giác

D MBC

và

j

D MBC

trên mặt phẳng

( ABC )

là

D HBC

cosj =
B3. Dựa vào cơng thức hình chiếu:

là

SD HBC
SD MBC

.

Lời giải cách 2.

7


A 'O ^ (ABC )
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó
. Kẻ
AH
AM
3
AH
1
=
= Þ
=
AO
AA ' 4
AN
2

MH ^ AN
suy ra
. Khi đó hình chiếu của tam giác
MBC lên mặt (ABC) là tam giác HBC.
a 3
a 3
a2 3
AN =
Þ AH = HN =
Þ SHBC =
2
4
8

HB = HC = HN 2 + BN 2 =
Þ MB = MC =
Þ SMBC =

.

a 7
a 6
3
a 6
, A 'O =
Þ MH = A 'O =
4
3
4
4

a 13
4

3a2
8

Þ cos( (MBC ),(ABC )) =

SHBC
3
=
Þ tan ( (MBC ),(ABC )) = 2
SMBC
3

.

Để thấy rõ tính hiệu quả của cách thứ 2 ta xét tiếp ví dụ sau.
Ví dụ 2. [Mức độ 3] Cho lăng trụ tam giác đều

ABC .A 'B 'C '

có đáy là tam giác đều

A1 B1 C 1
có cạnh bằng . Trên các cạnh bên lấy các điểm , ,
lần lượt cách đáy
a
3a

( A1B1C 1) (ABC )
2 a 2
một khoảng bằng , ,
. Tính góc giữa
và
.
ABC

a

Phân tích. Rõ ràng với bài tốn này cách xác định góc thơng thường theo cách 1
là khó khăn, từ việc dựng giao tuyến của hai mặt phẳng đến tìm mặt phẳng vng góc
với giao tuyến đó. Sau đây ta sử dụng cơng thức hình chiếu để thấy tính hiệu quả của
nó.

Lời giải.

8


A1B1C 1

Ta có hình chiếu của tam giác
lên mặt
(ABC )
ABC
phẳng
chính là tam giác
BB1
D

E F
Gọi
là trung điểm
. Gọi ,
là hai điểm
CC 1
CE = EF = FC 1
trên đoạn
sao cho
.
a
CE = EF = FC 1 = BD = DB1 =
2
Ta được:
.

A1B1 = AD 2 + DB12 =

Suy ra :
2

AC
= A1E + EC
1 1

2
1

a 5
a 5

B1C 1 = FC 12 + FB12 =
2
2
;
;

= a 2 Þ SA1B1C1

a2 6
=
4

.

3
4 = 2
Û cosa =
2
6
a2
= SA B C .cosa
1 1 1
4
a2.

SABC

Ta lại có

Vậy góc giữa hai mặt

(A BC )
1 1 1

và

(ABC )

Ví dụ 3. [Mức độ 3] Cho hình lăng trụ

A

AB = AC = a,

BK =

3
BC .
4

AA ' =

là

450

.

ABC .A ' B 'C '.

a 30
8

.

Tam giác

ABC

vuông cân tại

. K là điểm thuộc cạnh BC sao cho

Hình chiếu của A’ trên (ABC) là trung điểm H của AK.

Tính góc giữa (BCC’B’) và (ABC).
Lời giải
Cách 1. Sử dụng cơng thức hình chiếu.

9


Dựng hình bình
Þ C 'E ^ (ABC)
.
BC = a 2, BE =

hnh

A ÂHEC Âị

t

giỏc

A ' HEC '

l

hỡnh

ch

nht

a 170
a 10
a 10
a 5
, AK =
Þ AH =
Þ A 'H =
= C 'E
8
4
8
4

Þ C 'B = C ' E 2 + BE 2 =

a 190
a2 14
Þ SC ' BC =
8
8

SEBC = SHBC

S
1
a2
14
= SABC =
Þ cosa = EBC =
2
4
SC ' BC
7

Þ tan a =

10
10
Þ a = arctan
2
2

.

Cách 2. Xác định góc giữa 2 mặt phẳng bằng cách chỉ ra góc.

+) Dựng hình bình hành
Þ C 'E ^ (ABC)
.

A ÂHEC Âị

t giỏc

A ' HEC '

l hình chữ nhật

10


+)

EF ^ BC , ( F ẻ BC ) ị C ' F ^ BC

kẻ

Þ j = ( (ABC ),(BCC ' B ')) = C· ' FE

I

Gọi
AH =

trung

a 10
a 5
, A 'H =
8
4

+) Ta có
ECF

là

AK

đồng dạng

tan j =
+)

.

Có

a 2
2

AK =

,

a 10
4

,

.

song song với
Þ

BC

điểm

AI =

CE

suy ra

·
·
AK I = ECF Þ

hai tam giác

AK I

và

AI
EF
AI .CE
1
a 2
=
Þ EF =
= AI =
.
AK
CE
AK
2
4

C 'E
a 5 4
10
10
=
.
=
Þ j = arctan
.
EF
4 a 2
2
2

2.3.2. Dạng 2: Góc giữa hai mặt bất kì trong hình lăng trụ.

ABCD.A 'B 'C ' D '
Ví dụ 4.[Mức độ 3] Cho hình lăng trụ tứ giác đều
có
AB = a, AA ' = 2a
( BDD 'B ')
cosin
. Tính
của góc giữa hai mặt phẳng
và
( ABC 'D ') .

Lời giải

A

D
I

B

C

A'

B'

K
D'

C'

Cách 1. ( xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng định nghĩa)

11


ABCD
Vì
là
AC ^ ( BDD 'B ') .

Kẻ

CK ^ BC '

hình

, mà

vng

CK ^ AB

Vậy góc giữa hai mặt phẳng
AC
CK .
thẳng
và
ACK
Xét tam giác

có

nên

AC ^ BD

nên

,

CK ^ ( ABC 'D ')

( BDD 'B ')

và

( ABC 'D ')

mà

AC ^ BB '

.

Vậy

.
bằng góc giữa hai đường

AC = a 2

1
1
1
1
1
5
2a 5
=
+
=
+
=
Þ
CK
=
.
5
CK 2 BC 2 CC '2 a2 ( 2a) 2 4a2
BC 2
BK =
=
BC '

2

a2
a2 + ( 2a)

2

ổ
ử
a 5
a 30
ỗa 5ữ
ữ
=
ị AK = AB 2 + BK 2 = a2 + ỗ
=
.
ữ
ỗ
ữ
5
5
5
ữ
ỗ
ố
ứ
2

ổ
ử
2
a
5
ữ
ỗ
ữ

2a + ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
5
ữ
ố
ứ
2

Ã
cosACK
=

AC 2 +CK 2 - AK 2
=
2.AC .CK

2.a 2.

Vy

2

ổ
ử
a
30
ữ

ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
ố 5 ữ
ứ

2a 5
5

=

10
.
5

Cỏch 2. (S dụng cơng thức hình chiếu)
ABCD
Vì
là
AC ^ ( BDD 'B ') .

hình

vng

nên

AC ^ BD

,

mà

AC ^ BB '

. Vậy

Suy ra I là hình chiếu của A lên (BDD’B’)
nên tam giác IBD là hình chiếu của tam giác ABD lên mặt phẳng (BDD’B’).
1
a2 2
a2 5
SIBD ' = DD '.IB =
BD ' = a 6, AD ' = a 5 Þ SABD ' =
2
2
2
;

Þ cosa =

SIBD '
10
=
SABD '
5

12


Vậy

cosin

của góc giữa hai mặt phẳng

( BDD 'B ')

và

( ABC 'D ')

bằng

10
.
5

ABC
ABC .A ¢B ¢C ¢
Ví dụ 5. [Mức độ 4] Cho hình lăng trụ đứng
có tam giác
vng
M ,N
A AB = AC = 2a AA ¢= 2a 2
BC

cân tại ,
,
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
( AMN )
( ABN )
CC ¢
và
. Tính Cosin góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
.

Lời giải
Cách 1. (Sử dụng cơng thức hình chiếu)

Từ B kẻ BH vng góc MN.

Do

ìï AM ^ BC
ï
Þ AM ^ (BCC ' B ) Þ AM ^ BH Þ BH ^ (AMN )
í
ïï AM ^ CC '
ỵ

Suy ra tam giác ANH là hình chiếu của tam giác ANB lên mặt phẳng (AMN).
BN = a 10, AN = a 6 Þ SANB = a2 6

.

MC
MN
MC .BM
=
Þ MH =
= a Þ MN = 3a
MH
BM
MN
1
3a2 2
= NH .AM =
2
2

D MCN : D MHB Þ
Þ SANH

Þ cosa =

SANH
3
=
SANB
2

.

Cách 2. (Xác định góc bằng cách chỉ ra góc đó).

13


Ta

cú

BC = AB 2 = 2a 2 = AA Â

ị CN = CM = BM = a 2
Gọi

H

là trung điểm ca

nờn

BCC Â
BÂ

l

hỡnh

vuụng

.

MN ị CH ^ MN

.

ỡù AM ^ BC
ù
ớ
ùù AM ^ BB Â
AM ^ ( BCC Â
C)
ợ
Ta
cú
nờn
.
AM ^ ( BCC ¢
C ) Þ AM ^ CH Þ CH ^ ( AMN ) ( 1)

Mặt khác
AN
lên

ìï AB ^ AC
ï
Þ AB ^ ( ANC )
ớ
ùù AB ^ NC
ợ

ỡù AB ^ CK

ị ùớ
ị CK ^ ( ANB )
ïï AN ^ CK
( 2)
ỵ

Từ

. Gọi

K

là hình chiếu vng góc của

CMN

vng cân tại

C

CH =

nên

C

.

·
( 1) ,( 2) Þ ( ( AMN ) ,( BAN ) ) = (CK ,CH ) = HCK

Tam giác

Vì

=a
.

MN
CM 2
=
=a
2
2

.

14


Tam giác
Þ CK =

ANC

vng tại

C

nên

NC .AC
NC .AC
a 2.2a 2a 3
=
=
=
2
2
AN
3
a
6
NC + AC

Þ cosa =

CH
3
3
= a.
=
CK
2
2a 3

D CHK
H
+Xét
vng tại

.
Nhận xét. Qua ví dụ trên ta thấy ngồi việc cung cấp cho học sinh một cách tiếp cận
khác để giải bài toán cịn thể hiện tính hiệu quả trong các bài tốn cụ thể, từ đó rút
ngắn thời gian làm bài và tạo hứng thú cho học sinh khi giải dạng toán này.
ABC .A ' B 'C '
a.
Ví dụ 6. [Mức độ 4] Cho hình lăng trụ
có đáy là tam giác đều cạnh
M ,N
BB ',CC '.
A 'A = A ' B = A 'C = 2a.
Gọi
lần lượt là trung điểm của
Xác định
( A 'BC ) ( A 'MN ) .
cosin của góc giữa
và
Lời giải
Cách 1. (Xác định góc bằng cách chỉ ra góc đó).

Gọi
A¢
nên

K

là trung điểm của

BC .

Do tam giác

ABC

đều và tam giác

A ¢BC

cân tại

AK ^ BC ; A 'K ^ BC
.
Gọi

I

là trung điểm

MN .

Ta có

A ' I ^ MN

(do tam giác

A ' MN

cân tại

A'

).

15


ìï MN //BC
ïï
ï A ' I Ì A ' MN , A ' I ^ MN Þ j = A 'MN ; A 'BC = A 'I ;A 'K
í
(
)
(
)(
) (
)
ïï
ïï A ' K Ì ( A ' BC ) , A ' K ^ BC
ợ

(

Ta cú:

)

à A 'I
ị cosj = cosK
a2

a 15
1
A ' K = AB - BK = 4a =
IK = BB ¢ = a.
4
2
2
2

2

2

,

A ' B 2 + A ' B '2 BB '2 3a2
a 5
A 'M =
=
. A ' I = A ' M 2 - MI 2 =
.
2
4
2
2
2

A ' K 2 + A 'I 2 - K I 2
8 3
8 3

·
cosK A ' I =
=
Þ cosj =
.
2A 'K .A 'I
15
15

Cách 2. (Sử dụng cơng thức hình chiếu)

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Suy ra H là hình chiếu vng
SABC =

a2 3
1
a2 3
a2 15
Þ SHBC = SABC =
; SA 'BC =
4
3
12
4

góc của A’ lên ABC.
SHEF

2a2 3
a 21

=
; HE = HF =
Þ A ' E = A ' F = a 6 Þ SA 'EF = a2 5
3
3

16


b

a

Gọi

g

là góc tạo bởi (A’BC) và (A’B’C’), là góc tạo bởi (A’B’C’) và (A’MN),
g=a- b

là góc tạo bởi (A’BC) và (A’MN). Khi đó:
cosa = cos( (A ' BC ),(ABC )) =

cos b =

.

SHBC
5
2 55

=
Þ sin a =
SA ' BC
15
15

SHEF
2 15
165
=
Þ sin b =
SA 'EF
15
15

cos g = cos(a - b) = cosa cos b + sin a sin b =

8 3
15

Ta có:

.

2.3.3. Bài tập áp dụng và hướng dẫn giải.
ABC .A ' B 'C '
AB = AC = a
Bài tập 1. [Mức độ 3] Cho hình lăng trụ đứng
có
,

·
M, N
BAC
= 120°
B 'C '
CC '
. Gọi
lần lượt là trung điểm của
và
. Biết thể tích
ABC .A 'B 'C '

khối lăng trụ
( ABC )
mặt phẳng
.
Phân tích.

bằng

3a3
4

. Tính cosin góc giữa mặt phẳng

B1: Xác định hình chiếu vng góc của
D APC

D AMN

trên mặt phẳng

SAPC = SAMN .cosj Þ cosj =
B2: Dựa vào cơng thức
B3: Tính diện tích tam giác

D APC

AMN

( ABC )

và

là

.

.

B4: Áp dụng định lí pitago tính tốn các cạnh
B5: Tính diện tích tam giác

SAPC
SAMN

( AMN )

BC , A ¢M , AM , MN , AN , AH

.

.

B6: Thay vào công thức bước 2 để tìm kết quả.

17


Từ đó, ta có thể giải bài tốn cụ thể như sau:
Lời giải
P

 Gọi

là trung điểm của

BC

, khi đó
D AMN

là hình chiếu vng góc của
( ABC )
phẳng
.

SAPC = SAMN .cosj Þ cosj =
 Ta có



1
a2 3
SAPC = SABC =
2
8

D APC

trên mặt

SAPC
SAMN

.

.

BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2AB.AC .cosA = 3a2


ị BC = a 3

.

A Âị A ÂM ^ B ÂC Â
cõn ti
, suy ra
V

Vlt = Bh ị h = lt = a
B
w
.
w Vì

w

w

w

A ¢B ¢C ¢

D MNC ¢

D AA ¢M

D ACN

w Gọi

w

H

vuông tại

A ¢M = A ¢B ¢2 + B ¢M 2 =

C ¢Þ MN = C ¢
M 2 +C ¢
N2 =a
A ¢Þ AM = A ¢A2 + A ÂM 2 =

vuụng ti
C ị AN = AC 2 +CN 2 =

vuông tại

là trung điểm của

1
a2
SAMN = AH .MN =
2
4

.

.

a 5
2

a 5
2

a
2

.

.

MN Þ AH = AM 2 - MH 2 = a

.

.

18


cosj =
w Vậy

SAPC
3
=
SAMN
2

.

ABC .A ¢B ¢C ¢
Bài tập 2. [Mức độ 3] Cho lăng trụ đứng
có
CA = CB = a, BB ¢= a 2 ·
ABC = 45°

I
CC ¢
,
. Gọi là điểm trên cạnh
sao
(A ' BI )
cho mặt phẳng
chia hình lăng trụ thành 2 phần có thể tích bằng
( ABC ) ( A 'BI )
nhau. Tính cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
.
Lời giải
Gọi

V

A’

là thể tích của hình lăng trụ đã cho. Ta có:

1
1
VABCIA ' =V I .ABA ' +VI .ABC = V +V I .ABC = V
3
2
1
Þ VI .ABC = V
6
1

a
Þ I C = I C ' = CC ' = .
2
2

và

AB = a 2 Þ ABCD

SABC

1
a2
= CACB
.
=
2
2
2

là hình vuông.

C’

B’

I

O

A

C
M

.

B

2

A ' B = AB + AA ' = 2a
IB = IA ' = IC 2 + BC 2 =

6
a2 2
Þ SA 'BI =
2
2

Ta thấy tam giác ABC là hình chiếu của tam giác A’BI lên mặt phẳng (ABC) nên
S
2
SABC = SA 'BI .cos( (A ' BI ),(ABC )) Þ cos( (A ' BI ),(ABC )) = ABC =
SA ' BI
2
.
Cách khác. Gọi

V

là thể tích của hình lăng trụ đã cho. Ta có:

19


1
1
1
VABCIA ' = V I .ABA ' +VI .ABC = V +V I .ABC = V Þ VI .ABC = V
3
2
6
1
a
Þ IC = IC ' = CC ' = .
2
2
và

AB = a 2 Þ ABCD

Dễ thấy:

là hình vng.
MC ^ ( AA ' B ' B ) Þ I O ^ ( AA ' B ' B ) Þ AB ' ^ ( A 'BI )

Mặt khác ta có:
Nên

A ' A ^ ( ABC )

· 'AB ' = 450
((A ' BI ),(ABC )) = ( AA ', AB ') = A
2
.
2

cos((A ' BI ),(ABC)) =

Do đó:

Bài tập 3. [Mức độ 3] Cho hình hộp chữ nhật

AD = a 2; AA ' = a 3.
Ba điểm

ABCD.A 'B 'C 'D '

có

AB = a;

M ,N ,P

lần lượt là trung điểm các cạnh
( MNP ) (CC 'D ) .
A ' D ',C ' D ',CC '
a
. Gọi là góc giữa hai mặt phẳng

và
Tính
cosa.
Lời giải
SPND '

1
a2 3
= PC '.D ' N =
2
8

.

a 3
a 6
, MC ' =
2
2
3a
2
2
Þ MP = MC ' + PC ' =
2
2
a 11
Þ SMNP =
8
NP = a, MN =

Do tam giác PND’ là hình chiếu của tam giác MNP lên mặt phẳng (CC’D) nên
S
33
Þ cosa = NPD ' =
SNPD ' = SMNP .cosa
SMNP
11

20


Cách khác.
( MNP ) / / ( ACD ')
Ta có:
nên
a = ( ACD ') , ( CC ' D )
.
K ,H
Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc
AC , KD ' Þ DH ^ ( ACD ') .
D
của
trên

(

)

Lại có

Ta có:

AD ^ (CC 'D )

nên

·
a = ( DH , AD ) = ADH

.

1
1
1
1
1
1
1
11
a 6
=
+
+
=
+
+
=
Þ
DH

=
DH 2 DA 2 DC 2 DD '2 2a2 a2 3a2 6a2
11
a 6

Tam giác

ADH

vng tại

H,

cosa =

có:

DH
3
33
= 11 =
=
DA
11
a 2
11

.

ABC .A ¢B ¢C ¢ AB = 2 3

Bài tập 4. [Mức độ 4] Cho hình lăng trụ tam giác đều
có
M ,N,P
A ¢B ¢, A¢C ¢
AA ¢= 2
và
. Gọi
lần lượt là trung điểm của các cạnh
( AB ¢C ¢) ( MNP )
BC
và
. Tính Cơsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
.

Lời gii

Gi

I = AC Âầ NC , K = AB Âầ BM

. Suy ra

I K = ( AB ÂC Â) ầ ( MNP )

.

21

MN
Ta cú
l ng
ị MN / / B ÂC Âị IK / / B ÂC Â

trung

bỡnh

ca

tam

A ÂB ÂC Â

giỏc

Q
B ÂC Âị AQ ^ B ÂC Âị AQ ^ IK
Gi
l trung im của
.
Kẻ EF vng góc AQ.
A ¢Q ^ B ¢C ¢
AA ¢^ B ¢C ¢
Vì
và
B ¢C ¢^ ( AA ¢Q ) Þ IK ^ ( AA ¢QP ) Þ IK ^ EF Þ EF ^ (AB 'C ')

nên

Suy ra tam giác IKF là hình chiếu của tam giác IKE lên mặt phẳng (AB’C’).
IK =

2
4 3
5
1
5 3
B 'C ' =
, EH = Þ SIK E = I K .EH =
3
3
6
2
9

.

A 'Q.AA ' 3 13
9 13
1
13
=
,QF = EQ 2 - EF 2 =
,QH = AQ =
2AQ
13
26
3

3
13
Þ HF =
78
EF =

S
1
1
13
SIK F = IK .FH =
Þ cos a = IK F =
2
SIKE
65
3 39

.

Cách khác.

Gọi

I = AC Âầ NC , K = AB Âầ BM

. Suy ra

I K = ( AB ÂC Â) ầ ( MNP )

.

22


MN
Ta cú
l ng
ị MN / / B ÂC Âị IK / / B ÂC Â

trung

bỡnh

ca

tam

giỏc

A ÂB ÂC Â

B ÂC Âị AQ ^ B ÂC Âị AQ ^ IK
l trung im của
.
A ¢Q ^ B ¢C ¢
AA ¢^ B ¢C ¢
Vì
và
B ¢C ¢^ ( AA ¢Q ) Þ I K ^ ( AA ÂQP ) ị IK ^ EP
Gi

Q

T õy ta suy ra gúc gia
Xột

hỡnh

ị AQ = 13

ch

nht

( AB ÂC Â)
AA ¢QP

và

nên

( MNP )
có

AQ EP
là góc giữa
và
.
A ¢Q = A¢B ¢.sin60° = 3
AA Â= 2

v

.

ị EP =

5
2

E = MN ầ A ¢Q
A ¢Q
E
Gọi
nên
là trung điểm của
.
EH
HQ
EQ
1
1
5
1
13
Þ
=
=
= Þ HE = EP =
HQ = AQ =
HP

HA
AP
2
3
6
3
3
và

Tam giác

HEQ

có

HE 2 + HQ 2 - EQ 2
13
·
cosEHQ =
=2HE .HQ
65

Do đó cơsin của góc tạo bởi hai mặt phẳng

( AB ¢C ¢)

và

.

( MNP )

bằng

13
65

.

ABC .A ¢B ¢C ¢
Bài tập 5. [Mức độ 4] Cho hình lăng trụ tam giác đều
có tất cả các
M
N
a
AA ¢
cạnh đều bằng . Gọi
và
là hai điểm nằm trên cạnh
sao cho
( NB ¢C ¢)
j
AM = MN = NA ¢
. Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng
và
( MBC )
tanj
. Tính
.
Lời giải

23


Gọi E, F, G là trung điểm các cạnh bên như
b
a
hình. Gọi
góc giữa (MBC) và (EFG),
là góc
b = 2a
giữa (MBC) và (NB’C’). Khi đó
.
MB = MC =

SEFG =

a 10
a2 31
Þ SMBC =
3
12

;

S
a2 3
3 93
Þ cosa = EFG =
4

SMBC
31

23
31
1
432 12 3
Þ tan2 b =
- 1=
=
2
529
23
cos b
Þ cos b = 2cos2 a - 1 =

.

Cách khác.

BC , B ¢C ¢ I = MP Ç NQ
Gọi
lần lượt là trung điểm của
,
BC , B ÂC Â
ị D = ( MBC ) ầ ( NB ¢C ¢)
I
đi qua và song song với
.
Lại có

·
·
· ¢= 2IPA
·
IP ^ D, IQ ^ D Þ j = MBC , NB ¢C ¢ = PIQ
= IPA
+ IQA
P ,Q

((

Ta có:

)(

))

.
·
AM
2 3
2tan IPA
12 3
·
·
tan IPA
=
=
Þ tan j = tan2.IPA
=

=
·
AP
9
23
1- tan2 IPA

.

24


2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản
thân, đồng nghiệp và nhà trường.
Trong khuôn khổ của một bài viết tôi chỉ đưa ra 6 ví dụ điển hình. Từ 6 ví dụ này dưới
sự hướng dẫn của thầy giáo, học sinh tìm tịi các lời giải của các bài tốn. Sau khi giải
được mỗi bài tốn, tơi hướng dẫn học trị thay đổi cách tiếp cận bài toán, để đưa ra
được sự so sánh về tính khả thi và hiệu quả của phương pháp đó. Trong q trình tìm
tịi học sinh khơng những hứng thú, tự giác tiếp nhận các kiến thức và kỹ năng giải các
bài tốn dạng này mà cịn hình thành được cho các em cách nhìn nhận và đốn nhận
tính chất của hình học trong bài tốn tính góc giữa hai mặt phẳng.
Trong 2 lớp 11B1, 11B2 tơi dạy năm nay, tơi chọn một nhóm 20 học sinh khá, giỏi
để dạy và cho làm bài tập áp dụng. Kết quả số học sinh giải được như sau:
Lớp

Sĩ số

Số học sinh giải
được

Tỉ lệ % học sinh
giải được

11B1

12

12 bài (5 hs)

41,7%

9 bài (4 hs)

33,3%

7 bài (3 hs)

25%

12 bài (3 hs)

37,5%

9 bài (3 hs)

37,5%

6 bài (2 hs)

25%

11B2

8

3. Kết luận, kiến nghị
3.1. Kết luận.
Trong quá trình làm sáng kiến và áp dụng sáng kiến trong thực tế giảng dạy tại
lớp 11B1, hiệu quả mang lại đối với thực tiễn giảng dạy của nhà trường đã được trình
bày ở trên. Từ đó thấy rằng SKKN : “ Hướng dẫn học sinh khá giỏi lớp 11 giải bài
tốn tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức hình chiếu” có đóng góp khơng
nhỏ trong việc giảng dạy tại trường THPT Quảng Xương 2. Cụ thể:
Về lí luận: SKKN đã góp phần khẳng định việc xây quy trình giải các bài tốn về
tính góc giữa hai mặt phẳng bằng cơng thức hình chiếu giúp học sinh có thêm một
cách giải khác nhằm xử lí linh hoạt được các bài toán dạng này trong các đề thi.
Về thực tiễn: SKKN là một giáo án luyện tập mơn Hình học 11 có hiệu quả dành
cho bản thân và đồng nghiệp trong Tổ bộ môn.
Thông qua kinh nghiệm này, bản thân tôi thực sự rút ra được nhiều kinh nghiệm
q báu, giúp tơi hồn thành tốt hơn cơng việc giảng dạy của mình.

25