Định lý ánh xạ mở và định lý đồ thị đóng trên không gian vectơ tôpô

MỤC LỤC
Mục lục ............................................................................................. 1
Lời nói đầu ....................................................................................... 2
Chương 1: Các định nghĩa và tính chất sơ cấp về khơng gian
vectơ tơpơ.............................................................................................. 4
§ 1.1 Các khái niệm cơ bản ................................................................. 4
§ 1.2 Tính tách được ......................................................................... 14
§ 1.3 Ánh xạ tuyến tính liên tục ....................................................... 19
§ 1.4 Tính bị chặn và tính liên tục .................................................... 23
§ 1.5 Khơng gian thương ................................................................... 26
Chương 2: Định lý cơ bản trên không gian tơpơ ................... 30
§ 2.1 Phạm trù Baire và định lý Banach-Steinhause ........................ 30
§ 2.2 Định lý ánh xạ mở ................................................................... 36
§ 2.3 Định lý đồ thị đóng .................................................................. 39
Kết luận ........................................................................................... 41

1


LỜI NĨI ĐẦU
Giải tích là một mơn học rất trừu tượng và luôn được xem là môn chuyên
ngành trong lĩnh vực tốn học ở mơi trường đại học, cao đẳng hiện nay.
Với nhiều nội dung, giải tích được nghiên cứu trên nhiều không gian khác
nhau như: không gian metric, không gian tơpơ, khơng gian định chuẩn,
khơng gian Banach, ....Tính chất của mỗi không gian được thể hiện rõ ở
các định lý cơ bản của giải tích.
Quan tâm đến vấn đề này, nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Lương
Quốc Tuyển, em xin được trình bày các định lý cơ bản của giải tích trên
khơng gian vectơ tơpơ. Do giới hạn về thời gian nên khn khổ luận văn
chỉ trình bày hai định lý cơ bản, tên của hai định lý đó cũng chính là tên đề
tài của khóa luận: "Định lý ánh xạ mở và Định lý đồ thị đóng trên khơng

gian vectơ tơpơ".
Với mục đích trên, bố cục của khóa luận bao gồm 2 chương
Chương 1: Các định nghĩa và tính chất sơ cấp về khơng gian
vectơ tơpơ.
Trong chương này, em xin nhắc lại một số khái niệm cơ bản về không
gian vectơ tôpô như: không gian vectơ, không gian tôpô, lân cận, không
gian vectơ tôpô, thông qua chứng minh nhiều mệnh đề để hiểu hơn về tập
hút, tập cân, tập lồi, tập tuyệt đối lồi, ..., từ đó trình bày một số tính chất
sơ cấp về khơng gian tơpơ là: tính tách được, ánh xạ tuyến tính liên tục,
tính bị chặn và tính liên tục, cuối cùng là không gian thương.
Chương 2. Định lý cơ bản trên không gian vectơ tôpô.
Bài đầu tiên trong chương này, em xin trình bày về phạm trù Baire,
nội dung và chứng minh Định lý Banach-Steinhause. Phần tiếp theo, em
xin trình bày và chứng minh Định lý ánh xạ mở. Cuối cùng nội dung khóa
luận xin được trình bày và chứng minh Định lý đồ thị đóng.
Do giới hạn về mặt thời gian và khn khổ của khóa luận nên một số nội

2


dung trình bày trong khóa luận em xin trích dưới dạng bổ đề, không chứng
minh cụ thể, nhưng ở cuối khóa luận có trình bày một số tài liệu tham khảo.
Sau đây là một số ký hiệu được viết trong khóa luận
R, C lần lượt là tập hợp các số thực, số phức, N∗ là tập hợp các số
tự nhiên khác 0. Ánh xạ π −1 : X → GΛ là ánh xạ ngược của ánh xạ
π : GΛ → X. Giả sử A, C là các tập con của khơng gian vectơ tơpơ X. Khi
0

đó, phần trong của A được ký hiệu là A hay intA, C là bao đóng của C
trong X, X\A là phần bù của A trong X.

Ký hiệu Bổ đề.[1] nghĩa là bổ đề được tham khảo từ tài liệu [1] ở danh
mục tài liệu tham khảo.
Trước khi trình bày nội dung khóa luận, em xin gửi lời cảm ơn đến thầy
Lương Quốc Tuyển, thầy đã giới thiệu, cung cấp tài liệu và tận tình hướng
dẫn để em có thể hồn thành khóa luận này. Đồng thời em cũng xin bày tỏ
lòng cảm ơn chân thành đến tồn thể các thầy cơ giáo trong Khoa Toán,
Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng đã dạy bảo em tận tình trong
suốt bốn năm học của em tại trường. Cuối cùng, em xin cảm ơn gia đình
và tất cả bạn bè trong lớp 08CTT2 đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện
để em có thể hồn thành khóa luận và q trình học của mình.
Dù đã cố gắng nhưng do thời gian thực hiện khóa luận khơng nhiều,
kiến thức cịn hạn chế nên khóa luận khơng thể tránh khỏi những thiếu sót
về mặt nội dung và cách trình bày. Vì vậy, em rất mong nhận được những
lời chỉ bảo quý báu của quý thầy cô và những góp ý của bạn đọc.
Em xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, ngày 20 tháng 05 năm 2012
Sinh viên
Nguyễn Thị Mỹ Hương

3


CHƯƠNG I
CÁC ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT SƠ CẤP VỀ
KHƠNG GIAN VECTƠ TƠPƠ
§ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN
1.1.1 Định nghĩa. Gọi Φ là trường số thực hoặc là trường số phức. Một
không gian vectơ trên Φ là một tập E khác rỗng, trong đó có một phép
cộng E × E → E và một phép nhân vô hướng Φ × E → E thỏa mãn
các điều kiện

(1) (x + y) + z = x + (y + z) (Phép cộng có tính kết hợp).
(2) x + y = y + x (Phép cộng có tính giao hốn).
(3) Tồn tại θ ∈ E, x + θ = x (Phép cộng vectơ có phần tử trung hịa
(có thể ký hiệu là 0)).
(4) Tồn tại −x ∈ E, x + (−x) = θ (Phép cộng vectơ có phần tử đối).
(5) λ(x+y) = λx+λy (Phép nhân vô hướng phân phối với phép cộng vectơ).
(6) (λ + µ)x = λx + µx (Phép nhân vơ hướng phân phối với phép cộng
vơ hướng).
(7) (λµ)x = λ(µx) (Phép nhân vơ hướng tương thích với phép nhân trong
trường các số vô hướng).
(8) 1.x = x (Phần tử đơn vị của trường Φ có tính chất của phần tử đơn
vị với phép nhân vô hướng).
Với mọi x, y, z ∈ E, với mọi λ, µ ∈ Φ.
1.1.2 Định nghĩa. Cho τ là một họ gồm các tập con nào đó của X. Ta
nói τ là một tơpơ trên X nếu nó thỏa mãn ba tính chất
(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ .
(ii) Nếu U, V ∈ τ thì U ∩ V ∈ τ .
4


(iii) Nếu Ui ∈ τ, i ∈ I thì

∪

Ui ∈ τ .

i∈I

Khi đó, cặp (X, τ ) được gọi là một không gian tôpô, tập hợp X gọi là không
gian, các phần tử của X được gọi là các điểm của không gian.

Nhận xét.
(i) Giao hữu hạn các phần tử của τ cũng là phần tử của τ .
(ii) Hợp tùy ý các phần tử của τ cũng là phần tử của τ .
1.1.3 Định nghĩa.
(i) Tập mở, tập đóng, lân cận. Cho không gian tôpô (X, τ ).
(a) Mọi tập thuộc τ được gọi là tập mở, tập có phần bù là tập mở
được gọi là tập đóng.
(b) Với mỗi điểm x ∈ X, tập V ⊂ X được gọi là lân cận của x nếu
tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V .
(c) Họ U các lân cận của điểm a được gọi là một cơ sở lân cận của
điểm a nếu với mọi lân cận U của điểm a đều tồn tại tập V ∈ U
sao cho V ⊂ U
(ii) Điểm trong, điểm ngồi, phần trong và bao đóng. Cho khơng gian
tơpơ (X, τ ), x ∈ X và tập A ⊂ X.
(a) x được gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tập mở G sao cho
x ∈ G ⊂ A. Ngược lại, x được gọi là điểm ngoài của A nếu tồn
tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ X\A.
0

(b) Phần trong của tập A ký hiệu là intA hoặc A, là tập tất cả các
điểm trong của A. Nói cách khác, phần trong của A là tập mở lớn
nhất chứa trong A.
(c) Bao đóng của tập A ký hiệu A, là tập đóng bé nhất trong X
chứa A.
5


(iii) Tập hợp trù mật. Trong không gian tôpô X, tập con A của X được
gọi là trù mật trong X nếu A = X.
Nếu intA = ∅ thì A được gọi là tập thưa (hay tập không đâu trù mật).

(iv) Tập thuộc phạm trù. Cho khơng gian tơpơ X.
• Tập con F ⊂ X được gọi là thuộc phạm trù thứ nhất trong X nếu
F bằng hợp đếm được các tập không đâu trù mật. Ký hiệu,
∞
∪
F =
Ai .
i=1

Trong đó, Ai là tập khơng đâu trù mật trong X, i = 1, 2, ...
• Tập con F của X được gọi là thuộc phạm trù thứ hai trong X nếu
F không thuộc phạm trù thứ nhất.
Nhận xét.
(i) Hợp tất cả các tập thuộc phạm trù thứ nhất là thuộc phạm trù thứ nhất.
(ii) Bao đóng của tập hợp thuộc phạm trù thứ hai trong X cũng thuộc
phạm trù thứ hai trong X.
1.1.4 Định nghĩa. Cho X là không gian vectơ trên trường Φ (Φ là trường
số thực hoặc là trường số phức). Ta nói rằng tơpơ τ trên X tương thích với
cấu trúc đại số trên X nếu các phép tốn đại số trên X (cộng và nhân vơ
hướng) đều liên tục theo tơpơ đó, nghĩa là
(a) Với mọi x, y ∈ X, với mọi lân cận W của điểm x + y, tồn tại lân cận
U của x và lân cận V của y sao cho U + V ⊂ W .
(b) Với mọi x ∈ X, với mọi α ∈ Φ, với mọi lân cận W của αx, tồn tại một
lân cận U của điểm x và số r > 0 sao cho βU ⊂ W ,với mọi β ∈ Φ mà
|β − α| < r.
1.1.5 Định nghĩa. Không gian vectơ X trên trường Φ được gọi là khơng
gian vectơ tơpơ (hay khơng gian tơpơ tuyến tính) nếu trên đó đã cho một
tơpơ τ tương thích với cấu trúc đại số trên X sao cho mỗi điểm của X là
6

một tập con đóng.
1.1.6 Định nghĩa. Cho ánh xạ
f : X→Y
x → f (x) = y
Ánh xạ f được gọi là
(i) Đơn ánh khi và chỉ khi với mọi x1 , x2 ∈ X, x1 ̸= x2 suy ra f (x1 ) ̸= f (x2 ).
(ii) Toàn ánh khi và chỉ khi với mọi y ∈ Y suy ra tồn tại x ∈ X sao cho
y = f (x).
(iii) Song ánh khi và chỉ khi f vừa là toàn ánh, vừa là đơn ánh.
(iv) Liên tục tại x nếu với mọi U là lân cận của f (x), tồn tại lân cận V
của x sao cho f (V ) ⊂ U .
(v) Đồng phôi khi và chỉ khi f (x) vừa song ánh, vừa liên tục và ánh xạ
ngược f −1 (x) cũng liên tục.
1.1.7 Bổ đề.[1] (phần 1.7 trang 8) Giả sử X là khơng gian vectơ tơpơ.
Khi đó, với mọi a ∈ X, với mọi α ∈ Φ mà α ̸= 0, ta có
(a) Phép tịnh tiến cho bởi f (x) = x + a, với mọi x ∈ X;
(b) Phép vị tự cho bởi g(x) = αx, với mọi x ∈ X
là các phép đồng phôi.
Nhận xét. Từ Bổ đề 1.1.7 ta suy ra
0

0

αA = α.A, a + A = a + A, αA = α A.
Ở đây ta hiểu
(i) αA = {α.a : a ∈ A} .
(ii) A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, với A ⊂ X, B ⊂ X.

7

(iii) Tập con V của không gian vectơ tôpô X được gọi là đối xứng nếu
−x ∈ V, với mọi x ∈ V .
1.1.8 Hệ quả. Giả sử a ∈ X, α ∈ Φ, α ̸= 0. Khi đó,
(i) Tập A ⊂ X là tập mở khi và chỉ khi a + A mở.
(ii) U là lân cận của 0 ∈ X khi và chỉ khi αU là lân cận của điểm 0.
1.1.9 Định nghĩa
Ta gọi một cơ sở lân cận B của điểm 0 trong không gian vectơ tôpô X là
cơ sở địa phương của X.
1.1.10 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là không gian vectơ tôpô, B là một
cơ sở của tôpô τ . Dãy {xn } ⊂ X được gọi là τ dãy-Cauchy nếu với mỗi tập
V ∈ B tồn tại số tự nhiên n0 ∈ N∗ sao cho xn − xm ∈ V, với mọi m, n ≥ n0 .
1.1.11 Định nghĩa.
(a) Không gian metric là một cặp (X, d) trong đó, X là một tập hợp,
d : X × X → R là một hàm xác định trên X × X thỏa mãn các điều
kiện sau
(i) d(x, y) ≥ 0; d(x, y) = 0 tương đương với x = y (Tiên đề đồng
nhất);
(ii) d(x, y) = d(y, x) (Tiên đề đối xứng);
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (Tiên đề tam giác);
Với mọi x, y, z ∈ X.
Hàm d được gọi là metric trên X. Mỗi phần tử của X được gọi là
điểm của không gian X, số d(x, y) được gọi là khoảng cách giữa hai
điểm x và y.
Không gian metric X được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy trong X
đều hội tụ.
8

(b) Cho không gian metric X, x0 ∈ X, r > 0. Đặt
(i) S (x0 , r) = {x ∈ X : d (x, x0 ) < r} được gọi là hình cầu mở tâm x0 ,
bán kính r.
(ii) S (x0 , r) = {x ∈ X : d (x, x0 ) ≤ r} được gọi là hình cầu đóng
tâm x0 , bán kính r.
Lưu ý.[1] (phần 1.28 trang 21)
(i) Metric d ở trên X được gọi là bất biến nếu
d(x + z, y + z) = d(x, y), với mọi x, y ∈ X.
(ii) Nếu d là metric bất biến trên khơng gian vectơ tơpơ X, thì
d(nx, 0) ≤ nd(x, 0), với mọi x ∈ X, với mọi n ∈ N∗
1.1.12 Định nghĩa. Giả sử A là tập con của khơng gian vectơ tơpơ X.
Khi đó,
(i) Tập A được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X, tồn tại λ > 0 sao cho
x ∈ αA, với mọi α ∈ Φ mà |α| ≥ λ.
(ii) Tập A được gọi là cân nếu với mọi x ∈ A, ta có αx ∈ A, với mọi
α ∈ Φ mà |α| ≤ 1.
(iii) Tập con A được gọi là lồi nếu với mọi x, y ∈ A, với mọi λ ∈ [0, 1] ta có
λx + (1 − λ)y ∈ A.
(iv) Tập A được gọi là tuyệt đối lồi nếu A vừa lồi vừa cân.
(v) Tập A được gọi là bị chặn nếu với mọi lân cận V của điểm 0 ∈ X,
tồn tại số δ > 0 sao cho A ⊂ tV , với mọi t > δ.

1.1.13 Mệnh đề.
Giả sử A là tập con của không gian vectơ tôpô X. Khi đó,
(a) A tuyệt đối lồi khi và chỉ khi với mọi x, y ∈ X, với mọi α, β ∈ Φ mà
|α| + |β| ≤ 1, ta có αx + βy ∈ A.
9


(b) Nếu A là tập tuyệt đối lồi khác rỗng, thì với mọi λ, µ ∈ Φ, mà |λ| ≤ |µ|,

ta có λA ⊂ µA.
(c) Nếu A là tập tuyệt đối lồi khác rỗng, thì với mọi λ1 , λ2 , ..., λn ∈ Φ,
n ∈ N∗ , ta có

n
∑

λi A =

i=1

(∑
n

)
|λi | .A.

i=1

Chứng minh.
(a) Trước tiên ta chứng minh A là tập hợp lồi. Thật vậy, giả sử x, y bất kỳ
trong A, λ bất kỳ trong [0, 1]. Khi đó, 1 − λ ∈ [0, 1] và λ + (1 − λ) = 1.
Nhờ giả thiết của điều kiện đủ ta suy ra
λx + (1 − λ)y ∈ A.
Suy ra tập A là tập hợp lồi.
Tiếp theo ta chứng minh A là tập cân. Thật vậy, giả sử x ∈ A, α ∈ Φ
mà |α| ≤ 1. Lấy y bất kỳ, β = 0. Khi đó, nhờ giả thiết điều kiện đủ
ta suy ra
αx = αx + βy ∈ A.
Do vậy, A là tập hợp cân.

Từ chứng minh trên ta suy ra A là tập tuyệt đối lồi. Hơn nữa,
Giả sử A tuyệt đối lồi, x, y ∈ A, α, β ∈ Φ mà |α| + |β| ≤ 1. Ta cần
chứng minh rằng αx + βy ∈ A. Thật vậy,
(+) Nếu α = 0 hoặc β = 0 thì từ tính cân của A ta suy ra
αx + βy ∈ A.
(+) Nếu α ̸= 0 và β ̸= 0, thì do A cân nên ta có
α
β
x ∈ A, y ∈ A.
|α|
|β|
|α|
|β|
Vì
+
= 1, A là tập vừa lồi vừa cân nên ta có
|α| + |β| |α| + |β|
[
]
|α|
α
|β|
β
αx + βy = (|α| + |β|)
. x+
. y ∈ A.
|α| + |β| |α|
|α| + |β| |β|
(b) Giả sử λ, µ ∈ Φ, |λ| ≤ |µ|. Khi đó,
(+) Nếu µ = 0, thì λ = 0. Do vậy, λA = {0} = µA.

10


(+) Nếu µ ̸= 0, thì do |λ| ≤ |µ| nên
có

λ
≤ 1. Suy ra với mọi x ∈ A ta
µ

λ
x ∈ A, kéo theo λA ⊂ µA, với mọi x ∈ A.
µ

(c) Giả sử A là tập tuyệt đối lồi, A ̸= ∅. Ta chứng minh khẳng định trên
bằng quy nạp theo n. Với n=2, giả sử λ1 , λ2 ∈ Φ. Khi đó,
(+) Nếu λ1 = λ2 = 0, thì λ1 A + λ2 A = (|λ1 | + |λ2 |) A.
(+) Nếu λ1 ̸= 0 hoặc λ2 ̸= 0. Thì do A là tập tuyệt đối lồi nên nhờ
Mệnh đề 1.1.13 (a) ta có
λ1
λ2
A+
A ⊂ A.
|λ1 | + |λ2 |
|λ1 | + |λ2 |
Suy ra λ1 A + λ2 A ⊂ (|λ1 | + |λ2 |)A. Mặt khác, vì
(|λ1 | + |λ2 |)A ⊂ |λ1 | A + |λ2 | A ⊂ λ1 A + λ2 A
Nên λ1 A + λ2 A = (|λ1 | + |λ2 |)A.
Giả sử khẳng định trên đúng với n =
Khi)đó,

( k.
k
k
∑
∑
λi A =
|λi | A
i=1

i=1

Ta phải chứng minh khẳng định trên đúng với n = k + 1. Thật vậy,
ta có
(k
)
k+1
k
∑
∑
∑
λi A =
λi A + λk+1 A =
|λi | A + λk+1 A
i=1
i=1
i=1
(k+1
)
k
∑

∑
=
(|λi | + |λk+1 |)A =
|λi | A.
i=1

i=1

1.1.14 Định nghĩa. Giả sử A là tập con tùy ý của không gian vectơ
tơpơ X. Khi đó,
-Bao lồi của A, ký hiệu convA là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu
k
k
∑
∑
hạn
λi xi , trong đó λi ≥ 0, xi ∈ A, i = 1, 2, ..., k với k ∈ N∗ và
λi = 1.
i=1

i=1

-Bao tuyệt đối lồi của A là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn
k
k
∑
∑
∗
λi xi , trong đó λi ∈ Φ, xi ∈ A, i = 1, 2, ..., k với k ∈ N và
|λi | ≤ 1.

i=1

i=1

1.1.15 Định nghĩa (Không gian compact). Cho X là một không gian
tôpô. Một họ {Gα }α∈I các tập mở của X được gọi là phủ mở của X
11


nếu

∪

Gα = X.

α∈I

Không gian X được gọi là compact nếu phủ mở {Gα }α∈I tồn tại tập con
hữu hạn J ⊂ I sao cho {Gα }α∈J cũng là phủ mở của X.
Tập K ⊂ X được gọi là tập compact nếu không gian con K cùng với tôpô
cảm sinh trên X là không gian compact, nghĩa là với mọi phủ của K gồm
các tập con mở trong không gian con K đều tồn tại phủ con hữu hạn.
1.1.16 Định nghĩa. Giả sử X là không gian vectơ tôpô trên trường Φ.
(a) X được gọi là không gian lồi địa phương, nếu nó có một cơ sở địa
phương B sao cho mọi phần tử của B là các tập hợp lồi.
(b) X được gọi là không gian bị chặn địa phương, nếu nó có một lân cận
U của 0 là tập bị chặn.
(c) X được gọi là không gian compact địa phương, nếu nó có một lân
cận U của 0 sao cho U là tập compact.
(d) X được gọi là không gian khả metric, nếu tôpô τ ở trên X được sinh

bởi một metric d bất biến nào đó.
(e) X được gọi là F-không gian, nếu tôpô τ ở trên X được sinh bởi một
metric d bất biến, đầy đủ nào đó.
(f ) X được gọi là khơng gian Fréchet, nếu X là một F-không gian, lồi
địa phương.
(g) X được gọi là có tính chất Heine-Borel ( Hainơ-Boren) nếu với mỗi
tập con đóng bị chặn của X là tập compact.
1.1.17 Các tiên đề tách.
(a) X được gọi là T1 -không gian nếu với x, y ∈ X và x ̸= y, tồn tại lân
cận U của x sao cho y ∈
/ U.
(b) X được gọi là T2 -không gian ( hay là không gian Hausdorff ) nếu với
mọi x, y ∈ X mà x ̸= y, tồn tại các lân cận mở U của x và V của y
sao cho U ∩ V = ∅.
12


(c) X được gọi là khơng gian chính quy nếu với mọi x ∈ X, với mọi tập
đóng F ⊂ X sao cho x ∈
/ F , luôn tồn tại các lân cận mở U của x,
V của F sao cho U ∩ V = ∅.
(d) X được gọi là T3 -không gian nếu X là T1 -không gian và X là khơng
gian chính quy.
1.1.18 Định nghĩa. Giả sử (X, τ ) là một không gian tôpô, Y ⊂ X.
Khi đó, họ U = {U ⊂ Y : U = Y ∩ V, V ∈ τ } là một tôpô trên Y , tôpô U
được gọi là tôpô cảm sinh sinh bởi tôpô τ trên Y .
Không gian tôpô (Y, U) được gọi là không gian con của không gian tôpô
(X, τ ).
1.1.19 Bổ đề. Nếu X là T2 -không gian và là khơng gian compact địa
phương thì X là khơng gian chính quy.

13


§ 1.2 TÍNH TÁCH ĐƯỢC
1.2.1 Bổ đề. Giả sử W là một lân cận của 0 trong không gian vectơ
tôpô X. Khi đó, tồn tại một lân cận đối xứng U của 0 sao cho
U + U ⊂ W.
Chứng minh.
Nhờ tính liên tục của phép tốn cộng tại điểm (0, 0) ∈ X × X nên với lân
cận W của điểm 0 trong X, tồn tại các lân cận V1 , V2 của 0 ở trong X sao
cho V1 + V2 ⊂ W . Đặt
U = V1 ∩ V2 ∩ (−V1 ) ∩ (−V2 ).
Khi đó, U là lân cận cần tìm.
Nhận xét.[1] (phần 1.10, trang 9)
Áp dụng Bổ đề 1.2.1 khi thay W bởi U ta suy ra, tồn tại một lân cận V
của 0 sao cho
V + V + V + V ⊂ W.
Bởi vì 0 ∈ V nên ta cũng suy ra V + V + V ⊂ W .
1.2.2 Định lý. Giả sử K và C là các tập con của không gian vectơ
tôpô X, K là tập compact, C là tập đóng và K ∩ C = ∅. Khi đó, tồn tại
lân cận V của điểm 0 sao cho
(K + V ) ∩ (C + V ) = ∅.
Chứng minh.
- Nếu K = ∅, thì kết luận của Định lý 1.2.2 là hiển nhiên.
- Nếu K ̸= ∅, thì với điểm bất kỳ x ∈ K, vì K ∩ C = ∅ nên suy ra
x ∈ X\C kéo theo −x + X\C là lân cận của 0. Nhờ Hệ quả 1.1.8 và
Nhận xét ở Bổ đề 1.2.1 ta suy ra tồn tại lân cận đối xứng Vx của điểm 0
trong X sao cho
Vx + Vx + Vx ⊂ −x + X\C.

Cộng hai vế của bao hàm thức trên cho x ta được
x + Vx + Vx + Vx ⊂ X\C.
14


Suy ra (x + Vx + Vx + Vx ) ∩ C = ∅. Do Vx đối xứng nên ta có
(x + Vx + Vx ) ∩ (C + Vx ) = ∅. (1)
Họ {Vx : x ∈ K} là một phủ mở của K, vì K là tập compact nên tồn tại
hữu hạn điểm x1 , x2 , ..., xn ∈ K sao cho
n
∪
K⊂
(xi + Vxi ).
Đặt V =

n
∩

i=1

Vxi . Khi đó, V là lân cận của 0 và

i=1

K +V ⊂

n
∪

(xi + Vxi ) + V ⊂

i=1

Bởi vì V ⊂ Vxi , với mọi i ∈ N∗ nên ta có

n
∪

(xi + Vxi + Vxi ). (2)

i=1

(xi + Vxi + Vxi ) ∩ (C + V ) ⊂ (xi + Vxi + Vxi ) ∩ (C + Vxi ) = ∅.
Suy ra (xi + Vxi + Vxi ) ∩ (C + Vxi ) = ∅, với mọi i ∈ N∗ . Kết hợp với (2)
ta có
(K + V ) ∩ (C + V ) = ∅.
1.2.3 Hệ quả. Với các giả thiết của Định lý 1.2.2, tồn tại lân cận V của
điểm 0 sao cho
(K + V ) ∩ (C + V ) = ∅.
Chứng minh.
Giả sử ngược lại rằng với mọi lân cận V của 0 ta có
(K + V ) ∩ (C + V ) ̸= ∅.
Khi đó, tồn tại điểm xV ∈ (K + V ) ∩ (C + V ). Vì C + V là lân cận của
điểm xV và xV ∈ (K + V ), nên (K + V ) + (C + V ) ̸= ∅. Điều này mâu
thuẫn với Định lý 1.2.2.
1.2.4 Định lý. Nếu B là một cơ sở địa phương của khơng gian vectơ
tơpơ X, thì với mỗi U ∈ B, tồn tại V ∈ B sao cho V ⊂ U .
Chứng minh.
Lấy bất kỳ tập mở U ∈ B, khi đó 0 ∈ U . Đặt K = {0} , C = X\U . Suy
ra K là tập compact, C là tập đóng và K ∩ C = ∅. Nhờ Hệ quả 1.2.3 tồn

tại lân cận V ∈ B sao cho
(K + V ) ∩ (C + V ) = ∅.
15


Suy ra
V ∩ (C + V ) = ∅.
Vì C ⊂ C + V nên từ kết quả trên ta có V ∩ C = ∅. Do vậy, V ⊂ U .
1.2.5 Định lý. Giả sử X là một không gian vectơ tơpơ. Khi đó,
(a) Nếu A ⊂ X và B là một cơ sở lân cận bất kỳ của 0 ∈ X thì
∩
A=
(A + V ).
V ∈B

(b) Nếu A, B ⊂ X, thì A + B ⊂ A + B.
(c) Nếu Y là khơng gian con của X, thì Y là không gian con của X.
Chứng minh.
(a) Đặt B =

∩

(A + V ).

V ∈B

Trước tiên ta chứng minh rằng A ⊂ B. Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ A
và bất kỳ V ∈ B. Khi đó, x − V là một lân cận của điểm x. Vì x ∈ A
nên (x − V ) ∩ A ̸= ∅. Suy ra tồn tại a ∈ (x − V ) ∩ A, kéo theo tồn
tại v ∈ V sao cho a = x − v. Do đó, x = a + v ∈ A + V với mọi

V ∈ B. Bởi vậy, A ⊂ B.
Tiếp theo ta chứng minh rằng B ⊂ A. Thật vậy, lấy bất kỳ x ∈ B và
lân cận bất kỳ U của x. Khi đó, U − x là lân cận của 0 nên tồn tại
V ∈ B sao cho −V ⊂ U − x, kéo theo x − V ⊂ U . Mặt khác, vì
x ∈ B nên x ∈ A + V . Suy ra (x − V ) ∩ A ̸= ∅, kéo theo U ∩ A ̸= ∅.
Do vậy, x ∈ A và B ⊂ A.
Từ chứng minh trên ta suy ra A =

∩

(A + V ).

V ∈B

(b) Giả sử x là điểm bất kỳ thuộc A, y là điểm bất kỳ thuộc B và W là
lân cận bất kỳ của điểm x + y. Khi đó, nhờ tính liên tục của phép
toán cộng, tồn tại các lân cận U của x, V của y sao cho U + V ⊂ W .
Vì x ∈ A, y ∈ B nên U ∩ A ̸= ∅, V ∩ B ̸= ∅, nghĩa là tồn tại
a ∈ A ∩ U , tồn tại b ∈ B ∩ V . Khi đó, ta có a + b ∈ (A + B) ∩ W .
Vậy, x + y ∈ A + B. Do vậy, A + B ⊂ A + B.
16


(c) Lấy bất kỳ α, β ∈ Φ. Ta cần chứng minh rằng
αY + βY ⊂ Y , với mọi α, β ∈ Φ.
Thật vậy, trước hết ta thấy,
∗ Nếu α = β = 0 thì αY = βY = {0}. Do đó, αY + αY = {0} = Y .
∗ Nếu α ̸= 0 hoặc β ̸= 0 thì nhờ Bổ đề 1.1.7 ta có αY = αY
và βY = βY .
Mặt khác, vì Y là khơng gian con của X nên với mọi α, β ∈ Φ ta có

αY + βY ⊂ Y , suy ra αY + βY ⊂ Y .
Vì thế nhờ khẳng định (b) của Định lý 1.2.5 ta có
αY + βY = αY + βY ⊂ αY + βY ⊂ Y .
Vì vậy Y là không gian con của X.
1.2.6 Định lý. Giả sử X là khơng gian vectơ tơpơ. Khi đó,
(a) Mỗi lân cận của 0 ∈ X chứa một lân cận cân của 0.
(b) Mỗi lân cận lồi của 0 ∈ X chứa một lân cận lồi, cân của 0.
Chứng minh.
(a) Giả sử U là lân cận bất kỳ của 0 ∈ X. Vì phép nhân vơ hướng, liên
tục nên tồn tại lân cận V của 0 và δ > 0 sao cho αV ⊂ U, với mọi
α ∈ Φ và |α| < δ.
∪
Đặt W =
αV . Khi đó, W là một lân cận cân của 0 và W ⊂ U .
|α|<δ

(b) Giả sử U là lân cận lồi của điểm 0 ∈ X. Đặt A =

∩

αU . Ta có U

|α|=1

là lân cận của 0 ∈ X nên theo (a) tồn tại lân cận W của 0, W ⊂ U .
Mà α−1 W = W, với mọi α ∈ Φ sao cho |α| = 1.
Suy ra α−1 W = W ⊂ U kéo theo W ⊂ αU, với mọi α ∈ Φ sao cho
|α| = 1. Suy ra W ⊂ A.
0

0

Vì vậy, A là lân cận của 0 và A ⊂ U .
0

Lại có, A là giao của tất cả các tập lồi nên A lồi, suy ra A là tập lồi.
Mặt khác, lấy tùy ý λ ∈ Φ, |λ| ≤ 1, thì tồn tại 0 ≤ r ≤ 1, |β| = 1,
β ∈ Φ sao cho λ = rβ. Ta có
17


λA = rβA =

∩

∩

rβαU =

|α|=1

rαU .

|α|=1

Do U lồi, chứa 0 và r ≤ 1 nên rαU ⊂ αU ta có
∩
∩
λA =
rαU ⊂

αU .
|α|=1

|α|=1

0

Suy ra A là tập cân.
0

Vậy A là tập tuyệt đối lồi.

18


§ 1.3 ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH LIÊN TỤC
1.3.1 Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian vectơ tôpô trên cùng
một trường Φ, ánh xạ Λ : X → Y được gọi là tuyến tính nếu
Λ(αx + βy) = αΛ(x) + βΛ(y), với mọi x, y ∈ X, với mọi α, β ∈ Φ.
Một ánh xạ tuyến tính Λ : X → Φ được gọi là phiếm hàm tuyến tính.
1.3.2 Mệnh đề.
Giả sử Λ : X → Y là ánh xạ tuyến tính. Khi đó,
(a) Λ(0) = 0.
(b) Nếu A là một không gian con (hoặc lồi, hoặc cân) của X thì Λ(A)
cũng vậy.
(c) Nếu B là một khơng gian con (hoặc lồi, hoặc cân) của Y thì Λ−1 (B)
cũng vậy.
Chứng minh.
(a) Vì Λ : X → Y là ánh xạ tuyến tính nên ta có, với mọi x ∈ X, 0 ∈ Φ,
suy ra

Λ(0) = Λ(0.x) = 0.Λ(x) = 0.
(b) (i) Giả sử A là một không gian con lồi, chứng minh Λ(A) cũng lồi.
Thật vậy, vì A là tập lồi nên với mọi x, y ∈ A, với mọi α ∈ [0, 1],
ta có
αx + (1 − α)y ∈ A
Mặt khác, x, y ∈ A, suy ra Λ(x), Λ(y) ∈ Λ(A)
Vì vậy, với mọi Λ(x), Λ(y) ∈ Λ(A), với mọi α ∈ [0, 1], ta có
α Λ (x) + (1 − α) Λ (y) = Λ (αx) + [Λ (1 − α)] y
= Λ [αx + (1 − α) y] ∈ Λ (A)
(ii) Với mọi x ∈ A suy ra Λ(x) ∈ Λ(A). Vì A là tập cân nên với mọi
x ∈ A ta có, αx ∈ A, với mọi α ∈ Φ mà |α| ≤ 1. Suy ra,
αΛ(x) = λ(αx) ∈ Λ(A).
19


(Vì A là khơng gian con thỏa tính nhân số vô hướng.)
Do vậy, Λ(A) cân.
(c) (i) Giả sử B là một không gian con lồi của Y , chứng minh Λ−1 (B)
lồi. Thật vậy, vì B là khơng gian con lồi của Y nên với mọi
Λ(x), Λ(y) ∈ B, α ∈ [0, 1] ta suy ra x, y ∈ Λ−1 (B). Ta có,
αΛ(x) + (1 − α)Λ(y) ∈ B suy ra Λ(αx) + Λ[(1 − α)y] ∈ B.
Suy ra, Λ[α(x) + (1 − α)y] ∈ B hay Λx + (1 − Λ)y ∈ Λ−1 (B).
Vậy, Λ−1 (B) lồi.
(ii) Giả sử B là một không gian con cân của Y , chứng minh Λ−1 (B)
cân. Thật vậy, vì B là khơng gian con cân của Y nên với mọi
Λ(x) ∈ B suy ra x ∈ Λ−1 (B). Ta có, αΛ(x) ∈ B, với mọi α ∈ Φ
mà |α| ≤ 1. Suy ra, Λ(αx) ∈ B. Hay, αx ∈ Λ−1 (B).
Vậy Λ−1 (B) cân.
1.3.3 Bổ đề [1](phần 1.16, 1.17 trang 13, 14)
(i) Λ−1 (0) = {x ∈ X : Λ(x) = 0} = N (Λ) là một không gian con của X.

(ii) Giả sử X, Y là các không gian vectơ tôpô trên cùng một trường Φ.
Nếu ánh xạ tuyến tính Λ : X → Y là liên tục tại điểm 0, thì nó
liên tục.
1.3.4 Định lý. Giả sử Λ : X → Φ là phiếm hàm tuyến tính khác khơng.
Khi đó, các điều kiện sau là tương đương
(a) Λ liên tục.
(b) N (Λ) đóng.
(c) N (Λ) khơng trù mật trong X.
(d) Λ bị chặn trên một lân cận V nào đó của 0.
Chứng minh
20


• Chứng minh (a) suy ra (b).
Giả sử Λ là phiếm hàm tuyến tính liên tục, Λ ̸= 0.
Vì N (Λ) = Λ−1 (0), {0} đóng trong Φ nên N (Λ) đóng trong X.
• Chứng minh (b) suy ra (c).
Giả sử N (Λ) đóng, vì Λ ̸= 0 nên tồn tại x ∈ X để Λ (x) ̸= 0
Suy ra, x ∈
/ N (Λ) hay X ̸= N (Λ). Từ giả thiết N (Λ) đóng suy ra
N (Λ) khơng trù mật trong X.
• Chứng minh (c) suy ra (d).
Giả sử N (Λ) khơng trù mật trong X. Khi đó, X\N (A) ̸= ∅.
Vì X\N (A) ̸= ∅ và là tập mở, X\N (Λ) ∩ N (λ) = ∅ nên tồn tại
x ∈ X và một lân cận V của 0 trong X sao cho
(x + V ) ∩ N (Λ) = ∅. (*)
Nhờ Mệnh đề 1.3.2, Λ(V ) là tập cân của trường vơ hướng Φ. Hơn
nữa, ta có Λ(V ) là tập bị chặn trong Φ. Vì nếu ngược lại Λ(V )
khơng bị chặn. Khi đó, vì Λ(V ) không bị chặn nên với mọi α ∈ Φ,
tồn tại β ∈ Λ(V ) sao cho |β| > |α|. Vì Λ(V ) cân nên |β| ∈ Λ(V ) và

α
α=
|β| ∈ Λ (V ).
|β|
Suy ra Λ (V ) = Φ. Do Λ (x) ∈ Φ nên −Λ (x) ∈ Φ = Λ(V ). Do đó tồn
tại y ∈ V sao cho Λ(y) = −Λx. Từ đó ta có Λx + Λy = 0 suy ra
x + y ∈ N (Λ). Nhưng x + y ∈ V + x nên suy ra
x + y ∈ (x + V ) ∩ N (Λ) (điều này dẫn đến mâu thuẫn với (*)). Vậy
Λ(V ) bị chặn.
• Chứng minh (d) suy ra (a).
Giả sử Λ bị chặn trên lân cận V nào đó của điểm 0. Khi đó, tồn tại
M > 0 sao cho |Λx| < M, với mọi x ∈ V .
ε
Với ε > 0 và bé tùy ý, chọn U = V . Khi đó, U là một lân cận của
M
điểm 0. Nhờ tính tuyến tính của Λ ta suy ra |Λx| < ε, với mọi
x ∈ U . Điều này chứng tỏ rằng Λ liên tục tại điểm 0. Từ Định lý
1.3.3 suy ra Λ liên tục.
1.3.5 Định nghĩa
21


(a) Giả sử f : X → Y là ánh xạ tuyến tính. Hạch (hay gọi là hạt nhân)
của f là tập hợp
Kerf = f −1 (0) = {x ∈ X : f (x) = 0}
(b) Ảnh của f là tập hợp
Imf = {y ∈ Y : y = f (x) , x ∈ X}
1.3.6 Định nghĩa Ánh xạ tuyến tính f : X → Y được gọi là một đẳng
cấu tuyến tính của X lên Y nếu Kerf = {0} và Imf = Y
1.3.7 Định nghĩa Các không gian tuyến tính X và Y được gọi là đẳng

cấu với nhau, nếu tồn tại một đẳng cấu tuyến tính f của X lên Y ; ký
hiệu X ≃ Y

22


§ 1.4 TÍNH BỊ CHẶN VÀ TÍNH LIÊN TỤC
1.4.1 Mệnh đề. Giả sử X là không gian vectơ tôpô. Khi đó, nếu {xn } là
τ -dãy Cauchy, thì {xn } là dãy bị chặn.
Chứng minh.
Giả sử {xn } là τ -dãy Cauchy ở trong X và W là lân cận bất kỳ của
0 ∈ X. Gọi V là lân cận của 0 ở trong X sao cho V + V ⊂ W . Khi đó,
tồn tại một số n0 ∈ N∗ sao cho xn ∈ xn0 + V, với mọi n ≥ n0 . Gọi s là số
tự nhiên s > 1 sao cho xn0 ∈ sV . Khi đó, ta có
xn ∈ sV + V ⊂ sV + sV ⊂ s(V + V ) ⊂ sW .
Vì W là tập hút, nên với mỗi i = 1, 2, ..., n0 , tồn tại số si > 0 sao cho với
mọi t > si ta có xi ∈ tW . Chọn s0 = max{s, si , i = 1, n0 }. Khi đó, ta có
xn ∈ tW, với mọi n, với mọi t > s0 . Do đó, {xn }n≥1 là dãy bị chặn.
1.4.2 Định lý. Hai tính chất sau đây của tập con trong không gian vectơ
tôpô là tương đương
(a) E là tập bị chặn.
(b) Nếu {xn } là dãy bất kỳ nằm trong E, {αn } ⊂ Φ,αn → 0, khi n → ∞
thì αn xn → 0, khi n → ∞.
Chứng minh.
• Chứng minh (a) suy ra (b).
Giả sử E là tập bị chặn, chọn bất kỳ dãy {xn } ⊂ E, {αn } ⊂ Φ,
αn → 0 khi n → ∞ và V là lân cận cân bất kỳ của 0 trong không
gian vectơ tôpô X. Vì E bị chặn nên tồn tại s > 0 sao cho E ⊂ tV,
với mọi t ≥ s. Kéo theo t−1 E ⊂ V, với mọi t ≥ s.Vì αn → 0, khi
n → ∞, nên tồn tại n0 ∈ N∗ sao cho |αn | .s < 1, với mọi n ≥ n0 .

Vì V là lân cận cân của 0 nên từ các kết quả trên ta suy ra
αn xn = αn .s.s−1 .xn ∈ V, với mọi n ≥ n0 .
Vậy, αn xn → 0 khi n → ∞.
23


• Chứng minh (b) suy ra (a).
Giả sử ta có mệnh đề (b) là "Nếu {xn } là dãy bất kỳ nằm trong E,
{αn } ⊂ Φ,αn → 0, n → ∞ thì αn xn → 0, n → ∞" và giả sử ngược
lại rằng E không bị chặn. Khi đó tồn tại lân cận V của điểm 0
trong X và một dãy {rn } → ∞ sao cho E ̸⊂ rn V, với mọi n ≥ 1. Với
mỗi n ≥ 1 ta chọn xn ∈ E sao cho xn ∈
/ rn V . Khi đó, ta có rn−1 xn ∈
/ V,
với mọi n ≥ 1. Điều đó chứng tỏ rằng dãy {r−1
n xn } không hội tụ về 0
khi n → ∞ mặc dầu {xn } ⊂ E, r−1
n → 0, khi n → ∞, dẫn đến mâu
thuẫn giả thiết (b).
Vậy E bị chặn.
1.4.3 Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian vectơ tôpô trên cùng
một trường Φ, Λ : X → Y là ánh xạ tuyến tính. Ánh xạ Λ được gọi là bị
chặn nếu Λ ánh xạ các tập bị chặn bất kỳ trong X thành tập bị chặn
trong Y .
1.4.4 Định lý. Giả sử X và Y là các không gian vectơ tôpô, Λ : X → Y
là ánh xạ tuyến tính. Ta xét các tính chất sau
(a) Λ liên tục.
(b) Λ bị chặn.
(c) Nếu xn → 0 thì tập {Λxn : n ≥ 1} bị chặn trong Y .
(d) Nếu xn → 0 thì Λxn → 0.

Khi đó ta có
(1) (a) suy ra (b) suy ra (c).
(2) Nếu X là không gian khả metric thì (a) tương đương (b) tương đương
(c) tương đương (d).
Chứng minh.

24


(1) (i) Chứng minh (a) suy ra (b).
Giả sử Λ liên tục và E là tập con bị chặn bất kỳ của X, W là lân
cận bất kỳ của 0 trong Y . Do Λ liên tục và Λ0 = 0 nên tồn tại
lân cận V của 0 trong X sao cho ΛV ⊂ W . Vì E bị chặn
trong X nên tồn tại s > 0 sao cho E ⊂ tV, với mọi t ≥ s. Khi
đó, nhờ tính tuyến tính của Λ ta có ΛE ⊂ Λ(tV ) ⊂ tΛV ⊂ tW,
với mọi t ≥ s.
Vậy ΛE bị chặn trong Y .
(ii) Chứng minh (b) suy ra (c).
Giả sử Λ là ánh xạ bị chặn, {xn } ⊂ X mà xn → 0, khi n → ∞.
Khi đó vì tập {xn , n ≥ 1} bị chặn nên tập {Λxn , n ≥ 1} bị chặn
(nhờ (b)).
(2) Giả sử X là không gian khả metric.
(iii) Chứng minh (c) suy ra (d).
Giả sử {xn } ⊂ X mà xn → 0, khi n → ∞. Theo Lưu ý của Định
nghĩa 1.1.11, tồn tại một dãy các vô hướng {γn } sao cho
γn → ∞, γn xn → 0, khi n → ∞. Nhờ giả thiết (c) ta có tập
{Λ (γn xn ) : n ≥ 1} bị chặn.
Vì γn−1 → 0 nên áp dụng Định lý 1.4.2 suy ra γn−1 Λ(γn xn ) → 0
tương đương với Λ(xn ) → 0. Vậy ta có (d).
(iv) Chứng minh (d) suy ra (a).

Giả sử (d) đúng nhưng Λ không liên tục. Khi đó tồn tại một lân
cận W của điểm 0 trong Y sao cho Λ−1 W không là lân cận của
điểm 0 trong X. Do X khả metric nên dãy hình cầu mở
1
{B(0, )} là cơ sở địa phương của X. Vì thế ta có
n
1
B(0, ) ̸⊂ Λ−1 W, với mọi n ≥ 1. Với mỗi n ≥ 1, chọn
n
1
xn ∈ B(0, ) nhưng xn ∈
/ Λ−1 W . Khi đó, ta có {xn } → 0 nhưng
n
Λ(xn ) ∈
/ W, với mọi n ≥ 1. Vì vậy, Λxn khơng hội tụ tới 0 khi
n → ∞. Điều này mâu thuẫn với giả thiết (d). Vậy, Λ liên tục.

25