Hệ phương trình tuyến tính và hình học tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

LÊ THỊ NGUYỆT NGA

HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
VÀ HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH

Chun ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60.46.40

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. TRẦN ĐẠO DÕNG

Đà Nẵng - Năm 2013


LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan:
a. Những nội dung trong luận văn này là do tôi thực hiện dưới sự
hướng dẫn trực tiếp của PGS. TS. Trần Đạo Dõng.
b. Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và
trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian, địa điểm công bố.
c. Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá
tơi xin chịu hồn tồn trách nhiệm.

Tác giả luận văn

Lê Thị Nguyệt Nga


MỤC LỤC

MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 1
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 2
4. Phƣơng pháp nghiên cứu ...................................................................... 2
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn .............................................................. 2
6. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 2
CHƢƠNG 1. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .................................. 4
1.1. KHƠNG GIAN VECTƠ SỐ HỌC n - CHIỀU .......................................... 4
1.1.1. Vectơ n - chiều và các phép tốn .................................................... 4
1.1.2. Khơng gian vectơ số học n – chiều ............................................... 5
1.1.3. Tổ hợp tuyến tính – Hệ sinh............................................................ 6
1.1.4. Sự phụ thuộc tuyến tính – Độc lập tuyến tính ................................ 7
1.1.5. Cơ sở và số chiều của không gian vectơ ......................................... 9
1.1.6. Hạng của hệ vectơ………….……………………..…………….. 12
1.2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH…………………………… ........ 17
1.2.1. Các khái niệm cơ bản…………………………………………… 17
1.2.2. Dạng ma trận và dạng vectơ của hệ phƣơng trình tuyến tính ....... 19
1.2.3. Điều kiện có nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính................... 21
1.2.4. Cấu trúc tập nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính ................... 22
1.2.5. Phƣơng pháp giải hệ phƣơng trình tuyến tính .............................. 25
CHƢƠNG 2. HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH .................................................. 37
2.1. KHƠNG GIAN EUCLIDE CÁC BỘ SỐ THỰC n - CHIỀU ................. 37
2.1.1. Không gian vectơ Euclide

n

....................................................... 37

2.1.2. Không gian Euclide các bộ số thực n – chiều ............................... 43


2.1.3. Mục tiêu trực chuẩn trong không gian
2.1.4. Phẳng tuyến tính k - chiều trong

n 1

n 1

k

................................. 44

n .............................. 45

2.1.5. Ý nghĩa hình học tập nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính ..... 50
2.2. HÌNH HỌC TUYẾN TÍNH CÁC BỘ SỐ THỰC n – CHIỀU...…......... 51
2.2.1. Sự vng góc của các phẳng…………………………………….51
2.2.2. Khoảng cách giữa các phẳng ........................................................ 55
2.2.3. Góc trong không gian

n 1

........................................................... 66

2.3. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẲNG CỰ……..…………………………....... 69
2.3.1. Các phép biến đổi trực giao .......................................................... 69
2.3.2. Các phép biến đổi đẳng cự……………………………………… 70
KẾT LUẬN………………………………………………………………… 75
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 77
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO).


1

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Nội dung giáo trình tốn ở trƣờng phổ thơng là các tập hợp số, đa thức,
phân thức, hàm số và phƣơng trình, trong đó có phƣơng trình bậc nhất. Ở đó
chỉ mới nghiên cứu cách giải hệ phƣơng trình bậc nhất hai ẩn. Một trong
những hƣớng mở rộng Tốn học phổ thơng là tổng qt hóa hệ phƣơng trình
bậc nhất, đó là hệ phƣơng trình tuyến tính. Ta sẽ thấy ở đây khơng đỏi hỏi
một điều kiện nào về số phƣơng trình, số ẩn. Lý thuyết này rất quan trọng và
đƣợc hoàn thiện nhờ vào khái niệm khơng gian vectơ.
Hệ phƣơng trình tuyến tính là một trong các công cụ hữu hiệu của đại
số tuyến tính và có nhiều ứng dụng khơng những trong các lĩnh vực của toán
học và tin học nhƣ đại số, hình học, giải tích, lý thuyết phƣơng trình vi phân,
phƣơng trình đạo hàm riêng, quy hoạch tuyến tính mà còn trong nhiều lĩnh
vực khoa học khác, đặc biệt là trong kinh tế. Thơng qua các thuật tốn giải đa
dạng, hệ phƣơng trình tuyến tính đã đƣợc ứng dụng để khảo sát các đối tƣợng
hình học trong các khơng gian nhiều chiều.
Với mong muốn tìm hiểu thêm về hệ phƣơng trình tuyến tính và đƣợc
sự gợi ý của PGS. TS. Trần Đạo Dõng, tôi đã chọn đề tài “Hệ phương trình
tuyến tính và hình học tuyến tính” làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của
mình.

2. Mục đích nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài nhằm khảo sát hệ phƣơng trình tuyến tính, cấu trúc
tập nghiệm và các thuật tốn giải tƣơng ứng. Từ đó ứng dụng để khảo sát các
đối tƣợng hình học và tính chất của chúng trong khơng gian Euclide các bộ số
thực n - chiều.


2

3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu
* Đối tượng nghiên cứu
Đối tƣợng nghiên cứu chính của đề tài là hệ phƣơng trình tuyến tính và
các tính chất hình học trong không gian Euclide các bộ số thực n - chiều.
* Phạm vi nghiên cứu
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là khảo sát thuật toán giải, cấu trúc tập
nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính và các đối tƣợng, tính chất hình học
trong khơng gian Euclide các bộ số thực n - chiều.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Tham khảo các tài liệu liên quan đến nội dung nghiên cứu của đề tài.
- Tổng quan tài liệu và thể hiện tƣờng minh các kết quả đạt đƣợc trong
luận văn.
- Trao đổi, thảo luận các kết quả nghiên cứu tại các buổi seminar với
giáo viên hƣớng dẫn.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
* Ý nghĩa khoa học
- Tổng quan một số kết quả liên quan đến hệ phƣơng trình tuyến tính.
- Góp phần làm rõ cấu trúc của hình học tuyến tính thể hiện trên khơng
gian Euclide các bộ số thực n - chiều.
* Ý nghĩa thực tiễn
Kết quả nghiên cứu có thể làm tài liệu tham khảo cho việc khảo sát các

đối tƣợng hình học trong khơng gian Euclide các bộ số thực n - chiều thông
qua công cụ hệ phƣơng trình tuyến tính.
6. Cấu trúc của luận văn
Luận văn bao gồm:


3

Phần mở đầu.
Chƣơng 1. Hệ phƣơng trình tuyến tính
1.1. Khơng gian vectơ số học n - chiều
1.2. Hệ phƣơng trình tuyến tính
Chƣơng 2. Hình học tuyến tính
2.1. Khơng gian Euclide các bộ số thực n - chiều
2.2. Hình học tuyến tính các bộ số thực n - chiều
2.3. Phép biến đổi đẳng cự
Phần kết luận.
Tài liệu tham khảo.
Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ (bản sao).


4

CHƢƠNG 1

HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Trong chương này, chúng tơi trình bày các kiến thức cơ bản của đại số
tuyến tính như khơng gian vectơ số học n - chiều, hệ phương trình tuyến tính
có liên quan trực tiếp đến việc khảo sát trong chương tiếp theo. Các kiến thức
này có thể tham khảo tại các tài liệu [3], [4], [7], [8], [9].

1.1. KHÔNG GIAN VECTƠ SỐ HỌC n - CHIỀU
1.1.1. Vectơ n - chiều và các phép toán
Định nghĩa 1.1.1. Một vectơ n - chiều x là một bộ n số thực có thứ tự

x ( x1 , x2 , …, xn ) xi

, i 1, n.

Hai vectơ n - chiều x ( x1 , x2 , …, xn ), y ( y1 , y2 , …, yn ) đƣợc gọi là
bằng nhau, ký hiệu x

y, nếu xi

yi , i 1, n.

Bộ n số không ( 0, 0, …, 0 ) gọi là vectơ không của
Tập hợp các vectơ n - chiều đƣợc ký hiệu

n

n

, ký hiệu .

n

,

.

Với mọi x ( x1 , x2 , …, xn ), y ( y1 , y2 , …, yn )

, ta định

nghĩa hai phép toán sau:
- Phép cộng hai vectơ n - chiều:
x

y

( x1

y1, x2

y2 , ..., xn

yn ).

- Phép nhân một số thực với một vectơ n – chiều:
x

Khi đó, với mọi x, y, z

( x1,
n

x2 , ...,

xn ).

, với mọi số thực

,

kiểm tra trực tiếp hai phép toán trên thỏa mãn các tính chất sau:
1) x
2) x

y

y

y z

x;

x

y

z;

, có thể


5

3)
4) x
5)

x

x

8) 1.x

(- x (- x1 , - x2 , …, - xn ) đƣợc gọi là phần tử đối của x );

x
x

x ;

6)
7)

x;

x
x y

x

x;

x

y;

x.

1.1.2. Không gian vectơ số học n – chiều
Định nghĩa 1.1.2. Tập hợp tất cả các vectơ n – chiều

n

với hai phép

toán cộng vectơ và phép nhân một số thực với một vectơ có 8 tính chất đặc
trƣng ở trên đƣợc gọi là không gian vectơ số học n – chiều.
Nhận xét 1.1.1. Trong toán học hiện đại, khái niệm không gian vectơ
đƣợc hiểu theo nghĩa rộng hơn. Trong phạm vi luận văn này thuật ngữ không
gian vectơ đƣợc sử dụng để chỉ không gian vectơ

n

.

Định nghĩa 1.1.3. Một tập hợp không rỗng L
gian vectơ con của khơng gian vectơ

n

y

L;

đƣợc gọi là khơng

nếu L đóng kín đối với phép cộng

vectơ và phép nhân vectơ với một số, tức là
x

n

x

L,

x, y

ta có:

L.

Từ định nghĩa trên suy ra:
- Mọi không gian vectơ con L đều chứa vectơ không . Hơn nữa, với
mọi vectơ x

L , vectơ đối

x

L.

- Giao của hai không gian vectơ con của

n

là một không gian vectơ con

của n . Tuy nhiên, hợp của hai không gian vectơ con nói chung khơng là
khơng gian vectơ con.
- Không gian vectơ con bé nhất chứa hai không gian vectơ con M và N
của

n

đƣợc gọi là tổng của M và N, ký hiệu M + N. Hơn nữa, ta có
M + N = { x + y ; x M, y

N }.


6

1.1.3. Tổ hợp tuyến tính – Hệ sinh
Định nghĩa 1.1.4. Trong
Vectơ x

n

cho một hệ vectơ S = {

n

1

,

2

, ...,

m

}.

đƣợc gọi là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ S (hay biểu thị

tuyến tính qua S) nếu:

x

1 1

2

...

2

m

m

,

Ví dụ 1.1.1. Trong không gian vectơ

, i 1, m.

i

3

, xét các vectơ:

e1 (1, 0, 0), e2 (0, 1, 0), e3 (0, 0, 1).
Ta có:

x (2, 1, 1) = 2(1, 0, 0) + 1(0, 1, 0) + 1(0, 0, 1) 2.e1 1.e2 1.e3.
Vậy x (2, 1, 1) là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ e1, e2 , e3.
Định nghĩa 1.1.5. Trong

cho hệ vectơ S {

n

1

,

2

, ...,

m

}. Tập

hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ S đƣợc gọi là khơng gian sinh
bởi hệ vectơ S hay bao tuyến tính của S. Ký hiệu: Span(S) hay <S>.
Span S

n

x

:x

1 1

2

...

2

m

m

.

, i 1, m.

i

Định lý 1.1.1. Nếu S là một hệ vectơ của không gian vectơ
Span(S) là một không gian vectơ con của

n

n

.

Chứng minh.
(1) Span S
Vì

.

(0, 0, 0)

0

1

... 0

Span S , do đó Span S

m

(2) Span(S ) là khơng gian con của
Giả sử: x

Khi đó x

y

Với

:

x

...

1 1

(

1 1

m

m

1

1

1

...

m

m

, y

...

)

1

n

:

x, y

1 1

...

n

n

1

...

m

n

Span S .
m

.

Span S .

a

m m

Span S .

.

thì


7

Vậy Span(S ) là không gian con của

n

.

Định nghĩa 1.1.6. Cho không gian vectơ
{

S

Nếu Span(S )

n

x

,

2

, ...,

m

}.

, tức là nếu mọi x

1 1

ta nói hệ S sinh ra

1

2

...

2

m

m

n

,

có thể biểu diễn dƣới dạng

, i 1, m

i

hay S là một hệ sinh của

n

và xét tập hợp con

n

n

.

1.1.4. Sự phụ thuộc tuyến tính – Độc lập tuyến tính
Định nghĩa 1.1.7. Trong

n

, hệ vectơ { 1 ,

- Phụ thuộc tuyến tính nếu có m số thực
bằng không sao cho

1 1

2

...

2

m

1

2

,

} đƣợc gọi là:

, ...,

m

, ...,

m

2

khơng đồng thời

.

m

- Độc lập tuyến tính nếu hệ khơng phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là nếu có
1 1

2

...

2

m

thì

m

Ví dụ 1.1.2. Trong

x3

3

1

...

2

, hệ 3 vectơ sau x1 (1, 2, 1), x2 (0, 1, 2),

(0, 0, 2) là độc lập tuyến tính. Thật vậy:

x

x

1 1

1

3 3

(1, 2, 1)

(

1

, 2 1,

(

1

; 2

với

x

2 2

2
1

1

(0, 1, 2)

) + ( 0,

2

1

;

2

2

1

3

, 2

2

,

2

,

Suy ra 2

(0, 0, 2) = (0, 0, 0);
2

) + ( 0, 0, 2 3 ) = (0, 0, 0);

2 3 ) = (0, 0, 0).
0

1

1

2

0.

2

2

1

Vậy

;

3

1

3

2

3

0

3

0.

Ví dụ 1.1.3. Trong khơng gian

x3

0.

m

3

, hệ vectơ x1 (2, 3, 1), x2 (1, 1, 1),

(1, 2, 0) là phụ thuộc tuyến tính vì có


8

x1 x2

0 , với

x3

1,

1

1,

2

1.

3

Định lý 1.1.2. Một hệ vectơ n – chiều phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khi
ít nhất một vectơ của hệ biểu diễn tuyến tính qua các vectơ còn lại.
Chứng minh.
Ta chứng minh Định lý này cho các hệ có từ hai vectơ trở lên. Xét hệ
vectơ {

1

,

2

, ...,

m

}, m 2.

" Giả sử hệ {

"

1

,

2

, ...,

m

} có một vectơ nào đó biểu diễn tuyến

tính qua các vectơ cịn lại. Khơng mất tính tổng qt, giả sử

1

biểu diễn

tuyến tính qua các vectơ cịn lại:
1

2

2

...

m

m

.

2

2

...

m

m

Khi đó, ta có:

1

1

.

Ta thấy tổ hợp tuyến tính ở vế trái có hệ số
{

1

,

2

"

, ...,

m

} phụ thuộc tuyến tính.

" Ngƣợc lại, giả sử hệ {

đó tồn tại m số thực
Giả sử,
Suy ra

1

,

2

, ...,

m

1

,

2

1
i0

1
i0

i0

...

, ...,

m

} phụ thuộc tuyến tính. Khi

với ít nhất một số khác không.

0, i0 1, m sao cho:

i0

Chứng tỏ

1 0, do đó hệ vectơ

1

m
m

1 1

...

i0

...

i0

(vế phải khơng có

i0

m

m

.

).

i0

biểu diễn tuyến tính qua các vectơ cịn lại.

Do vectơ khơng biểu diễn tuyến tính (tầm thƣờng) qua các vectơ n –
chiều bất kỳ nên từ định lý này ta suy ra hệ quả:
Hệ quả 1.1.1. Mọi hệ vectơ n - chiều chứa vectơ khơng đều phụ thuộc

tuyến tính.
Định lý 1.1.3. Nếu một hệ vectơ {

1

,

thuộc tuyến tính thì hệ phụ thuộc tuyến tính.

2

, ...,

m

} chứa một hệ con phụ


9

Chứng minh.
Giả sử {

1

,

2

, ...,

m

} chứa một hệ con {

1

,

2

, ...,

s

} (s < m) phụ

thuộc tuyến tính.
Khi đó tồn tại các số thực

1

,

2

, ...,

s

...

s

trong đó có ít nhất một số khác

0, sao cho
1 1

Xét

s 1

...

s 2

đồng thời bằng 0 sao cho:
Vậy hệ {

1

,

2

, ...,

2

0 ta có

m
1 1
m

2

2

2

1

,

...

.

s

2

, ...,

m

s

,

s 1

, ...,

m

khơng

.

m

} phụ thuộc tuyến tính.

Từ Định lý ta suy ra các kết quả sau:
Hệ quả 1.1.2.
1) Nếu một hệ vectơ độc lập tuyến tính thì mọi hệ con của hệ đều độc lập
tuyến tính.
2) Nếu trong một hệ vectơ có hai vectơ nào đó tỷ lệ thì hệ vectơ đó phụ
thuộc tuyến tính.
1.1.5. Cơ sở và số chiều của khơng gian vectơ
Định nghĩa 1.1.8. Cho L là một không gian vectơ con của
vectơ {

1

,

2

, ...,

m

n

. Hệ

} của L đƣợc gọi là một cơ sở nếu thỏa mãn hai điều

kiện:
- Hệ {

1

,

2

, ...,

m

} là độc lập tuyến tính;

- Mọi vectơ của L đều biểu thị tuyến tính qua hệ {

1

,

2

, ...,

m

}.

Từ định nghĩa ta suy ra một số tính chất và khái niệm sau cho khơng
gian vectơ

n

(các tính chất và khái niệm này cũng đúng đối với các không

gian vectơ con của

n

).

Định lý 1.1.4. Giả sử không gian vectơ

n

sinh bởi một hệ n vectơ. Nếu

S là một hệ m vectơ độc lập tuyến tính trong

n

thì m n.


10

Chứng minh.
Giả sử

Span { v1 , v2 , ..., vn } và S { u1 , u2 , ..., um } là một hệ

n

vectơ độc lập tuyến tính trong
Khi đó u1

n

.

a1v1 a2v2 ... anvn .
(do mọi hệ chứa vectơ

Vì u1

đều phụ thuộc tuyến tính), các ai

khơng thể đồng thời bằng 0).
Giả sử a1 0, suy ra
Do đó u2

n

Span { u1 , v2 , ..., vn }.

bu
c2v2 c3v3 ... cnvn . Một trong các số ci phải khác 0,
1 1

vì { u1 , u2 } độc lập tuyến tính. Vậy

n

Span { u1 , u2 , v3 , ..., vn }.

Nếu m n, q trình trên tiếp tục đến khi
Khi đó, vì un 1 là một vectơ trong

n

n

Span { u1 , u2 , ..., un }.

, un 1 là một tổ hợp tuyến tính của

các vectơ { u1 , u2 , ..., un }, điều này trái với giả thiết họ S

{ u1 , u2 , ..., um }

độc lập tuyến tính.
Vậy m n.
Định lý 1.1.5. Nếu { e1, e2 , ..., en } và { f1 , f 2 , ..., f m } là 2 cơ sở của
n

thì n = m.
Chứng minh.
n

Vì

Span { e1, e2 , ..., en } nên theo định lý 1.1.4, ta có m n.

Mặt khác,

n

Span { f1 , f 2 , ..., f m } nên n m.

Do đó n m.
Do số vectơ của mọi cơ sở của khơng gian vectơ

n

đều bằng nhau, nên

ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.9. Nếu { e1, e2 , ..., en } là một cơ sở của khơng gian
vectơ

n

n

ta nói

ký hiệu là dim

n

là không gian vectơ n - chiều, n gọi là số chiều của

= n.

n

và


11

Ta có hệ e1 = (1, 0, …, 0); e2 = (0, 1, …, 0); ...; en = (0, 0, …, 1) là một
cơ sở của

n

là không gian vectơ n - chiều.

n

nên suy ra

Nhận xét 1.1.2. Trong không gian vectơ

n

, mọi hệ vectơ S gồm n

vectơ độc lập tuyến tính đều là một cơ sở.
Định lý 1.1.6. Nếu S { e1, e2 , ..., en } là một cơ sở của khơng gian
vectơ n chiều

thì mọi vectơ x

n

n

đều có thể biểu diễn một cách duy

nhất dƣới dạng:

x

e

e

1 1

...

2 2

e,

n n

, i 1, n.

i

Chứng minh.
Vì S là một cơ sở của
vectơ x

n

nên S là một hệ sinh của

n

. Do đó, mọi

đều biểu diễn đƣợc dƣới dạng:

n

x

1 1

e

2 2

e

...

n n

e,

e

2 2

e

...

n n

, i 1, n.

i

Bây giờ giả sử

x

1 1

e,

, i 1, n.

i

Khi đó, trừ hai đẳng thức vế theo vế, ta có:
1

1

e1

2

e2 ...

2

n

n

en .

(*)

Do hệ S độc lập tuyến tính nên từ (*) suy ra
1

hay

1

1

,

2

2

0,

1

, …,

n

2
n

2

0, …,

n

n

0,

.

Từ định lý này ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 1.1.10. Cho S { e1, e2 , ..., en } là một cơ sở của không
gian
thức x
S.

n

. Các số

e

1 1

e

2 2

1

,

2

...

, ...,

n

đƣợc xác định một cách duy nhất bởi công

e gọi là các tọa độ của vectơ x đối với một cơ sở

n n


12

Vectơ ( 1 ,

, ...,

2

sở S, kí hiệu là x

S

Xét cơ sở của

n

( 1,

đƣợc gọi là vectơ tọa độ của x đối với cơ

n

)
2

, ...,

n

).

n

e1 = (1, 0, …., 0); e2 = (0, 1, …., 0); ..; en = (0, 0, …., 1),
đƣợc gọi là cơ sở chính tắc. Khi đó, tọa độ ( 1 ,

2

, ...,

n

) tƣơng ứng đƣợc

gọi là tọa độ chính tắc của vectơ x.
Định lý 1.1.7. Giả sử khơng gian
n

khơng gian

n

n

có dim

, khi đó trong

=n<

đối với mọi hệ k vectơ độc lập tuyến tính { u1 , ..., uk }, k < n

đều có thể bổ sung thêm n – k vectơ { uk 1 , ..., un } để đƣợc hệ { u1 , ..., uk ,

uk 1 , …, un } là một cơ sở của khơng gian vectơ

n

.

Chứng minh.

Ta có L

n

L ({ u1 , ..., uk })

. Chọn vectơ uk

n
1

\ L. Hệ vectơ { u1 ,

..., uk , uk 1 } độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử có tổ hợp tuyến tính:

u1 ...
Nếu

k 1

0 thì ta có: uk

k

uk
1

1
k 1

Mâu thuẩn này chứng tỏ

u

.

k 1 k 1

u1 ...

k
k 1

0. Vậy u1 ...

k 1

uk .
k

uk

.

Mà theo giả thiết hệ { u1 , ..., uk } độc lập tuyến tính nên
1

...

k

0. Vậy hệ vectơ { u1 , ..., uk , uk 1 } độc lập tuyến tính.

Lý luận tƣơng tự nhƣ vậy, ta thu đƣợc cơ sở cần tìm.
1.1.6. Hạng của hệ vectơ
Định nghĩa 1.1.11. Trong

n

, cho hệ vectơ S { 1 ,

2

, ...,

m

}. Hệ

vectơ S đƣợc gọi là có hạng r nếu tồn tại một hệ con r vectơ độc lập tuyến
tính của S và mọi hệ con có nhiều hơn r vectơ của S đều phụ thuộc tuyến tính.


13

Nói cách khác, hạng của hệ vectơ là số vectơ độc lập tuyến tính tối đa
của hệ. Ký hiệu: r ( S ) , ta có r (S ) m .
Định lý 1.1.8. Hạng của hệ vectơ S {

1

,

2

, ...,

p

} bằng số chiều

của không gian con sinh bởi họ S, tức là

r (S ) dimSpan(S).
Chứng minh.
Đặt r (S )
1

,

2

2

, ...,

, ...,

p

,

p. Trong hệ S có nhiều nhất p vectơ độc lập tuyến tính
p

. Khi đó với i

p 1, p 2, ..., n ta suy ra hệ các vectơ {

i

} phụ thuộc tuyến tính, nên tồn tại p 1 số

i

1

,

khơng đồng thời

bằng 0 sao cho:
1 1

Nếu

p 1

2

0 thì do

1

2

,

2

p 1

2

1 1

2

p

0.

p 1 i

độc lập tuyến tính, ta có

p

...

p

0.

0. Từ đẳng thức trên suy ra

1
i

p

, ...,

1

Điều này vô lý, vậy

...

2

...

p

p

, i

p 1, p 2, ..., n.

p 1

Đặt L Span(S ). Ta có Span {
Họ {

1

,

2

, ...,

p

1

,

2

, ...,

p

} = S.

} là hệ sinh của L, nó gồm p vectơ độc lập tuyến

tính.
Vậy dim Span(S )

p r (S ).

Định lý 1.1.9. Nếu hệ các vectơ {

1

,

2

, ...,

m

} trong

n

có hạng

bằng r thì mọi vectơ của hệ này đều biểu thị tuyến tính qua hệ con bất kỳ của
hệ có r vectơ độc lập tuyến tính.
Chứng minh.


14

Giả sử {

i1

,

i2

, ...,

} là một hệ con của {

ir

độc lập tuyến tính và x là một vectơ của hệ {
Nếu x

{

i1

,

i2

, ...,

ir

x

1

,

2

}, chẳng hạn x

0.

i1

ir

,

2

, ...,

i1

... 0.

i2

1

, ...,

m

m

} có r vectơ

}.

thì ta viết:

.

Do đó x biểu diễn tuyến tính qua hệ này.
Nếu x
nên { x,

i1

,

{
i2

i1

,

i2

, ...,

đồng thời bằng 0)

0

ir

,

, ...,

, ...,
0

x

...

1 i1

0, do {

0

với giả thiết. Vậy

i1

,

0

,

2

, ...,

m

} bằng r

sao cho:

r

i1

,

i2

1

Do đó hệ { x,

1

} phụ thuộc tuyến tính, nghĩa là tồn tại các số (không
1

Từ hệ thức, nếu

}, do hạng của hệ {

ir

i2

, ...,

ir

2

r

, ...,
...

.

ir
ir
r

} độc lập tuyến tính, suy ra

0.

} độc lập tuyến tính. Điều này mâu thuẫn
1

0, ta có x

i1

...

0

r
ir

.

0

Định lý 1.1.10. Hạng của một hệ vectơ không thay đổi nếu ta thêm vào
hệ một vectơ là tổ hợp tuyến tính của các vectơ của hệ, hoặc bớt đi một vectơ
là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại của hệ.
Chứng minh.
Giả sử hệ vectơ {

1

,

2

, ...,

có r vectơ độc lập tuyến tính là

m

} có hạng là r và hệ này có một hệ con

.

Nếu thêm x là tổ hợp tuyến tính của các vectơ của hệ {
thì ta đƣợc hệ mới là { x,
tuyến tính

1

,

2

, ...,

m

,

2

, ...,

m

}

} cũng có hệ con có r vectơ độc lập

. Từ định lý 1.1.9, mọi vectơ của hệ {

tuyến tính qua hệ con

1

1

,

2

, ...,

nên x cũng biểu thị tuyến tính qua

m

.

} biểu thị


15

Nhƣ vậy mọi vectơ của hệ { x,
các vectơ của hệ con
1

,

2

, ...,

m

1

,

2

, ...,

của nó, do đó

m

} biểu diễn tuyến tính qua

là một cơ sở của hệ vectơ { x,

}.

Điều này chứng tỏ mọi cơ sở của hệ vectơ { x,
cơ sở của hệ vectơ {

1

,

2

, ...,

m

1

,

2

, ...,

m

} đều là

}, do đó hai hệ vectơ đó có hạng bằng

nhau.
Định nghĩa 1.1.12. Các phép biến đổi sau đây đối với một hệ vectơ đƣợc

gọi là các phép biến đổi sơ cấp:
1. Đổi chỗ hai vectơ của hệ;
2. Nhân một vectơ của hệ với một số k

0;

3. Cộng vào một vectơ của hệ tích của một vectơ khác trong cùng hệ đó
với một số bất kỳ.
Định lý 1.1.11. Các phép biến đổi sơ cấp đối với một hệ vectơ không
làm thay đổi hạng của hệ.
Chứng minh.
1. Dễ thấy.
2. Xét hệ vectơ {
Nhân vectơ

1

1

,

2

, ...,

m

của hệ với một số k
{ k 1,

2

n

}

.

0 ta đƣợc hệ vectơ

, ...,

m

}.

Khi đó cả hai hệ trên đều có hạng bằng hạng của hệ vectơ
{ k 1,

1

,

2

, ...,

Thật vậy, hạng của hệ vectơ { k 1 ,
{

1

,

hệ {

2

1

,

, ...,
2

, ...,

m

} do vectơ k
m

1

1

,

m

}.

2

, ...,

1

} bằng hạng của hệ

biểu diễn tuyến tính đƣợc qua các vectơ của

}:

k

m

k

1

0

2

... 0

m

.


16

Hạng của hệ vectơ { k 1 ,
{ k 1,

2

, ...,

hệ { k 1 ,

2

m

} do vectơ

, ...,

m

1

,

2

, ...,

m

} bằng hạng của hệ vectơ

biểu diễn tuyến tính đƣợc qua các vectơ của

1

}:

k

1
k
k

1

Vậy hai hệ vectơ {

1

,

2

0

1

, ...,

... 0

2

m

m

.

2

, ...,

}, { k 1 ,

m

} có hạng bằng

nhau. Điều này chứng tỏ phép biến đổi sơ cấp thứ hai không làm thay đổi
hạng của hệ vectơ.
3. Từ hệ vectơ {
với số k

1

,

2

, ...,

0, ta đƣợc hệ vectơ: {

Nhân vectơ

m

} cộng vào vectơ

k

1

2

,

2

, ...,

m

của hệ đã cho với một số k

1

{ k 1,

2

, ...,

1

tích của vectơ

2

}.

0 ta đƣợc hệ vectơ
m

}.

Áp dụng định lý trên ta thấy cả hai hệ đều có hạng bằng hạng của hệ
vectơ: {

1

k

2

,

1

,

2

, ...,

}.

m

Thật vậy, hạng của hệ vectơ {
hệ {

1

,

2

, ...,

m

} do vectơ

hệ {

1

,

2

, ...,

m

}:
1

k

2

Hạng của hệ vectơ {
{

k

1

2

,

2

, ...,

} do vectơ

1

1

k
1

,

2

1

k

k

2

1

m

Từ đó hai hệ vectơ {

k

1

1

2
2

k

1

,

2

,

1

,

2

, ...,

m

} bằng hạng của

biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của

0

2

1

,

... 0

3

2

, ...,

m
m

.

} bằng hạng của hệ

biểu diễn tuyến tính qua các vectơ của hệ

k

, ...,

2
m

0
}, {

... 0

3
1

k

2

m

,

.
2

, ...,

m

} có hạng

bằng nhau. Vậy phép biến đổi sơ cấp thứ ba không làm thay đổi hạng của hệ
vectơ.
Ví dụ 1.1.4. Tính hạng của hệ vectơ S { x1 , x2 , x3 , x4 , x5 }

3

với


17

x1 (1, 2, 3), x2 (2, 3, 4), x3 (3, 5, 7), x4 (1, 1, 1), x5 (0, 1, 2).
Giải.
Ta có thể sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trực tiếp trên các vectơ của
hệ để xác định hạng của hệ vectơ S. Tuy nhiên, để đơn giản cách tính tốn, ta
chuyển về ngơn ngữ ma trận với chú ý rằng các phép biến đổi sơ cấp nêu trên
có thể định nghĩa cho các hàng (cột) của ma trận và Định lý 1.1.11 vẫn đúng
cho trƣờng hợp các hàng (cột) của ma trận.
Lập ma trận A với năm hàng là năm vectơ tọa độ của các vectơ đã cho

1 2 3
2 3 4
3 5 7 .

A

1 1 1
0 1 2
Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên hàng để đƣa ma trận A về dạng

ma trận bậc thang.

1 2 3
A

2 3 4
3 5 7

1
h2 h2 2 h1
h3 h3 3h1
h4 h4 h1

1 1 1
0 1 2

2

3

0
0

1
1

2
2

0

0

1
1

2
2

h5 h5 h4
h4 h4 h3
h3 h3 h2

1

2

3

0
0

1
0

2
0

0
0

0
0

0
0

B.

Ta có các vectơ hàng khác khơng của ma trận bậc thang B là độc lập
tuyến tính.
Do đó r (S ) 2.
1.2. HỆ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
1.2.1. Các khái niệm cơ bản
Định nghĩa 1.2.1. Cho hệ phƣơng trình gồm m phƣơng trình, n ẩn số có
dạng:


18

a11 x1
a21 x1

a12 x2
a22 x2

a13 x3 ... a1n xn b1
a23 x3 ... a2 n xn b2
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
am1 x1 am 2 x2 am3 x3 ... amn xn bm

(1.2.1)

trong đó x1 , x2 , ..., xn là các ẩn số; aij , bi ( i 1, m , j 1, n ) là các hệ số thực
cho trƣớc; số aij là hệ số ở phƣơng trình thứ i của ẩn x j và bi là số hạng tự
do của phƣơng trình thứ i.
Hệ phƣơng trình (1.2.1) đƣợc gọi là hệ phƣơng trình tuyến tính tổng quát
và có thể viết gọn hơn dƣới dạng:
n

aik xk

bi , i 1, m.

k 1

Đặc biệt, nếu b1 ... bm
a11 x1
a21 x1

0 thì hệ (1.2.1) có dạng:

a12 x2
a22 x2

a13 x3 ... a1n xn 0
a23 x3 ... a2 n xn 0
.
... ... ... ... ... ... ... ... ......
am1 x1 am 2 x2 am 3 x3 ... amn xn 0

(1.2.2)

Hệ phƣơng trình (1.2.2) đƣợc gọi là hệ phƣơng trình tuyến tính thuần
nhất và có thể viết gọn dƣới dạng:
n

aik xk

0, i 1, m.

k 1

Định nghĩa 1.2.2. Nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính (1.2.1) là một
bộ n số thực có thứ tự

(

1

,

2

, ...,

n

) sao cho khi thay xi

i

(i 1, n)

vào tất cả các phƣơng trình của hệ (1.2.1) ta đƣợc các đẳng thức đúng.
Tập hợp tất cả các nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính đƣợc gọi là
tập hợp nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính đó.
- Nếu hệ (1.2.1) có một nghiệm duy nhất thì gọi là hệ xác định.


19

- Nếu hệ (1.2.1) có nhiều nghiệm thì gọi là hệ khơng xác định.
- Nếu hệ (1.2.1) khơng có nghiệm thì gọi là hệ vơ nghiệm.
Định nghĩa 1.2.3. Hai hệ phƣơng trình tuyến tính
n

aik xk

bi (i 1, m)

k 1
n

a ' jk xk

và

b ' j ( j 1, p)

k 1

đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu mỗi nghiệm của hệ này là nghiệm của hệ kia và
ngƣợc lại. Một phép biến đổi khơng làm thay đổi tập nghiệm của các hệ
phƣơng trình gọi là phép biến đổi tƣơng đƣơng.
Nhận xét 1.2.1. Các phép biến đổi sau đây là phép biến đổi tƣơng
đƣơng:
a) Thay đổi thứ tự các phƣơng trình của hệ (1.2.1);
b) Loại khỏi hệ (1.2.1) các phƣơng trình có hệ số của các ẩn và hệ số
tự do đều bằng 0;
c) Nhân hai vế của một phƣơng trình với một số k

0;

d) Cộng hai vế của một phƣơng trình vào các vế của một phƣơng trình
khác.
1.2.2. Dạng ma trận và dạng vectơ của hệ phƣơng trình tuyến tính
Cho hệ phƣơng trình tuyến tính (1.2.1)
a11 x1
a21 x1

a13 x3 ... a1n xn b1
a23 x3 ... a2 n xn b2
.
... ... ... ... ... ... ... ... ... ...
am1 x1 am 2 x2 am 3 x3 ... amn xn bm

Xét các ký hiệu sau:

a12 x2
a22 x2

20

a11
a21

A

a12
a22

... a1n
... a2 n

... ... ... ...
am1 am 2 ... amn
x1
x2

X

...
xn

đƣợc gọi là ma trận các hệ số của phƣơng trình;

đƣợc gọi là ma trận ẩn;

b1

b2
đƣợc gọi là ma trận hệ số tự do;
...

B

bm

A

a11

a12

... a1n b1

a21

a22

... a2 n b2

...

...

...

... ...

đƣợc gọi là ma trận mở rộng hay ma trận bổ

am1 am 2 ... amn bm

sung.
Theo phép toán nhân hai ma trận và định nghĩa hai ma trận bằng nhau ta
có thể viết hệ phƣơng trình tuyến tính (1.2.1) dƣới dạng ma trận nhƣ sau:
a11

a12

... a1n

x1

b1

a21

a22

... a2 n

x2

b2

...

...

...

...

...

...

am1 am 2 ... amn

xn

bm

hay AX

B.

Ký hiệu các vectơ cột của ma trận mở rộng A là: A1, A2 , …., An , B.
Khi đó m đẳng thức của hệ (1.2.1) tƣơng đƣơng với đẳng thức vectơ:

x1 A1 x2 A2 ... xn An

B.

(1.2.3)


21

Hệ thức (1.2.3) gọi là dạng vectơ của hệ phƣơng trình (1.2.1).
Nhận xét 1.2.2. Các phép biến đổi tƣơng đƣơng từ a) đến d) ở trên thực
chất là các phép biến đổi sơ cấp trên hàng của ma trận mở rộng A.
1.2.3. Điều kiện có nghiệm của hệ phƣơng trình tuyến tính
Trƣớc hết ta nhắc lại rằng hạng của một ma trận A cấp (m, n) đƣợc định
nghĩa là hạng của hệ vectơ cột tƣơng ứng (xét nhƣ một hệ vectơ trong

n

).

Hơn nữa, có thể chứng minh đƣợc hạng của ma trận A cũng trùng với hạng
của hệ vectơ hàng của A (xét nhƣ một hệ vectơ trong

m

).

Kết quả dƣới đây cho phép chúng ta có thể khảo sát nghiệm của hệ
phƣơng trình tuyến tính dựa vào hạng của ma trận.
Định lý 1.2.1. (Định lý Kronecker – Capelli) Hệ phƣơng trình tuyến
tính (1.2.1) có nghiệm khi và chỉ khi hạng của ma trận A bằng hạng của ma
trận mở rộng A.
Chứng minh.
Điều kiện cần: Giả sử hệ (1.2.1) có nghiệm

( 1,

2

, ...,

n

). Khi đó

theo dạng vectơ (1.2.3) của hệ ta có:

B
Suy ra B

1

A1

2

A2 ...

n

An .

Span{ A1, A2 , …., An }. Do đó, hạng của hệ vectơ

{ A1, A2 , …., An , B } bằng hạng của hệ { A1, A2 , …., An } hay r A
Điều kiện đủ: Giả sử r A

r A . Khi đó ta có:

dimSpan{ A1, A2 , …., An , B } = r A

r A

= dimSpan{ A1, A2 , …., An }.
Suy ra: Span{ A1, A2 , …., An , B } = Span{ A1, A2 , …., An }.

r A.