Kết hợp một phương pháp tuyến tính đa bước và phương pháp bdf để giải số phương trình vi phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TỐN
−−− −−−

HỒNG THỊ THÚY HẠNH

KẾT HỢP MỘT PHƯƠNG PHÁP
TUYẾN TÍNH ĐA BƯỚC VÀ
PHƯƠNG PHÁP BDF ĐỂ GIẢI
SỐ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
Chuyên ngành: Cử Nhân Tốn

LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Người hướng dẫn
Th.S NGUYỄN HỒNG THÀNH

Đà Nẵng, 5/2012


Mục lục
Lời nói đầu

4

1

Một số kiến thức liên quan
1.1 Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

6

1.2

Cách tiếp cận lời giải số . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

1.3
1.4

Cấp chính xác của phương pháp số . . . . . . . . . . . . .
Sự hội tụ của một phương pháp số . . . . . . . . . . . . . .

9
9

1.5

Tính phù hợp của một phương pháp số . . . . . . . . . . . 10
1.5.1 Đa thức đặc trưng thứ nhất . . . . . . . . . . . . . 10

1.6

1.5.2 Khái niệm tính phù hợp của phương pháp số . . . . 11
Tính zero ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.7
1.8

Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi tuyến . . . . . 14
Phép nội suy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.9

Phương trình Riccati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.9.1 Dạng chính tắc của phương trình Riccati. . . . . . . 17
1.9.2

Dạng đặc biệt của phương trình Riccati. . . . . . . . 17

1.10 Phương pháp Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2 Các phương pháp tuyến tính đa bước và phương pháp BDF 20
2.1 Các phương pháp tuyến tính đa bước . . . . . . . . . . . . 20
2.1.1

Khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.1.2

Tính zero ổn định của phương pháp tuyến tính đa
bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.3

Tính phù hợp của phương pháp tuyến tính đa bước . 22
−2−


2.1.4

2.2

2.3

Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính đa bước . . . 24

2.1.5 Cấp chính xác của phương pháp tuyến tính đa bước 25
Một số phương pháp tuyến tính đa bước hiển . . . . . . . . 27
2.2.1
2.2.2

Phương pháp Adams-Bashforth . . . . . . . . . . . . 27
Phương pháp trung điểm . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.2.3

Phương pháp tuyến tính 2 bước hiển . . . . . . . . . 31

Phương pháp BDF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.1 Phát biểu công thức BDF . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3.2

Xét sự hội tụ và cấp chính xác của phương pháp
BDF 2 bước, 3 bước, 4 bước . . . . . . . . . . . . . 38

3 Sử dụng phương pháp tuyến tính đa bước và phương pháp
BDF vào giải số phương trình vi phân
3.1

3.2

42

Kết hợp phương pháp tuyến tính 2 bước và phương pháp
BDF 2 bước vào giải số PTVP . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.1

Kết hợp phương pháp Adams-Bashforth 2 bước và
BDF 2 bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.1.2
3.1.3

Kết hợp phương pháp trung điểm và BDF 2 bước . . 52
Kết hợp phương pháp tuyến tính 2 bước và BDF 2

bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Kết hợp phương pháp tuyến tính 2 bước và phương pháp
BDF 3 bước vào giải số PTVP . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.1 Kết hợp phương pháp Adams-Bashforth 2 bước và
phương pháp BDF 3 bước . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2.2
3.2.3

Kết hợp phương pháp trung điểm và BDF 3 bước . . 75
Kết hợp phương pháp tuyến tính 2 bước và BDF 3
bước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

Phụ lục

93

Kết luận

106

Tài liệu tham khảo

107
−3−


Lời nói đầu
Đa số các bài tốn khoa học kỹ thuật đều được đưa về (hệ) phương
trình vi phân thường cùng với điều kiện biên và điều kiện ban đầu. Nghiệm
đúng của chúng thường chỉ áp dụng cho một số lớp bài toán rất hạn chế,
đa số các bài toán là phải tìm nghiệm gần đúng. Có hai loại bài tốn
(1) Bài tốn Cauchy hay cịn gọi là bài tốn giá trị ban đầu, bao gồm
(hệ) phương trình vi phân và điều kiện ban đầu của bài toán.
(2) Bài toán biên, bao gồm (hệ) phương trình vi phân và điều kiện biên.
Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do cịn nhiều bài tốn
cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan
tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng.
Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra
những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính
chính xác cao. Để làm được điều này, người ta thường kết hợp các phương
pháp tuyến tính đa bước để nhận được các phương pháp mới có tính ổn
định, sự hội tụ và cấp chính xác cao hơn.
Mục đích của khóa luận là kết hợp một phương pháp tuyến tính đa
bước với phương pháp BDF để giải số phương trình vi phân nhằm tìm ra

một phương pháp tốt nhất, cho nghiệm chính xác nhất.
Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương và một phụ lục

• Chương 1 Trình bày một số khái niệm cơ bản giải số phương trình vi
phân.
• Chương 2 Trình bày các phương pháp tuyến tính đa bước hiển và
phương pháp BDF.
−4−


• Chương 3 Sử dụng phương pháp tuyến tính đa bước và phương pháp
BDF vào giải số phương trình vi phân.
• Phụ lục trình bày code được lập trình trên Maple.
Trong thời đại tin học hiện nay thì việc áp dụng các phương pháp tính
càng trở nên phổ biến nhằm tăng tốc độ tính tốn và cho độ chính xác cao.
Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết, em đã sử dụng phần mềm MAPLE
để lập trình và tính tốn cho một số các bài tốn cụ thể.
Trước khi trình bày nội dung chính của khóa luận, em xin bày tỏ lịng
biết ơn sâu sắc đến Thầy Nguyễn Hồng Thành người đã tận tình hướng
dẫn để em có thể hồn thành khóa luận này.
Em xin tỏ lịng cám ơn đến thầy Tơn Thất Tú, đã hướng dẫn tận tình,
giúp em trong việc làm quen với Maple. Bên cạnh đó, em cũng xin cảm
ơn ban chủ nhiệm , các thầy cô và các cán bộ khoa Toán, trường Đại Học
Sư Phạm, Đại Học Đà Nẵng đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ em trong
suốt quá trình học tập tại trường.
Do thời gian thực hiện khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế
nên khi thực hiện khóa luận khơng tránh khỏi những sai sót. Em mong
nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn
đọc. Xin chân thành cảm ơn!
Đà Nẵng, ngày 19 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Hoàng Thị Thúy Hạnh
,

−5−


Chương 1
Một số kiến thức liên quan
1.1

Bài tốn Cauchy

Trong khóa luận này, chúng ta chỉ đề cập đến phương pháp số để giải
các bài tốn tìm giá tri ban đầu. Phương trình vi phân cấp cao hay hệ
phương trình vi phân ln có thể được viết dưới dạng hệ phương trình vi
phân bậc nhất và ta ln ln giả sử điều đó đã được thực hiện. Bài tốn
giá trị ban đầu hay cịn gọi bài tốn Cauchy có dạng

y = f (x, y)
y(a) = η

(1.1)

trong đó f : [a, b]×Rm → Rm , y : [a, b] → Rm , η = (y1 (a), y2 (a), ...., yn (a))
cho trước.
Định lý 1.1. (Xem [11]) Cho f : [a, b] × Rm → Rm là ánh xạ liên tục
trên D = [a, b] × Rm và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến y, nghĩa là

tồn tại L ≥ 0 sao cho

f (x, y) − f (x, y1 ) ≤ L

y − y1

∀(x, y), (x, y1 ) ∈ D .

Khi đó bài toán Cauchy (1.1) tồn tại duy nhất nghiệm y(x) liên tục và có
đạo hàm trên D.

−6−


1.2

Cách tiếp cận lời giải số

Tất cả các phương pháp số mà chúng ta đề cập trong khóa luận đều sử
dụng để tìm nghiệm của bài tốn Cauchy trên một tập rời rạc của [a, b].
Để làm việc đó ta chia nhỏ đoạn [a, b] ra thành tập các điểm {xi }N
i=0 cho
bởi



xi = a + ih




i = 0, 1, 2..., N



h = b − a
N
tham số h được gọi là độ dài bước nhảy. Giả sử y(x) là nghiệm của hệ
(1.1). Gọi yn là xấp xỉ của y(xn ). Kí hiệu

yn ≈ y(xn ).

(1.2)

Mục đích của chúng ta là tìm ra một phương pháp hữu hiệu để tính dãy
N
giá trị {yn }N
n=0 là xấp xỉ nghiệm của (1.1) trên tập điểm rời rạc {xn }n=0 .

Phương pháp số để giải bài toán (1.1) là một hệ sai phân của k + 1 giá
trị xấp xỉ {yn+i }ki=1 của {y(xn+i )}ki=1 để từ đó ta có thể tính tuần tự các
giá trị {yi }N
i=1 nếu biết k giá trị ban đầu. Và k được gọi là số bước của
phương pháp.
Nếu k = 1 thì phương pháp được gọi là phương pháp một bước.
Nếu k > 1 thì phương pháp được gọi là phương pháp đa bước hay

k -bước.
Ví dụ 1.1. Phương pháp

yn+1 = 2yn−1 − yn +

h
(f (xn+1 , yn+1 ) + 8f (xn , yn ) + 3f (xn−1 , yn−1 ))
4

là phương pháp hai bước ẩn.
Ví dụ 1.2. Phương pháp

yn+1 = yn +

h
(3f (xn , yn ) − 2f (xn−1 , yn−1 ))
3

là phương pháp hai bước hiển.
−7−


Ví dụ 1.3. Phương pháp số

1
1
h
3
yn+1 = yn−2 + yn−1 − yn + (19f (xn , yn ) + 5f (xn−2 , yn−2 ))
4
2
4
8
là phương pháp ba bước.

Ví dụ 1.4. Phương pháp số hai bước
∗
yn+1 = yn−1 + h (f (xn+1 , yn+1
) + f (xn−1 , yn−1 ))

với

h
(f (xn , yn ) − 3f (xn−1 , yn−1 ))
2
Ví dụ 1.5. Phương pháp Adams hai bước
∗
yn+1
= 3yn − 2yn−1 +

yn+1 = yn + h

3
1
f (xn , yn ) − f (xn−1 , yn−1 )
2
2

Ví dụ 1.6. Phương pháp Euler hiển.

yn+1 = yn + hf (xn , yn )

 y =y
1
Áp dụng cho bài tốn

với h =
 y(0) = 1
2
1
Ta có kết quả như sau: y1 = y0 + f (x0 , y0 ) = 1 + = 1, 5
2
1
y2 = y1 + f (x1 , y1 ) = 1.5 + 1.5 = 2.25
2
1
y3 = y2 + f (x2 , y2 ) = 2.25 + 2.25 = 3.375
2
1
y4 = y3 + f (x3 , y3 ) = 3.375 + 3.375 = 5.0625
2
Tất cả các ví dụ trên và cả những phương pháp được đề cập trong khóa
luận này đều có thể được viết dưới dạng tổng quát sau
k

yn+1 =

αj yn+1−j + hφf (yn+1 ,yn , ..., yn+1−k , xn+1−k , h)

(1.3)

j=1

Nếu φf khơng phụ thuộc vào yn+1 thì ta gọi phương pháp số (1.3) là
phương pháp hiển. Ngược lại nếu φf phụ thuộc vào yn+1 thì ta gọi (1.3)
là phương pháp ẩn.

−8−


1.3

Cấp chính xác của phương pháp số

Phương pháp số (1.3) được gọi là phương pháp số có cấp chính xác p
nếu
k

y(xn+1 ) −

αj y(xn+1−j ) − hφf (y(xn+1 ),y(xn ), ..., y(xn+1−k ), xn+1−k , h)
j=1

= o(hp+1 ).
Ví dụ 1.7. Phương pháp Euler

yn+1 = yn + hf (xn , yn )
có cấp chính xác bằng một. Để có được kết quả này, ta sẽ thực hiện như
sau.
Giả thiết yn+1 = y(xn+1 ), yn = y(xn ).
Khai triển Taylor đối với y(x) tại x = xn ta có

y(xn+1 ) = y(xn + h)
= y(xn ) + hy (xn ) + ε(h).h
trong đó ε(h) là vơ cùng bé khi h → 0
⇒ y(xn+1 ) − y(xn ) − hf (xn , y(xn )) = h.y (xn ) + ε(h).h − h.f (xn , y(xn ))

= ε(h).h = o(h2 ) = o(h1+1 ).
trong đó o(h2 ) là vơ cùng bé cùng cấp với h2 khi h → 0
Suy ra phương pháp Euler có cấp chính xác là một.

1.4

Sự hội tụ của một phương pháp số

Giả sử các xấp xỉ nghiệm tại x0 , x1 , ..., xn ∈ [a, b] của bài toán Cauchy
(1.1) cho bởi phương pháp số (1.3) với giá trị ban đầu thích hợp.

yµ = ηµ (h), µ = 0, 1, ..., k − 1.

−9−


Định nghĩa 1.1. (xem [11]) Phương pháp số (1.3) được gọi là hội tụ nếu

lim yn = y(xn )
h→0
với xn = a + nh, ∀x ∈ [a, b] nghiệm {yn } của hệ sai phân (1.3) thỏa mãn
điều kiện yµ = ηµ (h), với lim ηµ (h) = µ, µ = 0, 1, ..., k − 1
Một định nghĩa tương đương khác về sự hội tụ.
Định nghĩa 1.2. (xem [11]) Phương pháp số cho bởi (1.3) được gọi là hội
tụ nếu

max y(xn ) − yn → 0

0≤n≤N

1.5

khi h → 0.

Tính phù hợp của một phương pháp số

1.5.1

Đa thức đặc trưng thứ nhất

Xét phương pháp tổng quát (1.3)
k

yn+1 =

αj yn+1−j + hφf (yn+1 ,yn , ..., yn+1−k , xn+1−k , h).
j=1

Khi đó đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp số (1.3) được định
nghĩa là
k
k

αj ξ k−j

ρ (ξ) = ξ −
j=1

= ξ k − (αk + αk−1 ξ + αk−2 ξ 2 + ... + α1 ξ k−1 )
với ξ ∈ C là một biến số.

− 10 −


1.5.2

Khái niệm tính phù hợp của phương pháp số

Đặt
k

R(xn+1 ) = y(xn+1 ) −

αj y(xn+1−k ) + hφf (y(xn+1 )...,y(xn+1−k ),
j=1

xn+1−k , h)
với R(xn+1 ) là sai số chặt cụt.
Định nghĩa 1.3. (xem[11]) Phương pháp số (1.3) gọi là phù hợp nếu

R(xn+1 )
=0
h→0
h
Hệ quả 1.1. xem[11] Nếu phương pháp số (1.3) có cấp chính xác p ≥ 1
thì phù hợp.
lim

Ta có điều kiện cần và đủ để phương pháp số (1.3) phù hợp cho bởi
định lý sau.

Định lý 1.2. Phương pháp số (1.3) phù hợp khi và chỉ khi


 ρ(1) = 0
φf (yn+1 , yn , ..., yn+1−k , xn+1−k , 0)

= f (xn+1−k , yn+1−k ).

ρ (1)
Ví dụ 1.8. Xét phương pháp số
h
yn+1 = yn + (3f (xn , yn ) − 2f (xn−1 , yn−1 ))
3
Đa thức đặc trưng thứ nhất :

ρ(ξ) = ξ 2 − ξ
ρ(1) = 0
ρ (1) = 1
và

φf (yn+1 , yn , yn−1 , xn−1 , 0)
2
= f (xn−1 , yn−1 ) − f (xn−1 , yn−1 )
ρ (1)
3
1
= f (xn−1 , yn−1 )
3
= f (xn−1 , yn−1 ).
− 11 −

(1.4)


Vậy phương pháp số này là khơng phù hợp.
Ví dụ 1.9. Phương pháp Euler hiển.

yn+1 = yn + hf (xn , yn )
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(ξ) = ξ − 1 có ρ (1) = 1
và

φf (yn+1 , yn , xn , 0)
= f (xn , yn ).
ρ (1)

Vậy phương pháp số này là phù hợp.

1.6

Tính zero ổn định

Định nghĩa 1.4. (xem [11]) Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp
số (1.3) gọi là thỏa mãn điều kiện nghiệm nếu nó có tất cả nghiệm có
modul bé hơn hoặc bằng một và nghiệm có modul bằng một là nghiệm đơn.
Định nghĩa 1.5. (xem[11]) Phương pháp số (1.3) là zero ổn định nếu đa
thức đặc trưng thứ nhất của nó thỏa mãn điều kiện nghiệm.
Ví dụ 1.10. Xét phương pháp Euler hiển

yn+1 = yn + hf (xn , yn )
Đa thức đặc trưng thứ nhất của phương pháp Euler hiển là

ρ(ξ) = ξ − 1
ρ(ξ) = 0 có nghiệm duy nhất ξ = 1.
Vậy ρ(ξ) thỏa mãn điều kiện nghiệm. Khi đó phương pháp Euler là zero
ổn định.
Ví dụ 1.11. Xét phương pháp số

yn+1 = yn + h

3
1
f (xn , yn ) − f (xn−1 , yn−1 )
2
2

− 12 −


Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(ξ) = ξ 2 − ξ = ξ(ξ − 1)

ρ(ξ) = 0 ⇒ ξ(ξ − 1)
⇔

ξ=0
ξ=1

Phương pháp trên thỏa điều kiện nghiệm nên phương pháp trên là zero ổn
định.
Ví dụ 1.12. Xét phương pháp số

3
1
1
h
yn+1 = yn−2 + yn−1 − yn + (19f (xn , yn ) + 5f (xn−2 , yn−2 ))
4
2
4
8
Ta có đa thức đặc trưng thứ nhất

1
1
3
ρ(ξ) = ξ 3 + ξ 2 − ξ −
4
2
4
ρ(ξ) = 0 ⇔ ξ = 1
Phương pháp trên thỏa mãn điều kiện nghiệm nên nó là zero ổn định.
Nói về sự liên quan giữa sự hội tụ, tính zero ổn định và tính phù hợp
của một phương pháp số ta có định lý sau
Định lý 1.3. (xem[11]) Phương pháp số (1.3) hội tụ khi và chỉ khi nó
phù hợp và zero ổn định
Định lý trên là định lý cơ bản trong bộ môn phương pháp số giải phương
trình vi phân. Nó được chứng minh đầu tiên bởi Dahlquist (1956) (xem
[3]) hay Henrici(1962) (xem [6]) cho một lớp phương pháp tuyến tính đa
bước được tìm thấy trong Isaacson và Keller (1966) (xem [9]).
Ví dụ 1.13. Phương pháp

3
1
1
h
yn+1 = yn−2 + yn−1 − yn + [19f (xn , yn ) + 5f (xn−2 , yn−2 )]
4
2
4
8
Phương pháp này là phù hợp và zero ổn định nên nó hội tụ.
Tương tự, ta chứng minh được phương pháp Adams 2 bước và phương
pháp Euler hiển là hội tụ.
− 13 −


1.7

Phương pháp lặp đơn giải phương trình phi
tuyến

Việc sử dụng các phương pháp số giải phương trình vi phân, chẳng hạn
các phương pháp dự báo hiệu chỉnh đòi hỏi ta phải biết giải số các phương
trình phi tuyến dạng

y = ϕ(y)

(1.5)

với
ϕ : Rm → Rm

Để giải số phương trình (1.5) người ta đề xuất hai phương pháp rất thông
dụng là phương pháp lặp đơn và phương pháp Newton. Ở đây chúng ta
chỉ đề cập đến phương pháp lặp đơn.
Phương pháp lặp đơn được định nghĩa bởi dãy lặp

y (ν+1) = ϕ(y ν ) , ν = 0, 1, 2, ...

(1.6)

Trong đó xấp xỉ ban đầu y (0) có thể chọn một cách thích hợp. Định lý sau
chỉ ra điều kiện để phương trình (1.5) có duy nhất nghiệm là giới hạn của
dãy lặp (1.6).
Định lý 1.4. (xem [11]) Cho ϕ(y) thỏa mãn điều kiện Lipschitz

ϕ(y) − ϕ(y ∗ ) ≤ M y − y ∗

∀y, y ∗ ∈ Rm

(1.7)

Hằng số Lipschitz M thỏa mãn 0 ≤ M < 1. Khi đó phương trình (1.5)
có duy nhất nghiệm y = α và nếu
y (ν) → α khi ν → ∞.

1.8

y (ν)

được định nghĩa bởi (1.6) thì

Phép nội suy

Cho a = x0 < x1 < x2 < . . . < xq = b và bảng sau:

x
F (x)

x0
F0

x1
F1

...
...

− 14 −

xq−1
Fq−1

xq
Fq


Với x0 , x1 , . . . , xq gọi là các mốc nội suy. Bài toán nội suy là bài tốn tìm
giá trị gần đúng của F (x) tại các điểm x khơng có trong bảng trên. Người
ta thường tính giá trị gần đúng của F (x) bằng cách thay F (x) bởi đa
thức, gọi là đa thức nội suy rồi tính giá trị của đa thức đó tại x.
Trong trường hợp các mốc nội suy là cách đều thì xi = x0 + ih với i =

0, 1, ..q . Ta có duy nhất một đa thức Iq (x) bậc q thỏa mãn điều kiện
; i = 0, q.

Iq (xi ) = Fi

Khi các mốc nội suy cách đều, Iq (x) với r =

x − xq
cho bởi công thức
h

q

(−1)i

Iq (x) = Iq (x0 + rh) = Pq (r) =
i=0

−r
i

∇i F q

gọi là đa thức nội suy Newton-Gregory.
−r
r(r + 1)...(r + i − 1)
Với x = xq + rh và (−1)i
=
i!

i
trong đó
∇Fq = Fq − Fq−1

∇2 Fq = ∇Fq − ∇Fq−1
∇3 Fq = ∇2 Fq − ∇2 Fq−1
..........................
∇i Fq = ∇i−1 Fq − ∇i−1 Fq−1
Trong trường hợp q = 2 ta có
1
P2 (r) = F2 + r∇F2 + r(r + 1)∇2 F2
2
Ví dụ 1.14. Cho bảng sau

i
x
F (x)

0

1

2

3

4

5

0

1

2

3

4

5

1

2

4

8

16 32

Tính xấp xỉ F (4.12) bằng phép nội suy
x − xn
4.12 − 5
Với xn = 5, x = 4.12, h = 1, r =
=
= −0.88
h
1

− 15 −

(1.8)


r(r + 1)(r + 2) 3
r(r + 1) 2
∇ F5 +
∇ F5
2!
3!
r(r + 1)(r + 2)(r + 3) 4
r(r + 1)(r + 2)(r + 3)(r + 4) 5
+
∇ F5 +
∇ F5
4!
5!
Ta có bảng sai phân
P5 (r) = F5 + r∇F5 +

i
0
1
2
3
4
5

xi

0
1
2
3
4
5

Fi
1
2
4
8
16
32

∇Fi ∇2 Fi ∇3 Fi ∇4 Fi ∇5 Fi
1
2

1

4

2

1

8

4

2

1

16

8

4

2

1

P5 (−0.88) =32 + (−0.88).16
(−0.88)(−0.88 + 1)
+
.8
2
(−0.88)(−0.88 + 1)(−0.88 + 2)
+
.4
6
(−0.88)(−0.88 + 1)(−0.88 + 2)(−0.88 + 3)
+
.2
24
(0.88)(−0.88 + 1)(−0.88 + 2)(−0.88 + 3)(−0.88 + 4)
+

.4
120
= 17.39135
Vậy F (4.12) ≈ 17.39135

1.9

Phương trình Riccati

Phương trình Riccati có dạng

y = P (x)y 2 + Q(x)y + R(x).

(1.9)

Ở đây P (x), Q(x), R(x) là các hàm liên tục trên khoảng (a, b) nào đó.
Ta ln giả thiết rằng P (x), R(x) không bằng 0 trên (a, b) vì trong trường
hợp chúng bằng 0 ta được hoặc là phương trình tuyến tính cấp 1, hoặc là
phương trình Bernoulli.
− 16 −


1.9.1

Dạng chính tắc của phương trình Riccati.
y = ±y 2 + R1 (x)

(1.10)

Nói chung phương trình Riccati khơng giải được bằng cầu phương ( tức là

không thể biểu diễn nghiệm dưới dạng hữu hạn các phép lấy tích phân của
các hàm sơ cấp ngoại trừ những trường hợp riêng). Chẳng hạn khi P,Q,R
là các hằng số thì phương trình Riccati trở thành phương trình biến số
phân ly được. Ngồi ra các phương trình dạng

y = ϕ(x)(ay 2 + by + c)

(a, b, c là các hằng số).

y
ay 2
+
b
+ c đều giải được bằng cầu phương vì phương
x2
x
trình thứ nhất có dạng phân ly biến số, cịn phương trình thứ hai là phương
trình thuần nhất.( xem[8])
y =

hoặc

1.9.2

Dạng đặc biệt của phương trình Riccati.

dy
+ Ay 2 = Bxα .
(1.11)
dx

trong đó A, B, α là các số thực được gọi là phương trình Riccati dạng đặc
biệt. Trong hai trường hợp sau, phương trình (1.11) có thể tích phân được
bằng hàm sơ cấp
a) α = 0. Khi đó (1.11)có dạng
dy
+ Ay 2 = B.
dx
Đây là phương trình biến số phân ly được.
b) α = −2. Khi đó (1.11) có dạng

dy
B
+ Ay 2 = 2 .
dx
x
Đặt y =

z
ta đưa về phương trình biến số phân ly được
x
− 17 −


dz
= −Az 2 + (B + 1)z
dx
Ngoài những giá trị đó của α, người ta chứng minh được rằng, với mọi giá
α
trị của α mà
là một số nguyên thì phương trình (1.11) tích phân

2α + 4
được bằng cầu phương. Liouville chứng minh được rằng, ngoài các giá trị
kể trên của α, phương trình (1.11) khơng thể tích phân được bằng cầu
phương (xem[8]).
x

1.10

Phương pháp Runge-Kutta

Định nghĩa 1.6. Phương pháp số có dạng

s


Y
=
y
+
h
aij f (xn + cj h, Ynj ) ; i = 1, s
ni
n

j=1
s



 yn+1 = yn + h

(1.12)

bj f (xn + cj h, Yni )
j=1

gọi là một phương pháp Runge-Kutta s nấc với các hệ số aij (i = 1, s, j =

1, s), bj (j = 1, s), cj (j = 1, s) được cho bởi bảng Butcher sau
c

A

bT
 
c1
 
 c2 

c=
...
 
cs


a11

a21
,A = 
 ...


as1

a12
a22
...
as2

...
...
...
...


a1s

a2s 

... 

ass

 
b1
 
 b2 

, bT = 
...
 

bs

Ví dụ 1.15. Phương pháp Runge-Kutta 4 nấc cho bởi bảng 1
0 0 0 0 0
1
2
1
2

1
2

0 0 0
0 21 0 0

1 0 0 1 0
1
6

1
3

1
3

− 18 −

1
6



Yn1 = yn





1


Y
=
y
+
h.
f (xn + 0.h, Yn1 )

n2
n

2




1
1



f
x
+
h, Yn2
Y
=
y
+
h.

n
n3
n

2
2
1

Yn4 = yn + hf xn + h, Yn3


2




1
1
1

1
1


f
(x
,
Y
)
+
f
(x
+
h,
Y
)
+
f
(x
+
h, Yn3 )
y
=
y
+
h.

n
n1
n

n2
n
n+1
n


6
3
2
3
2



1


+ f (xn + h, Yn4 )

6
Ví dụ 1.16. Phương pháp Runge-Kutta 4 nấc cho bởi bảng 2
0

0

0

0

0

1
2

-1

1
2
1
2

0
− 23

0
0

0
0

1

0

4
3
2
3

1

6

− 31 0
0 61



Yn1 = yn




1


f (xn , Yn1 )
Y
=
y
+
h.

n2
n


2


1

3
1

f (xn , Yn1 ) − f xn + h, Yn2
Yn3 = yn + h.
2
2
2


4
1
1



Yn4 = yn + h
f xn + h, Yn2 − f (xn − h, Yn3 )


3
2
3



1
2
1
1



 yn+1 = yn + h. f (xn , Yn1 ) + f (xn + h, Yn2 ) + f (xn + h, Yn4 )
6
3
2
6

− 19 −


Chương 2
Các phương pháp tuyến tính đa
bước và phương pháp BDF
2.1
2.1.1

Các phương pháp tuyến tính đa bước
Khái niệm chung

Trong các phương pháp một bước như Euler, Euler cải tiến, RungeKutta, giá trị yn+1 tính được nhờ xn , yn và bước nhảy h. Tuy nhiên độ
chính xác của chúng khơng cao. Để có độ chính xác cao hơn, người ta sử
dụng phương pháp tuyến tính đa bước dưới dạng như sau.
Định nghĩa 2.1. (xem[11]) Một phương pháp tuyến tính đa bước là phương
pháp số cho bởi công thức
k

yn+1 =

k

αj yn+1−j + h
j=1

βj f (xn+1−j , yn+1−j ).

(2.1)

j=0

với αj , βj là hằng số
Khi k = 1, α1 = β1 = 1, β0 = 0 phương trình (2.1) có dạng

yn+1 = yn + hf (xn , yn ).
Phương pháp (2.2) là phương pháp Euler hiển.
− 20 −

(2.2)


Khi k = 1, α1 = β0 = 1, β1 = 0 phương trình (2.1) có dạng

yn+1 = yn + hf (xn+1 , yn+1 )

(2.3)

phương pháp số (2.3) là phương pháp Euler ẩn.
Ta nói rằng phương pháp (2.1) là hiển nếu β0 = 0 và ẩn nếu β0 = 0.
Ví dụ 2.1. Phương pháp trung điểm.

k = 2, α1 = 0, α2 = 1, β0 = 0, β1 = 2.
yn+1 = yn−1 + 2hf (xn , yn ).
Ví dụ 2.2. Phương pháp Adams 2 bước hiển.

3
1
k = 2, α1 = 1, α2 = 0, β0 = 0, β1 = , β2 = −
2
2
h
yn+1 = yn + (3f (xn , yn ) − f (xn−1 , yn−1 )).
2
Phương pháp này còn gọi là phương pháp Adams-Bashforth 2 bước.
Ví dụ 2.3. Phương pháp BDF 3 bước.

k = 2, α1 =
yn+1 =
2.1.2

18
9
2
6
, α2 = − , α3 = , β0 =
11
11
11
11

18

9
2
6
yn − yn−1 + yn−2 + hf (xn+1 , yn+1 ).
11
11
11
11

Tính zero ổn định của phương pháp tuyến tính đa bước

Xét tính zero ổn định của một số phương pháp tuyến tính đa bước
Ví dụ 2.4. Phương pháp hình thang

1
yn+1 = yn + h(f (xn+1 , yn+1 ) + f (xn , yn ))
2
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(ξ) = ξ − 1

ρ(ξ) = 0 thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp hình thang là zero
ổn định.
− 21 −


Ví dụ 2.5. Phương pháp Adams 2 bước hiển
h
yn+1 = yn + (3f (xn , yn ) − f (xn−1 , yn−1 )).
2
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(ξ) = ξ 2 − ξ = ξ(ξ − 1)
ρ(ξ) = 0 thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp Adams 2 bước hiển

là zero ổn định.
Ví dụ 2.6. Phương pháp BDF 2 bước
4
1
2
yn+1 = yn − yn−1 + hf (xn+1 , yn+1 )
3
3
3
4
1
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(ξ) = ξ 2 − ξ + = (ξ − 1)(ξ −
3
3
ρ(ξ) = 0 thỏa mãn điều kiện nghiệm nên phương pháp BDF 2

1
)
3
bước zero

ổn định.

2.1.3

Tính phù hợp của phương pháp tuyến tính đa bước

Ta có phương pháp (2.1) theo phát biểu của định lý 1.2 phù hợp khi



 ρ(1) = 0
(2.4)
φf (yn+1 , yn , ..., yn+1−k , xn+1−k , 0)

= f (xn+1−k , yn+1−k ).

ρ (1)
với đa thức đặc trưng thứ nhất
k
k

ρ(ξ) = ξ −

k

αj ξ

k−j

⇒ ρ(1) = 1 −

j=1

αj
j=1

k

Cho ρ(1) = 0

⇒

αj = 1.

(*)

j=1
k

Đạo hàm ρ(ξ) ta được

ρ (ξ) = kξ

k−1

(k − j)αj ξ (k−j−1)

−
j=1
k

⇒

ρ (1) = k −

αj (k − j)
j=1
k

Đặt φf (yn+1−k , yn−k , ..., yn+1 , xn+1−k , 0) =

βj f (xn+1−k , yn+1−k )
j=0

− 22 −


Từ (2.4) suy ra
k

βj f (xn+1−k , yn+1−k )
φf (yn+1−k , yn−k , ..., yn+1 , xn+1−k , 0)
=
ρ (1)

j=0
k

k−

αj (k − j)
j=1

= f (xn+1−k , yn+1−k )
k

f (xn+1−k , yn+1−k )

βj
j=0

⇔

k

k−

= f (xn+1−k , yn+1−k )

αj (k − j)
j=1
k

βj
j=0

⇔

=1

k

k−

αj (k − j)
j=1

k

k

⇔

βj = k −
j=0

αj (k − j)

(∗∗)

j=1

Từ (*) và (**) ta có định lý về tính phù hợp của phương pháp tuyến tính
đa bước.
Định lý 2.1. Phương pháp số (2.1) phù hợp khi và chỉ khi nó thỏa mãn
điều kiện















k

αj = 1
j=1
k

(2.5)

k

βj = k −
j=0

αj (k − j).
j=1

Ví dụ 2.7. Xét phương pháp

h
yn+1 = yn + (f (xn+1 , yn+1 ) + f (xn , yn ))
2
− 23 −


với k = 1 ta có


 α1 = 1

 β0 + β1 = 1 − 1 (1 − 1) = 1.
2
thỏa điều kiện (2.5) nên phương pháp trên phù hợp.
Ví dụ 2.8. Phương pháp Adams 2 bước

h
yn+1 = yn + (3f (xn , yn ) − f (xn−1 , yn−1 ))
2
ta có

 α1 + α2 = 1
 β0 + β1 + β2 = 0 + 3 − 1 = 2 − 1(2 − 1) = 1.
2 2
thỏa điều kiện (2.5) nên phương pháp Adams 2 bước phù hợp.
Ví dụ 2.9. Xét phương pháp

4
1
2
yn+1 = yn − yn−1 + hf (xn+1 , yn+1 )
3
3
3
ta có









2

αj = α1 + α2 = 1
j=1
2





2−



4
αj (2 − j) = 2 − =
3
j=0

2

2
βj = .
3
j=0

thỏa điều kiện (2.5) nên phương pháp trên phù hợp.

2.1.4

Sự hội tụ của phương pháp tuyến tính đa bước

Theo định lý 1.3 thì phương pháp số (2.1) hội tụ khi và chỉ khi nó zero
ổn định và phù hợp.
Ví dụ 2.10. Phương pháp Adams 2 bước

h
yn+1 = yn + (3f (xn , yn ) − f (xn−1 , yn−1 ))
2
− 24 −


Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(ξ) = ξ 2 − ξ = ξ(ξ − 1)

⇒
ρ(ξ) = 0 thỏa điều kiện nghiệm.
⇒
Phương pháp Adams 2 bước zero ổn định.
Ta có

 α +α =1
1
2
 β =1
0
thỏa mãn điều kiện (2.5) nên phương pháp trên phù hợp.
Vậy phương pháp Adams 2 bước hội tụ.
Ví dụ 2.11. Xét phương pháp BDF 2 bước

4
1
2
yn=1 = yn − yn−1 + hf (xn+1 , yn+1 )
3
3
3
4
1
1
Đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(ξ) = ξ 2 − ξ + = (ξ − 1)(ξ − )
3
3
3
⇒
ρ(ξ) = 0 thỏa điều kiện nghiệm.
⇒
Phương pháp BDF 2 bước zero
 ổn định.


 α = 4, α = −1
 α1 + α2 = 1
1
2
3
3
2
2

ta có
thỏa
2
 β = 2, β = β = 0

β
=
2
−
αj (2 − j) =

j
0
1
2
3
3
j=0
j=1
⇒ Phương pháp BDF 2 bước phù hợp.
Vậy phương pháp BDF 2 bước hội tụ.
2.1.5

Cấp chính xác của phương pháp tuyến tính đa bước

Để tìm cấp chính xác của phương pháp tuyến tính đa bước (2.1) ta cần
có đa thức đặc trưng thứ nhất ρ(ξ) = ξ k −

k

αj ξ k−j và đa thức đặc trưng

j=1
k

βj ξ k−j , ξ ∈ C là 1 biến số. Định nghĩa về đa thức đặc

thứ hai σ(ξ) =
j=0

trưng thứ hai được phát biểu như sau
Định nghĩa 2.2. (xem [10]) Phương pháp số (2.1) có cấp chính xác là

p ≥ 1 khi và chỉ khi tồn tại c = 0 sao cho
ρ(ξ) − σ(ξ) ln ξ = c(ξ − 1)p+1 + o((ξ − 1)p+2 )
− 25 −

(2.6)