SKKN TINH SO DO GOC

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>a, Tam giác:</b>

+, Tổng số đo các góc trong của một tam giác bằng 1800_.

+, Số đo góc ngoài của tam giác bằng tổng số đo hai góc trong không kề
với nó.

<b>b, Tam giác cân:</b>

<i><b>+, Định nghĩa:</b></i> Tam giác cân là tam giác có hai cạnh bằng nhau
<i><b>+, TÝnh chÊt: </b></i>

-, Hai góc đáy của tam giác cân bằng nhau

-, Trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đờng cao, phân giác,
trung trực.

-, Với các đờng cao, phân giác, trung trực cũng tơng tự
<i><b>+, Phơng pháp chứng minh:</b></i>

-, Phơng pháp 1: Chứng minh tam giác có hai cạnh bằng nhau
-, Phơng pháp 2: Chứng minh tam giác có hai góc bằng nhau
-, Phơng pháp 3: Chứng minh tam giác có trung tuyến ứng với
một cạnh đồng thời là đờng cao hoặc là đờng phân giác hoc l ng
trung trc.

<b>c, Tam giác vuông.</b>

<i><b>+, Định nghĩa:</b></i> Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông.
<i><b>+, Tính chất: </b></i>

-, Trong tam giác vuông tổng số đo hai gãc nhän b»ng 900

-, Trong tam giác vng bình phơng độ dài cạnh huyền bằng tổng
bình phơng độ dài mỗi cnh gúc vuụng.

<i><b>+, Phơng pháp chng minh.</b></i>

-, Phơng pháp 1: Chứng minh tam giác có một góc vuông

-, Phng phỏp 2: Chứng minh tam giác có bình phơng độ dài một
cạnh bằng tổng bình phơng độ dài mỗi cạnh cịn li.

<b>d, Tam giác vuông cân.</b>

<i><b>+, Định nghĩa:</b></i> Tam giác vuông cân là tam giác cân có một góc vuông.
<i><b>+, Tính chÊt:</b></i>

-, Tam giác vng cân có đầy đủ tính chất của tam giác cân, của
tam giác vuông.

-, Trong tam giác vuông hai góc nhọn bằng nhau và mỗi góc có số
đo bằng 450_.

<i><b>+, Phơng pháp chng minh.</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<b>e, Tam giác đều.</b>

<i><b>+, Định nghĩa</b></i>: Tam giác đều là tam giác có ba cạnh bằng nhau.
<i><b>+, Tính chất: </b></i>

-, Ba góc trong của tam giác đều bằng nhau và mỗi góc có số đo
bằng 600_.

-, Trong tam giác đều các đờng trung tuyến, đờng phân giác, đờng
cao, đờng trung trc trựng nhau.

<i><b>+, Phơng pháp chứng minh.</b></i>

-, Phơng pháp 1: Chứng minh tam giác có ba cạnh bằng nhau
-,Phơng pháp 2:Chứng minh tam giác cân có một góc bằng 600_.

-, Phơng pháp 3: Chứng minh tam gi¸c cã hai gãc b»ng 600_.
<i><b>3.2 LÝ thuyÕt bæ sung.</b></i>

+, Trong tam giác cân biết số đo một góc trong thì tính đợc số đo các
góc cịn lại.

+, Trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền có độ dài bằng
nửa cạnh huyền.

+, Trong tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh có độ dài bằng nửa
cạnh ấy thì tam giác đó là tam giác vng tại đỉnh có trung tuyến đi qua.

+, Trong tam giác vng có một cạnh góc vng có độ dài bằng nửa
cạnh huyền thì góc đối diện với cạnh góc vng ấy có số đo bằng 300

_{, và}

ng-ợc lại.

+, Trong tam giác cân

-, Hai trung tuyn ng vi hai cạnh bên thì bằng nhau

-, Hai phân giác ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau
-, Hai đơng cao ứng với hai cạnh bên thì bằng nhau

( Sử dụng các kiến thức về hai tam giác bằng nhau dễ dàng chứng minh đợc
các tính chất này).

+, Tam giác vng có một góc nhọn bằng 300_{thì tam giác đó là một nửa}
của tam giác đều có cạnh là cạnh huyền của tam giác vuông.

+, Trong tam giác đờng phân giác của hai góc ngồi tại hai đỉnh và đờng
phân giác góc trong tại đỉnh cịn lại cùng đi qua một điểm.

<i><b>3.3</b></i>

<i><b>Bµi tËp:</b></i>

<b>3.3.1</b> <b>Dạng 1: Tính số đo góc thơng qua việc phát hiện ra tam giác cân có</b>
<b>một góc ó bit s o.</b>

<b>Yêu cầu: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

+, Thiết lập mối quan hệ giữa các đơn vị kiến thức phân tích đợc từ
giả thiết.

+, Đặt vấn đề cho các đơn vị kiến thức khai đợc với các kết luận của
bài. khi đó xảy ra hai khả năng.

Kết luận đợc giải quyết sau khi thiết lập quan hệ các kiến thức.
Kết luận cha đợc giải quyết sau khi thiết lập quan hệ các kiến thức

+, Khi kết luận của bài tốn cha đợc giải quyết thì học sinh cần
phải phân tích thật sâu kết luận theo sơ đồ phân tích đi lên, xem kết luận

của bài liên quan đến đơn vị kiến thức nào.

+, Với những bài tốn khó học sinh cần phải thiết lập cả hai sơ đồ
+, Trong việc phân tích học sinh cần cố gắng tìm ra “Sợi chỉ” liên
kết giữa giả thiết và kết luận đó chính là “Một hoặc nhiều tam giác cân
đã biết số đo một góc”.

+, Học sinh phải ln định hình đợc rằng khi gặp các bài tập khó
việc phân tích tìm tịi tối u giả thiết vẫn cha đủ để đa ra hớng đi, khi đó
giáo viên lu ý các em n vic v thờm hỡnh ph.

<b>Bài toán 1: </b>

Cho tam giác ABC có <i>BAC</i>500, <i>ABC</i>200. Trên đờng phân giác BE
của tam giác ta lấy điểm F sao cho <i>FAB</i> 200, Gọi N là trung điểm của AF,
EN cắt AB tại K. Tính số đo <i>KCB</i> .

Ta cã h×nh vÏ:

C
E M
F
N

A K B

Bài tốn này sau khi vẽ hình ghi giả thiết kết luận thì nhiều học sinh
khơng biết định hình nh thế nào cả ( các em không biết bắt đầu từ đâu), hầu
hết khơng nảy sinh suy nghĩ gì cả ngoài một số học sinh suy nghĩ khá đơn giản

theo sơ đồ.

 ₁₈₀0 ₍ _{20 )}0

<i>CKB</i>  <i>KCB</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

=  
0

160  (<i>ACB ACK</i> )
= 1600_{- 110}0₊<i>ACK</i>
= 500₊<i>ACK</i>

= 500_{+ 180}0_-<i>A AKC</i> 
= 2300_{- 50}0_-<i>AKC</i>
= <i>CKB</i> ( Vßng trßn)

*, <i>ACK</i> tính thế nào thì các em thấy bối rối, bởi trong q trình phân
tích chủ yếu các em nghĩ đến kiến thức tổng ba góc trong tam giác để tính số
đo góc. Khi đó tơi hớng dẫn các em nghĩ đến kiến thức

*, Trong một tam giác cân chỉ cần biết số đo một góc ta sẽ tính đ ợc số
đo của các góc còn lại.

*, Phân tích giả thiết, thiết lập quan hệ các kiến thức khai thác theo sơ
đồ và hệ thống.

+, <i>A</i> 500 vµ <i>B</i> 200 <i>C</i> 1100

+, Tia BE là phân giác góc B <i>CBE</i> <i>ABE</i> 100

+, <i>FAB</i> 200 <i>AFE</i> <i>ABF FAB</i>  300 ( TÝnh chÊt gãc ngoµi)
<i>EAF</i> 300 ( V× gãc A cã sè đo bằng 500₎

+, Điểm N là trung điểm của AF EN lµ trung tuyÕn
AN = NF =

1
2_AF
*, Kết hợp các khẳng định đã phân tích đợc từ giả thiết

+, <i>AFE</i> 300vµ <i>FAE</i> 300 AEF cân tại E <i>AEF</i> 1200
<i>CEB</i> 600

+, AEF cân tại E

EN lµ trung tun øng víi AF

EN là phân giác gãc AEF

  1 ₆₀0

2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

BEC = BEK ( g - c - g) BK = BC BKC cân tại B
+, <i>B</i> 200

 

_

₁₈₀0 _{20 : 2 80}0

_

0

<i>CKB KCB</i>  

<i>Lời giải chi tiết.</i>

Gọi CK cắt BE tại M

Ta có : <i>EFA FBA FAB</i>  100200 300( Gãc ngoµi cđa FAB)
Mµ : <i>EAF</i> 500  200 300

Suy ra : <i>EAF EFA</i> 

Nên : EAF cân tại A ( Có hai góc bằng nhau)
Do đó : <i>AEF</i> 1200 ( Vì <i>EAF</i> <i>EFA</i> = 300₎
Mặt khác: EN là trung tuyến của EAF
Hay : EN là phân giác <i>AEF</i> của EAF
Suy ra : <i>AEK</i> <i>KEF</i> = 600

Nªn : <i>CEB</i> = 300_{( KÒ bï víi gãc 120}0₎
XÐt : BEC vµ BEK cã

<i>CEB</i> = <i>BEK</i> ( Cïng bằng 600₎
EB là cạnh chung

<i>EBC EBK</i>  ( Vì tia BE là tia phân giác góc B)
Do đó : BEC = BEK ( g - c - g)

Suy ra : BC = BK ( Hai cạnh tơng ứng)
Hay : BCK cân tại B

Mà : <i>CBK</i> 200 (gt)

Nªn : <i>CKB KCB</i>  800 ( ĐPCM)
<b>Bài toán 2: </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

A

E
M

B K C
D

Với bài tập này sau khi vẽ hình ghi giả thiết kết luận thì học sinh thấy
bất ngờ, vì tất cả các góc của tam giác IDE đều cha một góc nào có thể tìm ra
ngày số đo song chỉ cần lu ý một chút thì các em sẽ tính đợc số đo của góc
DIE. Cịn việc tính số đo góc IDE, IED lại là một vấn đề khá khó khăn. Qua
thực tế tơi thấy các em học sinh khá cũng cha tìm đợc sơ đồ phân tích để tìm
ra lời giải, tất nhiên khi các em đợc tiếp cận lí thuyết của dạng tốn này thì
phần nào cũng dự đốn là IDE cân tại I. Sau đó có những em biết tam giác
IDE cân đợc là do chứng minh đợc 2 cạnh bằng nhau chứ khơng thơng qua
góc. Khi đó tơi dẫn dắt các em tiếp tục phân tích sâu các giả thiết của bài theo
sơ đồ hoặc hệ thống kiến thức và kết hợp các kiến thức đó để tìm tịi hớng đi.

+, ABC (   

0 0 0

50 , 50 ) 80

<i>B</i> <i>C</i>  <i>A</i>

+, <i>ABE</i> 300  <i>AEB</i>700  <i>DIE IEA IAE</i>   700 + 300_{= 100}0

+, ADB (  

0 0

50 ; 50

<i>DAB</i> <i>DBA</i> ₎_{DAB cân tại D}

+, Đến đây là thời điểm khá lúng túng của học sinh và GV vì các kiến
thức cơ bản đã đợc vận dụng nhng cha tìm đợc hớng đi. Lúc này tơi hớng các
em đến việc vẽ thêm hình phụ.

+, Ta cần có ID = IE mà ID nằm trên DA còn IE nằm trên EB nên lấy K
trên IB sao cho IK = IA, khi đó ta chỉ việc chứng minh DA = EK là xong.

+, Tõ IK = IA vµ <i>KIA EID</i> 1000 AIK cân tại I
<i>IAK</i> <i>IKA</i>400

<i>KAE KEA</i> 700 KAE cân tại K AK = KE

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

+, Vẽ tia AM là phân giác <i>DAK</i> 400 <i>MAB MBA</i>  300
ABM cân tại M MB = MA vµ <i>AMB</i>1200
DMB = DMA <i>DMA DMB</i>  1200

DMA = KMA AD = AK

<i>Lêi gi¶i chi tiÕt</i>

Ta cã : <i>BAC</i> 800 ( V× <i>B C</i>   500)

Mµ : <i>ABE BAE AEB</i>   1800 ( Tỉng ba gãc trong tam gi¸c)
Hay : <i>AEB</i>1800  300 800 700

L¹i cã: <i>DIE IAE IEA</i>   ( TÝnh chÊt gãc ngoµi cđa tam giác)
Nên : <i>DIE</i> 300 700 1000

Trên IB lấy ®iĨm K sao cho IK = IA
Suy ra: IAK c©n t¹i I

Mà : <i>AIK</i> <i>DIE</i> 1000 ( Hai góc đối đỉnh)

Do đó: <i>IAK</i> <i>IKA</i> 400 ( Hai góc đáy tam giác cân)
Kẻ tia AM là phân giác góc IAK ( M thuộc IB)

Nªn : <i>MAI</i> <i>MAK</i> 200 ( Tính chất tia phân giác)
Suy ra: <i>MAB IAB IAM</i>    300

Do đó: MAB cân tại M ( Vì có hai góc bằng nhau)
Hay : MA = MB và <i>AMB</i>1800  300  300 1200

XÐt : DMA vµ DMB cã

MA = MB ( CMT)

MD là cạnh chung

DA = DB ( Hai cạnh bên tam giác cân)
Nên : DMA = DMB ( c - c - c)

Suy ra: <i>DMA DMB</i> ( Hai gãc t¬ng ứng)
Mạt khác: <i>AMB</i>1200

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

<i>MAD MAK</i>  200
AM là cạnh chung
<i>AMD AMK</i> 1200

AMD = AMK ( g - c - g)
Nên : AD = AK

Lại có: AKE cân tại K ( Vì có hai góc b»ng nhau)
Hay : AK = KE

Suy ra: AD = KE = AK

IA = IK ( Cách vẽ điểm K)
Do đó: ID = IE

Nªn : DIE cân tại I
Mà : <i>DIE</i>1000

Vậy : <i>IDE IED</i> 400 (ĐPCM)

<i><b>3.3.2 Dạng 2. Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông</b></i>
<i><b>có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền.</b></i>

<b>Yêu cầu: </b>

+, Lp sơ đồ phân tích giả thiết

+, Lập mối quan hệ giữa các kiến thức vừa phân tích đợc từ giả thiết
( Chú ý nhiều đến tam giác vuông và quan hệ cạnh góc vng với các
đoạn thẳng khác).

+, Trong phân tích và khai thác khá triệt để giả thiết mà không thiết lập
đợc mối quan hệ để giải quyết vấn đề thì các em cần phân tích kết luận (theo
sơ đồ phân tích đi lên)

+, Kết hợp sơ đồ phân tích giả thiết và phân tích kết luận mà vẫn cha tìm
tịi đợc hớng giải thì các em cần đặc biệt lu ý đến việc vẽ thêm yếu tố phụ.

+, Khi vẽ thêm yếu tố phụ thì cũng phải phân tích thật sâu giả thiết và
kết luận của bài tốn để tìm ra “ Sợi chỉ” liên hệ giữa các đơn vị kiến thức
nhằm vẽ chính xác sát thực với nhu cầu chánh đợc việc vẽ xa rời thực tế.

H×nh phơ vÏ không thể thoả mÃn nhiều điều kiện, mà chỉ
vẽ thoả m·n mét ®iỊu kiƯn

Các hình phụ thờng đợc vẽ là.
+, Vẽ tia phân giác của góc

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

+, Vẽ đờng vng góc với đờng thẳng
+, Vẽ đờng thẳng song song với đờng thẳng

+, Vẽ tạo với tia cho trớc một góc có số đo xác định.

...

+, Sau khi vẽ thêm hình phụ phải phân tích sâu chi tiết đó nhằm tìm ra
và thiết lập đợc hệ thống các đơn vị kiến thức gii bi.

<b>Bài toán 1:</b>

Tớnh cỏc gúc ca tam giỏc ABC biết rằng đờng cao AH, trung tuyến AM
chia góc BAC thành ba góc bằng nhau.

Ta cã h×nh vÏ:

A

K

B H M C

Bài toán này khá cơ bản nhng khi cha đợc làm quen thì các em vẫn thấy
khó và lúng túng khơng biết bắt đầu từ đâu... Nhng sau khi làm quen với lí
thuyết cùng các u cầu giải tốn thì các em đã biết hình thành sơ đồ hệ thống
phân tích giả thiết

+, §êng cao AH, trung tuyÕn AM chia gãc BAC thµnh ba gãc b»ng
nhau

ABM cân tại A (Đ/cao đồng thời là P/giác) AH đồng thời là trung

tuyÕn HB = HM =
1

2_{BM HM =}
1
2_MC

Đến đây thì khá nhiều học sinh khơng phân tích đợc tiếp. Song cũng
đã có nhiều em nghĩ đến vẽ thêm đờng phụ và các em tự đặt cho mình câu hỏi

? Hình phụ phải liên quan đến <i>MAC MAH</i>  <i>HAB</i> và liên quan đến

HM = HB =
1

2_{BM =}
1
2 _MC

Đã có em nghĩ ngay đến việc vẽ MK  AC tại K
Khi đó có sơ sơ đồ phân tích.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

MK =
1

2_MC<i>C</i> _{= 30}0<i>HAC</i> 600

<i>HAM</i> <i>MAC</i> 300  <i>HAB</i> 300  <i>BAC</i>900  <i>B</i> 600

<i>Lời giải chi tiết:</i>

Vẽ MK vuông góc với AC tại K

XÐt : ABM cã

AH là đờng cao ứng với cạnh BM

AH là phân giác ứng với cạnh BM ( Vì

 1

2

<i>BAH</i> <i>HAM</i>  <i>BAM</i>

)
Nên : ABM cân ở đỉnh A

Suy ra: AH lµ trung tun øng víi cạnh BM
Hay : H là trung điểm của BM

Do đó: HM =
1

2 _{BM =}
1
4_BC
XÐt : VgAHM vµ VgAKM cã

AM lµ cạnh huyền chung

<i>HAM</i> <i>KAM</i> _{( Giả thiết)}

Nên : VgAHM = VgAKM ( C¹nh hun gãc nhän)

Suy ra: HM = KM ( Hai cạnh tơng ứng)

Do ú: KM =
1
4 _BC

Hay : KM =
1
2_MC

XÐt : MKC cã <i>MKC</i> 900_{, KM =}

1
2_MC
Nên : <i>C</i> 300 khi đó ta tính đợc <i>B</i> 60 ,0 <i>A</i> 900
Vậy : <i>C</i> 300,<i>B</i> 60 ,0 <i>A</i> 900

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Về phía ngoài của tam giác ABC ta
vẽ các tam giác đều ABE và ACF. H là trực tam giác ABE, N là trung điểm BC.
Tính các góc của tam giác FNH.

F
Ta cã h×nh vÏ

A
E

H

B N C
K

Với bài này thì thực sự là khó với các em học sinh khi đi phân tích tìm
tịi một cách thông thờng, mà lúc này cần thiết các em phải nhớ những đơn vị
kiến thức cơ bản, kiến thức bổ sung để t duy lơgíc và dự đốn từ hình vẽ thật
chính xác.

ở đây hình vẽ gợi đến cho các em FNH là một nửa của tam giác đều
và nh thế muốn phân tích tìm tịi lời giải thì ta thờng vẽ thêm hình để xuất hiện
nửa của tam giác đều ( phần cịn lại).

Khi đó hầu hết các em thờng phát hiện ra việc vẽ thêm nh sau.

Trên tia đối của tia NH lấy điểm K sao cho NH = NK. Sau khi vẽ hình
phụ yêu cầu các em phân tích sâu vào yếu tố vẽ thêm và kết hợp với giả thiết
của bài thì các em sẽ định hình đợc sơ đồ giải bài tốn.

<i>Lêi gi¶i chi tiÕt.</i>

Trên tia đối của tia NH ta lấy điểm K sao cho NH = NK
Xét: NBH và NCK có

NB = NC ( Gt)

 

<i>BNH CNK</i> _{( Hai góc i nh)}

NH = NK ( Cách vẽ điểm K )
Nên: NBH = NCK ( c - g - c)

Suy ra: CK = BH = HA ( Hai cạnh tơng ứng)
Mặt kh¸c: <i>FAH</i> <i>HAB FAC BAC</i> 

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Do đó:

 ₃₆₀0

_

  

_

<i>FCK</i>   <i>FCA ACB NCK</i> 

= 3600_-

  



₆₀0 <i>_{ACB ABC HBA}</i>



  

= 3600_-

 



₆₀0 <i>_{ACB ABC}</i> ₃₀0



  

= 3600_-





₉₀0 ₁₈₀0 <i>_BAC</i>



 

= 900₊<i>BAC</i> ₍₂₎
Tõ (1) vµ (2) suy ra <i>FAH</i> <i>FCK</i>

XÐt: FAH vµ FCK cã

FA = FC ( Cạnh tam giác đều)

 

<i>FAH</i> <i>FCK</i> _{( CMT)}

AH = CK ( CMT)

Nªn: FAH =FCK ( c - g - c)

Suy ra: FH = FK ( Hai cạnh tơng ứng)

<i>AFH CFK</i> ( Hai góc t¬ng øng)

Do đó: FHK cân tại F

Lại có: <i>HFK</i> <i>HFC CFK</i>   <i>HFC HFA AFC</i>  600
Nên: FHK là tam giác đều

VËy: <i>HNF</i> 90 ;0 <i>NHF</i> 60 ;0 <i>NFH</i> 300

<b>3.3.3 Dạng 3: Tính số đo góc thông qua việc phát hiện ra tam giác vuông</b>
<b>cân</b>

<b>L</b>
<b> u ý : </b>

+, Những công việc phải làm trong dạng này khơng có gì khác
nhiều so với những u cầu của dạng1, dạng 2. Nhng trong dạng này
trong sự phân tích lập sơ đồ các em cần suy nghĩ nhiều về việc tìm ra
tam giác vng cân hoặc vẽ thêm đờng phụ để có đợc tam giác vng
cân, tất nhiên khơng bỏ qua sự hỗ trợ các suy nghĩ của dạng 1 và dạng
2.

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

Cho tam giác ABC có <i>B</i> 45 ,0 <i>C</i> 1200. Trên tia đối của tia CB lấy
điểm D sao cho CD = 2CB. Tính số đo góc ADB.

A

H

B C D

Với bài tập này các phân tích nhanh thì tìm ra đợc góc 600_{khi đó qua}
dạng 2 các em có thể nghĩ đến tam giác vng có góc 600_{tức là xuất hiện góc}
300_{và vận dụng tính chất góc nhọn có số đo bằng 30}0_{trong tam giác vuông.}
Dựa vào giả thiết cùng sự phân tích sau khi vẽ thêm đờng phụ xuất hiện tam

giác vng có góc 300_{, các em khai thác đợc một số yếu tố có liên quan.}

+,  

0 0

1 120 2 60

<i>C</i>   <i>C</i>   _{kỴ DH}__{AC t¹i H}_ <i>_CDH</i> ₃₀0


 _{CH =}
1

2_CD _{CH = CB} _{BCH cân tại C} <i>CBH CHB</i>  ₌₃₀0
 <i>CBH CDH</i>  300 _{BHD cân tại H} _{HB = HD}

+, <i>CBH</i> <i>B</i>1<i>HAB</i> <i>HAB</i> 150 _{BHA cân tại H} _{HB = HA}
_{AHD vuông cân t¹i H}

 <i>HDA HAD</i>  450  <i>ADC</i> <i>ADH</i> <i>HDC</i> 450 300 750

<i>Lêi gi¶i chi tiÕt:</i>

Ta cã: <i>ACB ACD</i>  1800 ( Hai gãc kỊ bï)
Mµ : <i>ACB</i>1200 ( Gt)

Nªn : <i>ACD</i>600

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

XÐt : VgCDH cã

 ₆₀0

<i>HCD</i>

Do đó: <i>CDH</i> 300 (1)
Suy ra: CH =

1

2 _CD _{( Cạnh góc vng đối diện với góc 30}0₎

Mµ : BC =
1

2_CD _(Gt)

Nên : BCH cân tại C ( Vì có hai cạnh bằng nhau)
Lại có: <i>BCH</i> 1200 ( Gt)

Do đó: <i>CBH CHB</i>  300 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: BHD cân tại H

Hay : HD = HA ( Cạnh bên tam giác cân) (*)
Ta cã: <i>ABH</i> <i>ABC HBC</i>  450  300 150

 ₁₈₀0

_

 

_

₁₈₀0 ₄₅0 ₁₂₀0 ₁₅0

<i>ABC</i>  <i>ABC ACB</i>    

Nªn : AHB cân tại H

Suy ra: HA = HB ( Cạnh bên tam giác cân) (**)
Từ (*) và (**) suy ra AHD vuông cân tại H

Do ú: <i>HAD HDA</i> 450( Hai góc đáy tam giác vng cân)
Vậy : <i>ADB ADH HDC</i> 450 300 750

<b>Bài toán 2 </b>

Cho tam giác ABC có góc BAC tù, đờng cao AH, đờng phân giác BD
sao cho <i>AHD</i>450. Tính số đo góc ADB.

Ta cã h×nh vÏ

x
K

A

D

B H C

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

kiến thức bổ sung trong đó có tính chất “Trong tam giác đờng phân giác của
hai góc ngồi tại hai đỉnh và đờng phân giác góc trong tại đỉnh cịn lại cùng đi
qua một điểm”.

<i>Lêi gi¶i chi tiết.</i>

Kẻ BK vuông góc với AC tại K

Ta có: <i>AHD</i>45 ;0 <i>AHC</i>900 (Giả thiết)

Nên :

1 ₄₅0

2

<i>AHD CHD</i>  <i>AHC</i> 

Hay : Tia HD lµ phân giác của góc AHC
Xét : AHB có

Tia BD là phân giác góc trong tại đỉnh B và

Tia HD là phân giác góc ngồi tại đỉnh H cắt nhau tại D
Do đó: Tia AD là phân giác góc ngoài tại đỉnh A

Suy ra: <i>HAC xAC</i> ( TÝnh chÊt tia phân giác)

Mà : <i>HAC KBH</i> ( Hai góc có cạnh tơng ứng vuông góc)
Hay : <i>HAC KBD DBH</i>

Mặt khác: <i>xAC</i> <i>ADB ABD</i> ( Tính chất góc ngoài của tam giác)
Lại có: <i>HAC xAC</i>

<i>ABD DBH</i> ( V× tia BD là tia phân giác góc ABC)
Nên : <i>KBD ADB</i> 

Do đó: KBD vng cân tại K
Vậy : <i>KBD KDB</i> 450

<b>3.3.4</b> <b>Tính số đo góc thơng qua vic phỏt hin ra tam giỏc u.</b>

Những bài toán cho ở dạng này thờng không thể hiện rõ hớng đi khi các
em vận dụng lí thuyết cơ bản và lời giải thông thờng nên với những bài toán ra
ở dạng này tôi thờng xuyên yêu cầu học sinh tuân thủ theo hớng đi

Phân tích giả thiết Tỉng hỵp

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

+, Phân tích thật kỹ và sâu sắc giả thiết bài toán cho

+, Tng hp, quy np cỏc giả thiết phân tích đợc để tìm ra các mắt xích
của một vấn đề mới hớng tới kết luận của bài tốn.

Cã thĨ tìm ra lời giải của bài toán

Cú th tỡm ra nhu cầu và cách vẽ thêm đờng phụ( thờng vẽ
thêm tam giỏc u).

(Sau khi vẽ thêm hình phụ nếu có thì yêu cầu học sinh tiếp tục suy nghĩ
nhanh theo quy trình

Phân tích giả thiết Tỉng hỵp

Quy nạp

từ đó học sinh sẽ hình thành đợc lời giải)

+, Đơi khi có những bài tốn cơ bản hơn thì học sinh thì học sinh cú th
dựng s phõn tớch i lờn.

<b>Bài toán 1</b>

Cho tam giác ABC vuông ở A và <i>B</i>750. Trên tia đối của tia AB lấy
điểm H sao cho BH = 2AC. Tính số đo góc BHC.

Ta cã h×nh vÏ

H

K

E

A

B C

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Ví dụ:Trong bài này thì <i>B</i>750,<i>C</i> 150 lấy cạnh tam giác đều là BC.
Vẽ tam giác BCE đều ( E nm trờn na mt phng cha BC)

Kết hợp giả thiÕt: BH = 2BC lấy K là trung điểm của BH
BK = HK = BC

Từ đó học sinh hình thành sự phân tích sâu việc vẽ thêm và tìm ra hớng giải
quyết của bài tốn.

<i>Lêi gi¶i chi tiÕt</i>

Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ tam giác đều BCE
Vì : <i>EBC ECB</i> 600 750

Nên : Điểm E nằm ở miền trong tam giác HBC
Gọi K là trung điểm của BH

Ta có: <i>KBE</i> 750  600 150
XÐt : ABC vµ KEB cã

BC = EB

<i>_{ACB KBE}</i> ₁₅0

 

AC = KB =
1
2 _BH

Nªn : ABC = KEB ( c - g - c)

Suy ra: <i>BAC EKB</i> 900( Hai gãc t¬ng øng)
XÐt BEH cã

EK là trung tuyến ứng với cạnh BH

KE là đờng cao ứng với cạnh BH
Do đó: BEH cân tại E

Mµ : <i>EHB EBH</i> 150

Nên : <i>BEH</i> 1500và <i>CEH</i> 1500
Xét HEB và HEC có

HE là cạnh chung
₁₅₀0

<i>HEB HEC</i>  _{( CMT)}

EB = EC ( Hai cạnh tam giác đều)

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Hay : <i>BHE CHE</i>  150 ( Hai gãc t¬ng øng)
VËy : <i>BHC</i>300

<b>Bài toán 2</b>

Cho tam giỏc ABC vuụng cõn tại đỉnh A, điểm E nằm trong tam giác sao
cho <i>EAC ECA</i>  150. Tính số đo góc AEB.

Ta cã h×nh vÏ

B

K

E

A C

Với bài toán này lúc đầu rất nhiều học sinh sẽ nghĩ đến việc vẽ thêm
hình phụ là tam giác đều tơng tự nh bài tập 1 thì sẽ dẫn đến việc trình bầy lời
giải là khơng chặt chẽ

Ví dụ: Khi các em đi vẽ tam giác AEK đều cạnh AE, hiển nhiên các em
sẽ coi điểm K nằm trong tam giác ABE nhng thực tế cha chắc vì điểm K có thể
trùng với một dỉnh của tam giác ABE, nằm ngồi tam giác ABE do số đo góc
AEB và góc EAB cha biết ( hoặc khi đã biết nhng số đo lại nhỏ hơn hoặc bằng
600₎

Nên bài này tôi sẽ lu ý các em ba vấn đề trong suy nghĩ giải tốn

+, Ln quan tâm tới sự xuất hiện của tam giác đều mà không
phải là vẽ trực tiếp

+, Yếu tố vẽ thêm không đợc xa giả thiết trọng tâm và đặc biệt
cần xuất hiện tam giác mà ta có thể chứng minh đợc tam giác đó là tam giác
đều.

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Khi đó có khá nhiều học sinh đã nghĩ đến việc lấy điểm K trong tam
giác ABC sao cho <i>KAB KBA</i>  150, từ đó các em lập đợc sơ đồ phân tích để
giải bài tốn.

<i>Lêi gi¶i chi tiÕt:</i>

Trong ABC lÊy ®iĨm K sao cho <i>KBA KAB</i> 150

XÐt KAB vµ EAC cã

<i>KBA ECA</i> 150

AB = AC ( Hai cạnh tam giác cân)
<i>KAB EAC</i>  150

Nªn : KAB = EAC ( g - c - g)

Suy ra: AK = AE ( Hai cạnh tơng ứng)
Mà : <i>KAE BAC KAB EAC</i>    

Hay : <i>KAE</i> 900  150  150 600

Do đó: AEK đều (Vì có hai cạnh bằng nhau và một góc bằng 600₎
Lại có: <i>AKB</i>1500 ( Cách vẽ điểm K)

 ₆₀0

<i>AKE</i> _{( Vì tam giác AEK đều)}

Nªn : <i>EKB</i> 3600  1500  600 1500
XÐt : BKA và BKE có

BK là cạnh chung
 ₁₅₀0

<i>BKA BKE</i>  _{( CMT)}

KA = KE ( Cạnh tam giác đều)

Suy ra: BKA = BKE ( c - g - c)

Do đó: <i>BEK</i> <i>BAK</i> 150( Hai góc tơng ứng)
Vậy : <i>BEA BEK KEB</i> 600150 750
<b>Bi tp tng t</b>

<i><b>Bài toán 1.</b></i>

Cho tam giác ABC cân tại A, trên AB lấy điểm D sao cho AD = DC = CB. Tính
số đo các gãc cđa tam gi¸c ABC.

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

Cho tam gi¸c ABC với <i>B C</i> 500. N là một điểm thuộc miền trong của tam

giác ABC thoả mÃn

0 0

10 , 20

<i>NBC</i>  <i>NCB</i> _{. TÝnh sè ®o gãc ANB.}
<i><b>Bài toán 3.</b></i>

Cho tam giỏc ABC nhn, min ngoi của tam giác ta vẽ các tam giác
đều ABC’ và ACB’. Gọi K Và L theo thứ tự là trung điểm của C’A và B’C.
Trên BC lấy điểm M sao cho BM = 3MC. Tính số đo các góc của tam giỏc
KLM.

<i><b>Bài toán 4.</b></i>

Cho hai tam giỏc ABD v CBD, A và C thuộc hai nửa mặt phẳng đối

nhau bê BD. BiÕt    

0 0 0 0

50 ; 60 ; 20 ; 30

<i>BAC</i>  <i>ABD</i> <i>CBD</i> <i>CDB</i> _{. Tính số đo}

góc DAC và số đo góc ADB.
<i><b>Bài toán 5.</b></i>

Cho tam giỏc ABC cõn ti nh A, <i>BAC</i>200. Lấy các điểm M, N theo
thứ tự trên các cạnh AB, AC sao cho <i>BCM</i> 50 ,0 <i>CBN</i> 600. Tớnh s o gúc
MNA.

<i><b>Bài toán 6.</b></i>

Cho tam giác cân ABC có <i>B C</i> 500. Gọi K là điểm trong tam gi¸c sao cho

 _{10 ,}0  ₃₀0

<i>KBC</i> <i>KCB</i> _{. Tính số đo góc BAK.}
<i><b>Bài toán 7.</b></i>

Cho tam giác ABC cân có <i>BAC</i> 1080, Điểm M nằm trong tam giác sao cho

 _{12 ,}0  ₁₈0

<i>MBC</i>  <i>MCB</i> _{. TÝnh góc}<i>_AMB</i>_.

<i><b>Bài toán 8. </b></i>

im M nm bờn trong tam giác đều ABC sao cho MA : MB : MC =3 : 4 : 5.
Tớnh s o gúc AMB

<i><b>Bài toán 9.</b></i>

Cho tam giác ABC cân tại A có <i>BAC</i> 200. Các điểm M, N theo thứ tự thuộc
các cạnh bên AB, AC sao cho <i>BCM</i> 50 ,0 <i>CBN</i> 600. TÝnh <i>MNA</i> .

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Cho tam giác ABC cân tại A có <i>BAC</i> 200. Trên nửa mặt phẳng không chứa B
cã bê AC, vÏ tia Cx sao cho gãc ACx có số đo bằng 600_{, trên tia ấy lấy điểm D}
sao cho CD = CB. TÝnh <i>ADC</i>.

<b>TiĨu kÕt. </b>

“ Tính số đo góc” là một dạng tốn khá đa dạng và phong phú từ hệ
thống lí thuyết đến hệ thống bài tập. Về lí thuyết các em học sinh đợc tiếp cận
là khá gọn gàng và nhẹ nhàng còn về bài tập “ Bài tập cơ bản thì khá đơn giản
với học sinh, bài tập năng cao lại là một thử thách khá lớn với các em kể cả với
học sinh khá giỏi”. Khi giảng dạy về dạng toán này yêu cầu giáo viên cần

+, Cung cấp dến cho các em đầy đủ kiến thức cơ bản và các kiến thức
bổ sung có liên quan

+, Phân dạng tốn cụ thể để các em làm quen với việc nhìn nhận, hình
thành, t duy, suy luận lơgíc....

+, Xây dựng và chỉ rõ cách phân tích giả thiết, phân tích kết luận, cách
kết hợp các giả thiết khai thác đợc, cách đặt vấn đề, cách hình thành sơ đồ

phân tích, cách đặt câu hỏi và tự trả lời...

+, Hình thành cho học học sinh một kỹ năng phân tích để vẽ hình phụ
và tạo cho các em một thói quen, một cảm giác khi nào cần vẽ hình phụ

+, Đa đến cho các em các hình phụ thờng đợc vẽ là gì và nhấn mạnh
mỗi hình phụ đợc vẽ chỉ đợc thoả mãn một yêu cầu.

<b>IV. KÕt qu¶</b>

Qua việc chọn lọc, sắp xếp hệ thống và phân loại nh trên đã trình bầy,
tơi thấy khả năng phát hiện, tổng hợp kiến thức lí thuyết, phán đốn tìm lời
giải của học sinh có tốt hơn.. Các em hào hứng, say mê học tập và chịu khó
nghiên cứu, t duy lơgíc để tìm lời giải và mở rộng ra các bài toán tơng tự.

Cụ thể qua kiểm tra học sinh lớp 7A trờng THCS Phùng Hng, tôi thu đợc
kết quả nh sau:

<b>XÕp lo¹i</b> <b>Tríc khi d¹y thùc nghiƯm</b> <b>Sau khi d¹y thực nghiệm</b>

Giỏi <b>0%</b> <b>15%</b>

Khá <b>10%</b> <b>25%</b>

T.bình <b>15%</b> <b>40%</b>

Dới TB <b>75%</b> <b>20%</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Do là trờng thờng nên t duy học sinh cha nhanh, khả năng phát
hiện, vận dụng, suy luận và t duy biến đổi cha thật tốt, cha thật linh hoạt.

Chỉ áp dụng đối với học sinh trung bỡnh, khỏ, gii
* Vi giỏo viờn

+, Thời gian đầu t còn cha nhiều

+, Khả năng phân loại, tổng hợp có thể còn cha tốt, cha khoa học.
<b>VI. Điều kiƯn ¸p dơng</b>

Chun đề này có thể tuỳ theo mức độ yêu cầu, đối tợng học sinh mà
giáo viên có thể sử dụng tồn bộ hay ít nhiều.

Cịn đối với học sinh giỏi thì việc truyền thụ kiến thức cho các em chính
là một số kỹ năng, phơng pháp là cần thiết và rất có ích cho các em khi học
phân mơn hình học ở lớp 7 cũng nh ở lớp 8, lớp 9 sau này.

<b>VII. Hớng đề xuất tiếp tục nghiên cứu.</b>

Khi chọn lọc, hệ thống, phân loại và dạy theo chuyên đề trên tôi thấy
các em say mê hơn, hào hứng hơn. Loại toán trên giúp các em phất triển t duy
lơgíc cũng nh khả năng phân tích tổng hợp, hình thành phẩm chất trí tuệ, óc
sáng tạo, linh hoạt khi làm tốn. Tuy nhiên vì thời gian hạn chế, kinh nghiệm
của tơi cịn cha nhiều nên sự phân loại, hệ thống bài tập ( dạng, loại) cha thật
sâu... Đó là vấn đề cần phải tiếp tục nghiên cứu trong q trình giảng dạy của
tơi.

<b>C. KÕt ln</b>

Qua thực tế giảng dạy mơn tốn ở cấp trung học cơ sở suốt một quá
trình, đợc làm quen và tiếp xúc với học sinh, bản thân tôi rút ra đợc một số

điều quan trọng khi nghiên cứu về mảng kiến thức “ Giải tốn tính số đo góc”.
Đây là một trong những bài tốn phức tạp, cần có t duy tốt và kỹ năng
vận dụng lý thuyết tơng đối linh hoạt thì học sinh mới có thể hiểu sâu và hiểu
rộng vấn đề đợc. Bởi thế trong quá trình truyền đạt kiến thức cho học sinh bản
thân mỗi thầy cô giáo phải rang bị thật chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng đơn vị kiến
thức cơ bản, từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và vận
dụng tốt để giải toán.

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Giáo viên thờng xuyên kiểm tra đánh giá kết quả học tập của các em
qua các kỳ, bổ sung những thiếu xót, những sai lầm, lệch lạc về kiến thức để
các em rút kinh nghiệm. Phải có kế hoạch phân chia thành từng chuyên đề cụ
thể, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lơgíc giữa các dạng bài khác
nhau.

Nghiên cứu về giải tốn “ Tính số đo góc” tơi hy vọng rằng nó là cơ sở,
là động lực giúp cho bản thân có thêm những hiểu biết mới. Đồng thời các bạn
bè đồng nghiệp, với các em học sinh sẽ yêu thích và tự tin hơnkhi gặp các bài
tốn có liên quan đến tính số đo góc và có đợc nhiều kinh nghiệm, nhiều ứng
dụng trong thực tế.

Trên đây là những ý tởng, kinh nghiệm của toi về giải tốn “ Tính số đo
góc”. Trong q trình thực hiện, khơng thể tránh khỏi những thiếu xót về cấu
trúc, về ngôn ngữ và cả về những kiến thức khoa học. Vì vậy, tơi rất mong
nhận đợc sự đóng góp chân thành của hội đồng xét duyệt sáng kiến, của bạn
bè đồng nghiệp để kinh nghiệm này của tôi đợc hon thin hn na.

Tôi xin chân thành cảm ơn!

<b>Email:</b>

</div>

<!--links-->
SKKN - Khai thac tinh uu viet trong viec ve tam giac deu de giai cac bai toan tinh so do goc

• 19
• 2
• 31