DE THI HOC SINH GIOI 10

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Trường THPT Trưng Vương - Quy Nhơn
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI
MƠN TỐN KHỐI 10 NĂM HỌC 2010-2011

Thời gian: 120 phút.

Bài 1: (4 điểm ) Cho số nguyên A là tổng bình phương của hai số nguyên dương liên tiếp.
Chứng minh rằng A không thể là tổng lũy thừa bốn của hai số nguyên dương liên tiếp.
Bài 2: ( 4 điểm ) Giải phương trình:

3

√

<i>x</i>3+8=2<i>x</i>2<i>−</i>6<i>x</i>+4 .
Bài 3: ( 4 điểm ) Giải hệ phương trình :

{

<i>x</i>2(<i>y</i>+1)(<i>x</i>+<i>y</i>+1)=(<i>x −</i>1)(3<i>x −</i>1)
xy+<i>x</i>+1<i>− x</i>2=0

Bài 4: ( 4 điểm ) Cho tam giác ABC có độ dài các đường cao là ha;hb;hc và r là bán kính đường trịn
nội tiếp tam giác ABC.

Chứng minh rằng ha+hb+hc 9r.

Bài 5: ( 4 điểm ) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho elip (E): <i>x</i>

2

<i>a</i>2+
<i>y</i>2

<i>b</i>2=1(<i>a</i>><i>b</i>>0)

Có hai tiêu điểm F1; F2. Gọi M là điểm thay đổi trên (E). I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

MF1F2. Chứng minh rằng I nằm trên một elip khi M thay đổi.

Đáp án và biểu điểm

Câu Đáp án Điểm

1 Dùng phương pháp phản chứng
Giả sử A=n2_+(n+1)2_=a4_+(a+1)4

Khi đó ta có n2_+n+1=(a2_+a+1)2_{là số chính phương.}
Mà n2_<n2_+n+1<(n+1)2_{điều này vơ lí.}

2
1
1
2 Điều kiện x -2.

x=-2 khơng phải là nghiệm của phương trình.
Chia hai vế cho x+2

Đặt t=

√

<i>x</i>2<i>−</i>2<i>x</i>+4

<i>x</i>+2 với t 0 ta có phương trình
2t2_{-3t-2=0 chọn nghiệm t=2 .}

Kết luận tập nghiệm là <i>S</i>=

{

3<i>±</i>

_√

13

}

1
1
1

1
3 Do x=0 không phải là nghiệm nên từ phương trình đầu

suy ra <i>y</i>=<i>x</i>

2

<i>−</i>1

<i>x</i> .

Thế vào phương trình sau ta có
(x2_-1)(2x2_{-1)=(x+1)(3x-1)}
Có x=0(loại) ; x=1 ; x=-2

Hệ có hai nghiệm (1 ;-1) ; (-2 ;-5/2)

1
1
1
1
4 Dùng cơng thức tính diện tích

Suy ra : <i>h_a</i>=<i>a</i>+<i>b</i>+<i>c</i>

<i>a</i> <i>r</i>

Dùng bất đẳng thức Cơ- si ta có điều cần chứng minh.
2
2

5 Gọi I(X :Y)

Dùng công thức S=pr suy ra được |<i>y</i>|=<i>a</i>+<i>c</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

x= <i>a</i>

<i>c</i> <i>X</i> . Thế vào phương trình của (E) ta có
<i>X</i>2

<i>c</i>2+
<i>Y</i>2

(

bc<i>a</i>+<i>c</i>

)

2=1

Vậy I ở trên một elip

1
1

DANH SÁCH DỰ THI CHỌN HS GIỎI MƠN TỐN KHỐI 10

STT Họ và tên Lớp

1 Hồng Công Hiển

10T
2 Lê Đại Long

3 Nguyễn Thúy An
4 Nguyễn Thái Anh nhật
5 Phạm Thị Thanh Huyền
6 Phạm Duy Nam

10A3
7 Nguyễn Hồi Nam

8 Phan Ngơ Đức lợi
9 Trần Vũ sang
10 Phạm Ngọc Hiếu

10A2
11 Nguyễn Thị Hoàng Oanh

12 Mai Kim Hồng
13 Phạm Thị Thoa

10A4
14 Đặng Tấn Phúc

</div>

<!--links-->