Nghiên cứu phương pháp bình sai lưới độ cao tự do và ứng dụng để xử lý số liệu quan trắc lún công trình

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ - ĐỊA CHẤT
**********************

TRẦN NGỌC HIỀN

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI LƯỚI ĐỘ CAO
TỰ DO VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ XỬ LÝ SỐ LIỆU QUAN TRẮC LÚN
CƠNG TRÌNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

HÀ NỘI - 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ - ĐỊA CHẤT
**********************

TRẦN NGỌC HIỀN

NGHIÊN CỨU PHƯƠNG PHÁP BÌNH SAI LƯỚI ĐỘ CAO
TỰ DO VÀ ỨNG DỤNG ĐỂ XỬ LÝ SỐ LIỆU QUAN TRẮC LÚN
CƠNG TRÌNH

Ngành : Kỹ thuật trắc địa – bản đồ
Mã số

: 60520503

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Việt Hà

HÀ NỘI - 2015


LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan tồn bộ luận văn này là do tơi nghiên cứu và viết ra,
hồn tồn không sao chép ở bất kỳ tài liệu nào. Các số liệu đƣợc đƣa ra trong
luận văn là trung thực. Kết quả nghiên cứu nêu trong luận văn chƣa từng đƣợc
công bố trên một tài liệu nào khác.
Hà Nội, ngày tháng năm 2015
Tác giả luận văn

Trần N c

ền


2

MỤC LỤC
Tên mục

Trang

Lời cam đoan ..................................................................................................... 1
Mục lục .............................................................................................................. 2
Danh mục hình vẽ và đồ thị .............................................................................. 4

Danh mục các bảng ........................................................................................... 5

MỞ ĐẦU ........................................................................................... 6
1. Tính cấp thiết của đề tài ........................................................................ 6
2. Mục đích nghiên cứu của đề tài ............................................................ 6
3. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu......................................................... 7
4. Nội dung nghiên cứu ............................................................................. 7
5. Phƣơng pháp nghiên cứu ...................................................................... 7
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn .............................................................. 7
7. Cấu trúc của luận văn ............................................................................ 8
Chƣơng 1 LÝ THUYẾT BÌNH SAI LƢỚI ĐỘ CAO TỰ DO ....................... 9
1.1 Khái niệm chung về bình sai lƣới trắc địa ......................................... 9
1.2 Khái niệm chung về lƣới độ cao tự do ............................................. 16
1.3 Tính chất cơ bản của kết quả bình sai lƣới tự do ............................. 25
1.4 Chuyển đổi hệ độ cao và định vị lƣới độ cao tự do ......................... 26


3

Chƣơng 2 THIẾT KẾ HỆ THỐNG LƢỚI ĐỘ CAO QUAN TRẮC LÚN
CƠNG TRÌNH VÀ PHÂN TÍCH ĐỘ ỔN ĐỊNH MỐC ĐỘ CAO CƠ SỞ .. 29
2.1 Xây dựng hệ thống lƣới độ cao quan trắc lún cơng trình ................ 29
2.2 Tiêu chuẩn đánh giá độ ổn định mốc cơ sở ..................................... 32
2.3 Tổng quan về một số phƣơng pháp phân tích độ ổn định mốc cơ sở ..... 33
2.4 Phân tích độ ổn định mốc cơ sở theo phƣơng pháp bình sai tự do..... ...... 39
Chƣơng 3 THỰC NGHIỆM PHÂN TÍCH ĐỘ ỔN ĐỊNH MỐC ĐỘ CAO CƠ
SỞ TRONG QUAN TRẮC LÚN NHÀ MÁY THỦY ĐIỆN HƢƠNG ĐIỀN
......................................................................................................................... 53
3.1 Khái qt chung về cơng trình thực nghiệm .................................... 53
3.2 Thiết kế lƣới cơ sở phục vụ quan trắc lún công trình thủy điện Hƣơng

Điền ......................................................................................................... 60
3.3 Thực nghiệm xử lý lƣới độ cao cơ sở .............................................. 63
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ......................................................................... 79
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 80


4

DAN

MỤC

ÌN

VẼ VÀ ĐỒ T Ị

Hình 1.1. Chuyển đổi hệ độ cao ...................................................................... 26
Hình 2.1. Ví dụ hệ thống lưới độ cao quan trắc lún ....................................... 31
Hình 2.2. Lưới độ cao cơ sở ............................................................................ 33
Hình 2.3. Cụm mốc độ cao cơ sở .................................................................... 35
Hình 2.4. Sơ đồ quy trình tính tốn ................................................................. 45
Hình 2.5. Sơ đồ quy trình tính tốn ................................................................. 46
Hình 2.6. Sơ đồ mạng lưới .............................................................................. 47
Hình 3.1. Tồn cảnh nhà máy thủy điện Hương Điền .................................... 54
Hình 3.2. Nhà máy thủy điện Hương Điền...................................................... 56
Hình 3.3. Sơ đồ lưới khống chế cơ sở ............................................................. 61
Hình 3.4. Mốc khống chế quan trắc lún .......................................................... 62


5

DAN

MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1. Giá trị đo lƣới quan trắc ................................................................... 48
Bảng 2.2. Đánh giá độ ổn định lƣới khống chế cơ sở..................................49
Bảng 2.3. Kết quả tính độ lún điểm kiểm tra ................................................. 49
Bảng 2.4. Kết quả xử lý lƣới khống chế ......................................................... 50
Bảng 2.5. Kết quả tính độ lún điểm kiểm tra .................................................. 50
Bảng 2.6. Kết quả xử lý lƣới khống chế ......................................................... 51
Bảng 3.1. Chỉ tiêu kỹ thuật lƣới ...................................................................... 64
Bảng 3.2. Số liệu khởi tính .............................................................................. 67
Bảng 3.3. Thành quả độ cao bình sai .............................................................. 67
Bảng 3.4. Trị đo và các đại lƣợng bình sai ..................................................... 68
Bảng 3.5. Chỉ tiêu kỹ thuật lƣới ...................................................................... 70
Bảng 3.6. Số liệu khởi tính .............................................................................. 74
Bảng 3.7. Thành quả độ cao bình sai .............................................................. 74
Bảng 3.8. Trị đo và các đại lƣợng bình sai ..................................................... 75


6

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp th ết của đề tà
Cùng với sự phát triển chung của nền kinh tế, các công trình có quy mơ
lớn, u cầu độ chính xác và ổn định cao nhƣ nhà máy, nhà cao tầng, các
công trình thủy lợi, thủy điện, cơng trình cầu đƣợc xây dựng ngày càng nhiều.
Vì vậy, cơng tác trắc địa phục vụ xây dựng các cơng trình này địi hỏi phải có
các giải pháp tƣơng ứng nhằm thỏa mãn các yêu cầu kỹ thuật trong thi công

cũng nhƣ hiệu quả khai thác của cơng trình sau này. Đối với cơng tác quan
trắc lún cơng trình, tính đúng đắn của q trình lún cơng trình khơng những
chỉ phụ thuộc vào độ chính xác quan trắc, mà còn chịu ảnh hƣởng rất lớn bởi
phƣơng pháp xử lý số liệu. Trong đó độ ổn định của các mốc lƣới khống chế
cơ sở có ý nghĩa rất quan trọng, quyết định tính đúng đắn của kết quả quan
trắc. Vì vậy, việc nghiên cứu, áp dụng quy trình xử lý số liệu quan trắc lún
cơng trình một cách hợp lý, phù hợp với đặc điểm và bản chất của lƣới quan
trắc lún cơng trình là vấn đề rất rất cần thiết. Mà cụ thể ở đây là việc áp dụng
phƣơng pháp bình sai lƣới độ cao tự do, trên cơ sở lý luận đó ứng dụng vào
kỹ thuật xử lý lƣới độ cao trong quan trắc lún cơng trình là rất phù hợp nhằm
nâng cao chất lƣợng của công tác xử lý số liệu.
Với đề tài: “ Nghiên cứu phương pháp bình sai lưới độ cao tự do và
ứng dụng để xử lý số liệu quan trắc lún cơng trình ” tác giả mong rằng sẽ
góp phần giải quyết phần nào vấn đề đang tồn tại này.
2. Mục đích của đề tà
Nghiên cứu cơ sở lý thuyết bình sai lƣới độ cao tự do và đánh giá khả
năng ứng dụng phƣơng pháp bình sai này để xử lý số liệu trong quan trắc lún
cơng trình.
Khảo sát giải pháp xử lý số liệu lƣới độ cao cơ sở trong quan trắc lún
cơng trình theo thuật tốn bình sai lƣới độ cao tự do.


7

3. Đố tƣợn và phạm v n h ên cứu
Nghiên cứu phƣơng pháp bình sai lƣới trắc địa tự do, các vấn đề liên
quan đến quan trắc lún và ứng dụng phƣơng pháp bình sai lƣới độ cao tự do
để xử lý số liệu lƣới độ cao cơ sở trong quan trắc lún cơng trình.
4. Nộ dun n h ên cứu của đề tà
Để đạt đƣợc mục tiêu đề ra, nội dung chính của đề tài bao gồm:

Nghiên cứu cơ sở lý thuyết và đặc điểm của phƣơng pháp bình sai lƣới
độ cao tự do.
Nghiên cứu ứng dụng phƣơng pháp bình sai lƣới độ cao tự do vào mục
đích xử lý số liệu lƣới độ cao cơ sở quan trắc lún cơng trình.
Tính tốn thực nghiệm đối với một số cơng trình ở thực tế sản xuất.
5. Phƣơn pháp n h ên cứu
Sử dụng phƣơng pháp nghiên cứu lý thuyết để nghiên cứu cơ sở lý
thuyết của phƣơng pháp bình sai lƣới độ cao tự do và ứng dụng để xử lý số
liệu lƣới độ cao cơ sở quan trắc lún cơng trình.
Sử dụng phƣơng pháp thống kê để thu thập, tổng hợp và xử lý các tài
liệu liên quan.
Thực hiện tính tốn thực nghiệm để kiểm chứng kết quả nghiên cứu.
6. Ý n hĩa khoa h c và thực t ễn
Lƣới độ cao cơ sở quan trắc lún công trình là lƣới đo lặp với mục đích
xác định điểm mốc ổn định làm cơ sở độ cao cho lƣới quan trắc ở mỗi chu kỳ.
Đây là dạng lƣới tự do, do vậy việc tính tốn xử lý số liệu áp dụng
phƣơng pháp bình sao tự do là phù hợp nhất.
Việc phân tích độ ổn định của các mốc độ cao cơ sở có ý nghĩa quan
trọng đối với kết quả quan trắc lún cơng trình trong mỗi chu kỳ quan trắc.
Đáp ứng yêu cầu xử lý số liệu lƣới độ cao cơ sở lƣới quan trắc lún cơng
trình trong sản xuất.


8

7. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu và kết luận, kết cấu luận văn đƣợc trình bày trong 3
chƣơng gồm 78 trang, 11 hình vẽ và 14 bảng.
Luận văn đƣợc thực hiện dƣới sự hƣớng dẫn của TS. Nguyễn Việt Hà,
bộ mơn Trắc địa cơng trình, khoa Trắc địa, trƣờng Đại học Mỏ - Địa chất, Hà

Nội.
Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ngƣời hƣớng dẫn khoa học, xin
cảm ơn các thầy, cô trong khoa Trắc địa và đặc biệt là các thầy, cô trong bộ
môn Trắc địa cơng trình cũng nhƣ các bạn đồng nghiệp đã tận tình chỉ bảo,
giúp đỡ để tác giả hồn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn!


9

Chƣơn 1
LÝ T UYẾT BÌN

SAI LƢỚI ĐỘ CAO TỰ DO

1.1 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ BÌNH SAI LƢỚI TRẮC ĐỊA
Cơng việc đo đạc bao gồm đo ngắm ngoại nghiệp và công tác nội
nghiệp. Để nâng cao chất lƣợng đo, không chỉ để ý đến công tác ngoại nghiệp
nhƣ : áp dụng tiến bộ khoa học kĩ thuật vào máy móc để tăng độ chính xác,
nâng cao trình độ ngƣời đo... mà cịn phải chú trọng vào cơng tác nội nghiệp.
Trong đó, việc giải quyết bài tốn bình sai lƣới là một trong những cơng việc
quan trọng.
1.1.1 Mục đích bình sa
Do yếu tố con ngƣời, thiết bị đo hay môi trƣờng đo mà hầu nhƣ tất cả
các kết quả đo đều chứa sai số. Có nhiều cách để phát hiện sai số tồn tại trong
trị đo, một trong những cách phổ biến là tiến hành đo một đại lƣợng nhiều lần,
khi đó các kết quả thu đƣợc thƣờng khác nhau do các sai số trong quá trình đo
đạc gây nên, một cách khác để phát hiện sai số là kiểm tra xem các kết quả đo
đạc có thỏa mãn các điều kiện hình học mà theo lý thuyết chúng phải thỏa
mãn hay khơng, ví dụ nhƣ kiểm tra xem tổng ba góc trong của một tam giác

phẳng có bằng 1800 hay khơng.
Vì các kết quả đo luôn tồn tại sai số nhƣ trên dẫn đến các quan hệ hình
học trong mạng lƣới theo lý thuyết khơng đƣợc đảm bảo, vì vậy cần phải tiến
hành bình sai mạng lƣới trắc địa nhằm tìm trị xác suất nhất của các yếu tố lƣới
với điều kiện trị bình sai phải thoả mãn các điều kiện hình học trong lƣới và
đánh giá độ chính xác của các yếu tố đó. Bình sai cũng giúp nâng cao độ
chính xác và độ tin cậy của kết quả xác định tọa độ hoặc độ cao trong các
mạng lƣới trắc địa.


10

1.1.2 N un lý bình sa
Bài tốn bình sai chỉ có thể tiến hành đƣợc khi trong lƣới trắc địa có tồn
tại trị đo thừa r.
Bài tốn bình sai dựa trên nguyên lý số bình phƣơng nhỏ nhất
φ = pvv = min với các nội dung cơ bản: tìm trị đáng tin cậy nhất của dãy trị

đo, của các đại lƣợng cần tìm và Xác định sai số trung phƣơng của các trị đo
và của các đại lƣợng cần tìm.
Trên cơ sở nguyên lý số bình phƣơng nhỏ nhất, bài tốn bình sai thƣờng
đƣợc giải theo 2 phƣơng pháp là bình sai điều kiện và bình sai gián tiếp. Với
mạng lƣới trong đó chỉ tồn tại các sai số ngẫu nhiên thì bình sai theo 2
phƣơng pháp sẽ cho cùng một kết quả. Bên cạnh 2 phƣơng pháp này, để giải
bài tốn bình sai chúng ta cịn có thêm nhiều phƣơng pháp mở rộng nhƣ: bình
sai chia nhóm, bình sai điều kiện kèm ẩn số, bình sai gián tiếp kèm điều
kiện...
Việc lựa chọn phƣơng pháp bình sai nào sẽ căn cứ vào một số yêu cầu cơ
bản nhƣ:
- Khối lƣợng tính tốn ít.

- Dễ dàng thực hiện trong điều kiện phƣơng tiện hiện có.
1.1.3 Các phƣơn pháp bình sa
1.1.3.1 Phương pháp bình sai điều kiện
Để xác định độ cao của các điểm trong mạng lƣới thì khơng chỉ đo đủ
các yếu tố cần thiết để tính ra chúng mà cịn đo nhiều hơn số trị đo cần thiết
để có các trị đo thừa. Các trị đo thừa này không chỉ giúp cho ngƣời đo dễ
dàng kiểm tra kết quả đo, tránh đƣợc sai số thơ mà cịn tham gia vào quá trình
xử lý số liệu sau này.
Khi xuất hiện một trị đo thừa, có thể dựa vào quan hệ hình học phẳng


11

giữa các yếu tố trong mạng lƣới để lập một phƣơng trình điều kiện ràng buộc
trị đo đó với các trị đo khác hoặc với số liệu gốc trong lƣới. theo các tƣơng tự
nhƣ vậy khi có r trị đo thừa, sẽ lập đƣợc r phƣơng trình điều kiện. Do trị đo
luôn kèm theo sai số nên các trị đo khơng thể thỏa mãn ngay phƣơng trình
điều kiện thí dụ tổng ba góc trong của một tam giác bằng 1800. Nhiệm vụ của
bài tốn bình sai là tìm giá trị xác suất nhất của đại lƣợng đo thỏa mãn đồng
thời tất cả các phƣơng trình điều kiện đó.
Nhƣ phần trên đã nói, cơ sở tốn học của phƣơng pháp bình sai là
phƣơng pháp số bình phƣơng nhỏ nhất, tức là:
V T PV   pvv  min

(1.1)

Trong đó :
v là vectơ gồm các số hiệu chỉnh cho các trị đo để đƣợc trị bình sai.
p là ma trận trọng số của các trị đo. Các trị đo là các đại lƣợng độc lập
nên ma trận P có dạng ma trận chéo

 P1

P




P2





...

Pn 

(1.2)

Trình tự tính tốn trong bình sai điều kiện đƣợc tiến hành theo các bƣớc sau:
Bước 1: Xác định số trị đo thừa : r = n – t
Bước 2: Lập hàm liên hệ và hàm trọng số
- Hàm liên hệ :  ( L1 ' , L2 ' ,..., Ln ' )  0

(1.3)

- Hàm trọng số: F '   ( L1 ' , L2 ' ,..., Ln ' )

(1.4)

Bước 3: Lập phƣơng trình điều kiện số hiệu chỉnh
BV  W  0

(1.5)


12

Bước 4: Lập hệ phƣơng trình chuẩn số liên hệ
NK  W  0

N  BP 1 BT

(1.6)

Bước 5: Tính các số hiệu chỉnh
V  P 1 BT K

(1.7)

Bước 6: Đánh giá độ chính xác
Sai số trung phƣơng trọng số đơn vị đƣợc tính theo cơng thức


 pvv
nt

(1.8)

Sai số trung phƣơng hàm số f

mf  

1
Pf

(1.9)

1.1.3.1 Phương pháp bình sai gián tiếp
Phƣơng pháp bình sai gián tiếp cịn là phƣơng pháp đƣợc sử dụng rộng
rãi để bình sai các mạng lƣới trắc địa, đặc biệt là rất thuận lợi cho việc lập
trình để tính tốn trên máy tính điện tử.
Nếu trong mạng lƣới trắc địa, tiến hành đo n trị đo độc lập là L 1, L2, …,
Ln với các sai số trung phƣơng tƣơng ứng là m1, m2, …, mn để xác định t ẩn số
là X1, X2, …, Xt, sẽ lập đƣợc n quan hệ hàm số để biểu diễn giá trị bình sai
của các đại lƣợng đo với t giá trị ẩn số cần xác định.
Giải các quan hệ hàm số kể trên thu đƣợc giá trị bình sai của các đại
lƣợng đo, đây chính là mục đích của bài tốn bình sai gián tiếp.


13

Giả sử một mạng lƣới đƣợc bình sai theo phƣơng pháp gián tiếp với ẩn
số đƣợc chọn là độ cao của các điểm gốc trong lƣới, trình tự tính tốn đƣợc
tiến hành theo các bƣớc sau:
Bước 1: Chọn ẩn số
Trong bình sai gián tiếp lƣới độ cao ẩn số đƣợc chọn là độ cao sau bình
sai của các điểm mới trong lƣới. Ký hiệu H là độ cao sau bình sai của các
điểm mới trong lƣới, đối với lƣới có k điểm mới, sẽ có vector ẩn số nhƣ sau:
H  (H1 ,H 2 ,...., H k )T

(1.10)

Ký hiệu H 0 là độ cao gần đúng của các điểm mới trong lƣới, sẽ có vector
độ cao gần đúng:
H 0  ( H10 , H 20 .... H k0 )T

(1.11)

Bước 2: Lập hệ phƣơng trình số hiệu chỉnh
AH  L  V

(1.12)

Trong đó:
A(n  k ) là ma trận hệ phƣơng trình số hiệu chỉnh.

H (k  1) là ma trận ẩn số.
L(k 1)

là ma trận số hạng tự do đƣợc tính theo cơng thức

L  H ij0  hijđo

V (k 1)

là ma trận số hiệu chỉnh trị đo.

Công thức (1.12) đƣợc triển khai chi tiết nhƣ sau:

(1.13)

14

 a11 a12
a
a22
 21
 ... ...

 an1 an 2

... a1k    H1   l1   v1 
... a2 k   H 2  l2   v2 

  
... ...   ...  ...  ... 
 
    
... ank   H k  lk  vk 

(1.14)

Bước 3: Lập hệ phƣơng trình chuẩn
AT PA.H  AT PL  0

(1.15)

Trong đó:
 P1


P




P2





...

Pn 

Đặt: AT PA  R
AT PL  b

Khi đó phƣơng trình (1.15) sẽ trở thành
RH  b  0

(1.16)

Bước 4: Giải hệ phƣơng trình chuẩn
Sau khi thành lập đƣợc phƣơng trình chuẩn, giải phƣơng trình chuẩn
(1.17) thu đƣợc số hiệu chỉnh độ cao của các điểm mới H k , thay các số hiệu
chỉnh này vào phƣơng trình (1.14) để tính số hiệu chỉnh trị đo v k .
H   R 1b  Qb

(1.17)

Bước 5: Đánh giá độ chính xác
Để đánh giá độ chính xác yếu tố nào đó trong lƣới trƣớc hết cần lập hàm
trọng số của các yếu tố cần đánh giá độ chính xác. Hàm trọng số là hàm của
các trị bình sai ẩn số, dạng tổng quát là:


15

F 0  f H 1 , H 2 ,...H k 

(1.18)

F 0  f H10  H1 , H 20  H 2 ,..., H k0  H k 

(1.19)

Sau khi khai triển tuyến tính, nhận đƣợc vectơ hệ số hàm trọng số:
F   f1

f1 

ft 

T

(1.20)

Trong đó:

 f
f i  
 X i



0

(1.21)

Trọng số đảo của hàm số đƣợc tính theo cơng thức
1
 f t Qf
pf

(1.22)

Sai số trung phƣơng trọng số đơn vị đƣợc tính theo cơng thức


 pvv
nt

Sai số trung phƣơng hàm số f
mf  

1
Pf

Sai số trung phƣơng của điểm độ cao đƣợc tính theo công thức:

mH i   Qii

(1.23)

Sai số trung phƣơng của chênh cao hij đƣợc tính theo cơng thức:
mhij   Qii  Q jj  2Qij

(1.24)

Trong đó Qii là phần tử thứ i trên đƣờng chéo chính của ma trận nghịch đảo
của ma trận hệ phƣơng trình chuẩn.


16

Q11 Q12
Q
Q22
1
Q  R   21
 ...
...

Qk 1 Qk 2

... Q1k 
... Q2 k 
... ... 

... Qkk 

(1.25)

1.2 KHÁI NIỆM CHUNG VỀ LƢỚI ĐỘ CAO TỰ DO
Lý thuyết bình sai lƣới trắc địa tự do đã đƣợc đề cập từ những năm giữa
của thế kỷ 20. Trên thế giới cũng nhƣ ở nƣớc ta, cũng đã có những nghiên cứu
rộng rãi về cơ sở lý thuyết và ứng dụng trong trắc địa cao cấp (định vị và ghép
nối các mạng lƣới lớn, nghiên cứu dịch động vỏ trái đất), trong trắc địa ảnh
(bình sai các mạng lƣới khống chế ảnh), trong trắc địa cơng trình (xử lý số
liệu quan trắc chuyển dịch, biến dạng cơng trình).
Trên cơ sở phân tích ứng dụng và cơ sở lý thuyết bình sai lƣới trắc địa
tự do chúng tôi nhận thấy rằng, phƣơng pháp bình sai này có nhiều đặc tính
thích hợp với công tác xử lý số liệu trong ngành Trắc địa cơng trình, đặc biệt
là trong xử lý số liệu lƣới độ cao cơ sở quan trắc lún cơng trình. Để ứng dụng
có hiệu quả cần phải có sự nghiên cứu một cách hệ thống về cơ sở lý thuyết
cũng nhƣ ứng dụng của bình sai lƣới trắc địa tự do vào lĩnh vực này.
Phụ thuộc vào tính chất số liệu gốc, lƣới độ cao đƣợc chia thành 2 loại:
lƣới phụ thuộc và lƣới tự do. Trên cơ sở tập hợp số liệu gốc của lƣới có thể
xác định lƣới là tự do hay phụ thuộc. Lới trắc địa tự do nói chung và lƣới độ
cao tự do nói riêng đƣợc định nghĩa là loại lƣới mà trong đó khơng có đủ số
liệu gốc tối thiểu cần thiết cho việc định vị.
Lƣới độ cao có số liệu gốc tối thiểu là độ cao của một điểm gốc. Nhƣ vậy
lƣới độ cao có số lƣợng số liệu gốc tối thiểu là 1 và lƣới độ cao tự do là lƣới
khơng có điểm gốc.


17

Số lƣợng các yếu tố gốc còn thiếu trong tất cả các mạng lƣới đƣợc gọi là
số khuyết của lƣới và đựơc ký hiệu bằng d, còn bản thân lƣới đƣợc gọi là lƣới

tự do bậc d. Nhƣ vậy, lƣới độ cao tự do là lƣới có số khuyết d = 1 và là lƣới tự
do bậc 1.
Nếu lƣới độ cao có thừa yếu tố gốc thì đƣợc gọi là lƣới phụ thuộc, nhƣ
vậy sẽ có một trƣờng hợp là khi lƣới có số liệu gốc tối thiểu vừa đủ. Trƣờng
hợp này có thể xem mạng lƣới này là lƣới tự do bậc 0. Khi bình sai, với lƣới
phụ thuộc thì các điểm có số liệu gốc đƣợc gọi là điểm khởi tính cịn với lƣới
tự do điểm đó đƣợc gọi là điểm định vị. Trƣờng hợp lƣới có sai số số liệu gốc
vƣợt quá sai số đo và trong tính tốn số liệu này chỉ đƣợc sử dụng để định vị
lƣới thì mạng lƣới đó cũng đƣợc xem là lƣới tự do.
Bình sai lƣới tự do có bản chất là quá trình xử lý cấu trúc nội tại và
định vị mạng lƣới. Phƣơng pháp bình sai này cho phép loại trừ đƣợc ảnh
hƣởng của sai số số liệu gốc đến các yếu tố tƣơng hỗ và định vị mạng lƣới
theo tiêu chuẩn phù hợp với đặc điểm, nội dung của từng bài tốn cụ thể.
1.2.1 Mơ hình tốn h c của phƣơn pháp bình sa lƣớ độ cao tự do
Để bình sai lƣới trắc địa tự do nói chung và lƣới độ cao tự do nói riêng
có nhiều mơ hình thuật tốn khác nhau. Trong đó việc xây dựng bài tốn bình
sai lƣới tự do trên cơ sở phƣơng pháp bình sai gián tiếp kèm điều kiện là đơn
giản và thuận tiện cho các ứng dụng thực tế [1], [2], [3], [4].
Bước 1: Chọn ẩn số, trong lƣới độ cao tự do ẩn số đƣợc chọn là độ cao
(hoặc số hiệu chỉnh độ cao) của tất cả các điểm trong lƣới, ký hiệu vector ẩn
số là X.
Bước 2: Lập hệ phƣơng trình số hiệu chỉnh đối với tập hợp trị đo
AX  L  V

(1.26)

Trong đó: A là ma trận hệ số, X là vector ẩn số, L là vector số hạng tự
do và V là vector số hiệu chỉnh.

18

Vì trong lƣới tự do thiếu các yếu tố định vị tối thiểu nên ma trận hệ số hệ
phƣơng trình số hiệu chỉnh (1.26) có các cột phụ thuộc (số lƣợng cột phụ
thuộc bằng số khuyết trong lƣới).
Bước 3: Lập hệ phƣơng trình chuẩn
RX  b  0

(1.27)

Với: R  AT PA ; b  AT PL
Ma trận hệ số R của hệ phƣơng trình chuẩn có tính chất
Det(R) = 0
Bước 4: Hệ (1.27) có vơ số nghiệm nên khơng thể giải theo các phƣơng
pháp thơng thƣờng. Nhƣng có thể xác định đƣợc vector nghiệm riêng bằng
cách đƣa vào một hệ điều kiện ràng buộc đối với vector ẩn số, dạng:
CT X  0

(1.28)

Hệ điều kiện (1.28) phải thoả mãn 2 điều kiện:
- Số lƣợng điều kiện bằng số khuyết trong mạng lƣới (d).
- Các hàng của ma trận phải độc lập tuyến tính đối với các hàng của ma
trận A.
Bước 5: Kết hợp hai hệ (1.27) và (1.28) thu đƣợc hệ phƣơng trình chuẩn
mở rộng:
R
C T


C X   b 


0
0   K   LC 

(1.29)

Với K là vector số liên hệ.
Hệ (1.29) có ma trận hệ số có nghịch đảo thƣờng và có thể biểu diễn
dƣới dạng:
R
C T


1

C
R ~ T 
 T

0 
0
T

Khi đó nghiệm của hệ (1.29) đƣợc tính theo cơng thức:

(1.30)

19

X  R ~b

(1.31)

Trong các biểu thức (1.29), (1.30) và (1.31), ma trận R~ là một dạng giả
nghịch đảo của R và có thể đƣợc tính nhƣ sau (điều này sẽ đƣợc minh chứng
trong mục 1.2.2):
R ~  ( R  CP0C T ) 1  TP0 1T T

(1.32)

Trong đó:
T  B(C T B) 1

(1.33)

P0 là ma trận bất kỳ kích thƣớc d x d, khơng suy biến. Khi P0-1 = E thì:
R ~  ( R  CC T ) 1  TT T

(1.34)

Trong công thức (1.33) B là ma trận chuyển đổi độ cao, có kích thƣớc
(dxk) và thỏa mãn điều kiện:
AB  0 ; RB  0

(1.35)

Thông thƣờng, trong các ứng dụng thực tiễn ma trận B đƣợc chọn nhƣ sau:

(điều này sẽ đƣợc minh chứng trong mục 1.4)
B  1 1  1T

(1.36)

Bước 6: Đánh giá độ chính xác các yếu tố trong lƣới đƣợc thực hiện theo
quy trình thơng thƣờng, tƣơng tự nhƣ bình sai gián tiếp kèm điều kiện, cụ thể là:
- Sai số trung phƣơng trọng số đơn vị:


V T PV
nk d

(1.37)

- Sai số trung phƣơng của hàm số:
mF  

1
PF

(1.38)

Trong đó:
1
 f T R~ f
PF

(1.39)

20

Trong các công thức trên: n là số trị đo, k là số ẩn số , d là số khuyết và f
là vector hệ số khai triển của hàm số.
1.2.2. Tính ma trận

ả n hịch đảo

Để tiếp tục hồn thiện cơ sở tốn học của phƣơng pháp bình sai lƣới tự
~

do cần xác định đƣợc biểu thức tính các ma trận R và T.
R
C T


C  R ~

0  T T

T
E
0

(1.40)

R ~
 T
T

T  R

0  C T

C
E
0 

(1.41)

Triển khai (1.40) sẽ xác định đƣợc các đẳng thức
RR~ + CTT = E

(1.42a)

RT = 0

(1.42b)

CTR~ = 0

(1.42c)

CTT = E

(1.42d)

Từ biểu thức (1.41) suy ra :
T

R~R + TC = E

(1.43a)

R~C = 0

(1.43b)

T

T R=0
T

T C=E

(1.43c)
(1.43d)

1.2.2.1. Tính ma trận T
Viết lại đẳng thức (1.43a) dƣới dạng
TCT = E - R~R
Nhân hai vế của biểu thức trên với ma trận B (kích thƣớc k  d ) sẽ thu đƣợc:
TCTB = B - R~RB


21

Nếu ma trận B thoả mãn tính chất:
RB = 0

(1.44)

thì R~ RB = 0 và sẽ thu đƣợc biểu thức tính ma trận T nhƣ sau
T = B(CTB)-1

(1.45)

1.2.2.2. Tính ma trận R~
Có thể viết biểu thức (1.42a) dƣới dạng
(R + CP0CT - CP0CT)R~ = E - CTT
Với : P0 là ma trận kích thƣớc (d x d), khơng suy biến
~

Do CTR = 0 (đẳng thức 1.42c) suy ra
(R + CP0CT ) R~ = E - CTT
Từ đó
R~= (R + CP0CT)-1 - (R + CP0CT)-1CTT
T

Mặt khác: RT = 0 và C T = E nên có thể viết ma trận C dƣới dạng
C = (R + CP0CT) TP0-1
Nhƣ vậy
-1

(R + CP0CT) C = TP0

-1

Cuối cùng sẽ xác định đƣợc

R~ = (R + CP0CT)-1 - TP0-1TT

(1.46)

Đặc biệt khi P0 = E
R~ = (R + CCT)-1 - TTT

(1.47)

Ma trận R~ thoả mãn hai đẳng thức :
RR~R = R

(1.48)

R~RR~= R~

(1.49)


22

Thực vậy, nhân 2 vế của (1.43a) với R và để ý rằng RT = 0 (tính chất
~

1.42b) sẽ thu đƣợc công thức (1.48). Nhân 2 vế của đẳng thức (1.42a) với R ,
kết hợp với (1.43b) sẽ xác định đƣợc đẳng thức (1.49)
~

Trƣờng hợp đặc biệt, khi C = B ma trận R đƣợc gọi là ma trận nghịch
+

đảo tổng quát và ký hiệu là R . Trong trƣờng hợp này sẽ có:
T = B(BTB)-1
Từ đây suy ra đẳng thức
BTT = TBT
Kết hợp với các biểu thức (1.42a), (1.43a) và sau một số phép biến đổi sẽ
xác định đƣợc thêm 2 tính chất đối với ma trận nghịch đảo tổng quát R+
(RR+)T = RR+

(1.50)

(R+R)T = R+R

(1.51)

Ma trận R~ còn đƣợc gọi là ma trận giả nghịch đảo dạng g2, còn ma trận
R+ là giả nghịch đảo g4, là trƣờng hợp đặc biệt của R~ và đƣợc xác định duy
nhất đối với R.
Trong công thức (1.46) chọn ma trận Po là ma trận đƣờng chéo dạng:
10 m



m
10

Po  
10 m



m

10 

(1.52)

Sẽ có:
~
T 1
1 T
lim ( R )  lim ( R  CP0C )  lim (TP0 T )
m

m

m

Do lim (TP01T T ) = 0
m
Nhƣ vậy với m đủ lớn, sẽ thu đƣợc cơng thức tính ma trận giả nghịch
đảo R~ dƣới dạng đơn giản hơn nhƣ sau:


23

R~ = (R+CPoCT)-1

(1.53)

Những tính tốn thử nghiệm cho thấy rằng, cơng thức (1.53) có đủ độ

chính xác khi chọn m  6.
1.2.3. Va trò của ma trận định vị và vector độ cao ần đún
1.2.3.1. Vai trò của ma trận định vị
Biểu thức C T . X  0 đƣợc đƣa vào trong quá trình bình sai lƣới độ cao tự
do với ý nghĩa là hệ điều kiện ràng buộc đối với vector ẩn số và có các tác
dụng:
1. Khử tính phụ thuộc các hàng của ma trận hệ phƣơng trình chuẩn R.
2. Định vị mạng lƣới tự do.
Vì vậy có thể gọi ma trận C là ma trận định vị lƣới.
1.2.3.2. Vector độ cao gần đúng và kết quả bình sai lưới độ cao tự do
Giả sử vector độ cao gần đúng đƣợc lấy tƣơng ứng là X 1(0) , X2(0) sẽ có
các vector X1, X2 sau bình sai:
X1  X1

 x1  X 1

( 0)

X2  X2

( 0)

( 0)

 x2  X 2

 R ~ AT PL1

( 0)

 R ~ AT PL2

Do đó:
X 2  X1  X 2

( 0)

 X1

( 0)

 R ~ AT P( L2  L1 )

Bởi vì các vector số hạng tự do đƣợc xác định:
L1   ( X 1 )  y
( 0)

L2   ( X 2 )  y
(0)

Trong đó: y là vector trị đo.
Hiệu vector:
L2  L1  A( X 2

Do đó:

( 0)

 X1 )
( 0)