Nghiên cứu một số phương pháp chuyển đổi tọa độ và khả năng ứng dụng trong thực tế ở việt nam

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ - ĐỊA CHẤT

NGUYỄN THỊ THANH HIỀN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN ĐỔI
TỌA ĐỘ VÀ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG
TRONG THỰC TẾ Ở VIỆT NAM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT

HÀ NỘI – 2015


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC MỎ - ĐỊA CHẤT

NGUYỄN THỊ THANH HIỀN

NGHIÊN CỨU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHUYỂN ĐỔI
TỌA ĐỘ VÀ KHẢ NĂNG ỨNG DỤNG
TRONG THỰC TẾ Ở VIỆT NAM

Ngành: Kỹ thuật trắc địa – bản đồ
Mã số: 60520503

LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS ĐẶNG NAM CHINH

HÀ NỘI - 2015

1

LỜI CAM ĐOAN
Tơi xin cam đoan đây là cơng trình nghiên cứu của tôi. Các số liệu, kết quả
nêu trong luận văn là trung thực. Tôi xin chịu trách nhiệm về các nội dung trình bày
trong luận văn.
Hà Nội, tháng 4 năm 2015
Tác giả luận văn

Nguyễn Thị Thanh Hiền


2

MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN...................................................................................................... 1
MỤC LỤC ................................................................................................................. 2
DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU ............................................................................. 5
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ .................................................................................. 6
DANH MỤC CÁC PHỤ LỤC ................................................................................. 7
MỞ ĐẦU.................................................................................................................... 8
CHƯƠNG 1: CÁC HỆ TỌA ĐỘ VÀ CÁC HỆ QUY CHIẾU TRÁI ĐẤT....... 10
1.1. Hệ tọa độ, hệ quy chiếu, định nghĩa và phân loại ........................................ 10
1.2. Các hệ tọa độ gắn với Trái đất và mối liên hệ toán học ............................... 12
1.2.1. Hệ tọa độ trắc địa mặt cầu ...................................................................... 12
1.2.2. Hệ tọa độ vng góc khơng gian địa tâm ............................................... 13
1.2.3. Hệ tọa độ vng góc khơng gian địa diện chân trời ............................... 13
1.2.4. Hệ tọa độ cực địa diện chân trời............................................................. 14

1.2.5. Hệ tọa độ địa diện xích đạo .................................................................... 14
1.3. Sự tồn tại các hệ quy chiếu khác nhau ở Việt Nam và mối liên hệ giữa
chúng ........................................................................................................................ 15
1.3.1. Hệ quy chiếu của Pháp xây dựng trước năm 1945 ................................. 15
1.3.2. Hệ quy chiếu của Mỹ thành lập (INDIAN-1954) ................................... 16
1.3.3. Hệ quy chiếu HN-72 .............................................................................. 16
1.3.5. Hệ quy chiếu WGS-84 ........................................................................... 18
1.3.6. Khung quy chiếu Trái đất quốc tế ITRF................................................. 19
1.4. Một số công thức vi phân tọa độ trắc địa ...................................................... 20
1.4.1. Các công thức vi phân loại một.............................................................. 20
1.4.2. Các công thức vi phân loại hai ............................................................... 24
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHÉP CHIẾU TỌA ĐỘ VUÔNG GĨC PHẲNG
THƯỜNG DÙNG ................................................................................................... 25
2.1. Phép chiếu hình trụ ngang đồng góc (Gauss-Kruger và UTM) .................. 25


3

2.1.1. Phép chiếu Gauss-Kruger....................................................................... 25
2.1.2. Phép chiếu UTM .................................................................................... 27
2.2. Các cơng thức tính đổi tọa độ UTM được rút gọn ....................................... 31
2.2.1. Các cơng thức tính tọa độ vng góc phẳng x, y theo tọa độ trắc địa B, L ... 31
2.2.2. Các cơng thức tính tọa độ trắc địa B, L theo tọa độ vng góc phẳng x, y ... 32
2.3. Khảo sát độ chính xác các cơng thức tính đổi tọa độ trong phép chiếu UTM
.................................................................................................................................. 33
2.3.1. Khảo sát cơng thức chính xác của Bomford ........................................... 34
2.3.2. Khảo sát các công thức Bomford rút gọn ............................................... 38
2.4. Phép chiếu hình trụ đứng Mercator .............................................................. 42
2.4.1. Khái niệm............................................................................................... 42
2.4.2. Các cơng thức của phép chiếu Mercator đồng góc ................................. 45

2.5. Tính đổi tọa độ giữa phép chiếu hình trụ ngang (UTM) và hình trụ đứng
Mercator .................................................................................................................. 50
2.6. Tính đổi tọa độ phẳng UTM giữa các múi chiếu .......................................... 51
2.7. Tính chuyển tọa độ giữa các hệ vng góc phẳng khác hệ quy chiếu ........ 52
2.7.1. Tính chuyển theo cơng thức Helmert ..................................................... 52
2.7.2. Tính chuyển theo cơng thức Affine........................................................ 55
2.7.3. Tính chuyển theo hàm đa thức bậc hai ................................................... 56
CHƯƠNG 3: TÍNH CHUYỂN TỌA ĐỘ VNG GĨC KHƠNG GIAN VÀ
TỌA ĐỘ TRẮC ĐỊA GIỮA CÁC HỆ QUY CHIẾU.......................................... 58
3.1. Phương pháp xác định các tham số tính chuyển tọa độ dựa vào các điểm
song trùng ................................................................................................................ 58
3.1.1. Tác dụng của các điểm song trùng trong tính chuyển tọa độ.................. 58
3.1.2. Phương pháp sử dụng công thức vi phân................................................ 59
3.1.3. Phương pháp 7 tham số .......................................................................... 61
3.1.4. Tính chuyển theo đa thức bậc nhất với 12 tham số ................................ 64
3.1.5. Tính chuyển tọa độ theo mơ hình 14 tham số......................................... 66
3.2. Khảo sát một số phương pháp tính chuyển tọa độ ....................................... 67


4

3.3. Tính chuyển tọa độ trong thơng báo hàng hải .............................................. 74
3.3.1. Khái quát về công tác thông báo hàng hải.............................................. 74
3.3.2. Tính chuyển tọa độ VN-2000 và WGS-84 trong thơng báo hàng hải ..... 75
CHƯƠNG 4: ÁP DỤNG TÍNH CHUYỂN TỌA ĐỘ ĐỂ TÍNH CHUYỂN MƠ
HÌNH GEOID EGM 2008 KHU VỰC VIỆT NAM ............................................ 78
4.1. Mơ hình Geoid, phân loại và các phương pháp xây dựng mơ hình Geoid ....... 78
4.1.1. Mơ hình Geoid ....................................................................................... 78
4.1.2. Phân loại mơ hình Geoid ........................................................................ 79
4.1.3. Các phương pháp xây dựng mơ hình Geoid ........................................... 79

4.2. Ảnh hưởng của hệ quy chiếu trong các mơ hình Geoid [7] ......................... 82
4.3. Tính chuyển dữ liệu mơ hình Geoid sang hệ quy chiếu khác ...................... 83
4.4. Tính chuyển mơ hình Geoid EGM 2008 phần lãnh thổ Việt Nam sang hệ
VN-2000. .................................................................................................................. 89
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ................................................................................ 95
TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................... 97
PHỤ LỤC ................................................................................................................ 98


5

DANH MỤC CÁC BẢNG BIỂU
Bảng 2.1. Tọa độ trắc địa B, L và tọa độ vng góc phẳng x, y trước tính đổi .... 34
Bảng 2.2. So sánh tọa độ B, L trước và sau tính đổi theo cơng thức Bomford
đầy đủ. ................................................................................................................. 36
Bảng 2.3. So sánh tọa độ x, y trước và sau tính đổi theo cơng thức Bomford
đầy đủ. ................................................................................................................. 37
Bảng 2.4. So sánh tọa độ B, L giữa công thức Bomford đầy đủ và công thức
rút gọn tới bậc 5. ................................................................................................. 38
Bảng 2.5. So sánh tọa độ x, y giữa công thức Bomford đầy đủ và công thức
rút gọn tới bậc 5. ................................................................................................. 39
Bảng 2.6. So sánh sánh tọa độ B, L giữa công thức Bomford đầy đủ và công thức
Bomford rút gọn tới bậc 3. ................................................................................... 40
Bảng 2.7. So sánh sánh tọa độ x, y giữa công thức Bomford đầy đủ và công thức
Bomford rút gọn tới bậc 3. ................................................................................... 41
Bảng 3.1. Các tham số tính chuyển tọa độ giữa ITRF2000 và GDA94 ............... 67
Bảng 3.2. Tọa độ B, L, H 14 điểm cả nước trong hệ VN-2000 ............................ 68
Bảng 3.3. So sánh tọa độ B, L, H trước và sau tính chuyển theo phương pháp 7
tham số với 14 điểm cả nước................................................................................ 69
Bảng 3.4. So sánh kết quả tính chuyển tọa độ B, L, H theo phương pháp 7 tham số

và phương pháp vi phân với 14 điểm cả nước ...................................................... 70
Bảng 3.5. So sánh kết quả tính chuyển tọa độ B, L, H theo phương pháp dùng
cơng thức 7 tham số rút gọn (3góc Euler bằng 0, m=1) và phương pháp dùng công
thức vi phân với 14 điểm cả nước ........................................................................ 72
Bảng 3.6. So sánh kết quả tính chuyển tọa độ VN-2000 và WGS-84 trong thông
báo hàng hải giữa phương pháp 7 tham số và phương pháp vi phân .................... 75
Bảng 4.1. Các tham số tính chuyển tọa độ giữa hệ WGS-84 và VN-2000 ........... 85
Bảng 4.2. So sánh kết quả tính chuyển giữa mơ hình Geoid EGM 2008 và hệ VN2000 ..................................................................................................................... 90


6

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 1.1. Hệ tọa độ trắc địa mặt cầu. ....................................................................... 12
Hình 1.2. Hệ tọa độ vng góc khơng gian địa tâm. ................................................ 13
Hình 1.3. Hệ tọa độ vng góc khơng gian địa diện chân trời. ................................ 14
Hình 1.4. Hệ tọa độ địa diện xích đạo. ..................................................................... 15
Hình 2.1. Hệ tọa độ vng góc phẳng Gauss-Kruger............................................... 26
Hình 2.2. Phép chiếu UTM....................................................................................... 28
Hình 2.3. Sơ đồ khảo sát cơng thức tính đổi tọa độ B, L sang x, y .......................... 33
Hình 2.4. Sơ đồ khảo sát cơng thức tính đổi tọa độ x, y sang B, L .......................... 33
Hình 2.5. Sơ đồ tổng hợp tính tốn khảo sát các cơng thức tính đổi tọa độ theo phép
chiếu UTM................................................................................................................ 33
Hình 2.6. Vị trí các điểm khảo sát tính đổi tọa độ UTM .......................................... 35
Hình 2.7. Phép chiếu hình trụ đứng một vĩ tuyến chuẩn .......................................... 43
Hình 2.8. phép chiếu hình trụ đứng hai vĩ tuyến chuẩn............................................ 43
Hình 2.9. Bản đồ lưới chiếu Mercator ...................................................................... 44
Hình 2.9. Gốc tọa độ vng góc phẳng. ................................................................... 47
Hình 2.10. Tính chuyển theo cơng thức Helmert ..................................................... 53
Hình 3.1. Hai hệ tọa độ song song với nhau............................................................. 60

Hình 3.2. Ảnh vệ tinh tỷ lệ nhỏ thể hiện 4 điểm E-F-G-H vùng nước trước bến số 1
cảng Cái Lân, Quảng Ninh. ...................................................................................... 76
Hình 3.3. Ảnh vệ tinh tỷ lệ lớn thể hiện các vị trí neo đậu tàu khu vực cảng Quảng Ninh.77
Hình 4.1. Mơ hình trọng trường tồn cầu EGM-96.................................................. 81
Hình 4.2. Quasigeoid GCG05 của cộng hịa liên bang Đức..................................... 81
Hình 4.3. Mơ hình Geoid EGM 2008 trên lãnh thổ Việt Nam ................................. 83
Hình 4.4. Sơ đồ các đường đẳng dị thường độ cao trong hệ WGS-84 (khoảng cao
đều 1m) ..................................................................................................................... 92
Hình 4.5. Sơ đồ các đường đẳng dị thường độ cao trong hệ VN-2000 (khoảng cao đều
1m) ............................................................................................................................ 93
Hình 4.6. Mơ hình Geoid trước tính chuyển trong hệ WGS-84 ............................... 94
Hình 4.7. Mơ hình Geoid sau tính chuyển trong hệ VN-2000 ................................. 94


7

DANH MỤC CÁC PHỤ LỤC
Phụ lục 1: Tính chuyển tọa độ B, L sang x, y theo công thức Bomford đầy đủ.
Phụ lục 2: Tính chuyển tọa độ x, y sang B, L theo công thức Bomford đầy đủ.
Phụ lục 3: Tính chuyển tọa độ B, L sang x, y theo công thức Bomford rút gọn tới
bậc 4, 5.
Phụ lục 4: Tính chuyển tọa độ x, y sang B, L theo công thức Bomford rút gọn tới
bậc 4, 5.
Phụ lục 5: Tính chuyển tọa độ B, L sang x, y theo công thức Bomford rút gọn tới
bậc 2, 3.
Phụ lục 6: Tính chuyển tọa độ x, y sang B, L theo công thức Bomford rút gọn tới
bậc 2, 3.
Phụ lục 7: Tính chuyển tọa độ VN-2000 sang WGS-84 khu vực Cái Lân, Quảng
Ninh.
Phụ lục 8: Tính chuyển tọa độ VN-2000 sang WGS-84 với 14 điểm cả nước theo

phương pháp 7 tham số và phương pháp vi phân.
Phụ lục 9: Tính chuyển tọa độ VN-2000 sang WGS-84 với 14 điểm cả nước theo
phương pháp dùng công thức 7 tham số rút gọn (3 góc xoay Euler bằng 0, tỉ lệ dài
m bằng 1) và phương pháp vi phân.
Phụ lục 10: Mô hình Geoid EGM 2008 trong hệ WGS-84 với 77361 điểm cả nước.
Phụ lục 11: Mơ hình Geoid EGM 2008 trong hệ VN-2000 với 77361 điểm cả nước.
Phụ lục 12: Thông báo hàng hải về thông số kỹ thuật của vùng nước trước bến số 1,
5, 6, 7 cảng Cái Lân và vị trí các điểm neo tàu khu vực cảng Cái Lân, Quảng Ninh.
Phụ lục 13: Quyết định số 05-2007/QQD-BTNMT về sử dụng hệ thống tham số
tính chuyển giữa Hệ tọa độ quốc tế WGS-84 và Hệ tọa độ quốc gia VN-2000.


8

MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Trong q trình phát triển, các quốc gia đều phải xây dựng hệ quy chiếu và
hệ tọa độ để phục vụ cho các mục đích khác nhau của nền kinh tế quốc dân và quốc
phòng,.vv.. Nhiều quốc gia trên thế giới, theo sự phát triển của thời gian, do quá
trình hội nhập kinh tế thế giới, đòi hỏi một quốc gia còn phải sử dụng đồng thời
nhiều hệ quy chiếu khác nhau. Có thể ví dụ như: các tổ chức hàng khơng, tổ chức
hàng hải quốc tế yêu cầu các quốc gia trong hiệp hội cung cấp tọa độ trong hệ
WGS-84; trong quá trình đàm phán hoạch định biên giới quốc gia giữa Việt nam
với các nước láng giềng đều thống nhất thiết lập lưới tọa độ và đo vẽ bản đồ trong
hệ tọa độ ITRF. Như vậy, ngoài hệ quy chiếu VN-2000 chúng ta còn sử dụng nhiều
hệ quy chiếu khác như INDIAN-1954, HN-72, WGS-84, ITRF,.vv..
Về phương diện lý thuyết, đã có những cơng thức và phương pháp tính tốn
chuyển đổi tọa độ cùng sự hỗ trợ của máy tính điện tử, vấn đề tính đổi tọa độ và
tính chuyển tọa độ được giải quyết nhanh và chính xác tới milimet. Vấn đề là sử
dụng đúng cơng thức và số lẻ tính tốn cần thiết phù hợp đối với từng mục đích sử

dụng để hiệu quả thu được được tối ưu nhất.
Vì thế em lựa chọn đề tài cho mình là:
“Nghiên cứu một số phương pháp chuyển đổi tọa độ và khả năng ứng dụng
trong thực tế ở Việt Nam”
2. Mục đích của đề tài
Nghiên cứu một số phương pháp chuyển đổi tọa độ và khả năng ứng dụng
trong thực tế ở Việt Nam.
3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Do sự hạn chế về số liệu thực nghiệm, đối tượng nghiên cứu chủ yếu của luận
văn là nghiên cứu và tìm hiểu, phân tích cơ sở lý thuyết của một số phương pháp tính


9

chuyển đổi tọa độ, thu thập số liệu thực nghiệm, xác định các yếu tố ảnh hưởng tới
kết quả tính chuyển đổi tọa độ và khả năng ứng dụng trong thực tế ở Việt Nam.
4. Nội dung nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu, tìm hiểu, phân tích cơ sở lý thuyết của
một số phương pháp tính chuyển đổi tọa độ, tổng hợp và phân tích các nguồn tài
liệu thực nghiệm cùng các tài liệu thu thập được về một số phương pháp chuyển
đổi tọa độ để phân tích khả năng sử dụng các phương pháp chuyển đổi tọa độ
này ở Việt Nam.
5. Phương pháp nghiên cứu
Để thực hiện các nhiệm vụ đặt ra của đề tài, tác giả sử dụng phương pháp
nghiên cứu là tổng hợp, phân tích, so sánh các tài liệu lý thuyết, một phần số liệu
thực nghiệm và yêu cầu thực tiễn để đề xuất áp dụng một số phương pháp chuyển
đổi tọa độ ở Việt Nam.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Trong thực tiễn của công tác trắc địa - bản đồ, người ta sử dụng một số hệ
tọa độ và một số hệ quy chiếu khác nhau. Từ đó, người làm cơng tác trắc địa bản đồ

có thể phải giải quyết một số nhiệm vụ tính tốn chuyển đổi tọa độ giữa các hệ tọa
độ và giữa các hệ quy chiếu. Về phương diện lý thuyết, đã có những cơng thức và
phương pháp tính tốn chuyển đổi tọa độ. Tuy nhiên để vận dụng tốt các công thức
và các phương pháp đó, cần hiểu biết sâu về bản chất, đặc điểm cũng như các yếu tố
ảnh hưởng đến kết quả tính tốn chuyển đổi tọa độ.
7. Cấu trúc luận văn
Ngồi phần mở đầu và kết luận, nội dung của luận văn bao gồm 04 chương
được trình bày trong 100 trang, cùng các hình, bảng.
Em xin chân thành cảm ơn sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy giáo PGS.TS
Đặng Nam Chinh cùng các thầy cô trong bộ môn trắc địa cao cấp đã giúp đỡ em
hoàn thành đồ án này.
Em xin trân trọng cảm ơn!


10

CHƯƠNG 1: CÁC HỆ TỌA ĐỘ VÀ CÁC HỆ QUY CHIẾU TRÁI ĐẤT
1.1. Hệ tọa độ, hệ quy chiếu, định nghĩa và phân loại [4]
Như chúng ta đã biết, trái đất cũng như các hành tinh khác liên tục vận động
trong không gian vô tận của vũ trụ. Để nghiên cứu một đối tượng chuyển động
trong không gian cần phải xây dựng hệ quy chiếu. Để phân biệt sự khác nhau giữa
một số khái niệm, cần phải xem xét các định nghĩa sau:
- Hệ tọa độ (Coordinate System)
Là cơ sở tốn học cùng phương pháp biểu diễn vị trí các điểm trong không
gian bằng các giá trị tọa độ.
- Hệ quy chiếu (Reference System)
Là tập hợp các điều khoản, các quy ước kèm theo việc mơ tả các mơ hình
cần thiết để định nghĩa gốc, tỷ lệ và phương hướng các trục tọa độ cùng sự biến đổi
của nó theo thời gian. Hệ quy chiếu bao gồm định nghĩa về hệ tọa độ 3D (có các
tham số hình học xác định) và các tham số vật lý liên quan.

- Khung quy chiếu (Reference Frame)
Khung quy chiếu là triển khai hệ quy chiếu trên thực tế bởi tập hợp các điểm
hay các đối tượng tồn tại trong không gian, được quan trắc, xử lý và xác định tọa độ
cùng sự thay đổi của chúng trong hệ quy chiếu đó.
Trước đây, ba khái niệm trên thường không phân biệt rõ ràng và thường sử
dụng lẫn cho nhau. Với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kỹ thuật trong lĩnh vực
trắc địa đòi hỏi phải phân biệt rõ những khái niệm trên.
Như vậy, một hệ quy chiếu được xây dựng bởi các quy tắc, quy định về hệ
tọa độ, hệ thời gian và các tham số vật lý. Những quy định đó được mơ tả chặt chẽ
song chỉ mang tính lý thuyết, để nó tồn tại trên thực tế thì phải thực hiện quan sát
hoặc đo đạc, tính tốn để bảo đảm bằng tọa độ của các thiên thể (đối với hệ quy
chiếu thiên thể) hoặc tọa độ của các điểm trên mặt đất (đối với hệ quy chiếu Trái
đất) xác định trong hệ quy chiếu đó. Khi đó ta đã có một khung quy chiếu. Về bản
chất, khung quy chiếu là thực thi một hệ quy chiếu.


11

Trước đây, vị trí điểm trên mặt đất được chia thành 2 thành phần riêng biệt
đó là vị trí mặt bằng (2D) và độ cao (1D). Với hai thành phần này người ta xây
dựng các “Hệ quy chiếu” riêng biệt đó là cơ sở gốc trắc địa mặt bằng (Horizontal
Geodetic Datum) và cơ sở gốc độ cao (Vertical Datum). Có thể nhận thấy rằng thực
tế này gắn liền một thời kỳ dài trong lịch sử, con người đã đo đạc các mạng lưới
mặt bằng và các mạng lưới độ cao độc lập với nhau, bằng máy móc, kỹ thuật khác
nhau và bình sai tính tốn cũng tách biệt với nhau.
Từ những năm 1970 trở lại đây, kỹ thuật trắc địa không gian (VLBI, SLR,
LLR) và lý thuyết trắc địa 3D (Three Dimensional Geodesy) được phát triển, trong
đó vấn đề xây dựng hệ quy chiếu 3D là một yêu cầu bắt buộc.
Từ những năm 1980, hệ thống định vị vệ tinh toàn cầu GPS được ứng dụng
rộng rãi trong trắc địa, với công nghệ này không thể tách rời vấn đề xác định thời

gian chính xác. Như H. Morizt đã nói, chuyển sang trắc địa vệ tinh, chúng ta phải
xây dựng hệ quy chiếu 4D cho cả không gian và thời gian.
Rõ ràng là cùng với sự phát triển của công nghệ quan trắc, lý thuyết cơ sở
của trắc địa cao cấp cũng khơng ngừng được phát triển và hồn thiện.
Trong trắc địa cao cấp cần thiết phải xây dựng các hệ quy chiếu cố định
trong không gian (Space Fixed Reference Systems) còn gọi là các hệ quy chiếu thiên
thể hay hệ quy chiếu sao (Celestial Reference Systems-CRS) và các hệ quy chiếu cố
định với trái đất (Earth Fixed Reference Systems), gọi là các hệ quy chiếu Trái đất
(Terrestrial Reference Systems-TRS).
Hệ tọa độ là cơ sở toán học của một hệ quy chiếu. Từ lâu người ta sử dụng
hệ tọa độ Đề Các để thiết lập hệ tọa độ cơ sở cho hệ quy chiếu. Với một hệ tọa
độ, cần làm rõ gốc tọa độ, các trục tọa độ, các mặt cơ sở và các thành phần tọa
độ. Giữa hệ tọa độ Đề-Các, hệ tọa độ cầu (xét trên hình cầu) và hệ tọa độ trắc địa
trên Ellipsoid có mối liên hệ tốn học được xác định bởi các cơng thức toán học
chặt chẽ.


12

1.2. Các hệ tọa độ gắn với Trái đất và mối liên hệ toán học [4]
1.2.1. Hệ tọa độ trắc địa mặt cầu
Trên Ellipsoid hình (1.1), vị trí điểm được biểu thị qua các thành phần tọa độ sau:
· Độ vĩ trắc địa B.
· Độ kinh trắc địa L.
· Độ cao trắc địa H.
Cùng các định nghĩa sau :
· Độ vĩ trắc địa B: là góc hợp bởi pháp tuyến qua điểm xét và mặt phẳng xích đạo.
· Độ kinh trắc địa: là góc nhị diện giữa mặt phẳng kinh tuyến gốc (Grinuych)
và mặt phẳng kinh tuyến qua điểm xét.
· Độ cao trắc địa H: là khoảng cách tính theo phương pháp tuyến từ điểm xét

tới mặt Ellipsoid.
Để biểu thị vị trí mặt bằng chính xác đến 1mm, thì giá trị tọa độ B, L phải
tính đến 0,00003’’, tức là phải có 5 chữ số lẻ có nghĩa sau đơn vị giây.

Hình 1.1. Hệ tọa độ trắc địa mặt cầu.


13

1.2.2. Hệ tọa độ vng góc khơng gian địa tâm
Hệ tọa độ này có gốc tọa độ trùng với tâm O của Ellipsoid Trái đất, trục Z
trùng với trục quay của Ellipsoid, trục X trùng với giao tuyến của mặt phẳng xích
đạo và mặt phẳng kinh tuyến gốc (G), trục Y vng góc với trục X và trục Z tạo
thành một tam diện thuận (Hình 1.2).
Vị trí điểm P được xác định bởi 3 tọa độ (X,Y, Z).
Hệ tọa độ không gian này không chỉ dùng để xác định vị trí các điểm nằm
trên mặt Ellipsoid, mà cịn được dùng để xác định tất cả các điểm nằm trong không
gian, ngoài và trong mặt Ellipsoid.
Tọa độ của một điểm xét P trong hệ tọa độ vng góc khơng gian địa tâm là
P(X,Y,Z).

Hình 1.2. Hệ tọa độ vng góc khơng gian địa tâm.
1.2.3. Hệ tọa độ vng góc khơng gian địa diện chân trời
Lấy một điểm T0 trên mặt đất làm gốc tọa độ. Lấy phương pháp tuyến tại T0
làm trục z. Trục x là giao tuyến của mặt phẳng kinh tuyến qua T0 và mặt phẳng nằm
ngang vng góc với pháp tuyến tại T0, trục x hướng về cực Bắc. Trục y vng góc
với trục z và trục x và hướng về phía Đơng (Hình 1.3). Chính vì có các trục như vậy
cho nên người ta cịn kí hiệu các trục và các thành phần tọa độ trong hệ tọa độ
vng góc khơng gian địa diện chân trời là N (North), E (East), U (Up) thay cho
x, y, z.

14

Trong hệ tọa độ vng góc khơng gian địa diện chân trời, tọa độ x, y (N,E )
được thể hiện trên mặt phẳng ngang (tại T0), được coi là tọa độ mặt bằng của điểm,
và mang tính cục bộ.

Hình 1.3. Hệ tọa độ vng góc khơng gian địa diện chân trời.
1.2.4. Hệ tọa độ cực địa diện chân trời
Trong một số trường hợp cần thể hiện vị trí điểm quan sát trên không gian
(như vệ tinh .v.v.), chúng ta phải thể hiện vị trí quan sát trong hệ tọa độ cực địa diện
chân trời, bao gồm bán kính vecto từ điểm T0 đến điểm quan sát, kí hiệu là ρ; góc
phương vị điểm quan sát là A (Azimuth) và góc cao của điểm quan sát là E
(Elevation) (Hình 1.3).
Phương vị A có giá trị từ 00 đến 3600, góc cao E có giá trị từ 00 đến 900 cịn
bán kính vecto ρ có giá trị từ 0 đến ∞.
1.2.5. Hệ tọa độ địa diện xích đạo
Hệ tọa độ địa diện xích đạo là hệ tọa độ vng góc khơng gian (3 chiều) có
gốc tọa độ O trùng với điểm T0 trên mặt đất (Hình 1.4). Các trục tọa độ là
). Trong đó trục
phẳng

song song với trục OZ của hệ tọa độ địa tâm mặt

song song với mặt phẳng xích đạo XOY, và các trục tọa độ tương ứng

song song với OX, OY.

15

Hình 1.4. Hệ tọa độ địa diện xích đạo.
1.3. Sự tồn tại các hệ quy chiếu khác nhau ở Việt Nam và mối liên hệ giữa
chúng [4]
1.3.1. Hệ quy chiếu của Pháp xây dựng trước năm 1945
Khi đặt chân đến Việt Nam, thực dân Pháp đã tiến hành ngay việc xây dựng
hệ quy chiếu và hệ thống tọa độ điểm quốc gia. Với những đặc trưng cơ bản sau :
· Ellipsoid quy chiếu: Ellipsoid Clarke.
· Bán trục lớn: a = 637249 m.
· Độ dẹt: f = 1/294,97.
· Điểm gốc: Đặt tại cột cờ Hà Nội.
· Sử dụng lưới chiếu tọa độ phẳng Bonne.
· Kinh tuyến chuẩn cho lãnh thổ Đông Dương: 111grad.
· Vĩ tuyến chuẩn: 19grad.
Lưới chiếu này khơng có sai số chiều dài và diện tích trên đường kinh tuyến
dọc theo lãnh thổ Đơng Dương. Ngồi phạm vi của đường kinh tuyến này thì sai số
về góc và chiều dài rất lớn cụ thể là càng xa kinh tuyến, vĩ tuyến chuẩn thì sai số
càng lớn.
Tuy nhiên hệ quy chiếu này đến nay chỉ còn mang ý nghĩa lịch sử, khơng cịn
mang ý nghĩa thực tế. Hiện nay hầu như khơng cịn một điểm tọa độ nào cịn tồn tại
ở thực địa nhưng một số bản đồ lưới chiếu Bonne vẫn còn giá trị sử dụng.


16

1.3.2. Hệ quy chiếu của Mỹ thành lập (INDIAN-1954)
Khi đế quốc Mỹ đến miền Nam nước ta cũng đã bắt tay ngay vào xây dựng
một hệ quy chiếu và hệ thống điểm tọa độ quốc gia trên cơ sở bổ sung lưới tọa độ
do Pháp xây dựng với những đặc trưng sau:

· Ellipsoid quy chiếu: Ellipsoid Everest 1830.
· Bán trục lớn: a = 6377276 m.
· Độ dẹt: f = 1/300,80.
· Điểm gốc tọa độ: Đặt tại Ấn Độ.
· Sử dụng lưới chiếu phẳng UTM.
· Kinh tuyến chuẩn: Grinuych được sử dụng để thành lập bản đồ địa hình khu
vực Đơng Nam Á những năm 1956-1957.
· Vĩ tuyến chuẩn: Xích đạo.
Hệ quy chiếu của Mỹ có tính phù hợp chung cho tồn bộ khu vực Đơng Nam Á.

Hiện nay khơng cịn điểm tọa độ nào có giá trị sử dụng tại Việt Nam nhưng
vẫn còn một số lượng nhất định tư liệu bản đồ được sử dụng trong thực tiễn.
1.3.3. Hệ quy chiếu HN-72
Dưới sự giúp đỡ của các chuyên gia Liên Xô và Trung Quốc, từ năm 19591972, Cục Đo đạc-Bản đồ nhà nước đã xây dựng Hệ quy chiếu HN-72 với những
đặc trưng cơ bản sau:
· Ellipsoid quy chiếu: Ellipsoid Krasovski.
· Bán trục lớn: a = 6378245 m.
· Độ dẹt: f = 1/298,30.
· Điểm gốc tọa độ: Đặt tại Punkuvo, Liên Xơ.
· Gốc độ cao: Đặt tại Hịn Dấu, Đồ Sơn, Hải Phòng.
· Sử dụng lưới chiếu phẳng Gauss-Kruger.
· Kinh tuyến chuẩn: Kinh tuyến Grinuych.
· Vĩ tuyến chuẩn: Xích đạo.
Hệ quy chiếu HN-72 đã từng được sử dụng tại Việt Nam do nó có 2 ưu
điểm sau:


17

· Hình thành tập quán kỹ thuật đã quen thuộc trong vịng 40 năm nay.

· Có thể tiếp tục sử dụng hệ thống bản đồ cơ bản trên phạm vi miền Bắc mà
khơng cần gia cơng thêm.
Tuy nhiên hệ cịn tồn tại những nhược điểm sau đây:
· Hệ quy chiếu HN-72 chưa được định vị phù hợp với Việt Nam, độ cao Geoid
trung bình lên tới khoảng 30m, gây nên sự biến dạng không cần thiết khi chiếu các
yếu tố từ mặt đất tự nhiên về mặt Ellipsoid quy chiếu.
· Hệ quy chiếu HN-72 chưa được đo nối chính xác với các hệ quy chiếu quốc
tế nên gặp khó khăn trong việc ứng dụng cơng nghệ định vị tồn cầu độ chính xác
cao cũng như trong việc thống nhất giải quyết các vấn đề khu vực và toàn cầu như
dẫn đường bay hàng không, quản lý giao thông hàng hải và hoạch định biên giới
trên đất liền và biển.v.v.
· Lưới chiếu Gauss-Kruger gây biến dạng lưới chiếu lớn hơn lưới chiếu UTM,
không thuận lợi cho việc trao đổi tư liệu trao đổi tư liệu bản đồ để giải quyết các bài
toán quốc tế và khu vực.
1.3.4. Hệ quy chiếu VN-2000
Cả 3 hệ quy chiếu đã trình bày ở trên đều chưa thực sự hợp lý cho lãnh thổ
nước ta. Vì vậy việc lựa chọn một hệ quy chiếu mới mang tính quốc gia cho đất
nước ta là một yêu cầu cần thiết và đó chính là hệ VN-2000. Theo quyết định của
Thủ tướng chính phủ tháng 7 năm 2000, hệ quy chiếu và hệ tọa độ VN-2000 được
chính thức đưa vào sử dụng thay thế hệ HN-72.
Hệ quy chiếu VN-2000 có các đặc trưng sau:
· Ellipsoid quy chiếu: Ellipsoid WGS-84 được định vị phù hợp với lãnh thổ
Việt Nam.
· Bán trục lớn: a = 6378137 m.
· Độ dẹt: f = 1/298.257223563.
· Điểm gốc tọa độ quốc gia N00 đặt tại khn viên Viện Nghiên cứu Địa
chính, đường Hồng Quốc Việt, Hà Nội.
· Gốc độ cao: Đặt tại Hòn Dấu, Đồ Sơn, Hải Phòng.

18

· Sử dụng lưới chiếu phẳng UTM.
· Kinh tuyến chuẩn: Kinh tuyến Grinuych.
· Vĩ tuyến chuẩn: Xích đạo.
Hệ VN-2000 được định vị chặt chẽ và đảm bảo độ chính xác cao nhất
có thể.
Hệ quy chiếu VN-2000 có Ellipsoid quy chiếu là Ellipsoid WGS-84 được
định vị phù hợp với lãnh thổ Việt Nam. Mặt khác Ellipsoid WGS-84 lại đang được
áp dụng rộng rãi trên toàn thế giới, điều này đảm bảo khi cần có thể chuyển đổi hệ
VN-2000 với hệ quy chiếu quốc tế và khu vực, làm tăng khả năng trao đổi thông tin
với các quốc gia và các tổ chức trên toàn thế giới, phù hợp với việc áp dụng công
nghệ mới như công nghệ GPS và một số công nghệ khác.
Hệ quy chiếu VN-2000 sử dụng lưới chiếu phẳng UTM. Đây là lưới chiếu có
tính thống nhất cao theo tiêu chuẩn quốc tế, độ biến dạng do phép chiếu khá nhỏ và
nhỏ hơn nhiều phép chiếu Gauss-Kruger, đã quen thuộc ở Việt Nam trong một thời
gian dài sử dụng các bản đồ do Mỹ để lại sau năm 1975.
Mơ hình Geoid sử dụng là mơ hình Geoid-99 hồn toàn đủ độ tin cậy để áp
dụng trong thực tết tính tốn.
1.3.5. Hệ quy chiếu WGS-84
Từ năm 1980 Bộ quốc phòng Mỹ đã đưa ra ý tưởng xây dựng một hệ quy
chiếu quốc tế thống nhất cho toàn Trái đất. Đến năm 1984 hệ quy chiếu khá hoàn
chỉnh WGS-84 (World Geodetic System 1984) đã được thừa nhận. Đây là một hệ
quy chiếu cho Trái đất bao gồm các tham số sau:
· Kích thước Ellipsoid quy chiếu WGS-84: bán trục lớn a = 637137; độ dẹt
f = 1/298.257223563.
· Tốc độ quay của Trái đất: ω = 7292115.8553×10-11 rad/s.
· Hằng số trọng lực Trái đất GM = 3986004.418×108 m3/s2.
· Mơ hình trường trọng lực Trái đất EGM-96: chuỗi điều hòa cầu tới bậc
n = m = 360 với 130.676 hệ số.

19

· Mơ hình Geoid EGM-96: mơ hình với lưới 15’×15’, độ chính xác cao Geoid
tại nút lưới là 0.5m–1.0m.
· Tốc độ tự quay bằng hệ số điều hòa J2 = 1.08263×10-3.
Hệ quy chiếu này đã đi vào đời sống kỹ thuật của thế giới vì nó gắn liền với
sự phát triển của công nghệ GPS.
Hệ quy chiếu WGS-84 xác định mơ hình trường trọng lực Trái đất EGM
(Earth Gravitational Model) và mơ hình độ cao Geoid (Geoid Heigh Model).
Mơ hình trường trọng lực Trái đất được thiết lập trên cơ sở chỉnh lý hỗn hợp
các số liệu trọng lực mặt đất và số liệu trọng lực vệ tinh. Mơ hình độ cao Geoid
EGM-96 được thiết lập trên cơ sở mô hình trường trọng lực Trái đất EGM-96.
1.3.6. Khung quy chiếu Trái đất quốc tế ITRF
Khung quy chiếu Trái đất quốc tế ITRF (International Terestrial Reference
Frame) là hệ quy chiếu Trái đất do tổ chức quốc tế đo GPS phục vụ địa động lực
IGS (InternationalGNSS Service) đề xuất phục vụ cho IERS và tính lịch vệ tinh
chính xác cho GPS.
Trên thực tế, Trái đất không phải là một vật thể rắn cố định mà có cực ln thay
đổi theo thời gian. Đó là hiện tượng chuyển dịch cực. Cùng với đó, trong quá trình Trái
đất tự quay quanh trục và chuyển động xung quanh mặt trời, trục quay của Trái đất lại
có phương vị thay đổi một lượng nhỏ mang tính chất chu kỳ đó là hiện tượng tuế sai và
chương động. Các hiện tượng này làm cho hệ tọa độ gắn với Trái đất cũng bị thay đổi
theo thời gian. Vì thế cần có một hệ quy chiếu có độ chính xác cao và thay đổi định kỳ
theo sự thay đổi của các hiện tượng tuế sai, chương động.
ITRF là hệ quy chiếu Trái đất có:
· Gốc tọa độ ở trọng tâm Trái đất (bao gồm cả đại dương và khí quyển bao
quanh Trái đất).
· Ellipsoid quy chiếu là Ellipsoid GRS-80.

20

Các yếu tố định hướng của các trục tọa độ và tỷ lệ chiều dài dựa trên kết quả
đo chính xác cạnh đáy dài VLBI và đo khoảng cách laser đến vệ tinh SLR được
IERS phân tích và cơng bố hàng năm.
Các lưới địa động trên thế giới đều lấy tọa độ ITRF làm điều kiện ràng buộc
để xây dựng hệ quy chiếu của mình. Do quan hệ phối hợp này tổ chức IGS cũng đã
được hình thành và phát triển. Trong tổ chức IGS, có một số trạm trung tâm làm
nhiệm vụ thu nhận thông tin GPS liên tục từ các trạm thành viên tính ra lịch vệ tinh
chính xác, các tham số vật lý của Trái đất, tọa độ của các trạm trong mạng lưới IGS
quốc tế và sai số đồng hồ của các trạm này,....
Hệ quy chiếu quốc tế được ký hiệu là ITRF-XY, trong đó XY là 2 số cuối
của năm IGS công bố các tham số của khung quy chiếu này. Ví dụ năm 1994 có
ITRF-94 với 13 trạm quan sát nhưng đến ITRF-97 đã có 51 trạm quan sát và đến
năm 2000 trên tồn thế giới đã có 150 trạm tham gia vào IGS, chúng được phân bố
ở hầu hết các châu lục. Các trạm thành viên có nhiệm vụ trong chương trình hợp tác
và cũng có quyền lợi trong việc khai thác và sử dụng hệ thống GPS.
1.4. Một số công thức vi phân tọa độ trắc địa [14] [15]
Các công thức vi phân loại 1 được đưa ra để xét sự thay đổi của tọa độ trắc
địa (điểm cuối) như là hàm của tọa độ điểm khởi đầu, phương vị và chiều dài của
đường trắc địa. Các công thức vi phân loại 2 biểu thị số cải chính cho tọa độ trắc địa
và hướng ảnh hưởng của sự thay đổi của bán trục a và độ dẹt f của Ellipsoid.
Các công thức vi phân được Bargatunhi (1967), Jordan, Zakatov (1962),
Grushinsky (1969) và Tobey (1927) đưa ra. Khi ước lượng sai số cho các bài tốn
trắc địa hoặc trong bình sai lưới trắc địa trong hệ tọa độ trắc địa (B, L, H) cần thiết
lập quan hệ vi phân giữa tọa độ trắc địa với các yếu tố hình học trên Ellipsoid như
chiều dài đường trắc địa S và phương vị trắc địa thuận ngược A1,2 , A2,1 .
1.4.1. Các công thức vi phân loại một

Các công thức vi phân loại một gồm hai dạng là các cơng thức vi phân cho
bài tốn trắc địa thuận và các công thức vi phân cho bài toán trắc địa nghịch.


21

a. Các công thức vi phân loại một cho bài tốn trắc địa thuận
Như đã giới thiệu trong mơn học Trắc địa cao cấp đại cương, mục tiêu của
bài toán trắc địa thuận (direct solution) là xác định tọa độ trắc địa B2, L2 và phương
vị ngược A2,1 (tại điểm cuối P2) cho biết tọa độ trắc địa B1, L1 và chiều dài đường
trắc địa S cùng phương vị thuận A1,2 (tại điểm đầu P1). Như vậy, theo toán học ta có
thể viết các cơng thức của bài tốn trắc địa thuận như sau:
B2 = f1 (B1, L1,A2,1,f)

(1.1)

L2 = f2 (B1, L1,A2,1,f)

(1.2)

A2,1 = f3 (B1, L1,A2,1,f)

(1.3)

Theo mơ hình tính tốn trên, chúng ta cần phải xây dựng các công thức ước
tính mức độ thay đổi của tọa độ B2, L2 và phương vị A2,1 nếu biết mức độ thay đổi
của tọa độ B1, L1 , chiều dài S và thay đổi phương vị A1,2 .
Từ (1.1), (1.2) và (1.3) chúng ta có các cơng thức tính vi phân theo quy tắc
đã biết như sau:
dB2 =

¶B2
¶B
¶B2
dA1, 2
dB1 + 2 dS +
¶A1, 2
¶S
¶B1

(1.4)

dL2 =

¶L
¶L
¶L2
dB1 + 2 dS + 2 dA1, 2 + dL1
¶A1, 2
¶S
¶B1

(1.5)

dA2,1 =

¶A2,1
¶B1

dB1 +

¶A2,1
¶S

dS +

¶A2,1
¶A1, 2

dA1, 2

(1.6)

Trong cơng thức (1.4) và (1.6) khơng có mặt dL1 vì hình thể Ellipsoid Trái
đất có dạng trịn xoay .
Các cơng thức (1.4), (1.5), (1.6) có thể viết ở dạng rút gọn như sau:
dB2 = dB2B1 + dB2S + dB2A1, 2

(1.7)

dL2 = dL1 + dLB21 + dLS2 + dL2A1, 2

(1.8)

dA2 ,1 = dA2B,11 + dA2S,1 + dA2A,11, 2

(1.9)

Người ta chứng minh được các thành phần trong các công thức (1.7), (1.8),
(1.9) như sau:

22

dB 2B1 = -

dB2S = -

M2
dw
[sin A1, 2 . sin A2,1 .( ) 2 + cos A1, 2. . cos A2 ,1 ].dB1
dS
M1

cos A2,1

dLB2 1 =

dS

(1.11)

w
dA1, 2
M 2 . sin A2,1

(1.12)

M2

dB2A12 = -

M1
dw
[sin A1, 2 . cos A2,1 .( ) 2 - cos A1, 2 . sin A2 ,1 ].dB1
dS
N 2 . cos B 2

dLS2 = -

sin A2,1
N 2 . cos B2

dL2A12 = - w
dA2B,11 = [

(1.10)

(1.14)

dS

cos A2,1
N 2 . cos B2

(1.13)

(1.15)

dA1, 2

M1
M
. sin A1, 2 - 1 . sin A2,1 . cos A1, 2 .tgB 2 w
N2

M 1 dw dw
M dw
.( )1 .( ) 2 . sin A1, 2 + 1 .( ) 2 . sin A1, 2 . cos A2,1 .tgB 2 ].dB1
w dS
dS
N 2 dS
sin A 2,1 .tgB 2
dA 2S,1 = dS
N2

dA2A,112 = (

dw w.tgB2 . cos A2,1
)dA1, 2
dS
N2

(1.16)

(1.17)
(1.18)

Trong các công thức trên đã sử dụng w là chiều dài quy hóa (reduced length
of the geodesic) của đường trắc địa S, được tính theo cơng thức:

w = R. sin

S R.C.l S 4
.( ) + ...
R
3
R

1
2

trong đó: C = - .e' 2 . sin 2B , l = cos A

(1.19)
(1.20)

R là bán kính trung bình Gauss tại điểm đầu đường trắc địa.
Giá trị

dw
trong cơng thức (1.19) được tính:
ds

- N 1 . cos B1 . cos A1, 2
dw
w.tgB2
=(
+
)
ds

N 2. . cos B2 . cos A2,1 N 2 . cos A2,1

(1.21)


23

b. Các công thức vi phân loại một cho bài toán trắc địa nghịch
Mục tiêu của bài toán trắc địa nghịch (inverse solution) là cho biết toạ độ trắc
địa B1, L1 tại điểm P1 và B2, L2 tại điểm P2 , cần xác định chiều dài đường trắc địa
S và các góc phương vị thuận A1,2, phương vị nghịch A2,1 . Như vậy ta có thể viết
các cơng thức ngun lý của bài toán trắc địa nghịch như sau:
S= f4 (B1, L1,B2,L2)

(1.22)

A1,2 = f5 (B1, L1,B2,L2)

(1.23)

A2,1 = f6 (B1, L1,B2,L2)

(1.24)

Giả sử tọa độ trắc địa của hai điểm đầu P1 là B1, L1 và điểm cuối P2 là B2, L2
có sự thay đổi nhỏ thì chiều dài đường trắc địa S và các góc phương vị thuận A1,2,
phương vị ngược A2,1 cũng sẽ thay đổi một lượng nhỏ. Đại lượng nhỏ đó được biểu
thị qua các cơng thức vi phân sau đây:
dS =

¶S
¶S
¶S
¶S
dB1 +
dB 2 +
dL1 +
dL 2
¶B1
¶B 2
¶L 2
¶L 2

dA1, 2 =
dA2,1 =

¶A1, 2
¶B1
¶A2,1
¶B1

dB1 +
dB1 +

¶A1, 2
¶B2
¶A2,1
¶B2

dB2 +

dB2 +

¶A1, 2
¶L1
¶A2,1
¶L1

dL1 +
dL1 +

¶A1, 2
¶L2
¶A2,1
¶L2

(1.25)
dL2

(1.26)

dL2

(1.27)

Để có cơng thức vi phân ở dạng cụ thể, cần phải xác định các giá trị đạo hàm
riêng của chiều dài đường trắc địa S và các góc phương vị thuận, nghịch theo tọa độ
trắc địa B, L.
Việc tính tốn các đạo hàm khơng đơn giản vì các giá trị chiều dài đường
trắc địa S và các góc phương vị A1,2, A2,1 khơng thể biểu diễn bằng các hàm số cụ
thể của tọa độ trắc địa mà thường là xác định qua một quy trình tính tốn.

Sau khi áp dụng phương pháp tính từng bước, người ta đưa đã chứng minh
được các công thức vi phân sau :
dS =

M1
M
N
. cos A1, 2 .dB1 - 2 . cos A2 ,1 .dB 2 - 2 . cos B 2 . sin A2 ,1 ( dL 2 - dL1 )
r''
r''
r''

(1.28)

M1
M
N
. sin A1, 2 .dB1 + 2 . sin A2 ,1 .dB 2 - 2 . cos B 2 . sin A2 ,1 ( dL 2 - dL1 )
r''
r''
r''

(1.29)

dA1, 2 =