Hàm số và các vấn đề liên quan

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP

Đề tài:

HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN

GVHD

: ThS. ĐOÀ N NGỌ C MINH TÚ

Giáo viên hướng
Th.S Nguyễn
SVTH dẫn: LÊ: QUANG
PHÚ Thị Sinh
Sinh viên thực
Lớp:hiện
26ĐNT : Lê Thị Thỏi Huyn
Lp

MSSV

: 09ST
: 26NT569

- Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013 -

Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

MỤC LỤC
LỜI CÁM ƠN ................................................................................................. 3
MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 4
Chương I.

LÝ THUYẾT CƠ SỞ ..................................................... 6

I. Hàm số ................................................................................................. 6
II. Khảo sát hàm số .................................................................................... 8
III. Các dạng hàm số thường gặp ................................................................ 9
Chương II.
A. Vấn đề 1.

CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ................ 11
TÍNH

ĐƠN

ĐIỆU

CỦA

HÀM

SỐ

VÀ

ỨNG DỤNG ..................................................... ............. 11
A.1. Tính đơn điệu của hàm số ................................................................. 11
 Tìm giá trị của tham số để hàm số đồng biến (nghịch biến)
trên D

........................................................................................ 11

A.2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số ................................................. 14
 Dạng 1:

Ứng dụng trong giải phương trình, bất phương trình, hệ
phương trình, hệ bất phương trình ................................ 14

 Dạng 2:
B. Vấn đề 2.
 Dạng 1:

Ứng dụng trong chứng minh bất đẳng thức.................. 19
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ ............................................ 24
Tìm giá trị của tham số m để (Cm): y = f(x, m) đạt cực
đại, cực tiểu tại x0 ......................................................... 24

 Dạng 2:

Tìm giá trị của tham số m để (Cm): y = f(x, m) có n cực
trị thỏa mãn điều kiện cho trước (nếu có). ................... 26

 Dạng 3:

Lập phương trình đường thẳng qua hai điểm
cực trị ............................................................................ 30

 Dạng 4:

Tìm quỹ tích các điểm cực trị ....................................... 32

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 1


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

C. Vấn đề 3.

GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT .......... 35

D. Vấn đề 4.

ĐIỂM CỐ ĐỊNH........................................................... 42

 Dạng 1:

Điểm cố định mà họ đường cong (Cm) đi qua .............. 43

 Dạng 2:

Tập hợp điểm mà không có họ đường cong (Cm)
nào đi qua ...................................................................... 45

 Dạng 3:
E. Vấn đề 5.

Điểm có n đồ thị (Cm) đi qua ........................................ 47
TIẾP TUYẾN VÀ TIẾP XÚC ..................................... 49

 Dạng 1:

Tiếp tuyến tại M(x0; y0) ∈(C): y = f(x) ......................... 49

 Dạng 2:

Tiếp tuyến có phương cho sẵn ...................................... 51

 Dạng 3:

Tiếp tuyến qua một điểm .............................................. 53

 Dạng 4:

Điều

kiện

tiếp

xúc.

Tính

chất

và

số

lượng

tiếp tuyến ..................................................................... 54
F. Vấn đề 6.

BIỆN

LUẬN

PHƯƠNG

TRÌNH

BẰNG

ĐỒ THỊ ......................................................................... 59
G. Vấn đề 7.

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ....................... 69

 Dạng 1:

Biện luận sự tương giao của hai đường ........................ 69

 Dạng 2:

Chứng minh (Cm): y = f(x, m) luôn tiếp xúc với một
đường cố định ............................................................... 72

KẾT LUẬN ............ ........................................................................................ 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 78

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 2


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Hàm số và các vấn đề liên quan

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu và được sự chỉ bảo, hướng dẫn tận tình
của cơ giáo Nguyễn Thị Sinh, đến nay luận văn tốt nghiệp của em đã được
hồn thành.
Em xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Nguyễn Thị
Sinh đã giúp đỡ em rất nhiều trong thời gian nghiên cứu và hồn thành luận
văn tốt nghiệp của mình.
Xin chân thành cảm ơn q thầy cơ khoa Tốn, thư viện đã giúp đỡ và

tạo điều kiện thuận lợi nhất để em hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 3


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Hàm số và ứng dụng của hàm số là một chủ đề xuyên suốt
trong q trình giảng dạy và học tập bộ mơn Tốn ở trường Trung
học Phổ thơng, với vai trị như một công cụ đắc lực, nhằm giải quyết
hiệu quả các bài tốn của đại số, hình học và giải tích. Việc sử dụng
các đặc trưng của hàm số tỏ ra ưu việt khi đưa ra lời giải cho các bài
toán về phương trình, bất phương trình và hệ bất phương trình mà ít
có phương pháp khác cho lời giải ngắn gọn hơn.
Do đó, hầu hết các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hằng
năm đều khai thác triệt để các ứng dụng này bằng nhiều dạng tốn
phong phú, địi hỏi học sinh phải nắm được các đặc trưng và tính
chất của hàm số để đưa ra lời giải phù hợp.
“ Hàm số và các vấn đề liên quan” là đề tài được nghiên cứu
với mong muốn xây dựng một hệ thống các đặc trưng của hàm số và
phương pháp giải phù hợp với yêu cầu của từng loại bài tập, giúp cho
học sinh củng cố lại toàn bộ kiến thức về hàm số và là tài liệu bổ ích
cho sinh viên khoa Tốn cũng như giáo viên phổ thơng trong suốt
quá trình giảng dạy.

2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài “ Hàm số và các vấn đề liên quan” nghiên cứu giải
một số dạng tốn trong chương trình phổ thơng.
3. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm hai chương:
Chương I: Lý thuyết cơ sở.
SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 4


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Hàm số và các vấn đề liên quan

Chương này trình bày về khái niệm hàm số và các kiến thức cơ
sở về hàm số nhằm vận dụng cho chương II.
Chương II: Các vấn đề liên quan đến hàm số
Chương này trình bày 7 vấn đề liên quan đến hàm số, mỗi vấn
đề bao gồm nhiều phương pháp giải tối ưu, các dạng bài tập được
trình cách giải rõ ràng, logic và cung cấp một số bài tập tự giải được
tổng hợp từ đề thi đại học, cao đẳng của những năm trước.

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 5


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Chương I.

LÝ THUYẾT CƠ SỞ

I. HÀM SỐ
1. Định nghĩa
Giả sử X và Y là hai tập hợp tùy ý. Nếu có một quy tắc f cho tương
ứng mỗi x ∈ X với một và chỉ một y ∈ Y thì ta nói rằng f là một hàm từ
X vào Y, kí hiệu:
f: X → Y
x ⟼ y = f(x)
Nếu X, Y là các tập hợp số thì f được gọi là một hàm số. Trong luận
văn này chúng ta chỉ xét các hàm số thực của các biến số thực, nghĩa
là: 𝑋 ⊆ 𝑅; 𝑌 ⊆ 𝑅
X được gọi là tập xác định (hay miền xác định) của hàm số f.
(Trong luận văn này kí hiệu tập xác định của hàm số là D).
Số thực x ∈ X được gọi là biến số độc lập (gọi tắt là biến số hay đối
số. Số thực y = f(x) ∈ Y được gọi là giá trị của hàm số f tại điểm x. Tập
hợp tất cả các giá trị f(x) khi x lấy mọi số thực thuộc tập hợp X gọi là tập
giá trị (miền giá trị) của hàm số f và được kí hiệu là 𝑇𝑓 , (như vậy Tf =
{f(x)|x ∈ X} = f(X)).
2. Đồ thị của hàm số
Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D, ta gọi tập hợp các điểm
(x; f(x)) với x ∈ D là đồ thị của hàm số y = f(x).
Việc biểu diễn các điểm (x; f(x)) thuộc đồ thị của hàm số y = f(x)
lên mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi là vẽ đồ thị hàm số.
3. Hàm số đơn điệu
a. Định nghĩa

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 6


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Hàm số và các vấn đề liên quan

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định là D, khoảng (a; b) là tập con
của D. Khi đó ta có:
- Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a; b),
nếu với ∀x1 , x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1 ) < 𝑓(x2 ).
- Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a; b)
nếu với ∀x1 , x2 ∈ (a; b), x1 < x2 ⇒ f(x1 ) > 𝑓(x2 ).
Một hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên khoảng (a; b) thì ta nói
hàm số đơn điệu trên khoảng đó.
b. Định lý
b.1. Định lý 1:

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên miền D.

- Nếu f′(x) ≥ 0, ∀x ∈ D thì hàm số đồng biến trên D.
- Nếu f′(x) ≤ 0, ∀x ∈ D thì hàm số nghịch biến trên D.
- Nếu f ′ (x) = 0, ∀x ∈ D thì hàm f là hàm hằng trên D.
b.2. Định lý 2: Nếu hàm số f đồng biến (nghịch biến) trên D thì
f ′ (x) ≥ 0, ∀x ∈ D

( 𝒇′(𝒙) ≥ 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑫)

c. Tính chất
- Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)
thì hàm số y = f(x) + c (c là hằng số) cũng đồng biến (nghịch biến) trên
khoảng (a; b).
- Nếu hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b)
thì hàm số y = kf(x) cũng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b) nếu
k > 0; hàm số y = kf(x) nghịch biến (đồng biến) trên khoảng (a; b) nếu
k < 0.
- Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) đồng biến (nghịch biến) trên
khoảng (a; b) thì hàm số y = f(x) + g(x) cũng đồng biến (nghịch biến)
trên khoảng (a; b).

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 7


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Hàm số và các vấn đề liên quan

- Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) không âm trên khoảng (a; b) và
cùng đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b), thì hàm số y = f(x).g(x)
đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a; b).

4. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
a. Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) có tập xác định trên D.
- Hàm số f được gọi là hàm số chẵn, nếu với mọi x ∈ D, ta có
– x ∈ D và f(−x) = f(x)
- Hàm số f được gọi là hàm số chẵn, nếu với mọi x ∈ D, ta có

−x ∈ D và f(−x) = −f(x)
b. Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ
- Đồ thị của hàm số chẳn có trục đối xứng là trục tung.
- Đồ thị của hàm số lẻ có tâm đối xứng là gốc tọa độ O.

5. Hàm số tuần hoàn
Hàm số y = f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn
trên miền D nếu tồn tại một số T sao cho với mọi x ∈ D ta có:
-

x+T∈D

- f(x + T) = f(x)
Số dương nhỏ nhất (nếu có) trong các số T có các tính chất trên
gọi là chu kỳ của hàm số tuần hoàn f(x).

6. Hàm số bị chặn
Hàm số y = f(x) xác định trong miền D nào đó được gọi là bị
chặn trong miền ấy nếu có một số dương M sao cho |f(x)| ≤ M, ∀x ∈ D.

II. KHẢO SÁT HÀM SỐ

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 8


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Xét sự biến thiên của hàm số.
a. Tìm giới hạn tại vô cực và giới hạn vô cực (nếu có) của hàm số.
Tìm các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
b. Lập bảng biến thiên của hàm số, bao gồm: Tìm đạo hàm của hàm
số, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên và tìm cực trị của hàm số
(nếu có), điền các kết quả vào bảng.
3. Vẽ đồ thị của hàm số.
a. Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị (nếu có).
b. Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị, chẳng hạn tìm giao điểm
của đồ thị với các trục tọa độ.
c. Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị (nếu có).
III. CÁC DẠNG HÀM SỐ THƯỜNG GẶP

1. Hàm số bậc hai
- Dạng
- Tập xác định

:
:

y = ax2 + bx +c (a ≠ 0)
D=R

(P)


 b

;  , có trục đối xứng
 2a 4a 

- Đồ thị (P) là một parabol có đỉnh S  
x= 

b
.
2a

2. Hàm số bậc ba
- Dạng

:

y = ax3 + bx2 + cx + d

- Tập xác định

:

D = R.

(a ≠ 0)

(C)



b  b 

; y    làm tâm đối xứng.
3
a
 3a  


- Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I  

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 9


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

3. Hàm số trùng phương
- Dạng

:

y = ax4 + bx2 + c

- Tập xác định

:

D = R.

(a ≠ 0)

(C)

- Hàm số (C) là hàm số chẵn trên D nên nhận Oy làm trục đối xứng.

4. Hàm số hữu tỉ bậc nhất trên bậc nhất
- Dạng

: y=

ax  b
cx  d

(c ≠ 0 và ad − bc ≠ 0)

(H)

 d
 c

- Tập xác định: D = R\  

d
- Đồ thị (H) là một Hypebol có tiệm cận đứng x   , tiệm cận
c
ngang y 

a
 d a

và có tâm đối xứng I   ; 
c
 c c

5. Hàm số hữu tỉ bậc hai trên bậc nhất
- Dạng

: y

ax2  bx  c
a' x  b'

(a ≠ 0 và a′ ≠ 0)

(C)

 b' 

 a' 

- Tập xác định : D = R\ 

- Đồ thị (C) là một đường cong có tiệm cận đứng x  

b'
, tiệm cận
a'

xiên có dạng y = Ax + B và có tâm đối xứng là giao điểm của hai
đường tiệm cận.

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 10


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Chương II.

CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM SỐ

A. Vấn đề 1.

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

A.1.

I. CÁC DẠNG BÀI TẬP
* Kí hiệu: y = f(x, m) là hàm số y, biến x có chứa tham số m.
1. Dạng 1:

TÌM GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HÀM SỐ
ĐỒNG BIẾN HOẶC NGHỊCH BIẾN TRÊN D.

Cách 1:

Cô lập tham số để khảo sát, từ đó rút ra kết luận.
- Tính đạo hàm y′.
- Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên D khi
𝑦 ′ ≥ 0, ∀𝑥 ∈ 𝐷

(𝒚′ ≤ 𝟎, ∀𝒙 ∈ 𝑫)

⇔

m ≥ g(x), ∀x ∈ D
[
m ≤ g(x), ∀x ∈ D

(g(x) là hàm xác định trên D)

⇔

m ≥ Max g(x), ∀x ∈ T
[
m ≤ Min g(x), ∀x ∈ T
- Kết luận.

Cách 2:

Biến đổi f ′ (x) về tích của các hàm bậc nhất, tam
thức bậc hai để xét dấu.

Bài tập 1.

Tìm m để

2
2
x
 1  m  x  1  m
y
xm

đồng biến trên (1; +∞).

Giải:
Hàm số đồng biến trên (1; +∞)
⇔

2 x 2  4mx  m 2  2m  1
y' 
 0 ; x  1
x  m2

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 11


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

⇔
⇔

2
2
{g(x) = 2x − 4mx + m − 2m − 1 ≥ 0; ∀x > 1
x−m≠0
g(x) ≥ 0 ; ∀x > 1
(1.1)
{
m≤1

g(x)  4(x  m)  4(x  1) > 0 ; x > 1

Cách 1: Ta có:

Do đó

g(x) đồng biến trên [1; )
(1.1) ⟺

{

min g(x) ≥ 0
x1

m≤1

Cách 2: Ta có:
suy ra

⟺

g(1) = m2 − 6m + 1 ≥ 0
{
m≤1

⟺

m ≤ 3 − 2√2
[
{ m ≥ 3 + 2√2
m≤1

⟺

m ≤ 3 − 2√2

∆′ = 2(𝑚 + 1)2
g(x)  0

có 2 nghiệm

Giả sử x1 ≤ x2 , bất phương trình g(x)  0 có sơ đồ miền nghiệm
G là:
x
x
1

2

Ta có g(x)  0 đúng x(1; )  (1; +∞) ⊂ G

⇔

⇔

𝑥1 ≤ 𝑥2 ≤ 1
m≤1
∆′ ≥ 0
2g(1) = 2(m2 − 6m + 1) ≥ 0

S
= −2 ≤ 1
{2
⇔

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

m ≤ 3 − 2√2

Trang 12


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

mx 2   6m  5 x  2 1  3m 
y

Bài tập 2: Tìm m để
nghịch biến

x 1
trên [1; )

Giải:
Hàm số nghịch biến trên [1; )


mx2  2mx  7
y' 
 0 ; x  1
( x  1) 2

⇔

m(x2 + 2x) + 7 ≤ 0; ∀𝑥 ≥ 1

⇔

u(x) =

⇔

min 𝑢(𝑥) ≥ 𝑚

x2 + 2x

≥ m; ∀x ≥ 1

x1

u' ( x) 

Ta có:

−7

7(2 x  2)
 0 ; x  1
( x 2  2 x) 2



u(x) đồng biến trên [1; )



m  Min u( x)  u(1) 
x1

7
3

Bài tập 3: Cho hàm số (Cm): y = x3 – 3(2m + 1)x2 + (12m + 5)x + 2 với m là
tham số. Xác định m để hàm số đồng biến trong các khoảng
(−∞; −1), (2; +∞)
Giải:
-D=R
-

𝑦 ′ = 3𝑥 2 − 6(2𝑚 + 1)𝑥 + (12𝑚 + 5) = 𝜑(𝑥)

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 13


GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Hàm số và các vấn đề liên quan

Để hàm số đồng biến trên (−∞; −1), (2; +∞), ta phải có:
y ′ = φ(x) ≥ 0 ;

A.2.

∀x ∈ (−∞, −1) ∪ (2, +∞)

⇔

∆′ ≤ 0
[ ∆′ ≥ 0
{
−1 ≤ x1 < x2 ≤ 2

⇔

−

7
5

≤𝑚≤
12
12

ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

I. Dạng 1. ỨNG DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT

PHƯƠNG

TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH.
1. PHƯƠNG PHÁP
Sử dụng các định lý sau:
a. Định lý 1: Hàm số f(x) liên tục và đơn điệu
trên [a; b] thì
∀x1 , x2 ∈ [a; b]: f(x1 ) = f(x2 ) ⟺ x1 = x2 .
b. Định lý 2: Hàm số f(x) liên tục đơn điệu trên

(C’): y = g(x)

(C): y = f(x)

O
a

𝑥0

b

[a; b] và f(a).f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất

trong (a; b).
c. Định lý 3: Cho hàm số f(x) liên tục và tăng (giảm) trên [a; b], g(x)
liên tục và giảm (tăng) trên [a; b].
Nếu f(a) < g(a) (f(a) > g(a)) và f(b) > g(b) (f(b) < g(b)) thì
phương trình f(x) = g(x) có nghiệm duy nhất trên [a; b].
2. CÁC DẠNG BÀI TẬP
SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 14


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Giải phương trình: x 5 + x 3 − √1 − 3x + 4 = 0

Bài tập 4:

Giải
1
Điều kiện: x  .
3

f(x) = x 5 + x 3 − √1 − 3x + 4

Đặt

f   x   5 x 4  3x 2 

Ta có:



3
0
2 1  3x



1

f (x) đồng biến trên   ;  .
3


Mặt khác f (1)  0 nên phương trình f (x)  0 có nghiệm duy nhất
x  1.
Bài tập 5:

Giải phương trình:

x 2  15  3x  2  x 2  8

(5.1)

Giải:
(5.1)  f  x   3x  2  x 2  8  x 2  15  0

2

+ Nếu x  3 thì f (x) < 0  (5.1) vô nghiệm.

2
+ Nếu x  3 thì f ' ( x)  3  x

1

2
 x 8

2
3




2
  0 ; x 

3
x 2  15 
1




 f (x) đồng biến trên  ; mà f (1)  0 nên (5.1) có đúng một
nghiệm x  1.

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 15


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Bài tập 6: Giải phương trình:
5 x  4 x  3 x  2 x  1x  1x  1x  2 x 3  5x 2  7 x  17 (6.1)
2
3
6

Giải:

       2x  5x  7x 17  g  x
x

x

x
x
x
x
1
1
1
(6.1)  f  x   5  4  3  2  2  3  6

x

3

2

f (x) đồng biến và g(x)  6x2  10x  7 < 0 ; x

Ta có:


g(x) nghịch biến.

Nghiệm của f (x)  g(x) là hoành độ giao điểm của y = f(x) và y = g(x).
Do f(x) tăng, g(x) giảm và f(1) = g(1) = 13 nên (6.1) có nghiệm duy
nhất x  1.
Bài tập 7: Giải bất phương trình:
3

4

5

√x + 1 + √5x − 7 + √7x − 5 + √13x − 7 < 8 (7.1)
Giải.
5
- Điều kiện x  .
7
3

4

5

- Đặt f(x) = √x + 1 + √5x − 7 + √7x − 5 + √13x − 7
Ta có:
f   x 

5
7
13
1



0
2
3
4
5
3
4
2 x  1 3   5x  7 
5

(13
x

7)
4   7 x  5

5



 f (x) đồng biến trên  ; .
7

Mà f (3)  8 nên

(7.1)




f (x) < f (3)
x<3

5
Vậy nghiệm của bất phương trình đã cho là 7  x  3
SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 16


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Bài tập 8: Tìm số m lớn nhất để

m(|sin x| + |cos x| + 1) ≤ |sin 2x| + |sin x| + |cos x| +2 ; ∀x (8.1)
Giải.
t  sin x  cos x  0  t 2   sin x  cos x   1  sin 2 x
2

Đặt

1  t 2  2  1 ≤ t ≤ √2.

Khi đó
(8.1) 
m(t + 1) ≤ t 2 + t + 1 ; ∀t ∈ [1; √2]
t2  t 1

f (t ) 
 m ; ∀t ∈ [1; √2]
t 1
Min f t   m

t
1, 2 


Do

2
f   t   t  22t  0
 t  1

nên f(t) đồng biến (1; √2)



Min f  t   f 1  3
2
t1, 2 



m 3
2



Max m  3
2

cot 𝑥 − cot 𝑦 = 𝑥 − 𝑦
Bài tập 9: Tìm x, y ∈ (0; 𝜋) thỏa mãn hệ: {
3𝑥 + 5𝑦 = 2𝜋
Giải.
cot 𝑥 − cot 𝑦 = 𝑥 − 𝑦

Ta có:
⟺

𝑥 − cot 𝑥 = 𝑦 − cot 𝑦

Xét hàm số đặc trưng

f(u) = u – cot u;

Ta có:

f  u   1 

Suy ra:

f(u) đồng biến trên (0; 𝜋)

Khi đó:

f(x) = f(y)
{
3x + 5y = 2π

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

𝑢 ∈ (0; 𝜋)

1 0
.
sin 2 u

⟺

x=y=


4

Trang 17


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

2 x  1  y 3  y 2  y

3
2
Bài tập 10: Giải hệ phương trình 2 y  1  z  z  z

3
2
2 z  1  x  x  x

Giải.
f t   t 3  t 2  t

Xét



với 𝑡 ∈ 𝑅

f  t   2t 2  t  1  0
2

f (t) tăng.

Khơng mất tính tổng qt, giả sử x  y  z


f(x) ≤ f(y) ≤ f(z)



2𝑧 + 1 ≤ 2𝑥 + 1 ≤ 2𝑦 + 1



𝑧≤𝑦≤𝑧



xyz 1

2

3x  2 x  1  0
Giải hệ bất phương trình  3

 x  3x  1  0

Bài tập 11:

Giải
3x2 + 2x -1 < 0

Ta có:

⟺

-1 < x < 1 .
3

f  x  x 3  3x  1 .

Đặt

Ta có: f   x   3  x  1  x  1  0


1
1
 1
 0 ; x    1; 
f(x) giảm và f(x) > f( ) =
3
27
 3

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 18


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

II. Dạng 2. ỨNG DỤNG TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
x3
x3 x5
 sin x  x 

Bài tập 12: Chứng minh rằng: x 
; x > 0
3!
3! 5!

Giải

x3
x
 sin x
3!




;

x > 0

3
x
f  x    x  sin x  0 ;
3!

x > 0

f   x 

Ta có:

x2
 1  cos x
2!



f   x   x  sin x



f   x   1  cos x  0






;

x > 0

;

x > 0

;

x > 0

𝑓′′(𝑥) đồng biến [0; +)
f   x   f   0   0

𝑓′(𝑥) đồng biến [0; +)
f   x   f   0 = 0



𝑓(𝑥) đồng biến [0; +)



f(x) > f(0) = 0 ; x > 0 (đpcm)

x3 x5
sin x  x 

3! 5!




;

x5 x3
  x  sin x  0
g(x) =
5! 3!

x > 0
; x > 0

x4 x2

 1  cos x
g(x) =
4! 2!

Ta có:

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

x3
 x  sin x = f(x) > 0 ; x > 0
g(x) =
3!
Trang 19


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

Bài tập 13:



g(x) đồng biến [0; +)



g(x) > g(0) = 0 ; x > 0



g(x) đồng biến [0; +)



g(x) > g(0) = 0 ;

Chứng minh rằng:

x > 0 (đpcm)

sin x 

2x



 
 2

; x   0; 

Giải.
sin x > 2 x

⟺



f(x) =

f ( x) 

Xét biểu thức đạo hàm:

x cos x  sin x g ( x)
 2
2
x
x

g(x) = x cosx  sinx

với
Ta có:

sin x 2
 

; x   0; 

x

 2

 
 2

g(x) = cosx  xsinx  cosx =  xsinx < 0 ; x   0; 

 
 2



g(x) giảm trên  0; 



g(x) < g(0) = 0

g ( x)
 0 ; x   0;  
2
x
 2



f   x 



f (x) giảm trên  0; 



2
f  x  f  
2




sin x 

 
 2



SVTH: Lê Thị Thái Huyền

2x



 
 2

; x   0; 

Trang 20


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

x y
x y

Bài tập 14: Chứng minh rằng: 2
ln x  ln y ; x > y > 0
Giải.
Vì



x > y > 0, lnx > lny

lnx  lny > 0

nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
ln x – ln y > 2.

x y
x y



x
1
y
x
ln > 2.
x
y
1
y





f (t )  ln t  2 

ln t > 2.

t 1
t 1

với t =

x
>1
y

t 1
 0 ; t >1
t 1

 t  1
1
4
f  t   

 0 ; t >1
t  t  1 2 t  t  1 2
2

Ta có:


f(t) đồng biến [1; +)



f(t) > f(1) = 0 ; t >1

(đpcm).

Bài tập 15: Chứng minh rằng:

y
1 
x 
 ln
 ln
4
y  x  1 y

1 x 


 x, y   0,1
(15.1) với 
 x  y

Giải.
Xét hai khả năng sau đây:

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 21


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh



+ Nếu y > x thì (15.1)

+ Nếu y < x thì (15.1)

ln

y
x
 ln

 4  y  x
1 y
1 x



ln

y
x
 4 y  ln
 4x
1 y
1 x



ln

y
x
 ln
 4  y  x
1 y
1 x



ln

y
x
 4 y  ln
 4x
1 y
1 x

t
ln
 4t
f(t) =
1 t

Xét hàm đặc trưng

với t  (0; 1).

 2t  1 2
1
f t  
4 
 0 ; t  (0; 1)
t (1  t )
t (1  t )

Ta có:



f(t) đồng biến trên (0; 1)

f(y) > 𝑓(𝑥)
{
f(y) < 𝑓(𝑥)

nếu y > 𝑥
nếu y < 𝑥

(đpcm)

Bài tập 16: Chứng minh rằng: ab < ba ; a > b  e
Giải.
Ta có:

ab < ba  ln ab < ln ba



ln a ln b

.
a
b

Xét hàm đặc trưng

f(x) =

ln x
; x  e.
x

Ta có:

f ( x) 

1  ln x 1  ln e

0
x2
x2


SVTH: Lê Thị Thái Huyền

f(x) nghịch biến trên [e, +)
Trang 22


Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh



f(a) < f(b)



ab < ba (đpcm)

Bài tập 17: (Bất đẳng thức Nesbitt)
Chứng minh rằng:

a
b
c
3



bc ca ab 2

; a, b, c > 0 (17.1)

Giải:
Khơng mất tính tổng qt, giả sử a  b  c.
Đặt

x=a

Ta có: (17.1) 

f (x) =



x  b  c > 0.

x
b

c


bc c x xb

với x  b  c > 0

Suy ra

f ( x) 

1
b
c
1
b
c





0
b  c  x  c  2  x  b  2 b  c b  c  2 b  c  2



f(x) đồng biến trên [b; +)
f ( x)  f (b) 



2b  c
bc

(17.2)

xc>0

Đặt

x=b

Xét hàm số

g(x) =

2x  c
xc



g ( x) 

c



g(x) đồng biến trên [c; +)



g ( x)  g (c) 

Từ (17.2), (17.3) suy ra:
SVTH: Lê Thị Thái Huyền

 x  c2

với x  c > 0

 0 ; c > 0

3
2

a
b
c
3



bc ca ab 2

(17.3)
; a, b, c > 0
Trang 23

Hàm số và các vấn đề liên quan

GVHD: Th.S Nguyễn Thị Sinh

B. Vấn đề 2.

CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I. PHƯƠNG PHÁP
1. Các định lý
a. Điều kiện cần:
Giả sử hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0. Khi đó, nếu
hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x0 thì f′(x0) = 0.
b. Điều kiện đủ:
 Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên (a; b) chứa điểm x0,
có đạo hàm trên (a; b) \ {x0}. Khi đó:
Qua x0 đạo hàm
(
)
y’ = f’(x0 ) đổi dấu

⟹

(

y = f(x) đạt
)
cực trị tại x0

 Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp 2 trên (a; b)

chứa x0
f ′ (x0 ) = 0
{
f"(x0 ) < 0

⟹

y = f(x) đạt cực đại tại x0

f ′ (x0 ) = 0
{
f"(x0 ) > 0

⟹

y = f(x) đạt cực tiểu tại x0

II. CÁC DẠNG BÀI TẬP
1. Dạng 1: TÌM GIÁ TRỊ THAM SỐ M ĐỂ (Cm): y = f(x, m)
ĐẠT CỰC ĐẠI - CỰC TIỂU TẠI x0
Cách giải:
-

Tìm tập xác định D của hàm số.

-

Tính f′(x, m), f"(x, m)

-

Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 khi

SVTH: Lê Thị Thái Huyền

Trang 24