Bai toan hinh hoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>CHUN ĐỀ 8: CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC</b>
<b>A. Đa giác:</b>

<b>+ Công thức lượng giác:</b>
*) Tam giác vuông:

BA2 _{= BH.BC}
BC2_=AC2_+AB2
AH2_=HB.HC

1
AH2=

1
AB2+

1
AC2

*) Tam giác thường:

- Trung tuyến: AM2

=1

2(AB
2

+AC2)<i>−</i>BC

2

4

- Định lý hs Sin: _sin<i>a_A</i> = <i>b</i>

sin<i>B</i>=
<i>c</i>

sin<i>C</i>=2<i>R</i>

- Định lý hs Cosin: a2_=b2_+c2_-2bccosA
- Diện tích: S = 1₂ah<i>_a</i>=1

2ab sin<i>C</i>=pr=
abc

4<i>R</i>=

√

<i>p</i>(<i>p −a</i>)(<i>p −b</i>)(<i>p − c</i>) ¿(<i>p − a</i>)<i>ra</i>

- Đường phân giác: <i>l_a</i>=

2 bc cos <i>A</i>
2
<i>b</i>+<i>c</i>

*) Tam giác đều: Diện tích, chiều cao: S= <i>a</i>2√3

4 <i>;ha</i>=
<i>a</i>√3

2

<i><b>B. C¸c dạng bài tập sử dụng :</b></i>

<i><b>Dng 1 :</b></i>

1. Cho hỡnh bình hành ABCD có góc ở đỉnh A là góc tù.

Kẻ hai đường cao AH và AK tam giác AH ^_{BC; AK}^_{CD). Biết góc}

HAK = <i>a</i>_{và độ dài của hình bình hành AB = a; AD = b.}

b. Tính AH và AK.

c. Tìm tỉ số diện tích SABCD của hình bình hành ABCD và diện tích SHAK của
tam giác HAK.

d. Tính phần cịn lại S của hình bình hành khi khoét đi tam giác HAK.
e. Biết <i>a</i>_{= 45}0_{38’25”, a = 29,1945 cm, b = 198,2001 cm. Tính S.}

2. Cho hình thang vng ABCD và cho biết AB = 12,35cm, BC = 10,55cm,
góc ADC bằng 570_.

a. Tính chu vi hình thang ABCD.
b. Tính diện tích hình thang ABCD.

c. Tính các góc cịn lại của tam giác ADC.

3. Cho hình thang vng ABCD (AD ^_{DC). Biết AB = a = 2,25cm, diện}

tích hình thang bằng 9,92cm, góc B bằng 450_{56’. Tính độ dài các cạnh AD,}
DC, BC.

4. Cho tam giác ABC có AB = 4,53, AC = 7,48, góc A bằng 730_.
a. Tính chiều cao BB’ và CC’ gần đúng với 5 chữ số thập phân.
b. Tính diện tích tam giác ABC.

c. Tính số đo góc B của tam giác ABC.
d. Tìm chiều cao AA’ của tam giác ABC.
<b>Dạng 2:</b>

B

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

1. Cho tam giác ABC có AB = 4,81, BC = 8,32 và AC =
5,21, đường phân giác trong góc A là AD. Tính BD và CD.

2. Cho tam giác ABC có AB = 5,76; AC = 6,29 và BC =

7,48. Kẻ đường cao BH và phân giác AD. Tính:
a. Độ dài đường cao BH. (ĐS: 5,603)

b. Đường phân giác AD. (ĐS :4,719)

c. Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ACD. (đs: 3,15)
d. Diện tích tam giác CHD. (ĐS:7,247)

3. Cho tam giác ABC cân tại A, gọi I là trung điểm của

BC. Đường phân giác trong của góc ACI cắt AI tại O.
a. Tính độ dài đoạn OI theo độ dài của BC và AI.

b. Cho BC = 1,22573, AI = 1,31556. Tính OI.

<b>D¹ng 3: TÝnh c¹nh, gãc, chu vi, diện tích đa giác.</b>
<b>Bài 1</b>: Cho tam giác ABC, biÕt:

AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415

<i><b>Đáp số:</b></i> A _;B _;C 

<b>Bµi 2:</b> TÝnh c¹nh BC, gãc B , gãc C cđa tam gi¸c ABC, biÕt:

AB = 11,52 ; AC = 19,67 và góc A ₅₄o₃₅₁₂
<i><b>Đáp số:</b></i> BC = ; B _;C

<b>Bài 3:</b> Tính cạnh AB, AC, gãc C cđa tam gi¸c ABC, biÕt:

BC = 4,38 ; A ₅₄o_{3512 ;}B ₁₀₁o₁₅₇

<i><b>Đáp số:</b></i> AB = ; AC = ; C 

<b>Bµi 5:</b> Tam gi¸c ABC cã: B ₄₉o_{27’ ;}C ₇₃o_{52 và cạnh BC = 18,53.}

Tính diện tích S của tam giác ?

<i><b>Đáp số: </b></i>S =

<b>Bài 6:</b> Tam giác ABC có chu vi 58 (cm) ; B ₅₇o_{18’ vµ}C _₈₂o_35’

Tính độ dài cỏc cnh AB, BC, CA ?

<i><b>Đáp số</b></i>: AB = ; BC = ; CA =

<b>Bài 7:</b> Tam giác ABC có 90o_<A _{< 180}o_{vµ sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6.}

Tính: 1) Độ dài cạnh BC ? Trung tuyÕn AM ?
2) Gãc B _?

3) DiÖn tÝch tam giác S = ?

<i><b>Đáp số</b></i>: BC = ; AM = ; B _{; S =}

<b>Bµi 8:</b> Tam gi¸c ABC cã A ₉₀o_{; AB = 7 (cm) ; AC = 5 (cm).}

Tính độ dài đờng phân giỏc trong AD v phõn giỏc ngoi AE ?

<i><b>Đáp số:</b></i> AD = ; AE =

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

S(PSR)=S(PQR)/3=50

Vẽ SK (khơng có trong hình) song song với QU (K thuộc PR)
=>RK=RU/3, PU=PK => PU=2/5*PR

=>S(PSU)=2/5*S(PSR)=20 (dvdt)

Bài 10: Cho tam giác ABC biết AB =5dm; BC = 4dm; CA=8dm tính các góc.
ĐS: <i>A ≈</i>2408<i>'</i>49<i>;</i>B approx 125 rSup \{ size 8\{0\} \} 5' 59 ;¿ <i>C ≈</i>30045<i>'</i>12 \} \{

¿
ĐS: S 20,10675dm2_.

Bài 12: Cho tam giác ABC biết AB =6dm; góc A=840_{13’38”;B=34}0_51’33”.

Tính diện tích tam giác. ĐS: S

20,49315dm2_.

Bài 13: Tính diện tích tam giác ABC biết A(8; -3); B(-5; 2); C(5; 7).

Tính diện tích tam giác. ĐS: S =

75,7 ĐVDT.

Bài 14: Tính diện tích tứ giác ABCD biết A(-3; 4); B(2; 3); C( √2 ;5); D(-4;-3).

S 37,46858 ĐVDT.

Bài 15: Tính gần đúng diện tích và chu vi của đa giác 50 cạnh nội tiếp đường trịn
bán kính 1dm.

ĐS: S 3,13333 dm2_{. C} _6,27905dm

Bài 16: Cho tam giác ABC có AB = 8 cm; BC = 7 cm; CA = 5 cm. Vẽ 3 đường cao
AA’; BB’; CC’. Tính diện tích tam giác A’B’C’.

HD: <i>S '_S</i>=¿ 1-(cos2A+cos2B+cos2C)=2cosAcosBcosC = 1,9441cm2.

<b>Bài 17: Cho tam giác ABC có AB=4,2315 cm; AC = 5, 3641 cm và góc BAC bằng </b>
650

a) Tính độ dài đường cao BK, CF của tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABC

c) Tính các góc cịn lại của tam giác ABC

d) Tính độ dài đường cao AH của tam giác ABC và cạnh BC

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>Bài 18: </b> Cho hình vng <i>ABCD</i> cạnh bằng 12. Vẽ đoạn <i>AE</i> _với<i>E</i>_{là điểm trên cạnh}
<i>CD</i> _và<i>DE</i>5<i>cm</i>_{. Trung trực của}<i>_AE</i>_cắt<i>AE AD</i>, _và<i>BC</i> _tại<i>M P</i>, _và<i>Q</i>_{. Tỷ số di}

đoạn <i>PM</i> và <i>MQ</i> là:

<b>Giải</b>: Vẽ <i>RS </i>qua <i>M </i>song song víi c¹nh <i>AB,CD</i>. Ta cã:

<i>MP</i> <i>MR</i>

<i>MQ</i> <i>MS</i> _.

Vì <i>RM</i> là đờng trung bình của tam giác <i>ADE</i>
nên 2

<i>DE</i>
<i>MR</i>

.
Mµ: <i>MS</i><i>RS MR</i> _.
VËy:

2
2

<i>DE</i>

<i>MP</i> <i>MR</i>

<i>DE</i>
<i>MQ</i> <i>MS</i> <i>_RS</i>


.

<i>¸p dơng b»ng sè víi DE</i>5<i>cm RS</i>, 12 <i>cm</i>:
5<i>ab c</i>/ 2 Min  [( 12  MR = (

5
19₎

<b>Bài 19: Cho hình chữ nhật ABCD có AB=29,7 cm; AD = 21 cm. Gọi M là trung </b>
điểm cạnh DC, Hai đường thẳng AM và BD cắt nhau tại E

a) Tính độ dài BE và chu vi tam giác ABE
b) Tính số đo các góc của tam giác ABE

<b>Bài 20. Viên gạch hình lục giác đều ABCDEF có hoa văn hình sao như hình vẽ, trong</b>
đó các đỉnh hình sao <i>M N P Q R S</i>, , , , , _{là trung điểm các cạnh của lục giác. Viên gạch}

được tô bằng hai mầu (mầu của hình sao và mầu của phần cịn lại). Biết rằng cạnh
của lục giác đều là a = 16,5 cm. Tính diện tích mỗi phần (chính xác đến 0,01). Tính tỉ
số phần trăm giữa hai diện tích đó.

<b>Giải: </b>

Diện tích lục giác <i>ABCDEF</i> _bằng:

S1=6

2

a 3
4


=

2

3a 3
2 _.

Lục giác nhỏ có cạnh là
a
2

<i>b</i>
,
6 cánh sao là các tam giác đều cũng
có cạnh là

a
2

<i>b</i>

. Từ đó suy ra:

Diện tích lục giác đều cạnh <i>b</i>_{là S2 bằng: S2 =}

2

3b 3
2 ₌

2

3a 3
8 _.
Diện tích 6 tam giác đều cạnh <i>b</i>_{là S3:} _{S3 =}

2

3a 3
8 _.

<b>Bài 21: Cho hình thang ABCD vng tại B và C có AB<CD, AB = 12,35 cm; BC </b>
=10, 55 cm và góc ADC = 570

a) Tính diện tích hình thang ABCD

b) Tính tỷ số giữa diện tích tam giác ADC và diện tích tam giác ABC
S

A B

Q
E

D

P

M

C

<i>F</i>

<i>A</i>

<i>D</i>

<i>O</i> <i>C</i>

<i>B</i>

<i>R</i>

<i>M</i>

<i>N</i>

<i>P</i>

<i>Q</i>
<i>S</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<b>C. Các bài tốn về đường trịn</b>

* Bỉ sung thªm cho học sinh các kiến thức về hình tròn....
+ Hình tròn bán kính R:

- Chu vi: C = 2R
- Diện tích: S = R2

+ Hình vành khăn:

- Diện tích: S = (R2_{- r}2_{) =}__{(2r + d)d}

+ Hình quạt:

- Độ dài cung: l = R ; (: rad)
- DiÖn tÝch:

2

1
2

<i>S</i> <i>R</i>

S

2
360
<i>R a</i>


(a: độ)

<b>Hệ quả 1. Nếu </b><i>ABCD</i>_{là tứ giác lồi nội tiếp thì} 2 90

<i>o</i>
<i>B D</i>



nên
( )( )( )( )

<i>S</i> <i>p a p b p c p d</i>    _.

<b>Hệ quả 2. Nếu </b><i>d</i>0, tức là tứ giác suy biến thành tam giác thì ta có hệ thức Heron:
( )( )( )

<i>S</i> <i>p p a p b p c</i>   _.

* Cung cÊp cho häc sinh tÝnh chÊt vỊ tiÕp tun .
<b>bµi tËp:</b>

<b>Bài 1:</b> Ba đờng trịn có cùng bán kính 3 cm đơi một tiếp xúc ngồi (Hình vẽ)
Tính diện tích phần xen giữa ba đờng trịn đó ?

<i><b>H.DÉn:</b></i>

Sg¹ch xäc = S O1O2O3 - 3 Squ¹t

Tam giác O1O2O3 đều, cạnh bằng 6 nên:
1 2 3

1 3

6.6. 9 3

2 2

<i>O O O</i>

<i>S</i>  

Squ¹t =

2 _.9.60 ₃

360 360 2

<i>R a</i>

  

 

 Sg¹ch xäc = SO1O2O3 - 3 Squ¹t =

9 18 3 9

9 3 1, 451290327

2 2

  

  

<b>Bài 2. Cho đường tròn tâm </b><i>O</i>_{, bán kính}<i>R</i>3,15 <i>cm</i>_{. Từ một điểm}<i>_A</i>_{ở ngồi đường}

trịn vẽ hai tiếp tuyến <i>AB</i>_và<i>AC</i>₍<i>B</i>_,<i>C</i>_{là hai tiếp điểm thuộc (}<i>O</i>_{)). Tính diện tích}

phần mặt phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến và cung tròn nhỏ <i>BC</i> biết rằng
7,85

<i>AO a</i>  <i>cm</i> (chính xác đến 0,01 cm).

<b>Giải: Ta có: </b>

3,15
cos
7,85
<i>OB</i> <i>R</i>
<i>OA</i> <i>a</i>
   
.
2 . .sin

<i>ABOC</i> <i>AOB</i>

<i>S</i>  <i>S</i> <i>a R</i> _;

<i>S</i>_{quạt OBC}

2_.2 2

360 180

<i>R</i> <i>R</i>

   

 

.

<i>S</i>gạch xọc= <i>S</i>ABOC - <i>S</i>quạt OBC

2

sin

180

<i>R</i>

<i>aR</i>   

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

<i><b>Bài 3</b>.</i> Trên đường tròn tâm O, bán kính <i>R</i>15, 25 <i>cm</i>_{, người ta đặt các cung liên tiếp:}



AB_{= 60}0_,BC _{= 90}0_,_CD _{= 120}0_.

a) Tứ giác <i>ABCD</i>_{là hình gì?}

b) Chứng minh ACBD.

c) Tính các cạnh và đường chéo của <i>ABCD</i>

theo <i>R</i> chính xác đến 0,01.

d) Tính diện tích tứ giác <i>ABCD</i>_.

<b>Giải</b>: a) sđ_AD _{= 360}0_{- (sđ}_AB _+sđ_BC _+sđ_CD ₎

= 3600_{- (60}0_{+ 90}0_{+ 120}0_{) = 90}0_.

Suy ra: _AD ₌_BC _,_ABD ₌_BDC _{= 45}0 _{(vì cùng bằng}

0

90
2 _).

Từ đó ta có: <i>AB CD</i>// _{. Vậy}<i>ABCD</i>_{là hình thang.}

Mặt khác, _ADB ₌_BCD _{(cùng bằng}

0 0

60 +90
2 ).

Vậy <i>ABCD</i>_{là hình thang cân (đpcm).}

b) Vì _ABD ₌_BAC _{= 45}0_{(vì cùng bằng}

0

90
2 _).

Suy ra _AEB _{= 90}0_{, vậy}<i>_AC</i>_<i>_BD</i>_(đpcm).

c) Theo cách tính cạnh tam giác đều, tứ giác đều, lục giác đều nội tiếp trong đường
trịn bán kính <i>R</i>_{, ta có:}

<i>AB R</i> ; <i>AD BC</i> <i>R</i> 2; <i>DC</i><i>R</i> 3_.

Các tam giác<i>AEB CED</i>, _{vuông cân, suy ra} ₂
<i>AB</i>
<i>AE</i>

, 2

<i>CD</i>

<i>CE</i>

.
Vậy: 2

<i>R</i>
<i>AE</i>

,

3
2

<i>R</i>
<i>CE</i>

. Suy ra

3 (1 3)

2 2

<i>R R</i> <i>R</i>

<i>AC</i><i>AE EC</i>    

.

d)

2 2 2 2

2 2

1 1 1 (1 3) (1 3) _[ (1 3)_]

2 2 2 2 4 2

<i>ABCD</i>

<i>R</i> <i>R</i> <i>R</i>

<i>S</i>  <i>AC DB</i>  <i>AC</i>       

.

Vậy <i>SABCD</i> 433,97cm2. Vậy <i>AD BC</i> 21,57cm. Vậy <i>AC</i><i>BD</i>29, 46<i>cm</i>.
<b>Bài 4. Cho đường trịn tâm </b><i>O</i>_{, bán kính}<i>R</i> 11, 25  <i>cm</i>. Trên đường tròn đã cho, đặt các

cung <i>_AB</i> 90 , <i>o</i> <i>_BC</i> 120 <i>o</i>

  _{sao cho}<i>_A</i>_và<i>C</i>_{nằm cùng một phía đối với}<i>BO</i>_.

a) Tính các cạnh và đường cao <i>AH</i>_{của tam giác}<i>ABC</i>_.

b) Tính diện tích tam giác <i>ABC</i>

(chính xác đến 0,01).
<b>Giải: a) Theo hình vẽ: </b>

sđ _AC _{= sđ}_BC _{- sđ}_AB _{= 120}0_{- 90}0_{= 30}0_.
Tính các góc nội tiếp ta được:



ABC_{= 15}0_;_ACB _{= 45}0_{. Suy ra:}_BAC _{= 120}0_;_CAH _{= 45}0_;


BAH_{= 75}0_.

Ta có: <i>AB R</i> 2; <i>BC</i><i>R</i> 3.

<i>A</i> <i>B</i>

<i>C</i>
<i>D</i>

<i>E</i>
<i>60°</i>

<i>120°</i>

O
A

B
C

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Vì <i>AHC</i> vuông cân, nên <i>AH</i><i>HC</i> (đặt <i>AH</i> <i>x</i>).
Theo định lí Pitago ta có: <i>_AH</i>2 <i>_AB</i>2 <i>_HB</i>2

  .

Do đó:



 



2 2

2 ₃ ₂

<i>x</i>  <i>R</i>  <i>x</i>  <i>R</i>

hay 2<i>x</i>2 2<i>R</i> 3<i>x R</i> 20_.
Suy ra: 1

3
2

<i>R</i> <i>R</i>

<i>x</i>  

; 2

3
2

<i>R</i> <i>R</i>

<i>x</i>  

.
Vì <i>AH</i><i>AC</i><i>R</i>, nên nghiệm 2

3
2

<i>R</i> <i>R</i>

<i>x</i>  

bị loại.
Suy ra:

( 3 1)
2

2

<i>R</i>

<i>AC</i><i>AH</i>  

.
Gọi diện tích <i>ABC</i> là <i>S</i>, ta có:

2

1 1 3 ₃ (3 3)

2 2 2 4

<i>R</i> <i>R</i> <i>R</i>

<i>S</i> <i>AH BC</i>    <i>R</i>  

.

<b>Bài 5 : Cho đường tròn (I ; R1) và đường tròn (K ; R2) tiếp xúc ngoài với nhau tại A.</b>
Gọi BC là một tiếp tuyến chung ngồi của hai đường trịn, B thuộc đường tròn (I ;
R1), C thuộc đường tròn (K ; R2). Cho biết R1=3,456cm và R2= 4, 567 cm

a) Tính gần đúng độ dài BC

b) Tính gần đúng số đo góc AIB và góc AKC
c)

<b>Bài 6 : Từ một điểm A bên ngồi đường trịn (O)vẽ hai tia tiếp tuyến AM , AN chúng</b>
tạo với nhau một góc <i>α</i>

a) Tính số đo độ của cung lớn MN

b) Từ một điểm I trên cung nhỏ MN, vẽ tiếp tuyến AM và AN lần lượt tại B và C.
Tia OB và tia OC cắt đường tròn lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng số đo của
cung nhỏ DE có giá trị khơng đổi khi điểm I chạy trên cung nh MN

<b>Bài 7:</b> Tam giác ABC có ba cạnh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415
Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho: BM = 2,142.

1) Tính độ dài AM?

</div>

<!--links-->