THAY ĐỔI KẾT LUẬN CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC.doc

THAY ĐỔI KẾT LUẬN CỦA BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Trong chứng minh hình học, việc phát hiện các kết quả tương đương với kết luận
của bài toán rất có thể sẽ đưa ta đến những chứng minh quen thuộc, đơn giản hơn
hoặc những phép chứng minh độc đáo. Đây cũng là công việc thường xuyên của
người làm toán. Các bạn hãy theo dõi một số bài toán sau.
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC có BC < BA, đường phân giác BE và đường
trung tuyến BD (E, D thuộc AC). Đường thẳng vuông góc với BE qua C cắt BE,
BD lần lượt tại F, G. Chứng minh rằng đường thẳng DF chia đôi đoạn thẳng GE.
Lời giải : Gọi giao điểm của CG với AB là K và DF với BC là M.
Dễ thấy ∆ BKC cân tại B, BF là trung trực của KC suy ra F là trung điểm của KC.
Theo giả thiết, D là trung điểm của AC
=> DF là đường trung bình của DCKA
=> DF // KA hay DM // AB.
=> DM là đường trung bình của DABC
=> M là trung điểm của BC.
Xét ∆ DBC, F thuộc trung tuyến DM nên DF chia đôi đoạn thẳng GE <=> GE //
BC.
Ta sẽ chứng minh GE // BC, thật vậy :
Cách 1 : Ta có AE = AD + DE = CD + DE = CE + 2DE hay CE = AE - 2DE, suy
ra
Mặt khác, vì DF // AB, K thuộc AB và AK = 2DF nên
Vậy BG/GD = BK/DF hay GE // BC.
Cách 2 : Vì BE là phân giác của ∠ ABC
Vậy DE/EC = DG/GB hay GE // BC.
Cách 3 : áp dụng định lí Xê-va ta có Mặt khác MB = MC nên
Bài toán 2 : Trên các cạnh AB, BC, CA của tam giác ABC lần lượt lấy các điểm
C
1
, A
1
, B

1
sao cho các đường thẳng AA
1
, BB
1
, CC
1
đồng quy tại O. Đường thẳng
qua O song song với AC cắt A
1
B
1
và B
1
C
1
lần lượt tại K và M. Chứng minh rằng
OK = OM.
Lời giải : Qua B vẽ đường thẳng song song với AC cắt A
1
B
1
và B
1
C
1
lần lượt tại
K
1
và M

1
.
Xét ∆ B
1
K
1
M
1
, dễ thấy MK // M
1
K
1
nên OM = OK <=> BM
1
= BK
1
. Ta sẽ chứng
minh BM
1
= BK
1
, thật vậy :
∆ AB
1
C
1
đồng dạng với ∆ BM
1
C
1

suy ra
∆ CB
1
A>sub>1 ∆ đồng dạng với BK
1
A
1
suy ra
Vậy : (áp dụng định lí Xê-va), suy ra BM
1
= BK
1
.
Bài toán 3 : Xét bài 5(20) trang 15.
Hướng dẫn :
Do OX = OY nên :
XZ = YT <=> OZ = OT.
Ta sẽ chứng minh OZ = OT. Trước hết, ta chứng minh IO
1
OO
2
là hình bình hành
bằng cách xét 3 trường hợp : ∠ IBA < 90
o
; ∠ IBA > 90
o
; ∠ IBA = 90
o

Gọi M là giao điểm của O

1
I và CD.
Với ∠ IBA < 90
o
, ∆ IBA nội tiếp (O
1
), ta có thể chứng minh được : ∠ AIO
1
+
∠ IBA = 90
o
=> ∠ CIM + ∠ ICM = 90
o
=>O
1
I ⊥ CD ; Mà OO
2
⊥ CD => OO
2
//
O
1
I.
Tương tự OO
1
// O
2
I, suy ra IO
1
OO

2
là hình bình hành (bạn đọc tự chứng minh hai
trường hợp còn lại).
Từ đó, ta có (xem phần hình màu) : OO
1
= O
2
I = O
2
T ; OO
2
= O
1
I = O
1
Z ;
∠ OO
1
Z = (180
o
- 2 ∠ O
1
IZ) + ∠ OO
1
I = 360
o
- ∠ OO2I - (180
o
- 2( ∠ OO
2</SUB Đ

O1IZ)) = 360
o
-
∠
OO2MI - (180
o
- 2
∠
O,sub>2
IT) = OO
2
T
=> ∆ OO
1
Z = ∆ TO
2
O (c.g.c) => OZ = OT.(Chứng minh trên không cần dùng tới
kiến thức về tam giác đồng dạng). l Bài tập áp dụng :
1) Từ điểm C ở ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến CA, CB với đường tròn (A,
B là các tiếp điểm). Đường tròn (O1) qua C và tiếp xúc với AB tại B cắt (O) tại M.
Chứng minh rằng AM chia đoạn thẳng BC thành hai phần bằng nhau.
2) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Tiếp tuyến với (O) tại B lần lượt cắt
các tiếp tuyến với (O) tại A và C ở M và N. Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với
AC tại P. Chứng minh rằng BP là phân giác của
∠
MPN.
3) Cho hình thang ABCD có đáy lớn CD ; AC cắt BD tại O, AD cắt BC tại I và OI
cắt AB tại E. Đường thẳng đi qua A song song với BC cắt BD tại M và đường
thẳng đi qua B song song với AD cắt AC tại N. Chứng minh rằng : a) MN // AB ; b)
AB

2
= MN.CD ; c) d) AE = EB.