Chuyen de Bat dang thucCLB Toan2012

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

CHUYÊN ĐỀ

MỘT SỐ

PHƯƠNG PHÁP

CHỨNG MINH

BẤT ĐẲNG THỨC

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>Lời giới thiệu</i>

Bất đẳng thức là một trong những mảng tốn khó
nhất của toán học sơ cấp hiện nay nhưng lại giữ vai
trị đặc biệt quan trọng; được đơng đảo các bạn học
sinh u tốn quan tâm.

Nó được xem là phần “hay nhất”, “đẹp nhất”, địi hỏi
tính tư duy và tính sáng tạo rất cao

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i><b>Lời giới thiệu</b></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM </b>

<b>ngược dấu</b>

Đây là một trong những kỹ thuật hay, khéo
léo, mới mẻ và ấn tượng nhất của bất đẳng
thức AM-GM.

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

VD1:Cho a, b, c > 0 thoả . Chứng minh rằng

• 

 +  +  

 

(Trần Quốc Anh)

<b>1. Sử dụng kỹ thuật AM-GM </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Lời giải:

• 

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Cộng từng vế (1), (2), (3) ta được:

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Đẳng thức xảy ra
      

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

Qua ví dụ trên, ta thấy kỹ thuật AM-GM ngược
dấu giúp chuyển bất đẳng thức hoán vị thành bất
đẳng thức đối xứng chỉ sau vài bước thực hiện
nhưng đem lại hiệu quả cao

 Nhận xét:

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

VD2: Cho là các số thực không âm thoả .

CMR:

• 

<i>�</i> +1

<i>�</i>2 +1 +

<i>�</i> +1

<i>�</i> 2 +1 +

<i>�</i> +1

<i>�</i>2 +1 <i>≥</i> 3

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

Lời giải:

Sử dụng kĩ thuật AM–GM, ta có:

Tương tự, ta chứng minh được:

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Cộng từng vế (1), (2), (3)

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

       

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Bài tập tương tự
CMR thỏa , ta có:

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

Đây là một kĩ thuật khơng mẫu mực, địi hỏi
sự tinh tế và khéo léo. Sự thành công của kĩ
thuật này phụ thuộc vào việc phát hiện ra
hằng đẳng thức đặc biệt hay bất đẳng thức
phụ thích hợp.

<b>2. Sử dụng</b>

<b>kĩ thuật</b>

<b>tách ghép</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

<b> </b>

<b>2. Sử dụng kĩ thuật tách </b>

<b>ghép Cauchy-Schwarz</b>

VD1: Cho . CMR:

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
Chứng minh tương tự, ta được:

• 

<b> </b>

<b>2. Sử dụng kĩ thuật tách </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(18)</span><div class='page_container' data-page=18>

Cộng từng vế (1), (2), (3)

• 

<b> </b>

<b>2. Sử dụng kĩ thuật tách </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(19)</span><div class='page_container' data-page=19>

Ở bài tốn này địi hỏi phải quan sát thật kĩ mẫu số
của từng phân thức của vế trái. Ta tách ghép và dùng
tiếp Cauchy-Schwarz và đi đến kết quả khá đẹp

<b> </b>

<b>2. Sử dụng kĩ thuật tách </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(20)</span><div class='page_container' data-page=20>

VD2: Cho thoả . CMR:

• 

<b> </b>

<b>2. Sử dụng kĩ thuật tách </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(21)</span><div class='page_container' data-page=21>

Ta có:

Do đó bất đẳng thức đã cho tương đương

• 

<b> </b>

<b>2. Sử dụng kĩ thuật tách </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(22)</span><div class='page_container' data-page=22>

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

Ta cần chứng minh:

(2)

• 

<b> </b>

<b>2. Sử dụng kĩ thuật tách </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(23)</span><div class='page_container' data-page=23>

Thật vậy:

Vậy: Bất đẳng thức đã cho được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra

• 

<b> </b>

<b>2. Sử dụng kĩ thuật tách </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(24)</span><div class='page_container' data-page=24>

Đây là 1 bài toán khá hay, độc đáo ở chỗ tách
ghép các đại lượng ở vế trái bất đẳng thức cần
chứng minh. Ta đi đến kết quả như mong
muốn qua hàng loạt chặn sử dụng kĩ thuật tách
ghép Cauchy-Schwarz khá ấn tượng.

<b> </b>

<b>2. Sử dụng kĩ thuật tách </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(25)</span><div class='page_container' data-page=25>

Bài tập tương tự:

Cho là các số thực thỏa
. CMR

• 

<b> </b>

<b>2. Sử dụng kĩ thuật tách </b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(26)</span><div class='page_container' data-page=26>

<b>3. THIẾT LẬP CHẶN</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(27)</span><div class='page_container' data-page=27>

Ở nhiều bài toán mà biểu thức 2 vế khá phức tạp, việc chứng
minh trực tiếp trở nên khó khăn, ta sử dụng phương pháp
“thiết lập nút chặn” làm cho bài toán đơn giản hơn, tức là :

Ta cần chứng minh BĐT:

 

Ta chứng minh: 
      
      

 

}

 <i>⇒</i> <i>A</i> +<i>B</i>+<i>C ≥ A′</i>+<i>B′</i>+<i>C′</i> <i>≥ X</i> +Y +<i>Z</i>

Khi đó, việc chứng minh 𝐴′ + 𝐵′ + 𝐶′ ≥ 𝑋 + 𝑌 + 𝑍 trờ nên dễ dàng
hơn

<b>3. THIẾT LẬP NÚT CHẶN</b>

</div>
<span class='text_page_counter'>(28)</span><div class='page_container' data-page=28>

VD1: Cho là các số thực dương bất kì.
CMR:

• 

4

√

<i>�</i>

4

+

3

+

√

4

<i>�</i>

4

+

3

+

√

4

<i>�</i>

4

+

3

<i>≥</i>

√

4

108

(

<i>�</i>

+

<i>�</i>

+

<i>�</i>

)

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(29)</span><div class='page_container' data-page=29>

Ta có bổ đề quan trọng

(Dạng BĐT Jensen)

Có nhiều cách chứng minh bổ đề này: Sử dụng AM–GM,
Bernoulli, hàm lồi, hàm lõm hoặc đạo hàm,…

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(30)</span><div class='page_container' data-page=30>

Cách chứng minh bằng sử dụng bất đẳng thức
Bernoulli

Đặt )

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(31)</span><div class='page_container' data-page=31>

Áp dụng bổ đề trên với n = 4, m = 4 ta có:

Tương tự:

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(32)</span><div class='page_container' data-page=32>

Cộng từng vế (1), (2), (3):

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(33)</span><div class='page_container' data-page=33>

Dấu “=“ xảy ra

Nhận xét: Đây là một bài tốn khó cho việc
thiết lập nút chặn (1), (2), (3) bằng cách sử
dụng bất đẳng thức Jensen nhưng cho thấy
được hiệu quả rất lớn của bổ đề này

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(34)</span><div class='page_container' data-page=34>

VD2: Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng:

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(35)</span><div class='page_container' data-page=35>

Áp dụng bổ đề ở ví dụ 2 với m=3,n=2 ta có:

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(36)</span><div class='page_container' data-page=36>

Ta cần chứng minh:

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(37)</span><div class='page_container' data-page=37>

(1)

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(38)</span><div class='page_container' data-page=38>

Đặt , (1) trở thành:

Chứng minh tương tự (2) đúng

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(39)</span><div class='page_container' data-page=39>

Vậy bất đẳng thức được chứng minh
Đẳng thức xảy ra

• 

</div>
<span class='text_page_counter'>(40)</span><div class='page_container' data-page=40>

Bài tập tương tự:

Cho là các số thực dương thay đổi bất kỳ. CMR:

• 

<i>xyz</i>

(1+ 3 <i>x</i> )( <i>z</i> +6) ( <i>x</i> +8 <i>y</i> )( <i>y</i>+9 <i>z</i> ) <i>≤</i>

1
74

 

</div>
<span class='text_page_counter'>(41)</span><div class='page_container' data-page=41>

Qua hai ví dụ trên cho thấy tính hiệu quả to
lớn khi sử dụng phương pháp thiệt lập nút
chặn, làm bất đẳng thức ban đầu trở nên “dễ
trị” hơn qua hàng loạt các nút chặn được thiết
lập.

</div>
<span class='text_page_counter'>(42)</span><div class='page_container' data-page=42></div>

<!--links-->