Sử dụng bất đẳng thức phụ cauchy schwarz vào giải toán bất đẳng thức cưc trị trong đại số cho đối tươngnhóm học sinh khá giỏi lớp 9b trường THCS điện biên

I. MỞ ĐẦU
I.1. Lí do chọn đề tài.
Triển khai thực hiện Nghị quyết số 29-NQ/TW về đổi mới căn bản toàn
diện giáo dục và đào tạo giai đoạn 2021-2025, Ủy viên Trung ương Đảng, Bộ
trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo Phùng Xuân Nhạ cho biết, trong bối cảnh đất
nước cịn nhiều khó khăn và nguồn lực cịn hạn hẹp, với sự quan tâm của Đảng
và Nhà nước, sự phối hợp có hiệu quả của các bộ, ngành, địa phương, đặc biệt
sự nỗ lực của đội ngũ nhà giáo, cán bộ quản lý giáo dục các cấp, sự nghiệp giáo
dục và đào tạo nước ta đã tạo được chuyển biến căn bản về chất lượng, hiệu quả,
được các tổ chức quốc tế ghi nhận, đánh giá cao.
Đáng chú ý, chất lượng giáo dục mũi nhọn được thế giới đánh giá cao trên
đấu trường quốc tế. Kết quả thi Olympic của học sinh Việt Nam trong giai đoạn
2016-2020 có bước tiến bộ vượt bậc với 49 huy chương vàng, so với 27 huy
chương Vàng giai đoạn 2011-2015.
Năm học 2020-2021 tỉnh thanh hóa xếp thứ 5 tồn quốc về số học sinh
đoạt giải nhất tại kỳ thi chọn học sinh giỏi Quốc gia.
Bên cạnh đó Đại hội Đảng tồn quốc lần thứ XII xác định những nhiệm
vụ chủ yếu: Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ, đồng bộ các yếu tố cơ bản của GD & ĐT
theo hướng coi trọng phát triển phẩm chất, năng lực của người học; hoàn thiện
hệ thống giáo dục quốc dân theo hướng hệ thống giáo dục mở, học tập suốt đời
và xây dựng xã hội học tập.
Trước yêu cầu đổi mới về GD&ĐT hiện nay, đòi hỏi mỗi giáo viên trong
nhà trường cần ý thức sâu sắc trách nhiệm của mình trong quá trình giảng dạy,
đặc biệt đối với giáo viên giảng dạy bộ mơn tốn, song song với nhiệm vụ giảng
dạy thì việc phát huy sự sáng tạo, tính tích cực nhằm phát triển năng lực trí tuệ
tồn diện cho học sinh. Giúp cho học sinh có hứng thú học và u thích mơn
Tốn nhất là đối với những học sinh có năng lực đặc biệt. Là nền móng cho chất
lượng mũi nhọn nước nhà.
Bất đẳng thức là một nội dung lâu đời và quan trọng của Toán học. Ngay
từ đầu, sự ra đời và phát triển của bất đẳng thức đã đặt dấu ấn quan trọng, chúng
có sức hút mạnh mẽ đối với những người u tốn, khơng chỉ ở vẻ đẹp hình thức

mà cả những bí ẩn nó mang đến ln thơi thúc người làm tốn phải tìm tịi, sáng
tạo. Bất đẳng thức cịn có nhiều ứng dụng trong các mơn khoa học khác và trong
thực tế. Ngày nay, bất đẳng thức vẫn luôn chiếm một vai trò quan trọng và vẫn
thường xuất hiện trong các kì thi học kỳ, kỳ thi học sinh giỏi cấp THCS, THPT,
thi Đại học, thi quốc gia, quốc tế… Một trong những bất đẳng thức cổ điển
quan trọng là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và các ứng dụng của nó. Bất đẳng
thức Cauchy-Schwarz từ khi ra đời đến nay đã ln được các nhà tốn học lỗi
lạc nghiên cứu và phát triển. Chúng ta đã gặp nhiều sự kết hợp của bất đẳng thức
Cauchy-Schwarz với các bất đẳng thức khác. Bản thân tơi ln suy nghĩ để tìm
tịi cách giải, kỹ năng phân tích bài tốn để giúp học sinh khi học tiếp thu và
chiếm lĩnh kiến thức được tốt hơn. Xuất phát từ lí do trên tơi quyết định chọn đề
tài “ Sử dụng Bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào giải bài toán Bất đẳng thức
– Cực trị trong Đại số cho đối tượng nhóm học sinh khá giỏi lớp 9B trường
THCS Điện Biên.” làm đề tài nghiên cứu cho mình. Nhằm trang bị cho học sinh
1


những kiến thức cơ bản về kỹ thuật sử dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức
Cauchy Schwarz. Từ đó các em chủ động được cách giải, chủ động trong tư duy
tìm hướng giải quyết cho bài tốn bất đẳng thức – cực trị .
I.2. Mục đích nghiên cứu.
a. Đối với Giáo viên:
- Nâng cao trình độ chun mơn phục vụ cho quá trình giảng dạy.
- Làm quen với công tác nghiên cứu khoa học nâng cao kiến thức.
b. Đối với học sinh:
- Giúp học sinh học tập môn tốn nói chung và việc giải bài tập về chứng
minh Bất đẳng thức nói riêng. Trang bị cho học sinh một số kiến thức mới nhằm
nâng cao năng lực học mơn tốn giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động,
sáng tạo và làm công cụ giải quyết một số bài tập liên quan đến bất đẳng thức.
- Kích thích mạnh mẽ ý thức tự giác, lịng say mê và ý chí vươn lên trong

học tập và tu dưỡng của học sinh.
- Nắm vững một cách có hệ thống các kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức
Cauchy Schwarz và ứng dụng của bất đẳng thức trong giải các bài tập liên quan
I.3. Đối tượng nghiên cứu
Học sinh cấp học THCS chủ yếu là học sinh khối 9 và ôn luyện thi vào 10, thi
vào các trường chuyên, cũng như bồi dưỡng đổi tuyển học sinh giỏi các cấp.
I.4. Phương pháp nghiên cứu.
- Trong quá trình nghiên cứu đề tài tôi đã dùng những phương pháp sau:
- Đọc sách, nghiên cứu thu thập, xử lí tài liệu sưu tầm được.
- Điều tra, giáo viên và học sinh. Tự tìm hiểu đối tượng học sinh .
- Đúc rút một phần kinh nghiệm qua đồng nghiệp và bản thân trong quá
trình giảng dạy.
Thông qua các tài liệu: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập, sách
tham khảo, đề thi các kỳ thi học sinh giỏi, thi vào 10, thi thử. Các chuyên đề bồi
dưỡng toán THCS, nâng cao và phát triển Toán 9, phương pháp giải toán Bất
đẳng thức, báo toán học tuổi trẻ và các kênh thông tin khác.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
II.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong chương trình giáo dục trung học cơ sở, mơn tốn là mơn học quan
trọng, là thành phần khơng thể thiếu của nền văn hóa phổ thơng của con người
mới, mơn tốn có tiềm năng có thể khai thác góp phần phát triển năng lực trí tuệ
chung, rèn luyện và phát triển các thao tác tư duy và các phẩm chất tư duy.
Trong q trình giải tốn ở nhà trường cũng như trong các kỳ thi học sinh giỏi
các cấp, chuyền đề bất đẳng thức là một chun đề hay và lý thú chính vì vậy
mà nó thường xuyên có mặt trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp, đặc
biệt là cấp THCS và kỳ thi vào lớp 10.
Đứng trước một bài tốn có thể có nhiều cách giải khác nhau song việc
tìm ra một lời giải hợp lý ngắn gọn, thú vị và độc đáo là một việc khơng hề dễ
thơng qua đó mà thu được kết quả nhanh chóng.

2


Bất đẳng Cauchy Schwarz là một bất đẳng thức kinh điển như vậy. Vì vậy
nếu khai thác bất đẳng thức này vào việc giải các bài tốn khác thì có thể đem
lại kết quả nhiều mặt, kích thích tính sáng tạo của học sinh
Trong đề tài này tôi xin minh họa một số kỹ năng sử dụng bất đẳng thức
Cauchy Schwarz, thấy được các ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy Schwarz
trong việc giải các dạng toán khác. Nhằm giúp học sinh thấy được cái hay, cái
đẹp, sự thú vị trong học tốn nói chung và trong bất đẳng thức nói riêng. Từ đó,
giúp học sinh tự tin, tích cực, sáng tạo hơn trong học toán, giúp học sinh thêm
yêu thích, nâng cao chất lượng, kết quả học tập.
Để phục vụ cho kỳ thi học sinh giỏi lớp 9 cấp thành phố và cấp tỉnh, thi
vào 10 sắp tới tôi xin đi sâu về giải bất đẳng thức – cực trị bằng áp dụng bất
đẳng thức Cauchy Schwarz cho 2 bộ 3 số vào một số ví dụ điển hình.
II.2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
II.2.1. Thuận lợi
Trường THCS Điện Biên vốn có một truyền thống thi đua dạy tốt, học tốt
rất tích cực. Điều đó càng thơi thúc tơi tìm tịi, sáng tạo, làm sao để hồn thiện
phương pháp giảng dạy của mình để các em học sinh được học tập một cách tốt
nhất, hiệu quả nhất.
Trước khi tiến hành nguyên cứu đề tài tôi tiến hành khảo sát đội ngũ học
sinh giỏi dự thi cấp thành phố năm học 2018-2019 về các bài tốn về bất đẳng
thức thì 87,5% học sinh khơng làm được(7/8 học sinh), 12,5 học sinh có hướng
đi cịn dài và việc lập luận, trình bày bài tốn cịn nhiều sai sót. Trao đổi về kiến
thức thì các em cịn mơ hồ về bất đẳng thức trong khi đó hầu hết các đề thi cấp
thành phố phần lớn đều có bài bất đẳng thức, hoặc cực trị đặc biệt đề thi cấp
tỉnh, đề thi cuối kỳ, vào lớp 10. Chính vì lý do đó mà bản thân mỗi học sinh
trong nhóm khá giỏi cũng rất mong muốn tiếp cận, khai thác mảng kiến thức
này. Do đó cá nhân tơi mạnh dạn thực hiện đề tài nghiên cứu này nhằm giúp các

em học sinh ở nhóm khá giỏi lớp 9B trường trung học cơ sở Điện Biên và cho
các thầy cô giáo, học sinh khối 9 tham khảo cải thiện về mảng bất đẳng thức
thông qua việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz vào giải các bài toán bất
đẳng thức – cực trị trong đại số.
II.2.2. Khó khăn
Bên cạnh những thuận lợi nêu trên vẫn đang cịn khơng ít những khó
khăn, tồn tại ảnh hưởng đến kết quả dạy học như:
Trước hết phải kể đến là ý thức tự giác trong học tập của người học chưa
cao, khả năng tự học, tự rèn của học sinh hiện nay giảm sút nhiều ( do mạng xã
hội, cám dỗ trong cuộc sống, quan điểm của cá nhân phụ huynh còn lệch lạc
xem nhẹ việc học…). Nhiều học sinh thông minh nhưng ngại va chạm, ý thức
vươn lên chưa cao. Các em ít có những suy nghĩ, trăn trở khi làm bài tập khó
hoặc khi làm bài tập sai thì động lực để các em quyết tâm tự làm lại cho đúng
chưa nhiều. Một điều nữa là việc lưu giữ (quá trình ghi nhớ), tái hiện (trình bày
bằng lời hoặc viết) của học sinh chưa tốt, các em lười làm bài tập ở nhà.
II.2.3. Thực trạng về việc giải bài tập toán của học sinh

3


- Trong mảng kiến thức về bất đẳng thức, các em tỏ ra lúng túng khi lập
luận, khi trình bày một số dạng bài tập nêu trên. Vì vậy mà các em quên nhanh
nhiều kiến thức cơ bản của phần này dẫn đến ngại làm bài tập. Trong khi đó, để
học mơn tốn tốt, muốn nhớ lâu kiến thức thì con đường vô cùng hiệu quả là
luyện giải bài tập
- Một số học sinh lớp 9B trường THCS Điện Biên, kỹ năng phân tích,
nhận dạng, tìm ra dấu hiệu của các bài tốn đang cịn hạn chế, lúng túng, gặp
nhiều khó khăn.
- Qua khảo sát mức độ hứng thú học giải toán bất đẳng thức và kỹ thuật
sử dụng bất đẳng thức phụ ở mức độ thông hiểu, vận dụng thấp, vận dụng cao

với 8 em học sinh ở nhóm khá – giỏi của lớp 9B kết quả thu được
Bảng 1: Mức độ hứng thú của học sinh khi giải tốn bất đẳng thức
Khơng
Hứng thú
Bình thường
hứng thú
Lớp Sĩ số
SL
%
SL
%
SL
%
9B

8

3

37,5

3

37,5

2

25

Bảng 2: Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ ở mức độ thông hiểu, vận

dụng thấp, vận dụng cao
Lớp

Sĩ số

Thông hiểu
SL

Vận dụng thấp
% SL

%

Vận dụng cao
SL

9B
8
6
75
4
50
1
( Bài kiểm tra trong thời gian 60’- đề bài ở phần phụ lục)

%
12,5

II.3. Các giải pháp thực hiện
II.3.1. Các giải pháp giải quyết vấn đề

- Giáo viên dạy chuyên đề bất đẳng thức Cauchy Schwarz phải đi theo lộ
trình: lí thuyết => thực hành : từ nhận biết => thông hiểu => vận dụng thấp =>
vận dụng cao=> khai thác => phát triển bài toán
- Phần bài tập phải theo từng giai đoạn phù hợp với lộ trình.
- Các ví dụ, bài tập phải có sự đổi mới, đa dạng, phong phú, chất lượng.
- Học sinh tự học, tự nghiên cứu, kết hợp với giáo viên dạy phải đi sâu vào
bản chất, tìm ra quy luật, phương pháp để giải bài toán một cách khoa học nhất.
- Hướng dẫn học sinh cách phân tích bài tập, chứ không chỉ đi sâu vào
giải cụ thể.
- Học sinh phải được làm nhiều bài tập khác nhau, bổ sung kiến thức và đi
sâu vào tìm hiểu các dấu hiệu đặc biệt (nếu có).
- Kết hợp với kiểm tra, đánh giá.
- Luôn bám theo quy tắc chứng minh bất đẳng thức, cự trị
II.3.2. Biện pháp tổ chức thực hiện:
II.3.2.1. Lý thuyết.
Đầu tiên xin được nhắc lại nội dung bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
4


- Với hai bộ số thực bất kì a1, a2,..., an và b1, b2,..., bn ta có bất đẳng thức:
(a12  a12  ...  a12 )(b12  b12  ...  b12 ) �(a1b1  a2b2  ...  anbn ) . Dấu bằng chỉ xảy ra

khi và chỉ khi ab
i i  aj bj với mọi i≠j. Ta hãy nhìn bất đẳng thức trên dưới dạng
khác như sau: Với hai bộ số thực bất kì a1, a2,..., an và b1, b2,..., bn thoả mãn bi
a2 a 2
a 2  a  a  ...  an 
dương ta có: 1  2  ...  n � 1 2
b1 b2
bn

b1  b2  ...  bn

2

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi ab
i i  aj bj với mọi i≠j.
Để sử dụng thật tốt bất đẳng thức này học sinh phải có cái nhìn hai chiều
với bất đẳng thức trên. Nói chung thì bất đẳng trên ứng dụng giải toán nhiều hơn
hay dễ sử dụng hơn so với bất đẳng thức dạng chính tắc. Bây giờ ta đi vào xét
các ví dụ để thấy được sức mạnh của bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.
A. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ THƯỜNG GẶP
( là các trường hợp đặc biệt của bất đẳng thức Cauchy Schwarz).
1 1

4

1) Với x, y�R khi đó ta có: x  y �x  y .
1 1

1

9

2) Với x, y, z�R khi đó ta có: x  y  z �x  y z .
a, b�R
�
a2 b2 (a  b)2

�
3) Với �

.
 khi đó ta có:
x y
x y
�x, y�R
�a, b,c �R

4) Với �


�x, y, z�R

khi đó ta có:

a2 b2 c2 (a  b  c)2

 �
.
x y
z
x  y z

B. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ KHÁC
1) a2  b2  c2 �ab  bc  ca

(a  b  c)2
2) a  b  c �
3
2
3) (a  b c) �3(ab  bc  ca) ….

2

2

2

a  b c  p
�
�
4) Bất đẳng thức Schur ta có: 9r �p(4q  p ) với �ab  bc  ca  q
�
abc  r
�
2

5) (a  b  c)2 �(3a  b c)(a  b  c)  (a  3b  c)(a  b  c)  (a  b  3c)(a  b  c) .
6) Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác ta ln có:
a+b-c >0 (hoặc a-b+c>0; -a+b+c>0)
7) Bất đẳng thức AM-GM . Với x,y,z là các số không âm ta có:
x  y  z �33 xyz .

C. CÁC ĐẲNG THỨC

5


bc
bc
ca
ac

ab
ab





 a  b c
a  b a  c b c b a c  a c  b
a2
b2
c2
a2
b2
c2
a2
2) 2 2  2 2  2 2  2 2  2 2  2 2  2 2  3
a b b a c a a c b c c a a c

1)

3) 3a2+(b+c)2= (2a2+2bc)+ (a2+b2+c2)
4) 4a2+b2+c2= 2a2+(a2+b2)+(a2+ c2)
D. NHỮNG QUY TẮC CHUNG KHI CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG
THỨC - CỰC TRỊ KHI SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
SCHWARZ.
1. Quy tắc song hành: Hầu hết các bất đẳng thức đều có tính đối xứng do
đó việc sử dụng các chứng minh một cách song hành, tuần tự sẽ giúp ta hình
dung ra được kết quả nhanh chóng và định hướng cách giải nhanh hơn.
2. Quy tắc dấu bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức là rất quan trọng. Nó

giúp ta kiểm tra tính đúng đắn của chứng minh. Nó định hướng cho ta phương
pháp giải, dựa vào điểm rơi của bất đẳng thức.
3. Quy tắc về tính đồng thời của dấu bằng: không chỉ học sinh mà ngay
cả một số giáo viên khi mới nghiên cứu và chứng minh bất đẳng thức cũng
thường rất hay mắc sai lầm này, áp dụng liên tiếp hoặc song hành các bất đẳng
thức nhưng không chú ý đến điểm rơi của dấu bằng. Một nguyên tắc khi áp dụng
song hành các bất đẳng thức là điểm rơi phải được đồng thời xảy ra, nghĩa là các
dấu “ = ” phải được cùng được thỏa mãn với cùng điều kiện của biến.
4. Quy tắc biên: Cở sở của quy tắc biên này là các bài tốn quy hoạch
tuyến tính, các bài tốn tối ưu, các bài tốn cực trị có điều kiện ràng buộc, giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm nhiều biến trên một miền đóng. Ta biết rằng
các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thường xảy ra ở các vị trí biên và các đỉnh nằm trên
biên.
5. Quy tắc đối xứng: Đối với các bất đẳng thức có tính chất đối xứng thì
vai trị của các biến trong bất đẳng thức là như nhau, do đó dấu “ = ” thường xảy
ra tại vị trí các biến đó bằng nhau. Nếu bài tốn có gắn hệ điều kiện đối xứng thì
ta có thể chỉ ra dấu “ = ” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ
thể. Chiều của bất đẳng thức cũng sẽ giúp ta định hướng được cách chứng minh:
đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân và ngược lại.
II.3.2.2. Các bước hướng dẫn học sinh giải bài tập.
Tôi xin đi sâu vào phân tích cách tìm hướng đi cho bài toán khi áp
dụng bất đẳng thức CAUCHY SCHWARZ và những lưu ý.
II.3.2.2.1. Phần nhận biết, thơng hiểu.
Các bài tốn mở đầu
Từ bất đẳng thức phụ sau:
a, b�R
�
a2 b2 (a  b)2

�

Với �
.
 khi đó ta có:
x y
x y
�x, y�R
a b

x y

(*).

Dấu “=” xảy ra khi

6


Áp dụng giải các ví dụ sau:
Ví dụ 1 ( Đề bài kiểm tra khảo sát ở mức độ vận dụng thấp)
�x, y�R
Với �
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
�x  y �5

A

1 1

.
4x 9y

Phân tích, tìm lời giải:
�x, y�R
và yêu cầu của bài toán. Ta bám theo quy tắc tính đồng thời của
�x  y �5

Từ �

dấu “=” và quy tắc biên. Hướng A �f (x  y) �f (5) . Do đó ta áp dụng bất đẳng
thức (*) để biến đổi A theo hướng mong muốn.
2

2

1 1 �1  1 � �5 �
�2 3� �6 � 5 .
Nên ta viết
� � �
A  4  9 ��
x y
x y
5
36
�1 1
�x  3
� 
Khi đó dấu “=” xảy ra khi �2x 3y  � .
�y  2
�x  y  5
�

Lưu ý:
+) Khi trình bày bài tốn học sinh phải chứng minh bất đẳng thức phụ (*) trước
khi áp dụng và kiểm tra giá trị của biến x,y khi dấu “=” xảy ra.
+) Khai thác hiệu quả quy tắc về tính đồng thời xảy ra dấu “=” và quy tắc biên.
�a, b,c �R

Ví dụ 2 Với �


�x, y, z�R

Chứng minh rằng :

a2 b2 c2 (a  b  c)2

 �
.
x y
z
x  y z

Phân tích, tìm lời giải:
Do vai trò của các biến như nhau => bám theo quy tắc đối xứng song hành. Quy
tắc về tính đồng thời của dấu “=”. Khi vế trái bất đẳng thức có dạng phân thức,
tử thức được viết dưới dạng bình phương khi đó nếu dùng bất đẳng thức (*) 2
lần ta có:
�a2 b2 � c2 (a  b)2 c2 (a  b c)2
VT  �  � �
 �

 VP
x y
z
x  y z
�x y � z
�a b
�x  y
a b c
�
Dấu “=” xảy ra khi �
 x y  z
�a  b  c
�
�x  y z

Lưu ý: Nếu quy nạp cho 2 bộ 4 số, 5 số,… n số. Đó chính là bất đẳng thức
Cauchy Shwarz tổng qt:
Với hai bộ số thực bất kì a1, a2,..., an và b1, b2,..., bn thoả mãn bi dương ta có:
a12 a22
an2  a1  a2  ...  an 

 ... 
�
b1 b2
bn
b1  b2  ...  bn

2

Dấu bằng chỉ xảy ra khi và chỉ khi ab

i i  aj bj với mọi i≠j.
Ví dụ 3 (Đề bài kiểm tra khảo sát ở mức độ thông hiểu)

7


Cho x,y,z > 0 và x  y  x �4 .
Tìm giá trị nhỏ nhất của P 

x2
y2
z2


yz zx x y

Hướng dẫn
Cách 1

  

x2
yz
y2
zx
z2
x y

�x;


�y;

�z
yz
4
zx
4
x y
4
x yz x yz 4
 P x y x
2.
2
2
2

Cách 2:

 x  y  z   x  y  z  4  2.
x2
y2
z2
P


�
y  z z  x x  y 2 x  y  z 
2
2
2

Lưu ý: Với bài tốn này trong bài kiểm tra khảo sát nhóm khá giỏi có 4 học sinh
làm được( trong đó có 1 học sinh làm theo cách 1, có 2 học sinh làm theo cách 2
và 1 học sinh làm theo cách khác). Ta thấy bất đẳng thức

a2 b2 c2 (a  b  c)2

 �
x y
z
x  y z

cho ta lời giải đơn giản, đẹp đến nhường nào!
2.3.2.2.2. Phần vận dụng
Trong phần này tôi xin đi sâu về việc vận dụng bất đẳng thức sau:
�a, b,c �R

Với �


�x, y, z�R

Chứng minh rằng :
a b

a2 b2 c2 (a  b  c)2

 �
. (**)
x y

z
x  y z

c

Dấu “=” xảy ra khi x  y  z .
Tôi chia thành 3 dạng toán :
II.3.2.3. Cụ thể đối với dạng toán
Dạng 1 VẬN DỤNG THEO CHIỀU TỪ TRÁI QUA PHẢI CỦA BẤT
ĐẲNG THỨC (**) (Ta tạm gọi là bất đẳng thức cộng mẫu)
a) Vận dụng thấp
Ví dụ 1 (Chuyên Kiên Giang 2018-2019)
Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x  y z  2
x2
y2
z2


�1
Chứng minh rằng:
y z z  x x  y

Phân tích, tìm lời giải:
Do vai trò của các biến như nhau và x, y, z là các số thực dương
thỏa mãn: Nên ta bám theo quy tắc song hành, quy tắc dấu “=”.
Mặt khác thấy vế trái của bất đẳng thức có dạng phân thức, tử của
mỗi phân thức có dạng bình phương, mẫu thức có biến khơng đầy đủ.
Do đó ta nghĩ ngay đến việc áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng
thức cộng mẫu) và biến đổi đại số để đưa VT  f (x, y, z) �f (x  y  z)  f (2)  VP
x2

y2
z2
(x  y  z)2 x  y  z


�

Cụ thể:
y  z z  x x  y 2(x  y  z)
2

8


Mà x  y  z  2
=> Bất đẳng thức được chứng minh.
y
z
�x


2
�
Lưu ý: +) Dấu “=” xảy ra khi: �y z z  x x  y <=> x  y  z  .
3
�x  y  z  2
�

+) Kiểm tra thỏa mãn bất đẳng thức rồi mới kết luận
Ví dụ 2

Cho 3 số a,b,c là các số thực dương.
Chứng minh rằng:

a
b
c


�1
b  2c c  2a a  2b

Phân tích, tìm lời giải:
Ta thấy: Vai trò của a,b, c như nhau => Nên ta bám theo quy tắc
song hành, quy tắc dấu “=”.
Vế trái có dạng phân số. Tuy nhiên: Tử số của mỗi phân số khơng
phải bình phương của 1 số nên ta tạo ra. Vậy ta tạo ra bằng cách nào? ( nhân cả
tử và mẫu của phân thức với 1 số là tử).
a
b
c
a2
b2
c2
VT 





b 2c c  2a a  2b a(b 2c) b(c  2a) c(a  2b)

Khi đó ta liên tưởng đến bất đẳng thức (**).
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức trên ta đi chứng minh

(a  b  c)2
�1
3(ab  bc  ca)

Nghĩa là ta đi chứng minh tử lớn hơn hoặc bằng mẫu. Khi đó ta liên tưởng đến
bất đẳng thức (a  b  c)2 �3(ab  bc  ca) .
=> Bất đẳng thức được chứng minh.
Lưu ý: Phải nắm vững các bất đẳng thức phụ và khi làm bài ta phải chứng minh
đày đủ các bất đẳng thức phụ đó.
Ví dụ 3 (Chun Hịa Bình: 2019-2020).
�
a, b�R
a
b
1

�
Cho �
. Chứng minh :
2
2
1 4b 1 4a 2
a  b  4ab
�

Phân tích, tìm lời giải:

�
a, b�R
Từ giả thiết �
.
a  b  4ab
�
+) Ta khai thác được 4ab  a  b �2 ab ( Bất đẳng thức cosi cho 2 số)  4ab�1

. Nên ta bám theo quy tắc song hành, quy tắc dấu “=”, Quy tắc biên.
Đây cũng chính là bước đệm để ta biến đổi vế trái theo hướng sau
+) Ta quan sát thấy vế trái vai viết dưới dạng tổng 2 phân thức mà mẫu thức
biến không đầy đủ, dấu của bất đẳng thức lớn hơn hoặc bằng nên ta nghĩ ngay
đến bất đẳng thức cộng mẫu
Cụ thể VT 

a2
b2
(a  b)2
a b
1
1

�

 1
�  VP
2
2
a  4ab b 4ba a  b 4ab(a  b) 1 4ab
1 4ab 2

Lưu ý:

9


- Trong quá trình biến đổi chú ý chiều của bất đẳng thức để lựa chọn chiều nào
của bất đẳng thức phụ từ đó ta có hướng đi cho bài tốn.
- Tìm Min A Max

1
1
 Min(- ) với quy ước A> 0
A
A

Ví dụ 4 (Chuyên Đắc Lắc 2019-2020)
a, b,c �R
�
a3  b3 b3  c3 c3  a3


�2
Cho �2 2 2
. Chứng minh rằng:
a b c 3
a  2b b  2c c  2a
�

Phân tích, tìm lời giải:

- Khi bài toán cho biết giá trị của các biểu thức a2  b2  c2 ; ab+bc+ca; a+b+c
ta liên tưởng đến các bất đẳng thức phụ của chúng.
- Ta thấy vế trái nếu tách thành 2 nhóm thì bài tốn sẽ có dạng đơn giản hơn, từ
đó nhận thấy dạng của bất đẳng thức Cauchy Schwarz( bất đẳng thức cộng mẫu)
� a3
b3
c3 � � b3
c3
a3 �
VT  �





��
� M  N
�a  2b b  2c c  2a � �a  2b b  2c c  2a �





2

a2  b2  c2
a4
b4
c4
M 2



�
a  2ab b2  2bc c2  2ca a2  b2  c2  2(ab  bc  ca)

a

2

 b2  c2



2

32
�2 2 2

1
a  b  c  2(a2  b2  c2 ) 9





2



2

a2  b2  c2
b4
c4
a4
N


�
ba  2b2 cb  2c2 ac  2a2 2(a2  b2  c2 )   ab  bc  ca)

a

2

 b2  c2

32
� 2 2 2

1
2(a  b  c )  a2  b2  c2 9

=> VT �2  VP . Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
Lưu ý: +) Cái hay trong bài tốn này là ta chia nhỏ cơng việc, đã đưa từ phức tạp
thành đơn giản, đưa lạ về quen, đã sử dụng bất đẳng thức
ab  bc  ca �a2  b2  c2 để biến đổi đưa VT �f (a2  b2  c2 )  f (3) . Để có một lời
giải đẹp.
b) VẬN DỤNG CAO
Ví dụ 1 ( Đề bài kiểm tra khảo sát ở mức độ vận dụng cao)

Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn abc=1
1
1
1
 3
 3
Tìm giá trị nhỏ nhất A  3
a (b  c) b (c  a) c (a  b)
Phân tích, tìm lời giải:
+) Từ A và abc=1 ta thấy vai trò của các biến như nhau => quy tắc đối xứng, quy
tắc dấu “=”.
+) Với yêu cầu tìm giá trị nhỏ nhất của A ta liên tưởng đến các bất đẳng thức
phụ, biến đổi A theo hướng A �f (abc)  f (1)

10


Mặt khácTa thấy biểu thức A có dạng phân số, bậc của mẫu lớn hơn bậc của tử.
Điều này dẫn đến việc dùng bất đẳng thức Cauchy- Schwarz . Tuy nhiên sau khi
1
1
1
(1 1 1)2


�
sử dụng A  3
a (b c) b3(c  a) c3(a  b) a3(b  c)  b3(c  a)  c3(a  b)
Ta thấy bài tốn trở nên khó khăn hơn và dẫn đến bế tắc.
1

1
Khi đó ta xét phân thức = đại diện
a2

a3(b  c) a(b  c)

Lúc này việc áp dụng bất đẳng thức lại may lại hiệu quả rõ rệt
1
1
1
1 1 1
 
2
2
2
(ab  bc  ca)2 ab  bc  ca
A a
 b
 c
� a b c 

a(b c) b(c  a) c(a  b) 2(ab  bc  ca) 2(ab  bc  ca)
2
Khi đó với abc=1 ta nghĩ ngay đến việc
33 a2b2c2 3
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: VT �

2
2
Lưu ý:

+) Khi dùng bất đẳng thức cauchy schwarz hay bất đẳng thức AM-GM , abc=1
thì ta đều có được a = b = c và các bất đẳng thức biến đổi phải cùng chiều.
+) Ở bài này chỉ có 1 học sinh trong nhóm khảo sát làm được tuy nhiên cách làm
dài, phức tạp.
Ví dụ 2 (Chuyên Khoa học tự nhiên 2020-2021)
Cho a,b,c là ba số dương thỏa mãn: a+b+c =3
a(a  bc)2
b(b  ac)2
c(c  ab)2


�4
Chứng minh rằng:
b(ab  2c2 ) c(bc  2a2 ) a(ca  2b2 )

Phân tích, tìm lời giải:
Từ a+b+c=3 và u cầu của bài toán ta biến đổi VT theo hướng
VT �f (a  b  c)  f (3)

Ta thấy VT các biến có vai trị như nhau và chiều bất đẳng thức �nên ta liên
tưởng tới bất đẳng thức Cauchy Schwarz( bất đẳng thức cộng mẫu). Cũng vì lí
do đó mà ta biến đổi vế trái như sau:
a(a  bc)2
b(b  ac)2
c(c  ab)2
a2(a  bc)2
b2(b  ac)2
c2(c  ab)2
VT 






b(ab  2c2 ) c(bc  2a2 ) a(ca  2b2 ) ab(ab  2c2) bc(bc  2a2 ) ac(ca  2b2 )
a2 b2 c2  a  b  c
Áp dụng bất đẳng thức   �
x y z
x  y z

a b c
2

 VT �

2

2



 3abc

2

a2b2  b2c2  c2a2  2abc(a  b  c)

2

a b c


2

2

2



 3abc

2

(ab  bc  ca)2

Khi đó ta thấy trong phân thức nhận được có các đại lượng đặc trưng 3abc,
a2  b2  c2 , ab  bc  ca
Nên ta nghĩ ngay đến bất đẳng thức Schur ta có: 9r �p(4q  p2 )

11


�a  b  c  p
�
với �ab bc  ca  q
�abc  r
�
=> 9abc �(a  b c)(4ab  bc  ca)  (a  b c)2 )

=> 3abc �4ab  bc  ca)  9 ( Do a+b+c=3).

a b c
Khi đó VT �
2

2

2



 4(ab  bc  ca)  9

(ab  bc  ca)2

2





2

�a  b  c)2  2(ab  bc  ca)  9 �
�
�
2
(ab  bc  ca)

2
�

 9 2(ab  bc  ca)  9 �
� 4(ab  bc  ca)  4
�
(ab  bc  ca)2
(ab  bc  ca)2
2

Dấu “=” xảy ra khi  a=b=c=1. Vậy đpcm
Lưu ý: Ở các bài tốn vận dụng cao địi hỏi học sinh phải tích lũy nhiều kiến
thức nhất là các bất đẳng thức phụ (VD: bất đẳng thức Schur) và cần phân tích,
nhận diện, khai thác hướng đi hiệu quả.
c) BÀI TẬP CỦNG CỐ ( Đính kèm trong phần phụ lục)
Dạng 2 VẬN DỤNG THEO CHIỀU TỪ PHẢI QUA TRÁI CỦA BẤT
ĐẲNG THỨC (**) (Ta tạm gọi là bất đẳng thức rã mẫu)
a) Vận dụng thấp
Ví dụ 1
Cho a,b,c là các số dương tùy ý.
Chứng minh rằng:

bc
bc
bc
a  b c


�
b  c  2c b  c  2c b  c  2c
4

Phân tích, tìm lời giải:

- Ta nhận thấy rằng chiều của bất đẳng thức nếu biến đổi từ trái qua phải là
bé hơn hoặc bằng khi đó ta hướng tới bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng
thức rã mẫu)
- Từ đề bài ta thấy vai trò của các biến như nhau nên ta bám theo quy tắc
đối xứng, quy tắc dấu”=”.
Khi đó ta phân tích phân thức đại diện:
bc
bc
4
bc � 1
1 � 1 � bc
bc �
 .
� .�

 �

�
b  c  2c 4 (a  b)  (a  c) 4 �a  b a  c � 4 �a  b a  c �
�

Tương tự ta có được:
1 � bc
bc � 1 �ca
ac � 1 �ab
ab � a  b  c
VT � �

 �


 �


 VP
�
�
4 �a  b a  c � 4 �b  c b  a � 4 �c  a c  b �
4
�

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c
Lưu ý
+) Lời giải trên đáng chú ý bởi ta phát hiện, khai thác đẳng thức
bc
bc
ca
ac
ab
ab





 a  b c
a  b a  c b c b  a c  a c  b

+) Khi giải ta quan sát và xây dựng các hằng đẳng thức đẹp như trên bởi cách
tách nhóm thích hợp. Kỹ thuật này ta áp dụng cho các ví dụ tiếp theo sau đây:
Ví dụ 3:

12


�
a, b,c �R
1
1
1
1
 2 2
�
Cho �
. Chứng minh rằng: 2 2 2  2
2
2
2
4a  b  c a  4b  c a  b  4c 2
a  b c  3
�

Phân tích, tìm lời giải:
Ta sử dụng tư tưởng như ở ví dụ 3. Cố gắng tìm ra một đẳng thức và kết hợp giả
thiết a+b+c =3. Ta khai thác các đẳng thức sau:
1) 4a2+b2+c2= 2a2+(a2+b2)+(a2+ c2)
a2
b2
c2
a2
b2
c2

a2
2) 2 2  2 2  2 2  2 2  2 2  2 2  2 2  3
a b b a c a a c b c c a a c

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz cho phân thức đại diện ta được phân tích
9
(a  b c)2
a2
b2
c2

�


sau: 2 2 2
4a  b  c 2a2  (a2  b2 )  (a2  c2 ) 2a2 a2  b2 a2  c2

9


a2
b2
c2
b2
a2
c2
c2
a2
b2
VT � 2  2 2  2 2  2  2 2  2 2  2  2 2  2 2

2a a  b a  c 2b b  a b  c 2c c  a c  b
3
9
1
  1 1 1  VT
VP
2
2
2

Dấu “=” xảy ra khi a=b=c=1
Lưu ý Lời giải trên đáng chú ý bởi ta phát hiện, khai thác các đẳng thức
1) 4a2+b2+c2= 2a2+(a2+b2)+(a2+ c2)
2)

a2
b2
c2
a2
b2
c2
a2






3
a2  b2 b2  a2 c2  a2 a2  c2 b2  c2 c2  a2 a2  c2

Qua các ví dụ trên ta thấy kỹ thuật tách nhóm để sử dụng bất đẳng thức
Cauchy Shwarz thật đơn giản nhưng cho ta lời giải đẹp, vừa hay lại vừa độc đáo.
Khi phương pháp tách nhóm để đưa về hằng đẳng thức khơng cịn hiệu quả nữa
thì ta xử lí như thế nào? Vậy thì sau khi sử dụng bất đẳng thức Cauchy Shwarz
thì ta vẫn cịn có thể ước lượng các bước tiếp theo. Đó cũng là thành cơng!
b) Vận dụng cao
Ví dụ 1 Cho a,b,c là 3 số dương.
Chứng minh rằng:

2ab
3bc
3ca
a  2b  3c


�
.
3a  8b 6c 3b  6c  a 9c  4a  4b
9

Phân tích, tìm lời giải:
- Ta thấy a,b,c là các số số dương, nhưng thấy các biến khơng có vai trò
như nhau. Vậy làm thế nào để ta sử dụng được bất đẳng thức bất đẳng thức
Cauchy Schwarz. Ta nghĩ ngay đến việc thay biến.
- Quan sát thấy quy luận của các biến trong các phân thức ở vế phải và
kiểm tra rõ nét hơn ở vế trái.
- Nếu ta đặt x = a; y = 2b; z = 3c với ĐK x,y,z là các số thực dương.
- Thì khi đó bài tốn trở thành
xy

yz
zx
x  y z


�
3x  4y  2z 3y  4z  2x 3z  4x  2y
9

- Khi đó ta đã có điều mình muốn đó là vai trị của các biến như nhau. Và
cũng từ đó ta bám vào các quy tắc song hành, quy tắc dấu”=”…
13


- Nếu xét vế trái của bất đẳng thức cần chứng minh thì ta lại liên tưởng đến
bất đẳng thức bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng thức rã mẫu)
- Xét phân thức đại diện:
xy
xy
xy � 1
1
1 �

� �


�
3x  4y 2z x  2y x  y z  x  y z 9 �x  2y x  y z x  y z �
xy �1 2
2 � 2x  y

2xy
� � 


.
�
9 �9x 9y x  y  z � 81
9(x  y  z)

Tương tự

yz
2y  z
2yz
�

.
3y  4z  2x
81
9(x  y  z)
zx
2z  x
2zx
�

3z  4x  2y
9
9(x  y  z)
x  y  z 2(xy  yz  zx)


=> VT �
27
9(x  y z)
(x  y  z)2
3
x  y  z 2(x  y  z) x  y  z


 VP
=> VT �
27
27
9

Mà xy  yz  zx �

Dấu “=” xảy ra khi x=y=z
<=> a=2b=3c
=> Bất đẳng thức được chứng minh.
Lưu ý:
Bài tốn trên có lời giải hay khi ta đưa lạ về quen. Và đây cũng là một
trong các kỹ năng để ta phát triển bài toán từ bài tốn ban đầu. Ngồi phương
pháp đặt ẩn mới có mục đích ta sử dụng đến kỹ thuật thêm - bớt.
Ta xem ví dụ sau:
Ví dụ 2:
Cho a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác.
Chứng minh rằng:

a
b

c


�1.
3a  b  c 3b c  a 3c  a  b

Phân tích, tìm lời giải:
Ta thấy cả tử lẫn mẫu các phân thức của bất đẳng thức đều dương có vẻ
như áp dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy Schwarz sẽ được nhưng các bạn thử
trực tiếp thì sẽ thấy bất đẳng thức đổi chiều.
Bây giờ ta làm giảm đi tử số một lượng nhưng vẫn đảm bảo tử số vẫn còn
dương( nghĩa là dương càng nhỏ càng tốt).
Với chú ý rằng: 4a-(3a-b+c)= a+b-c>0.
1
thích hợp. Viết bất đẳng thức đã cho dưới dạng
4
1� � b
1� � c
1� 1
� a
 � �
 � �
 ��
tương đương �
�3a  b  c 4 � �3b  c  a 4 � �3c  a  b 4 � 4

Từ đó ta bớt đi một lượng

14



a  b  c a  b c a  b  c


�1
3a  b  c a  3b  c a  b  3c

Đến đây ta lại sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta chứng minh được
VT 

(a  b  c)2
(a  b c)2
(a  b  c)2


(3a  b c)(a  b  c) (a  3b  c)(a  b  c) (a  b  3c)(a  b  c)

(a  b c)2
�
(3a  b c)(a  b  c)  (a  3b  c)(a  b  c)  (a  b  3c)(a  b  c)

Như vậy ta đi chứng minh:
(a  b  c)2
�1
(3a  b  c)(a  b c)  (a  3b c)(a  b c)  (a  b  3c)(a  b  c)

Nghĩa là ta đi chứng minh
(a  b  c)2 �(3a  b  c)(a  b  c)  (a  3b  c)(a  b  c)  (a  b  3c)(a  b  c) .

Đây chính đẳng thức ta dễ dàng chứng minh được.
Lưu ý
Ở đây ta chú ý nếu

a
�1 a �b với a, b dương
b

Ở các bài tốn bất đẳng thức thì ta thấy việc biến đổi tương đương là cần thiết
do đó học sinh cần luyện kỹ năng, tích lũy kiến thức thông qua các bài tập.
c) Bài tập củng cố ( Đính kèm trong phần phụ lục)
Dạng 3 DẠNG TỔNG HỢP VÀ PHÁT TRIỂN BÀI TOÁN
Sau khi học sinh học xong 2 dạng ( áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz theo
2 chiều) thì việc tổng hợp phát triển các bài tốn vơ cùng quan trọng
Ví dụ 1 (Bài tốn tổng hợp)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương a,b,c ta đều có bất đẳng thức:
a2
b2
c2
1


�
(2a  b)(2a  c) (2b a)(2b c) (2c  a)(2c  b) 3

Phân tích, tìm lời giải:
Ta nhận thấy rằng chiều của bất đẳng thức nếu biến đổi từ vế trái qua vế
phải là bé hơn hoặc bằng khi đó liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy Schwarz
(bất đẳng thức rã mẫu) và ta chú ý đến các phân thức và vai trò của các biến từ

đó bám theo các quy tắc chung: Song hanh, tính đồng thời của dấu “=”
Ta khai thác đến các đẳng thức (2a+b)(2a+c)= (2a2+bc)+a(a+b+c)+a(a+b+c)
Từ đó sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng thức rã mẫu)
với phân thức đại diện ta được
9
(1 1 1)2
1
1
1
 2
� 2


(2a  b)(2a  c) 2a  bc  a(a  b  c)  a(a  b  c) 2a  bc a(a  b  c) a(a  b  c)
a2
1 � a2
2a �
� � 2

�
(2a  b)(2a  c) 9 �2a  bc a  b  c �

Chứng minh tương tự ta có:
b2
1 � b2
2b �
� � 2

�
(2b  a)(2b c) 9 �2b  ca a  b  c �

15


c2
1 � c2
2c �
� � 2

�
(2c  b)(2c  a) 9 �2c  ba a  b  c �

Cộng vế với vế ta được:
1 � b2
2b � 1 � c2
2c � 1 � c2
2c �
VT � � 2



� � 2
� � 2
�
9 �2b  ca a  b  c � 9 �2c  ba a  b  c � 9 �2c  ba a  b  c �
1� a2
b2
c2 �
 � 2



�
3�2a  bc 2b2  ca 2c2  ba �

Ta đi chứng minh
a2
b2
c2


�1.
(*)
2a2  bc 2b2  ca 2c2  ba
2a2
2b2
2c2


�2
2a2  bc 2b2  ca 2c2  ba
bc
ca
ba
3 2
 2
 2
�2
2a  bc 2b  ca 2c  ba
bc
ca

ba
 2
 2
�1
2
2a  bc 2b  ca 2c  ba
bc
ca
ba
 2
 2
�1 có dạng và chiều
Khi đó ta thấy bất đẳng thức
2
2a  bc 2b  ca 2c  ba

bất đẳng thức khi đó ta lại liên tưởng đến bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất
đẳng thức cộng mẫu)
bc
ca
ba
 2
 2
2a  bc 2b  ca 2c  ba
(bc)2
(ca)2
(ba)2
A



2bca2  (bc)2 2cab2  (ca)2 2bac2  (ba)2

Xét A 

2

(bc  ca  ba)2
�
(ab)2  (bc)2  (ca)2  2(a2bc  b2ca  c2ab)


(bc  ca  ba)2
 1.=>Điều phải chứng minh
(bc  ca  ba)2

Lưu ý
+) Ở bài này ta đã sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz cả hai chiều.
+) Việc khai thác đẳng thức: (2a+b)(2a+c)= (2a2+bc)+a(a+b+c)+a(a+b+c) để
sử dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz (bất đẳng thức rã mẫu) cho ta một lời
giải đẹp
Ví dụ 2 ( Phát triển bài toán)
Từ bài toán:Cho x,y,z là các số thực dương và xyz=1
Chứng minh rằng:

x2
y2
z2


�1

x2  xy yz y2  yz  zx z2  zx  xy

Gợi ý:
x2
y2
z2
(x  y  z)2


�
1
x2  xy  yz y2  yz  zx z2  zx  xy (x2  y2  z2 )  2(xy yz  zx)

16


Từ ví dụ 2
Đặt a 

3

x
; b
y

3

y
; c
z

2

3

x
z

; => 2
x
x  xy  yz x
y

x
y
 1

z
x



a3
a3  abc  b3

Ta được ví dụ 3
Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn abc =1.
a3
b3
c3



�1
Chứng minh rằng: 3
a  abc  b3 b3  abc  c3 c3  abc  a3
c) Bài tập củng cố ( Đính kèm trong phần phụ lục)
II.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỐI VỚI
HOẠT ĐỘNG GIÁO DỤC, VỚI BẢN THÂN, ĐỒNG NGHIỆP VÀ NHÀ
TRƯỜNG.
Trên đây chỉ là một số ví dụ về phân tích, tìm hướng đi cho bài tốn bất
đẳng thức- cực trị khi sử dụng bất đẳng thức phụ Cauchy Schwarz trên cơ sở
tuân thủ theo các quy tắc chung của dạng toán này. Giải pháp khi dạy phần bất
đẳng thức Cauchy Schwarz để rèn luyện tư duy sáng tạo cho học sinh lớp 9
được rút ra từ thực tế những năm giảng dạy của bản thân.
Tốn bất đẳng thức nói chung và bất đẳng thức Cauchy Schwarz nói riêng
là một chuyên đề rất lớn, tuy nhiên với khả năng của mình và khn khổ đề tài
có hạn. Tơi cũng chỉ đi sâu vào vấn đề nhỏ đó là hướng dẫn, giúp các em có kỹ
năng phân tích định hướng cách giải, đưa ra lời giải, đồng thời đưa ra các bài tập
được phát triển từ bài tập đã cho hoặc các bài tập tương tự, theo kế hoạch, phân
chia vận dụng theo chiều nào của bất đẳng thức ( bất đẳng thức rã mẫu hay
cộng mẫu).
Với những việc làm như đã nêu ở trên, bản thân tôi đã tự nghiên cứu áp
dụng vào giảng dạy cho nhóm học sinh khá giỏi học sinh lớp 9B trường THCS
Điện Biên và bước đầu đã đạt được một số kết quả sau :
- Học sinh biết khi nào thì áp dụng được bất đẳng thức Cauchy Schwarz,
đã say mê giải những bài toán về bất đẳng thức, các em khơng cịn sợ và lúng
túng khi giải các bài toán này.
- Phần lớn các em có niềm tin, niềm say mê, hứng thú trong học tốn, từ
đó tạo cho các em tính tự tin độc lập suy nghĩ, phát triển tư duy logic, óc quan
sát, suy luận toán học.

Kết quả điểm kiểm tra các bài tập theo dạng về nội dung đề tài sau khi áp
dụng đề tài
SL học
sinh

Điểm Giỏi

Điểm khá

Điểm TB

Điểm yếu

Điểm kém

16

5

8

2

1

0

17

Về tính ứng dụng của đề tài, trước hết đề tài phù hợp đối với các câu lạc
bộ Toán học, các đội tuyển học sinh giỏi, kể cả đối với học sinh cấp 3.
Học sinh có thể dùng làm tài liệu học tập, có định hướng cơ bản đối với
bất đẳng thức phụ nói chung và bất đẳng thức Cauchy Schwarz nói riêng, ngồi
ra các em được bồi dưỡng kiến thức về bất đẳng thức.
Giáo viên dùng làm tài liệu giảng dạy, đồng thời nâng cao trình độ chun
mơn, đúc rút kinh nghiệm.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
III.1. Kết luận
Để thực hiện tốt công việc giảng dạy, đặc biệt là cơng tác bồi dưỡng học
sinh giỏi địi hỏi mỗi giáo viên trong nhà trường cần ý thức sâu sắc trách nhiệm
của mình trong quá trình giảng dạy, đặc biệt đối với giáo viên giảng dạy bộ mơn
tốn, song song với nhiệm vụ giảng dạy thì việc phát huy sự sáng tạo, tính tích
cực nhằm phát triển năng lực trí tuệ tồn diện cho học sinh. Giúp cho học sinh
có hứng thú học và u thích mơn Tốn nhất là đối với những học sinh có năng
lực đặc biệt. Do đó những kinh nghiệm và bài học toi trình bày ở trên cung cấp
cho học sinh cách nhận dạng bài toán và hướng dẫn học sinh phân tích tìm tịi
lời giải các bài tốn chứng minh bất đẳng thức nói chung và các bài toán liên
quan đến bất đẳng thức Cauchy Schwarz nói riêng, giúp các em có định hướng
đúng đắn khi gặp dạng toán này. Hướng cho học sinh tới việc tìm tịi nghiên
cứu, sáng tạo, tư duy logic đồng thời tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình
học tốn. Đó là một việc làm nhỏ để thể hiện sự tâm huyết với nghề. Góp một
phần nhỏ trong cơng cuộc đổi mới giáo dục của toàn xã hội
Tuy nhiên, để đạt được kết quả như mong muốn, đòi hỏi ngừoi giáo viên
cần hệ thống, phân loại bài tập từng dạng nhằm mục đích bồi dưỡng và phát
triển tư duy cho học sinh vừa bền vững, vừa sâu sắc, phát huy tối đa sự tham gia
tích cực của người học. Giáo viên xây dựng từ kiến thức cũ đến mới, từ cụ thể
đến tổng quát, từ đơn giản đến phức tạp, phù hợp với trình độ nhận thức chung
của học sinh
Người giáo viên cần chú trọng phát huy tính chủ động, tích cực và sáng

tạo học sinh từ đó giúp các em nhìn nhận bao qt, tồn diện và định hướng
đúng đắn. Làm được như vậy là chúng ta đã góp phần nâng cao chất lượng giáo
dục của nhà trường nơi cơng tác nói riêng và cho xã hội nói chung.
III.2. Kiến nghị
Qua trình giảng dạy, nghiên cứu tơi xin có một số đề xuất như sau :
- Đối với nhà trường:
+) Cần bổ sung thêm các tài liệu tham khảo ( VD các chuyên đề hay, các
loại báo: Toán tuổi thơ 2…) thường xuyên sưu tầm các đề cho học sinh giỏi bổ
sung vào thư viện để GV, HỌC SINH làm tài liệu tham khảo.
+) Nên có các câu lạc bộ, sân chơi để phát triển tài năng toán học trong
nhà trường theo kỳ để các em giao lưu, học hỏi…
- Đối với GV: phải nhiệt tình và tâm huyết với nghề, phải ln có ý thức
tự nghiên cứu, học hỏi tìm tịi nâng cao kiến thức, nghiệp vụ và trình độ chuyên

18


mơn, phải có sự nghiên cứu kiến thức bao qt cả chương trình chứ khơng dừng
ở nội dung kiến thức của chương trình THCS.
Những sáng kiến kinh nghiệm hay trong thành phố, Phòng Giáo dục nên
tổ chức hội thảo cho giáo viên trong thành phố học tập và áp dụng những sáng
kiến đó vào giảng dạy.
Trên đây tơi đã mạnh dạn giới thiệu cùng các bạn đồng nghiệp một số
kinh nghiệm của bản thân. Đề tài này chắc chắn không tránh khỏi những thiếu
sót, tơi rất mong được sự góp ý bổ sung của quý thầy cô, các bạn để bài viết
được hồn chỉnh và hiệu quả hơn.
Tơi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 6 tháng 3 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết,
khơng sao chép nội dung của người khác.

Nguyễn Thị Tự

19