Một số kinh nghiệm sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh bất đẳng thức trong bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7

STT

MỤC LỤC

TRANG

1

1. Mở đầu

1

2

1.1. Lý do chọn đề tài

1

3

1.2. Mục đích nghiên cứu

1

4

1.3. Đối tượng nghiên cứu

2

5

1.4. Phương pháp nghiên cứu

2

6

2 . Nội dung

7

2.1. Cơ sở lý luận của vấn đề

2

8

2.2. Thực trạng của vấn đề

2

9

2.3. Giải pháp thực hiện

4

10

2.4 .Hiệu quả của sáng kiến

19

11

3. Kết luận – Kiến nghị

20

12

Tài liệu tham khảo

21

1.MỞ ĐẦU
1


1.1.Lí do chọn đề tài.
Trong nhiều đề thi HSG mơn Tốn khối 6, 7 những năm gần đây, thường có
các bài toán về chứng minh các bất đẳng thức, các bài này được cho ở nhiều mức
độ khác nhau, nhưng khơng phải bài nào HS cũng dễ dàng tìm ra được phương
pháp, cách thức để chứng minh các bất đẳng thức đó. Từ thực tế giảng dạy tơi nhận
thấy hầu hết các em lớp 6,7 khi gặp các dạng bài nay trong đề thi thường gặp khó
khăn, lúng túng, khơng biết cách làm, đặc biệt là với các bài ở các câu cuối các
em thường bỏ không làm hoặc nếu làm được thì thường là các bài đã được làm
hoặc các bài đơn giản đã biết cách làm. Tuy nhiên với những bài làm được các em
cũng không hiểu và nắm được phương pháp giải chung, không biết cách thức quy
một bài toán từ lạ về quen để giải. Với mong muốn các học sinh của mình sẽ đạt

giải cao trong các kỳ thi chon HSG, Tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: Một số kinh
nghiệm “sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh các bất đẳng
thức” trong BDHSG mơn tốn 6,7. Thơng qua đó nâng cao được chất lương
trong cơng tác giảng dạy, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục trong nhà
trường.
Do khả năng còn hạn chế; kinh nghiệm chưa nhiều và hạn chế về thời lượng
nên trong biện pháp mà tôi đưa ra chắc chắn cịn có những phần chưa hồn chỉnh.
Rất mong được sự đóng góp q báu của q thầy cơ. Tơi xin chân thành cảm ơn!
1.2.Mục đích nghiên cứu.
Tơi viết SKKN này với mục đích:
- Nâng cao trình độ chun mơn nghiệp vụ cho bản thân thông qua nghiên
cứu khoa học, từ đó có thêm cơ hội trao đổi kinh nghiệm với đồng nghiệp.
- Qua đề tài khắc phụ các yếu điểm của HS khi chứng minh bất đẳng thức
- Củng cố, cung cấp cho học sinh kỹ năng và một số kiến thức về phương
pháp làm trội, làm giảm, cách nhận biết dạng tốn và lựa chọn cách trình bày bài
phù hợp nhằm nâng cao năng lực học toán, giúp học sinh tiếp thu bài chủ động
sáng tạo và là cơng cụ giải quyết những bài tập có liên quan
- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm hay gặp khi
giải các bài toán liên quan đến bất đẳng thức số.
- Giúp GV phát hiện bồi dưỡng HS khá, giỏi, có khả năng học tốn.
- Phổ biến đến các thành viên trong tổ chuyên môn nơi tôi công tác, giúp
các em học sinh đạt điểm cao trong các kỳ thi chọn HSG. Nếu các đồng nghiệp
ở trường khác thấy có ích thì tơi sẵn sàng chia sẻ
1.3.Đối tượng nghiên cứu
2


Đề tài này nghiên cứu, tổng hợp về “sử dụng phương pháp làm trội, làm
giảm để chứng minh các bất đẳng thức” trong BDHSG mơn tốn 6,7.
1.4. Phương pháp nghiên cứu.

- Nêu lên phần lí thuyết và một số tính chất thường dùng khi sử dụng
phương pháp làm trội làm giảm.
- Nêu lên một số dạng toán cơ bản và cách suy nghĩ để giải các dạng này.
- Một số bài tập vận dụng và nâng cao.
- Kết hợp sử dụng thêm các phương pháp: Phương pháp nghiên cứu xây
dựng cơ sở lý thuyết; Phương pháp điều tra khảo sát thực tế; Phương pháp phân
tích tổng kết kinh nghiệm; Phương pháp vấn đáp; Phương pháp phân loại và hệ
thống hoá lý thuyết; Phương pháp suy luận, tìm tịi; Phương pháp thống kê và xử lí
dữ liệu
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM.
2.1. Cơ sở lí luận.
Cho A là một tổng, hiệu, tích của các phân số, m là 1 số thực bất kỳ, nếu bài
tốn có các u cầu sau:
+ Chứng minh A > m hoặc A m, khi đó ta sử dụng phương pháp làm giảm
bằng cách thay mỗi phân số trong tổng A bằng phân số có mẫu lớn nhất trong tổng
đó, tức khi đó ta đã làm giảm giá trị của mỗi phân số trong tổng, suy ra tổng giảm,
từ đó ta chứng minh được bài tốn.
+ Nếu bài toán yêu cầu chứng minh A < m hoặc Am, khi đó ta sử dụng
phương pháp làm trội bằng cách thay mỗi phân số trong tổng A bằng phân số có
mẫu nhỏ nhất trong tổng đó, tức khi đó ta đã làm tăng giá trị của mỗi phân số trong
tổng, suy ra tổng tăng, từ đó ta chứng minh được bài toán
Lưu ý: Trong nhiều bài toán ta thường phải tách tổng A thành nhiều nhóm
rồi căn cứ vào yêu cầu của đề bài mà sử dụng phương pháp cho phù hợp.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Qua những năm trực tiếp giảng dạy, theo dõi và BDHSG mơn tốn các khối
lớp 6 và lớp7, tơi thấy rằng các bài tốn về chứng minh các bất đẳng thức thường
có trong các đề thi HSG cấp huyện, đơi khi cũng thường có trong các đề thi cuối
học kỳ ở dạng câu vận dụng cao. Để làm tốt các bài toán về chứng minh các bất
đẳng thức, yêu cầu học sinh phải biết vận dụng linh hoạt các kiến thức liên quan
như: Các cách so sánh phân số có cùng tử, cùng mẫu, các phép toán về phân số,

3


kiến thức về lũy thừa, quy tắc thực hiện các phép tính, tính tổng, hiệu, tích của dãy
các phân số có quy luật…, đặc biệt HS cần biết hệ thống hố các kiến thức được
học một cách có logic, biết quan sát để định hướng phương pháp làm.
Tuy nhiên đối với HS lớp 6,7 là các lớp đầu cấp mới bắt đầu làm quen với các
phương pháp giải đại số, lượng kiến thức được học cịn ít, khả năng tư duy làm
quen với tốn nâng cao cịn chậm mà trong chương trình học chính khóa thì hầu
như khơng có, các loại tài liệu tham khảo cũng không giới thiệu tường minh về
dạng toán và phương pháp giải cụ thể mà chỉ có ở dạng đơn lẻ có hướng dẫn cho
mỗi bài, do đó khi gặp dạng tốn này trong các đề thi nếu là bài tương tự với bài
đã được chữa, được làm thì các em cịn làm được, với những bài thay đổi dữ liệu
hoặc khác với các ví dụ đã làm thì các em cịn rất mơ hồ, lúng túng không xác
định được phương pháp giải một cách rỏ ràng hoặc khơng hình dung được hướng
đi như thế nào, nên kết quả đạt được thường không cao.
Trước khi áp dụng đề tài này, tôi đã khảo sát một nhóm gồm 16 học sinh đội
tuyển tốn lớp 6, lớp 7 trong 2 năm học liên tiếp: 2019-2020 và 2020 - 2021 của
trường THCS A.
Thời gian khảo sát: Tháng 2 hằng năm.
Nội dung kháo sát: Cho học sinh làm các bài tập sau:
Bài 1: Cho A = . Chứng minh răng:
Bài 2: Cho A= . Chứng minh rằng A < 1
Kết quả nhận được như sau: (đánh giá với thang điểm 10)
Điểm dưới 5
SL
%
10
62,5

Điểm 5 - 6
SL
%
5
31,25

Điểm 7 – 8
SL
%
1
6,25

Điểm 9 – 10
SL
%
0
0

Từ thực trạng trên, để nâng cao chất lượng công tác giảng dạy, đặc biệt là
chất lượng HSG tơi đã tìm hiểu, nghiên cứu, phân dạng và hệ thống hóa các bài
tốn từ đó rút ra được một số kinh nghiệm để chứng minh các bất đẳng thức
bằng cách sử dụng phương pháp làm trội làm giảm, áp dụng cho HS lớp 6, 7,
thơng qua các bài tốn đó xây dựng cho các em tư duy phương pháp và kỹ năng
giải tốn, giúp cho các em có kỹ năng quan sát, nhận xét, biết quy lạ về quen khi
giải các dạng toán về chứng minh các bất đẳng thức, tiền đề cho giải các dạng
toán ở các lớp tiếp theo.
4


2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

Để giúp cho học sinh nắm được cách sử dụng phương pháp làm trội, làm
giảm trong chứng minh các bất đẳng thức, tôi đã tham khảo các tài liêu bồi
dưỡng học sinh giỏi mơn tốn lớp 6,7, các đề thi học sinh giỏi cấp huyện các lớp
6,7 ở nhiều năm của các huyện, các chuyên đề BDHSG và qua mạng internet để
nghiên cứu, tìm hiểu, phân dạng, qua đó đúc rút thành kinh nghiệm chung khi sử
dụng phương pháp này để chứng minh các BĐT, từ đó tơi đã tổng hợp, xây dựng
được hệ thống bài tập phong phú. Với hệ thống bài tập sắp xếp từ dễ đến khó
theo dạng, thơng qua các dạng tốn này giúp học sinh tự rút kinh nghiệm và
hình thành phương pháp, rèn luyện kỹ năng giải, giúp các em dễ dàng nghi nhớ,
dễ dạng phân biệt, biết quy lạ về quen và áp dụng vào giải quyết các bài toán
dạng này đạt kết quả cao hơn, cụ thể tôi đã thực hiện dạy như sau:
1/Trang bị cho học sinh các kiến thức cơ bản để sử dụng phương pháp.
a. Ôn tập lại cho HS các kiến thức về cộng, trừ, nhân, chia các phân số,
quy tắc thực hiện các phép tính.
b. Ơn tập lại các phương pháp so sánh phân số.
c. Bổ xung cho HS một số kiến thức về các tính chất của bất đẳng thức
1. Tính chất bắc cầu của thứ tự: a > b; b > c => a >c
(tính chất cũng đúng với các bất đẳng thức là các dấu ≥; ≤)
2. Tính chất đơn điệu của phép cộng: Nếu a > b =>a+c> b+c
3. Tính chất đơn điệu của phép nhân: Nếu a > b =>a.c > b.c (với c > 0)
4. Cộng từng vế của hai bất đẳng thức cùng chiều:
Nếu a > b và c > d => a+c > b + d
5. Với a > 0 và b > 0 ta ln có:
6. Với a, b, c, d bất kỳ và a, b, c, d > 0 ta có:
+ Nếu
+ Nếu
+ Nếu
2/ Trang bị cho học sinh kỹ năng tự đặt câu hỏi và tự trả lời câu hỏi.
H? Yêu cầu bài toán là gì? Để thực hiện u cầu đó ta có những hướng suy
nghĩ nào?

H? đề bài cho biết gì? Với giả thiết đó, ta có mấy cách giải quyết bài tốn này
và ta sẽ làm bài này theo cách nào? vì sao?
5


* Khi gặp khó khăn, ta tiếp tục đặt câu hỏi ?
H? Ta gặp khó khăn ở đâu? Có phần giả thiết nào chưa sử dụng không?
H? Ta đã gặp bài toán nào tương tự bài này chưa?...
3/ Các dạng tốn điển hình
Dạng 1: Các bất đẳng thức mà biểu thức đã cho là tổng của các phân số
có mẫu là các số tự nhiên
Khi hướng dẫn HS chứng minh dạng này tôi thường định hướng cách biến đổi
như sau: Biến đổi biểu thức thành các phân số có cùng mẫu hoặc cùng tử ( Thường
có tử là 1), rồi dùng phương pháp làm trội hoặc làm giảm
Bài toán 1: (Trích Đề thi HSG lớp 7 huyện Tĩnh Gia năm 2016-2017)
Cho A = .
a) Chứng minh:
 Hướng dẫn HS khai thác bài toán:
Giáo viên yêu cầu học sinh nêu nhận xét về các phân số trong tổng A. Tổng
A có tất cả bao nhiêu phân số
+/ Câu trả lời mong muốn: A có 100 phân số, là các phân số có tử bằng 1
+ Phân số có thể tách thành tổng của những phân số nào có tử là 1, hãy tách
bằng các cách có thể?
+/ Câu trả lời mong muốn:
Hướng dẫn: Tổng A có 100 phân số mà đề bài lại yêu cầu chứng minh A> .
Từ kết quả trên giáo viên hướng dẫn HS chia tổng A thành 2 nhóm mỗi nhóm 50
phân số, sau đó thay mỗi phân số trong các nhóm bằng 1 phân số có mẫu lớn nhất
trong nhóm đó (tức là ta đã làm giảm giá trị của mỗi phân số đi), sau đó thực hiện
phép cộng các phân số cùng mẫu để thu được kết quả cần chứng minh.
Cụ thể cách làm như sau:

A = =(( > ) (
=. Vậy
Từ kết quả của bài toán 1 giáo viên bổ xung thêm yêu cầu thứ 2 của bài,
thơng qua đó kiểm tra việc nắm bắt cách làm, cách tư duy bước đầu của học sinh
b) Chứng minh (Một ý trong tuyển tập các bài tốn hay và khó tốn 7 )
Tương tự câu a giáo viên yêu cầu HS nêu phương pháp làm câu b.
Học sinh dễ dàng nhận ra câu b vẫn dùng phương pháp làm giảm
Vậy để sử dụng được phương pháp làm giảm, ta có cần tách biểu thức A
khơng, nêu có hãy đề xuất cách tách như thế nào cho hơp lý.
+/ Câu trả lời mong muốn: Chia tổng A thành 4 nhóm sau đó thay mỗi phân số
trong các nhóm bằng 1 phân số mẫu lớn nhất trong nhóm đó.
6


Đến đây có thể học sinh sẽ nghĩ ra ngay cách làm( Nếu học sinh khơng nghĩ
ra, giáo viên có thể gợi ý)
Lời giải Ta chia tổng A thành 4 nhóm sau đó thay mỗi phân số trong các
nhóm bằng 1 phân số có mẫu lớn nhất trong nhóm đó, ta có:
A==>
Sau khi thực hiện phép cộng 3 phân số trong ngoặc ta phải làm giảm một lần
nữa nhưng lúc này ta làm giảm tử rồi mới suy ra được kết quả cần phải chứng
minh.
A> = . Vậy
Đối với câu b ngồi cách làm trên giáo viên cịn có thể hướng dẫn học sinh
khai thác bài toán theo cách 2 sau đây:
Cách 2: Vì tổng A có 100 phân số, do đó ta ghép thành các cặp phân số lấy
từ 2 đầu lại được 50 cặp như sau:
A=
Lưu ý: trong một dãy số liên tiếp mà số sau lớn hơn số trước, nếu ghép
thành các tích 2 thừa số thì tích của 2 số thuộc cặp ngồi cùng bao giờ cũng nhỏ

hơn tích của 2 số thuộc cặp bên cạnh hay tích của 2 số thuộc cặp ngồi cùng nhỏ
nhất, tích của 2 số thuộc cặp trong cùng lớn nhất (đã chứng minh bài 15/trang 27/
sách nâng cao và phát triển lớp 6)
Từ kết quả trên ta suy ta, biểu thức ở trong ngoặc gồm 50 phân số trong đó
phân số có mẫu nhỏ nhất, phân số có mẫu lớn nhất, nên suy ra: phân số lớn
nhất, nhỏ nhất. Vì vậy để chứng minh ta thay mỗi phân số trong tổng (1) bằng
phân số nhỏ nhất trong tổng đó, khi đó ta có:
A > 301. >
* Từ kết quả chứng minh cách 2 câu b giáo viên có thể ra thêm yêu cầu thứ
ba cho bài toán này như sau.
c. Chứng minh (Một ý tuyển tập các bài toán hay và khó tốn 7)
 Để chứng minh ta sử dụng phương pháp nào?
+/ Câu trả lời mong muốn: Sử dụng phương pháp làm trội.
Giáo viên hướng dẫn: Tận dụng kết quả biến đổi ở cách 2 câu b, bằng cách
hãy thay mỗi phân số trong tổng (1) bằng phân số lớn nhất trong tổng đó, tức là ta
sử dụng phương pháp làm trội để làm tăng giá trị mỗi phân số của tổng A lên, đến
đây học sinh dễ dàng làm được.
Từ (1) ta có: A < 301. vậy
7


Lời bình: Qua các câu của bài tốn 1 giúp cho HS phần nào hiểu được cách
sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm, tuy nhiên vấn đề HS gặp khó khăn trong
các bài tốn dạng này đó là: Khi chứng minh các biểu thức số không phải bài nào
cũng áp dụng ngay phương pháp làm trội, làm giảm mà trong hầu hết các bài đều
phải biến đổi các biểu thức một cách phù hợp rồi mới áp dụng được phương pháp,
hoặc có những bài phải áp dụng phương pháp vài lần mới ra được kết quả. Do đó
giáo viên cần hướng dẫn học sinh quan sát đặc điểm của các biểu thức, khai thác
triệt để yêu cầu chứng minh của bài, từ yêu cầu của đề bài tách ngược để tìm
hướng biến đổi biểu thức rồi mới áp dụng phương pháp.

Tương tự giáo viên yêu cầu học sinh tiếp tục làm bài tốn sau:
Bài tốn 2: (Trích đề thi HSG lớp 6, THCS cẩm Phong, năm 2017- 2018)
Cho B =. Chứng minh rằng:
GV: Tổng B có bao nhiêu phân số, hãy nêu cách thực hiện
+/ Câu trả lời mong muốn: Tổng B có 30 phân số, để chứng minh ta sử dụng
phương pháp làm trội, còn chứng minh sử dụng phương pháp làm giảm.
Đến bài này giáo viên có thể yêu cầu học sinh suy nghĩ đối chiếu với các bài
vừa làm để nêu phương án biến đổi. Nhiều học sinh sẽ dễ dàng phát hiện ra cách
làm tương tự câu a và câu b cách 1 hoặc câu b cách 2 và câu c,
Hướng dẫn: Để chứng minh ta sử dụng phương pháp làm trội, bằng cách
hãy chia tổng B thành các nhóm, mỗi nhóm có 10 phân số, sau đó thay mỗi phân số
trong mỗi nhóm bằng phân số lớn nhất trong các nhóm, rồi thực hiện tính tốn, thu
gọn, cụ thể cách giải như sau:
B =.
=> B<
Còn chứng minh B > sử dụng phương pháp làm giảm bằng cách thực hiện tương
tự ý trên nhưng thay mỗi phân số trong mỗi nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong các
nhóm đó, cụ thể như sau.
B>
. Từ hai kết quả trên ta kết luận
*Trong nhiều bài chứng minh bất đẳng thức ta thường biến đổi biểu thức
bằng cách nhóm thành các nhóm rồi sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm hợp
lý để đưa về thành các phân số có tử bằng 1, cịn mẫu là lũy thừa của .
Ta tiếp tục xét thêm một số bài toán sau:
Bài toán 3: (Nâng cao và phát triển toán 6)
Cho A = . Chứng minh răng:
8


Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:

?) u cầu bài tốn là gì? Để thực hiện u cầu đó ta có những hướng suy
nghĩ nào?
+/ Câu trả lời mong muốn: Đề bài yêu cầu chứng minh , do đó cần sử dụng
phương pháp làm trội, mặt khác để chứng minh A< 100 thì khơng thể dùng phương
pháp làm trội cho cả tổng A mà phải chia tổng A thành các nhóm, rồi mới làm trội
cho từng nhóm một.
Giáo viên gợi ý học sinh cách tách nhóm: Vì cần chứng minh A< 100 nên hãy
chia A thành 100 nhóm, sao cho sau khi làm trội ở mỗi nhóm có kết quả là 1, khi
đó ta có điều cần phải chứng minh.
Với gợi ý như trên, GV để HS tự tìm tịi cách chia thành các nhóm và sử dụng pp
để có được kết quả cần chứng minh. Cụ thể cách làm như sau:
A==
Với cách chia như vậy ta được 100 nhóm (GV lưu ý cách đếm số nhóm theo
lũy thừa của 2 ở mẫu). Ta làm trội bằng cách, thay mỗi phân số trong mỗi nhóm
bằng phân số lớn nhất của nhóm đó. Khi đó ta được:
=>A
=> A < .= 100. Vậy A < 100


Bài tốn 4: (Trích Đề thi HSG toán 6, huyện Yên Định 2016- 2017)
Cho M = . Chứng minh răng:
*/ Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.
+/ Câu trả lời mong muốn: (Nếu HS không nêu được giáo viên có thể gợi ý
thêm) Bài này tương tự bài 3, nhưng sau khi tách thì dùng phương pháp làm
giảm, bằng cách thay mỗi phân số trong các nhóm bằng phân số nhỏ nhất trong
nhóm và nhóm các nhóm sao cho sau khi làm giảm mỗi nhóm đều có mẫu là
lũy thừa của 2. Nên có thể giải tương tự bài 3 như sau:
 Yêu cầu học sinh làm bài tốn cụ thể.
Lời giải

M=
M> .= 1000,5>1000
Vậy
Lời bình: Qua các bài tốn vừa xét trong dạng 1. Tơi nhận thấy đây là
dạng tốn khơng hề đơn giản vì đều là các bài yêu cầu chứng minh các bất đẳng


9


thức và các biểu thức đã cho đều có dạng là tổng các phân số có mẫu là các số
tự nhiên nên cách làm chung đều sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm, tuy
nhiên mỗi một bài lại có 1 cách biến đổi khác nhau. Do đó khi dạy tôi thường
lưu ý chốt rỏ cho học sinh cách thức quan sát và phương pháp khai thác cụ thể
của từng bài, yêu cầu học sinh ghi nhớ từng đặc điểm để vận dụng, đặc biệt việc
sử dụng hợp lý các tính chất của các phép tốn, vì vậy cần u cầu các em phải
nắm vững các tính chất này để nhận xét, đánh giá những khía cạnh trong bài sát
với ý tưởng của lời giải, khi đó các em dễ nhập cuộc với bài giải. Phương pháp
làm trội, làm giảm lúc này sẽ phát huy tác dụng một cách tích cực hơn
Dạng 2: Các bất đẳng thức mà biểu thức có dạng tổng các lũy thừa
Khi sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh các bất đẳng
thức dạng này tôi thường hướng dẫn học sinh cách làm trội hoặc làm giảm ở mẫu
như sau: Vì lũy thừa là phép nhân các thừa số bằng nhau, do đó ta thường giữ
nguyên một thừa số của tích ở mẫu thay thừa số còn lại bằng thừa số lớn hơn (nếu
làm giảm) hoặc thay bằng thừa số nhỏ hơn (nếu làm trội). Cụ thể ta tiếp tục xét một
số bài toán dạng này như sau:
Bài toán 1 ( Bài 9.7/trang 24/Sách bài tập toán 6, tập 2)
Cho A = . Chứng minh rằng A < 1
Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
* Yêu cầu học sinh nêu lên các suy nghĩ khi gặp bài toán này.

+/ Câu trả lời mong muốn: Biểu thức A có mẫu là các lũy thừa của 2, do đó
để chứng minh bài này cần sử dụng phương pháp làm trội, bằng cách tăng mẫu.
Đến đây giáo viên yêu cầu học sinh nêu cách làm trội cụ thể.
Hướng dẫn


Với việc hướng dẫn HS làm trội mỗi phân số như trên kết quả nhận được là biểu
thức , đây là biểu thức tính dãy số theo quy luật rất cơ bản mà học sinh đã giải
thành thạo khi học về chuyên để dãy các phân số có quy luật, do đó đến đây giáo
viên yêu cầu học sinh thực hiện tính tiếp được kết quả như sau:
. Vậy A < 1
Khi học sinh đã nắm được cách sử dụng phương pháp để chứng minh bất
đẳng thức dạng nay, tiếp tục cho học sinh làm tiếp bài tốn sau:
Bài tốn 2: (Trích Đề giao lưu HSG lớp 7, Cẩm Thủy năm học 2019-2020)
B=

Cho biểu thức

1
1
1
1
+
+ ... +
+
2
2
2
100 101
198 199 2

10

. Chứng minh:

1
1
200
99


Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
* Yêu cầu học sinh nêu lên nhận xét về mẫu của các phân số và nêu cách làm.
+/ Câu trả lời mong muốn: Mẫu là bình phương của các số tự nhiên liên tiếp,
để chứng minh B >, ta dùng phương pháp làm giảm (tức tăng mẫu của mỗi phân số
lên), còn chứng minh B< ta dùng phương pháp làm trội (tức giảm mẫu của mỗi
phân số đi) như cách làm của bài tốn1
GV: Vì mẫu là bình phương của các số tự nhiên nên ta có thể làm trội, làm
giảm bằng cách nào? Hãy đề xuất phương án làm trội, làm giảm trong mỗi ý.
+Nếu làm trội ta có thể giữ nguyên 1 thừa số ở mẫu của mỗi phân số, thay
thừa số còn lại bằng 1 thừa số nhỏ hơn, khi đó giá trị của mỗi phân số trong tổng B
sẽ tăng lên. Cụ thể ta làm như sau:
B=


1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
+
+ ... +
=
−
+
−
+
−
+ ... +
−
=
99.100 100.101
198.199 99 100 100 101 101 102
198 199
1
1
1
−
<
99 199 99

B<

Vậy B < (1)

Để chứng minh B> ta làm tương tự nhưng dùng phương pháp làm giảm
( Phần này giáo viên yêu cầu HS tự làm và kiểm tra kết quả khơng hướng dẫn)
Ta có:
(2) .
Từ (1) và (2 ) Suy ra: < B <
Trong nhiều đề thi học sinh giỏi có nhiều biểu thức khi nhìn vào khá phức
tạp, khơng giống với các dạng thường gặp (các dạng gây nhiễu ), vì vậy khi gặp
các bài dạng này giáo viên cần hướng dẫn học sinh cách quy lạ về quen, bằng cách
quan sát kỹ biểu thức và u cầu chứng minh của bài tốn, tìm các cách như: tính
thử, tách, nhóm để biến đổi biểu thức về các dạng cơ bản thường gặp. Cụ thể ta tìm
hiểu tiếp trong một số bài tốn sau:
Bài tốn 3: (Trích Đề thi HSG tốn 6,Bắc Giang năm 2018- 2019)
Cho biểu thức N = .
Chứng minh N <


Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Yêu cầu học sinh nêu lên nhận xét về mẫu của các phân số.
11


+/ Câu trả lời mong muốn: Mẫu là tổng các số lẻ liên tiếp và tăng dân.
Giáo viên gợi ý học sinh cách làm: Hãy quy về dạng giống các biểu thức ở
bài toán 1 và 2, nếu học sinh không phát hiện ra, giáo viên gợi ý học sinh công các
mẫu lại và nhận xét về biểu thức thu được .
Hướng dẫn cụ thể như sau:
Nhận xét: Vì 1+3 = 4 = 22
1+3+5 = 8

= 23

1+3+5 +7 = 16 = 24
……………………………
1+3+5 +7+…+ 101 = 512
Do đó N
Đến đây bài toán đã được quy về bài toán quen thuộc của bài tốn 1 và 2 do
đó giáo viên u cầu học sinh tự tiếp tục làm và tự kiểm tra chéo cách làm, kết quả
của nhau, sau đó giáo viên đưa bài giải mẫu để học sinh đối chiếu.
N<
Bài toán 4: (Trích đề thi HSG tốn 7 huyện Vĩnh Bảo, năm 2017-2018)
Cho A =. Chứng minh rằng A không phải là một số nguyên.
Hướng dẫn: Đối với bài này tôi thường hướng dẫn học sinh như sau:
+Để chứng minh A không phải là một số nguyên ta cần chứng minh điều gì?
+ Có nhận xét gì về tử mẫu của các phân số trong tổng A? Hãy thu gọn tử và
tìm mối quan hệ giữa tử và mẫu?
*/ Câu trả lời mong muốn:
+ Cần chứng minh A kẹp giữa 2 số nguyên liên tiếp
+ Các phân số có mẫu là các số chính phương, tử là hiệu của mẫu trừ đi 1.
+ Từ đó tơi gợi ý để học sinh tách mỗi phân số trong tổng thành hiệu của 2
phân sơ, cụ thể như sau:
A=
A=
Mà ta lại có <
Từ (1) và (2) suy ra: n – 2 < A < n – 1
Vì n – 2 và n – 1 là 2 số nguyên liên tiếp, nên A không phải là một số nguyên.
12


Bài tốn 5: (Trích Tuyển tập các bài tốn BDHSG 7, tác giả Vũ Hữu Bình)
Cho A= . Chứng minh 1< A< 2

Đối với bài này nếu học sinh chưa được làm quen với phương pháp chứng minh
các bất đẳng thức như các bài đã xét ở phần trên thì đa phần các em đều cảm thấy
khó, bỏ bài vì các phân số trong biểu thức đều là số to, tính tốn phức tạp, do đó
khó hình dung cách làm. Tuy nhiên trong thực tế sau khi đã hướng dẫn học sinh
nắm được phương pháp và cách biến đổi của các bài như phần trên đã trình bày,
Tơi nhận thấy đa số học sinh đã xác định đúng hướng chứng minh bài toán, 1 số
học sinh đã nêu ngay được cách làm trội, làm giảm mà khơng cần có sự hướng dẫn
của giáo viên, Cụ thể tôi đã hưỡng dẫn học sinh như sau:
Hướng dẫn: Tổng A có bao nhiêu phân số, để chứng minh A < 2 ta sẽ làm trội
như thế nào?
+/ Câu trả lời mong muốn: Tổng A có 2011 phân số, do đó ta sẽ làm trội
từng phân số một, bằng cách quy tất cả về phân số có mẫu chung là 2011 2, sau đó
thực hiện phép cộng các phân số cùng mẫu và thu gọn.
?) Vậy ý cịn lại thì sao?
+/ Câu trả lời mong muốn: Làm tương tự, nhưng sử dụng phương pháp làm
giảm bằng cách tăng mẫu của các phân số trong tổng A lên để có mẫu chung là
20112+ 2011, sau đó cũng thực hiện phép tính.
Lời giải Ta có:
. Vậy A< 2

(1)

Ta lại có:


A >1

(2). Từ (1) và (2) suy ra 1 < A < 2

Lời bình: Qua cách làm của các bài tốn trên tơi cảm nhận được nhiều học

sinh rất có hứng thú trong chứng minh các bất đẳng thức mà trước kia các em luôn
sợ, các em tỏ ra bất ngờ với cách giải của các bài tưởng chừng như khó nhưng khi
biến đổi các biểu thức phù hơp và áp dụng phương pháp vào thì các bài toán lại trở
nên rất đơn giản. Điều quan trọng là giáo viên phải chú ý cách đặt những câu hỏi
gợi mở đúng hướng để học sinh nghĩ đến việc biến đổi biểu thức, rồi mới áp dụng.
Dạng 3: Các bất đẳng thức mà biểu thức đã cho là một tích các phân số
Trong nhiều tài liêu và đề thi học sinh giỏi, có nhiều các bất đẳng thức có
dạng tích của các phân số, với các dạng này ngồi việc có thể sử dụng các cách làm
trội, làm giảm như trong các dạng 1 và 2 thì tơi cịn lưu ý học sinh phối hợp sử
13


dụng thêm các tính chất (6) trong mục 1 của phần nay, cụ thể ta xét một số bài
toán sau:
Bài toán 1: (Sách nâng cao và phát triển toán 7)
Cho A= (1). Chứng minh rằng A2 <
Nhận xét: Biểu thức A có tích gồm 100 phân số nhỏ hơn 1, có tử là các số
lẻ, mẫu là các số chẵn, do đó ta cần xác định thêm biểu thức trung gian là một tích
các phân số có tử là các số chẵn, mẫu là các số lẻ bằng cách cộng thêm 1vào tử và
mẫu của mỗi phân số trong biểu thức A (theo tính chất 6 ), khi đó ta làm như sau:
A= (1). Công 1 vào cả tử và mẫu của các phân số trong biểu thức A => A<
(2). Nhân vế với vế của (1) và (2) ta được
A2 <( ). = . Vậy A2 <
Bài toán 2: (Trích Đề thi HSG tốn 6, huyện Thạch Thành năm 2018- 2019)
Cho M = . Chứng minh M < 0,04
Hướng dẫn: Biểu thức M tương tự giống biểu thức nào? nêu cách thực hiện.
+/ Câu trả lời mong muốn:
+ Biểu thức M giống biểu thức A của bài 1
+ Cần xác định thêm một biểu thức trung gian là một tích các phân số có tử
là các số chẵn, mẫu là các số lẻ bằng cách cộng thêm 1 vào tử và mẫu của mỗi

phân số trong biểu thức M (theo tính chất 6 ).
Đến đây học sinh đã nhận ra bài tốn tương tự bài tốn 1, do đó giáo viên
hướng dẫn học sinh cách biến đổi như sau
Đặt N =
Mà ta có: )
M2 < M.N => M < 0,39 . Vậy M < 0,04
Bài tốn 3: (Trích đề thi HSG tốn 7, huyện Thiệu Hóa, Năm 2016- 2017)
Cho . Chứng minh A < 2.
Hướng dẫn: Yêu cầu HS quan sát và trả lời các câu hỏi
? đề bài cho biết gì? Với giả thiết đó, ta sẽ làm bài này như thế nào? Có thể
biến dổi về dạng của các biểu thức trong bài toán 1 và 2 không?
+/ Câu trả lời mong muốn:
+ Biểu thức A là một tích của các tổng, ta có thể thực hiện phép cộng trong
các tổng để đưa về giống các biểu thức trong bài toán 1 và 2.
Giáo viên yêu cầu học sinh tự thực hiện phép tính để biến đổi.
Ta có :
14


Đến đây bài tốn dễ dàng hơn vì là phép nhân các phân số, ta chỉ cần tách tử
mẫu để rút gọn, sau đó mới sử dụng phương pháp làm trội ở bước cuối cùng.
. Vậy A< 2
Bài toán 4 (Trích Đề thi HSG tốn 7, Huyện Nga Sơn, Năm 2013- 2014)
Cho . Chứng minh A <
 Cách thức mà trong thực tế bản thân đã làm:
Với bài này tôi đã yêu cầu học sinh quan sát biểu thức, đề xuất phương án làm.
+/ Câu trả lời mong muốn:
+ Biểu thức có dạng tương tự biểu thức M, do đó có thể thực hiện phép tính
trong mỗi ngoặc và thu gọn.
Giáo viên: Sau khi thực hiện phép tính kết quả thu được có gì đặc biệt.

+/ Câu trả lời mong muốn: Kết quả sau khi tính các phân số đều có giá trị âm.
Giáo viên: Vậy có thể xác định được dấu của tích hay khơng? Vì sao?
+/ Câu trả lời mong muốn: Tích mang dấu âm vì biểu thức A có 99 tích do
đó khi thực hiện phép trừ ở mỗi ngoặc cho ta 1 phân số âm ( ta đếm được số tích
theo các mẫu của mỗi phân số trong ngoặc). Sau khi xác định được dấu của tích thì
việc biến đổi sẽ trở nên dễ dang hơn, cụ thể cách giải như sau:
Mà ta có: . Vậy A <
Qua các bài toán vừa xét, đặc biệt là bài tốn 3 và 4 thì tơi nhận thấy việc
học sinh phát hiện ra hướng để biến đổi biểu thức thì khơng khó, mà điểm khó
trong các bài này đặc biết là bài 4 đó là sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm
như thế nào cho hợp lý để chứng minh được biểu thức. Mặt khác việc sử dụng
phương pháp làm trội, làm giảm hầu như chỉ áp dụng ở kết quả cuối cùng, nhưng
lại rất quan trọng, vì sau khi thực hiện biến đổi biểu thức xong, nếu giáo viên
không hướng dẫn học sinh cách quan sát biểu thức để làm trội, làm giảm thì khó có
thể đi được đến kết quả cuối cùng của bài
Dạng 4: Các bất đẳng thức mà biểu thức đã cho là các phân số có tử
mẫu là các chữ.
Ngồi các bất đẳng thức mà tử, mẫu là các số cụ thể, thì trong nhiều đề thi
học sinh giỏi của lớp 7 một số năm gần đây còn yêu cầu chứng minh các bất đẳng
thức mà tử mẫu chứa chữ, đối với dạng này đa số học sinh đều thấy khó, vì đối với
học sinh lớp 7 các kiến thức về đại số cịn chưa hồn thiện, các em chưa biết các
phương pháp chứng minh bất đẳng thức, chưa nắm được các bất đẳng thức thường
dùng để chứng minh các bất đẳng thức khác,…, do đó trước khi chứng minh các
bất đẳng thức dạng này mà sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm thì thường sử
15


dụng các tính chất 5 và 6 trong mục 1 để giải. Sau đây ta xét một số bài toán điển
hình
Bài tốn 1: (Trích Đề thi HSG Tốn 7, Triệu Sơn, năm học 2015- 2016)

Cho a, b, c là các số thực dương bất kỳ và .
Chứng minh rằng: 1 < M < 2
Hướng dẫn: Để chứng minh M > 1 ta cần chứng minh M lớn hơn 1 phân số
có tử mẫu bằng nhau, khi đó xuất phát từ điều kiện đề bài cho: Với a, b, c là các số
thực dương bất kỳ, kết hợp với tính chất 2 phân số cùng tử, phân số nào có mẫu lớn
hơn thì bé hơn ta sẽ sử dụng phương pháp làm giảm như sau:
Vì a, b, c > 0 => 0< a + b < a + b + c
Chứng minh tương tự ta cũng có: ;
Cộng theo cùng chiều về với vế của ba bất đẳng thức ta được:
. Vậy M > 1 (1)
Từ kết quả của chứng minh M > 1 giáo viên yêu cầu học sinh tương tự nêu
cách phương pháp sử dụng để chứng minh M < 2
Học sinh nêu được: dùng phương pháp làm trội bằng cách ngược lại của ý
trên và cần chứng minh cho M lớn hơn 1 phân số có tử gấp 2 lần mẫu.
Giáo viên yêu cầu học sinh tự chứng minh và cho lời giải để học sinh đối chiếu
Vì a, b, c > 0, nên suy ra a < b+c =>
Chứng minh tương tự ta được:
Tiếp tục cộng theo cùng chiều về với vế của ba bất đẳng thức ta được:
(2)
Từ (1) và (2) suy ra 1Lời bình: Như vậy, qua kết quả chứng minh bài tốn 1 giáo viên cần lưu ý
cho học sinh về cách sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm trong bài này thực tế
không khác so với các bài mà các biểu thức đã cho là các số, ở các biểu thức là số
khi làm trội, làm giảm ta tăng (giảm) tử hoặc mâu đi một số đơn vị là các số cụ thể
thì ta sẽ được 1 phân số mới lớn hơn (nếu làm trội) hoặc nhỏ hơn (nếu làm giảm),
còn ở biểu thức mà các phân số là chứa chữ thì việc làm trội, làm giảm ở đây cũng
tương tự, có điều số mà ta tăng ở đây thường cũng là 1 chữ, cho nên khi làm dạng
này giáo viên cần lưu ý học sinh bám chắc vào giả thiết để xét xem các chữ ở đây
có điều kiện gì (thường là các số lớn hơn 0, khi đó ta sẽ xác định được phương
pháp và cách thức để chức minh bất đẳng thức.Ta xét thêm bài toán tương tự.

Bài tốn 2: (Trích Đề thi HSG Tốn 7, Hậu Lộc, Năm học 2017- 2018)
Cho ; x, y, z, t N*, Chứng minh M10<1025
Hướng dẫn: Yêu cầu HS quan sát và trả lời các câu hỏi
16


? Đề bài có gì đặc biệt? Với giả thiết đó, ta sẽ làm bài này như thế nào? Có
thể áp dụng cách làm như bài tốn 1 được khơng?
+/ Câu trả lời mong muốn:
+ Bài này giống ý M < 2 của bài 1, nhưng bài toán xét với 4 số và tổng M có
4 phân số, nên có thể làm tương tự bài 1.
Giáo viên hỏi thêm để chứng minh M10<1025 hướng suy nghĩ thế nào?
+/ Câu trả lời mong muốn: Vì 1025 >1024 = 210, cần chứng minh M < 2
Giáo viên yêu cầu học sinh tự làm và chấm chéo để kiểm tra bài làm cho nhau
Lời giải: Vì x, y, z, t > 0 => x+y < x+ y+z
Chứng minh tương tự ta có: ;
Cộng theo cùng chiều về với vế của các bất đẳng thức ta được:
M < 2 => M10< 210 (vì M > 0), mà 210 = 1024 < 1025. Vậy M10< 1025
Ở bài này học sinh có thể làm tương tự bài toán 1 cũng ra được kết quả M < 2.
Bài tốn 3 (Trích Đề thi HSG Tốn 7, Việt Yên, Năm học 2018- 2019)
Cho ba số dương: 0
Hướng dẫn :Vì 0, nên : (a -1). (b - 1) 0 ab +1a+b
  (1)
Chứng minh tương tự ta được: (2) ;
Cộng theo vế của (1), (2) và (3) ta được


Theo chứng minh bài tốn 1,ta có:
Vậy
Tóm lại: Khi chứng minh các bất đẳng thức dạng này, giáo viên cần hướng

dẫn học sinh tận dụng tối đa điều kiện đã cho của đề bài, kết hợp vận dung linh
hoạt các tính chất 5 và 6 để làm trội hoặc làm giảm mẫu một cách hợp lý thì việc
sử dụng phương pháp sẽ dễ dàng hơn.
Trong thực tế giảng dạy tơi cịn thường sử dụng phương pháp làm trội,
làm giảm để giải nhiều dạng toán khác như: So sánh các biểu thức, chứng minh
biểu thức khơng có giá trị ngun, các bất đẳng thức mà tử, mẫu là các giai
thừa, các bất đẳng thức có dấu căn bậc hai, …, Trong phạm vi của đề tài tôi chỉ
xin giới thiệu một số dạng sử dụng dạy phù hợp trong BDHSG khối 6,7 mà
thường hay có trong các đề thi học sinh giỏi các khối nay. Nhưng khi học sinh
đã hiểu và áp dụng tốt các kiến thức được học như trong sáng kiến đã nêu, hình
thành được kỹ năng, biết cách để suy luận thì việc mở rộng tiếp cho các dạng
cịn lại sẽ khơng mấy khó khăn, vì các dạng mà tôi chọn dạy trong nội dung của
sáng kiến là hết sức cơ bản, dễ hiểu, dễ suy luân, là cơ sở cho các dạng còn lại.
4/ Bài tập tự luyện
Bài 1: (Trích Đề thi HSG lớp 6 Huyện Ngọc Lặc năm 2018- 2019)
17


Cho biểu thức:
Bài 2: : (Trích Đề thi HSG lớp 6, Huyện Hoằng Hóa năm 2018- 2019)
Chứng minh rằng:
Bài 3: Cho P= . Chứng minh rằng P không phải là một số tự nhiên. (Trích đề thi
HSG Tốn 6, Huyện Kỳ Anh, Năm 2019)
Bài 4: (Trích Đề thi HSG lớp 7, Huyện Triệu Sơn năm 2016- 2017)
Cho biểu thức
Bài 5: (Trích Đề thi giao lưu HSG lớp 6, Cẩm Thủy, Năm 2019- 2020)
6
8
10
4040

+
+
+ ... +
1!+ 2!+ 3! 2!+ 3!+ 4! 3!+ 4!+ 5!
2018!+ 2019!+ 2020!

Chứng minh rằng A=
Không phải là một số nguyên.
Bài 6: (Trích kiếm tra đội tuyển HSG toán 7,THCS Cẩm Phong, năm 2017-2018)
Cho a, b, c ,d là các số thực dương bất kỳ và
Chứng minh 1< P < 2
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục,
với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường
Với biện pháp trên tôi đã áp dụng vào giảng dạy cho các học sinh khá giỏi
trong trường và chia sẻ trong tổ chuyên môn đã thu được những kết quả khả quan.
Khi gặp các bài toán về chứng minh các bất đẳng thức, đa phần học sinh đã biết
sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm để chứng minh hoặc xác định ngay
được hướng làm và lựa chọn cách trình bày đơn giản nhất , tránh được những sai
sót cơ bản, có kĩ năng vận dụng thành thạo, phát huy được tính tích cực của học
sinh.
Tạo được hứng thú học tập, tâm lí vững vàng tự tin cho học sinh trước yêu
cầu của bài toán đặc biệt là các dạng tốn khó.
Bồi dưỡng khả năng tìm tịi, sáng tạo áp dụng các kiến thức đã học vào
một số bài toán số học và các bài toán khác.
Đặc biêt đối với HS khá, giỏi khi giải tốt dạng toán này đã tiếp thu phát
triển các bài tập của từng dạng, nâng cao yêu cầu trong từng bài, giúp các em
phát huy được năng lực học toán. Cải thiện đáng kể được kết quả của đội tuyển
đối với các dạng toán về chứng minh các bất đẳng thức, từ đó tạo cho học sinh
sự chủ động trong học tập.
Sau khi trao đổi với đồng nghiệp về nội dung của sáng kiến đều được các

đồng nghiệp ủng hộ, vận dụng vào dạy ôn thi học sinh giỏi các khối khác, tùy
theo yêu cầu từng khối mà giáo viên lựa chọn giảng dạy cho phù hợp, nhưng
18


vẫn dựa trên cơ sở sử dụng phương pháp và cách thức khai thác như các bài tập
trong sáng kiến đã nêu, vì vậy đã thu được những kết quả rất khả quan, đáp ứng
được yêu cầu của đội tuyển.
Kết quả kiểm tra 16 học sinh đội tuyển toán lớp 6, lớp 7 trong 2 năm
học liên tiếp: 2019-2020 và 2020 - 2021 của trường THCS A
Điểm dưới 5 Điểm 5 - 6,5 Điểm 7 - 8,5 Điểm 9 - 10
KQ
SL
%
SL
%
SL
%
SL
%
Trước khi áp dụng
10
62,5
5
31,25
1
6,25
0
0
biện pháp

Sau khi áp dụng
1
6,25
4
25
6
37,5
5
31,25
biện pháp
3. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1. Kết luận.
Qua thực tế giảng dạy khi áp dụng biện pháp trên tôi đã đạt được những
kết quả tốt. Rất nhiều HS giỏi đều đã nâng cao được kỹ năng chứng minh bất
đẳng thức, nhiều em đã chủ động tìm tịi và định hướng cách làm bài khi chưa
có sự hướng dẫn của GV, các em đã tự mình phát hiện ra các dạng tốn và cách
làm của từng dạng, biết cách phát triển khai thác bài tốn bằng nhiều cách khác
nhau, bên cạnh đó cịn giúp các em học sinh hoàn thành tốt các bài tập trong sách
bài tập, một số sách tham khảo và trong các đề thi, chuẩn bị tốt cho các kì thi học
sinh giỏi, góp phần nang cao chất lượng đội tuyển HSG tốn trong nhà trường.
Trình bày biện pháp trên đây là cơ sở, là động lực giúp tơi có thêm những
kinh nghiệm, những phương pháp trong giảng dạy, bổ sung thêm những phương
pháp giải các dạng toán nâng cao trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi, đồng
thời cung cấp cho HS phương pháp giải của nhiều dạng tốn, thơng qua đó phát
hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi.
Trên đây là một số kinh nghiệm “sử dụng phương pháp làm trội, làm giảm
để chứng minh các bất đẳng thức” trong BDHSG mơn tốn 6,7 mà tơi trình bày
trên đây chắc chắn còn nhiều hạn chế và khiếm khuyết về cấu trúc, ngôn ngữ và
cả về kiến thức, mong rằng sẽ nhận được sự đóng góp chân thành và bổ sung
thêm của các đồng nghiệp.

3.2. Kiến nghị: Không
XÁC NHẬN
CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Hiệu Trưởng

TT Phong Sơn , ngày 18 tháng 5 năm
2021
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
19


khác.
Người viết
Nguyễn Thế Hiền
Trần Thị Huyền

TÀI LIỆU THAM KHẢO
TT

Tài liệu tham khảo

Nhà xuất bản, chủ biên

1

Sách giáo khoa, sách bài tập toán 6, 7.

2

Toán nâng cao và phát triển lớp 6, 7

3

Toán nâng cao và các chuyên đề lớp 6, 7

4

Tuyển tập các bài toán chọn lọc THCS

5

Các chuyên đề bồi dưỡng HSG THCS

NXB ĐH Quốc gia Hà
Nội

6

Tuyển tập đề thi học sinh giỏi trung học
cơ sở các năm

NXB ĐH Quốc gia Hà
Nội

7

Tham khảo thêm một số tài liệu qua
mạng Internet

8

Đề thi HSG các huyện các năm

20

NXB Giáo dục
Việt Nam
NXB Giáo dục
Việt Nam
NXB Giáo dục
Việt Nam
NXB ĐH Sư pham


DANH MỤC
CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG
KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH
VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN
Họ và tên tác giả: Trần Thị Huyền
Chức vụ và đơn vị công tác: Trường trung học Cơ sở Cẩm Phong

T
T

Cấp đánh giá
xếp loại
Tên đề tài SKKN

(Ngành GD cấp

huyện/tỉnh;
Tỉnh...)

Kết quả
đánh giá
xếp loại
(A, B,
hoặc C)

Năm học
đánh giá
xếp loại

1.

Một số kinh nghiệm giải các Phịng GD& ĐT
bài tốn có quy luật và tính Huyện Cẩm
số số hạng trong dãy
Thủy

A

2014- 2015

2.

Nâng cao kỹ năng giải một Phịng GD& ĐT
số dạng tốn về hàm số và Huyện
Cẩm
đồ thị đối với học sinh lớp 9 Thủy

B

2015 - 2016

A

2017 - 2018

3.

Nâng cao kỹ năng giải một Phịng GD& ĐT
số dạng tốn số học bằng Huyện
Cẩm
cách sử dụng phương pháp Thủy
21


chặn

Sở GD&ĐT Tỉnh
Thanh Hóa

C

2018- 2019

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC CẤP TRƯỜNG
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Xếp loại:............................................................................................
TM. HỘI ĐỒNG KHOA HỌC NHÀ TRƯỜNG
Chủ tịch

22


Nguyễn Thế Hiền

ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN CẨM THỦY

Sáng kiến kinh nghiệm tiêu biểu
Xếp loại:

A
TM. HỘI ĐỒNG KHOA HỌC PHÒNG GD&ĐT
Chủ tịch

Nguyễn Thanh Sơn

23


ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI SKKN CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC, SÁNG KIẾN
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH THANH HÓA

.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.....................................................................................................................................
.............................................................................................................
Xếp loại:............................................................................................
TM. HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT
Chủ tịch

24