BÀI GIẢNG XÁC SUẤT THỐNG KÊ

TS. PHẠM QUANG KHỐI (chủ biên)
THS. VŨ NGỌC TRÌU, THS. NGUYỄN THỊ VÂN HÕA
THS. ĐẶNG THỊ NGỌC ÁNH

BÀI GIẢNG
XÁC SUẤT THỐNG KÊ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC LÂM NGHIỆP - 2017


2


LỜI NĨI ĐẦU
Xác suất thống kê là mơn học đƣợc giảng dạy cho các lớp hầu hết ngành
học ở Trƣờng Đại học Lâm nghiệp. Đặc biệt là hệ đào tạo Tín chỉ với thời lƣợng
3 tín chỉ. Do vậy cần có tài liệu học tập phù hợp với chƣơng trình của mơn học
để cho sinh viên có thể tự học.
Chúng tơi biên soạn bài giảng này dựa trên chƣơng trình môn học nhằm
đáp ứng nhu cầu học tập của sinh viên. Bài giảng do các giảng viên thuộc Bộ
mơn Tốn, Khoa Cơ điện và Cơng trình biên soạn theo trình tự khoa học, chặt
trẽ. Mỗi phần đều có ví dụ minh họa liên quan đến thực tế để tạo hứng thú cho
ngƣời học. Cuối mỗi chƣơng đều có bài tập để củng cố và nâng cao kiến thức
môn học.
Sau đây là nội dung chính của bài giảng:
Chƣơng 1 Biến cố ngẫu nhiên và phép tính xác suất
Chƣơng 2 Biến ngẫu nhiên
Chƣơng 3 Mẫu thống kê và thống kê mô tả
Chƣơng 4 Ƣớc lƣợng tham số
Chƣơng 5 Kiểm định giả thuyết thống kê
Chƣơng 6 Sơ lƣợc về lý thuyết tƣơng quan và hồi quy tuyến tính

Chƣơng 7 Phân tích phƣơng sai
Mặc dù đã cố gắng nhƣng cuốn sách khó tránh khỏi những khiếm khuyết.
Chúng tơi mong nhận đƣợc những góp ý quý báu của độc giả.
Hà Nội, tháng 11 năm 2017
Các tác giả

3


4


Chƣơng 1
BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ PHÉP TÍNH XÁC SUẤT
1.1. Các khái niệm mở đầu
1.1.1. Phép thử ngẫu nhiên
Phép thử ngẫu nhiên (hay gọi tắt là phép thử) là một hành động hay một thí
nghiệm hoặc một quan sát mà kết quả của nó khơng thể dự báo trƣớc đƣợc.
Ví dụ 1:
 Một vật đƣợc thả từ trên cao chắc chắn sẽ rơi xuống đất;
 Mặt trời mọc ở hƣớng Đơng và lặn ở hƣớng Tây;
 Nƣớc đóng băng ở điều kiện nhiệt độ dƣới 00C và áp suất 1 atm…
Đó là hiện tƣợng diễn ra có tính quy luật, tất định.
=> Những hành động này không phải là phép thử ngẫu nhiên.
Ví dụ 2:
 Gieo 1 đồng xu cân đối và đồng chất;
 Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất;
 Rút 1 quân bài từ bộ bài tú lơ khơ.
=> Những hành động này là các phép thử ngẫu nhiên.
1.1.2. Không gian mẫu

Khi thực hiện một phép thử ngẫu nhiên, ta không thể dự báo trƣớc đƣợc kết
quả tuy vậy ta có thể liệt kê đƣợc cụ thể hoặc biểu diễn đƣợc tất cả các kết quả
có thể xảy ra của phép thử ngẫu nhiên.
Tập hợp tất cả các kết quả của một phép thử ngẫu nhiên đƣợc gọi là khơng
gian mẫu của phép thử đó. Kí hiệu là  .
Mỗi phần tử của khơng gian mẫu  cũng tức là mỗi kết quả của phép thử
ngẫu nhiên đƣợc gọi là một phần tử mẫu.
 Ta có dạng bài tập tìm khơng gian mẫu của một phép thử.
Ví dụ 3:
Tìm khơng gian mẫu cho phép thử gieo 1 lần một con xúc xắc cân đối và
đồng chất.
Các trƣờng hợp có thể xảy ra: Xúc xắc xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm,
4 chấm, 5 chấm, 6 chấm. Hay ta viết dƣới dạng tập hợp:   1, 2,3, 4,5, 6 .
5


Ví dụ 4: Tìm khơng gian mẫu cho phép thử gieo liên tiếp 1 con xúc xắc cân
đối và đồng chất cho tới khi xuất hiện mặt 6 chấm thì dừng lại.
Các kết quả có thể có của phép thử này là 1 lần, 2 lần, 3 lần…
Hay ta viết dƣới dạng tập hợp số lần gieo là các số ngun dƣơng {1, 2, 3…}.
Ví dụ 5: Tìm khơng gian mẫu cho phép thử đo thời gian sống của một con
chip điện tử.
Các kết quả có thể của phép thử là số thực khơng âm.
 Có 2 loại khơng gian mẫu:
- Không gian mẫu rời rạc: Gồm một số hữu hạn (ví dụ 1) hay vơ hạn đếm
đƣợc (ví dụ 2) các phần tử mẫu;
- Không gian mẫu liên tục: Gồm một số vô hạn không đếm đƣợc các phần
tử mẫu (ví dụ 3).
Tƣơng ứng với các loại khơng gian mẫu này ta sẽ có các khái niệm biến
ngẫu nhiên rời rạc và biến ngẫu nhiên liên tục sẽ học ở chƣơng sau.

 Chú ý rằng một phép thử có thể có nhiều khơng gian mẫu khác nhau tùy
thuộc vào việc quan sát của chúng ta.
1.1.3. Biến cố
Xét một phép thử. Chẳng hạn gieo một đồng xu trên một mặt phẳng. Các
kết quả có thể xảy ra là: “Xuất hiện mặt sấp” hoặc “xuất hiện mặt ngửa”. Việc
“xuất hiện mặt sấp” hay “xuất hiện mặt ngửa” là một sự kiện gắn với phép thử
phép thử. Ta có khái niệm biến cố:
Một sự kiện có thể xảy ra hay khơng tùy thuộc vào kết quả của phép thử
đƣợc gọi là một biến cố của phép thử đó.
Kí hiệu biến cố bằng các chữ cái in hoa A, B, C…
Những kết quả làm cho biến cố xảy ra đƣợc gọi là kết quả thuận lợi của
biến cố đó.
6


Nhƣ vậy, ta cũng có thể nói biến cố A là một tập con của không gian mẫu
bao gồm các kết quả thuận lợi cho A.
Ví dụ 6: Xét phép thử tung một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là
biến cố “Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm lẻ”.
=> Các kết quả thuận lợi của biến cố A là 1 chấm, 3 chấm, 5 chấm và các
kết quả này nằm trong không gian mẫu của phép thử.
* Cách cho biến cố:
Ngƣời ta có thể cho biến cố dƣới dạng 1 mệnh đề hoặc 1 tập hợp.
Lưu ý: Một mệnh đề phải có đầy đủ chủ ngữ và vị ngữ.
Mọi biến cố đều có thể biểu diễn dƣới dạng các tập hợp, thƣờng ở dƣới
dạng liệt kê và có thể dùng sơ đồ Venn để minh họa.

Hình 1: Sơ đồ Venn của một biến cố A trong khơng gian mẫu Ω
(Tính theo tỉ lệ diện tích, xác suất của A xấp xỉ bằng 0,2)
* Phân loại biến cố:

- Biến cố sơ cấp: Là biến cố khơng thể phân tích đƣợc nữa.
Ví dụ 7: Tung một đồng tiền, biến cố đồng tiền xuất hiện mặt sấp hoặc mặt
ngửa là các biến cố sơ cấp.
Vì vậy khơng gian mẫu cịn đƣợc gọi là khơng gian các biến cố sơ cấp.
- Biến cố không thể: Là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiệp phép
thử. Biến cố không thể đồng nhất với tập rỗng của khơng gian mẫu.
Ví dụ 8: Tung 1 con xúc xắc, gọi U là biến cố “Xúc xắc xuất hiện mặt có
7 chấm”.
Khi đó U là biến cố khơng thể.
- Biến cố chắc chắn: Là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử. Biến cố
chắc chắn đồng nhất với tập không gian mẫu Ω.
7


Ví dụ 9: Tung 1 con xúc xắc, gọi S là biến cố “Xúc xắc xuất hiện số chấm
nhỏ hơn hoặc bằng 6” => S là biến cố chắc chắn.
- Biến cố ngẫu nhiên: Là biến cố có thể xảy ra hoặc khơng xảy ra khi thực
hiện phép thử.
Ví dụ 10: Gieo 1 con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố con
xúc xắc xuất hiện chấm chẵn.
=> Các kết quả thuận lợi có thể xảy ra là A = {2,4,6}.
1.1.4. Quan hệ giữa các biến cố
Trong lý thuyết xác suất, ngƣời ta xét các quan hệ sau đây của các biến cố:
 Quan hệ kéo theo: Biến cố A gọi là kéo theo biến cố B nếu khi A xảy ra
thì B cũng xảy ra. Kí hiệu A  B .
 Quan hệ tương đương: Hai biến cố A và B đƣợc gọi là tƣơng đƣơng nếu
A  B và B  A . Kí hiệu A = B.

 Phép hợp: Hợp của 2 biến cố A và B là một biến cố xảy ra nếu ít nhất
một trong hai biến cố trên xảy ra. Kí hiệu là A  B .

Hợp của một dãy hữu hạn biến cố  A1, A2 ,..., An  là biến cố

n
i 1

Ai . Biến cố

này xảy ra khi có ít nhất một trong các biến cố Ai xảy ra.
 Phép giao: Giao của hai biến cố A và B là một biến cố xảy ra khi cả hai
biến cố trên xảy ra. Kí hiệu: A  B hay AB.
Giao của một dãy hữu hạn n biến cố  A1, A2 ,..., An  là biến cố

n
i 1

Ai . Biến cố

này xảy ra khi tất cả các biến cố Ai cùng xảy ra.
 Quan hệ đối lập: Biến cố đối của biến cố A là biến cố xảy ra khi và chỉ
khi A khơng xảy ra. Kí hiệu là A .
 Quan hệ xung khắc: Hai biến cố A và B đƣợc gọi là xung khắc với nhau
nếu chúng khơng đồng thời xảy ra trong một phép thử. Kí hiệu AB   .
 Hiệu của hai biến cố: Hiệu của biến cố A và biến cố B là một biến cố

8


xảy ra khi A xảy ra nhƣng B không xảy ra. Kí hiệu A\B.
Ta có bảng so sánh giữa lý thuyết tập hợp và lý thuyết xác suất nhƣ sau:
Lý thuyết tập hợp

Tập 
Tập rỗng 
A B
x  A  B nghĩa là:
x  A thì x  B

Lý thuyết xác suất

Mơ tả bằng hình vẽ

-  là khơng gian các biến cố
sơ cấp (không gian mẫu).
-  là biến cố chắc chắn.
 là biến cố không thể.
Biến cố A kéo theo biến cố B.

A  B là hợp của hai tập hợp. A  B là biến cố ít nhất một
x  A  B nghĩa là:
trong hai biến cố A hoặc B
x  A hoặc x  B
xảy ra.
A  B là giao của hai tập hợp A  B (hoặc kí hiệu là AB) là
x  A  B nghĩa là:
biến cố cả hai biến cố A và B
x  A và x  B
cùng xảy ra.
A B  

A \ B là hiệu của hai tập hợp
x  A \ B nghĩa là:

x  A và x  B

A  B   thì A và B là hai

biến cố xung khắc.
A \ B là hiệu của hai biến cố,

tức là A xảy ra nhƣng B
không xảy ra.

A   \ A là biến cố đối của
A\ A

biến cố A, tức là A xảy ra nếu
A không xảy ra.

 Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ:
Qua thực nghiệm và quan sát thực tế, ngƣời ta thấy rằng các biến cố có xác
suất nhỏ sẽ khơng xảy ra khi ta chỉ thực hiện một phép thử hay một vài phép
thử. Từ đó ta thừa nhận nguyên lý sau đây, gọi là “Nguyên lý xác suất nhỏ”: Nếu
một biến cố có xác suất rất nhỏ thì thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ khơng
xảy ra trong một lần thực hiện phép thử.
Ví dụ: Mỗi chiếc máy bay đều có một xác suất rất nhỏ bị xảy ra tai nạn.
9


Nhƣng trên thực tế ta vẫn không từ chối đi máy bay vì tin tƣởng rằng trong
chuyến bay ta đi biến cố máy bay bị rơi không xảy ra.
Việc quy định một mức xác suất thế nào đƣợc gọi là nhỏ sẽ phụ thuộc vào
từng bài toán cụ thể. Chẳng hạn nếu xác suất để máy bay rơi là 0,01 thì xác suất

đó chƣa thể đƣợc coi là nhỏ. Nhƣng nếu xác suất một chuyến tàu khởi hành
chậm là 0,01 thì có thể chấp nhận là nhỏ. Mức xác suất nhỏ này đƣợc gọi là mức
ý nghĩa. Nếu  là mức ý nghĩa thì số   1   đƣợc gọi là độ tin cậy.
Khi dựa trên nguyên lý xác suất nhỏ ta có thể phát biểu “Biến cố A có xác
suất nhỏ (tức là P(A)   ) sẽ khơng xảy ra trên thực tế” thì độ tin cậy của phát
biểu trên là  .
Tƣơng tự nhƣ vậy, ta có thể đƣa ra “Nguyên lý xác suất lớn”: Nếu biến cố
A có xác suất gần bằng 1 thì trên thực tế có thể cho rằng biến cố đó sẽ xảy ra
trong một phép thử.
BÀI TẬP
Bài 1: Cho 3 biến cố A, B, C. Hãy biểu diễn các biến cố sau theo A, B, C.
a) Cả 3 biến cố trên đều xảy ra.
b) Cả 3 biến cố trên đều khơng xảy ra.
c) Chỉ có A xảy ra.
d) A, B xảy ra nhƣng C khơng xảy ra.
e) Có ít nhất 2 biến cố xảy ra.
f) Có đúng 2 biến cố xảy ra.
g) Có ít nhất một biến cố xảy ra.
Bài 2: Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất.
a) Xây dựng không gian mẫu.
b) Xác định các biến cố sau:
A: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc là một số chẵn”.
B: “Ít nhất một con xúc xắc xuất hiện mặt một chấm”.
C: “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc bằng 5”.
c) Miêu tả các biến cố A  B, B  C , AB và ABC.
Bài 3: Gieo một đồng xu hai lần. Hãy mô tả không gian mẫu (Không gian
các biến cố sơ cấp). Mô tả biến cố:
10

A: Mặt sấp xuất hiện ít nhất một lần.
B: Lần gieo thứ hai xuất hiện mặt sấp.
Bài 4: Gieo một lần một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Mô tả không
gian các biến cố sơ cấp. Mô tả biến cố A: Mặt trên con xúc xắc xuất hiện số
chấm chia hết cho 3.
Bài 5: Gieo một đồng xu sau đó gieo một con xúc xắc. Mơ tả khơng gian
các biến cố sơ cấp.
Bài 6: Gieo liên tiếp 1 đồng xu đến khi xuất hiện mặt ngửa thì dừng. Mô tả
không gian các biến cố sơ cấp.
Bài 7: Một xạ thủ bắn ba lần, mỗi lần một viên đạn vào cùng một mục tiêu.
Gọi Ai là biến cố viên đạn thứ i trúng mục tiêu, i = 1, 2, 3. Hãy biểu diễn các
biến cố sau theo Ai.
a) Cả ba viên đạn đều trúng mục tiêu.
b) Khơng có viên đạn nào trúng mục tiêu.
c) Có đúng 1 viên đạn trúng mục tiêu.
d) Có ít nhất hai viên đạn trúng mục tiêu.
Bài 8: Hãy mô tả biến cố đối của các biến cố sau đây:
A: Xuất hiện hai mặt ngửa khi gieo một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần.
B: Cả ba viên đạn đều trúng đích khi bắn độc lập ba lần, mỗi lần một viên
đạn vào một mục tiêu.
C: Có ít nhất một viên đạn trúng đích khi bắn độc lập ba lần, mỗi lần một
viên đạn vào một mục tiêu.
Bài 9: Bắn độc lập bốn viên đạn vào mục tiêu. Gọi Ai là biến cố viên đạn
thứ i trúng mục tiêu (i = 1, 2, 3, 4). Hãy biểu diễn các biến cố sau theo Ai và Ai :
a) Có đúng một viên trúng mục tiêu.
b) Có ít nhất hai viên trúng mục tiêu.
c) Có ít nhất một viên trúng mục tiêu.
Bài 10: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất hai lần. Mô tả không
gian các biến cố sơ cấp. Mô tả biến cố:
11

A: Tổng số chấm xuất hiện ở mặt trên con xúc xắc là 8.
B: Mặt 6 chấm xuất hiện ít nhất một lần.
1.2. Các định nghĩa về xác suất
1.2.1. Định nghĩa xác suất cổ điển
Xét một phép thử. Giả sử khơng gian mẫu của phép thử đó gồm n (hữu
hạn) trƣờng hợp đồng khả năng. Nếu biến cố A liên quan đến phép thử gồm có
m trƣờng hợp thuận lợi thì tỷ số
Kí hiệu: P(A) =

m
đƣợc gọi là xác suất của biến cố A.
n

m
.
n

Các bƣớc để tính xác suất của một biến cố theo định nghĩa cổ điển nếu xem
biến cố A nhƣ là tập con của không gian mẫu  thì:
+ Xác định khơng gian mẫu  , rồi tính số phần tử n(  ) của  ;
+ Xác định các trƣờng hợp thuận lợi của biến cố A, rồi tính số trƣờng hợp
thuận lợi để xảy ra biến cố A là n(A);
+ Tính P(A) theo cơng thức P(A) 

n( A)
.
n ( )

Phƣơng pháp tính số phần tử của không gian mẫu và số trƣờng hợp thuận
lợi của biến cố A.
1.2.1.1. Phương pháp liệt kê các phần tử
Ví dụ 1: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tìm xác suất để:
a) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện một chấm.
b) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn.
c) Mặt trên của con xúc xắc có số chấm nhỏ hơn 7.
d) Mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm.
Giải:
a) Gọi A là biến cố mặt trên của con xúc xắc có một chấm.
Khi đó:
- Khơng gian mẫu  gồm 6 trƣờng hợp => Số phần tử của không gian mẫu
 là n(  ) = 6;

- Các kết quả thuận lợi của biến cố A có một trƣờng hợp.
 P(A) =

1
.
6
12


b) Gọi B là biến cố mặt trên của con xúc xắc có số chấm chẵn.
Khi đó:
- Khơng gian mẫu  gồm 6 trƣờng hợp;
- Các kết quả thuận lợi của biến cố B là 3 trƣờng hợp {2, 4, 6}.
 P(A) =

3

.
6

c) Gọi C là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện số chấm nhỏ hơn 7.
Khi đó:
- Khơng gian mẫu  gồm 6 trƣờng hợp;
- Các kết quả thuận lợi của biến cố C là 6 trƣờng hợp (bằng số trƣờng hợp
thuận lợi của không gian mẫu).
 P(A) =

6
 1.
6

d) Gọi D là biến cố mặt trên của con xúc xắc xuất hiện 7 chấm.
Khi đó:
- Khơng gian mẫu  gồm 6 trƣờng hợp;
- Các kết quả thuận lợi của biến cố D là 0 (khơng có mặt 7 chấm).
 P(A) =

0
 0.
6

1.2.1.2. Phương pháp dùng quy tắc đếm
Nhắc lại: Số cách lấy k phần tử từ n phần tử không quan tâm đến thứ tự là Cnk .
 Quy tắc cộng:
Giả sử để thực hiện một cơng việc A ta có k phƣơng án thực hiện:
- Phƣơng án 1 có n1 cách hồn thành;
- Phƣơng án 2 có n2 cách hồn thành;

…
- Phƣơng án k có nk cách hồn thành.
Khi đó số cách thực hiện công việc A là n1 + n2 +…+ nk.
 Quy tắc nhân:
Giả sử để thực hiện một công việc A ta phải thực hiện qua k giai đoạn
khác nhau:
- Giai đoạn 1 có n1 cách hồn thành;
- Giai đoạn 2 có n2 cách hồn thành;
13


…
- Giai đoạn k có nk cách hồn thành.
Khi đó số cách thực hiện công việc A là n1.n2…nk.
Nhận xét:
 Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài chúng ta biết đƣợc phải
sử dụng quy tắc cộng hay quy tắc nhân. Thông thƣờng, nếu một bài tốn mà
cơng việc có thể giải quyết theo nhiều phƣơng án hay có nhiều trƣờng hợp xảy
ra thì ta thƣờng dùng quy tắc cộng, cịn nếu bài tốn mà cơng việc đƣợc thực
hiện bằng những công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công đoạn hay là trƣờng hợp nhỏ
này liên kết với trƣờng hợp nhỏ kia thì ta thƣờng dùng quy tắc nhân.
 Trong nhiều trƣờng hợp chúng ta cần kết hợp cả hai quy tắc để giải bài tốn.
Ví dụ 2: Chọn ngẫu nhiên 3 quân bài trong một bộ bài tú lơ khơ gồm 52
quân. Tính xác suất để trong 3 quân chọn ra đó:
a) Có đúng một quân bài mầu đỏ.
b) Có ít nhất một qn át.
Giải:
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn ngẫu nhiên 3 quân bài
trong một bộ bài tú lơ khơ 52 quân => Số phần tử của không gian mẫu là
3

n()  C52
 22510 .

a) Gọi A là biến cố trong 3 quân bài chọn ra có đúng một quân bài mầu đỏ.
Để A xảy ra ta phải thực hiện 2 giai đoạn:
- Giai đoạn 1: Lấy ra 2 quân bài khác màu đỏ trong số 26 quân bài khác
2
màu đỏ của bộ bài => Có C26
cách lấy.

- Giai đoạn 2: Lấy ra 1 quân bài màu đỏ trong số 26 quân bài màu đỏ của
1
bộ bài => Có C26
cách lấy.

 Áp dụng công thức nhân xác suất, số trƣờng hợp thuận lợi của biến cố A
2 1
là n(A)  C26
C26 = 325.

Vậy xác suất P(A) 

n( A)
325

 0,0147 .
n() 22150

b) Gọi B là biến cố trong 3 quân bài chọn ra có ít nhất một qn át.
Để B xảy ra ta có các phƣơng án (cách) thực hiện:

14


Phƣơng án 1: Có 1 quân át và 2 quân khác át => Số cách chọn ra 1 quân át
trong 4 quân át của bộ bài là C41 , số cách chọn 2 quân còn lại trong 48 quân bài
2
2
khác át là C48
=> Tổng số cách thực hiện phƣơng án 1 là C41C48
.

Phƣơng án 2: Có 2 quân át và 1 quân khác át. Lập luận tƣơng tự phƣơng án
1
1 ta có số cách thực hiện phƣơng án 2 là C42C48
.

Phƣơng án 3: Có 3 quân át. Lập luận tƣơng tự nhƣ trên ta có số cách thực
0
hiện phƣơng án 3 là C43C48
.

Áp dụng cơng thức cộng ta tính đƣợc số trƣờng hợp thuận lợi của biến cố B
2
1
0
là C41C48
+ C42C48
+ C43C48
= 4512 + 288 + 4 = 4804.

 P(B) 

n( B) 4804

 0,217 .
n() 22150

Tính chất của xác suất:
1. Nếu A là biến cố bất kỳ thì 0  P( A)  1;
2. Xác suất của biến cố chắc chắn là P()  1;
3. Xác suất của biến cố không thể là P()  0 ;
4. Nếu A là biến cố đối của biến cố A thì P( A)  1  P( A) ;
5. Nếu A  B thì P( A)  P(B) ;
6. Nếu A và B là hai biến cố bất kỳ thì P(A\ B)  P(A)  P(AB).
Ƣu điểm:
- Để tìm xác suất của biến cố ta không phải thực hiện phép thử (phép thử
chỉ cần giả định);
- Xác suất của biến cố tìm đƣợc chính xác.
Nhƣợc điểm:
- Các kết quả của phép thử phải đồng khả năng;
- Số trƣờng hợp đồng khả năng phải hữu hạn.
1.2.2. Định nghĩa xác suất thống kê
Trong các phép thử ngẫu nhiên, khi số kết quả có thể là vơ hạn hoặc kết
quả có thể là hữu hạn nhƣng khơng đồng khả năng thì cách tính xác suất theo cổ
điển không áp dụng đƣợc, ngƣời ta định nghĩa xác suất theo tần suất. Chẳng hạn
khi gieo một con xúc xắc khơng cân đối thì các trƣờng hợp của phép thử khơng
đồng khả năng. Vì vậy, khơng thể dùng định nghĩa xác suất cổ điển ở trên.
Khái niệm tần suất: Giả sử trong thực tế ta đã lặp đi lặp lại nhiều lần một
15

phép thử trong những điều kiện giống hệt nhau. Nếu trong n lần thực hiện phép
thử đó biến cố A xuất hiện k lần thì tỷ số f n (A) 

k
đƣợc gọi là tần suất xuất
n

hiện biến cố A.
Định nghĩa thống kê của xác suất: Ngƣời ta nhận thấy khi số phép thử tăng
lên vơ hạn thì fn(A) ln dần tới một giới hạn xác định. Giới hạn đó gọi là xác
suất của biến cố A.
Nhƣ vậy: P( A)  lim f n (A).
n 

Trong thực tế ta không thể tiến hành phép thử vơ hạn lần, do đó với n đủ
lớn ta có thể dùng tần suất thay cho xác suất.
k
n

Tức là: P( A)  f n (A)  .
Ƣu điểm: Định nghĩa thống kê về xác suất có ƣu điểm lớn là nó khơng địi
hỏi những điều kiện áp dụng nhƣ đối với định nghĩa cổ điển. Nó hoàn toàn dựa
trên các quan sát thực tế để làm cơ sở kết luận về xác suất xảy ra của một biến cố.
Ví dụ 3: Để nghiên cứu khả năng xuất hiện mặt sấp khi tung một đồng xu,
ngƣời ta tiến hành tung một đồng xu nhiều lần (đồng xu không cần cân đối đồng
chất nhƣng các lần tung phải giống nhau) và thu đƣợc kết quả sau đây:
Ng-êi lµm
thÝ nghiệm
Buffon

Pearson
Pearson

Số lần xuất hiện

Số lần tung (n)

mặt sấp (k)

4040
12000
24000

2048
6019
12012

Tần suất

k
n

0,5069
0,5016
0,5005

Qua ví dụ trên ta thấy khi số phép thử tăng lên thì tần suất xuất hiện mặt
sấp dao động quanh giá trị 0,5. Điều này cho phép ta hy vọng rằng khi số phép
thử tăng lên vơ hạn thì tần suất xuất hiện mặt sấp hội tụ về 0,5.
Chú ý: Từ định nghĩa này trong thống kê ngƣời ta hay dùng khái niệm tỷ lệ

thay cho xác suất. Chẳng hạn tỷ lệ hạt thóc nảy mầm trong cùng một điều kiện
về môi trƣờng là 60% nghĩa là khi chọn một hạt thóc ngẫu nhiên thì xác suất của
biến cố A hạt thóc nảy mầm là 0,6 hay P(A) = 0,6.
1.2.3. Định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề (Đọc thêm)
Các định nghĩa cổ điển và thống kê của xác suất có nhiều hạn chế để xây
16


dựng đƣợc một lý thuyết tổng quát. Khái niệm cổ điển không dùng đƣợc trong
trƣờng hợp không xây dựng đƣợc một hệ thống đầy đủ các sự kiện đồng khả
năng. Khái niệm tần suất của định nghĩa theo thống kê chỉ là một giá trị xấp xỉ
để đánh giá xác suất, số quan sát địi hỏi lớn.
Vì vậy, ngƣời ta đã xây dựng định nghĩa xác suất theo hệ tiên đề. Cách xác
định xác suất theo tiên đề sẽ chứa trong nó các định nghĩa cổ điển và thống kê
của xác suất nhƣ là các trƣờng hợp riêng.
Bản chất tiên đề khi xây dựng một lý thuyết toán học nào đó là khơng quan
tâm với việc định nghĩa các đối tƣợng của lý thuyết đó, mà chỉ quan tâm tới mối
quan hệ giữa các đối tƣợng đó. Các đối tƣợng đó có thể có bản chất khác nhau,
miễn là cùng tuân theo bộ các quy tắc xác định, đƣợc gọi là hệ tiên đề.
Xét một phép thử ngẫu nhiên và  là tập hợp tất cả các kết quả của phép
thử. Một tập con của  đƣợc gọi là một biến cố. Một họ  nào đó các tập con
của  đƣợc gọi là một  - đại số các biến cố nếu:
i)   ,   ;
ii) Nếu A  thì ( \ A)  ;
iii) Nếu A1, A2… là một dãy các tập hợp của họ  thì hợp


n 1

An cũng

thuộc  .
Ta gọi xác suất trên  - đại số  là một hàm số P biến mỗi biến cố A 
thành một số P(A) thuộc đoạn [0, 1]. Ta viết:
P :   [0,1]

A

P( A)

Và P(A) thỏa mãn 3 tiên đề sau:
1) A  , 0  P( A)  1;
2) P()  1, P()  0 ;
3) Nếu A1, A2… là một dãy các biến cố thuộc  đơi một xung khắc với
nhau thì:

P(A1 A2  ...)  P( A1)  P(A2 )  ...

17


BÀI TẬP
Bài 1: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Tính xác suất
của biến cố:
- Tổng số chấm xuất hiện là 7.
- Tổng số chấm xuất hiện là 8.
- Số chấm xuất hiện hơn kém nhau 2.
Bài 2: Trong một lơ N sản phẩm có n sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Lấy ngẫu
nhiên từ lô đó m sản phẩm. Tìm xác suất để trong m sản phẩm lấy ra đó có k sản
phẩm đạt tiêu chuẩn ( n  N , m  N , k  min(m,n) ).

Bài 3: Một công ty cần tuyển hai nhân viên. Có 6 ngƣời nộp đơn trong đó
có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 6 ngƣời là nhƣ nhau.
a) Tính xác suất để hai ngƣời trúng tuyển đều là nam.
b) Tính xác suất để hai ngƣời trúng tuyển đều là nữ.
c) Tính xác suất để có ít nhất một nữ trúng tuyển.
Bài 4: Trên một giá sách có 15 quyển sách, trong đó có 5 quyển văn nghệ. Lấy
ngẫu nhiên từ đó ba quyển. Tìm xác suất sao cho có ít nhất một quyển văn nghệ.
Bài 5: Một lô sản phẩm có 16 sản phẩm loại I, 4 sản phẩm loại II. Lấy ngẫu
nhiên từ lơ đó 2 sản phẩm. Tính xác suất để đƣợc ít nhất một sản phẩm loại I.
Bài 6: Để kiểm tra một lô hàng gồm 100 sản phẩm ngƣời ta lấy ngẫu nhiên
từ đó 10 sản phẩm để kiểm tra. Nếu cả 10 sản phẩm đều tốt thì sẽ nhận cả lơ.
Trong trƣờng hợp ngƣợc lại thì sẽ kiểm tra tồn bộ. Tính xác suất sao cho trong
lô sản phẩm chứa 10 sản phẩm xấu nhƣng lại đƣợc nhận.
Bài 7: Một lô sản phẩm gồm 10 sản phẩm tốt và 2 sản phẩm xấu. Lấy
ngẫu nhiên lần lƣợt khơng hồn lại từ lơ hàng hai sản phẩm để kiểm tra. Tính
xác suất để:
a) Cả hai sản phẩm đƣợc kiểm tra đều tốt.
b) Có ít nhất một sản phẩm tốt trong hai sản phẩm đó.
1.3. Các cơng thức tính xác suất
1.3.1. Cơng thức cộng xác suất
Cơng thức cộng xác suất cho 2 biến cố:
Cho A và B là hai biến cố bất kỳ, khi đó:
P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)

18


- Nếu A và B là hai biến cố xung khắc ( AB   ) thì:

P( A  B)  P( A)  P( B)

- Nếu B  A ta có: 1  P( A  A)  P( A)  P( A) .
Ví dụ 1: Một lớp học có 20 học sinh trong đó có 10 học sinh giỏi toán, 8 học
sinh giỏi văn và 6 học sinh giỏi cả toán và văn. Chọn ngẫu nhiên một học sinh.
a) Tính xác suất để học sinh này giỏi ít nhất một mơn.
b) Tính xác suất để học sinh này không giỏi môn nào cả.
Giải:
Gọi A là biến cố chọn đƣợc học sinh giỏi toán => P( A) 

10
 0,5 .
20

A là biến cố chọn đƣợc học sinh không giỏi toán.
Gọi B là biến cố chọn đƣợc học sinh giỏi văn => P( B) 

8
 0, 4 .
20

B là biến cố chọn đƣợc học sinh khơng giỏi văn.
Khi đó AB là biến cố học sinh giỏi cả hai môn => P( AB) 

6
 0,3 .
20

a) Biến cố học sinh đƣợc chọn giỏi ít nhất một mơn là C  A  B .

P(C)  P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)  0,5  0,4  0,3  0,6
b) Biến cố học sinh chọn đƣợc không giỏi môn nào là D  A B .

=> Biến cố đối của biến cố D là biến cố C chọn đƣợc học sinh giỏi ít nhất
một mơn toán hoặc văn.

P( D)  1  P(C)  1  0,6  0,4
Nhận thấy P(AB) = 0,3  0 => A, B không xung khắc.
Tƣơng tự với P(BC), P(AC) cũng khác 0 nên kết luận các biến cố A, B, C
không xung khắc với nhau từng đôi một.
Mở rộng công thức cộng xác suất:
Cho A, B, C là 3 biến cố bất kỳ, khi đó:

P(A B C)  P(A)  P(B)  P(C)  P(AB)  P(BC)  P(AC)  P(ABC)
* Nếu 3 biến A, B, C là đôi một xung khắc thì ta có:

P(A B C)  P(A)  P(B)  P(C)
* Nếu có n biến cố Ai ( i = 1, 2..., n) là đôi một xung khắc thì:

P( A1  A2  ...  An )  P( A1)  P( A2 )  ...  P( An )

19


Ví dụ 2: Khảo sát về mức độ quan tâm của ngƣời dân trong một khu phố
đối với 3 tờ báo A, B, C, ngƣời ta thu đƣợc số liệu sau:
Có 20% ngƣời dân xem báo A; 15% ngƣời dân xem báo B; 10% ngƣời dân
xem báo C;
Có 5% ngƣời dân xem A và B; 3% ngƣời dân xem B và C; 4% ngƣời dân
xem A và C;
Có 2% ngƣời dân xem cả A, B và C.
a) Tính xác suất để ngƣời dân xem ít nhất một tờ báo nào đó.
b) Tính xác suất để ngƣời dân khơng xem bất kỳ tờ báo nào.

Giải:
Gọi A, B, C lần lƣợt là các biến cố ngƣời dân xem báo A, B, C.
Từ đó ta có:
P(A) = 0,2; P(B) = 0,15; P(C) = 0,1;
P(AB) = 0,05; P(BC) = 0,03; P(AC) = 0,04; P(ABC) = 0,02.
a) Gọi D là biến cố “ngƣời dân xem ít nhất một tờ báo” => D = A  B  C .
P(D)  P( A  B  C )
 P( A)  P( B)  P(C )  P( AB)  P( BC )  P( AC )  P( ABC )
 0, 2  0,15  0,1  0,05  0,03  0,04  0,02
 0,35  35%

b) Gọi E là biến cố “ngƣời dân không xem tờ báo nào” => E  ABC .
Từ giả thiết bài tốn ta khơng thể trực tiếp đƣợc E, vì vậy ta phải sử dụng
biến cố đối của E chính là biến cố D.
P(E)  1  P( D)  1  0,35  0,65  65%
Mở rộng công thức cho n biến cố A1, A2…, An:
n

n

i 1

i 1

P(  Ai )   P(Ai )   P(Ai A j )   P(Ai A j A k )  ...  (1) n 1 P(A1A 2 ...A n )
i j

i j k

1.3.2. Công thức nhân xác suất

a. Khái niệm về xác suất có điều kiện
Cho A và B là hai biến cố bất kỳ thỏa mãn P(A) > 0. Xác suất có điều kiện
của biến cố B với điều kiện biến cố A đã xảy ra (gọi là xác suất của B với điều
kiện A), kí hiệu là P(B|A) đƣợc định nghĩa nhƣ sau:
P(B | A) 

P(AB)
P(A)

Tƣơng tự nếu P(B) > 0, ta có xác suất của A với điều kiện B:
20


P(A | B) 

P(AB)
P(B)

* Nhận xét: P( B | A)  1  P(B | A) .
Ví dụ 3: Lớp Tốn có 96 sinh viên, trong đó có 46 nam và 50 nữ. Trong
một kỳ thi có 22 sinh viên đạt điểm giỏi (trong đó có 12 nam và 10 nữ). Chọn
ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp.
a) Tính xác suất để chọn đƣợc sinh viên đạt điểm giỏi.
b) Tính lại xác suất để chọn đƣợc sinh viên đạt điểm giỏi biết rằng sinh
viên đó là nữ.
Giải:
Gọi A là biến cố “chọn đƣợc sinh viên đạt điểm giỏi”.
a) P(A) =

22

 0, 229
96

b) B là biến cố “sinh viên đƣợc chọn là nữ”, ta cần tính P(A|B).
Ta có: P(AB) =
P(A | B) 

10
50
; P(B) =
96
96

P( AB) 10 96
 .  0,2
P(B) 96 50

b. Công thức nhân xác suất cho 2 biến cố
Từ cơng thức xác suất có điều kiện ta suy ra công thức nhân xác suất của
hai biến cố là:
P(AB)  P(A | B) P(B)  P(B | A) P(A)

Ví dụ 4: Trong một hộp kín có 20 nắp bia Tiger, trong đó có 2 nắp ghi
“Chúc mừng bạn đã trúng thƣởng xe BMW”. Bạn đƣợc chọn lên rút thăm lần lƣợt
hai nắp bia (rút khơng hồn lại). Tính xác suất để cả hai nắp đều trúng thƣởng.
Giải:
Gọi A là biến cố “nắp bia rút đƣợc lần đầu là nắp có thƣởng”.
Gọi B là biến cố “nắp bia rút đƣợc lần hai là nắp có thƣởng”.
Ta cần tính P(AB).
Ta có: P(A) =

2
1
và P(B|A) =
20
19

Áp dụng công thức nhân: P(AB) = P(A)P(B|A) =

21

2 1
1
. 
 0,0053
20 19 190


 Khái niệm sự độc lập của hai biến cố:
Hai biến cố A và B đƣợc gọi là độc lập với nhau trong một phép thử nếu
biến cố A có xảy ra hay không cũng không ảnh hƣởng đến khả năng xảy ra của
biến cố B và ngƣợc lại.
Các phát biểu sau là tƣơng đƣơng:
i) Hai biến cố A và B là độc lập với nhau  P(AB) = P(A)P(B).
ii) Hai biến cố A và B là độc lập với nhau  P(A|B) = P(A) hoặc P(B|A)
= P(B).
Ví dụ 5: Trong bình có 4 quả cầu trắng và 5 quả cầu xanh.
Lấy ngẫu nhiên từ trong bình ra 1 quả cầu. Gọi A là biến cố “lấy đƣợc quả
cầu xanh”. Hiển nhiên P(A) = 5/9.
Quả cầu lấy ra đƣợc bỏ lại vào bình và tiếp tục lấy 1 quả cầu. Gọi B là biến

cố “lần thứ 2 lấy đƣợc quả cầu xanh”, khi đó P(B) = 5/9.
Rõ ràng xác suất của biến cố B không thay đổi khi biến cố A xảy ra hay
không xảy ra và ngƣợc lại. Vậy hai biến cố A và B độc lập nhau.
* Chú ý:
Nếu A và B độc lập với nhau thì A và B, A và B , A và B cũng độc lập
với nhau.
* Mở rộng công thức nhân xác suất cho nhiều biến cố:
Cho 3 biến cố A, B, C, khi đó: P(ABC)  P(A)P(B | A)P(C | AB) .
 Khái niệm về một dãy biến cố độc lập:
Một dãy n biến cố A1, A2,…, An đƣợc gọi là độc lập với nhau (hay độc lập
trong toàn bộ) nếu mỗi biến cố độc lập với tích bất kỳ của các biến cố cịn lại.
Khi đó: P(A1A2 ...An )  P(A1)P(A2 )...P(An ) .
Ví dụ 6: Một xí nghiệp có 3 ô tô hoạt động độc lập. Xác suất để trong một
ngày các ô tô bị hỏng lần lƣợt là 0,1; 0,15 và 0,2. Tìm xác suất để trong một
ngày có:
a) Cả 3 ơ tơ bị hỏng.
b) Có ít nhất một ô tô bị hỏng.
Giải:
Gọi A,B,C lần lƣợt là các biến cố trong một ngày ô tô thứ nhất, thứ hai và
thứ ba bị hỏng.
P(A) = 0,1; P(B) = 0,15; P(C) = 0,2
22


a) Gọi D là biến cố có đúng một ơ tô bị hỏng, ta sẽ biểu diễn biến cố D
thông qua các biến cố A, B, C nhƣ sau: D  ABC .
Vì các biến cố A, B, C độc lập nên áp dụng công thức nhân xác suất ta
đƣợc:

P( D)  P( A) P( B) P(C )  0,1.0,15.0,2  0,003

b) Gọi E là biến cố có ít nhất một ô tô bị hỏng trong ngày, ta sẽ biểu diễn
biến cố E thông qua các biến cố A, B, C:
E  A  B  C khi đó E  A BC

Cách 1: Vì các biến cố A, B, C độc lập, áp dụng công thức nhân xác suất:
P( E )  1  P( E )  1  P(A) P(B) P(C)  1  0,9.0,85.0,8  0,388

Cách 2: Tính trực tiếp bằng cơng thức cộng xác suất cho 3 biến cố:
P(E)  P( A  B  C )
 P( A)  P( B)  P(C )  P( AB)  P( BC )  P( AC )  P( ABC )  0,388

* Các biến cố A, B, C độc lập nhƣng không xung khắc với nhau (Vì P(AB)
≠ 0) nên khơng thể tính P( E)  P( A)  P( B)  P(C ) .
Nhận xét:
Hai biến cố A và B xung khắc với nhau thì chƣa chắc A và B là hai biến cố
độc lập và ngƣợc lại, hai biến cố A và B là độc lập với nhau thì chƣa chắc A và
B xung khắc với nhau.
Ví dụ 7: Tung 2 đồng xu cân đối và đồng chất lên một mặt phẳng.
Gọi A là biến cố “Có đúng một đồng xu xuất hiện mặt sấp” => P(A) = 2/4.
B là biến cố “Cả hai đồng xu xuất hiện mặt sấp” => P(B) = 1/4.
Ta thấy A và B là hai biến cố xung khắc nhƣng khơng độc lập vì P(AB) 
P(A)P(B).
BÀI TẬP
Bài 1: Cho A và B là các biến cố sao cho:
P( A) 

1
3
5
, P(A B)  , P(B) 

2
4
8

Tìm P(AB), P( AB), P( A  B), P(B\ A) .
Giải:
5
8

Ta có: P( B)  1  P( B)  1  

3
8
23


Theo công thức cộng xác suất:

P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB)
 P( AB)  P( A)  P( B)  P( A  B) 
P( AB)  P( A  B)  1  P( A  B) 
P( A  B)  P( AB)  1  P( AB) 

P(B\ A)  P(B)  P(AB) 

1
8

1
4

1
4

1
4
3
8

Bài 2: Cho A và B là các biến cố với P( A)  , P( B) 

1
1
, P(AB) = .
2
4

Tìm:
a) P(A B).
b) P( A), P( B).
c) P( AB), P( A  B), P( B \ A), P( A | B).
3
4

Bài 3: Cho A và B là các biến cố với P( A  B)  , P( A) 

2
1
và P( AB)  .
3

4

Tìm P(A), P(B) và P(A\B).
Bài 4: Hệ thống báo cháy gồm một chuông và một đèn tín hiệu. Xác suất
để khi có cháy chng hỏng là 0,1; đèn hỏng là 0,05; cả hai thiết bị đều hỏng là
0,01. Tính xác suất để khi có cháy cả hai thiết bị đều hoạt động.
Bài 5: Một lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30%
học tiếng Đức, 10% học tiếng Anh và tiếng Pháp, 15% học tiếng Anh và tiếng
Đức, 10% học Pháp và tiếng Đức, 5% học cả ba thứ tiếng. Tìm xác suất để khi
chọn ngẫu nhiên một sinh viên của lớp đó thì ngƣời đó học ít nhất một trong ba
ngoại ngữ kể trên.
Bài 6: Cho A, B là hai biến cố bất kỳ, chứng minh:
a) P( A B)  1  P( A)  P( B)  P( AB).
b) P( A)  P( AB)  P( B)  P( BA).
Giải:
a) P( A B)  P(A B)  1  P(A B)  1  P( A)  P( B)  P( AB).
b) Xét:

24


VT  P( A)  P( AB)
 P( A)  P( A  B )
 P(A)  1  P(A B)
 P(A)  1  P(A)  P( B)  P( AB)
 1  P( B)  P( AB)  P( B)  P( BA)  VP

Bài 7: Một ngƣời chuẩn bị đấu thầu hai dự án A và B (A đấu thầu trƣớc B).
Ngƣời đó có khả năng trúng thầu dự án A là 70%. Nếu trúng thầu dự án A thì
khả năng trúng thầu dự án B là 90%. Nếu khơng trúng thầu dự án A thì khả năng

trúng thầu dự án B cịn 50%. Tìm khả năng của ngƣời đó:
a) Trúng thầu cả hai dự án.
b) Chỉ trúng thầu một dự án.
Giải:
Gọi A là biến cố ngƣời đó trúng thầu dự án A.
B là biến cố ngƣời đó trúng thầu dự án B.
Từ giả thiết: P(A) = 0,7; P(B|A) = 0,9; P(B | A)  0,5.
a) Biến cố trúng thầu cả hai dự án là AB:

P(AB)  P(B | A)P(A)  0,9.0,7  0,63
b) Biến cố chỉ trúng thầu một dự án là: AB  AB.
Vì AB và AB là hai biến cố xung khắc nên áp dụng công thức cộng xác suất.
P( AB  AB)  P( AB)  P( AB)
 P( B | A) P(A)  P(B | A) P( A)
 (1  P(B | A)) P(A)  P(B | A) P( A)
 0,1.0,7  0,5.0,3
 0, 22

Bài 8: Một ngƣời chuẩn bị tham dự lấy phiếu tín nhiệm vào một chức vụ,
bắt buộc phải qua hai vùng, ở vùng I khả năng đủ tín nhiệm là 60%. Nếu đủ ở
vùng I thì khả năng đủ tín nhiệm ở vùng II là 85%, nếu khơng đủ ở vùng I thì
khả năng đủ tín nhiệm ở vùng II là 30%. Tìm khả năng của ngƣời đó:
a) Đủ tín nhiệm ở cả hai vùng.
b) Chỉ đủ tín nhiệm ở một vùng.
Bài 9: Một ngƣời có nguyện vọng thi vào hai trƣờng đại học. Đợt I thi vào
trƣờng A, khả năng đỗ là 90%. Nếu đợt I ngƣời đó thi đỗ thì khả năng thi đỗ đợt
25