BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ - 2016

ĐÀO HOÀNG DŨNG

BÀI TẬP

XÁC SUẤT THỐNG KÊ

- 2016 -


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Chương 1

Biến cố và xác suất
Tính xác suất bằng định nghĩa. Mối quan hệ giữa các biến cố
1. Một người gọi điện thoại cho bạn nhưng quyên mất ba chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng
khác nhau. Tìm xác suất để người đó quay một lần được đúng số điện thoại của bạn.
2. Một cơng ty cần tuyển ba nhân viên. Có 30 người nộp đơn, trong đó có 18 nam và 12 nữ.
Giả sử rằng khả năng trúng tuyển của 30 người là như nhau.
a) Tính xác suất để 3 người trúng tuyển đều là nam.
b) Tính xác suất để cả 3 người trúng tuyển đều là nữ.
c) Tính xác suất để có ít nhất một nữ trúng tuyển.
3. Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suất để có 3 người
vào quầy số 1.
4. Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách bước lên tàu. Mỗi hành khách độc
lập với nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách
mới bước lên tàu.
5. Tìm xác suất để gặp ngẫu nhiên ba người khơng quen biết nhau ở ngồi đường (giả thiết
những người này đều không sinh vào năm nhuận) thì họ:

a) Có ngày sinh nhật khác nhau.
b) Có ngày sinh nhật trùng nhau.
6. Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ. Tính xác suất để:
a) Chỉ có một lá thư bỏ đúng địa chỉ.
b) Cả 3 lá thư đều được bỏ không đúng địa chỉ.
7. Một công ty tham gia đấu thầu 2 dự án. Gọi Ak là biến cố cơng ty đó thắng thầu dự án k
(k  1, 2) . Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:

a) Công ty chỉ thắng thầu một dự án.
b) Công ty không thắng thầu dự án nào.
8. Ba người cùng bắn vào một mục tiêu. Gọi Ak là biến cố người thứ k bắn trúng mục tiêu
(k  1, 2,3) . Hãy viết bằng kí hiệu các biến cố biểu thị rằng:

a)
b)
c)
d)

Chỉ có người thứ nhất bắn trúng mục tiêu.
Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu.
Chỉ có hai người bắn trúng mục tiêu.
Có người bắn trúng mục tiêu.
1


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hồng Dũng

Cơng thức cộng, công thức nhân xác suất

9. Một người mua ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số.
a) Tính xác suất để được vé khơng có chứ số 1 hoặc khơng có chữ số 5.
b) Tính xác suất để được vé có chữ số 2 và có chữ số lẻ.
10. Một sinh viên phải thi 3 môn một cách độc lập nhau. Xác suất nhận cùng một điểm số
nào đó ở cả 3 môn đều như nhau. Xác suất để thu được một môn điểm 8 là 0,18, dưới 8 là
0,65, xác suất cả 3 môn đều được điểm 10 là 0,000343. Tính xác suất để sinh viên thi 3
mơn được ít nhất là 28 điểm. Điểm thi được cho theo thang điểm 10, khơng có điểm lẻ.
11. Một lơ hàng có 100 sản phẩm, trong đó có 10 phế phẩm. Kiểm tra ngẫu nhiên lần lượt 3
sản phẩm. Nếu có phế phẩm trong 3 sản phẩm kiểm tra thì khơng mua lơ hàng. Tính xác
suất lơ hàng được mua.
12. Một máy có ba bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để các bộ phận bị hỏng lần
lượt là 0,1; 0,3 và 0,2. Tính xác suất của các biến cố sau:
a) Có đúng 2 bộ phận bị hỏng.
b) Có ít nhất 1 bộ phận bị hỏng.
13. Tỉ lệ phế phẩm của một lô hàng là 3%. Chọn ngẫu nhiên có hồn lại lần lượt từng sản
phẩm:
a) Tính xác suất phải chọn đến lần thứ tư mới được phế phẩm.
b) Phải chọn bao nhiêu lần để xác suất chọn được ít nhất 1 phế phẩm khơng nhỏ hơn
0,9.
14. Một sinh viên phải thi 6 môn kết thúc học kì. Khả năng thi được trên 5 điểm của mỗi mơn
là 0,8 và độc lập nhau. Tính xác suất để trong học kì này người đó:
a) Được 5 mơn trên 5 điểm.
b) Được ít nhất 4 mơn trên 5 điểm.
15. Một máy sản xuất lần lượt từng sản phẩm. Xác suất sản xuất ra một phế phẩm của máy là
0,01.
a) Cho máy xản suất 10 sản phẩm. Tính xác suất có 2 phế phẩm; có ít hơn 3 phế phẩm.
b) Máy cần sản xuất ít nhất bao nhiêu sản phẩm để xác suất có ít nhất một chính phẩm
trên 0,99.
16. A chơi cờ với B với xác suất thắng mỗi ván là p. Tìm giá trị của p để A thắng chung cuộc
trong bốn ván dễ hơn trong sáu ván. Biết rằng để thắng chung cuộc thì phải thắng ít nhất

1 nửa tổng số ván.

2


Đào Hồng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

17. Có 2 xạ thủ, mỗi người bắn 10 viên đạn vào cùng một bia. Xác suất bắn trúng đích mỗi
lần của 2 xạ thủ tương ứng là 0,7 và 0,8. Tính xác suất:
a) Bia bị trúng đạn.
b) Bia bị trúng 2 viên đạn.
18. Có ba người A, B và C cùng phỏng vấn xin việc ở một công ty. Xác suất trúng tuyển của
mỗi người lần lượt là 0,8; 0,6 và 0,7. Việc trúng tuyển của mỗi người là độc lập.
a) Tính xác suất có hai người trúng tuyển.
b) Biết rằng có hai người trúng tuyển. Tính xác suất để hai người đó là A và B.
19. Theo điều tra của một ngân hàng về sử dụng thẻ tín dụng ở cơng ty, có 50% dùng thẻ A,
40% dùng thẻ B, 30% dùng thẻ C, 20% dùng thẻ A và B, 15% dùng thẻ A và C, 10%
dùng thẻ B và C, 5% dùng cả ba thẻ A, B, C. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một
người ở công ty đó, thì:
a) Người ấy dùng ít nhất một trong ba loại thẻ nói trên.
b) Người ấy dùng thẻ B, biết rằng người ấy dùng thẻ A.
20. Một nhân viên bán hàng mỗi năm đến chào hàng ở công ty Phương Đông ba lần. Xác
suất để lần đầu bán được hàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất để lần sau
bán được hàng là 0,9, còn nếu lần trước khơng bán được hàng thì xác suất để lần sau bán
được hàng chỉ là 0,4. Tìm xác suất để:
a) Cả ba lần đều bán được hàng.
b) Có đúng hai lần bán được hàng.

Công thức xác suất đầy đủ. Cơng thức Bayes
21. Có 2 máy cùng sản xuất một loại sản phẩm. Tỉ lệ chính phẩm của máy thứ nhất là 0,9;
của máy thứ hai là 0,85. Từ một kho chứa

1
sản phẩm của máy thứ nhất (còn lại của máy
3

thứ hai) lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra.
a) Tính xác suất lấy được phế phẩm.
b) Nếu sản phẩm lấy ra là chính phẩm. Tính xác suất sản phẩm đó do máy thứ hai sản
xuất.
22. Trong 20 tờ tiền có 3 tờ giả. Một tờ bị rút đi không rõ thật hay giả. Người ta rút ngẫu
nhiên trong các tờ cịn lại một tờ thì được tờ tiền thật. Tìm xác suất để tờ tiền bị rút đi
trước đó là tờ tiền thật.
23. Một tờ tiền giả lần lượt được hai người A và B kiểm tra. Xác suất để người A phát hiện ra
tờ này giả là 0,7. Nếu người A cho rằng tờ này là giả, thì xác suất để người B cũng nhận

3


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

định như thế là 0,8. Ngược lại, nếu người A cho rằng tờ này là tiền thật thì xác suất để
người B cũng nhận định như thế là 0,4.
a) Tính xác suất để chỉ đúng một trong hai người A hoặc B phát hiện ra tờ này giả.
b) Biết tờ tiền đó đã bị ít nhất một trong hai người này phát hiện là giả, tính xác suất để
A phát hiện ra nó là giả.

24. Một công ty bảo hiểm chia dân cư (đối tượng bảo hiểm) làm 3 loại: ít rủi ro, rủi ro trung
bình, rủi ro cao. Theo thống kê cho thấy tỉ lệ dân cư gặp rủi ro trong 1 năm tương ứng với
các loại trên là: 5%, 10%, 25% và trong tồn bộ dân cư có 20% ít rủi ro; 50% rủi ro trung
bình; 30% rủi ro cao.
a) Tính tỉ lệ dân gặp rủi ro trong một năm.
b) Nếu một người khơng gặp rủi ro trong năm thì xác suất người đó thuộc loại ít rủi ro
là bao nhiêu?
25. Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được cá ở những chỗ
đó tương ứng là: 0,6; 0,8 và 0,7. Biết rằng ở một chỗ người đó đã thả câu 3 lần và chỉ câu
được một con cá. Tìm xác suất để cá được câu ở chỗ thứ nhất.
26. Xác suất bắn trúng mục tiêu của 3 người đi săn tương ứng là 0,7; 0,6 và 0,5. Ba người
này cùng bắn một con nai và con nai bị trúng 1 viên đạn. Tính xác suất bắn trúng của mỗi
người.
27. Trong một kho rượu số lượng chai rượu loại A và loại B bằng nhau. Người ta lấy ngẫu
nhiên 1 chai rượu trong kho và đưa cho 4 người sành rượu nếm thử để xác định xem đây
là loại rượu nào. Giả sử mỗi người có khả năng đốn đúng là 0,8. Có 3 người kết luận
chai rượu thuộc loại A và một người kết luận chai rượu thuộc loại B. Vậy chai rượu được
chọn thuộc loại A với xác suất bằng bao nhiêu?
28. Trong những hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tơm, tỉ lệ hộ làm ăn khơng có lãi là 5%.
Trong các hộ vay tiền ngân hàng để nuôi tôm mà làm ăn khơng có lãi, tỉ lệ trả nợ ngân
hàng không đúng hạn là 88%. Trong các hộ vay tiền ngân hàng để ni tơm mà làm ăn có
lãi, tỉ lệ trả nợ ngân hàng không đúng hạn là 2%.
a) Một hộ đã vay tiền ngân hàng để nuôi tơm, thì xác suất hộ đó khơng trả nợ ngân hàng
đúng hạn là bao nhiêu.
b) Một hộ nuôi tôm đã khơng trả nợ ngân hàng đúng hạn, thì xác suất hộ đó làm ăn
khơng có lãi là bao nhiêu.
29. Tỷ lệ phế phẩm của một máy là 5%. Người ta dùng một thiết bị kiểm tra tự động đạt được
độ chính xác khá cao song vẫn có sai sót. Tỷ lệ sai sót đối với chính phẩm là 4% cịn đối
với phế phẩm là 1%. Nếu sản phẩm bị kết luận là phế phẩm thì bị loại.
a) Tìm tỷ lệ sản phẩm được kết luận là chính phẩm mà thực ra là phế phẩm.

4


Đào Hồng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

b) Tìm tỷ lệ sản phẩm bị kết luận là phế phẩm mà thực ra là chính phẩm.
30. Sản phẩm sản xuất ra phải qua hai máy kiểm tra 1 và 2. Nếu được máy 1 chấp nhận thì
mới được chọn để máy 2 kiểm tra tiếp. Sau khi máy 2 chấp nhận thì sản phẩm mới được
đưa ra thị trường. Xác suất máy 1 chấp nhận là 0,9 và xác suất để máy 2 chấp nhận là 0,8.
Biết rằng việc kiểm tra của 2 máy là độc lập.
a) Tính tỉ lệ sản phẩm sản xuất ra không được đưa ra thị trường.
b) Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm không được đưa ra thị trường. Tính xác suất để sản
phẩm đó bị loại là do máy 2.
31. Một túi chứa 9 nhẫn bạc và 1 nhẫn vàng. Túi kia có 1 nhẫn bạc và 5 nhẫn vàng. Từ mỗi
túi rút ra ngẫu nhiên một nhẫn. Những chiếc nhẫn còn lại được dồn vào một túi thứ ba.
Từ túi thứ ba này lại rút ngẫu nhiên một chiếc nhẫn. Tính xác suất để ta rút ra được nhẫn
vàng ở túi thứ ba.

HƯỚNG DẪN, ĐÁP SỐ
3.
4.

150
243

6. a)

b)

9. a) Gọi A = “vé có chữ số 1”, B = “vé có chữ số 5”
Xs cần tìm là P  A  B   P( A)  P( B )  P( A.B )  2  9 
10


5

 8
 
  10 

5

b) Gọi C = “vé có chữ số 2”, D = “vé có chữ số lẻ”. Cần tính
10. 0,002415

P(CD)  1  P(C D)

13. a) ≈ 0,0274
b) P(“ít nhất một phế phẩm”) = 1 - P(“khơng có phế phẩm nào”) < 0,9.
Đ/s: ít nhất 76 lần.
16. Cần tìm p để P(“A thắng chung cuộc trong bốn ván”) > P(“A thắng chung cuộc
trong sáu ván”)
 C42 p2 (1  p)2  C43 p3 (1  p)1  C44 p 4 (1  p)0  C63 p3 (1  p)3  C64 p 4 (1  p)2  C65 p5 (1  p)1  C66 p 6 (1  p)0

18. a) Gọi A, B, C lần lượt là các biến cố người A, B và C trún tuyển. K= “có 2 người
trúng tuyển”.
5

Đào Hồng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Xs cần tính là P( K )  P  ABC  ABC  ABC  , đ/s: 0,452.
b) Xs cần tính là P( AB | K ) 

P( ABK ) P( ABC )
36

, đ/s:
P( K )
P( K )
113

23. Gọi A, B lần lượt là các biến cố người A, B phát hiện tiền giả. Từ giả thiết có: P(A) =
0,7,
P(B|A) = 0,8, P( B | A)  0,4.
a) Cần tính P( AB  AB )
b) Gọi K = “ít nhất một trong hai người phát hiện tờ tiền là giả”, cần tính
P( A | K ) 

P( AK ) P( AB  AB )

,tương tự ý b bài 18.
P( K )
P( K )

24. Chọn ngẫu nhiên một người. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người được chọn

thuộc loại ít rủi ro, rủi ro trung bình và rủi ro cao. Suy ra, H1, H2, H3 lập nên một
nhóm đầy đủ các biến cố.
Gọi A = “chọn được người gặp rủi ro”.
a) Tính P(A) bằng cơng thức xs đầy đủ. Tính được P(A) = 0,135. Suy ra, tỉ lệ dân gặp
rủi ro trong một năm là 13,5%.
b) Xác suất cần tính là P(H1| ̅), sử dụng cơng thức Bayes để tính.
25. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người đó chọn câu chỗ thứ nhất, thứ hai và thứ
3 tương ứng. Suy ra, H1, H2, H3 lập nên một nhóm đầy đủ các biến cố.
Gọi A = “thả câu ba lần và chỉ câu được 1 con cá”, tính P(A) theo cơng thức xs đầy
đủ, các xs P(A|Hi) có thể tính theo cơng thức Becnulli.
Xác suất cần tính là: P(H1|A), sử dụng cơng thức Bayes để tính xs này.
26. Gọi H1, H2, H3 lần lượt là các biến cố người thứ nhất, người thứ hai và người thứ ba
bắn trúng mục tiêu. A = “con nai bị trúng một viên đạn” = H1H 2 H3  H1H 2 H3  H1H 2 H3 .
Cần tính các xác suất P(H1|A), P(H2|A) và P(H3|A)
27. Gọi A = “chai rượu lấy ra thuộc loại A”, B = “chai rượu lấy ra thuộc loại B”, K =
“3 người kết luận chai rượu loại A và 1 người kết luận loại B”. XS cần tính là
P(A|K), tính xs này theo cơng thức Bayes (nhóm đầy đủ các biến cố là A, B).
Chú ý, biến cố (K|A) = “3 người kết luận đúng và 1 người kết luận sai” và (K|B) = “3
người kết luận sai và một người kết luận đúng” do đó các xs P(K|A) và P(K|B) có thể
tính theo cơng thức Becnulli.
Đ/s: P( A | K ) 

16
17

6


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

31. Gọi H1 = “Hai nhẫn được ra từ mỗi túi là nhẫn vàng”, H1 = “Hai nhẫn được rút ra từ
mỗi túi là nhẫn bạc”, H3 = “Hai nhẫn được rút ra từ mỗi túi gồm 1 vàng và 1 bạc”.
Suy ra,H1, H2, H3 lập nên nhóm đầy đủ các biến cố.
Gọi A = “rút ra được nhẫn vàng ở túi thứ ba”. Tính P(A) theo cơng thức xs đầy đủ.

7


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Chương 2

Biến ngẫu nhiên và phân phối xác suất
1. Một thiết bị gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau, xác suất trong thời gian t các bộ
phận bị hỏng tương ứng là 0,15; 0,1; 0,13. Gọi X là số bộ phận bị hỏng trong thời gian t.
a) Lập bảng phân phối xác suất của X .
b) Viết biểu thức hàm phân phối của X .
c) Tìm xác suất trong thời gian t thiết bị có khơng q một bộ phận bị hỏng.
d) Tìm E( X ),V ( X ), m và m0 .
2. Biến ngẫu nhiên rời rạc X có quy luật phân phối xác suất như sau:

X
P

x1

x2

p1

0,7

Tìm x1 , x2 và p1 biết E (X)  2, 7 và V ( X )  0, 21 (x2  x1 ) .
3. Ba máy ATM 1, 2, 3 có xác suất không cho giao dịch tại cùng một thời điểm lần lượt là
0,02; 0,03; 0,05. Tại thời điểm đó, mỗi máy được một người rút tiền. Tính số máy khơng
cho giao dịch tin chắc nhất trong ba máy trên vào thời điểm đó, biết rằng ba máy ATM
này hoạt động độc lập.
4. Trong 100 000 vé xổ số phát hành có 1 giải trị giá 100 triệu đồng, 20 giải trị giá 20 triệu
đồng, 150 giải trị giá 5 triệu đồng, 1500 giải trị giá 1 triệu đồng. Tìm số tiền lãi kì vọng
của một người khi mua một vé xổ số, biết giá vé là 10 000 đồng.
5. Có hai hộp sản phẩm; hộp thứ nhất có 7 chính phẩm và 3 phế phẩm, hộp thứ hai có 8
chính phẩm và 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên một hộp rồi từ đó lấy ngẫu nhiên ra 3 sản
phẩm.
a) Lập bảng phân phối xác suất của số chính phẩm được lấy ra.
b) Tìm xác suất để sai lệch giữa số chính phẩm được lấy ra và kỳ vọng tốn của nó nhỏ
hơn 1.
6. Một hộp có 10 sản phẩm gồm chính phẩm và phế phẩm. Gọi X là số phế phẩm có trong
hộp. X có bảng phân phối xác suất như sau:
0
1
2
X
P
0,6
0,3
0,1

Lấy ngẫu nhiên từ hộp 2 sản phẩm. Gọi Y là số phế phẩm có trong 2 sản phẩm lấy ra.
Tìm quy luật phân phối xác suất của Y .

8


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

7. Tại một cửa hàng, lượng hàng bán được trong ngày về một loại thực phẩm có bảng phân
phối xác suất như sau:
Lượng bán (kg)
Xác suất

30
0,05

31
0,1

32
0,2

33
0,3

34
0,15

35
0,12

36
0,08

Mỗi kg thực phẩm mua vào với giá 20 ngàn đồng, bán ra với giá 25 ngàn đồng song nếu
bị ế thì cuối ngày phải bán với giá 15 ngàn đồng mới bán hết. Để lợi nhuận trung bình là
lớn nhất thì mỗi ngày cửa hàng nên đặt mua bao nhiêu kg thực phẩm.
8. Một công ty thuê một luật sư trong một vụ kiện với hai phương án trả công như sau:
Phương án 1: Trả 7 triệu đồng bất kể thắng hay thua kiện.
Phương án 2: Trả 1 triệu đồng nếu thu kiện và 15 triệu đồng nếu thắng kiện.
Luật sư đã chọn phương án 2. Vậy theo đánh giá của luật sư thì khả năng thắng kiện của
công ty tối thiểu là bao nhiêu.
HD: Luật sư lựa chọn phương án 2, như vậy theo đánh giá của luật sự thì:
E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 2”)  E(“lợi nhuận khi lựa chọn phương án 1”).
9. Theo thống kê, một người ở độ tuổi 40 sẽ sống thêm một năm nữa với xác suất 0,995.
Một công ty bảo hiểm nhân thọ bán bảo hiểm một năm cho những người ở độ tuổi đó với
giá là 100 ngàn đồng. Trong trường hợp người mua bảo hiểm bị chết thì số tiền bồi
thường là 10 triệu đồng. Hỏi lợi nhuận trung bình của cơng ty khi bán mỗi thẻ bảo hiểm
loại này là bao nhiêu.
10. Trong một cuộc thi, người ta có hai hình thức thi như sau:
Hình thức thứ nhất: Mỗi người phải trả lời hai câu hỏi, mỗi câu trả lời đúng được 5
điểm.
Hình thức thứ hai: Nếu trả lời đúng câu thứ nhất thì mới được trả lời câu thứ hai, nếu
khơng thì dừng. Trả lời đúng câu thứ nhất được 5 điểm, trả lời đúng câu thứ hai được
10 điểm.
Trong cả hai hình thức thi, các câu trả lời sai đều không được điểm. Giả sử xác suất trả
lời đúng mỗi câu đều là 0,8; việc trả lời đúng mỗi câu là độc lập với nhau. Theo bạn, nên
chọn hình thức nào để số điểm trung bình đạt được nhiều hơn.

11. Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:
P( X  k )  Cnk p k (1  p)nk , (k  0,1, 2,..., n)

Tìm m0 (mốt) của X .
12. Biến ngẫu nhiên X có phân phối xác suất như sau:
P( X  k )  e   .

k
k!

, (k  0,1, 2,...)

9


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

với  là số dương cho trước. Tìm m0 (mốt) của X .
13. Theo dõi hiệu quả kinh doanh của một công ty qua nhiều năm, các chuyên gia thiết lập
bảng phân phối xác suất của lãi suất đầu tư của công ty như sau:
X (%)

P

8
0,07

9

0,14

10
0,2

11
0,3

12
0,16

13
0,1

14
0,03

a) Khả năng đầu tư vào công ty đó để đạt lãi suất ít nhất 11% là bao nhiêu?
b) Tìm mức lãi suất nhiều khả năng nhất và mức lãi suất trung bình khi đầu tư vào
cơng ty đó.
c) Tìm mức độ rủi ro khi đầu tư vào cơng ty đó.
14. Thống kê về tai nạn giao thơng cho thấy tỉ lệ tai nạn xe máy (vụ/tổng số xe/năm) chia
theo mức độ nhẹ và nặng tương ứng là 0,001 và 0,005. Một công ty bán bảo hiểm xe máy
với mức thu phí hàng năm là 30 000 đồng và số tiền bảo hiểm trung bình một vụ là 1
triệu đồng đối với trường hợp nhẹ và 3 triệu đồng đối với trường hợp nặng. Hỏi lợi nhuận
trung bình hàng năm mà công ty thu được đối với mỗi hợp đồng bảo hiểm là bao nhiêu?
Biết rằng thuế doanh thu phải nộp là 10% và tổng tất cả các chi phí khác chiếm 15%
doanh thu.
15. Một cửa hàng mua vào bốn thùng hàng với giá 120 nghìn đồng/thùng. Số thùng hàng
chưa bán được, khi hết hạn sử dụng được nhà phân phối mua lại với số tiền bằng

3
số
4

tiền cửa hàng đã mua vào. Gọi X là số thùng hàng bán được của cửa hàng, X có phân
phối xác suất như sau:

X

0

1

2

3

4

P

1
15

2
15

2
15

6
15

4
15

Nếu giá bán ra của mỗi thùng hàng trên như nhau, thì giá đó là bao nhiêu để lợi nhuận kì
vọng đối với 4 thùng hàng này là 40 nghìn đồng/thùng.
16. Thống kê về mức độ hỏng và chi phí sửa chữa của hai loại động cơ A và B, có bảng số
liệu sau:
Mức độ hỏng
1
2
3
Chi phí sửa chữa (triệu
A
5,5
7,2
12,5
đồng/năm) của một động cơ
B
6,0
7,5
10,8
Tỉ lệ hỏng (%/năm)
A
2
5
3

B
1
4
5
Một công ty đang sử dụng 6 động cơ loại A và 4 động cơ loại B. Tính chi phí sửa chữa
trung bình hàng năm cho cả hai loại động cơ trên của công ty.
10


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

17. Cơ quan dự báo khí tượng thủy văn chia thời tiết thành các loại “xấu”, “bình thường”,
“tốt” với xác suất tương ứng là 0,25; 0,45; 0,3. Với tình trạng trên thì khả năng nông
nghiệp được mùa tương ứng là 0,2; 0,6; 0,7. Nếu như sản xuất nơng nghiệp được mùa thì
mức xuất khẩu lương thực tương ứng với tình trạng trên là: 2,5 triệu tấn, 3,3 triệu tấn, 3,8
triệu tấn. Hãy tìm mức xuất khẩu lương thực có khả năng nhất.
HD: Gọi H1, H2, H3 tương ứng là các biến cố tình trạng thời tiết năm đó là “xấu”, “bình
thường” và “tốt”.
Gọi A = “sản xuất nông nghiệp được mùa” và X = “mức xuất khẩu lương thực” (triệu
tấn). Khi đó: (X = 2,5) = (H1|A); (X = 3,3) = (H2|A); (X = 3,8) = (H3|A).
18. Tuổi thọ của một loại sản phẩm (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm phân
phối xác suất dạng
khi x  5
0

F ( x)  
k
1  2 khi x  5


 x

a) Tìm k ? Tính xác suất để trong 5 sản phẩm có ít nhất một sản phẩm hỏng trước 6
năm.
b) Một công ty kinh doanh sản phẩm này khi bán được một sản phẩm lãi 500.000
đồng. Nếu sản phẩm bị hỏng trong thời gian bảo hành thì phải bỏ ra 1.000.000 đồng
cho chi phí sửa chữa. Muốn có tiền lãi trung bình là 300.000 đồng cho một sản
phẩm bán được thì cơng ty phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu năm.
19. Thời gian xếp hàng chờ mua hàng của khách là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm phân
phối xác suất như sau:
voi x  0
0
 3
F( x)  ax  3x 2  2 x voi 0  x  1
1
voi x  1


a) Tìm a .
b) Tìm thời gian xếp hàng trung bình.
20. Tuổi thọ của một loại sản phẩm (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên liên tục có hàm mật độ
xác suất:
0 khi x  5

f ( x)   k
khi x  5

 x3

a) Tìm k ? Tính tuổi thọ trung bình của sản phẩm.
b) Nếu muốn tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành là 20% thì phải quy định thời gian bảo hành
là bao nhiêu?
11


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

21. Tuổi thọ (tính theo năm) của một thiết bị điện tử là biến ngẫu nhiên có hàm mật độ xác
suất như sau:
k .e2 x voi x  0
f ( x)  
voi x  0
0

Xác định k và tính xác suất để thiết bị này sử dụng được ít nhất 2 năm.
22. Cho hàm số
k (1  x), x   1;0 

f ( x)  k (1  x), x   0;1

x   1;1
 0,

a) Xác định k để f ( x) là hàm mật độ xác suất của biến ngẫu nhiên X và tìm hàm
phân phối xác suất.
b) Tìm kỳ vọng và phương sai của X .
23. Nhu cầu hàng năm về mặt hàng A là biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ xác suất

như sau (đơn vị: ngàn sản phẩm):
k (30  x), x   0;30 

f ( x)  
x   0;30 

 0,

a) Xác định k ?
b) Tìm xác suất để nhu cầu về loại hàng đó khơng vượt q 12 ngàn sản phẩm trong
một năm.
c) Tìm nhu cầu trung bình hàng năm về mặt hàng A.
24. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất như sau:

 
k .sin x,

f ( x)  

0,


voi x   0; 
 2
 
voi x   0; 
 2

a) Xác định k.
b) Tính xác suất để khi thực hiện 3 phép thử độc lập X nhận giá trị trong khoảng

  
 ;  ít nhất một lần.
6 3

25. Cho biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất
2

ax  bx , voi x   0;1
f ( x)  
voi x   0;1

 0,

12


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Biết E ( X )  0, 6 . Tìm hàm phân phối xác suất của X ; tính P  1  X   và V ( X ) .
2
1





26. Giả sử hàm mật độ của biến ngẫu nhiên X là:
 A.e  x voi x  0

f ( x)  
(  0)
voi x  0
 0

a) Tìm A .
b) Tìm hàm phân phối của X .
c) Tìm kì vọng và phương sai của X .

13


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Chương 3

Một số quy luật phân phối xác suất thông dụng
Phân phối nhị thức – B(n, p)
1. Thống kê cho thấy cứ 3 lần chào hàng thì có một lần bán được hàng. Nếu chào hàng 20
lần và gọi X là số lần bán được hàng thì X tuân theo quy luật gì?
2. Gieo 100 hạt đậu tương. Xác suất nảy mầm của mỗi hạt là 0,9. Tính xác suất để trong 100
hạt.
a) Có đúng 80 hạt nảy mầm.
b) Có ít nhất 1 hạt nảy mầm.
c) Có nhiều nhất 98 hạt nảy mầm.
3. Một xạ thủ bắn ngẫu nhiên độc lập 14 viên đạn vào một mục tiêu với xác suất bắn trúng
đích của mỗi viên là 0,2. Tìm số viên đạn trúng đích với khả năng lớn nhất.
4. Một lơ hàng chứa rất nhiều sản phẩm với tỷ lệ phế phẩm là 0,02. Cần phải lấy một mẫu

cỡ bằng bao nhiêu, sao cho xác suất để có ít nhất một phế phẩm trong mẫu đó khơng bé
hơn 0,95.
5. Xác suất để máy bị hỏng trong một ngày hoạt động là 0,01. Mỗi lần máy hỏng chi phí sửa
chữa hết 1 triệu đồng. Vậy có nên kí một hợp đồng bảo dưỡng là 120 ngàn đồng một
tháng để giảm xác suất hỏng của máy đi một nửa hay khơng và nếu kí thì hiệu quả mang
lại là bao nhiêu.
Phân phối siêu bội – H(N, M, n)
6. Trong 20 giấy báo thuế có 3 giấy mắc sai sót. Lấy ngẫu nhiên 5 giấy để kiểm tra. Tìm
phân phối xác suất; trung bình và phương sai của số giấy mắc sai sót có trong 5 giấy lấy
ra.
7. Để thanh toán 1 triệu đồng tiền hàng, một khách hàng gian lận đã xếp lẫn 5 tờ 50 ngàn
tiền giả với 15 tờ tiền thật. Chủ cửa hàng rút ngẫu nhiên 3 tờ đem đi kiểm tra và giao hẹn,
nếu phát hiện có tiền giả thì cứ mỗi tờ giả khách hàng phải đền hai tờ thật. Tìm số tiền
phạt trung bình mà khách hàng phải trả.
Phân phối Poisson – P(λ)
8. Một cửa hàng có 4 chiếc ô tô cho thuê, số khách có nhu cầu thuê trong một ngày là một
biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với E ( X )  2 .
14


Đào Hồng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

a) Tìm luật phân phối xác suất của số ô tô cửa hàng này cho th trong một ngày.
b) Tính số ơ tơ trung bình mà cửa hàng cho thuê trong một ngày?
9. Số khách hàng vào một siêu thị trong 20 phút là biến ngẫu nhiên phân phối Poisson với
số khách trung bình là 6. Tính xác suất để trong 10 phút nào đó có hơn 2 khách vào siêu
thị.
10. Một trung tâm bưu điện nhận được trung bình 150 cú điện thoại trong 1 giờ. Tìm xác suất

để trung tâm này nhận được không quá 2 cuộc điện thoại trong 1 phút.
11. Một cửa hàng có 3 xe ơ tơ cho thuê. Hàng ngày phải nộp thuế 50 ngàn đồng/1 xe dù xe có
được th hay khơng. Mỗi chiếc xe được thuê với giá 700 ngàn đồng/1 ngày. Giả sử yêu
cầu thuê xe của cửa hàng là biến ngẫu nhiên X có phân phối Poisson với tham số
  2,8 . Tính số tiền lãi trung bình của trạm thu được trong một ngày.
Phân phối đều – U(a; b)
12. Một xe buýt xuất hiện tại bến đợi lúc 7 giờ sáng, cứ 15 phút một chuyến. Giả sử thời gian
xuất hiện tại bến đợi ( kí hiệu là X ) tại bến đợi của một hành khách có phân phối đều từ
7 giờ đến 7 giờ 30.
a) Viết hàm phân phối xác suất của X .
b) Tìm xác suất để hành khách đó phải đợi ít hơn 5 phút; nhiều hơn 10 phút.
13. Một nhà kinh doanh muốn đầu tư 10 triệu đồng vào một công ty mà nếu trong năm tới
cơng ty làm ăn thuận lợi có thể sẽ mang lại lãi suất đến 14% cịn nếu gặp khó khăn thì lãi
suất có thể giảm đến mức 4%. Trong khi đó nếu gửi tiền vào ngân hàng thì lãi suất đảm
bảo 8%/năm. Vậy nếu dùng tiền để đầu tư thì khả năng có lãi hơn gửi ngân hàng là bao
nhiêu.
Phân phố mũ – E(λ)
14. Thời gian phục vụ mỗi khách hàng (phút/khách hàng) tại một cửa hàng là biến ngẫu
nhiên có phân phối mũ với hàm mật độ xác suất như sau:
5e5 x voi x  0
f ( x)  
voi x  0
0

a) Tìm xác suất để thời gian phục vụ khách hàng nào đó sẽ nằm trong khoảng từ 0,4 đến
1 phút.
b) Tìm thời gian trung bình để phục vụ một khách hàng.
15. Khoảng thời gian mà hai khách hàng kế tiếp nhau đến ngân hàng là biến ngẫu nhiên phân
phối mũ với trung bình là 3 phút. Giả sử vừa có một khách đến. Tìm xác suất để trong
vịng ít nhất 2 phút nữa mới có người khách tiếp theo đến ngân hàng.

15


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Phân phối chuẩn – N(μ; σ2)
16. Chiều cao của một người trưởng thành có phân phối chuẩn với trung bình 175 cm và độ
lệch chuẩn 4 cm. Hãy xác định:
a) Tỉ lệ người trưởng thành có tầm vóc trên 180 cm.
b) Tỉ lệ người trưởng thành có chiều cao từ 166 cm đến 177 cm.
c) Giá trị m, biết 33% người trưởng thành có chiều cao dưới mức m.
d) Giới hạn biến động chiều cao của 90% người trưởng thành xung quanh giá trị trung
bình.
17. Thời gian (tính bằng tháng) từ lúc vay tới lúc trả tiền của một khách hàng tại một ngân
hàng là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn trung bình 18 tháng, độ lệch tiêu chuẩn 4
tháng.
a) Tính tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng trong khoảng từ 10 đến 19 tháng;
khơng ít hơn một năm; ít hơn 9 tháng.
b) Khoảng thời gian tối thiểu là bao nhiêu để tỉ lệ khách hàng trả tiền cho ngân hàng
vượt thời gian đó khơng q 1%.
18. Gọi X là lượng điện tiêu thụ (tính bằng kWh) hàng tháng của một hộ gia đình.Giả sử X là
biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn với tham số   70 kWh và   40 kWh. Giá
tiền điện một tháng là 1500 đồng/kWh nếu lượng điện tiêu thụ trong tháng đó khơng q
50 kWh. Tháng nào dùng q mức này sẽ phải trả 700 đồng cho 1 kWh dôi ra. Gọi Y là
tiền điện (nghìn đồng) phải trả hàng tháng của một hộ gia đình. Tính các xác suất:
a) P(60  Y  317)

b) P(Y  251)

HD: a) (60  Y  317)  (60  Y  75)  (75  Y  317)  (4  X  50)  (50  X  160) .
19. Thời gian hoạt động tốt (không phải sửa chữa) của một máy tính là biến ngẫu nhiên có
phân phối (xấp xỉ) chuẩn với   4300 giờ và   250 giờ. Giả thiết mỗi ngày một chiếc
máy loại này được dùng trong 10 giờ.
a) Tìm tỉ lệ máy tính loại này phải bảo hành, nếu thời gian bảo hành là 360 ngày.
b) Phải nâng chất lượng máy tính loại này bằng cách làm cho thời gian hoạt động tốt
trung bình của sản phẩm lên bao nhiêu để tỉ lệ sản phẩm phải bảo hành và  vẫn
như trên song có thể nâng thời gian bảo hành lên thành 720 ngày.
20. Khi thâm nhập một thị trường mới, doanh nghiệp chỉ dự kiến được rằng doanh số hàng
tháng có thể đạt tuân theo luật phân phối (xấp xỉ) chuẩn. Khả năng đạt được doanh số
trên 40 triệu là 0,2 và dưới 25 triệu là 0,1.
a) Tìm kì vọng và phương sai của doanh số hàng tháng này.
b) Tìm xác suất để doanh nghiệp đạt được doanh số ít nhất là 32 triệu/tháng.

16


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

21. Tuổi thọ của một loại bóng đèn (đơn vị: năm) là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn
trung bình 4,2 năm, phương sai 2,25 (năm)2. Khi bán một bóng đèn thì lãi 100 ngàn
đồng, song nếu đèn phải bảo hành thì lỗ 300 ngàn đồng. Vậy để tiền lãi trung bình khi
bán một bóng đèn là 30 ngàn đồng thì phải quy định thời gian bảo hành là bao nhiêu?
22. Độ dài chi tiết (cm) do một máy tự động sản xuất là biến ngẫu nhiên phân phối (xấp xỉ)
chuẩn với độ lệch chuẩn là 9 cm. Nếu được biết 84,13% chi tiết do máy sản xuất có độ
dài khơng vượt q 84 cm thì xác suất để lấy ngẫu nhiên 3 chi tiết được ít nhất 1 chi tiết
có độ dài không dưới 80 cm là bao nhiêu.

23. Đầu tư vào hai thị trường A và B, có lãi suất là các biến ngẫu nhiên độc lập và phân phối
chuẩn.
Lãi trung bình Độ lệch chuẩn
10%
4%
Thị trường A
9%
3%
Thị trường B
a) Muốn có lãi hơn 8%, trong ba phương án sau phương án nào là tốt nhất:
Phương án 1: Đầu tư toàn bộ tiền vào thị trường A.
Phương án 2: Đầu tư toàn bộ tiền vào thị trường B.
Phương án 3: Chia đều vốn vào cả hai thị trường.
b) Muốn rủi ro (phương sai) là nhỏ nhất thì phải đầu tư vào hai thị trường theo tỉ lệ
nào.

17


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570VN PLUS

18


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

19


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

20


Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Chương 4

Cơ sở lý thuyết mẫu

1. Tính trung bình mẫu và độ lệch tiêu chuẩn từ mẫu số liệu sau:
X
2
3
4
5
6
7
8
9

ni
15
30
25
12
41
11
52
8
2. Tính trung bình mẫu và độ lệch tiêu chuẩn từ mẫu số liệu sau:
X
114
115
116
117
118
Tần số
22
67
54
73
45

10
33
119
18

11
23

120
13

3. Tính trung bình mẫu và độ lệch chuẩn mẫu từ các số liệu sau:
a)
Khoảng 0 – 10 10 – 20 20 – 30 30 – 40 40 – 50 50 – 60 60 – 70 70 – 80 80 – 90
Tần số
7
15
30
28
42
19
34
18
7
b)
Khoảng
Tần số

0,5 – 3,5
25

3,5 – 6,5
30

6,5 – 9,5
5

9,6 – 12,5

9

12,5 – 15,5
3

15,5 – 18,5
0

18,5 – 21,5
3

21


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

HƯỚNG DẪN SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO fx – 570VN PLUS

22


Bài tập Xác suất Thống kê

Đào Hoàng Dũng

23

Đào Hoàng Dũng

Bài tập Xác suất Thống kê

Chương 5

Ước lượng tham số
Phương pháp ước lượng điểm
1. Cho W  ( X1 , X 2 , X 3 ) là một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn N(μ, σ2).
1
1
1
1
1
1
4
2
4
3
6
2
a) Chứng minh rằng G1 , G2 là các ước lượng không chệch của μ.

Lập các thống kê G1  X1  X 2  X 3 và G2  X 1  X 2  X 3 .
b) Trong hai ước lượng trên, ước lượng nào tốt hơn cho μ?
2. Cho W  ( X1 , X 2 , X 3 ) là một mẫu ngẫu nhiên từ tổng thể có phân phối chuẩn N(μ, σ2).
1
3

1

6

1
2

Lập thống kê G  X1  X 2  X 3 .
a) Tính kì vọng và phương sai của G .
b) G có phải là ước lượng hiệu quả của μ khơng? Tại sao?
3. Từ một mẫu ngẫu nhiên kích thước 5, xét ba thống kê sau:
G1 

X  2 X 2  3X 3  4 X 4  5 X 5
X1  X 2
1
1
1
, G2  1
và G3  X1  X 2  X 3
2
15
2
3
6

Chứng minh ba thống kê trên là các ước lượng khơng chệch của trung bình tổng thể m.
Ước lượng nào hiệu quả hơn cả?
Phương pháp ước lượng bằng khoảng tin cậy
4. Trong một cuộc khảo sát 64 khách hàng ở một tiệm ăn nhanh, thời gian đợi trung bình là
3 phút và độc lệch chuẩn là 1,5 phút. Với độ tin cậy
, tìm khoảng tin cậy cho thời

gian đợi phục vụ trung bình của tiệm ăn này. Biết thời gian đợi phục vụ là biến ngẫu
nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
5. Trong một cuộc điều tra 150 người nghiện thuốc lá được chọn ngẫu nhiên. Người ta tính
được số điếu thuốc hút trong một tuần của họ có trung bình là 97 và độ lệch tiêu chuẩn là
36. Tìm khoảng tin cậy 99% cho số điếu thuốc hút trung bình trong 1 tuần của người
nghiện thuốc lá. Biết số điếu thuốc hút trong một tuần của người nghiện thuốc là biến
ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
6. Tuổi thọ của một loại bóng đèn do một dây chuyền sản xuất ra có độ lệch chuẩn là 95
giờ. Điều tra 50 bóng đèn loại này tính được tuổi thọ trung bình là 350 giờ. Giả thiết tuổi
thọ của bóng đèn là biến ngẫu nhiên có phân phối (xấp xỉ) chuẩn.
a) Với độ tin cậy 95%, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình tối đa của loại bóng đèn này.
24