Đề tài DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN đổi WAVELET PACKET và THỐNG kê bậc CAO HOS để TÁCH và ĐỊNH vị XUNG RADAR TRONG môi TRƯỜNG NHIỄU

TRƯỜNG ĐẠI HỌC LẠC HỒNG
KHOA ĐIỆN-ĐIỆN TỬ

--

--

BÁO CÁO NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
Đề tài:
DÙNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI WAVELET PACKET
VÀ THỐNG KÊ BẬC CAO HOS ĐỂ TÁCH VÀ ĐỊNH VỊ
XUNG RADAR TRONG MƠI TRƯỜNG NHIỄU

Người thực hiện:
Th.s. Thái Quang Tâm
Ks. Ngơ Văn Bình

Tháng 06/2010


Lời cảm ơn
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô,
bạn bè, gia đình và đồng nghiệp đã tạo mọi
điều kiện giúp đỡ động viên trong suốt quá
trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Đặc biệt, xin chân thành cảm ơn Thầy Ts.
Trần Hồi Trung đã nhiệt tình hướng dẫn
một cách khoa học, luôn luôn động viên và
luôn theo sát tiến trình hồn thành luận
văn.
Luận văn này được thực hiện trong

điều kiện hạn chế về nhiều mặt nên không
tránh khỏi những sai sót kính mong nhận
được sự đóng góp ý kiến để luận văn hồn
chỉnh hơn.

Tp. Hồ Chí Minh, tháng 11/2009.

PHẦN II: CƠ SỞ LÝ THUYẾT


MỤC LỤC
PHẦN I:
MỞ ĐẦU .......................................................................................1
1. LÝ DO LỰA CHỌN ĐỀ TÀI..........................................................................1
2. MỤC TIÊU, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU ...........................2
2.1.
2.2.

Mục tiêu của đề tài...............................................................................................2
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .......................................................................2

3. Ý NGHĨA ĐỀ TÀI...........................................................................................3
PHẦN II:
CƠ SỞ LÝ THUYẾT ...................................................................4
CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ RADAR VÀ TÁCH TÍN HIỆU RADAR ........4
1.1. TỔNG QUAN VỀ RADAR ................................................................................4
1.1.1. Giới thiệu ....................................................................................................4
1.1.2.
Phân loại Radar...........................................................................................5
1.1.3.

Cự ly ...........................................................................................................7
1.1.4.
Độ phân giải cự ly.......................................................................................9
1.1.5.
Tần số Doppler..........................................................................................11
1.1.6.
Sự nhất qn (Coherence).........................................................................13
1.1.7. Phương trình Radar...................................................................................14
1.2. TÁCH SĨNG RADAR......................................................................................19
1.2.1. Giới thiệu ..................................................................................................19
1.2.2.
Tách sóng trong nhiễu...............................................................................20
1.2.3.
Xác suất báo động lầm..............................................................................23
1.2.4.
Xác suất phát hiện.....................................................................................25
1.2.5.
Kết hợp xung (Pulse Integration)..............................................................26

CHƯƠNG 2 : CƠ SỞ LÝ THUYẾT BIẾN ĐỔI WAVELET – WAVELET
PACKET .......................................................................................30
2.1. ĐÔI NÉT VỀ SỰ PHÁT TRIỂN CỦA WAVELET.........................................30
2.1.1. Trước năm 1930........................................................................................30
2.1.2. Những năm 1930 ......................................................................................32
2.1.3. Những năm 1960 đến 1980.......................................................................32
2.1.4. Những năm đầu thập niên 1980 ................................................................32
2.2.5. Biến đổi Wavelet liên tục - CWT .............................................................36
2.2.6.
Hộp Wavelet Heisenberg ..........................................................................37
2.3. PHÂN TÍCH ĐA PHÂN GIẢI - MRA.............................................................38

2.4. CƠ SỞ WAVELET ...........................................................................................46
2.4.1.
Cơ sở wavelet trực giao ............................................................................46
2.4.2.
Cơ sơ wavelet nhị trực giao ......................................................................47
2.4.3.
Một số họ cơ sở wavelet ...........................................................................48
2.4.4.
Cơ sở Wavelet Haar..................................................................................48
2.5. BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC - DWT ........................................................50
2.5.1.
Các bộ lọc băng.........................................................................................50
2.5.2. Tiền lọc tín hiệu ........................................................................................52
2.5.3.
Sự phân cắt tín hiệu...................................................................................53
2.6. BIẾN ĐỔI WAVELET PACKET .....................................................................56


2.7.

ỨNG DỤNG TRIỆT NHIỄU TÍN HIỆU BẰNG BIẾN ĐỔI WAVELET VÀ
WAVELET PACKET........................................................................................60
2.7.1.
Triệt nhiễu bằng biến đổi wavelet và wavelet packet ...............................60

CHƯƠNG 3: LÝ THUYẾT THỐNG KÊ BẬC CAO .........................................63
GIỚI THIỆU ................................................................................................................63
3.1.1.
Tại sao sử dụng HOS ................................................................................64
3.1.2.

Cumulant, moment và các đặc tính của chúng .........................................68
ĐỊNH NGƯỠNG MỀM BIẾN ĐỔI WAVELET PACKET BẰNG HOS..................71

CHƯƠNG 4: GIẢI THUẬT MÔ PHỎNG .........................................................73
4.1. Mục tiêu mô phỏng ............................................................................................73
4.2. Các điều kiện và giả thiết mô phỏng..................................................................73
4.3. Sơ đồ giải thuật mô phỏng .................................................................................74
4.3.1.
Tách nhiễu xung radar bằng biến đổi wavelet packet và thống kê bậc cao
HOS ..........................................................................................................74
4.3.2.
Mô phỏng đánh giá khả năng tách nhiễu xung radar bằng biến đổi wavelet
packet và thống kê bậc cao HOS ..............................................................77
4.3.3.
Mô phỏng đánh giá khả năng định vị vị trí xung radar theo thời gian .....78

CHƯƠNG 5: KẾT QUẢ MÔ PHỎNG...............................................................79
Kết quả tách nhiễu xung radar bằng biến đổi wavelet packet và thống kê bậc cao hos
...........................................................................................................................79
Kết quả mô phỏng đánh giá khả năng tách nhiễu xung radar......................................84
Mô phỏng đánh giá khả năng tách nhiễu xung radar bằng biến đổi wavelet packet và
thống kê bậc cao HOS so với WFT ...................................................................85

PHẦN III:
KẾT LUẬN .................................................................................89
1. Kết luận .......................................................................................................89
2. Hướng phát triển của đề tài ............................................................................89
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................90
BẢNG CHỮ VIẾT TẮT .........................................................................................92
DANH MỤC HÌNH................................................................................................93

1

PHẦN I:
1.

MỞ ĐẦU

LÝ DO LỰA CHỌN ĐỀ TÀI
Radar là một thiết bị sóng điện từ và sự phát hiện sự có mặt, vị trí và các tính

chất của các loại mục tiêu nhờ vào các sóng phản xạ. Nhiều loại radar khác nhau
với các công năng khác nhau được áp dụng cho nhiều lĩnh vực của đời sống xã hội
cho nhiều lợi ích lớn lao. Do đó, trong kỹ thuật điện tử viễn thơng nói chung và kỹ
thuật xử lý tín hiệu nói riêng thì tín hiệu radar ln nhận được sự quan tâm của
nhiều nhà nghiên cứu nhằm cải thiện tốt hơn nữa đặc tính của radar. Trong đó,
nhiều cơng cụ xử lý tín hiệu mới như biến đổi Wavelet và thống kê bậc cao đã được
áp dụng. Cùng trong khuynh hướng đó và nhằm đánh dấu sự hồn thành một quá
trình lao động học tập, nên đề tài “Xử lý tín hiệu Radar bằng Wavelet và thống kê
bậc cao” đã được lựa chọn.
Đề tài được lựa chọn nhằm giải quyết một số vấn đề của radar xung, loại
radar được ứng dụng nhiều nhất trong các lĩnh vực như hàng khơng, hàng hải, khí
tượng và một số lĩnh vực khác. Trong đó, radar xung cịn có một số nhược điểm về
tầm phủ sóng, tốc độ phát hiện mục tiêu cần được cải thiện để đáp ứng tốt hơn nữa
yêu cầu thực tế vì các lý do sau. Thứ nhất, để mở rộng tầm phủ của radar, máy thu
radar phải có khả năng tách được các tín hiệu yếu trong mơi trường nhiễu mạnh,
nghĩa là máy thu phải có ngưỡng SNR rất thấp. Để giải quyết vấn đề này, máy thu
radar truyền thống sử dụng cách kết hợp các xung tín hiệu để làm tăng SNR của tín
hiệu thu. Tuy nhiên việc kết hợp xung địi hỏi phải có một số lượng xung nhất định,

đặc điểm này làm giảm khả năng đáp ứng của radar. Thứ hai, để có thể phát hiện
các mục tiêu nhỏ có tốc độ di chuyển nhanh đòi hỏi radar phải đáp ứng nhanh nghĩa
là phải phát hiện mục tiêu ngay khi nhận được một xung phản xạ. Đặc biệt là trong
một số loại radar áp dụng kỹ thuật quét nhanh điều khiển bup sóng quét bằng hệ
thống bức xạ anten dãy (phase array radar).
Đề tài sẽ đưa ra giải thuật nhằm giải quyết hai nhược điểm đó của radar xung
bằng cách kết hợp hai cơng cụ xử lý tín hiệu thành cơng nhất trong vịng 20 năm trở


2

lại đây là biến đổi wavelet và thống kê bậc cao (cơng cụ chính của phân tích các
thành phần độc lập ICA).
Giải thuật triệt nhiễu xung radar RF thu được nằm chìm trong nhiễu có thể
được thực hiện bằng cách dùng bộ lọc thời gian – tần số phi tuyến, dựa trên phép
biến đổi Fourier cửa sổ rời rạc. Tuy nhiên ta biết rằng phép biến đổi wavelet cho
tính định vị hay cục bộ hóa trong miền thời gian – tần số tốt hơn so với biến đổi
Fourier cửa sổ rời rạc. Điều đó có nghĩa là việc định vị xung được phát hiện trong
miền thời gian không thể đạt được bằng phép biến đổi Fourier cửa sổ. Trong đề tài
này ta sẽ dùng phép biến đổi Wavelet packet để triệt nhiễu các xung radar RF.
Nhiễu được loại bỏ bằng cách định ngưỡng cho các hệ số biến đổi Wavelet của các
xung radar RF thu được. Thông thường ngưỡng được xác định thông qua việc ước
lượng giá trị nhiễu. Việc dùng ngưỡng kiểu này có thể làm mất xung radar phản xạ
có SNR rất thấp. Trong đề tài này việc chọn lựa mức ngưỡng sẽ tùy thuộc vào phép
thông kê bậc cao HOS của các hệ số biến đổi Wavelet. Sử dụng ngưỡng dựa vào
phép thông kê bậc cao sẽ cho ta hiệu quả hơn so với phương pháp ước lượng nhiễu
đặc biệt là trong các điều kiện khi SNR rất bé.

2.
2.1.

MỤC TIÊU, ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Mục tiêu của đề tài
Mục tiêu chính của đề tài là nghiên cứu vấn đề phát hiện, triệt nhiễu và định

vị xung radar RF thu được trong nền nhiễu sử dụng biến đổi wavelet và thống kê
bâc cao.
2.2.

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu vào đối tượng là xung radar RF thu được trong

nền nhiễu.
Đề tài giới hạn trong phạm vi nghiên cứu là triệt nhiễu và định vị xung radar
trên cơ sở biến đổi wavelet và thống kê bậc cao.


3

Phần thực nghiệm được thực hiện qua việc mô phỏng xử lý tín hiệu bằng
phần mềm Matlab phiên bản 7.0.4 trên máy tính.

3.

Ý NGHĨA ĐỀ TÀI
Đề tài mở ra một hướng nghiên cứu ứng dụng ưu điểm của hai lĩnh vực

Wavelet và thống kê bậc cao HOS (cơng cụ tốn trong phép phân tích các thành
phần độc lập – ICA) nhằm phát triển một thuật toán cho phép tách và định vị xung
radar RF trên nền nhiễu mạnh, nhờ đó giảm cơng suất phát xạ hay nói cách khác là

mở rộng cự ly phát hiện, tăng khả năng phát hiện mục tiêu nhanh của các hệ thống
radar, đặc biệt là các hệ thống radar quét nhanh có búp sóng quét bằng điện tử
(phase array radar).


4

PHẦN II:

CƠ SỞ LÝ THUYẾT
CHƯƠNG 1

TỔNG QUAN VỀ RADAR VÀ TÁCH TÍN HIỆU RADAR
1.1. TỔNG QUAN VỀ RADAR
1.1.1. Giới thiệu
RADAR, viết tắt của RAdio Detection And Ranging, là một thiết bị được
phát minh trong các thập kỷ đầu tiên của thế kỷ 20 dùng để nhận dạng từ xa và xác
định cự ly của các vật thể (như tàu thủy và máy bay) bằng các sóng điện từ. Nguyên
lý bên trong của radar được thí nghiệm lần đầu tiên bởi Hertz vào cuối thế kỷ 19.
Hertz đã kiểm tra lý thuyết về trường điện từ của Maxwell, và chứng tỏ rằng các
sóng điện từ phản xạ lại bởi các chất dẫn điện và điện môi. Các phát hiện này chưa
được ứng dụng cho đến những năm 1900 khi một kỹ sư người Đức sáng chế một
thiết bị để nhận dạng tàu và các chướng ngại vật bằng sóng điện từ. Tuy nhiên, do
cự ly phát hiện nhỏ (cỡ một dặm) nên thiết bị này chưa được thành công lắm. Một
vài năm trước khi Thế chiến thứ hai bùng nỗ các hệ thống radar phát sóng liên tục
CW được thử nghiệm ở nhiều quốc gia. Các hệ thống radar này hoạt động chủ yếu ở
băng tần HF (high frequency: 3 đến 30MHz) và VHF (very high frequency: 30 đến
300MHz) và đạt cự ly phát hiện lên đến 50 dặm. Các radar CW dùng hiệu ứng dịch
tần Doppler đo sự dịch chuyển của mục tiêu sinh ra làm nền tảng cho việc phát hiện
mục tiêu mà khơng có thêm bất kì thơng tin nào về cự li hay vị trí. Trong suốt Thế

chiến hai, các hệ thống radar được sử dụng một cách có hệ thống như một cơng cụ
để cải thiện hệ thống phòng thủ quân sự, bằng cách phát hiện sớm các máy bay và
tàu chiến quân địch, Trong thời kỳ đó, các radar xung cũng được phát minh để cung
cấp thông tin về cự ly dựa trên việc đo lường thời gian trễ giữa xung phát và xung
phản xạ về từ mục tiêu. Từ đó, các hệ thống radar được phát hiện và cải tiến liên tục
cả vế phần cứng (máy phát, máy thu, anten radar v.v.) lẫn phần mềm (khi máy tính
xuất hiện làm cơng cụ cho việc phân tích và biểu diễn dữ liệu radar). Hiện nay,


5

radar đã được ứng dụng vào rất nhiều lĩnh vực của đời sống như điều khiển không
lưu, định vị hàng hải, dự báo thời tiết, các ứng dụng trong đời sống như radar phát
hiện mỏ khoáng sản, mỏ dầu,…, radar kiểm tra các cơng trình xây dựng, radar đo
tốc độ xe lưu thông và các ứng dụng quân sự như giám sát, định vị, điều khiển, và
dẫn đường cho các loại vũ khí.
1.1.2. Phân loại Radar
Các hệ thống Radar nói chung sử dụng các dạng sóng điều chế và anten định hướng
để phát năng lượng điện từ vào một thể tích nhất định trong khơng gian nhằm phát
hiện mục tiêu. Các vật thể (mục tiêu) nằm trong khơng gian tìm kiếm sẽ phản xạ lại
một phần năng lượng (tín hiệu phản xạ) trở lại đài radar. Các tín hiệu phản xạ này
sẽ được máy thu của đài radar xử lý để tách các thông tin về mục tiêu như cự ly, vận
tốc, góc phương vị, và một số đặc tính khác.
Radar có thể được phân loại theo vị trí đặt hệ thống radar như mặt đất, máy bay,
không gian hay tàu thủy. Ngồi ra, hệ thống radar cũng có thể phân ra thành nhiều
loại khác nhau dựa vào các đặc tính của radar như băng tần số, loại anten và dạng
sóng phát. Ta cũng có thể phân loại radar theo chức năng nhiệm vụ của đài radar
như radar khí tượng, radar cảnh giới, radar dẫn đường… Radar dùng hệ thống bức
xạ (Phased array radar) là loại radar sử dụng dãy anten đa chức năng. Dãy anten
được hình thành từ hai hay nhiều anten tổng hợp nên một búp sóng hẹp có định

hướng và có thể qt vịng được bằng cơ khí hay bằng điện. Việc qt vịng bằng
điện tử được điều khiển bởi pha của các tín hiệu đưa vào các phần tử của dãy anten.
Thông thường radar được phân loại theo dạng sóng hay theo tần số hoạt động. Theo
dạng sóng, radar có thể được phân thành hai loại là phát sóng liên tục (CW) và phát
xạ xung. Radar phát sóng liên tục là loại radar phát năng lượng điện từ liên tục và
sử dụng hai anten phát và thu riêng biệt. Radar phát xạ xung liên tục không điều chế
có thể đo được chính xác vận tốc xun tâm của mục tiêu (độ dịch Doppler) và góc
phân vị. Thơng tin về cự ly của mục tiêu chỉ có thể biết được khi sử dụng điều chế.
Ứng dụng cơ bản của dạng radar này là xác định vận tốc mục tiêu trong radar cảnh
giới và dẫn đường. Radar xung sử dụng chuỗi các xung (chủ yếu được điều chế).


6

Trong kiểu radar này hệ thống được phân loại dựa theo tần số lặp lại xung (PRF –
Pulse Repetition Frequency) với các dạng là PRF thấp, PRF trung bình, PRF cao.
Các radar PRF thấp được sử dụng để đo cự ly khi không cần quan tâm đến vận tốc
của mục tiêu (độ dịch Doppler). Radar PRF cao chủ yếu được sử dụng để đo vận
tốc của mục tiêu. Radar phát sóng liên tục cũng như radar phát xạ xung đều có thể
đo được cả cự ly và vận tốc xuyên tâm của mục tiêu, bằng cách sử dụng các sơ đồ
điều chế.
Bảng 1.1. Phân loại radar dựa trên tần số hoạt động.
Ký hiệu dải tần
HF
VHF
UHF
L
S
C
X

Ku
K
Ka
MMW

Tần số (GHz)
0,003 ÷ 0,03
0,03 ÷ 0,3
0,3 ÷ 1
1÷2
2÷4
4÷8
8 ÷ 12,5
12,5 ÷ 18,0
18,0 ÷ 26,5
26,5 ÷ 40
> 40

Bước sóng (cm)
10.000 ÷ 1.000
1.000 ÷ 100
100 ÷ 30
30 ÷ 15
15 ÷ 7,5
7,5 ÷ 3,75
3,75 ÷ 2,4
2,4 ÷ 1,67
1,67 ÷ 1,13
1,13 ÷ 0,75
< 0,75

Radar HF dùng các bức xạ điện từ phản xạ từ tầng điện ly để phát hiện các mục tiêu
phía sau đường chân trời, ví dụ như: radar U.S. OTH/B, radar ROTHR của Hoa Kỳ
và radar Woodpecker của Nga. Băng VHF và UHF được sử dụng cho các cự ly rất
xa gọi là các radar phát hiện xa (EWR – Early Warning Radar). Ví dụ như hệ thống
radar cảnh báo tên lửa sớm Ballistic (BMEWS) hoạt động ở tần số 245 MHz, hệ
thống PAR (Perimeter and Acquisition Radar) Phase array radar hoạt động cự ly xa
đa chức năng, và hệ thống Phase array radar UHF cảnh báo sớm đa chức năng
PAVE PAWS. Do các hệ thống anten này có bước sóng rất lớn và độ nhạy địi hỏi
để đo ở cự ly xa, nên chúng có diện tích rất lớn.
Radar trong băng L thường được sử dụng trong các hệ thống mặt đất và trên tàu cho
mục đích qn sự và điều khiển khơng lưu cự ly xa. Phần lớn các hệ thống radar cự
ly trung bình mặt đất và trên tàu hoạt động ở băng S. Tuy nhiên hầu hết các radar
khí tượng hoạt động ở băng C. Các radar dẫn đường, cảnh giới cự ly trung bình và
các radar đo lường cũng hoạt động ở băng C.


7

Băng X được sử dụng cho các hệ thống radar, trong đó anten có kích thước nhỏ.
Các hệ thống này được sử dụng trong hầu hết các radar quân sự đa chức năng trên
máy bay. Các hệ thống radar trong đó địi hỏi khả năng phát hiện mục tiêu tốt và ít
chịu tác động của suy hao khí quyển đến băng tần số cao đều được sử dụng ở băng
X. Các băng tần số cao hơn (Ku, K, và Ka) chịu ảnh hưởng nghiêm trọng của suy
hao khí quyển và thời tiết, do đó các radar sử dụng băng tần số này chỉ giới hạn
trong các ứng dụng cự ly ngắn như radar cảnh sát giao thông. Các radar bước sóng
milimet chủ yếu giới hạn hoạt động ở các hệ thống cự ly ngắn và các hệ thống thí
nghiệm.
1.1.3. Cự ly

Điều khiển
thời gian

Máy phát/
Điều chế

Bộ xử lý
tín hiệu

Ghép định
hướng

Máy thu

Hình 1.1. Sơ đồ khối của radar xung đơn giản

Hình 1.1 là sơ đồ khối của một radar xung đơn giản. Khối điều khiển thời gian sẽ
phát tín hiệu đồng bộ cho cả hệ thống. Tín hiệu điều chế sẽ được phát đi và gửi đến
anten thông qua khối phát/điều chế. Bộ ghép định hướng sẽ chuyển mạch anten
giữa hai chế độ thu và phát. Bộ ghép định hướng này cho phép sử dụng cùng một
anten cho cả hai mục đích thu và phát. Trong quá trình phát, bộ ghép định hướng sẽ
đưa năng lượng điện từ của radar đến anten. Ngược lại, trong quá trình thu, bộ ghép
định hướng sẽ đưa các xung phản xạ vào máy thu. Máy thu sẽ khuếch đại các xung
phản xạ và chuẩn bị chúng để xử lý tín hiệu. Việc tách các thơng tin về mục tiêu sẽ
được đảm nhiệm tại khối xử lý tín hiệu. Cự ly của mục tiêu R được tính bằng thời


8

gian trễ Δt là thời gian xung đi hai lần giữa radar và mục tiêu. Do sóng điện từ di

chuyển với vận tốc ánh sáng, c = 3 × 10 8 m / s nên
R=

cΔt
2

(1.1)

Trong đó R tính theo mét và Δt tính bằng giây.
Nói chung radar xung phát và thu một chuỗi xung, minh họa ở hình 1.2. Độ rộng
xung là τ và chu kỳ lặp xung PRI (Pulse Repetition Interval) là T. Nghịch đảo của
PRI là tần số lặp lại xung PRF (Pulse Repetition Frequency) kí hiệu là f r
fr =

1
1
=
PRI T

(1.2)

PRI

Xung phát đi
Xung 1 τ

Xung 2

Thời gian

Xung 3

Δt
Xung thu được

Xung 1
phản xạ

Xung 2
phản xạ

Xung 3
phản xạ

Thời gian

Hình 1.2. Chuỗi xung phát và thu

Trong suốt khoảng thời gian PRI, năng lượng radar chỉ được phát trong τ giây và im
lặng trong suốt khoảng thời gian còn lại. Chu kỳ nhiệm vụ của tín hiệu radar phát đi
là d t = τ / T . Cơng suất trung bình của radar là
Pav = Pt × d t

(1.3)

Trong đó Pt là công suất phát đỉnh của radar. Năng lượng xung là
E P = Ptτ = Pav T = Pav / f r .

Cự ly tương ứng với thời gian trễ hai chiều T được xem như là cự ly không đa trị
(Unambiguous range) Ru. Xét hình 1.3, xung phản xạ 1 thể hiện cho tín hiệu phản

xạ từ mục tiêu ở cự ly R1 = cΔt / 2 của xung 1. Xung phản xạ 2 có thể hiểu là xung


9

trở về từ cùng mục tiêu của xung thứ 2, hay cũng có thể hiểu là tín hiệu phản xạ từ
mục tiêu ở cự ly R2 của xung 1. Trong trường hợp này,
R2 =
t=0

cΔt
c(T + Δt )
hay R2 =
2
2
t = 1/fr

PRI

Xung phát đi

(1.4)

Xung 1 τ

Xung 2
Thời gian /cự ly

Δt
Xung 2

phản xạ

Xung 1
phản xạ

Xung thu được
R1 =

cΔt
2

Δt

Thời gian /cự ly

Ru
R2
Hình 1.3. Minh họa sự đa trị của cự ly

Rõ ràng tính đa trị của cự ly liên quan đến xung phản xạ 2. Do đó, khi một xung
được phát đi radar phải chờ một thời gian đủ dài sao cho các xung phản xạ từ các
mục tiêu ở cự ly cực đại đều trở về trước khi xung tiếp theo được phát đi. Từ các lý
luận trên ta có thể rút ra cự ly không đa trị trị cực đại phải bằng một nửa của PRI,
Ru = c

T
c
=
2 2 fr

(1.5)

1.1.4. Độ phân giải cự ly
Độ phân giải cự ly ký hiệu là ΔR là một thông số của radar mô tả khả năng phát
hiện các mục tiêu nằm gần nhau thành các vật thể phân biệt. Các hệ thống radar
thông thường được thiết kế để hoạt động ở một cự ly cực tiểu Rmin và một cự ly cực
đại Rmax. Khoảng cách giữa Rmin và Rmax được chia ra thành M khoảng nhỏ, có độ
rộng là ΔR,


10
M =

Rmax − Rmin
ΔR

(1.6)

Các mục tiêu cách nhau ít nhất ΔR sẽ được phân giải về mặt cự ly như minh họa
trong hình 1.4. Các mục tiêu nằm trong cùng một khoảng có thể phân giải được
trong cự ly xiên (azimuth) bằng cách sử dụng các kỹ thuật xử lý tín hiệu.
Xét hai mục tiêu nằm tại cự ly R1 và R2, tương ứng với thời gian trễ t1 và t2. Cơng
thức tính độ sai biệt cự ly giữa hai mục tiêu là:
ΔR = R1 − R2 = c

(t 2 − t1 )
δt
=c
2
2

(1.7)

Trả lời câu hỏi sau: δt cực tiểu sao cho mục tiêu một tại R1 và mục tiêu hai tại R2 sẽ
xuất hiện hoàn toàn tách biệt về cự ly (nằm trong các khoảng cự ly khác nhau)? Nói
cách khác, ΔR cực tiểu là bao nhiêu?

cự ly xiên
cự ly

Hình 1.4. Phân biệt mục tiệu theo cự ly và cự ly xiên

Đầu tiên, giả sử rằng hai mục tiêu tách biệt nhau bởi cτ/4, τ là độ rộng xung. Trong
trường hợp này, khi cạnh xuống của xung đập vào mục tiêu hai thì cạnh lên của
xung sẽ đi ngược về một khoảng cách là cτ , và xung phản xạ sẽ là tổng hợp của các
xung phản xạ từ cả hai mục tiêu (số phản xạ không phân giải) như trong hình 1.5a.
Tuy nhiên, nếu hai mục tiêu cách nhau ít nhất cτ/2 thì khi cạnh xuống của xung đập
vào mục tiêu thứ nhất, cạnh lên của xung mới bắt đầu phản xạ từ mục tiêu thứ hai,


11

nên sẽ xuất hiện hai xung phản xạ tách biệt như trong hình 1.5b. Do vậy, ΔR phải
lớn hơn hoặc bằng cτ/2, và vì vậy băng thơng B của radar bằng 1/τ.
ΔR =

cτ
c
=
2

2B

(1.8)

Nói chung, các nhà thiết kế và sử dụng radar mong muốn cực tiểu hóa ΔR. Như đề
nghị ở phương trình 1.8 để đạt được độ phân giải cự ly tốt ta cần phải cực tiểu hóa
độ rộng xung. Tuy nhiên, điều này dẫn đến việc làm giảm cơng suất phát trung bình
và làm tăng băng thơng hoạt động. Để đạt được độ phân giải cự ly tốt trong khi vẫn
duy trì đủ cơng suất phát trung bình, người ta sử dụng kỹ thuật nén xung.
R1

cτ

Xung tới

cτ
4

Xung phản xạ
px mục
tiêu 1

(a)

px mục
tiêu 2

Vùng bị che mờ là
các xung phản xạ từ
cả hai mục tiêu

Mục Mục
tiêu 1 tiêu 2

3
cτ
2

R1

R2

cτ
2

px mục
tiêu 1

cτ

(b)

px mục
tiêu 2

cτ

Xung phản xạ

R2

Mục
tiêu 1

Mục
tiêu 2

Hình 1.5. (a) Hai mục tiêu không phân biệt được. (b) Hai mục tiêu phân biệt được

1.1.5. Tần số Doppler
Các radar sử dụng tần số Doppler để tách ra vận tốc xuyên tâm của mục tiêu cũng
như để phân biệt giữa mục tiêu đứng yên và mục tiêu di động. Hiệu ứng Doppler là
hiệu ứng dịch tần số trung tâm của sóng tới theo sự chuyển động của mục tiêu so
với nguồn phát. Tùy theo hướng chuyển động của mục tiêu mà giá trị tần số dịch
này có thể dương hay âm.


12

Hiệu ứng Doppler chỉ xảy ra khi mục tiêu chuyển động so với đài, tần số Doppler
Fd là độ dịch tần giữa tần số sóng phát xạ fbx và tần số sóng phản xạ fpx, trong radar,
hiệu ứng Doppler xuất hiện 2 lần:
Lần đầu: Do mục tiêu chuyển động so với đài nên tần số dao động điện từ “nhận
được” bởi mục tiêu chuyển động fpx (tần số của tín hiệu phản xạ), khác với tần số
dao động bức xạ fbx
v⎞
⎛
f px = f bx ⎜1 ± ⎟
⎜
⎟

c⎠
⎝

(1.9)

Lần thứ hai: Tần số dao động nhận được bởi máy thu của đài radar (tần số của
tín hiệu thu ft , lúc này đài radar được coi là chuyển động so với mục tiêu) khác
với tần số tín hiệu phản xạ :
⎛ v⎞
f t = f px ⎜1 ± ⎟
⎜
⎟
⎝ c⎠

(1.10)

2⎞
⎛
2
⎜
2v ⎛ v ⎞ ⎟
v⎞
⎛
f t = f bx ⎜1 ± ⎟ = f bx ⎜1 ± + ⎜ ⎟ ⎟
⎜
⎟
c⎠
c ⎜c⎟ ⎟
⎝
⎜

⎝ ⎠ ⎠
⎝

(1.11)

Vì vậy:

Thơng thường

v
<< 1, chúng ta có biểu thức gần đúng:
c
v⎞
⎛
f t = f bx ⎜1 ± 2 ⎟ = γ . f bx
⎜
⎟
c⎠
⎝
γ = 1± 2

v
c

(1.12)
(1.13)

Dấu (+) tương ứng trường hợp radar và mục tiêu dịch lại gần nhau
Dấu (–) tương ứng trong trường hợp ngược lại
Trị số:

Fd =

2v
2v
f bx =
λ
c

(1.14)

Fđ là dịch tần Doppler của tín hiệu radar phản xạ từ mục tiêu
Vậy tốc độ xuyên tâm của mục tiêu (gọi tắt là thành phần xuyên tâm của tốc độ mục
tiêu) phụ thuộc vào độ dịch tần Doppler của tín hiệu:


13

v=

Fd × c
2 f bx

(1.15)

Do đó, ta thấy rằng nhờ có hiệu ứng Doppler mà đài radar có thể phân biệt được các
loại mục tiêu chuyển động và mục tiêu đứng yên (mục tiêu cố định). Đồng thời
cũng nhờ có hiệu ứng Doppler mà đài radar có thể xác định được tốc độ di chuyển
của mục tiêu.
1.1.6. Sự nhất quán (Coherence)

Một radar được gọi là nhất quán (coherent) nếu pha của hai xung bất kỳ phát đi luôn
nhất quán, nghĩa là có sự liên tục về pha tín hiệu của một xung với xung tiếp theo,
như minh họa trong hình 1.6a. Tính nhất qn có được khi radar có khả năng duy trì
một số ngun lần bước sóng giữa mặt sóng đẳng pha từ phần cuối của một xung
đến mặt sóng đẳng pha tại phần bắt đầu của xung kế tiếp, minh họa trong hình 1.6b.
Sự nhất qn có thể thực hiện được bằng cách sử dụng bộ dao động nội ổn định
(STALO - STAble Local Oscillator). Một radar được gọi là thu nhất quán
(coherent) hay cận nhất quán (quasi-coherent) nếu nó lưu trong bộ nhớ về pha của
tất cả các xung phát. Trong trường hợp này, pha tham chiếu của máy thu thường là
pha của phần lớn các xung được phát đi.

Xung n +1

Xung n
Số nguyên lần bước sóng λ

Khoảng cách
Hình 1.6. (a) Tính liên tục về pha giữa hai xung liên tiếp. (b) Sự duy trì một số nguyên lần
bước sóng giữa các mặt đẳng pha của hai xung bất kỳ đảm bảo tính nhất quán.


14

Sự nhất quán cũng liên quan đến khả năng của radar đo (tách) pha của tín hiệu. Do
hiệu ứng Doppler gây ra một độ dịch tần số trong tín hiệu thu, nên chỉ có các radar
thu nhất quán mới có thể tách ra được các thông tin về Doppler. Bởi vì tần số tức
thời của một tín hiệu tỉ lệ thuận với vi phân thời gian của pha tín hiệu:

fi =

1 d
φ (t )
2π dt

(1.16)

Trong đó fi là tần số tức thời và φ (t ) là pha cả tín hiệu.
Ví dụ: xét tín hiệu sau
x(t ) = cos(γω0t + ψ 0 )

(1.17)

Trong đó hệ số γ được định nghĩa như trong phương trình (1.13) và ψ0 là pha hằng
số. Ta có tần số tức thời của x(t) là

fi = γ . f0

(1.18)

2v
⎛ 2v ⎞
⇒ f i = f 0 ⎜1 ± ⎟ = f 0 ±
c ⎠
λ
⎝

(1.19)

Với ω0 = 2πf 0

Lưu ý rằng F = 2v chính là độ dịch tần số Doppler
d
λ

1.1.7. Phương trình Radar
Xét một radar có anten bức xạ đẳng hướng. Do loại anten này có dạng bức xạ hình
cầu nên ta có thể định nghĩa mật độ công suất đỉnh (công suất trên một đơn vị diện
tích) ở bất kỳ điểm nào trong khơng gian là
PD =

Cơng suất đỉnh

W

Diện tích mặt cầu

m2

(1.20)

Mật độ cơng suất tại cự li R so với radar (giả sử không suy hao trên môi trường
truyền) là

PD =

Pt
4πR 2

(1.21)

15

Trong đó Pt là cơng suất phát đỉnh và 4πR 2 là diện tích của mặt cầu bán kính R. Hệ
thống radar sử dụng các anten định hướng để tăng cường mật độ công suất theo một
hướng nhất định. Các anten định hướng thường có độ lợi anten là G và diện tích
hiệu dụng anten là Ae.

Gλ2
Ae =
4π

(1.22)

Trong đó λ là bước sóng. Quan hệ giữa diện tích hiệu dụng anten là Ae và diện tích
vật lý A là
Ae = ρA

(1.23)

0 ≤ ρ ≤1

ρ là hiệu suất diện tích, anten càng tốt thì ρ →1. Trong thực tế, giá trị ρ = 0.7
thường được sử dụng.
Mật độ công suất tại khoảng cách R so với radar, dùng anten định hướng có độ lợi
G cho bởi
PD =

Pt G
4πR 2

(1.24)

Khi năng lượng bức xạ của radar đập vào mục tiêu, bề mặt dẫn của mục tiêu sẽ bức
xạ năng lượng điện từ theo mọi hướng. Lượng năng lượng bức xạ sẽ tùy thuộc vào
kích thước, hướng, hình dạng vật lý và vật liệu của mục tiêu. Các nhân tố đó được
kết hợp lại theo một thông số đặc trưng của mục tiêu gọi là diện tích phản xạ hiệu
dụng (RCS – Radar Cross Section), kí hiệu làσ.
Diện tích phản xạ hiệu dụng được định nghĩa là tỉ số giữa công suất được phản xạ
trở về đải radar trên mật độ công suất tới mục tiêu,

σ=

Pr
PD

[m ]
2

(1.25)

Trong đó Pr là cơng suất phản xạ từ mục tiêu. Do vậy, tổng công suất chuyển đến
bộ xử lý tín hiệu radar của anten là


16

PDr =

Pt Gσ

(4πR )

2 2

(1.26)

Ae

Thay giá trị của Ae từ phương trình 1.47 vào 1.51 ta có
PDr =

Pt G 2 λ2σ
(4π ) 3 R 4

(1.27)

Đặt Smin là cơng suất tín hiệu cực tiểu khả tách, ta có cự li radar cực đại là
Rmax

⎛ Pt G 2 λ2σ
=⎜
⎜ (4π ) 3 S
min
⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

1/ 4

(1.28)

Phương trình này cho thấy rằng để tăng cự ly cực đại radar gấp đôi cần tăng công
suất phát đỉnh lên 16 lần; hay phải tăng hiệu suất diện tích lên 4 lần.
Trong thực tế, các tín hiệu thu về của radar sẽ bị can nhiễu, là các điện áp không
mong muốn của tất cả các tần số radar. Nhiễu về mặt tự nhiên có tính ngẫu nhiên và
có thể được mô tả bằng hàm mật độ phổ công suất pdf (Power Spectral Density).
Công suất nhiễu N là một hàm của băng thông hoạt động B của radar. Một cách
chính xác, ta có
N = Noise PSD × B

(1.29)

Cơng suất nhiễu đầu vào của một anten không suy hao là
N i = kTe B

(1.30)

Trong đó k = 1.38 × 10 −23 J / K là hằng số Boltzman, và Te là nhiệt độ nhiễu hiệu
dụng tính theo độ K. Ta ln ln mong muốn rằng tín hiệu nhỏ nhất có thể tách
sóng được ( S min ) ln lớn hơn công suất nhiễu. Chất lượng của radar máy thu thông
thường được mơ tả như một đặc tính gọi là đặc tính nhiễu F. Đặc tính nhiễu được
định nghĩa như sau
F=

S / Ni
( SNR ) i

= i
( SNR ) o S o / N o

(1.31)

( SNR) i và ( SNR) o là tỉ số tín hiệu trên nhiễu (SNR – Signal to Noise Ratio) ở đầu

vào và đầu ra máy thu. S i là cơng suất tín hiệu vào, N i là công suất nhiễu vào, S o


17

và N o là cơng suất tín hiệu và nhiễu ở đầu ra. Thay phương trình (1.30) vào phương
trình (1.31) và sắp xếp lại ta có
S i = kTe BF ( SNR ) o

(1.32)

Do đó, cơng suất tín hiệu cực tiểu khả tách là
S min = kTe BF ( SNR) o min

(1.33)

Ngưỡng tách sóng radar được đặt ở giá trị SNR đầu ra cực tiểu ( SNR) o . Thay
min

phương trình (1.33) vào phương trình (1.28) ta được
Rmax

⎛

Pt G 2 λ2σ
=⎜
⎜ (4π )3 kTe BF (SNR )o
min
⎝

⎞
⎟
⎟
⎠

1/ 4

(1.34)

Hay tương đương là

(SNR )o

=

Pt G 2 λ2σ

(4π )3 kTe BFR 4

(1.35)

Suy hao của radar L sẽ làm giảm toàn bộ SNR, do đó,

(SNR )o

=

Pt G 2 λ2σ

(4π )3 kTe BFLR 4

(1.36)

Phương trình (1.36) là dạng phổ biến nhất của phương trình radar.
1.1.7.1. Phương trình Radar có PRF thấp
Xét một radar có độ rộng xung τ, PRI T, và sông suất đỉnh Pt. Cơng suất phát trung
bình là Pav = Pt

τ
T

= Pt d t , với dt là hệ số nhiệm vụ phát. Ta định nghĩa hệ số nhiệm

vụ thu dr là
dr =

T −τ
= 1 − τf r
T

Do radar có PRF thấp (T >> τ) nên hệ số nhiệm vụ thu d r ≈ 1 .
Gọi Ti là thời gian búp sóng chiếu xạ lên mục tiêu

(1.37)

18

Ti =

np

⇒ n p = Ti f r

fr

(1.38)

Trong đó np là tổng số xung đập vào mục tiêu, và fr là PRF của radar. Với PRF thấp,
ta có phương trình radar của một xung đơn là
Pt G 2 λ2σ
(SNR )1 =
(4π )3 R 4 kTe BFL

(1.39)

Và với np xung kết hợp một cách nhất quán (coherent) ta có

(SNR )n

=

p

Pt G 2 λ2σ n p

(4π )3 R 4 kTe BFL

(1.40)

Từ phương trình (1.40) ta thấy rằng để cải tiến SNR ở đầu ra máy thu người ta có
thể sử dụng việc kết hợp nhiều xung radar thu được, kỹ thuật này gọi là kỹ thuật kết
hợp xung (Pulse Integration), ta sẽ xét kỹ thuật này kỹ hơn trong phần sau.
Sử dụng phương trình (1.38) và B = 1 / τ ta thu được phương trình radar của radar
PRF thấp

(SNR )n

p

=

Pt G 2 λ2σ Ti f rτ
(4π )3 R 4 kTe FL

(1.41)

1.1.7.2. Phương trình radar có PRF cao
Xét trường hợp radar có PRF cao, tín hiệu phát đi là một chuỗi xung có chu kỳ. Độ
rộng xung là τ và chu kỳ là T. Chuỗi xung này có thể phân tích được theo chuỗi
Fourier. Phổ công suất trung tâm (thành phần DC) sẽ chiếm phần lớn cơng suất tín
hiệu, giá trị của nó là (τ /T )2 , bằng với bình phương hệ số nhiệm vụ phát. Do đó,
phương trình radar của một xung đơn của loại radar có PRF cao là
Pt G 2 λ2σ d t

(4π )3 R 4 kTe BFLd r
2

SNR =

(1.42)

Trong trường hợp này ta không thể bỏ qua hệ số nhiệm vụ thu vì giá trị của nó có
thể so sánh được với hệ số nhiệm vụ phát. Thực tế là d r ≈ d t = τf r . Hơn nữa, băng


19

thông hoạt động của radar tỉ lệ với thời gian tổng hợp (thời gian chiếu vào mục
tiêu), B = 1 / Ti . Dẫn đến

Ptτ f r TG 2 λ 2σ
SNR =
(4π )3 R 4 kT e BFL

(1.43)

Cuối cùng là
SNR =

PavTi G 2 λ2σ
(4π )3 R 4 kTe FL

(1.44)

Trong đó Pav được thay thế cho Ptτf r . Lưu ý rằng PavTi là một dạng đại lượng năng
lượng, nó chỉ ra rằng các radar PRF cao có thể gia tăng khả năng tách sóng bằng
cách sử dụng cơng suất tương đối thấp và thời gian kết hợp dài hơn.

1.2. TÁCH SÓNG RADAR
1.2.1. Giới thiệu
Khi xây dựng hệ thống radar, nhà thiết kế phải luôn nghỉ rằng máy thu radar không
chỉ cho ra các tín hiệu radar thu được, mà cịn phải cho khả năng phiên dịch các tín
hiệu đó. Cho dù hiện nay radar được sử dụng rất đa dạng, nhưng mục đích ban đầu
là nhận dạng các vật thể trong một thể tích khơng gian nào đó vẫn cịn là một phần
chính trong tất cả các ứng dụng. Người sử dụng chỉ quan tâm đến việc phân biệt các
mục tiêu trong thể tích được qt với sự có mặt của nhiễu. Khi một mục tiêu được
phát hiện các đặc tính như cự ly và tốc độ là những yếu tố được quan tâm nhiều
nhất.
Vì nhiều lý do khác nhau, điện áp cung cấp bởi máy thu không bao giờ đều đặn,
thậm chí khi anten thu cố định. Nhiễu nhiệt là một trong các nguồn dao động thay
đổi bất thường mà không thể khắc phục. Các nguồn xáo động khác có thể là do sự
thay đổi bên trong thể tích khơng gian bị qt, điều này có thể xảy ra nếu búp sóng
chính đang qt vào mặt biển hay vào thảm cây bị gió thổi. Ngồi ra cịn có thể có
nhiều nguồn phát ngẫu nhiên khác đóng góp vào tín hiệu thu, ví dụ như các sóng
radio từ ngồi khơng gian (nhiễu vũ trụ). Trong hầu hết các trường hợp, chỉ một


20

phần nhỏ của tín hiệu thu được sẽ do mục tiêu tạo, trong một khoảng thời gian rất
ngắn.
Bằng cách kiểm tra tín hiệu thu được này, máy thu radar phải tìm ra các “sự kiện”
tương ứng với các vật thể mà ta quan tâm. Lý thuyết xác suất sẽ cho ta các chuẩn để
định vị các sự kiện. Cách làm này khơng phải là cách duy nhất nhưng nó cung cấp

một cách trả lời cho câu hỏi cơ bản nhất là “Liệu tín hiệu của tơi có chỉ thị sự có
mặt của mục tiêu hay khơng?”
1.2.2. Tách sóng trong nhiễu
Sơ đồ đơn giản của máy thu radar trong đó sử dụng bộ tách sóng đường bao theo
sau là bộ so sánh ngưỡng như trong hình 1.7.
Từ anten
và LNA

Lọc trung
tần/
BPF IF

v(t)

Tách sóng
đường bao

Lọc thơng
thấp/
LPF

r(t)

Bộ tách
sóng
ngưỡng

Đến thiết
bị chỉ thị

Ngưỡng VT

Hình 1.7. Sơ đồ khối đơn giản của một máy thu tách sóng đường bao và ngưỡng

Tín hiệu vào của máy thu được tổng hợp từ tín hiệu radar phản xạ về s(t) và nhiễu
Gaussian có trung bình bằng khơng n(t) với phương sai ψ 2 . Nhiễu đầu vào giả sử
không tương quan với tín hiệu.
Băng thơng của bộ lọc IF cho tín hiệu ngõ ra là ν (t )
v(t ) = ν I (t ) cos ω0t + ν Q (t ) sin ω0t = r (t ) cos(ω0t − ϕ (t ))

ν I (t ) = r (t ) cos ϕ (t )
ν Q (t ) = r (t ) sin ϕ (t )

(1.45)

Trong đó ω0 = 2πf0 là tần số hoạt động của đài radar, r(t) là đường bao của ν (t ) , góc
pha ϕ (t ) = arctan(ν Q /ν I ) và I, Q đại diện cho các thành phần đồng pha và vuông pha.
Một mục tiêu được tách ra chỉ khi r(t) vượt trên giá trị ngưỡng VT, trong đó giả thiết
quyết định là


21
s (t ) + n(t ) > VT
n(t ) > VT

Phát hiện
Báo động lỗi

Trường hợp nhiễu làm giảm tín hiệu (khi có mục tiêu) làm cho r(t) nhỏ hơn ngưỡng
gọi là bỏ sót mục tiêu. Các nhá thiết kế radar hướng đến mục tiêu tối đa hóa xác

suất phát hiện với một xác suất báo động lầm cho trước.
Nếu ngõ ra bộ lọc IF là một biến ngẫu nhiên phức, được kết hợp từ nhiễu đơn và
nhiễu cộng tín hiệu phản xạ từ mục tiêu (sóng sin có biên độ A). Các thành phần
trực giao tương ứng là
ν I (t ) = nI (t )
ν Q (t ) = nQ (t )

(1.46)

ν I = A + nI (t ) = r (t ) cos ϕ (t ) ⇒ nI (t ) = r (t ) cos ϕ (t ) − A
ν Q (t ) = nQ (t ) = r (t ) sin ϕ (t )

(1.47)

Và

Trong đó các thành phần nhiễu trực giao nI(t) và nQ(t) không tương quan với nhau,
là nhiễu Gaussian thơng thấp trung bình bằng khơng và phương sai ψ 2 . Hàm mật
độ xác suất kết hợp pdf của hai biến ngẫu nhiên nI và nQ là
⎛ nI 2 + nQ 2 ⎞
⎟
exp⎜ −
f (nI , nQ ) =
⎜
2πψ 2
2ψ 2 ⎟
⎝
⎠
2
⎛ (r cos ϕ − A) + (r sin ϕ )2 ⎞

1
⎟
exp⎜ −
=
⎟
⎜
2πψ 2
2ψ 2
⎠
⎝
1

(1.48)

Hàm pdf của các biến ngẫu nhiên r(t) và ϕ(t), tương ứng với modul và pha của ν(t)
cho bởi
f (r ,ϕ ) = f (nI , nQ ) J

(1.49)

Trong đó [J] là ma trận vi phân Jacobian
⎡ ∂nI
⎢ ∂r
[J ] = ⎢
⎢ ∂nQ
⎢ ∂r
⎣

∂nI ⎤
∂ϕ ⎥ ⎡cos ϕ

⎥=
∂nQ ⎥ ⎢ sin ϕ
⎣
∂ϕ ⎥
⎦

− r sin ϕ ⎤
r cos ϕ ⎥
⎦

(1.50)