TAI LIEU ON THI TNTHPT MON TOAN

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.23 MB, 77 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Ph n

Ph n IIII. KH O SÁT

. KH O SÁT

. KH O SÁT HÀM S

HÀM S

HÀM S VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

HÀM S

VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1 Tập xác định: D =ℝ

2 Tính y′

3 Cho y′ =0 để tìm các nghiệm x0 (nếu có).

4 Tính hai giới hạn: lim ; lim

x→−∞y x→+∞y

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.

6 Nêu sự đồng biến, nghịch biến và cực trị (nếu có) của hàm số.

7 Tìm điểm uốn (đối với hàm số bậc ba).

8 Lập bảng giá trị.

9 Vẽ đồ thị hàm số và nêu nhận xét.

3 2 ( 0)

y =ax +bx +cx+d a ≠

Số nghiệm của phương

trình

y

′ =

0 a

>

0 a

<

0 y

′ =

có 2 nghiệm phân
biệt

0 y

′ =

có nghiệm kép

0 y

′ =

vô nghiệm

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

4 2 ( 0)

y =ax +bx +c a ≠

Số nghiệm của phương

trình

y

′ =

0 a

>

0 a

<

0 y

′ =

có 3 nghiệm phân
biệt

0 y

′ =

có 1 nghiệm duy
nhất

Đồ thị hàm số trùng phương luôn đối xứng qua trục tung
b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M0)

1 Chỉ rõ x0 và y0 (hồnh độ & tung độ của điểm M0)
2 Tính f x′( )0

3 Công thức: y−y0 = f x′( )(0 x−x0)

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)

1 Lập luận để có được f x′( )0 =k (*)

2 Thay y x′( )0 vào (*) để tìm x0

3 Có x0, tìm y0 và dùng cơng thức

0 ( )(0 0)

y−y =f x′ x−x

Lưu ý: Tiếp tuyến song song với y =ax +b có hệ số góc k = a

Tiếp tuyến vng góc với y =ax+b a( ≠0) có hệ số

góc 1

a
k = −

d) Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị (C ):y = f(x)

1 Đưa phương trình về dạng: f x( )=BT m( )

2 Lập luận: số nghiệm của phương trình đã cho bằng với số giao
điểm của đồ thị ( ) :C y =f x( ) và đường thẳng d y: =BT m( ).

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Lưu ý: nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương
trình có đúng 3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết
quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ các trường hợp thoả đề.

e) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm của ( )C và d:

( )

f x =ax +b (*)

2 Lập luận: số giao điểm của ( )C và d bằng với số nghiệm của (*)

3Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của ( )C và d

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1: Cho hàm số y =x3−6x2+9x+1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại giao điểm của ( )C với

trục tung.

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có
 nghiệm duy nhất: x3−6x2 +9x+m=0

Bài giải

Câu a: Hàm số y =x3−6x2 +9x+1 Tập xác định: D = R
Đạo hàm: y′ =3x2 −12x+9

Cho y′ = ⇔0 3x2−12x+ = ⇔ =9 0 x 1 hoặc x =3
Giới hạn: lim ; lim

x→−∞y = −∞ x→+∞y = +∞

Hàm số đồng biến trên các khoảng (–∞;1) và (3;+∞)
Hàm số nghịch biến trên khoảng (1;3)

Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(1; 5), điểm cực tiểu T(3;1)

Cho

6 12. 0 2 3

y′′= x− y′′= ⇔ = ⇒ =x y . Điểm uốn I(2; 3)

Bảng biến thiên:

(chú ý: do a > 0) x −∞

1 3 +∞

y′ + 0 – 0 +

y 5 +∞

–∞ 1

m BT(m) Số giao điểm… Số nghiệm pt…

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

Bảng giá trị: x 0 1 2 3 4

y 1 5 3 1 5

Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm I(2; 3) như hình vẽ bên đây:

Câu b: Cho x = ⇒0 y(0)=1.

Giao điểm của ( )C với trục tung là: A(0;1)
(0) 9

f′ =

Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại A là:

1 9( 0) 9 1

y− = x− ⇔ =y x+

Câu c: Ta có, x3−6x2 +9x+m= ⇔0 x3−6x2 +9x = −m

3 6 2 9 1 1

x x x m

⇔ − + + = − (*)

Phương trình (*) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi đồ thị ( )C và

đường thẳng d y: = −1 m cắt nhau tại 1 điểm duy nhất

1 5 4

1 1 0

m m

 − >  < −

 

⇔ ⇔

− < >

 

 

Bài 2: Cho hàm số y =3x2 −2x3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại các giao điểm của ( )C

với trục hồnh.

c) Biện luận theo a số nghiệm phương trình: 4x3 −6x2−3a =0
Bài giải

Câu a: Hàm số y =3x2−2x3 Tập xác định: D =

ℝ
Đạo hàm: y′ =6x−6x2

Cho y′ = ⇔0 6x−6x2 = ⇔ =0 x 0 hoặc x =1
Giới hạn: lim ; lim

x→−∞y = +∞ x→+∞y = −∞

Hàm số đồng biến trên khoảng (0;1)
Bảng biến thiên:

(chú ý: do a < 0)

x −∞ 0 1 +∞

y′ – 0 + 0 –

y +∞ 1

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞; 0) và (1;+∞)

Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(1;1), điểm cực tiểu O(0; 0)

Cho 1 1

2 2

6 12 . 0

y′′= − x y′′= ⇔ = ⇒ =x y . Điểm uốn 1 1

2 2

( ; )

I

Bảng giá trị:x 1

− 0 1

2 1
1
2

y 1 0 1

2 1 0

Đồ thị hàm số là một đường cong đối xứng
qua điểm 1 1

2 2

( ; )

I như hình vẽ bên đây:
Câu b: Cho y= ⇔0 3x2−2x3 =0

3
2

x
x

 =


⇔  =



Giao điểm của ( )C với trục hoành là: O(0; 0) và 3

( ; 0)

B

Tại O(0; 0): f′(0)=0, phương trình tiếp tuyến là: y=0

Tại 3
2

( ; 0)

B : 3 9

2 2

( )

f′ = − , phương trình tiếp tuyến là:

9 3 9

2 2 2 4

0 ( )

y− = − x− ⇔ = −y x+

Câu c: Ta có,

3 2 2 3 2 3

4x −6x −3a = ⇔0 6x −4x = −3a ⇔3x −2x 3

2a

= − (*)

Số nghiệm phương trình (*) bằng với số giao điểm của đồ thị ( )C

và đường thẳng 3

d y= − a

Do đó dựa vào đồ thị ( )C và d ta có bảng kết quả về số nghiệm
của phương trình đã cho sau đây:

a 3

2a

− Số giao điểm của

( )C và d

Số nghiệm của
phương trình (*)

2
3

a < − 3

2a 1

− > 1 1

2
3

a = − 3

2a 1

− = 2 2

3 a 0

− < < 3

0< − a <1 3 3

a = −32a =0 2 2

a > 3

2a 0

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Bài 3:a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số

3 3 2 3

x x x

y= + +

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C biết tiếp tuyến song

song với đường thẳng 3

:

y

x

∆

=

c) Tìm toạ độ các giao điểm của ( )C với đường thẳng 3

2 y

=

x

+

Bài giải
Câu a:

3 3 2 3

x x x

y = + + Tập xác định: D =ℝ

Đạo hàm

3 6 3

0,
2

x x

y′ = + + ≥ ∀ ∈x ℝ do đó hàm số ln đồng

biến trên ℝ và không đạt cực trị.
Giới hạn: lim ; lim

x→−∞y = −∞ x→+∞y = +∞
Bảng biến thiên:

1
2

3 3 0 1

y′′ = x+ = ⇔ = − ⇒ = −x y

Điểm uốn 1
2

( 1; )

I − −

Bảng giá trị:x −3 −2 −1 0 1

y 9

− −1 1

− 0 7

Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng qua điểm 1
2

( 1; )

I − −

Câu b: Tiếp tuyến của ( )C song song với đường thẳng 3
2

:

y

x

∆

=

có hệ

số góc 3

0 2

( )

k=f x′ =

0 0

3 6 3

x + x +

⇔ = 3

2 0

0 0

3 6 0

x

x x

x

 =



⇔ + = ⇔  = −



Với x0 =0 thì y0 =y(0)=0, tiếp tuyến tương ứng là

3 3

2 2

0 ( 0)

y− = x− ⇔ =y x (trùng với ∆)

x −∞ −1 +∞

y′ + 0 +

y +∞

–∞

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Với x0 = −2 thì y0= − = −y( 2) 1, tiếp tuyến tương ứng là

3 3

2 2

1 ( 2) 2

y+ = x+ ⇔ =y x+ (song song với ∆)

Vậy, tiếp tuyến thoả đề là 3

2 2

y= x+

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của ( )C và 3

2 y

=

x

+

là nghiệm
phương trình

3 3 2 3

x + x + x

= 3 2 3 3 2 3 3 4

2x+ ⇔x + x + x = x+

3 3 2 4 0 ( 1)( 2 4 4) 0 1

x

x x x x x

x

 =


⇔ + − = ⇔ − + + = ⇔  = −


7

x= ⇒ =y và x = − ⇒ = −2 y 1

Vậy, ( )C và 3

: 2

d y= x+ cắt nhau tại 2 điểm:

( )

A

và

B( 2; 1)− −

Bài 4:a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: y =x4−2x2−3

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị ( )C tại điểm trên ( )C

có hồnh độ x là nghiệm của phương trình f′′( )x =20

c) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều
hơn hai nghiệm: 4 2 2 0

x − x +m=

Bài giải

Câu a:Hàm số y =x4−2x2 −3 Tập xác định: D =

ℝ
3

4 4

y′ = x − x Cho y′ = ⇔0 4x3 −4x = ⇔ =0 x 0;x = ±1

Giới hạn: lim ; lim

x→−∞y = +∞ x→+∞y = +∞
Bảng biến thiên:

x –∞ –1 0 1 +∞

y′ – 0 + 0 – 0 +

y +∞ −3 +∞

–4 –4

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Đồ thị hàm số có điểm cực đại D(0; 3)−

và hai điểm cực tiểu T1( 1; 4), (1; 4)− − T2 −

Bảng giá trị:

x − 2 –1 0 1 2

y –3 –4 –3 –4 –3

Đồ thị hàm số là đường cong đối xứng
qua trục tung như hình vẽ

Câu b: Ta có, y′′ =12x2− =4 20⇔12x2 =24⇔x2 = ⇔ = ±2 x 2

Đáp số: y=4 2x−11 và y= −4 2x−11 (học sinh tự giải)

Câu c: Ta có, x4−2x2+m= ⇔0 x4−2x2− = − −3 m 3 (*)

Phương trình (*) có nhiều hơn 2 nghiệm khi và chỉ khi ( )C và

: 3

d y = − −m cắt nhau tại nhiều hơn 2 điểm (3 hoặc 4 điểm)

3 3 0

0 1

3 4 1

m m

m

m m

 

− − ≤ −  ≥

 

⇔− − > − ⇔ < ⇔ ≤ <

 

 

Bài 5:a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số: y = − +x4 4x2−3

b) Dùng đồ thị ( )C biện luận số nghiệm pt sau: x4 −4x2 +m=0

Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: HS tự giải để có được đồ thị:

Câu b: Biến đổi phương trình ta được:

4 4 2 0 4 4 2 3 3

x − x +m= ⇔ − +x x − =m−

Từ đó số nghiệm phương trình đã cho bằng
với số giao điểm của hai đường sau đây

4 2

( ) :C y = − +x 4x −3 và d y: =m−3

Dựa vào đồ thị hàm số ta có bảng kết quả về
số nghiệm của phương trình đã cho như sau:

m m –3 của Số giao điểm ( )C và d phương trình (*) Số nghiệm của

m > 4 m –3 > 1 0 0

m = 4 m –3 = 1 2 2

0 < m < 4 –3 < m –3 < 1 4 4

m = 0 m –3 = –3 3 3

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC BA VÀ HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG 
Bài 6: Cho hàm số y =x3 – 3x+1 có đồ thị là ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C tại điểm thuộc ( )C có hồnh độ bằng 2.

c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 9.

d) Tìm điều kiện của m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

3 – 3 1 2 0

x x+ + m= .

Bài 7: Cho hàm số 1 3 3 2

2 2 2

y = − x + x −

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C song song với đường thẳng d: 9

2 2

y = − x+

c) Tìm các giá trị của k để phương trình sau đây có nghiệm duy
nhất: x3 −3x2− − =4 k 0

Bài 8: Cho hàm số y =2x3 +3x2−1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành.

c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến song song với d y: =12x−1

d) Biện luận theo m số nghiệm phương trình: 2x3 +3x2 +2m=0

Bài 9: Cho hàm số 1 3 3 2 5

3 2 2

y = − x + x − có đồ thị là ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hồnh độ x thoả y′′ =1

c) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C và d y: − =2 0.

d) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

3 2

2e x −9e x +6m=0

Bài 10: Cho hàm số 1 3 2

y= x −x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt của ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 0.

c) Viết pttt của ( )C song song với đường thẳng y =8x−3

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Bài 11: Cho hàm số y =2x3−3x2−1 (*) 
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Tìm toạ độ giao điểm của ( )C với đường thẳng d: y= − −x 1

c) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình

3 2

4x −6x + −1 m=0

Bài 12: Cho hàm số y=x3−3x2 +2, m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt của ( )C vng góc với đường thẳng d: 1 1

3 3

y = x−

c) Tìm các giá trị của a đường thẳng y=ax+2 cắt ( )C tại ba
điểm phân biệt.

Bài 13: Cho hàm số y= − +x3 3x2−2 có đồ thị ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm A(0; –2)

c) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến song song với 9x−4y− =4 0

d) Biện luận theo m số giao điểm của ( )C và d y: =mx−2

Bài 14: Cho hàm số y=4x3 −3x−1, có đồ thị là ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Tìm m để phương trình 4x3−3x− =1 m có đúng 3 nghiệm. 
c) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hoành.

d) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến vng góc với 1
72

d y = − x

Bài 15: Cho hàm số y=2x3−6x2 +6x−2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C , Ox ,x =1,x =2

Bài 16: Cho hàm số y=x2(2−x2)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hồnh độ bằng − 2

c) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 24.

d) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có 4 nghiệm

4 2 2 0

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Bài 17: Cho hàm số y=x4 +2x2−3

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt của ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 5.

c) Tìm điều kiện của m để phương trình sau đây có đúng 2 nghiệm:

4 2 2 3 2 0

x + x + + m=

Bài 18: Cho hàm số 1
2

y= x4−3x2 + 3

2 có đồ thị ( )C .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –8.

c) Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm: x4−6x2 +logm =0

Bài 19: Cho hàm số y= −(1 x2 2) −6 có đồ thị ( )C

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x4−2x2 =m
c) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến vng góc với 1

d y= − x

Bài 20: Cho hàm số 1

y= − x4 +2x2 −1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Tìm m để phương trình x4−8x2 + =4 m có nhiều hơn 2 nghiệm 
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm trên ( )C

có hồnh độ là nghiệm của phương trình y x′′( )=10

Bài 21: Cho hàm số 1
4

y= x4−2x2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt của ( )C song song với d1:y =15x+2012.

c) Viết pttt của ( )C vng góc với d2 : 8

45 2012

y = − x +

d) Tìm m để phương trình − +x4 8x2 =m có 4 nghiệm phân biệt. 
Bài 22: Cho hàm số y=x4−mx2 −(m+1) có đồ thị (Cm)

a) Tìm m để đồ thị hàm số đi qua điểmM( 1; 4)−

b) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số khi m= −2.

c) Gọi ( )H là hình phẳng giới hạn bởi ( )C và trục hồnh. Tính thể

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

2. Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (c≠0,ad−cb≠0)

ax b

y

cx d

+
=

+
1 Tập xác định: \

{ }

d

c

D =ℝ −

2 Tính

( )

ad cb

y

cx d

−
′ =

+ và khẳng định y′ dương hay âm,

d
c
x

∀ ≠ −
3Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khoảng xác
định ( ; d),( d; )

c c

−∞ − − +∞ và không đạt cực trị.

4 Tính các giới hạn và tìm hai tiệm cận:
Tính lim

x

a
y

c

→−∞ = và xlim
a
y

c

→+∞ = , suy ra

a
y

c

= là TCN
Tính

( )

lim

d
c

x

y

−

→ −

và
( )

lim

d
c

x

y

→ −

, suy ra x d
c

= − là TCĐ

5 Vẽ bảng biến thiên của hàm số.

6 Lập bảng giá trị.

7Vẽ đồ thị hàm số (có 2 tiệm cận) và nêu nhận xét.

( 0, 0)

ax b

y c ad cb

cx d

+

= ≠ − ≠

+

0 y

′ >

y

′ <

0

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

b) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 1 – biết toạ độ tiếp điểm M0)
1 Chỉ rõ x0 và y0 (hoành độ & tung độ của điểm M0)

2 Tính f x′( )0

3 Cơng thức: y−y0 = f x′( )(0 x−x0)

c) Viết phương trình tiếp tuyến (dạng 2 – biết trước hệ số góc k)

1 Lập luận để có được f x′( )0 =k (*)

2 Thay y x′( )0 vào (*) để tìm x0

3 Có x0, tìm y0và dùng cơng thức y−y0 =f x′( )(0 x−x0)

Lưu ý: Tiếp tuyến song song với y =ax +b có hệ số góc k = a

Tiếp tuyến vng góc với y =ax+b a( ≠0) có hệ số

góc 1

a
k = −

d) Sự tương giao giữa đồ thị (C ):y = f(x) và đường thẳng d: y = ax + b

1 Lập phương trình hồnh độ giao điểm của ( )C và d:

( )

f x =ax +b (*)

2 Lập luận: số giao điểm của ( )C và d bằng với số nghiệm của (*)

3 Đếm số nghiệm của (*) suy ra số giao điểm của ( )C và d

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 23: Cho hàm số 2 1

x
y

x

+
=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C tại điểm trên ( )C có tung

độ bằng 5
2

c) Chứng minh rằng đường thẳng d y: = −2x+m luôn cắt đồ thị
 ( )C tại 2 điểm phân biệt.

Bài giải

Câu a: Hàm số 2 1

x
y

x

+
=

+ Tập xác định:D =ℝ\ { 1}−

Đạo hàm:

0, 1

( 1)

y x

x

′ = > ∀ ≠ −

+ , do đó hàm số đồng biến

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Giới hạn và tiệm cận:

lim 2 ; lim 2

x x

y y

→−∞ = →+∞ = ⇒y = 2 là tiệm cận ngang.

( 1) ( 1)

lim ; lim

x x

y y

− +

→ − → −

= +∞ = −∞ ⇒ x = −1 là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên:

x −∞ −1 +∞

y′ + +

y +∞

−∞

Bảng giá trị:

x –2 3

− –1 1

2 0

y 3 4 0 1

Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng
nhau qua điểm I( 1;2)− như hình vẽ

Câu b: Với 5

y = thì 2 1 5 2(2 1) 5( 1) 3

1 2

x

x x x

x

+ = ⇔ + = + ⇔ = −

Ta có 1 2 1

4
( 2)

( 3)

f

−

′ − = =

Vậy, tiếp tuyến của ( )C tại 5

( 3; )

M − là:

5 1 1 13

2 4( 3) 4 4

y− = x+ ⇔ =y x+

Câu c: Hoành độ giao điểm (nếu có) của ( )C và d là nghiệm phương trình

2 1

2 2 1 ( 2 )( 1)

x

x m x x m x

x

+ = − + ⇔ + = − + +

+ , x ≠ −1

2x (4 m x) 1 m 0

⇔ + − + − = (*) (x = −1 không thoả (*))

Biệt thức của phương trình (*):

2 4 12 ( 2)2 8 0,

m m m m

∆ = − + = − + > ∀ ∈ℝ

Do ∆ >0 nên (*) ln có 2 nghiệm phân biệt, từ đó ( )C và d

ln có 2 điểm chung phân biệt.

Bài 24:a) Khảo sát và vẽ đồ thị ( )C của hàm số 3

x
y

x

−
=

−

b) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến song song với d y: = −x

c) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d y: = − +x m cắt đồ thị

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Câu a: Hàm số 3 3

2 2

x x

y

x x

− −

= =

− − + Tập xác định:D =ℝ\ {2}

Đạo hàm:

0, 2
(2 )

y x

x

−

′ = < ∀ ≠

− , do đó hàm số nghịch biến

trên các khoảng (−∞;2), (2;+∞) và không đạt cực trị.
Giới hạn và tiệm cận:

lim 1 ; lim 1

x→−∞y = − x→+∞y = − ⇒y= −1 là tiệm cận ngang.

2 2

lim ; lim

x x

y y

− +

→ = −∞ → = +∞ ⇒

x = là tiệm cận đứng.

Bảng biến thiên:

x −∞ 2 +∞

y′ − −

y −1

−∞ +∞ −1

Bảng giá trị:

x 0 1 2 3 4

y 3

− –2 0 1

2
−

Đồ thị hàm số gồm hai nhánh đối xứng
nhau qua điểm I(2; 1)− như hình vẽ

Câu b: Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = −x nên có hệ số
góc k= f x′( )0 = −1

2
0

1
(2 x )

−

⇔ = −

−

2
0

(2 x ) 1

⇔ − = 0 0

0 0

2 1 1

2 1 3

x x

 − =  =

 

⇔ ⇔

− = − =

 

 

Đáp số:có 2 tiếp tuyến thoả đề là y = − −x 1 và y = − +x 3

Câu c: Phương trình hồnh độ giao điểm của ( )C và d:

3
2

x

x m

x

− = − +

−

2 ( 3) 2 3 0

x m x m

⇔ − + + + = (*)

( )C và d cắt nhau tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương

trình (*) có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔0 m2−2m− >3 0

( ; 1) (3; )

m

⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

Vậy với m∈ −∞ − ∪( ; 1) (3;+∞) thì đồ thị ( )C và đường thẳng

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ NHẤT BIẾN

Bài 25: Cho hàm số 2 1

x
y

x

+
=

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng –3.

c) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 7

d) Tìm m để d y: =m x( + +1) 2 cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt.

Bài 26: Cho hàm số 2 1

x
y

x

+
=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )H của hàm số.

b) Lập phương trình tiếp tuyến của ( )H biết tiếp tuyến song song
với đường phân giác của góc phần tư thứ nhất.

c) Viết pttt với ( )H tại điểm trên ( )H có hồnh độ bằng −3.
d) Tìm m để đường thẳng y =mx+1 cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt.

Bài 27: Cho hàm số 2 1

x
y

x

−
=

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3

4
−

c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m đường thẳng
y= −x m luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt.

Bài 28: Cho hàm số 2 3

y

x

= +

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với đồ thị ( )C tại giao điểm của ( )C với trục hồnh.

c) Tìm m để đường thẳng d y: =m−x cắt ( )C tại 2 điểm phân biệt

Bài 29: Cho hàm số 2

x
y

x

+
=

− có đồ thị ( )C .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có hồnh độ bằng 1.

c) Viết pttt với ( )C tại điểm trên ( )C có tung độ bằng 3

2
−
d) Viết pttt với ( )C biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 5

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bài 30: Cho hàm số 2

y
x

+ có đồ thị là ( )C .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại các giao điểm

của ( )C với đường thẳng d y: =2x−1

c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0;2]

d) Viết pttt của ( )C biết tiếp tuyến song song với 1 3

2 2

y = − x+

e) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C trục hoành và hai

đường thẳng x = 0, x = 2.

Bài 31: Cho hàm số 1

x
y

x

−
=

+ có đồ thị ( )C .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

b) Tìm điểm M trên trục hồnh mà tiếp tuyến của ( )C đi qua điểm
M song song với đường thẳng d : y = –2x

Bài 32: Cho hàm số 2

x
y

x

−
=

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với d y: =2x−3.

c) Viết pttt của ( )C vng góc với đường thẳng 1

2 2012

y= x+

d) Tìm m để đường thẳng d:y =mx +2 cắt cả hai nhánh của ( )C .

Bài 33: Cho hàm số 2 3

x
y

x

−
=

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( )C , Ox và x =2.

c) Viết phương trình các đường thẳng song song với đường thẳng

y= − +x đồng thời tiếp xúc với đồ thị ( )C

Bài 34: Cho hàm số 3 4

x
y

x

+
=

−

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số.

b) Viết pttt với ( )C tại giao điểm của ( )C với trục tung.

c) Viết pttt với ( )C tại các giao điểm của ( )C với d y: = −2x−4

d) Tìm a để đường thẳng ∆ =:y ax +3 đồ thị ( )C khơng giao nhau

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số

y

=

f

(

x

) trên đoạn [

a

;

b

]

1Hàm số y= f x( ) liên tục trên đoạn [a;b].

2 Tính y′=f x′( ).

3 Cho y′ =0 để tìm các nghiệm xi ∈[ ; ]a b (nếu có) và các số

xj ∈[ ; ]a b làm cho y′ không xác định (nhớ loại các số xl ∉[ ; ]a b )

4 Tính các giá trị f x( )i , f x( )j và f a f b( ), ( )

(khơng được tính f của các xl đã bị loại)

5Chọn kết quả lớn nhất và kết quả nhỏ nhất từ bước 4 để kết luận
về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [a;b].

4. Điều kiện để hàm số có cực trị

(tóm tắt)

Nếu 0

( ) 0
( ) 0

f x
f x

 ′

 =

 ′′

 <

 thì hàm số y= f x( ) đạt cực đại tại x0

Nếu 0
0

( ) 0
( ) 0

f x

f x

 ′

 =

 ′′

 >

 thì hàm số y=f x( ) đạt cực tiểu tại x0

Hàm số y =ax3 +bx2 +cx+d có cực đại, cực tiểu 0
y′

⇔ ∆ >

Hàm số y=ax4 +bx2 +c có cực đại, cực tiểu ⇔a b. <0

5. Điều kiện để hàm số đơn điệu trên từng khoảng xác định

0
0,

y

y x

a

′
∆ ≤

′

⇔ ≥ ∀ ∈ ⇔  >


ℝ

Hàm số y=ax3 +bx2 +cx +d nghịch biến trên ℝ

0
0,

y

y x

a

′
∆ ≤

′

⇔ ≤ ∀ ∈ ⇔  <


ℝ
Hàm số y ax b

cx d

+
=

+ đồng biến trên từng khoảng xác định

0, 0

y′ x D ad cb

⇔ > ∀ ∈ ⇔ − > (khơng có dấu “=”)

Hàm số y ax b

cx d

+
=

+ nghịch biến trên từng khoảng xác định

0, 0

y′ x D ad cb

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 35: Tìm giá trị lớn nhất và giá nhị nhỏ nhất của hàm số:
a) y=x3−8x2 +16x−9 trên đoạn [1;3]

b) y =x2−4 ln(1−x) trên đoạn [–3;0] 
c) y =2 ln3x−3 ln2x−2 trên đoạn [1; ]e2
d) y =e xx( 2− −x 1) trên đoạn [0;2]

Bài giải

Câu a: Hàm số y =x3−8x2 +16x−9 liên tục trên đoạn [1;3] 
Đạo hàm: y′ =3x2 −16x+16

Cho y′ = ⇔0 3x2−16x+16=0 loại

nhaän
4

4 [1; 3] ( )
[1; 3] ( )

x
x

 = ∉


⇔  = ∈



Trên đoạn [1;3] ta có:

( )

4 13 ; ;

3 27 (1) 0 (3) 6

f = f = f = −

Do 13

6 0

− < < nên
[1;3]

min (3) 6

x∈ y= f = − và maxx∈[1;3]y

( )

4 13
3 27

f

= =

Câu b: Hàm số y =x2−4 ln(1−x) liên tục trên đoạn [–3;0] 
2

4 2 2 4

1 1

x x

y x

x x

− + +

′ = + =

− −

Cho (nhaän)

(loại)

2 1 [ 3; 0]

0 2 2 4 0

2 [ 3; 0]

x

y x x

x

 = − ∈ −


′ = ⇔ − + + = ⇔  = ∉ −



Trên đoạn [–2;0]: f( 1)− = −1 4 ln 2 ; f( 3)− = −9 8 ln 2 ; f(0)=0

1−4 ln 2=ln e <0 và

9−8 ln 2= +1 8 lne >0 nên
[ 3;0]

min ( 1) 1 4 ln 2

x∈ − y = − = −f và xmax∈ −[ 3;0]y= − = −f( 3) 9 8 ln 2

Câu c: Hàm số 2 ln3 3 ln2 2

y= x− x− liên tục trên đoạn [1; ]e2

Đặt t =lnx thì x ∈[1; ]e2 ⇔ ∈t [0;2], hàm số trở thành

3 2

( ) 2 3 2

y=g t = t − t − có ( ) 6 2 6 0 0 [0;2]
1 [0;2]

t

g t t t

t

 = ∈


′ = − = ⇔  = ∈



Trên đoạn [0;2]: g(0)= −2 ; (1) g = −3 ; (2) g =2

Do − < − <3 2 2 nên

[1; ]

min (1) 3

x e

y g

∈ = = −

và

[1; ]

max (2) 2

x e

y g

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Câu d: Đáp số:
[0;2]

miny =f(1)= −e và 2
[0;2]

maxy =f(2)=e

Bài 36: Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y =x3 +mx2+4x+3
a) Đồng biến trên ℝ b) Có cực đại và cực tiểu

Bài giải
Câu a: y=x3 +mx2 +4x+3 (*)

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y′ =3x2 +2mx+4 có 2 12
y′′ m

∆ = −

Hàm số (*) đồng biến trên ℝ⇔y′≥ ∀ ∈0, x ℝ
2

3 0
0

2 3

0 12 0

y
a

m
m

′



 

 >  >

 

⇔∆ ≤′ ⇔ − ≤ ⇔ ≤

 

 

Vậy, với m∈ − 2 3 ;2 3

  thì hàm số (*) đồng biến trên ℝ
Câu b: Hàm số (*) có cực đại và cực tiểu ⇔y′=0 có 2 nghiệm phân

biệt 0 2 12 0 ( ; 2 3) (2 3; )

y′′ m m

⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞

Vậy với m∈ −∞ −( ; 2 3) (2 3;∪ +∞) thì hàm số (*) có cực đại và
cực tiểu.

Bài 37: Tìm điều kiện của m để hàm số y=x3−3mx2 +(m2−1)x+2
đạt cực đại tại x0 =2

Bài giải
Câu a: y =x3−3mx2 +(m2 −1)x+2 (*)

Tập xác định: D = R

Đạo hàm: y′=f x′( )=3x2 −6mx+(m2−1)

( ) 6 6

y′′=f′′x = x− m

Hàm số (*) đạt cực đại tại x0 =2 khi và chỉ khi

(2) 0 12 11 0 {1;11}

(2) 0 12 6 0 2

f m m m

m

f m m



 ′  

 =  − + =  ∈

 ⇔ ⇔ ⇔ =

 ′′  

 <  − <  >

  

 

  

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

Bài 38: Chứng minh rằng nếu sin
x
x
y

e

= thì y′′+2y′+2y =0

Bài giải
Hàm số sin x. sin

x
x

y e x

e

−

= = có tập xác định D =ℝ

( x) . sin x.(sin ) x(cos sin )

y′= e− ′ x+e− x ′=e− x− x

( x) (cos sin ) x(cos sin ) 2 x cos

y′′= e− ′ x− x +e− x− x ′= − e x

2 2 2 xcos 2 x(cos sin ) 2 xsin 0

y′′+ y′+ y = − e− x+ e− x− x + e− x =

Vậy, với x. sin

y =e− x thì y′′+2y′+2y =0

BÀI TẬP VỀ CÁC VẤN ĐỀ KHÁC LIÊN QUAN HÀM SỐ

Bài 39: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây
a) f x( )=2x3−3x2−12x+10trên đoạn [ 2; 0]−

b) f x( )=x5−5x4 +5x3 +1 trên đoạn [–1;2] 
c) f x( )=x4 −2x3 +x2−1 trên đoạn [–1;1] 
d) f x( )=x5−5x3 +10x−1 trên đoạn [–2;4] 
e) f x( )= 25−x2 trên đoạn [–3;4]

f) f x( )=2x+ 5−x2 trên tập xác định.

g) ( ) 1 4

f x x

x

= − + −

+ trên đoạn [–1;2]
h) f x( )=3 sinx−2 sin3x +1 trên đoạn [0; ]π
i) f x( )=cos 2x−sinx+3

j) f x( )=2 sinx+sin 2x trên đoạn [ 3 ]

0; π

Bài 40: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau đây:

a) ( ) x 2 x

f x =e +e − trên đoạn [ 1;2]−
b) f x( )=(x−1)2e−x trên đoạn [0;2]

c) ( ) ( 2 1) x

f x = x − −x e− trên đoạn [ 1;1]−

d) f x( )=2xex −2x−x2 trên đoạn [0;1]

e) ( ) 2( 2) x 2 2

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

f) f x( )=x2−ln(1−2 )x trên đoạn [ 2; 0]−

g) ( ) 2 2 4 ln

f x =x − x− x trên đoạn [1;2]

h) f x( )= −x ln(x2 +1) trên đoạn [0;2]
i) f x( )=xlnx−2x+2 trên đoạn [1; ]e2

j) f x( )=2x2lnx−3x2 trên đoạn [1;2 ]e
k) f x( ) ln2x

x

= trên đoạn [1;e3]
l) f x( ) lnx

x

= trên đoạn 1
2

[ e;e2]

Bài 41: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số sau đây luôn đồng biến
a) y=x3−mx2 +(m+6)x−2

b) y =x3 −2(m−1)x2 +(2m2−m+2)x+m−3

Bài 42: Tìm các giá trị của tham số a để hàm số sau đây luôn nghịch biến

a) y= − +x3 (a+1)x2−(2a+1)x−3 b) 7

5 3

ax a

y

x a

+ −
=

− +
Bài 43: Tìm các giá trị của m để hàm số sau đây có cực đại và cực tiểu

a) y=x3 +2(m−1)x2+(m2−3m+2)x+2
b)

2 2 4

x mx m

y

x

+ − −

c) y =(m−1)x4 −2mx2 −3

Bài 44: Tìm các giá trị của tham số m để hàm số:

a) y=2x3 +(m+1)x2+(m2−4)x−m+1 đạt cực đại tại

0 0

x =

b) y =(2m2−1)x3−mx2 +(2m+3)x−2 đạt cực tiểu tại

0 1

x = −

c) 2 6

m

y = − x3 +mx+1 đạt cực tiểu tại x0 =2

d) 1

y = x4 −mx2 +n đạt cực tiểu bằng −2 tại x0 =1

Bài 45: Chứng minh rằng

a) Nếu x(cos 2 sin 2 )

y=e x+ x thì y′′−2y′+5y=0

b) Nếu y =e4x +2e−x thì y′′′−13y′=12y

c) Nếu y lnx
x

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Ph n
Ph nPh n

Ph n II.II. PHII.II.PHPHPH NG TRÌNH NG TRÌNH NG TRÌNH NG TRÌNH ---- B T PHB T PHB T PHB T PH NG TRÌNH M! NG TRÌNH M! NG TRÌNH M! NG TRÌNH M! &&& LƠGARIT&LƠGARITLƠGARITLƠGARIT

1. Phương trình mũ (đơn giản)

Các tính chất về luỹ thừa cần lưu ý: với a >0,b>0 và m n, ∈ℝ ta có

( )

1 1

n

m n m n m mn

m
m

n

m n m n

n

n n

a a a a a

a

a a a

a

a a

+
−
−

−

= =

i i

( )

( ) ( )

( ) .

n

n n n

n

a a

b b

n n

a b

b a

ab a b

−

=
=
=
i

i
i
a) Phương trình mũ cơ bản: với a >0 và a ≠1, ta có

x

a =b vô nghiệm nếu b ≤0
log

x

a

a = ⇔ =b x b nếu b>0

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với a >0 và a ≠1, ta có

( ) ( ) ( ) ( )

f x g x

a =a ⇔f x =g x

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Phương pháp giải chung:

0 Biến đổi phương trình theo f x( )

a , chẳng hạn:

2 ( ) ( )

. f x . f x 0

m a +n a + =p

( )
( ) 1

. f x . f x 0

a

m a +n + =p

1 Đặt t =af x( ) (kèm điều kiện cho t) và thay vào phương trình

2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t0 (nếu có)

3 Đối chiếu nghiệm t0 tìm được với điều kiện ở bước 1 rồi tìm x.

Lưu ý 1: gặp dạng m a. f x( )+n a. −f x( )+ =p 0, ta dùng biến đổi

( )
( ) 1

f x

f x
a

a− =

Lưu ý 2: gặp dạng m a. 2 ( )f x +n ab.( )f x( )+p b. 2 ( )f x =0, ta chia 2 vế 
phương trình cho 2 ( )f x

b

d) Phương pháp lơgarit hố: với 0< ≠a 1 và 0< ≠b 1, ta có

( ) ( ) log ( ) log ( )

f x g x f x g x

a a

a =b ⇔ a  = b 

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

2. Phương trình lơgarit (đơn giản)

Phương pháp chung: Đặt điều kiện xác định của phương trình
Biến đổi phương trình để tìm x (nếu có)
Đối chiếu x tìm được với điều kiện để kết luận
Các cơng thức và quy tắc tính lôgarit: với 0< ≠a 1 và b > 0, α≠0:

log 1a =0 log (n ) log

m m

a

a b = n ⋅ b (n ≠0)

log ( )a aα =α log (a m n. )=logam+logan (m n, >0)

logab

a =b log

( )

m log log

a n = am− an (m n, >0)

log ( )a bα =α. logab log
log

log c

c

b

ab= a (0< ≠c 1)

log loga

aαb= ⋅α b

1
log

log

b

ab= a (b≠1)

a) Phương trình lơgarit cơ bản: với a >0 và a ≠1, ta có
logax = ⇔ =b x ab

b) Phương pháp đưa về cùng cơ số: với a >0 và a ≠1, ta có

loga f x( )=logag x( )⇔f x( )=g x( ) (kèm điều kiện f x( )>0)
loga f x( )= ⇔b f x( )=ab

Lưu ý: Nếu đã có f x( )>0 thì loga f x( )2n =2 logn a f x( )

Nếu chỉ có f x( )≠0 thì logaf x( )2n =2 logn a f x( )

Biến đổi sau đây rất dễsai sót(khơng nên sử dụng):
Đưa α ra ngồi: loga f x( )α thành α. loga f x( )

Tách logaf x g x( ). ( ) thành loga f x( )+logag x( )

Tách ( )

( )

loga g xf x 

  thành loga f x( )−logag x( )

(chỉ được dùng các biến đổi trên khi f x( )>0, ( )g x >0)

Nên dùng biến đổi dưới đây:

Đưa α vào trong: α. loga f x( ) thành logaf x( )α

Nhập loga f x( )+logag x( ) thành loga f x g x( ). ( )

Nhập loga f x( )−logag x( ) thành ( )

( )

loga g xf x 

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

c) Phương pháp đặt ẩn số phụ:

0 Biến đổi phương trình theo loga f x( ), chẳng hạn:

. loga ( ) . loga ( ) 0

m f x +n f x + =p

1 Đặt t =loga f x( ) và thay vào phương trình.

2 Giải phương trình mới theo t để tìm nghiệm t0 (nếu có)

3 Từ t =t0 ta giải phương trình lơgarit cơ bản tìm x.

d) Phương pháp mũ hoá: với 0< ≠a 1 và 0< ≠b 1, ta có
log ( ) log ( )

log ( ) log ( ) af x bg x

a f x = ag x ⇔a =a

3. Bất phương trình mũ – lơgarit (đơn giản)

Cũng có các cách giải như cách giải phương trình mũ, lơgarit.
Tuy nhiên khi giải bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit
cần chú ý so sánh cơ số a với 1 để sử dụng tính đồng biến, nghịch biến
của hàm số mũ và hàm số lôgarit.

Hàm số mũ y =ax đồng biến khi a > 1, nghịch biến khi 0< <a 1
Hàm số lôgarit y=logax cũng đồng biến khi a > 1 và nghịch biến
khi 0< <a 1

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1: Giải các phương trình sau đây:

a) 5x2+3x =625 b) 5 7

( )

2 1

(1, 5)x− = x+ c) 2x+1.5x =200
Bài giải

Câu a: 5x2+3x =625⇔5x2+3x =54 ⇔x2 +3x = ⇔4 x2 +3x− =4 0

hoặc

1 4

x x

⇔ = = −

Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm: x =1 vaø x = −4

Câu b: 5 7

( )

2 1

( )

3 5 7

( )

3 1

3 2 2

(1, 5)x− = x+ ⇔ x− = − −x ⇔5x− = − − ⇔ =7 x 1 x 1

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 1

Câu c: 2x 1.5x 200 2.2 .5x x 200 10x 100 2

x

+ = ⇔ = ⇔ = ⇔ =

Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: x = 2
Bài 2: Giải các phương trình sau đây:

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: 9x −5.3x + = ⇔6 0 32x −5.3x + =6 0

Đặt t =3x (t > 0), phương trình trên trở thành:

(nhận so với )
(nhận so với )

2 5 6 0 3 0

2 0

t t

 = >



− + = ⇔  =

>


t = thì 3x = ⇔ =3 x 1 t =2 thì 3x = ⇔ =2 x log 23

Vậy, phương trình đã cho có 2 nghiệm: x = 1 và x =log 23

Câu b:4x−1+2x+1−21=0 4

x

⇔ +2.2x −21= ⇔0 4x +8.2x −84=0

Hướng dẫn: đặt t =2 (x t>0). Đáp số: x=log 62

Câu c: 5 2.52 5 0 5 50 5 0

x x x

x

−

− + = ⇔ − + =

Hướng dẫn: đặt t =5 (x t >0). Đáp số: x=1

Câu d: 6.9x −13.6x +6.4x =0.Chia 2 vế của phương trình cho 4x ta

được:

( )

3 2

( )

4 4 2 2

6⋅ x −13⋅ x + = ⇔ ⋅6 0 6 x −13⋅ x + =6 0

Hướng dẫn: đặt

( )

2 ( 0)

x

t = t > . Đáp số: x = ±1

Bài 3: Giải các phương trình sau đây:

a)log2 x− +4 log2 x− =1 1 b)log5x+log25x =log0,2 3

c) 2

4 8

log x+2 log x +log x=13 d) 3 2

log (x− +2) log (x−4) =0

Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: log2 x− +4 log2 x− =1 1 (1)

Điều kiện: 4 0 4 4

1 0 1

x x

x

x x

 

 − >  >

 ⇔ ⇔ >

 

 − >  >

 

 

. Khi đó,

(1)⇔log2 (x−4)(x−1) = ⇔1 (x−4)(x−1)=2

(x 4)(x 1) 4 x 5x 0 x 0

⇔ − − = ⇔ − = ⇔ = hoặc x =5

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Câu b: log5x+log25x =log0,2 1

3 (2).

Với điều kiện x > 0, 5 2 1

( )

5 5

(2) log x log x log − 3

−

⇔ + =

Đáp số: x = 33

Câu c: 2

4 8

log x+2 log x +log x =13 (3).

Điều kiện: x > 0, khi đó 2 1

2 2 3 2

(3)⇔2 log x+log x + log x =13

Đáp số: x =8

Câu d: 2

3
3

log (x− +2) log (x−4) =0 (4).

Điều kiện: 2 20 2

4
( 4) 0

x x

x
x

 

 − >  >

 

 ⇔

 

 − ≠  ≠

 



(I). Khi đó,
2

3 3

(4)⇔2 log (x− +2) log (x−4) =0

2 2

3 3 3

log (x 2) log (x 4) 0 log (x 2)(x 4) 0

⇔ − + − = ⇔  − −  =

2 ( 2)( 4) 1

( 2)( 4) 1

x x

 − − =



 

⇔ − −  = ⇔ 

− − = −



Đáp số: x = 3 và x = +3 2

Bài 4: Giải các phương trình sau đây:

a) 2

2 2

log x−log x− =6 0 b) 22

4 log x +log x =2

c) 1 2

5 log− x +1 log+ x =1 d) log (52 2 ) 2

x x

− = −

Hướng dẫn giải và đáp số

Câu a: 2

2 2

log x−log x− =6 0 (5)

Điều kiện: x > 0, đặt t=log2x, phương trình đã cho trở thành:

2 6 0 3

t − − = ⇔ =t t hoặc t = −2

Với t =3 thì log2x = ⇔ =3 x 8 (thoả x > 0)

Với t = −2 thì log2x = − ⇔ =2 x 2−2 (thoả x > 0)

Vậy, tập nghiệm của phương trình (5) là: 1

{ ; 8}

S =

Câu b: 2

2 2

4 log x+log x =2 (6)

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

1/2

2 2

2 2 2 2

(6)⇔4 log x +log x = ⇔2 4 log x+2 log x− =2 0

Hướng dẫn: đặt t =log2x. Đáp số: 1

x = và x = 2

Câu e: 1 2

5 log− x +1 log+ x =1 (7)

Điều kiện: x>0; logx ≠ −1 và logx ≠5 (I). Đặt t =logx,

(7) trở thành 1 2

5−t +1+t = ⇔ + +1 1 t 2(5− =t) (5−t)(1+t)

2 5 6 0 3

t t t

⇔ − + = ⇔ = hoặc t =2

Với t =3 thì logx = ⇔ =3 x 1000 (thoả điều kiện (I))

Với t =2 thì logx = ⇔ =2 x 100 (thoả điều kiện (I))

Vậy, tập nghiệm của phương trình (7) là: S ={100;1000}

Bài 5: Giải các bất phương trình sau đây:
a) 76x2+ −3x 7 ≤49 b)

( )

2
7 2

3 9

5 25

x x

− + +

> c)4x −3.2x + <2 0

Bài giải

Câu a: 76x2+ −3x 7 ≤49(8) ⇔76x2+ −3x 7 ≤72 6 2 3 7 2

x x

⇔ + − ≤

6x 3x 9 0

⇔ + − ≤ 3

[ ;1]

x

⇔ ∈ − (giải bằng bảng xét dấu)

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình (8) là S = 3
2

[− ;1]

Câu b:

( )

2 7 2 2 7 2 2

(9)

3 9 3 3

5 25 5 5

x x x x

− + + − + +

> ⇔ > ⇔ − +x2 7x+ <2 2

2 7 0 ( ; 0) (7; )

x x x

⇔ − + < ⇔ ∈ −∞ ∪ +∞ (giải bằng bảng xét dấu)

Vậy, bất phương trình (9) có tập nghiệm: S = (–∞;0)∪(7;+∞)
Câu c: 4x −3.2x + <2 0 (10)

Đặt t =2x(t > 0), (10) trở thành: t2 −3t+ <2 0 với t > 0

Bảng xét dấu: cho t2−3t + = ⇔ =2 0 t 1;t =2

t −∞ 0 1 2 +∞

2 3 2

t − t+ + 0 – 0 +

Như vậy, 1

t
t

 >

 <
 hay

2 1 0

0 1

1
2 2

x
x

x

x
x

 >  >

 

 ⇔ ⇔ < <

 

 <  <

 



</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Bài 6: Giải các bất phương trình sau đây:

a) 2

0,5

log (x −5x+6)≥ −1 b)ln(x2 +2)≥ln(2x2−5x +2)

c) 1 1

3 3

log (2x+4)≤log (x − −x 6)

Bài giải

Câu a: 2

0,5

log (x −5x+6)≥ −1

Điều kiện: x2−5x+ > ⇔ <6 0 x 2 hoặc x >3 (I). Khi đĩ,

2 2 1

0,5

log (x −5x+6)≥ − ⇔1 x −5x+ ≤6 (0, 5)−

2 5 4 0 1 4

x x x

⇔ − + ≤ ⇔ ≤ ≤

Kết hợp với điều kiện (I) ta nhận các giá trị: x∈[1;2) (3; 4]∪

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: S =[1;2) (3; 4]∪

Câu b: ln(x2 +2)≥ln(2x2−5x+2)

Điều kiện:

hiển nhiên

2
2

2 5 2 0

2 0 :

x x

x

 − + >



 + >

 hoặc

2 2

x x

⇔ < > (I)

Khi đó, ln(x2 +2)≥ln(2x2−5x+2)⇔x2 + ≥2 2x2 −5x+2

2 5 0 0 5

x x x

⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤

Kết hợp với điều kiện (I) ta nhận các giá trị: 1
2

[0; ) (2; 5]

x∈ ∪

Vậy, tập nghiệm của bất phương trình là: 1
2

[0; ) (2; 5]

S = ∪

Câu c: 1 1

3 3

log (2x +4)≤log (x − −x 6)

Điều kiện: hoặc

2 6 0 2 3

3
2

2 4 0

x x

x
x

x

 

 − − >  < − >

 

 ⇔ ⇔ >

 

 + >  > −

 



Với điều kiện x > 3 ta có

1 1

3 3

2 2

log (2x +4)≤log (x − −x 6)⇔2x+ ≥4 x − −x 6

2 3 10 0 2 5

x x x

⇔ − − ≤ ⇔ − ≤ ≤

Kết hợp với điều kiện x > 3 ta nhận các giá trị 3< ≤x 5

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Bài 7: Giải các phương trình sau đây:

a) 72x −8.7x + =7 0 b) 2.22x +2x − =1 0

c) 9x −3x − =6 0 d) 25x +2.5x −15=0

e) 22x+1−2x =6 f) 82x −23x −56=0

g) 3x +33−x =12 h) 23−x −2x + =2 0

i) 52x −53 2− x =20 j) 7x +2.71−x − =9 0

k) e2x −4.e−2x =3 l) 6x+1+2.6−x −13=0

m)3.4x −2.6x =9x n) 25x +10x =22x+1

o) 25x +15x =2.9x p) 5.4x +2.25x −7.10x =0

q) e6x −3.e3x + =2 0 r) 24x+1−15.4x − =8 0

s) 52x−1+5.5x =250 t) 32x+1−9.3x + =6 0

u) 22x+6+2x+7 =17 v) 2x−1(2x +3x−1)=9x−1
Bài 8: Giải các phương trình sau đây:

a) 22x+5+22x+3 =12 b) 2x+4 +2x+2 =5x+1+3.5x

c) 32x−1+32x =108 d) 52x +7 .17x =7x +5 .172x

e) 2 .5x x−1 =0, 2.102−x f) 12 5x2+ −5x 11 1 2.4− x =48.32x

g) 8.43x−1 =23x−2 h) 2 .33x x −23x+1.3x−1 =192

i) 3x2−x.2x2− +x 1=72 j) (0, 25)x−1 2 =0,125.162 3− x

Bài 9: Giải các phương trình sau đây:

a) 3.2x +4x+1− =1 0 b) 52x+4 – 110.5x+1 – 75=0

c)

( )

5 7

( )

2 1

1, 5 x− = x+ d)

( )

5
2

2 16

(0, 75) x −x − − −x =0

e) 32x−1+32x =108 f) 16x +22(x+1)−12=0
g) 4.9x +12x −3.16x =0 h) 34x+8 −4.32x+5 +27=0
i) 3 (3x x+1−30)+27=0 j) 23x −22x+1−2x+3 =0
k) 22x+2−9.2x + =2 0 l) 1−3.21−x +23 2− x =0

m)32x −2.31 2−x + =5 0 n) 4.9x +12x −3.16x =0

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

q)

( )

3 2

4. x +2. x − =6 0 r)

(

2+ 3

) (

x + −2 3

)

x =4

s) 2x−1.4x +64x − =5 0 t) 4x −4 .4x x+1+ =3 0
u) 36x −3x+1.2x − =4 0 v) 4x −21−x.4x − =3 0

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT

Bài 10: Giải các phương trình sau đây:

a) log(x2−6x+5)=log(1−x) b) 4 2
2

ln . log (x x −2 )x =3 lnx

c) 1

2
7

log (x +2)+log (8−x)=0 d) 1

2
3

log (x −10)+log (3 )x =0

e) ln(4x− −4) ln(x− =1) lnx f) 2

log (x− =1) log (7−x)

g) log2 x− +2 log (4 x+ =1) 1 h) 1

log (x− −2) log (x−4)=1

i) log (2 x− −1) log (22 x−11)=1 j) log (2 )2 x +log4x =log0,5x

k) log (2 x− −3) log (0,5 x+ =1) 3 l) 5 0,2

log x+log x−log x =2

m)log3x+log9x+log27x =11 n) logx4 +log(4 )x = +2 logx3

Bài 11: Giải các phương trình sau đây

a) 2

5 5

log x−4 log x+ =3 0 b) 2 log22x+log2x− =1 0

c) 2

5 0,2

log x +log x−12=0 d) ln2x−ln( ) 1ex − =0

e) 2

2 0,5

log x+5 log x + =4 0 f) 22 0,5

3 log x−log x =log (2 )x

g) log22x−6 log4 8

( )

x =7 h) 2

0,2 5

log x +5 log x + =6 0

i) log2x−3 logx =logx2−4 j) log (10 )2 x =9 log(0,1. )x
k) log3x+log 9x =3 l) log 27x −3 log3x =8

m)

2 log 2x +log x =5 n) 6

( )

2 log 5 log x 6

x

x− =

Bài 12: Giải các phương trình sau đây

a) 2

3 3

log (x − −x 5)=log (2x+5) b) log (2 x) log (10 3 )x

π

π − = −

c) 4log3x −5.2log3x + =4 0 d) log (10 )2 x −3 logx− =1 0

e) 5

log (x+2)=log (4x+5) f) log (3 )23 x +log3x− =1 0

g) 2

2 0,5

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

i) log 1 log 2 1

log 2 log 1 2

x x

− −

+ − + = j)

2 8

4 16

log log (4 )

log (2 ) log (2 )

x x

x = x

k) 1

3 3

log (3x −1). log (3x+ −3)=6 l) log5x x( +2)=log (5 x +6)

m)log(10 ). log(0,1. ) log 3 3

x x = x −

n) 4 2

log x +4 log x+log (4 )x =12

o) 2 1

4 2 2

log (x−2) + log (3x− =1) 1

p) log2 1 log (2 1)( 4) 2
4

x

x x

x

−  

+  − +  =

BÀI TẬP VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ - LƠGARIT

Bài 13: Giải các bất phương trình sau đây

a)(0, 5)2x2−3x ≥2 b)2x +2−x − <3 0 c)2− +x2 3x <4

d)3x+2 +3x−1 ≤28 e)4x −3.2x + >2 0 f)3x2−x <9

Bài 14: Giải các bất phương trình sau đây

a)22x+6+2x+7 >17 b)52 – 3x – 2.5x−2 ≤3 c)4x >2x +3

d)2.24x – 24x – 42 –2x 15≤ e)5.4x +2.25x ≤7.10x f)4x+1 16− x ≥3

Bài 15: Giải các bất phương trình sau đây
a) log (2 x+5)≤log (3 – 2 ) – 42 x b) 1

log x>log 3 –x

c) 2

8 8 3

2 log (x−2) – log (x−3)> d) 1

3 1

log 1

x
x

− >
+

e) log (4 x+7)>log (1 – )4 x f) log22+log2x ≤0

Bài 16: Giải các bất phương trình sau đây

a) 1 1

2 2

log (5x+10)<log (x +6x+8)

b) log (2 x−3)+log (2 x−2)≤1 c) 1 1

2 2

log (2x+3)>log (3x+1)

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Ph n

Ph n III. NGUYÊN HÀM

III. NGUYÊN HÀM

III. NGUYÊN HÀM ---- TÍCH PHÂN

III. NGUYÊN HÀM

TÍCH PHÂN

TÍCH PHÂN VÀ (NG D*NG

TÍCH PHÂN

VÀ (NG D*NG

1. Định nghĩa nguyên hàm

Hàm số F x( ) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu
( ) ( ),

F x′ =f x ∀ ∈x K

Lưu ý: Các nguyên hàm của f x( ) trên K sai khác nhau 1 hằng số C.

Họ các nguyên hàm của f x( ) trên K ký hiệu là

∫

f x dx( ).
( ). ( )

f x dx =F x +C

∫

2. Bảng công thức nguyên hàm và nguyên hàm mở rộng

1
1
2 2
1. .
( )
1
. ( ) .
1 1

1 1 ln

. ln .

1 1 2

. 2 .

1 1 1 1 1

. .

( )

. .

ax b

x x ax b

dx x C a dx ax C

ax b

x

x dx C ax b dx C

a

ax b

dx x C dx C

x ax b a

ax b

dx x C dx C

a

x ax b

dx C dx C

x a ax b

x ax b

e

e dx e C e dx

a
α
α
α α
α α
+
+
+
+
= + = +
+
= + + = ⋅ +
+ +
+
= + = +
+
+
= + = +
+
= − + = − ⋅ +
+

+
= + =

∫

i i
i i
i i
i i
i i
i i
2 2
2 2
sin( )

cos . sin cos( ).

cos( )

sin . cos sin( ).

tan( )

1 1

. tan .

cos cos ( )

cot( )

1 1

. cot .

sin sin ( )

C

ax b

x dx x C ax b dx C

a

ax b

x dx x C ax b dx C

a

ax b

dx x C dx C

a

x ax b

ax b

dx x C dx C

a

x ax b

+
+
= + + = +
+
= − + + = − +
+
= + = +
+
+
= − + = − +
+

∫

i i
i i
i i
i i

3. Phương pháp tìm nguyên hàm

a) Phương pháp đổi biến:

∫

f t x t x dx ( ) ( ). ′ =F t x( )+C

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

4. Cơng thức tích phân

Với F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn [ ; ]a b thì

( ) ( ) ( ) ( )

b b

a

a f x dx =F x =F b −F a

∫

5. Phương pháp đổi biến số (loại 2):

xét b ( ) . ( ).

a

I =

∫

f t x  ′t x dx

1 Đặt t =t x( )⇒dt =t x dx′( ). (và 1 số biểu thức khác nếu cần)

2 Đổi cận: x = ⇒ =b t t b( )
( )

x = ⇒ =a t t a

3 Thay vào: ( )

( ) ( ).

t b
t a

I =

∫

f t dt và tính tích phân mới này (biến t)

Vài dạng tích phân đổi biến thơng dụng:

Dạng tích phân Cách đặt Đặc điểm nhận dạng

( )
( )

t =lnx lnx

(sin ). cos

f x xdx

∫

t =sinx cos .x dx đi kèm biểu thức theo sinx

(cos ). sin

f x xdx

∫

t =cosx sin .x dx đi kèm biểu thức theo cosx

(tan )
cos

dx

f x

x

⋅

∫

t =tanx

cos

dx
x

đi kèm biểu thức theo tanx

(cot )
sin

dx

f x

x

⋅

∫

t =cotx

sin

dx
x

đi kèm biểu thức theo cotx

( ax).ax

f e e dx

∫

ax

t =e e dxax đi kèm biểu thức theoeax

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

6. Phương pháp tích phân từng phần

e bx dx

∫

, ta đặt

sin .

ax

u e

dv bx dx

 =


 =


(không có )

( ). lnn . ,

f x x dx

dx
x

∫

ta đặt ln

( ).

n

u x

dv f x dx

 =


 =



7. Tính diện tích hình phẳng

Cho hai hàm số y =f x( ) và
( )

y=g x đều liên tục trên đoạn

[ ; ]a b , H là hình phẳng giới hạn

bởi các đường: ( ) :C1 y =f x( ),(C2) :y =g x x( ), =a và x =b

Khi đó, diện tích của hình phẳng H là: b ( ) ( )

a

S =

∫

f x −g x dx

Lưu ý:

Nếu ( )C2 là trục hồnh thì g x( )=0 và b ( )

a

S =

∫

f x dx

Để tính b ( )

a s x dx

∫

ta xét dấu s x( ) trên [ ; ]a b để khử dấu
Nếu s x( )≥ ∀ ∈0, x [ ; ]a b thì b ( ) b ( ).

a s x dx = a s x dx

∫

Nếu s x( )≤ ∀ ∈0, x [ ; ]a b thì b ( ) b ( ).

a s x dx = − a s x dx

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

8. Tính thể tích vật thể trịn xoay

Hình H giớihạn bởi: y =f x( ), Ox, x=a x, =b
Thể tích vật thể do hình H quanh trục hồnh là:

[ ( )]

b
a

V =π

∫

f x dx

Lưu ý:

Cho H là hình phẳng giớihạn bởi các đường:

( )

y= f x , y =g x( ), x =a x, =b a( ≤b)

Nếu f x( ) và g x( ) luôn cùng dấu trên [ ; ]a b thì

thể tích vật thể do H quay quanh trục Ox là: 
2( ) 2( )

b
a

V =π

∫

f x −g x dx

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1: Chứng minh rằng ( ) ln( 2 1)

F x = x+ x + là một nguyên hàm của

hàm số f x( )= x2 +1 trên ℝ
Bài giải
Ta có

2 2

1
2

1 1

2 2 2

( 1)

( ) ( ),

( 1) 1 1

x x

x

x x

F x f x x

x x x x x x

+ +

+
′

+ +

′ = = = = ∀ ∈

+ + + + + +

ℝ
Vậy, F x( )=ln(x+ x2+1) là nguyên hàm của f x( )= x2 +1 trên

ℝ
Bài 2: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) 4 3

x
x

e x

f x

xe

= thoả mãn

điều kiện F(1)=0

Bài giải

Theo giả thiết F x( ) là nguyên hàm của hàm số ( ) 4 3

x
x

e x

f x

xe

= nên

4 3 4

( ) 3 4 ln 3

x

x x

x

e x

F x dx e dx x e C

x
xe

− −

 

+  

∫

 +  = − +

Do F(1)=0 nên 4 ln 1−3e−1+C =0 3 0 3

e C C e

⇔ − + = ⇔ =

Vậy, ( ) 4 ln 3 3

x e

e

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

Bài 3: Tính 3
0 2

∫

Đặt t = x2 + ⇒1 t2 =x2 +1

2 .t dt 2 .x dx t dt. x dx.

⇒ = ⇒ =

Đổi cận: x = 3 ⇒ t =2
0

x = ⇒ t =1

Vậy, 2 2

( )

1 1

3. 3 6 3 3

tdt

A dt t

t

∫

= = − =

Câu b: 2 2

13 . .
x

B x e dx

−

∫

Đặt t =x2 1

dt xdx xdx dt

⇒ = ⇒ =

Đổi cận: x =2 ⇒ t =4
1

x = − ⇒ t =1

Vậy, 4

( )

3 4 3 4 3

2 2 2

1 1
3 .
2
t
t
e dt

B=

∫

= e = e − e

Câu c: 2 2

3 3 2

1 cos sin

sin (1 cos ) (1 cos )

x x

C dx dx

x x x

π π
π π
−
= =
+ +

∫

Đặt t = +1 cosx ⇒dt = −sin .x dx ⇒sin .x dx = −dt

Đổi cận:

x = π ⇒ t =1

x = π ⇒ 3

t =

Vậy,

( )

3
3
2
2
3
2
1
1

2 1 2 1

1
.
t
dt
C dt
t t

= −

∫

= −

(

2 1

)

3 1 3

= − − =

Câu d: 4

2
ln 1
. ln
x
D dx
x x
+

∫

Đặt t lnx dt 1dx

x

= ⇒ =

Đổi cận: x =4 ⇒ t =2 ln 2
2

x = ⇒ t =ln 2

Vậy, ln 4 ln 4

(

)

ln 4

ln 2 ln 2 ln 2

2 2

1 (3 1) ln .

G =

∫

x − x dx

Bài giải

Câu e: 2

0 ( 1) sin

E =

∫

x− xdx

π

Đặt 1

sin cos

u x du dx

dv xdx v x

 

 = −  =
 ⇒
 
 =  = −
 
 
 

Suy ra,

(

)

2 2

(

)

0 0 0

( 1) cos cos 0 1 sin

E = − −x x +

∫

xdx = − − + x

π

π π

1 sin sin 0 0

= − + π − =

Câu f: 2

13 .
x

F x e dx

−

∫

Đặt u 3xx du x3dx

dv e dx v e

 
 =  =
 
 ⇒
 
 =  =
 
 
 

Như vậy,

(

)

2 2 2 1

( )

1 1

3 . x 3 x 6 3 3 x

F x e e dx e e− e

−

− −

= −

∫

= + −

2 3 2 1 2 3 2 3 2 6

6e 3(e e ) 6e 3e 3e

e e e e

−

= + − − = + − + = +

Câu g: 2 2

1 (3 1) ln .

G =

∫

x − x dx Đặt 2

1
ln

(3 1)

u x du dx

x

dv x dx v x x


 
 =  =
 ⇒
 
 = − 
  = −
 

(

)

2 2

(

)

3 2 1 3 4

3 3

1 1

ln ( 1). 6 ln 2 6 ln 2

G = x −x x −

∫

x − dx = − x −x = −

Bài 5: Tính các tích phân sau đây
2

x

H x e dx

x x x

H x e dx xe dx xe dx dx

x

 

 

∫

 −  =

∫

− =

∫

−

∫

Xét 1 2

1 :

x

H =

∫

xe dx Đặt u x x du xdx

dv e dx v e

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

( )

2 2 2

( )

2 2

1 1 1 . 2 1

x x x

H xe e dx e e e e

⇒ = −

∫

= − − =⋯=

Xét 2 2

( )

1 1 2 1 1

H =

∫

dx = x = − =

Vậy, 2

1 2 1

H =H −H =e −

Câu i: 2 2 2 2 2 2

0 ( 1). . 0 0 1.

I =

∫

Vậy, 5 5 7

1 2 3

I =I +I = +

Câu j: 3 22 1 2 12 2 1

1 1 2 2 ln 1

e

et t e t

t t

J = − + dt= t− + dt = − t − 

 

∫

(

2 1

)

(

1 1

)

2 1 3

2 2 ln 2 2 ln 1 1 2 2

e e

e

= − − − − − = − −

sin 0

)

2 2 2 2 2

cos cos 0 0 1

= − π + −π π − − + − = +π

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
a) y=x3−3x+2, trục hoành, x = −1 và x =3

b) y = − −4 x2 và y =2x2−x4

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

Hướng dẫn giải và đáp số
Câu a: Xét

( ) 3 2

( ) ( ) 3 2

( ) 0

f x x x

f x g x x x

g x

 = − +

 ⇒ − = − +

 =



Diện tích cần tìm là 2 3

1 3 2

S x x dx

−

∫

− +

Bảng xét dấu của x3−3x+2 trên đoạn [ 1;2]−

x −1 1 2

3 3 2

x − x+ + 0 +

Vậy, 2

(

)

1 3 2

S x x dx

−

∫

− +

(

4 3 2

)

2 21

4 2 2 1 4

x x x

−

= − + =

Câu b: Xét

4 2

2 4

( ) 4

( ) ( ) 3 4

( ) 2

f x x

f x g x x x

g x x x

 = − −

 ⇒ − = − −

 = −



Cho x4−3x2 − =4 0 ⇔⋯⇔ = ±x 2
Diện tích cần tìm là 2 4 2

2 3 4

S x x dx

−

∫

− −

Bảng xét dấu của x4−3x2 −4 trên đoạn [ 2;2]−

x −2 2

4 3 2 4

x − x − −

(

)

2 4 2 1 5 3 96

5 5

2( 3 4) 4 2

S x x dx x x x

− −

⇒ = −

∫

− − = − − − =

Câu c: HD: viết phương trình tiếp tuyến thoả đề (đáp số: y = +x 2)

Xét

( ) 2

( ) ( ) 3 2
( ) 2

f x x x

f x g x x x

g x x

 = −

 ⇒ − = − −

 = +



Cho x3−3x− = ⇔ = −2 0 x 1 hoặc x =2
Diện tích cần tìm là: 2 3

1 3 2

S x x dx

−

∫

− −

Bảng xét dấu của x3−3x−2 trên đoạn [ 1;2]−

x −1 2

3 3 2

x − x− −

(

)

2 3 1 4 3 2 27

4 2 4

1( 3 2) 2 1

S x x dx x x x

− −

= −

∫

− − = − − − =

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

Câu d: Xét

3 2

( )

( ) ( ) 2

( )

f x x x

f x g x x x x

g x x x

 = −

 ⇒ − = + −

 = −



Cho x3 +x2−2x = ⇔ = −0 x 2;x =0;x =1. 
Diện tích cần tìm là 1 3 2

2 2

S x x x dx

−

∫

+ −

HD: xét dấu 3 2 2

x +x − x và đưa đến công thức

0 3 2 1 3 2

2( 2 ) 0 ( 2 )

S x x x dx x x x dx

−

∫

+ − −

∫

+ −

(

)

(

)

4 3 2 4 3 2 37

1 1 1 1

4x 3x x −2 4x 3x x 0 12

= + − − + − =

Bài 7: Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh ra khi quay hình (H) quanh
trục Ox biết (H) giới hạn bởi:y=sinx,Ox,x =0 và 3

x = π

Bài giải
Ta có, f x( )=sinx. Xét đoạn [ 3 ]

0; π

Thể tích cần tìm là:

2 2

0 (sin )

V x dx

π
π

∫

3 3 3

2 2 2 2

0 0 0

1 cos 2 1 cos 2
sin

2 2 2

x x

V xdx dx dx

π π π
π π − π  
=

∫

 − 

(

)

(

)

3
2
2

1 1 3 1 3

2x 4sin 2x 0 4 4sin 3 .0 4
π

π π

π π π π

= − = − − =

BÀI TẬP VỀ TÍCH PHÂN 
Bài 8: Tính các tích phân sau đây

a) 1 2

0 x.(2x−1)dx

∫

b) ln 2

0 (3. 5)

x x

e e− − dx

∫

c) 1 3

1(2 3 )x dx

− −

∫

d) 2

1 tet t
dt
t

+ −

∫

e) 2

(1 ) x
x

x e x

dx
xe

+ −

∫

f) 3 2

3t t 2

dt
t

+ −

∫

j) 4

cos 4 . cos 3x xdx

π
π

∫

k) 6

sin 3 . sin .t t dt

π
π
−

∫

l) 4 2

tan

xdx

π

∫

m) 1 2

0 1 cos .

x
x e
e dx
x
−
 
 
 + 
 
 

∫

n)
2 1
ln 2
0
1
x
x
e
dx
e

+ +

∫

o) 2

0 1−x dx

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

p) 2 3
1

2t 5 t
dt
t

−

∫

q) 2 2

b) 2 2

g) 2
0
sin .
8 cos 1

x dx
x

π

∫

h) 19

0 3 2

3
8

xdx

x +

∫

i) 2

1
1 ln
e x
dx
x
+

∫

j) 1 1

(1 ln )

e

dx

x − x

∫

k)

1 . 4 ln

e dx

x − x

∫

l) 1 ln .

.(ln 3)

e

e x dx

x x+

∫

m) 1 2012

0 x x( −1) dx

∫

n) 1 2

0 x x +1dx

∫

o) 7 3

0 x. x+1dx

∫

p) 2

sin x. cos .x dx

π
π
−

∫

q)

0 sin 2

. cos 2

x

e xdx

π
−

∫

r) 0

5x 4 x dx.

b) 1

0 (2 1)
x
x− e dx

m)

1 2 .(ln 1)
e

x x− dx

∫

n) 3

2 2 ln(x x−1)dx

∫

o) 2 2

lnxdx
x

∫

p) 3 2 2

0 ( 1).
x

x + e dx

∫

q) 4

0 sin
x

e xdx

π

∫

r) 4

1
x
e dx

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Bài 11: Tính các tích phân sau đây

a) 1

0 (3. 5 )

x x

e e− − x dx

∫

b)

(

)

0 x x cosx dx

π

∫

c) 2 2

0 ( )

x
x x +e dx

∫

d) 2
1
ln
x x
dx
x
+

∫

e) 4

1
x
x e

dx
x
+

∫

f) 2

1 ln

e x x

dx
x

∫

g)

(

)

1 ln 1

e

x x+ dx

∫

h) 4

0 (x cos ) sinx xdx

π
+

∫

i) 2

1 ( 2 )

x

Bài 12: Tính các tích phân sau đây

1) 0

(

2 1

)

1 x

x
e

e dx

− −

∫

2) 2

1 ( 1)

dx
x x+

∫

3) 6

cos
2 sin 1

xdx
x
π
+

∫

4) 1

0 3x+1.dx

∫

14) 2

0
cos sin
1 cos
x x
dx
x
π −
+

18)

0 2 sinx xdx

π

∫

19) 3
4
3
0

cos sin
cos
x x
dx
x
π +

∫

20)
2
1 (ln 1)

e dx

x x+

∫

21)

ln .
(ln 2)

e x dx

x x+

∫

22) 2 2

0 sin 2 . sinx x dx.

π

∫

23) 2 2

0 sin x. cos xdx

π

∫

24) 1

0 (4 1)
x
x+ e dx

∫

25)

2
1

ln 1

ex x

dx
x

∫

26) 2

sin 2 .
1 cos

x dx
x

π
+

∫

27) 2

sin 2 .
3 sin 1

x dx
x

π

∫

28) 0 (1 cos ) cos .x x dx

π

− −

∫

29) 2

(

)

0 x− 4x+1 dx

∫

)

9 1

y = x−

j) ( ) :C xy = +1 x x, =1 và tiếp tuyến với ( )C tại điểm

( )

2; .

k) 3 1, , 0

x

y Ox x

x

= =

−

l) ln , 1,

e

y= x x = x =e và trục hoành.

m)y x 1 lnx

x

= − + , y = −x 1 và x =e

Bài 14: Tính thể tích các vật thể trịn xoay khi quay các hình phẳng giới
hạn bởi các đường sau đây quanh trục ∆ kèm theo

a) y =x2−4 ,x trục hoành, x =0,x =3 (∆ là trục hoành)
b) y =cos ,x trục hoành, x =0,x =π (∆ là trục hoành)
c) y =tan ,x trục hoành,

x = x= π (∆ là trục hoành)

d) y=ex x, trục hoành và x =1 (∆ là trục hoành)

e) 2 ,

y

x

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

BÀI TẬP VỀ NGUYÊN HÀM

Bài 15: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số

1 2

( ) x

f x

x

= thỏa mãn điều
kiện F( 1)− =3

.

Bài 16: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=x(2−x)2 thỏa mãn

điều kiện F( 1)− =3.

Bài 17: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số

(1 2 )

( ) x

f x

x

−

= thỏa mãn

điều kiện F( 1)− =1.

Bài 18: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=cos (2x −3 tan )x biết

rằng F( )π =1

Bài 19: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số f x( )=(4x+1)ex thỏa mãn 
điều kiện F(1)= −e.

Bài 20: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số

1 ln

( ) x

f x

x

= thỏa mãn

điều kiện F e( )=0.

Bài 21: Tìm nguyên hàm F x( ) của hàm số ( ) (1 ln )

x

x x e

x

f x = + thỏa mãn

điều kiện F(1)= −e.

Bài 22: Chứng minh rằng hàm số F x( )=e xx( 2 +1) là một nguyên hàm 
của hàm số ( ) x( 1)2

f x =e x+ trên ℝ.

Bài 23

:

Chứng minh rằng hàm số F x( )=xlnx− +x 3 là một nguyên

hàm của hàm số f x( )=lnx trên ℝ+.

Bài 24: Chứng minh rằng F x( )=sin4x +cos4x và ( ) 1 cos 4

x

G x = − là

nguyên hàm của cùng một hàm số với mọi x thuộc ℝ

Bài 25: Tìm giá trị của tham số m để F x( )=mx3+(3m+2)x2−4x+3
là một nguyên hàm của hàm số f x( )=3x2 +10x−4 trên

ℝ
Bài 26: Tìm a,b và c để F x( )=(ax2 +bx +c e) x là một nguyên hàm của

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Ph n

Ph n IV. S PH(C

IV. S PH(C

1. Các khái niệm và phép toán liên quan đến số phức

Đơn vị ảo i: 2 1

i = −

i i i3 = −i ii4 =1

Số phức z = +a bi là số có phần thực là a ∈ℝ và phần ảo b∈ℝ
Môđun của số phức z = +a bi là: z = a2 +b2

Số phức liên hợp của số phức z = +a bi là: z = −a bi

Hai số phức bằng nhau: a bi c di a c

b d

 =


+ = + ⇔  =



Phép cộng hai số phức: (a +bi)+ +(c di)=(a+ + +c) (b d i)

Phép trừ hai số phức: (a +bi) (− +c di)=(a− + −c) (b d i)

Phép nhân hai số phức: (a +bi).(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc i)

Phép chia hai số phức: 1 1 2
2 2 2

.
.

z z z

z =z z (nhân cả tử lẫn mẫu cho z2)

Số phức nghịch đảo của z là: 1

z

z = z z

Mỗi số thực a âm có 2 căn bậc hai phức là: ± a i.

Chú ý:số phức chỉ có phần ảo (phần thực bằng 0) gọi là số thuần ảo

2. Giải phương trình bậc hai hệ số thực (

∆

< 0) trên tập số phức

Cho phương trình bậc hai az2 +bz + =c 0 ( , ,a b c∈ vaø a ≠0)
ℝ

Tính ∆ =b2−4ac và ghi kết quả dưới dạng ( ∆. )i 2
Kết luận phương trình có 2 nghiệm phức:

z =

b i

a

− − ∆ và 
2

z =

b i
a

− + ∆
Lưu ý:

Chỉ được dùng công thức nghiệm nêu trên khi ∆ < 0

Trường hợp ∆ ≥0 ta giải pt bậc hai trên tập số thực (như trước).
Khi giải phương trình trùng phương trên C, ta đặt t =z2(không cần

điều kiện cho t)

Nếu dùng biệt thức ∆′ thì cơng thức tìm hai nghiệm phức là
1

z = b i

a

′ ′

− − ∆ và

z = b i

a

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1: Thực hiện các phép tính

a)(2+4 )(3i −5 )i +7(4−3 )i b)(3−4 )i 2 c) 2
3 2

i
i

+
+
Bài giải

Câu a: (2+4 )(3i −5 )i +7(4−3 )i = −6 10i+12i−20i2 +28−21i

6 10i 12i 20 28 21i 54 19i

= − + + + − = −

Câu b: (3−4 )i 2 = −9 24i+16i2 = −9 24i−16= − −7 24i

Câu c: 2 (2 )(3 2 ) 6 42 3 222 62 2 8 1

3 2 (3 2 )(3 2 ) 3 4 3 4 13 13

i i

i i i i i

+ −

+ − + − − +

+ = + − = − = + = −

Bài 2: Tìm mơđun của số phức sau đây

a)z = +3 2i+(1+i)2 b) 3

(1 )(2 )

i

i i

z +

+ −

Bài giải

Câu a: z = +3 2i+(1+i)2 = +3 2i+ +1 2i+i2 = +3 2i+ + −1 2i 1

2 2 2 2

3 4 3 4 5

z i z a b

⇒ = + ⇒ = + = + =

Câu b: 3 3 2 3 3

(1 )(2 ) 2 2 2 2 1 3 1 1

i i i i

i i i i i i i i

z + + + + z

+ − − + − − + + +

= = = = = ⇒ =

Bài 3: Tìm số phức nghịch đảo của số phức:z= −(1 i) (22 +i)
Bài giải

2 2 2

(1 ) (2 ) (1 2 )(2 ) ( 2 )(2 ) 4 2 2 4

z = −i + = − +i i i + = −i i + = − −i i i = − i

Suy ra

2 4 2 4 2 4

1 1 1 1

2 4 (2 4 )(2 4 ) 4 16 20 10 5

i i i

z i i i i i

+ + +

− − + −

= = = = = +

Bài 4: Giải phương trình sau trên tập số phức: 2iz+ =3 5z+4i

Bài giải

2iz+ =3 5z+4i ⇔5z−2iz = −3 4i ⇔(5−2 )i z = −3 4i

2
2 2

(3 4 )(5 2 ) 15 6 20 8

3 4 23 14

5 2 (5 2 )(5 2 ) 5 4 29 29

i i i i i

i

i i i i

z − − + + − − i

− − + −

⇔ = = = = −

Bài 5: Giải các phương trình sau đây trên tập số phức:

a)− + − =z2 z 2 0 b) z4 +2z2 –3=0 c)z3 + =1 0
Bài giải

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Ta có, 12 4.1.2 7 0 ( 7. )2

i

∆ = − = − < ⇒ ∆ =

Vậy, phương trình (1) có 2 nghiệm phức phân biệt

1 7 1 7

1 2 i 2 2

z = − = − i và 1 7 1 7

2 2 i 2 2

z = + = + i

Câu b: z4 +2z2 –3=0 (2)

Đặt t =z2, phương trình (2) trở thành:

2 3

2 – 0 1

t

t t

t

 =


+ = ⇔  = −

 . Từ đó,

2
2

1
1

3.
3

z
z

z i

z

 =  = ±

 ⇔

 = −  = ±

 



Vậy, phương trình (2) có 4 nghiệm phức phân biệt :

1 1, 2 1, 3 3.

z = z = − z = i và z4 = − 3.i

Câu c: 3 (3) 2

2 (*)

1 0 ( 1)( 1) 0

1 0

z

z z z z

z z

 = −


+ = ⇔ + − + = ⇔ 

− + =


Giải (*) : ta có ∆ = −( 1)2−4.1.1= − < ⇒ ∆ =3 0 ( 3 )i 2

(*) có 2 nghiệm phức phân biệt: 1 3
1 2 i

z = +

;

2 1 3

i

z = −

Vậy, phương trình (3) có 3 nghiệm phức phân biệt

1 1

z = − , 2 1 3

2 2

z = + i và 3 1 3

2 2

z = − i

Bài 6: Tìm mơđun của số phức z biết:

a) 3iz+(3−i)(1+ =i) 2 b)iz+5z =11 17− i

Bài giải

Câu a: 3iz+(3−i)(1+ = ⇔i) 2 3iz + +3 3i− −i i2 =2

3iz 3 3i i 1 2 3iz 2 2i

⇔ + + − + = ⇔ = − − 2 2

i
i

z − −

⇔ =
2 2

3 3

z i

⇒ = − + ⇒ z = a2 +b2 =

( ) ( )

2 2 2 2 2 2

3 3 3

− + =

Câu b: Với z = +a bi a b( , ∈ℝ) ta có z = −a bi, do đó

5 11 17 ( ) 5( ) 11 17

iz + z = − i ⇔i a+bi + a−bi = − i

2 5 5 11 17 (5 ) ( 5 ) 11 17

ia bi a bi i a b a b i i

⇔ + + − = − ⇔ − + − = −

2 2

5 11 3

3 4 3 4 5

5 17 4

a b a

z i z

a b b

 

 − =  =

 

⇔ − = − ⇔ = ⇒ = + ⇒ = + =

 

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

III. BÀI TẬP VỀ SỐ PHỨC 
Bài 7: Thực hiện các phép tính

a) (1+i)2 b) (3−4 )i 2 c) ( 2− +i)2 d)(2+3 )i 3
e) (1− 3 )i 3 f) (1−i)2012 g) (1+i)2012 h)(1− 3 )i 2012
i) 2 3

i
i

+ j) 4 21

i

− −

− + k)

2 4i
i

+ l) 1

2−i

m)
2
1
1
i
i
 − 
 
 

 +  n)

5
1
1
i
i

 + 
 
 
 
 −

  o) 2

(2−i) p)

(2 1)
1
i i
i
−
+
Bài 8: Xác định phần thực, phần ảo và môđun của các số phức sau đây:

a)(2+4 )(3i −5 )i +7(4−3 )i b)(1−4 )(2i +3 )i − − −5( 1 3 )i

c)(1−2 )i 2 − −(2 3 )(3i +2 )i d)(2−3 )i 2− −(1 3 )(5i +2 )i
e)(1+ 2 )i 2 + −(1 2 )i 2 f)(1+ 3 )i 2 − −(1 3 )i 2
g)(4+5 ) (4i − +3 )i 5 h)(5− − +i) (2 7 )i 3

i) (2 ) (1 )(4 3 )

3 2

i i i

i

+ + + −

+ j)

(2 ) (1 )(1 3 )
3 9

i i i

i

+ − − −

−
k) (3 4 )(1 2 ) 4 3

1 2
i i
i
i
− + + −
− l)

(2 3 )(1 2 )

(2 4 )

1
i i
i
i
+ − + −
+
Bài 9: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 3z + − = +8 i 5 4i b) 2iz+(2 – )i 2 = +2 3i

c) (3−i z) =(1+i)(4−2 )i d) (1+i z) +(1 – )i 2 = −2 3i

e) 2 1 3

1 2
i i
z
i i
+ − +
=

− + f)

2 1 3

1 2 2

i i
z
i i

+ − −
=
+ +

g) (2−i z) + = +i 3 2i h)2 .i z − =1 5.z −2i

i) 2iz+ =3 5z +4i j) z−3 .i z = −5 3i

k) z+2z = +6 2i l) iz+3z = +7 5i

m)3z +2z = +5 2i n)i z. +2z = −2 5i

Bài 10: Tính z+i z. , biết rằng: a)z =(1+ 2. )i 2 b)

3
4
(1 )
(1 )
i
i
z +
−
=
Bài 11: Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây:

a) z = −3 4i b) z =(4+i)(2−3 )i c)z =i(2−i)2

Bài 12: Cho z1 = +2 3 ,i z2 = +1 i. Tính 2
1. 2

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Bài 13: Cho z = +2 3i. Tìm phần thực, phần ảo và mơđun của 7
5

z i

iz

+
+

Bài 14: Cho z1 =

(

)

3
3
1
2 i 2

− + và z2 =

(

)

3
3
1

2+i 2 . Tính z z1. 2
Bài 15: Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 2 2 0

z + = b) 4z2 + =9 0 c) z2 –4z+ =8 0

d) 2z2 +2z+ =5 0 e) z2+2z+17=0 f) z2−3z+ =3 0

g) 3 4 0

z + z = h) z3 +7z =4z2 i) z3 + =8 0

j) z4 +2z2 –3=0 k) 2z4 +3z2 − =5 0 l) 9z4−16=0
m)2z2 +4z + =9 0 n) 2z2 +5z − =3 0 o) 2 4 11 0

z + z − =

Bài 16: Cho z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình 5z2−2z+ =1 0
Chứng minh rằng tổng nghịch đảo của z1 và z2 bằng 2.

Bài 17: Cho z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình z2−4z+ =5 0
Chứng minh rằng 2 2

1 2 6

z +z =

Bài 18: Cho z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình 5z2−2z+ =2 0
Chứng minh rằng z1+z2 =z z1. 2

Bài 19: Cho z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z2−2z+ =4 0
Tính giá trị biểu thức A=z1+z2 +z z1 2.

Bài 20: Cho z z1, 2 là hai nghiệm phức của phương trình 3z2−2z+ =1 0

và z2 có phần ảo là một số âm. Tính z1 +2z2

Bài 21: Tìm số phức z có phần thực và phần ảo bằng nhau và z =2 2

Bài 22: Cho hai số phức z =m+(m−1)i và z′ =2n+ −(2 3 )n i, với

m n ∈ℝ. Tìm z và z′ biết rằng z+z′= +1 7i.

Bài 23: Cho số phức z =m+(m+1) ,i m∈ℝ. Tìm z biết rằng z =5.

Bài 24: Cho số phức z =(m− +1) (m+1) ,i m ∈ℝ. Tìm z biết z z. =10.

Bài 25: Cho số phức z =2m+(m+2) ,i m ∈ℝ. Tìm z biết rằng z2 là 
một số phức có phần thực bằng −5.

Bài 26: Giải các phương trình sau đây trên tập các số phức

a)5(z−1)(z + +1) 2(4z+5)=0 b)2(2z−1)2 +z(17z+6)=0

Bài 27: Tìm tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z trên mp phức biết

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Ph n V.

Ph n V. Ph n V.

Ph n V. PHPHPHPH NG PHÁP TO+ Đ-NG PHÁP TO+ Đ-NG PHÁP TO+ Đ-NG PHÁP TO+ Đ- TRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIANTRONG KHÔNG GIAN

1. Hệ toạ độ

Oxyz

Gồm 3 trục Ox,Oy,Oz đơi một vng góc nhau
có véctơ đơn vị lần lượt là: i j k, ,

2. Toạ độ của điểm

a) Định nghĩa

( M; M; M) M. M. M.

M x y z ⇔OM =x i +y j +z k

b) Toạ độ của các điểm đặc biệt

Trung điểm I của đoạn AB Trọng tâm G của tam giác ABC

2
2
2

A B

I

A B

I

A B

I

x x

x

y y

y

z z

z

 +

 =




 +

 =


 +

 =


3
3
3

A B C

G

A B C

G

A B C

G

x x x

x

y y y

y

z z z

z

 + +

 =




 + +

 =


 + +

 =



Hình chiếu vng góc của điểm M x( M;yM;zM) lên:

Trục Ox :

M x

1

(

M

; 0; 0)

a) Định nghĩa: a =( ; ; )a a a1 2 3 ⇔ =a a i1. +a j2. +a k3.

b) Công thức toạ độ của véctơ

Nếu A x( ;A y zA; A), ( ;B xB yB;zB) thì AB=(xB −xA;yB −y zA; B −zA)

Nếu a =( ; ; )a a a1 2 3 , b =( ; ; )b b b1 2 3 thì

1 1 2 2 3 3

( ; ; )

a + =b a +b a +b a +b

1 1 2 2 3 3

( ; ; )

a − =b a −b a −b a −b

1 2 3

. ( ; ; )

k a = ka ka ka , k∈ℝ
c) Điều kiện cùng phương của hai véctơ

Cho a =( ; ; )a a a1 2 3 , b =( ; ; )b b b1 2 3 và b ≠0. Khi đó,

a cùng phương với b ⇔ tồn tại số thực t sao cho a =t b.

1 1

2 2

3 3

a b

a b a b

a b

 =



= ⇔ =

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

4. Tích vô hướng của hai véctơ

a) Công thức: Nếu 1 2 3
1 2 3

( ; ; )
( ; ; )

a a a a

b b b b

 =

 =

 thì a b. =a b1 1. +a b2 2. +a b3 3.

b) Ứng dụng: 2 2 2

1 2 3

a = a +a +a AB = AB

.
cos( , )

a b
a b

a b

= a ⊥ ⇔b a b. =0, với 0

a
b

 ≠

 ≠


5. Tích có hướng của hai véctơ

a) Định nghĩa

Cho 1 2 3

1 2 3

( ; ; )
( ; ; )

a a a a

b b b b

 =

 =

 . Khi đó, véctơ [ ]

2 3 1 3 1 2

, a a ; a a ;a a

a b

b b b b b b

 

 



= − 



 

được gọi là tích có hướng của hai véctơ a và b .

b) Lưu ý:Nếu n =[ , ]a b thì n ⊥a và n ⊥b (giả sử a ≠0,b ≠0,n ≠0)

c) Ứng dụng 1: Cho ba véctơ khác 0 lần lượt là a b c, , . Khi đó,

a và b cùng phương với nhau ⇔[ , ]a b =0
,

a b và c đồng phẳng với nhau ⇔[ , ].a b c =0

A,B,C thẳng hàng ⇔[AB BC, ]=0

A,B,C,D đồng phẳng ⇔[AB AC AD, ]. =0

d) Ứng dụng 2: (tính diện tích)

Diện tích hình bình hành ABCD

[ , ]

ABCD

S = AB AD

Diện tích tam giác ABC:
ABC

S∆ 1

2 [AB AC, ]

e)Ứng dụng 3: (tính thể tích)

Thể tích khối hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′
[ , ].

hh

V = AB AD AA′

Thể tích khối tứ diện ABCD:
ABCD

V = 1

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 1: Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k cho OA=2i + −j 3k,

4 3 2 , (2; 7;1)

OB = i + j − k BC = − và A′(4;1; 7)−

a) Chứng minh rằng A,B,C là 3 đỉnh của một tam giác vng.
b) Chứng minh rằng AA′ ⊥(ABC)

c) Tính thể tích khối tứ diện A ABC′ .

d) Xác định toạ độ các đỉnh cịn lại của hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′

Bài giải

Từ giả thiết ta có A(2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1),− B − C − − A′(4;1; 7)−

Câu a: (2;2;1) . 8 10 2 0

(4; 5;2)

AB

AB AC AB AC

AC

 =

 ⇒ = − + = ⇒ ⊥

 = −



Vậy, ABC là tam giác vuông tại A

Câu b: Ta có, AA′ =(2; 0; 4)− và AB =(2;2;1),AC =(4; 5;2)−

Do đó, . 2.2 0.2 4.1 0

. 2.4 0.( 5) 4.2 0

AA AB
AA AC

 ′ = + − =



 ′ = + − − =



( )

AA AB

AA ABC

AA AC

 ′

 ⊥

 ′

⇒ ′⊥ ⇒ ⊥


Câu c:

2 2 2

2 2 1 3

4 ( 5) 2 3 5

AB
AC

 = + + =



 = + − + =



. 9 5

2 2

ABC

AB AC
S∆

⇒ = =

2 2 2

2 0 ( 4) 2 5

h =AA′= + + − =

Vậy, 1 1 9 5.2 5

3 3 . 3.2 15

A ABC ABC

V ′ = B.h = S∆ AA′= =

Câu d: ABCD là hình bình hành ⇔AD =BC

2 2 4

1 7 6. (4; 6; 2)

3 1 2

D D

x x

y y D

z z

 

 − =  =

 

⇔ − = − ⇔ = − − −

 

 + =  = −

 

 

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

BÀI TẬP VỀ TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM, TOẠ ĐỘ CỦA VÉCTƠ

Bài 2: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 1), (3;2; 3), ( 1;1;1)− B C −

a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác.
b) Xác định toạ độ đỉnh D và tâm I của hình bình hành ABCD.
c) Tìm toạ độ điểm M sao cho AM =2OB−AC

Bài 3: Trong hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(2;2; 1), (2;1; 0), (1;1; 1)− B C −

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác đều.

b) Cho điểm A′(4; 0; 3)− . Xác định toạ độ các điểm B′ và C′ để

ABC A B C′ ′ ′ là một hình lăng trụ.

c) Chứng minh rằng ABC A B C. ′ ′ ′ là một lăng trụ đều.

Bài 4: Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k cho OM =3i −2j +3k và A,B,C lần

lượt là hình chiếu vng góc của M lên các trục toạ độ Ox,Oy,Oz.
a) Chứng minh rằng ABC là tam giác cân.

b) Tính thể tích tứ diện OABC, từ đó tính khoảng cách từ gốc toạ
độ đến mặt phẳng (ABC)

Bài 5: Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k cho ON =3i −2j +3k và A,B,C lần

lượt là hình chiếu vng góc của điểm N lên các mặt phẳng toạ độ
Oxy, Oyz, Oxz.

a) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích của tứ diện NABC.
b) Tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (ABC)

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, chứng minh rằng

O

(0; 0; 0)

,
A(0;1;2),B(2;3;1),C(2;2;–1) là bốn đỉnh của một hình chữ nhật.
Bài 7: Trong hệ toạ độ ( , , , )O i j k cho tứ diện ABCD sao cho

(2; 4; 1), 4 , (2; 4; 3), (0; 2; 0)

A − OB = +i j −k C AD= −

a) Chứng minh rằng AB, AC và AD đơi một vng góc với nhau.
b) Tính diện tích tam giác ABC và thể tích tứ diện ABCD.

Bài 8: Trong hệ toạ độ Oxyz cho A(2;1; 3), (4; 3; 2), (6; 4; 1)− B − C − −

a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác vng.
b) Tìm toạ độ điểm D để A,B,C,D là 4 đỉnh của một hình chữ nhật
Bài 9: Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hình hộp ABCD A B C D. ′ ′ ′ ′ biết

rằng A(2; 4; 1), (1; 4; 1), (2; 4; 3),− B − C OA′=(2;2; 1)−

Bài 10:Tìm điểm N trên Oy cách đều hai điểm A(3;1; 0) và B( 2; 4;1)−

Bài 11:Tìm điểm M trên mặt phẳng (Oxz) cách đều ba điểm A(1;1;1),
( 1;1; 0)

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

6. Phương trình mặt cầu

a) Dạng 1: mặt cầu ( )S tâm I(a;b;c), bán kính R có phương trình:

( ) ( )

2 2 2 2

( – )x a + y –b + z –c =R

b) Dạng 2: với điều kiện a2 +b2 +c2 − >d 0 thì

2 2 2 – 2 – 2 – 2 0

x +y +z ax by cz+ =d

là phương trình mặt cầu Tâm I(a;b;c)

Bán kính 2 2 2

R= a +b +c −d

c) Điều kiện tiếp xúc của mặt cầu S(I,R) với mp(P): d I P( ,( ))=R

7. Phương trình tổng quát của mặt phẳng

a) Định nghĩa: véctơ pháp tuyến của một mặt phẳng là véctơ khác véctơ

0 có giá vng góc với mặt phẳng đó.

b) Cơng thức: Nếu mặt phẳng ( )P đi qua điểm M x y z0( ; ; )0 0 0 và có véctơ

pháp tuyến n =( ; ; )A B C ≠0 thì ( )P có phương trình tổng quát là:

0 0 0

( ) ( ) ( ) 0

A x −x +B y−y +C z−z =

c) Một số lưu ý:

☺Mặt phẳng ( ) :P Ax +By+Cz+D =0 có vtpt n =( ; ; )A B C

☺Nếu mặt phẳng ( )P song song hoặc chứa giá của hai véctơ không

cùng phương a và b thì ( )P có véctơ pháp tuyến n =[ , ]a b .

☺Cho trước mặt phẳng ( ) :Q Ax +By+Cz+D =0. Nếu ( )€( )P Q
thì ( )P có phương trình dạng Ax+By+Cz+D′=0 (D′ ≠D)
d) Cách xác định véctơ pháp tuyến cho mặt phẳng

Nếu ( )P ⊥AB thì ( )P có vtpt n =AB

Đường thẳng d có vtcp ud. Nếu ( )P ⊥d thì ( )P có vtpt n =ud

Mặt phẳng trung trực của đoạn MN có vtpt n =MN

Cho mặt cầu ( )S tâm I. Nếu mặt phẳng ( )P

tiếp xúc với ( )S tại H thì mặt phẳng ( )P có

véctơ pháp tuyến n =IH

Hình 1 Hình 2 Hình 3

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

Mặt phẳng (ABC) có véctơ pháp tuyến n =[AB BC, ]

Cho d và d′chéo nhau có vtcp lần lượt là udvà ud′. Nếu ( )P chứa d

và song song với d′thì ( )P có vtpt n =[ ,u ud d′]

Cho đường thẳng d có vtcp ud và mặt phẳng ( )Q có vtpt nQ khơng

vng góc với d. Nếu ( )P chứa d và vng góc với ( )Q thì ( )P có

véctơ pháp tuyến n =[ ,u nd Q]

Cho ( )α và ( )β cắt nhau có vtpt lần lượt là

nαvà nβ. Nếu ( )P vng góc với cả ( )α lẫn

( )β thì ( )P có vtpt n =[ ,n nα β]

e) Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn

Mặt phẳng ( )P đi qua ba điểm phân biệt A a( ; 0; 0),
(0; ; 0), (0; 0; )

B b C c với abc≠0 có phương trình

x y z 1

a + + =b c

f) Khoảng cách từ điểm Mo đến mặt phẳng (P)

( ,( ))

d M P = 0 0 0

2 2 2

Ax By Cz D

A B C

+ + +

+ +

8. Phương trình của đường thẳng

a) Định nghĩa: véctơ chỉ phương (vtcp) của một đường thẳng là véctơ
khác véctơ 0 có giá song song hoặc trùng với đường thẳng đó.
b) Phương trình của đường thẳng

Cho đường thẳng d đi qua điểmM x y z0( ; ; )0 0 0 và có vtcp u =( ; ; )a b c

Phương trình tham số của d:

0
0
0

( )

x x at

y y bt t

z z ct

 = +



 = + ∈



 = +


ℝ

Phương trình chính tắc của d: x x0 y y0 z z0

a b c

− − −

= = (với abc≠0)

Hình 5 Hình 6 Hình 7

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

c) Cách xác định véctơ chỉ phương cho đường thẳng d

Hình 1 Hình 2 Hình 3

d đi qua 2 điểm A và B phân biệt thì d có vtcp u =AB

Cho đường thẳng ∆ có vtcp u∆. Nếu d€∆ thì d có vtcp u =u∆

Cho mặt phẳng ( )P có vtpt nP. Nếu d⊥(P) thì d có vtcp u =nP

Hình 4 Hình 5 Hình 6

Cho hai véctơ không cùng phương a và b . Nếu d vng góc với giá

của 2 véctơ a và b thì d có vtcp u =[ , ]a b

Cho đường thẳng ∆ có vtcp u∆và mặt phẳng ( )P có vtpt nP.Nếu
d song song với ( )P và vng góc với ∆ thì d có vtcp u =[nP,u∆]

Cho hai mặt phẳng ( )P và ( )Q lần lượt có vtpt nP và nQ.

Nếu d là giao tuyến của ( )P và ( )Q thì d có vtcp u =[nP,nQ]

Cho hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có vtcp u1 và u2 khơng

cùng phương. Nếu d vng góc với d1và d2 thì d có vtcp u =[ ,u u1 2]

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 12: Cho A(1;3;1), B(2;1;2), C(0;2; –6) và ( ) :P x−2y+2z+ =1 0

a) Viết phương trình mặt cầu tâm B, đi qua A

b) Viết phương trình mặt cầu đường kính BC.

c) Viết phương trình mặt cầu tâm C, tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

d) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài giải

Câu a: Gọi ( )S1 là mặt cầu tâm B(2;1;2)và đi qua điểm A. Khi đó

Tâm của mặt cầu ( )S1 là: B(2;1;2)

Bán kính của ( )S1 là: R1 =AB= 12 + −( 2)2 +12 = 6

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59>

Câu b: Gọi ( )S2 là mặt cầu đường kính BC. Khi đó,

Tâm của ( )S2 là: (1 3 2)

; ;

I − (trung điểm của đoạn BC)

Bán kính của ( )S2 : 69

2 2

BC

R= = , trong đó

2 2 2

( 2;1; 8) ( 2) 1 ( 8) 69

BC = − − ⇒BC = − + + − =

Phương trình của ( )S2 là 2 3 2 2 69

2 4

(x−1) +(y− ) +(z+2) =

Câu c: Gọi ( )S3 là mặt cầu tâm C(0;2;–6), tiếp xúc với ( )P . Khi đó ( )S3

Tâm của ( )S3 là: C(0;2;–6)

Bán kính của( )S3 :R3 =d C P( ,( ))

2 2 2

0 2.2 2( 6) 1
1 ( 2) 2

− + − +
+ − +

= =

Phương trình của ( )S3 : x2 +(y−2)2 +(z+6)2 =25

Câu d: Giả sử 2 2 2

( ) :S x +y +z −2ax−2by−2cz+ =d 0 là mặt cầu
đi qua O(0;0;0),A(1;3;1),B(2;1;2),C(0;2; –6) thì d = 0 và

9
2
13
10

29
10

11 2 6 2 0 2 6 2 11

9 4 2 4 0 4 2 4 9

40 4 12 0 4 12 40

a

a b c a b c

a b c a b c b

b c b c c



  

 − − − =  + + =  =

  

 − − − = ⇔ + + = ⇔ =

  

  

 − + =  − =  = −

  

 

  

Mà 2 2 2

( ) ( ) ( )

9 2 13 2 29 2

2 10 10 0

a +b +c − =d + + − > nên phương trình của

mặt cầu ( )S4 cần tìm là x2 +y2 +z2−9x−13 29

5 y+ 5 z =0

Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau đây:
a) ( )α đi qua A(1; 2;2)− và vng góc với OM biết M(3; 1;2)−

b) ( )α là mặt trung trực của đoạn MN với M(2; 3;1), ( 4;1; 5)N −

c) ( )α đi qua ba điểm A(0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)K − D − − .

d) ( )α đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD biết

(1;1;1), (2;1;2), ( 1;2;2), (2;1; 1)

A B C − D −

Bài giải

Câu a: Do mặt phẳng ( )α đi qua A(1; 2;2)− và vng góc với OM nên
Điểm thuộc mặt phẳng ( )α là: A(1; 2;2)−

Véctơ pháp tuyến của ( )α : n =OM =(3; 1;2)−

Phương trình của mặt phẳng ( )α là:

</div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Câu b: Do ( )α là mặt phẳng trung trực của đoạn MN nên
Điểm thuộc ( )α:I( 1;2; 3)− (trung điểm đoạn MN)

Vtpt của ( )α: n =MN = − −( 6; 2; 4)

Phương trình của ( )α (đáp số): 3x+ −y 2z+ =7 0

Câu c: Do ( )α đi qua 3 điểm A(0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)K − D − − nên

Điểm thuộc mặt phẳng ( )α là: A(0;1;2)

Véctơ pháp tuyến của ( )α là:

0 2 3 2 3 0

[ , ] ; ; (6; 7; 9)

3 5 4 5 4 3

n AK KD

 − − 

 



= = − − − − = −

− 

 

trong đó AK = −( 3; 0;2) và KD =(4; 3; 5)− −

Phương trình của mặt phẳng ( )α là:

6x−7(y− +1) 9(z−2)= ⇔0 6x−7y+9z−11=0

Câu d: Do ( )α đi qua A, B và song song với CD nên

Điểm thuộc mặt phẳng ( )α là: A(1;1;1)

Véctơ pháp tuyến của ( )α là:

0 1 1 1 1 0

[ , ] ; ; (1; 6; 1)

1 3 3 3 3 1

n AB CD

 

 



= = − − − − − = −

 

trong đó AB =(1; 0;1) và CD =(3; 1; 3)− −

Phương trình của mặt phẳng ( )α là:

1(x− +1) 6(y− −1) 1(z− = ⇔ +1) 0 x 6y− − =z 6 0

Bài 14: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( )P x: −2y+2z−30=0

và mặt cầu ( ) :S x2 +y2+z2−2x+6y−8z+ =1 0. Viết phương 
trình mặt phẳng ( )α biết

a) ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại điểm H(1;1;1) thuộc ( )S

b) ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( )S và song song với mặt phẳng ( )P

Bài giải

Câu a: Mặt cầu ( )S có tâm I(1; 3; 4)− và bán kính R= ⋯=5

Do ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại H nên

Điểm thuộc ( )α là: H(1;1;1)

Vtpt của ( )α là: n =IH =(0; 4; 3)−

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Câu b: Do ( )€( )α P nên ( ) :α x−2y+2z+D =0 (D ≠ −30)

Do ( )α tiếp xúc với ( )S nên d I( ,( ))α =R

(loại) hoặc (nhận)

2 2 2

1 2( 3) 2.4
1 ( 2) 2

5 30 0

D

D D

− − + +
+ − +

⇔ = ⇔ = − =

Vậy phương trình của ( )α là x−2y+2z =0

Bài 15: Cho tam giác ABC có A(0;1;2), ( 3;1; 4), (1; 2; 1)B− C − − .

Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau đây:
a) d là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC.
b) d là đường thẳng vng góc với mặt phẳng (ABC) tại C.

Bài giải

Câu a: Trung điểm của cạnh BC là: 1 3

2 2

( 1; ; )

I − −

Điểm thuộc trung tuyến AI là: A(0;1;2)

Vtcp của AI là: 3 1

2 2

( 1; ; )

u =AI = − − − hay u′ =(2; 3;1)

Phương trình chính tắc của trung tuyến AI là 1 2

2 3 1

y

x = − =z−

Câu b: Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (ABC) tại C nên

Điểm thuộc d là: C(1; 2; 1)− −

Vtcp của d cũng là vtpt của mặt (ABC):
[ , ] (6; 7;9)

d

u = =n AB BC =⋯= −

trong đó, AB= −( 3; 0;2),BC =(4; 3; 5)− −

Phương trình chính tắc của đường thẳng d là 1 2 1

6 7 9

y z

x− + +

−

= =

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU

Bài 16: Viết phương trình mặt cầu ( )S trong các trường hợp sau đây:

a) ( )S có tâm I(1; 0; 1)− và đường kính bằng 8.

b) ( )S có tâm I(2;1; 2)− và đi qua điểm A(3;2; 1)− .

c) ( )S có đường kính AB với A(6;2;–5) và B(–4;0;7).

d) ( )S có tâm T( 2;1; 5)− và tiếp xúc với mp( ) : 3α x− − =y 3 0

e) ( )S có tâm K(2; 3; 1)− và đi qua tâm I của mặt cầu sau đây

2 2 2 2 6 6 0

x +y +z − y+ z− =

f) ( )S có đường kính ON với N( 1; 4;2)−

g) ( )S có tâm I(6;3;–4) và tiếp xúc với mặt phẳng Oxy.

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

Bài 17: Viết phương trình mặt cầu ( )S trong các trường hợp sau đây:

a) ( )S ngoại tiếp tứ diện OABC với A(2;2;3),B(1;2;–4),C(1;–3;–1)
b) ( )S đi qua gốc toạ độ và các hình chiếu của điểm M(2;–1;3) lần

lượt lên các trục toạ độ.

c) ( )S đi qua các điểm A(3;0;1),B(2;1;–1),C(0;–7;0) và D(2;–1;3)

d) ( )S đi qua ba điểm A(1;2;–4),B(1;–3;1),C(2;2;3) và có tâm nằm

trên mặt phẳng Oxy.

Bài 18:Cho S(35; 3;14), (4;2; 6), (5; 3; 1), (6; 8;2), (5; 5; 4)− A B − − C D .

a) Chứng minh rằng, S.ABCD là hình chóp có đáy là một hình
vng và cạnh bên SA vng góc với mặt đáy.

b) Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.
BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG

Bài 19:Viết phương trình mặt phẳng ( )α trong các trường hợp sau đây:
a) ( )α đi qua điểm A(7;2; 1)− , vuông góc với đường thẳng BE với

(2;2; 3)

B − và E( 1; 0; 6)−

b) ( )α là mặt phẳng trung trực của đoạn AK với A(1;1; 3) (2; 5;1),K

c)( )α đi qua C( 2; 2; 6)− − và song song với ( )β :x−2y+ − =z 1 0

d) ( )α tiếp xúc với mặt cầu ( ) : (S x−1)2 +(y+1)2 +z2 =9 tại
 điểm H(3;1; 1)− thuộc mặt cầu ( )S

e) ( )α song song với mặt phẳng ( ) : 2Q x−3y+6z− =6 0 đồng

thời tiếp xúc với mặt cầu ( ) :S x2+y2 +z2 −4x+2z− =4 0
f) ( )α đi qua O và vng góc với đường thẳng 1 3

2 1 3

:x y z

d − = = −

g) ( )α vng góc với đường thẳng 1 2

1 3 2

: x y z

d + −

− = = tại điểm M

trên d có hồnh độ bằng 2.

Bài 20:Viết phương trình mặt phẳng ( )P trong các trường hợp sau đây
a) ( )P đi qua ba điểm A( 2;1; 0), (3; 3; 4)− B và C(1; 0; 1)−

b) ( )P đi qua hai điểm A( 1;2;1), (0; 3; 0)− B đồng thời song song
 với đường thẳng CD với C(1;1;1), (0; 5; 2)D −

c) ( )P đi qua hai điểm O và A( 1;2; 3)− đồng thời vng góc với

mặt phẳng ( ) :Q x− − =y z 0

d) ( )P đi qua điểm G( 2;1;1)− và chứa trục hoành.

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

f) ( )P chứa đường thẳng d1 đồng thời song song với đường thẳng
 d2, biết

1 1

: 2

3 2

x t

d y t

z t

 = − +


 = −


 = +


và

2
2

: 0

x t

d y

z t

 = −

 =


 = −


g) ( )P đi qua điểm I(0;2;1) và chứa đường thẳng : 1

2 3

y

x+ z

−

∆ = =

h) ( )P đi qua điểm A(3;2; 1)− đồng thời vng góc với giao tuyến

của ( ) :α x+ − + =y z 2 0 và ( ) : 2β x− +y 3z+ =1 0

BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG

Bài 21:Viết phương trình tham số của các đường thẳng d sau đây:
a) d đi qua hai điểm A(2;–3;5) và B(1;–2;3)

b) d đi qua điểm A(1;–1;3) đồng thời song song với đường thẳng
BC biết B(1;2;0), C(–1;1;2).

c) d đi qua A(–1;0;2) và vuông với mặt phẳng x− + − =y z 7 0

d) d đi qua N( 2; 2;1)− − và song song với 1 2

2 1

:x+ y z−

−

∆ = =

e) d đi qua tâm I của mặt cầu ( )S và song song với trục tung biết

2 2 2

( ) : (S x+1) +(y−2) +z =3

f) d đi qua giao điểm của mặt cầu ( )S với trục tung đồng thời

vng góc với mặt phẳng ( ) : 2P x−3y+ − =z 1 0, biết mặt

cầu ( )S có phương trình x2 +y2 +z2 +2x−4y−3z+ =4 0

Bài 22:Viết phương trình tham số của các đường thẳng d sau đây:
a) d đi qua điểm I( 1;1; 0)− và vng góc với cả hai đường thẳng

1 :

∆ 1 2 3

1 2 2

y

x− = − = z− ;

2 :

∆ 3 1

1 1 3

y

x+ z−

− = =

b) d đi qua điểm K( 2;1; 3)− , song song với ( ) :α x−2z+ =2 0

đồng thời vng góc với đường thẳng 3 1 2

2 1 5

:x+ y− z−

∆ = =

c) d là giao tuyến của ( ) 3α: x− + − =y z 2 0 và ( )β :x−3y+ =2 0

d) d là đường trung trực của đoạn thẳng MN trong mặt phẳng

(OMN) biết M(2;1; 4), (0; 5;2)N −

e) d vng góc với trục tung, song song với mặt phẳng x +2y =1

đồng thời đi qua tâm I của mặt cầu x2+y2 +z2 −4y− =5 0
Bài 23: Viết phương trình tham số của các đường thẳng sau đây

a) d1: 3 1 5

2 1 2

y

x+ − z+

−

= = b) d2 : 1 4

2 3 2

y

x− + z

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

Tính n =[u u1, 2]

Xét M1 và d2

d chéo d2

d cắt d2

1€2

d d

1 2

d ≡d

Tính T =n M M. 1 2
0

n =

n ≠

1 2

M ∈d

1 2

M ∉d

T ≠

T =

(u1,u2 cùng phương)

(u1,u2 không cùng phương)

9. Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho mặt phẳng ( ) :P Ax+By+Cz+D =0 có vtpt n =( ; ; )A B C

và mặt phẳng ( ) :Q A x′ +B y′ +C z′ +D′=0 có vtpt n′=( ;A B C′ ′ ′; )

a)Hai mặt phẳng song song với nhau

.
( )€( )

n k n

P Q

D k D

 ′

 =


⇔  ≠ ′



(Nếu A B C D′ ′ ′ ′, , , đều khác 0 thì ( )€( ) A B C D

A B C D

P Q

′ ′ ′ ′

⇔ = = ≠ )

b) Hai mặt phẳng trùng nhau

.
( ) ( )

n k n

P Q

D k D

 ′

 =


≡ ⇔  = ′



(Nếu A B C D′ ′ ′ ′, , , đều khác 0 thì ( ) ( ) A B C D

A B C D

P Q

′ ′ ′ ′

≡ ⇔ = = = )

c) Hai mặt phẳng cắt nhau

caét

( )P ( )Q ⇔n và n′ không cùng phương với nhau.

Hai mặt phẳng vng góc nhau

( )P ⊥( )Q ⇔n ⊥n′⇔n n. ′=0

10. Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

Cho đường thẳng d1 đi qua điểm M x y z1( ; ; )1 1 1 , có vtcp u1 =( ; ; )a b c1 1 1

và đường thẳng d2đi qua điểm M x y z2( ; ; )2 2 2 và có vtcp u2 =( ; ; )a b c2 2 2

Khi biết d1 cắt d2, ta viết phương trình tham số của d d1, 2 theo 2

tham số khác nhau t t1, 2. Giải hệ phương trình tạo nên bởi chúng để tìm

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

11. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho :

0
0
0

( )

x x at

d y y bt

z z ct

 = +



 = + ∗



 = +



và mặt phẳng ( )P Ax: +By+Cz+D =0(1)
Thay ( )∗ vào (1) ta được phương trình (2) theo biến t.

Nếu phương trình (2) vơ nghiệm t thì kết luận d€( )P

Nếu phương trình (2) có vơ số nghiệm t thì kết luận d ⊂( )P

Nếu phương trình (2) có duy nhất nghiệm t =t0 thì thay t =t0 trở
lại vào phương trình ( )∗ ta tìm được ( ; ; )x y z0 0 0 . Kết luận d và (P)

cắt nhau tại điểm M x y z0( ; ; )0 0 0

VÍ DỤ MINH HOẠ

Bài 24: Tìm toạ độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( )α biết

1 4

1 1 3

:x y z

d + −

−

= = và ( ) :α x−3y−2z− =2 0

Bài giải

Phương trình tham số của đường thẳng d là:

1
( )
4 3

x t

y t

z t

 = − +


 = − ∗



 = +


Thay x,y,z từ ( )∗ vào phương trình của mặt phẳng ( )α ta được

1 t 3( )t 2(4 3 )t 2 0 11 2t 0

− + − − − + − = ⇔ − − = ⇔ 11

t = −

Thay 11

t = − trở lại vào ( )∗ ta được 13 11 25

2 ; 2 ; 2

x = − y= z= −

Vậy, giao điểm của d và ( )α là

(

13 11 25

)

2 ; 2 ; 2

H − −

Bài 25: Xét vị trí tương đối của đường thẳng 1 3

1 1 3

:x y z

d + −

−

= = với

a) 1:

1 2
2
3 6

x t

y t

z t

 = +




∆  = −

 = +


b) 2: 8

2
2
1 4

x t

y t

z t

 = +




∆  = −

 = +


c) 3: 4

1 2
1 3

x t

y t

z t

 = − −




∆  = +

 = − +


</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

Bài giải

Câu a: Đường thẳng d đi qua điểm M( 1; 3; 0)− có vtcp u =(1; 1; 3)−

∆ đi qua điểm M1(1; 0; 3) có vtcp u1 =(2; 2; 6)−

Ta có, u1 =2u hay n =[ ,u u1]=0 nên u1 cùng phương với u.

Hơn nữa, toạ độ điểm M1 khơng thoả mãn phương trình của d

Vậy, M1 ∉d và do đó d€∆1

Câu b: d đi qua điểm M( 1; 3; 0)− có vtcp u =(1; 1; 3)−

∆ đi qua điểm M2(2; 8;1) có vtcp u2 =(1; 2; 4)−

Ta có, [ , 2] 1 3; 1 3 1; 1 (2; 1; 1) 0
2 4 1 4 1 2

n u u

− − 

 



= = − − = − − ≠

− 

 

nên u và u2 không cùng phương với nhau.

Ngoài ra, MM2 =(3; 5;1)⇒n MM. 2 = ⇒0 d và ∆2 cắt nhau.

Phương trình tham số của

: 3

x t

d y t

z t

 = − +


 = −


 =


và

2 2

: 8 2

1 4

x t

y t

z t

 = +




∆  = −

 = +


Xét

2 2

2 2 2

1 2 3 11

3 8 2 2 5 8

3 1 4 3 4 1 3 4 1

t t t t t

t

t t t t t

t

t t t t t t

  

− + = +  − =  =

    =

   

 − = − ⇔ − = − ⇔ = ⇔ 

    =

   

 = +  − =  − = 

  

  

Giao điểm của d và ∆2 là H(10; 8; 33)−

Câu c: d đi qua điểm M( 1; 3; 0)− có vtcp u =(1; 1; 3)−

∆ đi qua điểm M3( 1; 4; 1)− − có vtcp u3 = −( 2;1; 3)

Ta có

1 3 1 3 1 1

[ , ] ; ; ( 6; 9; 1) 0

1 3 2 3 2 1

n u u

− − 

 



= = − = − − − ≠

− − 

 

nên u và u3 khơng cùng phương với nhau.
Ngồi ra, MM3 =(0;1; 1)− ⇒n MM. 3 = − ≠ ⇒8 0 d chéo ∆3

Bài 26: Xác định toạ độ hình chiếu vng góc của điểm M(2;1; 5) lên

a) ( ) : 3α x− + + =y z 1 0 b) 2 6 9

1 3 5

:x y z

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

Bài giải

Câu a: Gọi d là đường thẳng đi qua M(2;1; 5) và vng góc với mặt
phẳng ( ) : 3α x− + + =y z 1 0 (1) thì

2 3

: 1

x t

d y t

z t

 = +


 = −


 = +


(*)
Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên ( )α thì H = ∩d ( )α

Thay (*) vào (1) ta được:

3(2+3 ) (1t − − +t) (5+ + = ⇔t) 1 0 11t+11= ⇔ = −0 t 1

Vậy, hình chiếu của điểm M lên ( )α là H( 1;2; 4)−

Câu b: Gọi ( )α là mặt phẳng đi qua điểm M(2;1; 5) và vng góc với d
Hướng dẫn: viết phương trình của ( )α và phương trình tham số

của d rồi dùng phương pháp thế tìm toạ độ giao điểm của chúng
Đáp số: ( ) :α x+3y+5z−30=0 và H(1; 3; 4)

BÀI TẬP VỀ VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA CÁC ĐƯỜNG, MẶT

Bài 27: Xét vị trí tương đối của các cặp mặt phẳng sau đây:

a) ( ) : 2P x−3y+ − =z 1 0 và ( ) : 4Q x−6y+2z− =3 0

b) ( ) : 3α x− + =y 2 0 và ( ) : 9β x−3y+ =6 0

c) ( ) :α1 x−2y+ =1 0 và ( ) :α2 x−2z+ =1 0

Bài 28: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:

a) d1: 1 2 3

1 1 1

y

x− − z−

−

= = và d2 : 1 1 2

2 2 2

y

x− + z−

−

= =

b) d1: 1 7 3

2 1 4

y

x− = − = z− và

2 :

d 6 1 2

3 2 1

y z

x− + +

−

= =

c) d1 : 1 2

2 2 1

y

x− − z

−

= = và d2 : 8 4

2 3 1

y

x + z−

− = =

d)

1 1

2 4

: 6

1 8

x t

d y t

z t

 = +


 = −


 = − −


và

2 2

7 6

: 2 9

x t

d y t

z t

 = −


 = +


 =


Bài 29: Xét vị trí tương đối giữa các cặp đường thẳng và mặt phẳng sau:

a) 12 9 1

4 3 1

:x y z

d − = − = − và ( ) : 3α x+5y− − =z 2 0

b) 1 3

2 4 3

:x y z

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài 30: Trong hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(1;–1; 3), B(3;0;1), C(0;4;5)
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua C và vng góc với AB.
b) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với (ABC) tại B.
Bài 31: Trong hệ toạ độ Oxyz cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4) và D(4;0;6)

a) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

b) Viết phương trình mặt cầu tâm D tiếp xúc với mp(ABC).
c) Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vng góc của D lên (ABC).
Bài 32: Trong hệ toạ độ Oxyz cho ba điểm A(5;1;3), B(1;6;2) và C(5;0;4)

a) Viết phương trình mặt cầu đường kính AC.

b) Xác định toạ độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.
c) Viết phương trình mặt phẳng ( )α chứa hình bình hành ABCD.
d) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với ( )α tại A.
Bài 33: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng ( ) : 2P x−2y+ + =z 6 0,

mặt cầu ( ) : (S x−1)2 +(y+3)2+ −(z 4)2 =6 và điểm A(2; 1; 3)−
a) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng ( )P

b) Viết phương trình mặt phẳng ( )α song song với mặt phẳng ( )P

đồng thời đi qua tâm I của mặt cầu ( )S

c) Viết phương trình mặt phẳng ( )β song song với mặt phẳng ( )P

đồng thời tiếp xúc với mặt cầu ( )S

Bài 34: Trong hệ toạ độ Oxyz cho A(5; 3; 1) (2; 3; 4) (1;2; 0) (3;1; 2)− ,B − ,C ,D −

a) Chứngminh rằngABCD là một tứ diệncó các cặp cạnh đối diện
vng góc với nhau. Tính thể tích tứ diện ABCD.

b) Viết phương trình mặt cầu ( )S ngoại tiếp tứ diện ABCD.

c) Viết phương trình tiếp diện với mặt cầu ( )S tại A.

Bài 35: Trong hệ toạ độ Oxyz cho A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6)
a) Viết phương trình mặt phẳng (ACD) và chứng minh điểm B

không thuộc mặt phẳng (ACD).

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa AB và song song với CD.
c) Viết phương trình mặt cầu đường kính BD.

Bài 36: Cho ( )S là mặt cầu có tâm I(5;–3;7) và đi qua điểm M(1;0;7).

a) Chứng minh rằng điểm N(5;1; 4) thuộc mặt cầu ( )S .

b) Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại N.

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

Bài 37: Cho điểm I(–2;1;1) và mặt phẳng (α): x + 2y – 2z + 5 = 0

a) Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm I tiếp xúc với mặt phẳng ( )α
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm I và song song với ( )α
Bài 38: Trong hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(3; 1;2), (2;1; 0), (1; 3;1)− B C −

a) Chứng minh rằng ABC là tam giác vng cân. Viết phương
trình mặt phẳng (ABC)

b) Chứng minh rằng OABC là một tứ diện. Tính thể tích tứ diện
OABC và diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Bài 39: Trong hệ toạ độ Oxyz cho A,B,C lần lượt là hình chiếu vng góc
của điểm M(4; 6;12)− lên các trục toạ độ Ox,Oy,Oz.

a) Xác định hình chiếu vng góc của điểm Mlên mặt phẳng (ABC)

b) Với điểm D( 1; 3; 4)− , chứng minh rằng ABCD là một tứ diện và

mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD đi qua gốc toạ độ O.
Bài 40: Cho A(1;2;3), B(1;6;2) và mặt phẳng (β): 2x + y – 2z – 1 = 0.

a) Viết phương trình mặt cầu ( )S1 có tâm A và tiếp xúc với mp(β).

b) Viết phương trình mặt cầu ( )S2 có tâm B và đi qua điểm A.

c) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vng góc với mặt
phẳng (β). Từ đó, tìm toạ độ giao điểm của d và (β).

Bài 41: Cho mặt cầu ( )S x: 2 +y2 +z2 =9 và mp(α): x + 2y – 2z + 9 = 0 
a) Xác định toạ độ tâm I và tính bán kính R của mặt cầu. Tính

khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α)
và tiếp xúc với mặt cầu ( )S . Tìm toạ độ tiếp điểm của ( )S và (β)

Bài 42: Cho điểm M(1;4;2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0.

a) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).

b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua M và song song với (α)
Bài 43: Cho A(1; –1; 3), B(3; 0; 1), C(0; 4; 0)

a) Chứng minh rằng tam giác ABC vng và tính diện tích của nó.
b) Viết phương trình mặt phẳng (ABC).

c) Tính khoảng cách từ điểm D(1;1;1) đến mặt phẳng (ABC), từ

đó suy ra thể tích của tứ diện ABCD.
Bài 44: Cho A(–2;6;3), B(1;0;2), C(0;2;–1), D(1;4;0)

a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).

b) Chứng minh rằng BCD là một tam giác vuông, từ đó tính diện
tích tam giác BCD.

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

Bài 45: Trong không gian Oxyz cho hai điểm A(6;2;–5), B(–4;0;7).
a) Viết phương trình mặt cầu ( )S có đường kính AB

b) Viết phương trình mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu ( )S tại A

Bài 46: Viết phương trình mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:
a) (α) đi qua A(1;2;3) và song song với mp(Oxy).

b) (α) đi qua A(1;2;3) và song song với mặt phẳng x + y + z = 0.
Bài 47: Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng ∆:

1 2

x t

y t

z t

 = +


 = +


 =


a) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc của A trên đường thẳng ∆.
b) Tìm tọa độ A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆

c) Viết phương trình mặt phẳng chứa A và ∆

Bài 48: Cho điểm M(1;4;2) và mặt phẳng (α): x + y + z – 1 = 0.
a) Tìm tọa độ H là hình chiếu vng góc của M trên (α).
b) Tìm tọa độ M′ đối xứng với M qua mặt phẳng (α).

c) Viết phương trình mặt cầu tâm M tiếp xúc với (α).

Bài 49: Trong hệ toạ độ Oxyz cho các điểm A(1;–1;3), B(3;0;1), C(0;4;5)
a) Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A và vng góc với BC.
b) Xác định toạ độ điểm H là hình chiếu vng góc của điểm A lên

đường thẳng BC.

c) Viết phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với đường thẳng BC.
Bài 50:Cho A(1;0;0) và H là hình chiếu của A lên 2 1

1 2

:x− y− z

∆ = =

a) Tìm tọa độ điểm H. Từ đó tính khoảng cách từ điểm A đến ∆.
b) Tìm tọa độ điểm A′ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

Bài 51: Cho : 11 2

x t

d y t

z t

 =


 = − +


 = −


và : 5 2 3

2 1 6

x y z

d′ − = − = − . Chứng minh

rằng d và d′cắt nhau. Viết phương trình mặt phẳng chứa d và d′

Bài 52: Cho (α): 3x – 2y – z + 5 = 0 và ∆: 1 7 3

2 1 4

y

x− = − =z−

a) Chứng tỏ rằng ∆ và (α) song song với nhau.

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

Bài 53: Cho điểm A(3;2;1) và đường thẳng d: 3

2 4 1

y z

x = = +

a) Chứng minh rằng điểm A không thuộc đường thẳng d.
b) Viết phương trình mặt phẳng ( )α đi qua A và chứa d.

c) Viết phương trình đường thẳng d′qua A, vng góc d và cắt d.

Bài 54:Cho ( ) : 3α x−2y− + =z 5 0 và 1 7 3

2 1 4

:x y z

d − = − = −

a) Chứng minh rằng d€( )α b) Tính khoảng cách giữa d và (α)

Bài 55: Cho hai đường thẳng : 1 2

6 3

x t

d y t

z t

 =


 = +


 = +


và

: 2

x t

d y t

z t

 = + ′




′  = − + ′

 = − ′


a) Chứng minh rằng d và d′chéo nhau.

b) Lập phương trình mặt phẳng đi qua O song song với cả d và d′

c) Viết phương trình mặt phẳng chứa d và song song với d′

Bài 56: Cho hai đường thẳng d1: 1 2 5

2 3 4

y

x− + z−

−

= = và 2

7 3

: 2 2

1 2

x t

d y t

z t

 = +


 = +


 = −


a) Chứng minh rằng d1 và d2 cắt nhau.

b) Viết phương trình của mặt phẳng chứa d1 và d2.

c) Viết phương trình đường thẳng d vng góc với cả hai đường
thẳng d1 và d2 đồng thời cắt cả hai đường thẳng đó.

Bài 57: Cho hai đường thẳng d1:

1
1

4
1 6

2 2

x t

y t

z t

 =


 = −


 = − +


và

2 2

: 2 2

1 4

x t

d y t

z t

 =


 = +


 = +


a) Chứng minh rằng d1 vng góc với d2 nhưng khơng cắt d2

b) Viết phương trình mặt phẳng chứa d1và vng góc với d2.
c) Viết phương trình đường vng góc chung của d1 và d2.

Bài 58: Cho I( 1; 3; 4)− , ( ) :α x− − =z 4 0 và ( ) : 3β x+4y+3z− =4 0

a) Chứng minh rằng ( )α ⊥( )β . Viết phương trình mặt phẳng ( )γ

đi qua điểm I đồng thời vuông góc với cả ( )α lẫn ( )β .

b) Viết phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với giao tuyến của

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

Ph n VI.
Ph n VI.
Ph n VI.

Ph n VI. TH. TÍCH TH. TÍCH TH. TÍCH KH I ĐA DI/N TH. TÍCH KH I ĐA DI/N KH I ĐA DI/N KH I ĐA DI/N ---- KH I TRÒNKH I TRÒNKH I TRÒN XOAYKH I TRÒNXOAYXOAYXOAY

1. Một số hình khơng gian thường gặp

a)Hình chóp tam giác (tứ diện):

Hình 1: dùng cho các loại hình chóp tam giác (tứ diện):
Có 1 cạnh bên vng góc với mặt đáy.

Có 3 cạnh đơi một vng góc với nhau cùng đi qua 1 đỉnh.
Hình 2: dùng cho các loại hình chóp tam giác (tứ diện):

Hình chóp tam giác đều.

Tứ diện đều (tất cả các cạnh đều bằng nhau).
b)Hình chóp tứ giác:

Hình 3: Hình chóp S.ABCD có SA⊥(ABCD) và đáy ABCD là:

Hình bình hành.

Hình chữ nhật.

Hình thoi.

Hình vng.

Nếu ABCD là hình chữ nhật thì:
BC ⊥(SAB) và CD ⊥(SAD)

4 mặt bên đều là các tam giác vuông.

Tâm của mặt cầu ngoại tiếp là trung điểm I của cạnh SC
Hình 4: Hình chóp S.ABCD có SO⊥(ABCD) và đáy ABCD là:

Hình bình hành.

Hình chữ nhật.

Hình thoi.

Hình vng.

Nếu S.ABCD là hình chóp đều thì:
 4 cạnh bên bằng nhau.

2 mặt chéo vng góc nhau.

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

c)Hình lăng trụ - hình hộp:

Lăng trụ Lăng trụ đứng Hình hộp

tam giác tam giác chữ nhật

d)Hình cầu – hình trụ - hình nón

2. Các cơng thức tính diện tích – thể tích

a) Thể tích (diện tích) khối chóp – khối nón
Cơng thức tính thể tích:

1
3 .

V = B h

Diện tích xung quanh mặt nón:

nón

( )
xq

S =πrl

Lưu ý: diện tích hình trịn bán kính r là: S =π.r2
b) Thể tích (diện tích) khối lăng trụ – khối trụ

Cơng thức tính thể tích:

V =B h

Diện tích xung quanh mặt trụ:

trụ

( ) 2

xq

S = πrl

Diện tích tồn phần của hình trụ:

trụ đáy

( ) 2.

tp xq

S =S + S

c) Thể tích (diện tích) khối cầu
Cơng thức tính thể tích:

3
4
3

V = πR

Diện tích mặt cầu: m.caàu 4 2

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

BÀI TẬP VỀ KHỐI ĐA DIỆN, KHỐI TRỊN XOAY

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng tại B, cạnh
bên SA vng góc với mặt đáy. Biết SA=AB =BC =a. Tính

thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh
bên SA vng góc với mặt đáy, cạnh bên SB bằng a 3.

a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

b) Chứng minh rằng trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết góc BAC =1200, 
hãy tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên SA
vng góc với mặt đáy, cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 600.

a) Tính thể tích khối chóp S.BCD theo a.

b) Chứng minh rằng trung điểm cạnh SC là tâm mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S.ABCD. Tính diện tích của mặt cầu đó.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng
góc với mặt đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy

bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên

SA=a và vuông góc với mặt đáy, góc giữa SC và mặt đáy

bằng 450 .Tính thể tích của khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh đều bằng a. Tính thể
tích hình chóp S.ABCD theo a.

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy là một hình chữ nhật, AB = a,
AD = 2a, hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vng góc với mặt

đáy, SAD là tam giác vng cân.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b) Tìm tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD

Bài 9: Cho hình chóp đều S.ABC có M là trung điểm cạnh AB, AM = a.
Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a biết SA=a 2

Bài 10:Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC

b) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Bài 12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A, Hai mặt bên

(SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt đáy. Gọi I là trung điểm
cạnh BC. Biết BC =a SA, =a 3 và góc giữa 2 mặt phẳng (SBC)

và (ABC) bằng 300. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Bài 13:Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ′ ′ ′có cạnh đáy bằng a, A′B

tạo với mặt đáy một góc 600. Tính thể tích lăng trụ theo a.

Bài 14:Cho lăng trụ tam giác đều ABC A B C. ′ ′ ′. Biết rằng mặt phẳng
(A BC′ ) tạo với mặt đáy một góc 300 và tam giác A BC′ có diện

tích bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′

Bài 15:Cho lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′có đáy là tam giác đều cạnh a, hình

chiếu vng góc của A′ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trung

điểm M của đoạn BC. Góc hợp bởi AA′ và mặt đáy bằng 300.
Tính thể tích lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′ theo a.

Bài 16:Cho lăng trụ đứng ABC A B C. ′ ′ ′có đáy ABC là tam giác vuông

cân tại C cho A C′ =a, góc hợp bởi (A BC′ ) và mặt phẳng đáy

bằng α. Tìm α để lăng trụ ABC A B C. ′ ′ ′có thể tích lớn nhất.

Bài 17:Cho một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa
hai mặt đáy bằng 7cm.

a) Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích của khối trụ
được giới hạn bởi hình trụ đó.

b) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục của hình trụ

và cách trục 3cm. Hãy tính diện tích của thiết diện được tạo nên.
Bài 18:Cho một hình trụ có bán kính r và chiều cao h =r 3

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
b) Tính thể tích khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho.

Bài 19:Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC vng góc với nhau từng
đơi một. Biết SA=a,AB=BC = a 3. Tính thể tích của khối

chóp và tìm tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

Bài 20:Cho khối chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a (a >0). Tam

giác SAC cân tại S, góc SAC bằng 60 ,0 (SAC)⊥(ABC). Tính thể 
tích của của khối chóp S.ABC theo a.

Bài 21:Tính diện tích xung quanh và thể tích khối chóp tứ giác đều có độ
dài cạnh bên bằng 2a và gấp đôi độ dài cạnh đáy.

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

P

PH* L*C I

H* L*C I

(Bảng quy tắc và cơng thức tính đạo hàm)

Quy tắc tính đạo hàm

(u±v)′=u′±v′ ( )uv ′=u v′ +uv′ ( )ku ′=ku′

u u v uv

v v

′

  ′ − ′

  =
 

  2

1 u
u u
′
  ′
  = −
 

 

(

f u x ( )

)

′=f u x′ ( ) . ( )u x′

Đạo hàm của hàm số thường gặp Đạo hàm của hàm số hợp

n n

x =nx −

( )

2
x
x
′
=
2
1 1
x x
′
 
  = −
 
 

(sin )x ′ =cosx

(cos )x ′ = −sinx

2
1
(tan )
cos
x
x
′ =
2

1
(cot )
sin
x
x
′ = −
1.
n n

u =nu − u′

( )

2
u
u
u
′
′
=
2
1 u
u u
′
  ′
  = −
 
 

(sin )u ′ =u′.cosu

(cos )u ′ = −u′.sinu

2
(tan )
cos
u
u
u
′
′ =
2
(cot )
sin
u
u
u
′
′ = −
2
( )

ax b ad bc

cx d cx d

′

 +  −

  =

 

 +  + ( )2

au b ad bc

u

cu d cu d

′

 +  −

  = ⋅ ′

log

ax ′ =x a

( )

au ′ =u a′. .lnu a

(

log

)

</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

P

PH* L*C II

H* L*C II

(Bảng công thức lượng giác)

1. Công thức cơ bản

2 2

sin α+cos α=1 2 2

1 tan
cos α= + α

2
2

1 cot
sin α = + α

sin
tan
cos
α
α
α

= cot cos

sin

α
α

α

= tan cotα α=1

2. Công thức cộng

sin(a+ =b) sin cosa b+cos sina b cos(a+ =b) cos cosa b−sin sina b

sin(a− =b) sin cosa b−cos sina b cos(a− =b) cos cosa b+sin sina b

tan tan
tan( )

1 tan tan

a b
a b
a b
+
+ =
−
tan tan
tan( )

1 tan tan

a b
a b
a b
−
− =
+

3. Công thức nhân đôi

2 2

cos 2α=cos α−sin α

2 cos α 1

= −

1 2 sin α
= −

sin 2α=2 sin cosα α

2
2 tan
tan 2
1 tan

α
α
α
=
−

4. Công thức hạ bậc

2 1 cos 2

cos

α

α= + sin2 1 cos 2
2

α

α= − tan2 1 cos 2
1 cos 2

α
α
α
−
=
+

5. Công thức tổng thành tích

sin sin 2 sin cos

2 2

a b a b

a+ b = + − cos cos 2 cos cos

2 2

a b a b

a+ b= + −

sin sin 2 cos sin

2 2

a b a b

a− b= + − cos cos 2 sin sin

2 2

a b a b

a− b = − + −

sin( )

tan tan
cos .cos
a b
a b
a b
−

+ = tan tan sin( )

cos .cos
a b
a b
a b
+
− =

6. Cơng thức tích thành tổng

cos cos

a

b

=





cos(

a

− +

b

)

cos(

a

+

b

)





sin sin

a

b

=





cos(

a

− −

b

)

cos(

a

+

b

)





sin cos

a

b

=

</div>

TAI LIEU ON THI TNTHPT MON TOAN

Ph n

Ph n

Ph n

Ph n IIII. KH O SÁT

. KH O SÁT

. KH O SÁT

. KH O SÁT HÀM S

HÀM S

HÀM S VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

HÀM S

VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN

<b>1. Hàm số bậc ba, hàm số trùng phương và các vấn đề liên quan </b>

<i>y</i>

′ =

0

<i>a</i>

>

0

<i>a</i>

<

0

0

<i>y</i>

′ =

0

<i>y</i>

′ =

0

<i>y</i>

′ =

<i>y</i>

′ =

0

<i>a</i>

>

0

<i>a</i>

<

0

0

<i>y</i>

′ =

0

<i>y</i>

′ =

<b>VÍ DỤ MINH HOẠ</b>

:

<i>y</i>

<i>x</i>

∆

=

2

<i>y</i>

=

<i>x</i>

+

:

<i>y</i>

<i>x</i>

∆

=

2

<i>y</i>

=

<i>x</i>

+

( )

và

<b>2. Hàm số nhất biến và các vấn đề liên quan </b>

{ }

0

<i>y</i>

′ >

<i>y</i>

′ <

0

<b>VÍ DỤ MINH HOẠ</b>