TOAN THI THU DH 2012CO DAP AN38

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (192.97 KB, 8 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ ÔN TẬP THI ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2012 (Đề 2)
 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y = x2+2x

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .

2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng của (C) đến tiếp tuyến là
lớn nhất.

Câu II (2 điểm) :

1. Giải phương trình cos2x – tan2x = cos

x+cos3x −1
cos2x .

2. Giải hệ phương trình
x2

+y2+xy+1=4y
x+y¿2=2x2+7y+2

¿
¿
¿{

y¿

Câu III (1 điểm) I =

1+sinx
1+cosx
(¿)exdx

∫

0
π
2

Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, ABC❑ = 60 ❑0 , chiều cao của 
hình chóp SO = a

√

2 , với O là giao điểm của AC và BD. Gọi M là trung điểm của AD, mặt
phẳng (P) chứa BM và song song

với SA, cắt SC tại K. Tính thể tích khối chóp K.BCDM theo a.

Câu V (1điểm) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn : 0 < a 1, 0 < b 1, 0 < c 1. Chứng minh :
(1 + 1

abc )(a + b + c) 3 +

1
a+

1
b+

1
c .
II. PHẦN RÊNG (3 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc 2)
1. Theo chương trình Chuẩn

Câu VI.a (2 điểm)

1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; -2), đường cao CH : x – y + 1 =
0, đường

phân giác trong BN : 2x + y + 5 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B, C và tính diện tích tam giác ABC.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vng góc với mặt

phẳng

(Q) : x + y + z = 0 và cách điểm M(1; 2; -1) một khoảng bằng

√

2 .

Câu VII.a (1 điểm) Có 17 vận động viên mơn bóng bàn, gồm 7 nam trong đó có danh thủ Cường và 10 nữ 
trong đó có

danh thủ Thủy. Lập một đội tuyển bóng bàn từ các vận động viên trên gồm 4 nam và 3 nữ. Tính 
xác suất sao

cho đội tuyển chỉ có mặt một trong hai danh thủ trên.
 2. Theo chương trình Nâng cao.

Câu VI.b (2 điểm)

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm B



0;3;0 ,



M



4;0; 3



. Viết phương trình
mặt

phẳng ( )P chứa B M, và cắt các trục Ox Oz, lần lượt tại các điểm Avà C sao cho thể tích
khối tứ

diện OABCbằng 3. (O là gốc toạ độ).

Câu VII.b (1 điểm) Tìm số phức z sao cho các số phức z, 1z , 1 - z có cùng mơ đun.

---Hết---Đáp án đề 2

CâuI Nội dung 2điểm

TXĐ D= R
y’ =

x+2¿2
¿

> 0 ∀x∈D

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (-2;+∞) và khơng có cực trị.

0.25

x →2+¿

lim y

= +∞, limx →−y2− = 2 -∞ ⇒ x = -2 là tiệm cận đứng
lim y

x →± ∞ = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang

0.25
Bảng biến thiên :

x -∞ -2 +∞
y +∞

-∞

0.25

Điểm đặc biệt : (0 ; 0), (1 ; 2/3), (2 ; 1) , (-1 ;-2), tâm đối xứng I(-2 ;2)

Đồ thị :

0.25

Gọi M(x0 ;

2x0
x0+2

) là điểm trên (C ). Ttiếp tuyến ∆ của (C ) tại M là :
y - 2x0

x0+2 =

x0+2¿
2

(x – x0) ⇔ 4x – (x0 = 2) ❑2 y + 2x0 = 0 (∆)

0.25

y’ + +

2 2

O
-2

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

d(I, ∆) =

x0+2¿2+2x0
−8−2¿

x0+2¿4
¿

16+¿

√¿
¿
¿

x0+2¿4
¿

16+¿

√¿

|

x0+2

|

x0+2¿2
¿

2 . 4¿

√¿

|

x0+2

|

(bđt Cô –Si)

⇒ d(I, ∆) 8

|

x0+2

|

√

|

x02

|

= 2

√

⇒ d(I, ∆) đạt giá trị lớn nhất ⇔ (x0 +2)4 = 16

⇔

x0=0,(y0=0)

x0=−4,(y0=4)

¿
¿
¿
¿

Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn đề bài : y = x và y = x + 8

0.25

Câu II 1điểm

Với điều kiện cosx 0 ,phương trình tương đương với :
cos2x.cos2x – sin2x = cosx2 + cos3x – 1

⇔ cos2x( cos2x – cosx) = 0

⇔ 2cos2x – cosx – 1 = 0

⇔

cosx=1

cosx=−1
2

¿
¿
¿
¿

⇔

x=n2π(n∈Z)

x=±2π

3 +k2π(k∈Z)

¿
¿

0.25
0.25
0.25
0.25

Từ hệ pt suy ra : y 0 nên

Hpt ⇔

x2+1

y +x+y=4
x+y¿2−2 x

2
+1
y =2

¿
¿
¿{

Đặt u = x

y và v = x + y .Ta có hệ phương trình :

0.25
0.25
0.25
(thỏa mãn đk cosx

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

N
A
K
I
O
M
D
C
B
S







7
2

4
2 u
v
v
u
⇔
¿

u=4− v
v2+2v −15=0

¿{
¿
⇔
¿u=1
v=3
¿
¿
¿
u=9
¿

v=−5

¿
¿
¿
¿
¿

Với u = 1, v = 3 ta có hệ phương trình :

x2+1=y
x+y=3

¿{

⇔

x2+x −2=0
y=3− x

¿{

⇔

¿x=1

y=2
¿

¿
¿
x=−2
¿
y=5
¿
¿
¿
¿
¿

Với u= 9, v = -5 ta có hệ phương trình

x2+1=9y
x+y=−5

¿{

hệ phương trình vơ nghiệm
Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (1 ; 2) , (-2 ; 5)

Câu III 1điểm

Ta có

1+tanx

2¿

1+sinx
1+cosx=

1
2¿

. Do đó :

I = 1
2

1+tan x
2¿

2.exdx=1
2

∫

0

π
2

(1+tan2x
2+2 tan

x
2).e

xdx
¿

∫

0
π
2
¿

I = 1
2

(1+tan2x
2)e
x
dx+¿

∫

0
π
2

∫

π
2

tanx
2.e

x
dx

Đặt u = ex ⇒ du = exdx, dv = 1

2(1+tan
2 x

2)dx ⇒ v = tan
x
2 .
Do đó :

I = extan x

2
¿π
2
¿0
 -

∫

0
π
2
tanx
2.e

x

dx +

∫

π
2

tanx
2.e

x

Vậy I = e ❑π4 .

0.25
0.25
0.25
0.25

Câu IV 1điểm

Từ giả thiết suy ra ACD là

tam giác đều cạnh a

⇒ CM AD và CM
= a

√

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

0.25
Gọi N = BM AC ⇒ M là trọng tâm của tam giác ABD.

SA // (P) ⇒ (SAC) (P) = NK // SA
Dựng KI // SO với I AC ⇒ KI (ABCD)

0.25
∆SOC đồng dạng với ∆KIC ⇒ KI

SO=
CK

CS (1)
∆SAC đồng dạng với ∆KNC ⇒ CK

CS =
CN
CA =

CO+ON

CA =

OA+1
3OA
2 OA =

2
3

(2)
Từ (1) và (2) ⇒ KI

SO=
2

3 ⇒ KI =

a

√

3
3 .
VK.BCDM = 13 SBCDM.KI = a

8 (đvtt)

0.25
0.25

Câu V 2 điểm

0 < a 1 , 0 ⇒ (a – 1)(b – 1) 0
⇒ ab – a – b + 1 0
⇒ 1 a + b – ab
⇒ 1

1
a+

b - 1 (1)
Tương tự như trên ta có : 1

bc ≥
1
b+

c−1 (2)
Và 1

ca ≥
1
c+

a−1 (3)
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có :
ab1 + 1

bc +
1
ca≥2(

1
a+

1
b+

1
c) - 3
Ta có ( 1 + 1

abc¿ (a + b + c) = a + b + c +
1
ab+

1
bc +

1
ca
⇒ ( 1 + abc1 ¿ (a + b + c) a + b + c + 2( 1

a+
1
b+

1
c¿ - 3
2

1
a+

1
b+

1
c
(a+b+c)(¿)+1

a+
1
b+

1
c−3
√¿

2.3 + 1a+1
b+

c - 3 ( theo bđt Cô –Si)
Vậy ( 1 + 1

abc ¿ (a + b + c) 3 +
1
a+

1
b+

1
c
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

0.25
0.25

Câu VI.a 2điểm

AB đi qua A(1 ;-2) và AB CH ⇒ AB : x + y + 1 = 0
B = AB BN nên tọa độ điểm B là nghiệm của hpt

x+y+1=0
2x+y+5+0

¿{

⇒

x=−4
y=3

¿{

⇒ B(-4 ; 3)

Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua BN thì A’ BC.

Phương trình đường thẳng d đi qua A và vng góc với BN là d : x – 2y – 5 = 0.

0.25

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

x −2y −5=0
2x+y+5+0

¿{

⇒

x=−1
y=−3

¿{

⇒ I(--1;-3).
I là trung điểm của AA’ nên A’(-3 ;-4)
Phương trình đường thẳng BC : 7x + y + 1 = 0

C= BC CH nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt :

7x+y+25=0
x − y+1=0

¿{

⇒

x=−13
4

y=−9
4

¿
¿{

¿
¿ ¿

⇒ C( −13
4 ;−

9
4 )
BC = 15

√

4 , d(A,BC) = 3

√

2 ;
SABC = 45

0.25
0.25

Mp(P) qua O nên(P) có pt dạng : Ax + By + Cz = 0 với A2 + B2 + C2 0

( P) ( Q)  1.A + 1.B + 1.C = 0 ⇒ C= -A – B (1) 
d(M,(P) =

√

2  ( A + 2B – C)2 =

√

2 ( A2 + B2 + C2) (2)

Từ (1) và (2)  8AB + 5B2 = 0 

B=0

A=−5
8B

¿
¿
¿
¿
 B = 0  C = -A  (P) : x – z = 0

 A= - 5

8B  (P) : 5x – 8y + 3z = 0

0.25
0.25
0.25
0.25

Câu VII.a 1 điểm

N( Ω ) = C ❑177 = 19448

Gọi A là biến cố : « đội tuyển chỉ có mặt 1 trong 2 danh thủ Cường hoặc Thủy »
Ta có các trường hợp sau :

Đội tuyển có Cường và khơng có Thủy : số cách chọn 3 nam cịn lại là C ❑36 , Số
cách chọn 3 nữ không có Thủy là : C ❑39

Số cách chọn đội tuyển là : C ❑36 . C ❑39 = 1680.

 Đội tuyển có Thủy (khơng có Cường) : Số cách chọn 2 nữ còn lại là C ❑92 .
Số cách chọn 4 nam (khơng có Cường) là : C ❑64 .

Số cách chọn đội tuyển là : C ❑64 . C ❑92 = 540.

 n(A) = 1680 + 540 = 2220
Xác suất của biến cố A là :
P(A) = n(A)

n(Ω) =
555

4862 ≈0,11

0.25

0.25
0.25

0.25

Câu VI.b 2điểm

AC BH  AC: x – y = 0.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

x −4y −2=0
x − y=0

¿{

 x = y = - 2
3
 A( −2

3;−
2
3 )
M là trung điểm của AC  C( 8

3;
8

3 )
BC // d  BC: x – 4y + m = 0

C BC  m = 8  BC : x – 4y + 8 = 0

B = BH BC nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình :


x=−4
y=1

¿{

 B(-4; 1).

0.25
0.25
0.25
0.25

A Ox, C Oz  A(a; 0; 0), C(0; b; 0) với ac 0.
 (P) : x

a+

y
3+

z
c=1
M(4; 0;-3) (P)  4

a−
3

c=1  4c – 3a = ac
VOABC = 1

3SOAC. OB = |
ac|

VOABC = 3  |ac| = 6 

ac=6

ac=−6

¿
¿
¿
¿

Ta có

¿4c −3a=6

ac=6

¿
¿
¿

4c −3a=−6

ac=−6

¿
¿
¿
¿
¿



¿a=−4

c=−3
2

¿
¿
¿

a=2

c=3

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy có hai mp thỏa mãn đề bài : (P1) : - 4x+3y−23z=1 ; (P2) : x2+3y+3z=1

0.25
0.25

Câu VII.b 1điểm

Gọi z = a + bi với a,b R 

|

z

|

=

√

aa
+b2
1z=a −bi

a2
+b2
1

|z|=

√

a2

+b2 ; 1 – z = 1 – a – bi

 1− a¿
2

+b2

¿
|1− z|=√¿

0.25
0.25
0.25

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

|z|=

|

z

|

=|1− z| 

√

a2+b2

= 1

√

a2+b2
1−a¿2+b2

¿
¿
¿
¿
¿

√

a2+b2=√¿



a2+b2=1
a=1

¿{



¿a=1

b=

√

3
2

¿
¿
¿

a=1
2

b=−

√

3
2

¿
¿
¿
¿
¿

Vậy z = 1
2+

√

2 i hoặc z =
1
2−

√

</div>

TOAN THI THU DH 2012CO DAP AN38

∫

√

<sub>√</sub>









<sub>|</sub>

|

<sub>|</sub>

|

|

|

√

<sub>|</sub>

|

<sub>√</sub>

∫

∫

∫

∫

∫

<sub>∫</sub>

√

√

√

√

√

<sub>√</sub>

<sub>|</sub>

<sub>|</sub>

<sub>√</sub>

√

|

|

√

√

√

√

√

√

√

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về