gaitichchodaihoc

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

1

Chương 1

Tích phân bội

1.1

Tích phân kép

1.1. Tính các tích phân kép sau:
a. I=RR

D

(4x+ 2)dxdy, với D là miền: 0≤x≤2; x2 _≤_y_≤₂_x.

b. I=RR

D

y√xdxdy, với D là miền: x≥0; y≥x2; y≤2−x2.

c. I=RR

D

ylnxdxdy, với D là miền giới hạn bởi: xy= 1; y =√x; x= 2.

d. I=RR

D

xydxdy, với D là nửa trên của hình trịn: (x−2)2₊_y2 _≤_1; _y_≥₀_.

e. I=RR

D

x+y

x2₊_y2dxdy, với Dlà nửa trên của hình trịn: (x−1)

2₊_y2 _≤_1; _y_≥₀_.

f. I=RR

D

xydxdy, với D là miền giới hạn bởi: y =√2x−x2_; _y₌√₃_x_; _y_{= 0}_.

g. I=RR

D

(12−3x2−4y)dxdy với D là miền giới hạn bởi x

2

4 +y

2 _{= 1}_.

h. I=RR

D

xy2dxdy, với D là miền giới hạn bởi: x2 + (y−1)2 = 1; x2+y2 = 4y.

i. I=RR

D

dxdy

(x2₊_y2₎2, với D là miền giới hạn bởi: y =x; y =

√

3x; x2 ₊_y2 _{= 4}_x_; _x2₊

y2 _{= 8}_x.

1.2. Đổi thứ tự lấy tích phân của các tích phân sau:
a. I=

2

R

1

dx

√

2x−x2
R

2−x

f(x, y)dy.

b. I=

2

R

0

dx

√

2x

R

√

2x−x2

f(x, y)dy.

c. I=

e

R

1

dx

lnx

R

0

f(x, y)dy.

d. I=

2

R

0

dy

1

R

y

2

f(x, y)dx.

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

2 CHƯƠNG 1. TÍCH PHÂN BỘI
a. x2 ₌_y_; _x2 _{= 2}_y_; _y2 ₌_x_; _y2 _{= 4}_x.

b. y = 4x−x2; y= 2x2−5x.

c. x2₊_y2 _{= 2}_x_; _x2₊_y2 _{= 2}_y.

d. x2+y2 = 2x; x2+y2 = 1.

Cho mặt congS có phương trìnhz =f(x, y) và hình chiếu củaS lên mặt phẳngOxy

làD:=chV /Oxy. Khi đó, diện tích của mặt S được tính bởi cơng thức
∆S =

Z Z

D

q

1 +f02
x +f

0₂

y dxdy.

1.4. Tính diện tích phần các mặt cong được chỉ ra sau đậy:

a. Phần mặt phẳng x₂ +y₃ +z₄ = 1, bị chặn bởi các mặt phẳng tọa độ.

b. Phần Parabol Eliptic y= 2−x2₋_z2_{, mằn phía trong mặt trụ} _x2₊_z2 _{= 1}_.

c. Phần mặt nón z =px2₊_y2_, _{bị chặn bởi mặt trụ} _x2₊_y2 _{= 2}_x.

d. Phần mặt cầu x2₊_y2₊_z2 _{= 1, bị chặn bởi phần mặt trụ}_z2 _{= 2}_y.

1.2

Tích phân bội 3

1.5. Tính các tích phân 3 lớp sau:

a. I=RRR

V

(x2₊_z2₎_dxdydz, _với _V _{là vật thể giới hạn bởi:} _x2₊_z2 _{= 2}_y_; _y_{= 2.}

b. I=RRR

V

z2_dxdydz_{, với} _V _{là vật thể giới hạn bởi:}_x2₊_y2₊_z2 _{= 2;} _z ₌p

x2₊_y2_.

c. I=RRR

V

x2y2dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: x2+y2 = 1; z = 0; z =x2+y2.
d. I=RRR

V

ycos(x+z)dxdydz, với V là vật thể giới hạn bởi: y = √x; y = 0; z =
0; x+z = π₂.

e. I=RRR

V

x2_dxdydz, _với _V _{là vật thể giới hạn bởi:}_z _{= 2}₋_x2₋_y2_; _z _{= 0;} _x2₊_y2 _{= 1.}

f. I=RRR

V

xzdxdydz,với V là vật thể giới hạn bởi:x2+y2+z2 = 2; z =px2₊_y2_,₍_x_≤

0, y ≥0).
g. I=RRR

V

p

x2₊_y2_dxdydz, _với _V _{là vật thể giới hạn bởi:}_x2₊_y2₋_z2 _{= 0;} _z _{= 1.}

h. I=RRR

V

xyzdxdydz,với V là vật thể giới hạn bởi: x2+y2 = 2; y=x2; z = 0; z = 1.
1.6. Đổi biến thích hợp để tính các tích phân sau:

a. I=

√

3

R

0

dx

√

3−x2
R

0

dy

√

4−x2₋_y2
R

(x2_+y2_)/3

dz. b. I=

1

R

−1

dx

√

1−x2
R

−√1−x2

dy

2

R

2(x2_+y2₎
p

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

1.2. TÍCH PHÂN BỘI 3 3

c. I=

1

R

0

dx

√

1−x2
R

0

dy

√

2−x2₋_y2
R

√

x2_+y2

dz. d. I=

a

R

0

dx

√

a2₋_x2
R

0

dy

√

a2₋_x2₋_y2

R

0

zdz.
1.7. Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt sau:

a. z = 4−y2_; _z ₌_y2_+2; _x₌₋_1; _x_{= 2}_.

b. z = x2 ₊ _y2_; _z _{= 2}_x2 _{+ 2}_y2_; _y ₌

x2_; _y₌_x.

c. z =x2₊_y2_; _y₌_x2_; _y_{= 1;} _z _{= 0}_.

d. z =x2₊_y2_;_z ₌_x2₊_y2_+1;_x2₊_y2 _{= 1}_.

e. y =x2; y+z = 1; z = 0.

f. z = 4−x2_; _x2 ₊_y2 _{= 4;} _z _{= 0}_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

4

Chương 2

Tích phân đường

2.1

Tích phân đường loại 1

2.1. Tính các tích phân đường loại 1 trong _R2 _sau:

a. I=R

C

x3_dl_{, với} _C _{là cung}_y ₌ x
2

2 , (0≤x≤

√

3).
b. I=R

C

xydl, với C là chu tuyến của hình vng |x|+|y|= 1.
c. I=R

C

y2dl, với C là cung Cycloit: x=t−sint, y= 1−cost, (0≤t≤2π).

d. I=R

C

x43 +y
4

3

dl, với C là đường Astroit: x= cos3_{t, y}_{= sin}3_t, ₍₀_≤_t _≤₂_π₎_.

e. I=R

C

(y2₋_x2₎_dl_{, với} _C _{là cung}_x2₊_y2 ₌_a2_,₍_x_≤₀_{, y} _≥_0).

f. I=R

C

xydl, với C là đường gấp khúc nối O(0,0);A(1,3);B(2,4).

g. I=R

C

(y−x)dl, với C là cungx2₊_y2 _{= 4}_x,₍_y_≥_0).

h. I=R

C

p

x2₊_y2_dl_{, với} _C _{là cung}_x2₊_y2 _{= 2}_y,₍_y _≥_1).

2.2. Tính các tích phân đường loại 1 trong _R3 _sau:

a. I=R

C

(x2₊_y2₊_z2₎_dl,_với _C _{là đường} _x_{= cos}3_{t, y}_{= sin}3_{t, z} ₌_t, ₍₀_≤_t_≤₂_π_).

b. I=R

C

xyzdl, với C là một phần giao tuyến của 2 mặt x2 +y2 +z2 = 4; x2 +y2 =
1, (x≥0, y ≥0, z ≥0).

c. I=R

C

p

2y2₊_z2_dl_{, với}_C _{là một phần giao tuyến của 2 mặt:}_x2₊_y2₊_z2 _{= 2;} _y₌_x_.

d. I=R

C

(2z−px2₊_y2₎_dl_{, với} _C _{là đường xoắn ốc} _x₌_t_cos_{t, y} ₌_t_sin_{t, z} ₌_t, ₍₀_≤

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

2.2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI 2 5

2.2

Tích phân đường loại 2

2.3. Tính các tích phân đường loại 2 sau:
a. I=R

C

(2−y)dx+xdy, vớiC là cung Cycloitx=t−sint, y= 1−cost, (t : 0→2π).
b. I=R

C

(x2 ₋₂_xy₎_dx_{+ (2}_xy₊_y2₎_dy_{, với} _C _{là chu tuyến dương của miền giới hạn bởi}

y=x2_{, y} _{= 0}_{, x}_{= 1.}

c. I=R

C

ydx−(y+x2₎_dy_{, với} _C _{là phần cung} _y _{= 3}_x₋_x2_, _{nằm phía trên} _Ox _{và theo}

chiều ngược kim đồng hồ.
d. I=R

C

(xy−1)dx+x2ydy, với C là phần cungx= 1− y

2

4, lấy từA(1,0)đến B(0,2).
e. I=R

C

(x2₊_y2₎_dx_{+ (}_x2₋_y2₎_dy_{, với}_C _{là đường cong} _y_{= 1}_{− |}₁₋_x_|_,_với _x_{tăng từ 0}

đến 2.
f. I=R

C

(x+y)dx−(x2₊_y2₎_dy_{, với}_C _{là nửa trên đường tròn} _x2₊_y2 _{= 1}_,_{đi từ}_A₍₁_,₀₎

đến B(−1,0).
g. I=R

C

xdy−ydx

p

1 +x2₊_y2, với C là
1

4 đường trònx

2₊_y2 _{= 4}_,_{đi từ} _A₍₂_,₀₎_đến _B₍₀_,_2).

h. I=R

C

(x+y)dx−(x−y)dy

x2₊_y2 , với C là đường tròn x

2 ₊_y2 _{= 4}_, _{lấy ngược chiều kim}

đồng hồ.
i. I=H

C

x2ydx+x3dy, với C là chu tuyến miền giới hạn bởiy=x2, x=y2.

j. I=H

C

(6y+x)dx+ (3y+ 2x)dy, với C là đường tròn (x−2)2_{+ (}_y₋₃₎2 _{= 4}_.

k. I=R

C

(exsiny+ 5xy)dx+ (excosy−5)dy, vớiC là nửa trên đường trònx2+y2 = 2x,

đi từ A(2,0) đến O(0,0).
l. I=H

C

(xy+x+y)dx+ (xy+x−y)dy, với C là đường Elip x

2

a2 +

y2

b2 = 1.

m. I=R

C

(ey_sin_x₋_x₎_dx_{+ (}_ey_cos_x₋₁₎_dy_{, với} _C _là 1

4 đường tròn x

2 ₊_y2 _{= 2}_x, _{đi từ}

O(0,0)đến A(1,1).
n. I=

(3,2)

R

(1,1)

xdx+ydy

x2₊_y2 , theo đường cong không đi qua gốc O.

o. I=

(3,0)

R

(−2,−1)

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

6 CHƯƠNG 2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG
p. I=

(1,0)

R

(0,−1)

xdy−ydx

(x−y)2 , theo đường cong khơng cắt đường thẳng y=x.

2.4. Tìm các tham số để các tích phân sau khơng phụ thuộc vào đường lấy tích phân
a. I=R

C

(x+y)(xdy−ydx)

(x2₊_y2₎n , vớin là tham số và C là đường cong không đi qua gốc tọa

độ.
b. I=R

C

(1−ax2₎_dy_{+ 2}_bxydx

(1−x2₎2₊_y2 , với a, blà tham số vàC là đường cong không đi qua các

điểm (1,0)và (−1,0).
c. I=R

C

(x−y)dx+ (x+y)dy

(x2₊_y2₎n , với n là tham số và C là đường cong không đi qua gốc

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

7

Chương 3

Tích phân mặt

3.1

Tích phâm mặt loại 1

3.1. Tính các tích phân sau:
a. I=RR

S

(3x+ 2y+z)ds, với S là phần mặt phẳng x+ 2y+z = 1 nằm trong miền

x≥0, y ≥0, z ≥0.
b. I=RR

S

zds, với S là phần mặt Paraboloidz = 2−x2₋_y2 _{nằm trong miền} _z _≥_0.

c. I=RR

S

(x2₊_y2₎_ds_{, với} _S _{là nửa mặt cầu} _x2₊_y2₊_z2 _{= 1} _{nằm trong miền} _z _≥_0.

d. I=RR

S

xyds, với S là 1₄ mặt cầu x2₊_y2₊_z2 _{= 1} _{nằm trong miền} _x_≥₀_{, y} _≥_0.

e. I=RR

S

p

x2 ₊_y2_ds_{, với}_S_{là phần mặt nón}_x2₊_y2₋_z2 _{= 0}_{nằm trong miền}₀_≤_z _≤_1.

f. I=RR

S

xyzds, với S là phần mặt trụ x2+y2 = 1 bị cắt bởi các mặt y+z = 1, z = 0
và nằm trong miềnx≥0.

g. I=RR

S

xzds, với S là phần mặt phẳng y+ 2z = 6 nằm trong mặt trụ x2₊_y2 _{= 2}_y_.

h. I=RR

S

(xy+yz+zx)ds, với S là phần mặt nón z = px2₊_y2 _{nằm trong mặt trụ}

x2₊_y2 _{= 2}_x_.

3.2. Tính diện tích phần mặt phẳng x+ 2y+ 2z = 5 nằm trong 2 mặt trụ y = x2 và

y= 2−x2_.

3.3. Tính diện tích phần mặt cầu x2₊_y2₊_z2 _{= 2} _{nằm trong mặt nón} _z ₌p

x2 ₊_y2_.

3.4. Tính diện tích xung quanh của vật thể giới hạn bởi x2₊_y2 _{= 1}_{, x}₊_z _{= 1} _và _z _{= 0.}

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

8 CHƯƠNG 3. TÍCH PHÂN MẶT

3.2

Tích phân mặt loại 2

3.6. Tính trực tiếp các tích phân mặt loại 2 sau
a. I=RR

S

xyzdxdy, vớiSlà mặt phía ngồi của 1₄ mặt cầux2+y2+z2 = 4,(x≥0, y ≥0).
b. I=RR

S

xdydz, vớiS là mặt phía trên (theo hướng Oz) của nửa mặt cầux2₊_y2₊_z2 ₌

4,(z ≥0).
c. I=RR

S

zdxdy, với S là phần mặt Paraboloid z =x2₊_y2 _{nằm trong miền} ₀_≤_z _≤_1,

lấy phía ngồi.
d. I=RR

S

y2dxdz, với S là mặt phía ngồi của phần mặt Paraboloid z = x2 +y2 nằm
trong miền 0≤z ≤1.

e. I=RR

S

z2_dydz₊_xdxdz₋₃_zdxdy_{, với}_S_{là mặt phía trong của phần mặt trụ} _z _{= 4}₋_y2

nằm trong miền 0≤x≤1, z ≥0.
f. I=RR

S

xdydz +ydxdz+zdxdy, với S là mặt phía trong của phần mặt trụ y = x2

nằm trong miền 0≤z ≤1, y ≤1.
g. I=RR

S

xydydz+yzdzdx+zxdxdy, vớiS là mặt phía trên (theo hướng Oz) của phần

mặt phẳng y+z = 2 nằm trong trụ x2+y2 = 1.

3.7. Dùng công thức Ostrogratxki - Gauss để tính các tích phân sau
a. I=RR

S

yzdydz+yxdxdz+y2dxdy, với S là biên phía ngồi của tứ diện x+y+z ≤

1, x≥0, y ≥0và z ≥0.
b. I=RR

S

xzdydz+zydxdz+xydxdy, với S là biên phía trong của vật thể giới hạn bởi

x2₊_y2 ₌_z2_,₀_≤_z _≤_1.

c. I=RR

S

xzdydz+zydxdz+xydxdy, vớiSlà mặt phía ngồi của phần mặt nónx2₊_y2 ₌

z2, nằm trong miền 0≤z ≤1.
d. I=RR

S

z2_dxdy_{, với} _S _{là mặt phía ngồi của ellipsoid} x

2

4 +

y2

9 +

z2

16 = 1.
e. I=RR

S

xdydz+ydxdz+zdxdy, vớiSlà mặt phía ngoài của phần mặt cầux2+y2+z2 =
2z, nằm trong miền 0≤z ≤1.

f. I=RR

S

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

9

Chương 4

Phương trình vi phân

4.1. Giải các phương trình vi phân cấp 1 sau:

a. tanydx−xlnxdy= 0

b. x(1 +x2)y0−y(x2+ 1) + 2x= 0
c. xy0 =eyx +y+x

d. y0−2ytanx+y2sin2x= 0
e. y0cosx=y

f. y0−2y= sin 2x

g. x(y0−siny_x) =y

h. 3y+ 2

x+ 1 y

0 ₌ y

2_{+ 4}

√

x2_{+ 4}_x_{+ 13}

i. y0 = 1 + cosx

j. (x2 +y)dx+ (x−2y)dy = 0
k. x2y0+y2+xy+x2 = 0

l. ydx−(x+y2_sin_y₎_dy_{= 0}

m. x2y2y0+xy3 = 1
n. y0 = 1

2x+y

o. 2ydx= (2y3₋_x₎_dy

p. (y+ _x22)dx+ (x−

3

y2)dy= 0
q. y0 =√2x+y−3

r. y0 =p3

(4x−y+ 1)2

s. y0+y =xe3x

t. (x2₋_xy₎_dy₊_y2_dx_{= 0}

u. y0 =y(y3cosx+ tanx)
v. y0 = x−y−1

x−y−2
w. y0 = sin(y−x−1)

x. (x+ 2y)dx−xdy= 0

4.2. Tìm nghiệm riêng của các phương trình sau với điều kiện ban đầu đã cho tương ứng:
a. x2₍_y3_{+ 5)}_dx_{+ (}_x3_{+ 5)}_y2_dy _{= 0, thỏa mãn} _y_{(0) = 1}_.

b. xy0 =ylny_x, thỏa mãn y(1) = 1.

c. 3dy+ (y+ 3y4) sinxdx = 0, thỏa mãn y(π₂) = 1.

d. y0 =−3x−1 + 3y

2(x+y) , thỏa mãn y(0) = 2.
e. (√xy−x)dy+ydx = 0, thỏa mãn y(1) = 1.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

10 CHƯƠNG 4. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
g. y0√1 +x2₊_y_{= arcsin}_x_{, thỏa mãn}_y_{(0) = 0}_.

h. 2ydx+ (2x−x3y)dy= 0, thỏa mãn y(1₂) = 1.

4.3. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 sau:
a. (1−lnx)y00+ y

0

x −
y

x2 = 0, biết phương trình có một nghiệm riêng lày= lnx.

b. y00+y0tanx−cos2_x_{= 0, biết phương trình có một nghiệm riêng có dạng} _y₌_eαx_.

c. x2y00−xy0 +y= 0, biết phương trình có một nghiệm riêng dạng đa thức.

d. x2_y00₋₂_y₌_x2_{, biết PT thuần nhất tương ứng có một nghiệm riêng là} _y₌ 1

x.

e. (2x+ 1)y00+ (2x−1)y0−2y =x2+x, biết PT thuần nhất tương ứng có một nghiệm
riêng dạng đa thức.

4.4. Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 hệ số hằng sau:
a. y00−3y0+ 2y= 2x2₋₆

b. y00+ 2y0−3y= 4ex

c. y00−3y0 = 3x+ 7

d. y00+ 4y0+ 4y=e2x

e. y00−6y0+ 10y= sin 2x

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

11

Chương 5

Lý thuyết chuỗi

5.1. Xét sự hội tụ của các chuỗi số sau:

a.

∞

P

n=1

(n+ 1) sinπ

n
b.
∞
P
n=1
1
p

n(n+ 2)

c.

∞

P

n=1

2n₊_n

3n_{+ 1}

d.

∞

P

n=1

(2n+ 1)!!

n!
e.
∞
P
n=1

n2_{+ 2}

2n2₊_n

n
f.
∞
P
n=1

n+ 1

n+ 2
2n2
.

g.
∞
P
n=1
ln

n+ 3

n+ 1

h.

∞

P

n=1

n3₊_n

en

i.

∞

P

n=1

n−1
ln2n

j.

∞

P

n=1

n2+n
n2_{+ 1}

n

k.

∞

P

n=1

(2n+ 1)!
2n_.n2

l.
∞
P
n=1
2n

1− 2

n
n(n+1)
m.
∞
P
n=1

(−1)n n!
(2n)!!

n.

∞

P

n=1

n2+ 2n

2n2_{+ 3}

2
o.
∞
P
n=1

n−n2

n2_{+ 1}

n
p.
∞
P
n=1
1
n!
n
e
n
q.
∞
P
n=1
√

n+ 1−√n−1

n

r.

∞

P

n=1

3n₍_n_!)2

(2n)!

s.

∞

P

n=1

(−1)ntan√1

n

5.2. Tìm miền hội tụ của các chuỗi hàm sau:

a.

∞

P

n=1

n+√n

2n x

n_.
b.
∞
P
n=1

3n2+ 1
5n2₋₁

n

xn_.

c.

∞

P

n=1

n!

nn_xn.

d.

∞

P

n=1

1

n3₂n₍_x_{+ 1)}n.

e.

∞

P

n=1

3n_x2n

2n+ 1.
f.

∞

P

n=1

(−1)n−1

n2n (2x−3)
n_.

5.3. Tính tổng
a.

∞

P

n=1

x4n−3

4n−3.
b.

∞

P

n=1

(−1)n−1

(2n−1)3n−1.

c.

∞

P

n=1

n(n+ 1)xn−1_.

d.

∞

P

n=1

</div>

<!--links-->