DAP AN HSG TOAN 9 THANH HOA 20112012

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Sở Giáo Dục Và Đào Tạo Kì thi chọn học sinh giỏi tỉnh </b>

<i><b> </b></i><b>Thanh Hóa Năm học: 2011-2012 </b>
<b> </b>

§Ị thi chÝnh thøc Mơn thi :<b> To¸n</b>

<b> </b> <b> Lớp 9 THCS</b>
Ngày thi 23 tháng 3 năm 2012

Thời gian: 150 phút ( không kể thời gian giao đề )

Câu I (4,0 điểm)

Cho biểu thức P=

1 8 3 1 1 1

:
10

3 1 3 1 1 1

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

 _ _   _ _ 

 

   

 _ _ _   _ _ _ _ 

   

1, Rút gọn P

2, Tính giá trị của P khi x =

4 3 2 2 4 3 2 2

3 2 2 3 2 2

 



 

Câu II (4,0 điểm)

Trong cùng một hệ tọa độ, cho đường thẳng d : y = x – 2 và parabol (P) : y =  <i>x</i>2_{. Gọi A và B là giao}
điểm của d và (P)

1) Tính độ dài AB

2) Tìm m để đường thẳng d’ : y = -x + m cắt (P) tại hai điểm C và D sao cho CD= AB

Câu III (4,0 điểm)

1) Giải phương trình
2

2

2
1
2

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>

<i>y</i>
<i>x</i>



 






 




2) Tìm nghiệm nguyên của phương trình

6 2 3

2x <i>y</i>  2x <i>y</i>320

Câu IV (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có AB>AC. Gọi M là trung điểm của BC; H là trực tâm; AD,BE,CF là các
đường cao của tam giác ABC. Kí hiệu (<i>C</i>1) và (<i>C</i>2) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF và DKE,
với K là giao điểm của EF và BC. Chứng minh rằng:

1) ME là tiếp tuyến chung của (<i>C</i>1_{) và (}<i>C</i>2₎
2) KH_AM

Câu V (2,0 điểm)

Với 0_x,y,z_{1. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình :}

3

1 x 1 1

<i>x</i> <i>y</i> <i>z</i>

<i>y z</i>  <i>z xy</i> <i>x zy</i> <i>x y z</i>

       

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i><b>Lời giải tóm tắt</b></i>

<i>Câu I:</i>

<i>1, Rút gọn P</i>

<i> </i>Đặt = a > 0  <i>x a</i> 21_{, ta có:}

2 2

2 2

9 3 1 1 9 3 1 1

: :

3 9 3 3 (3 )(3 ) ( 3)

3( 3) 2( 2) 3

:

(3 )(3 ) ( 3) 2( 2)

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>P</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a</i> <i>a a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a</i>

<i>a</i> <i>a</i> <i>a a</i> <i>a</i>

           

_  _ _  __  _{ }  _

          

   

     

_ _{ } _

   

   

Vậy :

3 1

2( 1 2)

<i>x</i>
<i>P</i>

<i>x</i>




  <i>_{với x > 1 và x}</i>_<i>₁₀</i>
2, Ta có:



 



4 4

2 2

2

3 2 2 3 2 2 2 1 2 1

3 2 2 3 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1

2 2 1 2 1 2 4

2 1 2 1

2 (vi x > 0)

<i>x</i>
<i>x</i>

<i>x</i>

   

   

   

 

         

 

 

Khi đó:

1
2

<i>P</i>

<i>Câu II:</i>

<i>1)Tính độ dài AB</i>

Hoành độ của điểm A và B là hai nghiệm của phương trình:
-x = x - 2

 _{x +x - 2 = 0}
 _{x = 1 ; x = -2}
 _{A(1;-1) B(-2;-4)}
 _{AB = = 3}

<i>2)</i> Hoành độ của điểm C và D là hai nghiệm của phương trình:
-x = -x + m

 _{x -x + m = 0 (*)}

Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là:  > 0  _{1-4m > 0} _{m <}
Gọi x ; x là hai nghiệm của PT (*) theo hệ thứcc Vi-ét,ta có

1 2

1 2

1

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x x</i> <i>m</i>

 






 

Ta có: C(x;-x ) ; D(x; -x )
Do đó:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4

( ) 4 [( ) 2 ] 4

1 4 (1 2 ) 4 8 2

<i>CD</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x x</i> <i>x x</i>

<i>m</i> <i>m</i> <i>m</i> <i>m</i>

         

      

      

Ta có: <i>CD AB</i>  <i>CD</i>2 <i>AB</i>2  8<i>m</i> 2 18 <i>m</i>2_{(thoả mãn)}

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

<i>Câu III</i>

1) Giải hệ PT

2

2

2 (1)
1

(2)
2

<i>x</i>
<i>x</i>
<i>y</i>
<i>y</i>

<i>y</i>
<i>x</i>



 






 



ĐK: x, y 0

Nhân hai vế của (1) và (2) ta được : (x+y)2_{=1 suy ra x + y =1 hoặc x + y = -1}

 Nếu x + y =1  _{y = 1 - x thay vào (1) ,giải ra ta được:}

2 1

,

3 3

<i>x</i> <i>y</i>
 Nếu x + y = -1  y = -1 - x thay vào (1) ,giải ra ta được: x = -2, y = 1
Vậy hệ có hai nghiệm là: (x;y) = (-2;1) ;

2 1
;
3 3

 

 

 

2) Ta có:









6 2 3

2

3 6

6 6

2 2 320

320

320 3 3 2; 1;0;1;2

<i>x</i> <i>y</i> <i>x y</i>

<i>x</i> <i>y</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

  

   

        

Lập bảng ta có:

x -2 -1 0 1 2

y 8 -24 loại loại loại -8 24

Vậy nghiệm nguyên của PT là: (x;y) = (-2;8); (-2;-24); (2;-8); (2;24)

<i>Câu IV</i>

1) Ta có các tam giác BME và HC1E cân tại M và C1 nên:

<i>MEC</i>1 <i>BEM BEC</i>  1<i>MBE C HE</i>1 <i>MBE BHD</i> 900  <i>ME</i><i>C E</i>1
Vậy ME là tiếp tuyến của (C1)

Áp dụng tính chất vào các tứ giác nội tiếp BCEF, CDHE và góc ngồi tam giác CFK ta có:
<i>DEM</i> <i>DEB MEB DEB MBE DEB CFE DCF CFE CKE</i>           

Suy ra ME là tiếp tuyến của (C2)

Vậy ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2)

I H

B

A

C C₂ K

D

E

F C₁

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

2) Gọi I là giao điểm của AM và (C1), nối K với I

Vì ME là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) nên dễ thấy:

ME2_{= MD.MK , ME}2_{= MI.MA}

Suy ra MD.MK = MI.MA nên tam giác MKI đồng dạng với tam giác MAD
Suy ra : <i>MIK</i> <i>MDA</i> 900  <i>KI</i> <i>AM</i> _mà<i>_HI</i> _<i>_AM</i> _{(do I nằm trên (C}

1))

Do đó K, H, I thẳng hàng hay <i>KH</i> <i>AM</i> _(Đpcm)
Câu V:

Vì 0<i>x y z</i>, , 1_nên

2 _1; 2 ₁ 1

1 ( )

<i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>xy</i> <i>y</i> <i>x</i> <i>xy zx</i> <i>y zx</i>

<i>y zx</i> <i>x x y z</i> <i>x y z</i>

          

      _{(vì x dễ}
thấy x khác 0)

Tương tự :

1
1

<i>y</i>

<i>z xy</i> <i>x y z</i>

    _;

1
1

<i>z</i>

<i>x zy</i> <i>x y z</i>

   

Suy ra : VT

3

<i>x y z</i>



  _=VT

</div>

<!--links-->