Chuyen de so phuc

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (402.92 KB, 49 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

ĐẶT VẤN ĐÊ

Số phức đóng vai trò quan trọng như là công cụ đắc lực nhằm giải quyết
hiệu quả nhiều bài toán đại số, giải tích, hình học, số học và tổ hợp.

Trong các kì thi học sinh giỏi toán thành phố, quốc gia, Olympic khu vực
và quốc tế, nhiều bài toán liên quan đến số phức hoặc giải quyết trên quan điểm
áp dụng các tính chất của sớ phức.

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

CHUN ĐỀ: SỚ PHỨC
I. ĐẠI CƯƠNG VỀ SỐ PHỨC

II. BÀI TẬP

VẤN ĐỀ 1: TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 2: DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 3: PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 4: TẬP HỢP ĐIỂM – MAX, MIN CỦA MÔĐUL SỐ PHỨC
VẤN ĐỀ 5: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC

VẤN ĐỀ 6: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN HỆ
PHƯƠNG TRÌNH

VẤN ĐỀ 7: ỨNG DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG MINH MỘT SỐ ĐẲNG
THỨC LƯỢNG GIÁC

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

PHẦN I. ĐẠI CƯƠNG VỀ SỚ PHỨC

1. Khái niệm sớ phức

Số Phức (dạng đại sô) có dạng z = +a bi với a, bỴ R, a gọi là phần thực,

b gọi là phần ảo, i là số ảo, i2 = –1.

z là số thực  phần ảo của số phức z bằng 0 (b = 0).

z là số thuần ảo  phần thực của số phức z bằng 0 (a = 0).

Số 0 vừa là số thuần thực vừa là số thuần ảo.

Hai số phức

' ' ( , , ', ' )

a a

a bi a b i a b a b R

b b

ìï =
ï

+ = + ớù = ẻ

ùợ .

Tõp hp cac sụ phc ki hiệu là £ và ¡ Ì £ .
2. Biểu diễn hình học của số phức.

Mỗi số phức z = a + bi (a, bỴ R) xác định mợt điểm M(a; b) hay xác định
một véc tơ u =( ; )a b

trong mặt phẳng (oxy). Ta có quan hệ tương ứng 1–1 giữa
tập các số phức với tập hợp điểm trong mặt phẳng (oxy) hay tập các không gian
véc tơ hai chiều. Do vậy mặt phẳng (oxy) còn gọi là mặt phẳng phức.

3. Tổng hai số phức, hiệu hai số phức

(

a bi+

) (

+ a b i'+ '

)

(

a a+ '

) (

+ +b b i'

)

.

(

a bi+

) (

- a b i'+ '

)

=(a a- ') (+ -b b i') .

Số đối của số phức z = a + bi là số phức z’ = –a – bi và ta kí hiệu số đối của số
phức z là –z . Vậy –z = -a – bi.

Véc tơ ur biểu diễn số phức z, véc tơ ur' biểu diễn số phức z' thì véc tơ u ur+r'
biểu diễn số phức z + z’ và véc tơ u ur- r' biểu diễn số phức z – z’.

4. Nhân hai số phức.

(

a bi a b i+

) (

'+ '

)

=( aa bb'- ') +

(

ab' + ba i'

)

.

y

O a

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

5. Số phức liên hợp. Số phức liên hợp của số phức z = a + bi là số z = -a bi

1 1

2 2

; ' ' ; . ' . '; z z

z z z z z z z z z z

z z

ổ ửữ
ỗ ữ

= = = ỗ ữỗ ữ=

ỗố ứ ; z z. =a2+b2

.
z là số thực  z=z ; z là số ảo  z= - z.

6. Môdul của số phức.

Sớ thực

2 2
z = a +b Ỵ ¡

gọi là môdul của số phức z = a + bi.

2 2

z = a +b = zz =OMuuur với M a b

( )

; là điểm biểu diễn số phức z.

0, , 0 0

z ³ " Ỵz C z = Û z=

. ' . '

z z = z z ; ' '

z z

z = z ; z - z' £ z z± ' £ z +z'.

7. Chia hai số phức.

Số nghịch đảo của số phức z là số phức z- 1 thoả mãn z z. - 1=1. Kí hiệu

1 1

z

z
- =

;

z z

z
- =

(z  0);

' '. '.

z z z z z

z z

z z z z

-= = =

;

z

w z wz

z = Û =

8. Căn bậc hai của số phức.

w= +x yi là căn bậc hai của số phức z= +a bi khi và chỉ khi

w =z 

2 2

x y a

xy b

ìï - =

ïïí

ï =

ïïỵ .

Sớ 0 có mợt căn bậc hai là sớ w = 0.

Sớ z ¹ 0 có hai căn bậc hai đối nhau là w và – w.
Hai căn bậc hai của số thực a > 0 là ± a.
Hai căn bậc hai của số thực a < 0 là ± -i a.

9. Giải phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, CỴ £ , A ¹ 0).

* Tính D =B2- 4AC =d2, d là 1 căn bậc hai của .

* D ¹ 0: pt(*) có hai nghiệm phân biệt 2
B
z

A
d

- ±

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

* D = 0: pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép) 2
B
z

A

Chú ý: Nếu A, B, C là các hệ sô thực, z là nghiệm của pt(*) thì z cũng là 
nghiệm của pt(*). Như vậy nếu biết được một nghiệm của pt bậc hai có hệ sơ
thực thì ta biết được nghiệm còn lại.

10. Dạng lượng giác của số phức.

Mỗi góc lượng giác j =( ,Ox OM) gọi là một Acgumen của số phức z.
Khi đó số phức

(

)

2 2

2 2 2 2 cos sin 0

a b

z a bi a b i r i

a b a b j j

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ

= + = + ỗ + ữữ= + ạ

ỗ ữ

ố + + ø

với

2 2,cos a,sin b

r a b

r r

j j

= + = =

gọi là dạng lượng giác của số phức z.

1 cos sin ( )

z = Û z= j +i j j Ỵ R

.
11. Nhân chia sớ phức dưới dạng lượng giác.

Cho z =r(cosj +isin ) ,j z'=r'(cos 'j +isin ')j . Khi đó
z z. '=rr '. cos(ëé j +j ')+isin(j +j ')ùû.

' ' cos( ') sin( ')

z r

i

z =r éë j - j + j - j ùû.
12. Công thức Moa–vrơ:

(

cos sin

)

n n

(

cos sin

)

r j i j r nj i nj

é + ù = +

ê ú

ë û ,

(

n NỴ *

)

.

(

cosj +isinj

)

n =cosnj +isinnj .

13. Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác.

Số phức z =r(cos j +isin )j , (r > 0) có hai căn bậc hai là

2 2

cos sin cos sin , 0,1

2 2 2 2

k k

rỗổ j i j ữửữ rổỗ j + p i j + pửữữk

ỗỗỗ + ữữ= ỗỗỗ + ữữ =

ố ø è ø .

Mở rộng: Số phức z=r(cos j +isin )j (r > 0) có n căn bậc n là

2 2

cos sin , 0,1,..., 1

nr ỗổ j +k p +i j +k pư÷÷k = n

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

PHẦN II. BÀI TẬP

VẤN ĐÊ 1. TÌM PHẦN THỰC, PHẦN ẢO CỦA MỘT SỐ PHỨC
Để tìm phần thực, phần ảo của mợt sơ phức ta đưa sơ phức đó về dạng 
đại sơ.

1.1. MỢT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ 1. Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau
a. z=

(

2 4 3 5+ i

) (

- i

)

+7 4 3

(

- i

)

(

) (

)

1 2 2 3 3 2

z = - i - - i + i

3 2

i i

z

i i

- +

Bài giải

a. z =

(

26 2+ i

) (

+ 28 21- i

)

=54 19- i

Vậy phần thực của z là 54, phần ảo của z là -19.
b. z = - -

(

3 4i

) (

- 12 5- i

)

= - 15+i

Vậy phần thực của z là -15, phần ảo của z là 1.

(

)

(

)

(

)

(

)

3 1 3 1 3 1

1 2 1 2

2 2 2

i i

z= - - - - i = - - + i- - i

3 3 2 2 3 1

2 2 i

- -

-= +

Vậy phần thực của z là

3 3
2

-, phần ảo của z là

2 2 3 1

-VÍ DỤ 2. Tìm phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau

(

)

z = +i

(

) (

)

(

)

2 20

1 1 1 ... 1

z = + + + +i i + + +i

Bài giải

a. Ta có

(

)

1+i =2i

suy ra

(

)

( )

10 5

1+i = 2i =32i

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

b. Nhận thấy z là tổng của 21 số hạng đầu của một cấp số nhân với số
hạng đầu là 1, công bội là

(

1+i

)

. Suy ra:

(

)

(

)

(

)

210

(

)

( ) (

)

21 10

10 10

1 1 . 1

1 1 1 2 1 2 1 2

1 1

i i

i i i i

z

i i i

i

é ù

- ê + ú +

- + êë úû - + + +

= = = =

- -

-- +

(

)

10 10

2 2 1i

= - + +

. Vậy phần thực của z là - 210, phần ảo của z là 210+1
VÍ DỤ 3. Tìm phần thực, phần ảo của số phức

(

)

z= +i
Bài giải

Ta có

(

)

10
10

10 5 5

3 2 cos sin 2 cos sin

6 6 3 3

z= +i =ộờờỗổỗỗỗ p+i pữữữửữỳựỳ = ổỗỗỗỗ p+i p÷÷÷÷ư

è ø è ø

ë û

10 5 10 5 10 1 10 3 9 9

2 cos 2 sin 2 . 2 . 2 2 3

3 3 i 2 2 i i

p p ổỗỗ ửữữ

= + = + ỗ- ữữ=

-ỗ ữ

ỗố ứ

Võy phõn thc của z là 29, phần ảo của z là - 2 39 .

VÍ DỤ 4. Tìm phần thực, phần ảo của số phức

(

)

(

)

3
3

i
z

i

+
=

Bài giải

Ta có

(

)

(

)

(

)

(

)

10 10

5 5

2 cos sin

3 3 6 6

3 2 cos sin

6 6

i

i i

z

i

i i

p p

ộổỗ ửữự

ờỗ + ữữỳ

+ + ờởỗỗố ữứỳỷ

= = =

ộ - -

- ç ÷

+ êç + ÷ú

êççè ÷øú

ë û

5 5

cos sin

3 3

5 5

cos sin

6 6

i
i

p p

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

ổ - - ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

5 5 5 5

2 cos sin 2

2 2 i i

p p

ổ ữử

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ=

ỗố ứ .

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

(

) (

)

(

)

1 3 1 3 ... 1 3

z = +i + +i + + +i

Bài giải

Tổng trên là tổng của 10 số hạng đầu tiên của cấp số nhân. Ta có

(

) (

)

(

)

10 10

1 3 1 3 10 10

1 3 . . 2 .cos 2 .sin 1

3 3

i i

z i i

i

p p

+ - - ổỗ ổỗ ửữ ửữ

ữ
ữ

= + = ỗỗ +ỗỗỗ ữữ- ữữ

ỗ ố ứ

ố ứ

...(Hs làm tiếp).

VÍ DỤ 6. Tìm phần thực phần ảo của sớ phức z biết z =5 và

(

z- 3

)

i Ỵ ¡ .
Bài giải

Gọi phần thực, phần ảo của z lần lượt là x, y

(

x y; Ỵ ¡

)

. Ta có

2 2

5 25

z = Û x +y =

(1)

(

z- 3

)

i =

(

x yi- - 3

)

i = +y

(

x- 3

)

i Ỵ ¡ Û x=3

(2).
Từ (1) và (2) ta tìm được x = 3, y = 4 hoặc -4.

VÍ DỤ 7(KD.2010). Tìm số phức z thỏa mãn z = 2 và z2 là số ảo.
Bài giải

Giả sử số phức z đó là z = x+iy, x y, ẻ Ă ị x2+y2=2 (1).

Ta lại có

(

)

2 2 2 2

z = x - y + xyi

là số ảo Û x2- y2=0 (2).

Từ (1) và (2) có hệ phương trình

2 2

1
1
1
2

1
0

1
1

x y
x y

x
x y

y
x y

x
y

é = =
ê

ê = =
-ê

êì

ì ï

ï + = êï =

ïï Û íê

í ï =

-ï - = êï

ï ỵ

ïỵ êìïê

=-ïêí
êï =ïêỵë

Vậy có 4 sớ phức z thoả mãn là 1+ - -i; 1 i;1- i; 1- +i.

VÍ DỤ 8 CĐ 2010. Cho số phức z thỏa mãn

(

)

(

)

(

)

2 3- i z+ 4+i z = - 1 3+ i

.
Tìm phần thực và phần ảo của số phức z.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Giả sử số phức z đó là z = x+iy, x y, ẻ Ă ị z = -x yi.
Ta co

(

2 3- i z

)

(

4+i z

)

(

6x+4y

) (

+ - 2x- 2y i

)

(

)

1 3i 8 6i

- + =

Suy ra

(

)

(

)

(

)

2 6 4 8 2

2 3 4 1 3

2 2 6 5

x y x

i z i z i

x y y

ì ì

ï + = ï =

-ï ï

- + + = - + Û íï Û íï

- - = - =

ï ï

ỵ ỵ .

Vậy phần thực, phần ảo của số phức z lần lượt là -2, 5.
VÍ DỤ 9. Tìm các căn bậc hai của số phức 16 30+ i.
Bài giải

Giả sử w = x+iy, x y, Ỵ ¡ là căn bậc hai của số phức 16 30+ i khi và chỉ

khi

2 2 16 5

2 30

x
x y

y
xy

ì ì

ï - = ï =

ï ï

ï Û

í í

ï = ï =

ï ïỵ

ïỵ hoặc

5
3

x
y

ìï =
-ïí
ï =

-ïỵ .

Vậy có hai căn bậc hai của số phức 16 30+ i là 5 3 ; 5 3+ i - - i.
1.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1. Tìm phần thực phần ảo của mỗi số phức sau

(

) (

)

3 3

2+i - 3- i

7
7

1 1

2i i i

ổ ửữ

ỗ - ữ

ỗ ữ

ỗố ø

(

)

(

) (

)

1 1

1 2 3 2 3

i

i i i

i i

ổ+ ữử

ỗ ữ + - + + - +

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ

-ố ứ

Bi 2. Tim phần thực, phần ảo của mỗi số phức sau

(

)

(

)

1
3

i
z

i

+
=

(

)

7
5

cos sin 1 3

3 i 3 i i

p p

ổ ửữ

ỗ - ữ +

ỗ ữ

ỗố ứ

10
10

z

biết

1
1

z
z

+ =

Bài 3. Tìm phần thực, phần ảo của sớ phức z biết z =5 và

7
1

z i
z

-Ỵ

+ ¡

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 5. Cho số phức z = +x yi

(

x y; Ỵ ¡

)

. Tìm điều kiện của x; y để số phức

(

2- z i

)

( )

+z

là số thuần thực.

Bài 6. Biết số

(

2- z i

)

(

+z

)

là một số thuần ảo, hãy tìm 2z-

(

2+i

)

Baøi 7. Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3
2

(3 2 )(2 5 )

(3 )

(4 3 )

i i

z i

i

+ +

= - +

Bài 8. Viết sớ phức sau dưới dạng a+bi.

a) (1+i)2- (1– )i 2 b) (2+i)3- (3- i)3 c) (3 4 )+ i 2

1
3

2 i

ổ ửữ

ỗ - ữ

ỗ ữ

ỗố ứ e)

2 2

(1 2 ) (1 )

(3 2 ) (2 )

i i

+ -

-+ - + f) (2- i)6

Baøi 9.Cho các số phức z1= +1 2,i z2= - +2 3,i z3= -1 i. Tính

a)z1+ +z2 z3 b) z z1 2+z z2 3+z z3 1 c) z z z1 2 3

d) z12+z22+z32 e)

1 2 3
2 3 1

z z z

z +z +z f)

2 2
1 2

2 2
2 3

z z

+
+

Baøi 10. Tìm x, y sao cho

a) (1 2 )- i x+ +(1 2 )y i = +1 i b)

3 3

x y

i

i i

-+ =

-Baøi 11. Phân tích các biểu thức sau thành nhân tử, với a, b, c  R:

a) a2+1 b) 2a2+3 c) 4a4+9b2 d)

2 2

3a +5b

e) a4+16 f) a3- 27 g) a3+8 h) a4+a2+1

Baøi 12. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau

a) - +1 4 3i b) 4 6 5+ i c) - -1 2 6i d) - +5 12i

Baøi 13. Tìm các căn bõc hai cua cac sụ phc sau.

1
1

i
i

ổ+ ữử

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ

-ố ứ f)

1 3

i
i

ổ- ửữ

ỗ ữ

ỗ

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

VN ấ 2: DANG LNG GIÁC CỦA SỚ PHỨC
PHƯƠNG PHÁP

Biến đởi

(

)

2 2

2 2 2 2 cos sin

x y

z x yi x y i z i

x y x y j j

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ

= + = + ỗ + ữữ= +

ỗ ữữ

ỗ + +

ố ứ

Sau đó sử dụng linh hoạt công thức Moa–vrơ. Sau đây là mợt sớ ví dụ cơ bản.
2.1. MỢT SỚ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ 1. Viết số phức z= - +1 3i dưới dạng lượng giác, từ đó tìm một
acgument của z.

Bài giải

Biến đổi

1 3 2 2

1 3 2 2 cos sin

2 2 3 3

z = - + i = ỗổỗỗ- + iữữữửữ= ỗỗỗỗổ p+i pữửữữữ

ỗ ữ ố ứ

ỗố ứ . Suy ra

z co mụt acgument la

2
3

p
j =

VÍ DỤ 2. Viết số phức z cos5 isin5

p p

dưới dạng lượng giác, từ đó tìm một
acgument của z.

Bài giải

Biến đổi

cos sin cos sin

5 5 5 5

z = p- i p =ổỗỗỗ ỗỗổ ửỗỗ- pữữữữ+i ỗỗổ ửữỗỗ- pữữữữữữữử

ỗ ố ứ ố ứ

ố ứ. Suy ra z có một

acgument là 5
p

Nhận xét: Thường học sinh hay nhầm lẫn z cos5 isin5

p p

là dạng

lượng giác và z có một acgument là 5
p

VÍ DỤ 3. Tìm một acgument của số phức

40
20 1 3

(2 2 ) .
1

i

z i

i

ổ+ ửữ

ỗ ữ

ỗ

= + ỗỗố ữữ

ứ

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Biến đổi:

(

)

20 20 20

(2 2 ) 2 cos sin 2 cos5 sin5

4 4

i ổỗ p i pửữữ p i p

+ = ỗỗ + ữữ = +

ỗố ứ

(

)

40 40

40 40 40 40

1 3 2 cos sin 2 cos sin

3 3 3 3

i ỗổ p i pữữử ổỗ p i pửữữ

+ = ỗỗỗ + ữữ = ỗỗỗ + ữữ

ố ứ ố ứ

(

)

40 40

(

)

(

)

1 cos sin cos 10 sin 10

4 4

i ổỗ - p i - ữpửữ p i p

- =ỗỗ + ữ = - +

-ữ

ỗố ứ

Suy ra

(

)

(

)

(

)

40
40

20
20

1 3

(2 2 ) . 2 2 .

1 1

i
i

z i i

i i

ổ+ ửữ +

ỗ ữ

ỗ

= + ỗỗố ữữ = +

ứ

-

(

)

(

)

(

)

(

)

40
20

40 40

2 . cos sin

3 3

2 cos5 sin5 .

cos 10 sin 10

i
i

i

p p

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

= +

- +

60 25 25

2 cos sin

3 i 3

p p

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ

ỗố ứ

2 cos sin

3 i 3

p p

ổ ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ

ỗố ứ. Võy z co mụt acgument la

p
.

Cac em H.S thường gặp phải khó khăn khi cố gắng khai triển luỹ thừa

(

)

(

)

(2 2 ) , 1+ i + 3i , 1- i

. Khi gặp luỹ thừa bậc cao, ta nên đưa về dạng
lượng giác, sau đó vận dụng công thức Moa–vrơ.

Chúng ta sẽ bàn kĩ hơn về ứng dụng dạng lượng giác được trình bày trong
VẤN ĐỀ 6, 7 áp dụng cho một số bài toán: Chứng minh đẳng thức lượng giác,
giải hệ phương trình...

2.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1. Tìm mợt Acgument của số phức sau:

a) - +2 2 3.i b) 4 – 4i c) 1- 3.i

d) cos4 i.sin4

p p

-e) sin8 i.cos8

p p

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

a) 2 cos18

(

o +isin18 cos72o

) (

o +isin72o

)

b)
cos85 sin85
cos40 sin40
i
i
+
+
o o
o o
c)
0 0
0 0

2(cos45 .sin45 )
3(cos15 .sin15 )

i
i

+ d)

2 2

2(cos .sin )

3 3

2(cos .sin )

2 2
i
i
p p
p p
+
+

Baøi 3. Viết dưới dạng lượng giác của số phức sau

a) 1- i 3 b) (1- i 3)(1+i) c) 2. .( 3i - i)

d)
1 3
1
i
i

-+ e) 
5
tan
8 i
p
+
f)
3

(1 )(1 2 )

i

i i

-Bài 4. Viết dưới dạng lượng giác của sớ phức sau:

a) (2+i)6 b)

(

)

1 i 3

- + c)

40
7 1 3

(2 2 ) .
1
i
i
i
ổ+ ửữ
ỗ ữ
ỗ
- ỗỗố ữữ
ứ

-d)
100
1
cos sin

1 4 4

i
i
i
p p
ổ+ ữử ổ ửữ
ỗ ữ ỗ + ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ

ố - ứ ố ứ e)

(

)

1
3- i
Baøi 5. Tìm phần thực, phần ảo của các số phức sau.

(

)

cos12o + sin12i o

(

)

0 0

2 cos30 isin30

é + ù

ê ú

ë û

c) (1+i)2010+ -(1 i)2010 d)

2010
1

i
i
ổ+ ữử
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
e)
5 7

(cos sin ) .(1 3 )

3 i 3 i i

p p
- +
f)
2011
2011
1
z
z
+
, biết
1
1
z
z
+ =

Baøi 6. Chứng minh

a) sin5t =16sin5t- 20sin3t+5sint
b) cos5t =16cos5t- 20cos3t+5cost

c) sin3t =3cos2t- sin3t d) cos3t =4cos3t- 3cost.

Baứi 7. Chng minh

30
1
3
i
i
ổ + ữử
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ

ỗố + ứ la sụ ao.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Trong mục này ta xét việc giải phương trình trong đó ẩn số của mỗi phương
trình là một số phức z. Chú ý rằng các phương trình mẫu mực, các phương pháp
giải mẫu mực trong phương trình với các hệ số và ẩn số là số thực được chuyển
thể nguyên vẹn sang phương trình phức. Điểm khác biệt với phương trình trong
tập số thực là phương trình phức bậc n luôn có n nghiệm, tính cả nghiệm bội.
Không có trường hợp phương trình vô nghiệm. Sau đây ta xét một sớ ví dụ cơ
bản sau.

3.1. MỢT SỚ VÍ DỤ MINH HOA

Dạng 1. Phương trình bậc nhất và phương trình quy về bậc nhất.
VÍ DỤ 1. Giải phương trình sau trên tập số phức:

a. 2iz+ -1 i =0 b. 2

z i
i
z i

+ c.

(

1 2- i z

)

- 2+ =i 0

Bài giải
a.

(

)

1 1

2 1 0

2 2 2

i

iz i z i

i

-+ - = Û = = +

(

)

z i
z i

i

z i i z i
z i

ìï ¹

-- ïï

= Û í

ï - = +

+ ïïỵ

(

1 2

)

z i

i z i

ìï ¹

-ïï

Û íï - = - +

ïïỵ

2 4 3

1 2 5 5

z i z i

i

z z i

i

ì ì

ï ¹ ï ¹

ï ï

Û íï - + Û íï

= = -

-ï ï

ï - ï

ỵ ỵ

Vậy phương trình có nghiệm là

4 3
5 5

z= - - i
.
c.

2 4 3

1 2 5 5

i

z z i

i

-= Û = +

- Vậy

4 3
.
5 5

z = - i
VÍ DỤ 2. Giải các phương trình sau.

(

) (

)

2 2 1

z z i+ - z- i = iz+ - i

b. 2 1 2 3 0

z i

iz i

z + - + - =

Bài giải

a. Khai triển vế trái và thu gọn ta đưa phương trình về dạng

(

) (

)

2 5 5 1

2 2 1 3 5

3 3 3

i

z z i z i iz i iz i z i

i

-+ - - = + - Û = - Û = = -

-Vậy phương trình có nghiệm là

5 1
3 3

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

b. ĐK: z¹ ±i z, ¹ - +3 2i

Thực hiện quy đồng vế trái của phương trình ta được phương trình

(

)

(

)

(

)

2 2

2 3

0 0

2 3

1 1 2 3

i z i

z i

iz i

z z iz i

-- = Û =

-+ + +

(

)

(

)

3 2

2 3 0 /

13 13

i z i z - i t m

Û - - = Û = +

Vậy phương trình có nghiệm là

3 2

13 13

z=- + i
.

Trong phương trình b, học sinh hay mắc sai làm khi cho rằng z2+ ¹1 0,"z.
Điều này trái ngược hoàn toàn với sớ thực vì nhớ rằng i2= - 1.

Dạng 2: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức

Giải phương trình bậc hai Az2 + Bz + C = 0 (*) (A, B, Cẻ Ê , A ạ 0).

* Tinh D =B2- 4AC =d2, d là 1căn bậc hai của 

* D ¹ 0: pt(*) có hai nghiệm phân biệt 2
B
z

A
d

- ±

.
* D = 0: pt(*) có một nghiệm (nghiệm kép) 2

B
z

A

thực thì ta biết được nghiệm còn lại. Không có trường hợp phương trình bậc hai
vơ nghiệm.

VÍ DỤ 1. Giải phương trình trên tập số phức:

(

)

(

)

1- i z - 2 1 2+ i z- 4=0

.
Bài giải

Pt:

(

)

(

)

1- i z - 2 1 2+ i z- 4=0

(

)

2 21 2 1 0

i

z z i

i

Û - - + =

- Û z2+ -

(

1 3i z

)

- 2 1

(

+ =i

)

0 . 1

( )

Ta có:

(

)

(

)

1 3i 8 1 i 2i

D = - + + =

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

2 2 0 1; 1

1; 1

x y

xy

ì é

ï - = = =

ïï Û ê

í ê

ï = ê = - =

-ï ë

ïỵ

Khi đó, D có mợt căn bậc hai là 1 + i. Vậy (1) có hai nghiệm là

1 2

3 1 1 3 1 1

2, 1

2 2

i i i i

z = - + + = i z = - - - = - +i

Nhận xét: Các quy tắc nhẩm nghiệm và định lý Viét vẫn đúng trong trường
hợp xét phương trình bậc 2 trên tập hợp số phức.

VÍ DỤ 2. Giải phương trình sau trên tập số phức

(

2 3- i z

)

2+

(

4i - 3

)

z+ -1 i =0

.
Bài giải

Cách 1. Giải theo biệt thức D
Cách 2. Nhẩm nghiệm.

Ta có:

(

2 3- i

) (

+ 4i- 3

)

+ -1 i =0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm z= 1 và

(

) (

)

1 1 1 5

1 2 3

2 3 13 13

c i i

z i i

a i

- +

= = = - - =

-- .

VÍ DỤ 3. Cho a, b, c là ba số phức phân biệt khác 0 và a =b =c .
Chứng minh rằng nếu một nghiệm của phương trình az2+bz c+ =0 có
môđul bằng 1 thì b2 =ac.

Bài giải

Giả sử z z1, 2 là các nghiệm của phương trình az2+bz c+ =0 với z1 =1.

Theo định lý Viét ta có 1 2 2 1

1
.

c c

z z z

a a z

= Û =

suy ra 2 1

. 1.

c
z

a z

= =

Bởi vì 1 2 ,

b

z z a b

a

+ = - = 2

1 2 1

z z

Þ + =

Suy ra

(

1 2

)

(

1 2

)

(

1 2

)

1 2

1 1

z z z z z z

z z

ổ ửữ

ỗ ữ

+ + = + ỗỗ + ữ=

ữ

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

(

)

2 2

1 2 1 2 .

b c

z z z z b ac

a a

ổ ửữ

ỗ ữ

+ = -ỗỗ ữữ= =

ỗố ứ (pcm).

Dang 3: Phương trình quy về bậc hai

VD4.(Đề thi tuyển sinh Cao đẳng khối A, B – 2009).
Giải phương trình sau trên tập số phức

4 3 7

z i

z i
z i

-- .

Đây là phương trình chứa ẩn ở mẫu. Trước khi giải ta nên đặt ĐK cho phương
trình.

Bài giải

Với điều kiện z ¹ i, khi đó pt:

(

) (

)

(

)

( )

4z- 3 7- i = z i z- - 2i Û z - 3i +4 z+ +1 7i =0 1

Ta có

(

)

(

)

3i 4 4 1 7i 3 4i

D = + - + =

-Gỉa sử z x yi x y= +

(

, Ỵ ¡

)

là căn bậc hai của D khi đó ta có hệ sau để xác
định x, y:

2 2 3 2; 1

2; 1

2 4

x y

xy

ì é

ï - = = =

-ïï Û ê

í ê

ï = ê = - =

ï ë

ïỵ

D có mợt căn bậc hai là 2 – i. Pt(1) có hai nghiệm là z= +3 i t m

(

)

,

(

)

1 2 /

z = + i t m

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là z = +3 i, z = +1 2i.
VÍ DỤ 5. Giải phương trình với z là số phức:

(

)

(

)

2 4 2 12 0

z +z + z + -z =

.
Phương trình trên là phương trình bậc 4 phải có đủ 4 nghiệm ( Tính cả nghiệm
bội ). Trong phương trình có biểu thức z2+z chung nên ta giải như sau.

Bài giải

Đặt

t =z +z

, ta có pt:

2 4 12 0 6

t

t t

t

é =
-ê

+ - = Û ê =

ê
ë

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

1
2
2 2
3
4
1 23
2

6 0 1 23

2 0 2

1
2

i
z

z z i

z
z z
z
z
é - +
ê =
ê
ê
é + + = ê 
-ê Û ê =
ê + - = ê
ê ê
ë =
ê
ê =
-ê
ë .

KL: Pt có 4 nghiệm là 1 2 3 4

1 23 1 23

; ; 1; 2

2 2

i i

z =- + z =- - z = z =

-.
VÍ DỤ 6. Giải phương trình với ẩn z là số phức:

4 3 1 0

z

z - z + + + =z

.
Bài giải

Vì z = 0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho, nên ta có

( )

2
2

1 1 1 1 1 5

0 0. 1

2 2

z z z z

ỉ ư÷ ỉ ửữ
ỗ ữ ỗ ữ
- + + + = ỗỗỗ - ữữ- ỗỗỗ - ữữ+ =
ố ứ ố ứ
t
1
,
t z
z
ổ ửữ
ỗ ữ
=ỗỗ - ữữ

ỗố ứ giai pt:

2 2

1 3

5 2

0 2 2 5 0 .

1 3
2

i
t

t t t t

i
t
é +
ê =
ê
- + = Û - + = Û ê

-ê =
ê
ë

+ Nếu

1 3
2

i

t = +

, ta có:

(

)

( )

1 1 3

2 1 3 2 0 2

i

z z i z

z

- = Û - + - =

Vì D = +8 6i , có căn bậc hai là 3+i và -3-i, nên

( )

1 3 3

1
4

1 3 3 1 1

4 2 2

i i
z i
i i
z i
é + + +
ê = = +
ê
Û ê + - 
-ê = = - +
ê
ë .
+ Nếu
1 3
2
i
t =

-, ta có :

(

)

2z - 1 3- i z- 2=0

3
4
1
1 1
2 2
z i
z i
é =
-ê
ê
Û
ê =
-ê
ë

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm là 1 2

1 1

1 ;

2 2

z = +i z = - + i

3 4

1 1

1 ;

2 2

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

Phương trình trên xuất phát từ phương trình bậc 4 đối xứng hoặc bán đối xứng

quen thuộc trong tập số thực dạng

(

)

4 3 2 0, 0

ax - bx +cx +bx a+ = a¹

(

)

4 3 2 0, 0

ax +bx +cx +bx a+ = a¹

Sau đây ta xét một số ví dụ khác được suy ra từ những phương trình
thường gặp trong tập số thực như dạng:

 Bậc 4 trùng phương.

 Dạng

(

x a x b x c x d-

) (

. -

) (

. -

) (

. -

)

=e với a b c d+ = + .
 Dạng

2 2

2 2 , . ' 0

' ' ' ' ' '

ax bx a cx dx c

e aa
a x b x a c x d x c

+ + + +

+ = ¹

+ + + + .

 Dạng

(

) (

)

4 4

x a- + x b- =c

 Nhẩm nghiệm sau đó hạ bậc bằng phép chia đa thức hoặc sư
dụng lược đồ HoocNe.

 Phương trình quy về dạng tích bằng 0.
VÍ DỤ 7. Giải phương trình 2 2

2 13

2 5 3 2 3

z z

z - z+ + z + +z = . HD: Đặt

3
2

t z
z

= +

VÍ DỤ 8. ( Dạng bất thường). Giải phương trình 3z+2 .i z+ -1 4i =0

HD. Sử dụng phương pháp tìm phần thực, phần ảo số phức z= +x yi x y, ,

(

Ỵ ¡

)

VÍ DỤ 9. Tìm giá trị tham số m  sao cho (z i z- )

(

2+2mz m+ 2- 2m

)

a. Chỉ có đúng một nghiệm phức
b. Chỉ có đúng một nghiệm thực
c. Có ba nghiệm phức

Bài giải

Kí hiệu phương trình ( )

(

)

( )

2 2 2 2 0 1

z i z- + mz m+ - m =

( )

1 2 2 2 2

( )

2

z i
Pt

z mz m m

é =
ê

Û ê +ê +

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

* Nếu  ' 0 thì pt(2) có hai nghiệm thực.

* Nếu  ' 0 thì pt(2) có một nghiệm thực, không có nghiệm phức.

* Nếu  ' 0 thì pt(2) có hai nghiệm phức, không có nghiệm thực. Do vậy

a. Phương trình (1) Chỉ có đúng một nghiệm phức   ' 2m 0 m0.

b. Phương trình (1) chỉ có đúng một nghiệm thực   ' 2m 0 m0.

c. Phương trình (1) có ba nghiệm phức    ' 0 m0
3.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1. Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) 1 3 3 2

Z

i
i = +

- +

(

)

(

)

(

)

2 3- i Z+ 4+i Z+ +6 3i = - 1 3+ i

c) Z2+ =Z 0

4 1 4 1

5 6 0

1 1

z z

ổ + ửữ ổ + ửữ

ỗ ữ- ç ÷+ =

ç ÷ ç ÷

ç - ç

-è ø è ø

(

)

4 4 82

Z + Z - =

(

)

(

)

2 3 6 2 2 3 6 3 2 0
Z + Z + + Z Z + Z + - Z =

(

)

2 os i sin os sin 0

Z - c j + j Z c+ j j i =

.
Bài 2. Tìm những số thực a, b để có thể phân tích

(

)(

)

4 2 3 3 2 2 2 2 1 2

Z + Z + Z + Z+ = Z + Z +aZ b+

rồi giải phương trình Z4+2Z3+3Z2+2Z + =2 0 trên £ .
Baøi 3. Giải các phương trình sau trên tập số phức ( x là ẩn)

a) x2- 3.x+ =1 0 b) 3 2.x2- 2 3.x+ 2=0

c) 3x2- x+ =2 0 d) 2x4+16=0 e) (x+2)5+ =1 0.
Baøi 4. Giải các phương trình sau trên tập sớ phức ( z là ẩn)

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

Bài 5. Giải các phương trình sau trên tập số phức ( z là ẩn)

a) (3 2 ) (- i z i2 + =) 3i b)

2 1 3

1 2

i i

z

i i

+ - +

- + c)

1 1

3 3

2 2

zổỗỗỗ - iửữữữ= + i

ữ

ỗố ứ

3 5

2 4

i

i
z

-e)

(

z+2

)

i =

(

3i - z

) (

- +1 3i

)

f) (z+3 )(i z2- 2z+5)=0 g)

(

)

7 3

2 1

i i

z
i

+ +

-h) (z2+4)(z2+2z+10)=0 i)

z i
z i

ổ+ ữử

ỗ ữ =

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ

-ố ứ

Baứi 6. Giai cac phng trinh sau trên tập số phức ( z là ẩn)

a) 3 .i z2- 2z- 4+ =i 0 b)z2+2(1+i z) + +4 2i =0

(

)

(

)

2 +2 2 3 0

z+ i z+ i - =

Baøi 7. Giải các phương trình sau trên tập số phức

a) (z z z z+ )( - )=0 b) z2+ + =z 2 0 c) z2 = +z 2
d) 2z+3z = +2 3i e)

2
2

4z +8z =8 f) z3 =z

g) 4z2+8z2=8 h)

2 0

z +z =

2 0

z + z =

k) z+2z= -2 4i l) z - 2z = - -1 8i m) z2- z =0
Baøi 8. Giải các phương trình sau trên tập số phức

4 4

5 6 0

z i z i

ổ + ửữ +

ỗ ữ- + =

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗ -

-ố ứ b)

(

z+5i z

)

( - 3)

(

z2+ +z 3

)

=0

c) z2- 2iz+ -2i 1 0= d) z3-

(

1+i z

)

(

3+i z

)

- 3i =0
e)

(

z + i z

)

(

2 2 - z + 2

)

= 0 f)

2 80 4099 100 0

z - z+ - i =

Bài 9. Giải các pt sau trên tập sớ phức biết chúng có một nghiệm thuần ảo.

a)z3- iz2- 2iz- 2=0 b) z3+ -(i 3)z2+ -(4 4 )i z- 4 4+ i =0

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

b) Chỉ có đúng mợt nghiệm thực.

c) Có ba nghiệm phức.

Bài 11. Tìm m đê phương trình sau: z3+ +(3 i z) 2- 3z- (m i+ =) 0 có ít
nhất một nghiệm thực.

Bài 12. Tìm tất cả các sớ phức z sao cho (z- 2)(z +i) là sớ thực.
Bài 13. Giải các phương trình trùng phương

a) z4- 6z2+25=0 b) z4- 24(1- i z) 2+308 144- i =0
c) z4+6(1+i z) 2+ +5 6i =0 d) z4- 8(1- i z) 2+63 16- i =0

Baøi 14. Cho z z1, 2 là nghiệm của phương trình:

(

)

2 1 2 2 3 0

z - +i z+ - i = .

Tính giá trị của các biểu thức sau

2 2
1 2

z +z

b) z z1 22 +z z1 22 c)

3 3
1 2

z +z

d) 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

z z

z z z z

ổ ửữ ổ ửữ

ỗ + ữ+ ỗ + ữ

ỗ ữ ç ÷

ç ÷ ç ÷

ç ç

è ø è ø e) z z2 13+z z1 23 f)

1 2
2 1

z z

z + z
Baøi 15. Cho x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình: x2- x+ =1 0.

Tính giá trị của các biểu thức:

a) x12010+x22010 b)

2011 2011

1 2

x +x c) 1 2,

n n

x +x n NỴ

Bài 16. Tìm hai sớ biết tởng và tích của chúng là

a) 2 3+ i và - +1 3i b) 2i và - +4 4i

Baøi 17. Tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận  làm nghiệm

a) a = +3 4i b) a = 7- i 3 c) a = -2 5i

d) a = - -2 i 3 e) a = 3- i 2 f) a = - i

g) a =(2+i)(3- i) h) a =i51+2i80+3i45+4i38 i)

5
2

i
i
a = +

-Bài 18. Tìm tham sớ mỴ ¡ để phương trình z2- mz m+ + =1 0 có hai
nghiệm z1, z2thoả mãn điều kiện:

2 2

1 2 1 2 1

z +z =z z + .

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

nghiệm z1, z2thoả mãn điều kiện:

3 3

1 2 18

z +z = .

Baøi 20. Cho z z1, 2 là nghiệm phương trình

(

1+i 2

)

z2- (3 2 )+ i z+ -1 i =0

.
Tính giá trị của biểu thức sau

2 2
1 2

A =z +z

2 2

1 2 1 2

B = z z +z z

1 2

2 1

z z

C

z z

= +

VẤN ĐÊ 4: TÌM TẬP HỢP ĐIỂM

BÀI TOÁN: TÌM TẬP HỢP CÁC ĐIỂM BIỂU DIỄN SỐ PHỨC THỎA
MÃN ĐIÊU KIỆN CHO TRƯỚC – MAX, MIN MÔĐUL

4.1. PHƯƠNG PHÁP ĐAI SỐ: Tìm biểu thức liên hệ giữa phần thực và
phần ảo

Giả sử số phức z có dạng z= +x yi x y, ,

(

Ỵ ¡

)

. Từ giả thiết đề bài ta
thiết lập biểu thức giữa x, y. Sau đây là một số biểu thức thường gặp.

Biểu thức Đường tương ứng

(

2 2

)

0, 0

ax by c+ + = a +b ¹ Đường thẳng

2 , 0

y=ax +bx c a+ ¹ Đường parabol

(

)

, 0

ax b

y ad bc

cx d

= - ¹

+ Đường hyperbol

(

) (

)

2 2

x a- + y b- =R Đường tròn

2 2
2 2 1

x y

a +b = Elíp.

4.1.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ 1. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn

a. z- 1+ = +i z 2 b. 2z i- = -z z+2i

c.

( )

2 4

z - z =

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

Giả sử z= +x yi x y

(

; Ỵ ¡

)

và M x y

( )

; là điểm biểu diễn của z.
a. z- 1+ = + Ûi z 2

(

x- 1

) (

+ y+1

)

i =

(

x+ -2

)

yi

(

) (

)

(

)

2 2 2 2

1 1 2

x y x y

Û - + + = + + Û 3x y- + =1 0

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một đường thẳng có phương trình là

3x y- + =1 0

Mở rộng: khi giả thiết đề bài sửa thành z- 1+ > +i z 2 ta biến đổi được

3x y- + <1 0 và kết luận tập hợp các điểm biểu diễn sô z là nửa mặt phẳng

không chứa gôc tọa độ bờ là đường thẳng 3x y- + =1 0.
b. 2z i- = -z z+2i Û 2x+ -

(

y 1

)

i = 2

(

y+1

)

i

(

)

(

)

2 2

2 1 1

x

x y y y

Û + - = + Û =

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một parabol có phương trình là

x

y=

Mở rộng: ta sẽ kết luận như thế nào nếu biểu thức lien hệ là

x
y>

?

( )

2 4 ... 4 4 1

z z xyi y

x

- = Û Û = Û = ±

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là hai hyperbol có phương trình

y

x

và

y

x

(

)

( )

(

)

(

)

2 2

2- z i+z =...= - x - y +2x y+ + -2 2y x i

-là số thuần ảo khi

phần thực bằng 0

(

)

2 1 5

2 4

x ổỗy ửữữ

- +ỗỗ - ữữ=

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số z là một đường tròn có phương trình

(

)

2 12 5

2 4

x- + -ổỗỗỗy ửữữữữ=

ỗố ứ .

M rụng: ta kết luận như thế nào nếu hệ thức tìm c la

(

)

2 12 5

2 4

x- + -ổỗỗỗy ửữữữ<
ữ

ỗố ứ ?

4.1.2. BAI TP THC HANH

Bi 1. Tim trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn
a. Phần thực của z bằng -2 b. Phần ảo của z bằng 3

c. Phần thực của z thuộc

(

- 1;2

)

d. Phần ảo của z thuộc é ùê úë û1;3
e. Phần thực của z thuộc

(

- 1;2

)

và phần ảo của z thuộc é ùê úë û1;3

Bài 2. Tìm trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a. z =1. b. z- 2 3+ i =3 c.z i- £ 2

d. 1£ 4i- z £ 2

Bài 3. Tìm trong mặt phẳng tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a. z i+ = -z 2 3- i b.

3
1

z i
z i

+ là số thực c. 1

z i
z i

-=
+

d. z = -z 3 4+ i e. z2 là số ảo f. z2 =( )z 2

3
1
3

z i
z i

+ h. z- 1 = (1+i z) i. z z+ + =3 4

4.2. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC: Sư dụng các quỹ tích hình học cơ bản
Chú ý rằng, mỗi số phức z = x + yi tương ứng với một điểm M(x;y) trong
mặt phẳng phức oxy, và ngược lại. Môdul z z- o là khoảng cách giữa hai điểm

tương ứng M(x; y) và Mo(xo; yo) tương ứng với hai số phức z, zo.
Sau đây ta xét một số tập hợp điểm cơ bản trong hình học.

Tập hợp số phức z thoả mãn Tên gọi

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

(

)

, 0

o

z z- =R R > Đường tròn tâm Mo, bán kính R, với Mo

là điểm ứng với zo.

1 2 2 2 0

z z- + -z z = a> c> Elip tâm sai là F1, F2 tương ứng với M1,

M2 và khoảng cách F1F2 = 2c.

1 2 2 0

z z- - z z- = a> Hyperbol tâm sai là F1, F2 tương ứng với

M1, M2 và khoảng cách F1F2 = 2c

4.2.1.MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ 2 Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z biế
a. z- 2 3+ i = + -z 1 i b. z+ -4 2i =5

c. z- 4+ + =z 4 10 d. z- 2- z+2 =3

Bài giải

Gọi M (x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi.
a. Xét hai điểm A(2;-3) và B(-1;1)

Nhận thấy

(

) (

)

2 2

2 3 2 3

z- + i = x- + y+ =MA
.
Tương tự z+ -1 i =MB.

Vậy giả thiết z- 2 3+ i = + -z 1 i Û MA =MB

Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
b. Xét điểm I(-4;2)

Từ giả thiết: z+ -4 2i = Û5 IM =5

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I(-4;2), bán kính R = 5.
c. Xét hai điểm F1

( )

4;0 và F2

(

- 4;0

)

Giả thiết z- 4+ + =z 4 10Û MF1+MF2 =10

Suy ra tập hợp các điểm M là Elip có tiêu cự 2c = 8, độ dài trục lớn 2a = 10, độ

dài trục nhỏ 2b = 6. phương trình chính tắc là:

2 2

25 9

x y

+ =

d. Xét hai điểm F1

( )

2;0 và F2

(

- 2;0

)

Giả thiết: z- 2- z+2 = Û3 MF1- MF2 =3. Suy ra tập hợp các điểm M

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

Phương trình chính tắc là :

2 2

4 4

9 7

x y

- =

VÍ DỤ 3. Trong các số phức z thỏa mãn z- 1+ £i 2, tìm số phức z có môđun
nhỏ nhất.

Bài giải

Tập số phức z thoả mãn z- 1+ £i 2hình tròn tâm I( 1; -1 ), bán kính R = 2

có phương trình là

(

) (

)

2 2

1 1 4

x- + y+ £

. Môđul z là khoảng cách từ gốc

O(0; 0) đến điểm M(x; y) tương ứng với số phức z.

A
I
O

Giải hệ phương trình trên ta suy ra được điểm A.

VÍ DỤ 4. Cho sớ phức z¹ 0 thỏa mãn z ³ 2. Tìm GTLN- GTNN của
z i

P

z

+
=

Bài giải. 
Đặt

z i
w

z

+
=

. Ta có 1,

(

)

z i i

w z w

z w

= Û = ¹

-Do

2 2 1

1 2

i

z w

w

³ Û ³ Û - £

- . Như vậy tập hợp số phức w là hình

tròn tâm I(1; 0 ), bán kính

1
2

R =

, (Bỏ điểm I) giá trị P = w là khoảng cách
từ gốc O đến điểm M(x; y) thuộc hình tròn tương ứng với số phức z.

1
2

A I( 0; 1 ) B

O( 0; 0 )

Số phức z có môđul nhỏ nhất ứng với điểm A(x; y) (trên
hình vẽ). Điểm A trên hình vẽ thoả mãn hệ sau

(

) (

)

1 1 4

OA tOI

x y

t

ìï =

ïï

ïïï - + + =

íï
ï <
ïï
ïïỵ

uuur uur

Như vậy giá trị P lớn nhất là

1
1

2
+

tại điểm

1 ;0

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

4.2.2. BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 4. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức z thỏa mãn:

a. 1- z = +z 2i b. 2z-

(

4 6- i

)

= 3

c. z- 3+ + =z 3 10 d. z- 5- z+ =5 8

Bài 5. Trong các số phức z thỏa mãn

a. z- 3 =2, hãy tìm số z có môđun nhỏ nhất.

b. |z – 2+3i| =

2 Tìm số phức z có môđun nhỏ nhất.

Bài 6.Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện

a. z iz+ là số thuần ảo, hãy tìm số z sao cho z-

(

3+i

)

nhỏ nhất.

(

2+i z

)

+ -

(

2 i z

)

=3. Tìm số phức z thỏa mãn z- 1 2+ i nhỏ nhất.
Bài 7. Tìm số phức z thỏa mãn:

1 10

2
1
2

z i

z
z i

ìï - - =
ïïï

-ï =

ïï +
ïỵ

Bài 8. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức w=z2 trong
các trường hợp sau:

1/ z = +1 yi 2/ z = +x i

3/ z = +x yi, x y+ =1 4/ | | 2z < , 0 arg< z<p
Bài 9. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức

1
w

z

trong
các trường hợp sau:

1/ | | 1z < 2/ z= +x yi,0< <x 1 3/ 0 argz 4
p

< <

Bài 10. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng biểu diễn số phức w, trong các
trường hợp sau:

1
w

z
z

+ với | | 1z < b. w

z i
z i

+
=

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

c. w

z i
z

với z= +x yi với y>1

1
w

z
z

+
=

+ với 1 | | 2< z <

e. w

z i
z i

+ với | | 1z < và |z- 1|< 2.

Bài 11. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức
z thoả mãn từng điều kiện sau:

a. Một acgumen của z-

(

1 2+ i

)

bằng 6
p

b. Một acgumen của z i+ bằng một acgumen của z- 1

Bài 12. Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng biểu diễn các số phức z

sao cho

2
2

z
z

-+ có một acgumen bằng 3

p
.

VẤN ĐÊ 5: GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TRONG TẬP SỐ PHỨC
5.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ 1. Giải hệ phương trình hai ẩn Z1, Z2 sau trên tập các số phức

1 2
2 2
1 2

4
5 2 .

Z Z i

ìï + = +

ïïí

ï + =

-ïïỵ

Bài giải

Ta có

(

)

(

2 2

)

(

) (

)

1 2 1 2

1 2

4 5 2

5 5

2 2

Z Z Z Z i i

Z Z = + - + = - - = + i

Hệ phương trinh trình đã cho tương đương với hệ

( )

1 2

4 1

5 5 2

Z Z i

Z Z i

ìï + = +

ïïí

ï = +

ïïỵ

Theo định lý Viet, Z1 và Z2 là các nghiệm của phương trình sau( xét trên tập số

phức)

(

)

( )

2 4 5 5 0 3

t - +i t+ + i =

Giải PT(3) ta có :

( )

3
3

1 2 .

t i

é =
-ê

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

(

Z Z1, 2

) (

= 3- i;1 2 ,+ i

) (

Z Z1, 2

)

= +

(

1 2 ; 3i - i

)

VÍ DỤ 2. Giải hệ phương trình hai ẩn Z, W trên tập các số phức :

(

)

(

)

3 3

W 3 1

W 9 1 .

Z i

ìï + = +

ïïí

ï + = - +

ïïỵ

Bài giải

Biến đởi

(

)

(

)

3 W3 W 3 W W

Z + = Z + - Z Z +

(

)

(

)

(

)

9 1 i 27 1 i 3 W.3 1Z i

Þ - + = + - +

(

)

(

) (

)

W 1 3 1 1 5 5 W 5 .

Z i i i i Z i

Û + = + - - + = - + Þ =

Vậy hệ đã cho tương tương với hệ sau

(

)

W 3 1

W 5

Z i

ìï + = +

ïí

ï =

ïỵ .

Theo định lý Viet thì Z, W là các nghiệm của phương trình bậc hai sau ( xét trên

tập số phức)

(

)

( )

2 3 1 5 0 3 .

t - +i t+ i =

Giải pt(3) ta có

2 ; W 1 2

1 2 ; W 2 .

Z i i

é = + = +

ê = + = +

ê
ë

Vậy hpt có nghiệm là

(

Z W,

) (

= 2+i;1 2 , ,+ i

) (

Z W

) (

= +1 2 ;2i +i

)

5.2. BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Baøi 1. Giải các hệ phương trình sau:

1 2
2 2
1 2

4
5 2

z z i

ìï + = +
ïïí

ï + =

-ïïỵ b)

1 2
2 2
1 2

. 5 5.

5 2.

z z i

z z i

ìï =

-ïïí

ï + = - +

ïïỵ c)

3 5
1 2
2 4
1 2

.( ) 1

z z
z z

ìï + =
ïï

íï =

ïïỵ

1 2 3
1 2 3

1 2 3

1
1

. . 1

z z z

z z z

ìï + + =

ïï

ï + + =

íï

ï =

ïïỵ e)

2 2
1 2
1 2

5 2
4

z z i

ìï + = +
ïïí

ï + =

-ïïỵ

2 2

1 2 1 2

1 2

4 0

z z z z

z z i

ìï + + =

ïïí

ï + =

ïïỵ

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

2 1 2

x y i

x y i

ìï + =
-ïí

ï + =

-ïỵ b) 2 2

8 8

x y i

x y i

ìï + =
-ïïí

ï + =

-ïïỵ c)

4
7 4

x y

xy i

ìï + =
ïí

ï = +

ïỵ

2 2

1 1 1 1

2 2
1 2

i
x y

x y i

ìïï + =
-ïï

íï

ï + =

-ïïỵ e)

2 2 6

1 1 2

x y
x y

ìï + =
-ïïï

íï + =

ïïïỵ f)

3 2

1 1 17 1

26 26

x y i

i
x y

ìï + = +
ïïï

íï + = +
ïïïỵ

2 2

5
1 2

x y i

x y i

ìï + =
-ïïí

ï + = +

ïïỵ h) 3 3

2 3

x y

x y i

ìï + =
ïïí

ï + =

-ïïỵ i)

3 2

3 1

3 3

x xy
y x y

ìï - =

-ïï

íï - =

-ïïỵ

VẤN ĐÊ 6. MỢT SỚ BÀI TOÁN ÁP DỤNG SỚ PHỨC GIẢI HỆ
PHƯƠNG TRÌNH

1. Mợt phương trình ẩn phức f z

( )

=0 với z= +x yi có thể giải bằng
cách tách phần thực phần ảo. Ta luôn đưa phương trình về dạng:

( )

, 0

( )

( )

, 0

( )

, 0

h x y
f z h x y g x y i

g x y

ìï =

ïï

= Û + = Û í

ï =

ïïỵ

Như vậy việc giải phương trình ẩn phức quy về việc giải hệ phương trình
đại số (*).

2. Từ nhận định trên, ta có thể tiến hành quy trình ngược lại. Giải hệ
phương trình đại số (*) quy về giải phương trình với ẩn phức. Chú ý rằng cho số
phức z =r

(

cosj +isinj

)

thì có n số phức w thoả mãn wn =z (số phức w
gọi là căn bậc n của z), và w được tính bởi công thức

2 2

cos sin , 0,1,2,.., 1

n k k

w r i k n

n n

j p j p

ổ + + ửữ

ỗ ữ

= ỗỗ + ữữ =

-ỗố ø .

Sau đây là một số VD và bài tập minh hoạ.

6.1. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOA

VÍ DỤ 1. Giải hệ phương trình sau

(

)

3 2

2 3

3 1

, ,

3 1

x xy

x y
x y y

ìï - =

ïï Ỵ

íï - =

ïïỵ ¡ .

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

thì cũng gặp nhiều khó khăn vì phương trình bậc 3 thu được không có nghiệm

hữu tỷ. Để ý thấy vế phải của hệ phương trình là 1, 1, vế trái của hệ có bậc 3 nên
ta xuất phát từ số phức 1+i.

Bài giải

Ta tìm sớ phức w= +x yi x y, ,

(

Ỵ ¡

)

sao cho w3 = +1 i
Khai triển vế trái

(

)

(

3 2

) (

2 3

)

3 2

2 3

3 1

1 3 3 1

3 1

x xy

x yi i x xy x y y i i

x y y

ìï - =

ïï

+ = + Û - + - = + Û í

ï - =

ïïỵ .

Như vậy x, y là phần thực và phần ảo của số phức w.

Mặt khác w là căn bõc ba cua sụ

1 2 cos sin

4 4

i ổỗ p i pửữữ

+ = ỗỗ + ữữ

ỗố ứ nờn

62 cos4 2 sin 4 2 , 0,1,2

3 3

k k

w i k

p p

ổ ửữ

ỗ + + ữ

ỗ ữ

= ỗ + ữ =

ỗ ữ

ỗ ữữ

ỗ ữ

ỗố ứ .

Võy hờ phng trình có ba nghiệm là

( )

, 62cos 2 , 2sin6 2 , 0,1,2.

12 3 12 3

k k

x y =ổỗỗỗ ỗỗổỗỗp + pữữữữử ỗỗỗỗổp + pữữửữữữữữửữk=

ỗ ố ứ ố ứ

ố ứ

VI DỤ 2. Giải hệ phương trình

4 2 2 4

3 3

6 3

1
4

x x y y
x y y x

ìï - + =

ïïï

íï - =

ïïïỵ

Ta nhận thấy vế trái của hệ phương trình đẳng cấp bậc 4, vế phải của hệ là
các hệ số 3,1 nếu ta nhân hai vế của phương trình hai trong hệ với 4.

Bài giải. Ta tìm số phức w= +x yi x y, ,

(

Î ¡

)

sao cho w4 = 3+i.

Khai triển vế trái

(

)

(

4 4 2 2

) (

3 3

)

3 6 4 4 3

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

4 4 2 2

3 3

6 3

4 4 1

x y x y

x y xy

ìï + - =

ïï
Û íï

- =

ïïỵ

Như vậy x, y là phần thực và phần ảo của số phức w. Mặt khác w là căn bõc bụn

cua sụ

3 2 cos sin

6 6

i ổỗ p i pửữữ

+ = ỗỗ + ữữ

ỗố ứ nờn

42 cos6 2 sin 6 2 , 0,1,2,3

4 4

k k

w i k

p p

ổ ửữ

ỗ + + ữ

ỗ ữ

= ỗ + ữ =

ỗ ữ

ỗ ữữ

ỗ ữ

ỗố ứ .

Hờ phng trinh co 4 nghiệm là

( )

, 42cos , 2sin4 , 0,1,2,3.

24 2 24 2

k k

ỗ ố ứ ố ứ

ố ứ

Li ban: Qua hai vi dụ trên chúng ta thấy có thể đưa ra rất nhiều các ví dụ

khác với bậc của vế trái là một số nguyên dương n tuỳ ý và vế phải là các
hằng số dương cho trước.

VÍ DỤ 3.(Việt Nam 1996). Giải hệ phương trình

3 . 1 2

7 . 1 4 2

x

x y
y

x y

ỡ ổ ử

ù ữ

ù ỗ + ữ=

ù ỗỗ ữ

ù ỗố + ữứ

ùớ ổ ử

ù ỗ ữ

ù ỗ - ữ=

ù ỗ ữ

ù ỗố + ữứ

ùợ

Bi giai

Trc hờt, ta nhận thấy điều kiện cho x, y là x³ 0,y³ 0. Đặt

0, 0

x = ³u y = ³v . Hệ phương trình đã cho trở thành

2 2

1 2

. 1

1 4 2

. 1

u

u v
v

u v

ì ỉ ư

ï ÷

ï ç + ÷=

ï çç ÷

ï çè + ÷ø

ïïí ỉ ư

ï ữ

ù ỗ - ữ=

ù ỗ ữ

ù ỗỗố + ữứ
ùùợ

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

2 2 2

2 4 2 2 4 2 1 2 4 2

3 7 3 7 3 7

u iv z

u iv i z i z i

z

u v z

-+ -+ = + Û + = + Û + = +

Giải phương trình

1 2 4 2 2 4 2

1 0

3 7 3 7

z i z i z

z

ổ ửữ

ỗ ữ

ỗ

+ = + - ỗ + ữữ + =

ỗ ữ

ỗố ứ

1 2 2 2

3 21 7

1 2 2 2

3 21 7

z i

ộ ổỗ ửữ

ờ = + + ỗ + ữữ

ờ ỗỗỗ ữữ

ờ ố ứ

ờ ổ ử

ờ ỗ ữữ

ờ = - + ỗỗ - ữữ

ờ ỗỗố ữứ

ờ
ở

Suy ra

( )

, 1 2 2 2, 2 , ,

( )

1 2 2 2, 2

3 21 7 3 21 7

u v =ổỗỗỗ + + ửữữữữu v =ỗỗỗổ - - ữữữửữ

ỗ ữ ỗ ữ

ỗ ỗ

ố ứ ố ø.

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm

( )

2 2

1 2 2 2 1 2 2 2

, , 2 , , , 2

3 21 7 3 21 7

x y x y

ổ ổ ửửữ ổ ổ ửửữ

ỗổ ử ỗ ữữ ỗổ ử ỗ ữữ

ỗỗ ữỗ ữữ ỗỗ ữ ỗ ữữ

ỗ ữ ỗ ữ

=ỗỗỗỗ + ữữỗỗ + ữữữữ =ỗỗỗỗ - ữữ ỗỗ - ữữữữ

ỗố ứ ỗố ữứữ ỗố ứ ỗố ứữữ

ỗ ữ ỗ ữ

ố ứ ố ứ

VI DU 4. Giải hệ phương trình

1 2

3
12

1 6

x

x y
y

x y

ì ổ ử

ù ữ

ù ỗ - ữ=

ù ỗỗ ữ

ù ỗố + ữứ

ùớ ổ ử

ù ỗ ữ

ù ỗ + ữ=

ù ỗ ữ

ù ỗố + ứữ

ùợ

Bi giai

Trc hờt, ta nhõn thõy iờu kiờn cho x, y là x³ 0,y³ 0. Đặt

3x = ³u 0, y = ³v 0.

Hệ phương trình đã cho trở thành

2 2

12 2

. 1

3
12

. 1 6

u

u v
v

u v

ì ổ ử

ù ữ

ù ỗ - ữ=

ù ỗỗ ữ

ù ỗố + ữứ

ùớ ổ ử

ù ỗ ữ

ù ỗ + ữ=

ù ỗ ữ

ù ỗố + ữứ

ùợ

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

(

)

2 2 2

12 2 2 12 2

6 12 6 6

3 3 3

u iv z

u iv i z i z i

z

u v z

-+ - = + Û - = + Û - = +

Giải phương trình

12 2 2

6 6 12 0

3 3

z i z i z

z

ổ ửữ

ỗ ữ

- = + - ỗỗ + ữữ - =

ỗố ứ .

tng t nh VD4 ta tìm được nghiệm của hệ phương trình đã cho.

VÍ DỤ 5.(Tạp chí Kvant). Giải hệ phương trình

2 2

3
3

x y
x

x y

y

x y

ìï

-ï + =

ïï +

ïí

ï +

ï - =

ïï +

ïỵ

Bài giải. Nhận thấy x2+y2 là bình phương Mơ đun sớ phức x yi+ . Đặt

z = +x iy¹ , nhân phương trình thứ hai với i và cộng vế với vế với phương

trình thứ nhất ta có

(

)

(

) (

)

2 2 2 2 2 2

3 3 3

3 3

x y x y i x iy y ix

x iy x iy

x y x y x y

- - + - +

+ + = Û + + - =

+ + +

Ta có z= +x iy,

(

)

2 2 2

3 x iy 3z 3

z

x y z

-= =

(

)

2 2 2

y ix iz i

z

x y z

+ -

-- = =

nên phương
trình trên được viết dưới dạng

2 2

3 3 3 0

z i

i

z z z i

z i

z z

é = +
ê

+ - = Û - + - = Û ê =

-ê
ë

Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là

( ) ( ) ( ) (

x y, = 2,1 , ,x y = 1, 1-

)

.
6.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1. Giải các hệ phương trình sau, ẩn là x y, Ỵ ¡

3 2

3 1

3 3

x xy
y x y

ìï - =

-ïï

íï - =

-ïïỵ b.

3 2

3 1

3 3

x xy
y x y

ìï - =

ïï

íï - =

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Bài 2. Giải hệ phương trình sau, ẩn là x y, Ỵ ¡ :

(

)

(

)

2 2

3 2 3

3 2

x x y
y x y

ìï - =

-ïï

íï - =

ïïỵ

Bài 3. Giải các hệ phương trình sau, ẩn là x y, Ỵ ¡

4 2 2 4

3 3

6 4

x x y y
x y y x

ìï - + =
ïï
íï - = 
-ïïỵ b.

(

)

(

)

4 2 2 4

10 5 3

10 5 1

x x x y y

y y x y x

ìï - + =

ïï

íï - + =

-ïïỵ

Bài 4. Giải các hệ phương trình sau, ẩn là x y, Ỵ ¡

10 1 3

5
3
1 1
5
x
x y
y
x y
ỡ ổ ử
ù ữ
ù ỗ + ữ=
ù çç ÷
ï çè + ÷ø
ïí ỉ ư

ï ç ÷
ï ç - ữ= 
-ù ỗ ữ
ù ỗố + ứữ
ùợ b. 
7

2 3 2

2 5

5 2 3

2 5
x
x y
y
x y
ì ỉ ư
ï ữ
ù ỗ + ữ=
ù ỗỗ ữ
ù ỗố + ữứ
ùớ ổ ử
ù ỗ ữ
ù ỗ - ữ=
ù ỗ ữ
ù ỗố + ÷ø

ïỵ

(

)

2 2 3

2
15

2 3 3 1

2
x
x y
y
x y
ỡ ổ ử
ù ữ
ù ỗ - ữ= +
ù ỗỗ ữ
ù çè + ø÷
ïí ỉ ư
ï ç ÷
ï ç + ÷= 
-ù ỗ ữ
ù ỗố + ữứ
ùợ

Bi 5. Giai cac hờ phương trình sau, ẩn là x y, Ỵ ¡

a.
2 2
2 2
16 11
7
11 16
1
x y
x
x y
x y
y
x y
ìï
-ï + =
ïï +
ïí
ï +
ï - =
-ïï +
ïỵ b.
2 2
2 2
9 10
3 2
10 9
0
x y

x
x y
x y
y
x y
ìï +
ïï + =
ïï +
ïí
ï 
-ïï + =
ï +
ïïỵ 
c.
2 2
2 2
78
20
78
15
y
x
x y
x
y
x y
ìïï + =
ïï +
ïí
ïï + =

ïï +
ïỵ

VẤN ĐÊ 7. MỢT SỚ BÀI TOÁN ÁP DỤNG SỐ PHỨC CHỨNG 
MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC

Dạng lượng giác của số phức có thể biến đổi bằng hai cách:

1. Sử dụng công thức Moa – Vrơ cho ta biểu thức góc bội của acgumen
2. Sử dụng các phép toán thông thường của số phức: cộng, trừ, nhân, chia

cho ta một biểu thức khác

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

Chú ý rằng, các tính chất của số thực được bảo toàn nguyên vẹn cho số phức,
đặc biệt các phép toán khai triển luỹ thừa, công thức Niu - Tơn, cấp số nhân...
Mặt khác việc sử dụng số phức cùng một phép biến đổi có thể chứng minh nhiều
đẳng thức khác nhau. Sau đây ta xét một số ví dụ áp dụng số phức để chứng
minh một số công thức lượng giác thường gặp và khái quát hoá một số công
thức lượng giác khác, từ đó thấy rõ hơn xuất phát điểm hay gốc rễ của nhiều bài
toán quen thuộc trong trường sớ thực.

7.1. MỢT SỚ VÍ DỤ MINH HOA
VÍ DỤ 1. Chứng minh

3 3

,sin3 3sin 4sin ;cos3 4cos 3cos

x x x x x x x

" Ỵ ¡ = - =

-.
Bài giải

Xét số phức dưới dạng lượng giác z =cosx i+ sinx.

Theo công thức Moa–vrơ ta có

(

)

( )

3 cos sin cos3 sin3 1
z = x i+ x = x i+ x

.
Mặt khác khai triển

(

)

(

3

) (

3

)

( )

cosx i+ sinx = 4cos x- 3cosx + 3sinx- 4sin x i 2

Từ (1) và (2) suy ra cos3x =4cos3x- 3cos ;sin3x x=3sinx- 4sin3x. 
Nếu vận dụng khai triển Niu - Tơn, ta có thể khai triển sinnx, cosnx theo các
góc bội của x. Sau đây ta xét đến công thức hạ bậc.

VÍ DỤ 2(B.tập 4.36b SBTNC). Chứng minh

a.

(

)

4 1

,cos cos4 4cos2 3

x x x x

" Ỵ ¡ = + +

b.

(

)

5 1

,sin sin5 5sin3 10sin

x x x x x

" Ỵ ¡ = - +

Bài giải. Xét số phức dưới dạng lượng giác z=cosx i+ sinx. Ta có

1 1

2cos ; 2 sin

n n

z nx z i nx

z z

+ = - =

4 4 1 2 2

4 4

4 4 2

1 1 1 1 1

cos

2 2

x z z C z C

z z z

ộ ổỗ ửữự ổỗ ổỗ ửữ ửữ

ờ ữỳ ữ ữ

=ờ ỗỗỗ + ữữỳ = ỗỗ + + ỗỗỗ + ữữ+ ữữ
ỗ

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

(

)

cos4 4cos2 3

8 x x

= + +

5 0 5 1 3 2

5 5 5

5 5 3

1 1 1 1 1 1

sin

2 2

x z C z C z C z

i z i z z z

ộ ỗ ữự ộ ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ờ ữỳ ờ ữ ữ ữỳ
=ờ ỗỗỗ - ữữỳ = ờ ỗỗỗ - ữữ- ỗỗỗ - ữữ+ ỗỗỗ - ÷÷ú
è ø è ø è ø è ø
ë û ë û

(

)

sin5 5sin3 10sin

16 x x x

= - +

(

)

0 1 2

5 5 5

sin5 sin3 sin

16 C x C x C x

= - +

. (đpcm)
Một cách tổng quát ta xét ví dụ sau.

VI DU 3. Chng minh " ẻx Ă ,"mẻ Ơ ta có

(

)

2 0 1

2 2 2 2

2 1

1 1

cos cos2 cos 2 2 .. cos2

2
2

m m m

m m m m

m

x= - ỗỗỗổC mx C+ m- x+ +C x+ C ữữữửữ

ỗố ứ

(

)

1
2 2
2 1
0
1
cos2
2
m
m k
m m
m
k

C - C m k x

-=
é ù
ê ú
= ê + - ú
ë

å

û.
b.

( )

(

)

(

)

( )

2 1 0 1

2 1 2 1 2 1

sin sin 2 1 sin 2 1 .. 1 sin

m

m m

m m m

m

x C m x C m x C x

+
+ + +
- é ù
= êê + - - + + - úú

ë û

( )

( )

(

)

2 1
2
0
1

1 sin 2 2 1

2
m
m k
k
m
m
k

C + m k x

å

- - +

.
Bài giải

a. Xét số phức dưới dạng lượng giác z=cosx i+ sinx. Ta có

1 1

2cos ; 2 sin

n n

z nx z i nx

z z

+ = - =

Do vậy

2 2 2

2
2

1 1 1 1

cos

2 2

m m m k

m k k

m
m

k o

x z C z

z z

-=
é ổỗ ửữự ổửỗ ữ
ờ ữỳ ữ
=ờ ỗỗỗ + ữữỳ = ççç ÷÷
è ø è ø
ë û

å

.

Vì 2 22

k m k

m m

C =C

nên thu gọn công thức trên được

2 0 2 1 2 2 1 2

2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 1 1 1

cos ...

m m m m m

m m m m

m m m

x C z C z C z C

z z z

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

(

)

0 1 1

2 2 2 2

2 1

1 1

cos2 cos 2 2 ... cos2

2
2

m m

m m m m

m C mx C m x C x C

-é ù
ê ú
= ê + - + + + ú
ë û

(

)

1
2 2
2 1
0
1 1
cos2
2
2

m
k m
m m
m
k

C m k x C

-=
é ù
ê ú
= ê - + ú

å

û. (đpcm)

b. Từ công thức

2 sin

n
n

z i nx

z

- =

ta có

2 1

2 1 1 1

sin

m

m x z

i z
+
+ =ộờ ổỗ - ửữữựỳ
ỗ ữ
ờ ỗỗố ứữỳ
ở ỷ

( )

2 1 2 1

2 1
2 1

1 1

2 .

m m k

m
k k
m
m
k o
C z
z
i
+
-+
+
+
=
ổ ử
- ỗ- ữ
ữ
= ỗỗ ữữ
ỗố ứ

ồ

Vi 2 22

k m k

m m

C =C

nên thu gọn công thức trên được

( )

( )

2 1 0 2 1 1 2 1

2 1 2 1 2 1

1 1 1 1

sin ... 1

2 .

m

m m m m

m m m

x C z C z C z

z

i z z

+ +
-+ + +
+ +
-ộ
- ỗ ữ ỗ ữ ỗ ữ
ờ ữ ữ ữỳ
= ờ ỗỗỗ - ữữ- ỗỗỗ - ữữ+ + - ỗỗỗ - ữữỳ
ố ứ è ø è ø
ë û

( )

(

)

(

)

( )

2 1 2 1 2

sin 2 1 sin 2 1 ... 1 sin

M

m m

m m m

m C + m x C + m x C x

- é ù
= êê + - - + + - úú
ë û

( )

(

)

2 1
2
0
1

cos 2 2 1

2
m
m
k
m
m
k

C + m k x

å

- +

. (đpcm)

Thay một số giá trị đặc biệt của m:m=1,m=2.. cho ta một số kết quả quen

thuộc sau: Với m=1.

2 0 1

2 2

1 1 cos2 1

cos cos2

2 2 2

x
x= ỗỗỗổC x+ C ửữữữữ= +

ỗố ứ .

( )

(

)

3 0 1

3 3

1 1

sin sin3 sin 3sin sin3

4
2

x = - êëéC x C- xúùû= x- x
.

Với m=2.

4 0 1 2

4 4 4

1 1

cos cos4 cos2

2
2

x = ổỗỗỗC x C+ x+ C ửữữữ
ữ

ỗố ứ

(

)

cos4 4cos2 3

8 x x

= + +

5 1 0 1 2

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

Sau đây là một ví dụ quen thuộc trong các đẳng thức lượng giác thường gặp.
VÍ DỤ 4. Cho a 2 k b, 2 k c, 2 k k,

p p p

¹ + ạ + ạ + ẻ Â

. Chng minh rng
a. tana+tanb+tanc=tan .tan .tana b cÛ a b c+ + =kp.

b. tan .tana b tan .tanb c tan .tanc a 1 a b c 2 k
p

p

+ + = Û + + = +

.
Bài giả. Xét số phức z= +

(

1 itan . 1a

) (

+itan . 1b

) (

+itanc

)

Khai triển số phức z trên theo quy tắc nhân hai số phức ta được

(

)

(

) ( )

1 tan .tan tan .tan tan .tan

tan tan tan tan .tan .tan . 1

z a b b c c a

a b c a b c i

= - -

-+ + +

-Mặt khác, sử dụng công thức Moa – Vrô cho số phức z trên ta có

(

cos sin . cos

) (

sin . cos

) (

sin

)

cos .cos .cos

a i a b i b c i c

z

a b c

+ + +

(

)

(

)

( )

cos sin

. 2
cos .cos .cos cos .cos .cos

a b c a b c

i

a b c a b c

+ + + +

= +

Từ (1) và (2) suy ra:

a. tana+tanb+tanc=tan .tan .tana b cÛ sin

(

a b c+ +

)

Û a b c+ + =k kp, Î ¢(đpcm).

b. tan .tana b+tan .tanb c+tan .tanc a = Û1 cos

(

a b c+ +

)

=0
a b c 2 k

p
p

Û + + = +

(đpcm).
Tương tự như vậy ta có bài toán.

VÍ DỤ 5. Cho a¹ k bp, ¹ k cp, ¹ k kp, ẻ Â. Chng minh rng
a. cot .cota b+cot .cotb c+cot .cotc a= Û1 a b c+ + =kp.
b. cot .cot .cota b c cota cotb cotc a b c 2 k

p
p

= + + Û + + = +

Bài giải. Do dạng lượng giác của số phức là cosa+isina nên ta xét số phức

(

cot

) (

. cot

) (

. cot

)

z= a i+ b i+ c i+

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

(

)

(

) ( )

cot .cot .cot cot cot cot

cot .cot cot .cot cot .cot 1 . 1

z a b c a b c

a b b c c a i

= - - - +

+ + +

-Mặt khác, sử dụng công thức Moa – Vrơ cho số phức z trên ta có

(

) (

)

(

)

(

) ( )

cos sin . cos sin . cos sin

sin .sin .sin

cos sin

. 2
sin .sin .sin sin .sin .sin

a i a b i b c i c

z

a b c

a b c a b c

i

a b c a b c

+ + +

+ + + +

= +

Từ (1) và (2) suy ra:

a. cot .cota b+cot .cotb c+cot .cotc a= Û1 sin

(

a b c+ +

)

=0.

a b c k kp

Û + + = ẻ Â (pcm).

b. cot .cot .cota b c=cota+cotb+cotc cos

(

a b c+ +

)

=0.
 a b c 2 k k,

p
p

Û + + = + Ỵ ¢

(đpcm).
VÍ DỤ 6. Chứng minh rằng

a.

3 5 1

cos cos cos

7 7 7 2

p p p

+ + =

.
b.

3 5 1

sin sin sin cot

7 7 7 2 14

p p p p

+ + =

Bài giải

Xét số phức z cos7 isin7

p p

= +

.
Áp dụng công thức Moa - Vrơ có

( )

3 5 cos cos3 cos5 sin sin3 sin5 . 1

7 7 7 7 7 7

z z+ +z =ỗỗổỗỗ p+ p + pữữử ổữữ+ỗỗỗỗ p + p+ pữữữửữi

ố ứ ố ứ

Mt khác

7
3 5

2 1
z z
z z z

z

-+ + =

- . Do z7 =cosp+isinp= - 1, suy ra

( )

3 5 1 1 1cot . 2

1 2 2 14

z z z i

z

p

+ + = = +

-Từ (1) và (2) ta có

3 5 1

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

b.

3 5 1

sin sin sin cot

7 7 7 2 14

p p p p

+ + =

. (đpcm). 
Tổng quát ta có bài toán.

VÍ DỤ 7. Với "a b, ẻ Ă ,bạ k p2 Chng minh rng:

a.

(

)

1
1
sin sin
2 2

sin
sin
2
n
k
n nb
a b
a kb
b
=
ổ + ửữ
ỗ + ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
+ =

ồ

.
b.

(

)

1
1
cos sin
2 2
cos
sin
2
n
k
n nb

a b
a kb
b
=
ổ + ữử
ỗ + ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
+ =

å

.
Bài giải

Xét số phức 1

(

)

cos
n
k
a kb
=
+ +

å

n1sin

(

)

k

a kb i
=

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố

ồ

ứ . Đặt zo =cosa i+ sina,

cos sin

z = b i+ b. Theo công thức Moa – Vrơ ta có

(

cos sin

)(

cos sin

)

cos

(

)

sin

(

)

, 1,2,..,

k
o

z z = a i+ a kb i+ kb = a kb+ +i a kb k+ " = n

Như vậy, tổng 1

(

)

cos
n
k
a kb
=
+ +

ồ

n1sin

(

)

k

a kb i
=

ổ ửữ

ỗ + ữ

ỗ ữ

ỗố

ồ

ứ c biờn ụi nh sau:

(

)

1
cos
n
k
a kb
=
+ +

å

n1sin

(

)

n1 cos

(

)

.sin

(

)

n1 . k

o

k k k

a kb i a kb i a kb z z

= = =
ổ ửữ
ỗ + ữ= ộ + + + ự=
ỗ ữ ờ ỳ
ỗ ữ ở ỷ
ỗố

ồ

ứ

ồ

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

2 3 ... 1 1 1 . *

1 1 . 1

n
n

n

o o o

z z

z

z z z z z z z z z

z z z

-

-= + + + + = =
- - 
-.
Mặt khác


(

)

( )

(

)

(

)

1 1 . 1 2 1 cos 4sin

b

z- z- =z z- z z+ + = - b =



1 2sin 2sin .cos 2sin cos sin

2 2 2 2 2 2

b b b b b b

z- = - - i = - ỗỗỗổ p- +i p- ữữửữ
ữ

ỗố ứ

1 2sin 2sin .cos 2sin cos sin

2 2 2 2 2 2

n nb nb nb nb nb nb

z - = - +i = ỗỗỗổ p+ +i p+ ÷÷ư÷÷

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

Áp dụng cơng thức Moa – Vrơ thu được

(

)

( )

(

)

( )

sin

1 1 1 1

2 . cos sin

2 2

1 . 1 4sin

n

o

nb

z z n n

z z a b i a b

b

z z p p

-- - ổỗ ổỗ + ữử ổỗ + ửữửữ
ữ
ữ ữ
= ỗỗ ỗỗỗ + + ữữ+ ỗỗỗ + + ữữữữ
ỗ è ø è ø
è ø
-

-( )

sin 1 sin 1

2 .cos . 2 .sin . * *

2 2

4sin 4sin

2 2

nb nb

n n

a b i a b

b b
ỉ + ư÷ ỉ + ửữ
ỗ ữ ỗ ữ
= ỗỗ + ữ+ ỗỗ + ữ
ữ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ứ

T (*) va (**) so sánh phần thực và phần ảo của tổng ban đầu ta có

a.

(

)

1
1

sin sin
2 2
sin
sin
2
n
k
n nb
a b
a kb
b
=
æ + ửữ
ỗ + ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
+ =

ồ

.
b.

(

)

1
1
cos sin
2 2
cos
sin
2
n

k
n nb
a b
a kb
b
=
ổ + ữử
ỗ + ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
+ =

ồ

(pcm).

Nh võy, vi mụi gia tri cua a, b cho ta một công thức. Chẳng hạn cho a= - x,
với b=2x¹ k p2 ta có

(

)

1 2

cos 2 sin

2 2 cos .sin sin2

cos 2 1

2 sin 2sin

sin
2

n

k

n n x

x x

nx nx nx

k x

x x x

=
æ + ửữ
ỗ- + ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
- = = =

ồ

Nhõn xet rằng, với những giá trị đặc biệt của n, x sao cho sin2nx=sinx ¹ 0

thì ta ln có 1

(

)

1
cos
2
n
k
a kb
=
+ =

å

, Ví dụ ta chọn x 2n 1
p

+ .

Từ đó, ta có một số kết quả quen thuộc sau:
Với n = 2, chọn x 5

p

, ta có

3 1

cos cos

5 5 2

p p

+ =

.
Với n = 3, chọn x 7

p

, ta có

3 5 1

cos cos cos

7 7 7 2

p p p

+ + =

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

Với n = 5, chọn x 11
p

, ta có

3 5 7 9 1

cos cos cos cos cos

11 11 11 11 11 2

p p p p p

+ + + + =

.
...

Thông qua phép lấy đạo hàm ta có bài toán.
VÍ DỤ 8. Với x ¹ k p2 Chứng minh rằng:

a.

( )

'
1
1
sin sin
2 2
cos
sin
2

n
k
n nx
x
k kx
x
=
ộ ổỗ + ửữ ự
ờ ỗ ữ ỳ
ữ
ờ ỗỗố ứữ ỳ
ờ ỳ
= ờ ỳ
ờ ỳ
ờ ỳ
ờ ỳ
ở ỷ

ồ

.
b.

( )

'
1
1
cos sin
2 2
sin
sin
2
n

k
n nx
x
k kx
x
=
ộ ổỗ + ửữ ự
ờ ỗ ữ ỳ
ữ
ờ ỗỗố ữứ ỳ
ờ ỳ
= - ê ú
ê ú
ê ú
ê ú
ë û

å

.
Bài giải

Từ ví dụ 7 ta co

( )

1
1
sin sin
2 2
sin
sin
2

n
k
n nx
x
kx
x
=
ổ+ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ứ
=

ồ

( )

1
1
cos sin
2 2
cos
sin
2
n
k
n nx
x
kx
x
=

ổ+ ửữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗ ữ
ỗố ø
=

å

.
Lấy đạo hàm hai vế ta được điều phải chứng minh.
7.2. BÀI TẬP THỰC HÀNH

Bài 1. Chứng minh rằng
a.

3 5 7 9 11 1

cos cos cos cos cos cos

13 13 13 13 13 13 2

p p p p p p

+ + + + + =

9 5 3 7 11 1

sin sin sin sin sin sin

26 26 26 26 26 26 2

p p p p p p

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

-Bài 2. Chứng minh rằng

2 4 6 2 1

cos cos cos ... cos

2 1 2 1 2 1 2 1 2

n

n n n n

p p p p

-+ + + + =

+ + + + .

Bài 3. Chứng minh rằng:

sin sin

2 2

sin sin2 ... sin ,

sin
2

n nx

x

x x nx

x

ổ + ửữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

+ + + =

vi x ¹ k p2

(

)

sin 2 1

1 cos2 cos4 ... cos2 ,

2sin

n x

x x nx

x

+ + + + =

với x ¹ kp

(

)

sin .sin 1

sin2 sin4 ... sin2 ,

sin

nx n x

x x nx

x

+ + + =

với x ¹ kp.

Bài 4(*). Chứng minh rằng

(

)

1
2

sin .sin ....sin

2 2 2 2m

m m

m m m

p

p p

Bài 5. Chứng minh rằng

a. 1+acosx a+ 2cos2x+ +... ancosnx

(

)

2 1

cos cos 1 cos 1

2 cos 1

n n

a nx a n x a x

a a x

+ - + + - +

- + .

b. asinx a+ 2sin2x+ +... ansinnx

(

)

2 1

sin sin 1 sin 1

2 cos 1

n n

a nx a n x a x

a a x

+ - + + + +

- + .

Bài 6. Sử dụng công thức Moa – Vrơ biến đổi tan5x qua tanx.
III. BÀI TẬP TỞNG HỢP

Bài 1. Tìm sớ phức z, biết z =2 5 và phần ảo của z bằng hai lần phần
thực

của nó.

Baøi 2. Tìm hai số phức biết tổng của chúng bằng 2 và tích của chúng bằng
3.

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

Baøi 5. Giải phương trình

(

)

2 1 2 0

x + +i x- - i =

trên tập sớ phức.
Bài 6. Giải phương trình

(

)

(1- i z) - 2 1 2+ i z- 4=0

trên tập sớ phức.
Bài 7. Giải phương trình

(

)

(2 3 )- i z + 4i - 3 z+ -1 i =0

trên tập sớ
phức.

Bài 8. Giải phương trình z4- 6z2+25=0 trên tập sớ phức.

Bài 9. Giải phương trình

(

)

2 2 2

(z +z) +4 z +z z- 12=0

trên tập sớ
phức.

Bài 10. Giải phương trình z4- 4z3+7z2- 16z+12=0 trên tập sớ phức.
Bài 11. Giải phương trình 2z4- 2z3+z2+2z+ =2 0 trên tập sớ phức.

Bài 12. Giải hệ phương trình

2 2
1 2

1 2

5 2
4

z z i

ìï + =
-ïïí

ï + = +

ïïỵ trên tập sớ phức.

Bài 13. Giải hệ phương trình

3 3

3(1 )

9( 1)

x y i

x y i

ìï + = +

ïïí

ï + =

-ïïỵ trên tập sớ phức.

Bài 14. Tìm tham số m để phương trình x2+mx+3i =0 có hai nghiệm

z1, z2

thoả mãn điều kiện: z12+z22=8.

Bài 15. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số
phức z

thỏa mãn đẳng thức 2+ = -z i z .

Bài 16. Trong mặt phẳng tọa đợ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số
phức z

thỏa mãn đẳng thức z z- +2i =2z i- .

Baøi 17. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số
phức z

thỏa mãn đẳng thức 1< -z i <2.

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

thỏa mãn đẳng thức z+ + -4 z 4 =10.

Baøi 19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy tìm tập hợp điểm biểu diễn số
phức z thỏa mãn đẳng thức z- 4i + +z 4i =10.

Bài 20. Tìm sớ phức z thỏa mãn:

1
1

z
z i

- và

3
1

z i
z i

+ .

Bài 21. Tìm sớ phức z thỏa mãn:

12 5

8 3

z
z i

- và

4
1
8

z
z

- .

Bài 22. Tìm sớ phức z thỏa mãn:

z i z

z i z

ìï - =

ïïí

ï - =

-ïïỵ .

Bài 23. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn
các số

phức

4 2 6

;(1 )(1 2 );

1 3

i i

- +

- - .

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân.

b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vng.
Bài 24. Giải phương trình z2+ =z 0 trên tập sớ phức.

Bài 25. Tìm số phức z thỏa mãn đẳng thức: z2+ =z 0.
Bài 26. Tìm sớ phức z thỏa mãn đẳng thức: z + = -z 4 3i.

Bài 27. Cho sớ phức z= +1 3i. Hãy viết dạng lượng giác của số phức

5.
z

Bài 28. Viết dưới dang lượng giác của sớ phức z= +(1 i)19 và tính

0 2 4 6 2008 2010

2011 2011 2011 2011 .... 2011 2011.

C - C +C - C + +C - C

Bài 29. Cho sớ phức z= -1 sinj +icosj

0 .

p
j

ổ ửữ

ỗ < < ữ

ỗ ữ

ỗ ữ

ỗố ứ

Tim mụt acgumen cua sụ phc z.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

p

Bài 31. Trong mặt phẳng tọa đợ Oxy, hãy tìm tập hợp các điểm trên mặt
phẳng

phức biểu diễn số phức z sao cho số phức

2
2

z

-+ có một acgumen bằng 3

p
.

Bài 32. Cho sớ phức

.
4 3

m
i
z

i

ỉ + ữử

ỗ ữ

= ỗỗỗ - ữữ

ố ứ Tim m ngun dương để z là sớ thực.

Bài 33. Tính tởng S = +(1 i)2011+ -(1 i)2011.

Baøi 34. Cmr các điểm biễu diễn căn bậc ba của 1 lập thành một tam giác
đều.

Bài 35. Tìm sớ phức z có phần thực; phần ảo là số nguyên và thỏa z phương
trình: z3 =18 26+ i.

Bài 36. Tìm a b, Ỵ ¡ để pt: z4 – 4z2 – 16z – 16 = (z2 – 2z – 4)(z2 + az + b),

nghiệm đúng với  z C
Baøi 37. Cho biết

|z | 2

z

+ =

. Tìm số phức z có môdun lớn nhất, nhỏ nhất.
Baøi 38. Tìm giá trị nhỏ nhất của | |z nếu |z- 2 2 | 1+ i = .

ĐÊ THI ĐAI HỌC VÀ CAO ĐẲNG ĐÃ QUA

Baøi 1. (CĐKA2009)

Cho số phức z thỏa mãn (1+i) (22 - i z) = + + +8 i (1 2 ) .i z Tìm phần thực và
phần ảo của z.

Baøi 2. (CĐKA2009) Giải phương trình sau trên tập số phức

4 3 7

2 .

z i

z i
z i

-Bài 3. (ĐHKD2009). Trong mặt phẳng tọa đợ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu
diễn

các số phức z thỏa mãn điều kiện: z- (3 4 )- i =2.

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

. 25

z z=

Baøi 5. (ĐHKA2009). Gọi z1 và z2 la hai nghiệm phức của phương trình
2 2 10 0.

z + z+ = Tính giá trị của biểu thức

2 2
1 1 .

A = z + z

Baøi 6. (ĐHKA2010) Tìm phần ảo của số phức z, biết

( 2 ) (1 2 )

z = +i - i .

Baøi 7. (ĐHKA 2010) Cho số phức z thỏa mãn

(1 3 )

i
z

i

- . Tìm
môđun của

số phức z iz+ .

Bài 8. (ĐHKB2010) Trong mặt phẳng tọa đợ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu
diễn

các số phức z thỏa mãn điều kiện: z i- = (1+i z) .

Baøi 9. (ĐHKD2010) Tìm số phức z thoả mãn z = 2 và z2 là sớ th̀n

ảo.

Bài 10. (CĐKA2010) Giải phương trình z2- (1+i z) + +6 3i =0 trên tập
số

</div>

Chuyen de so phuc

<b>ĐẶT VẤN ĐÊ</b>

PHẦN I. ĐẠI CƯƠNG VỀ SỚ PHỨC

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>PHẦN II. BÀI TẬP</b>

(

) (

)

(

)

(

) (

) (

)

(

) (

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

<sub>( ) (</sub>

<sub>)</sub>

(

)

(

)