BAI TOAN CUC TRI TRONG DIEN XOAY CHIEU

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (318.41 KB, 15 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài tốn khó đối với học sinh lớp 12 và cũng ít tài
liệu hệ thống hóa một cách đầy đủ về dạng bài tốn này.

- Với đề thi trắc nghiệm đại học như hiện nay, việc áp dụng trực tiếp kết quả của bài toán cực trị sẽ làm
cho học sinh khơng có cái nhìn tổng quan về phương pháp giải các dạng tốn này.

- Chính vì lý do đó, nay tơi viết đề tài “CỰC TRỊ TRONG BÀI TOÁN ĐIỆN XOAY CHIỀU“ nhằm
hệ thống hóa một số dạng tốn cực trị của bài tốn này phục vụ cho cơng tác giãng dạy của các bạn đồng
nghiệp, cũng như một tài liệu để học sinh tham khảo trong quá trỉnh học.

- Đề tài gồm bốn phần: khảo sát sự biến thiên của các đại lượng như công suất, hiệu điện thế của các thiết
bị… theo giá trị của biến trở R, theo giá trị của độ tự cảm L, theo giá trị của điện dung C và theo giá trị
của tần số góc w.

- Vì thời gian có hạn, nên trong q trình viết có thể có nhiều thiếu xót, mong được sự đóng góp của quý
đồng nghiệp và các em học sinh.

Bài toán cực trị trong mạch điện xoay chiều là một dạng bài tốn khó đối với học sinh lớp 12

Thư Viện đề thi hữu ích cho lớp 12

Đề

thi t

ố

t nghi

ệ

p môn V

ậ

t lý

-

Đề

thi

Đ

H - C

Đ

môn V

ậ

t lý

Đề

thi th

ử

đạ

ọ

i h

c môn v

ậ

t lý

-

Đề

thi th

ử

t

ố

t nghi

ệ

p môn v

ậ

t lý

NỘI DUNG

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Có hai giá trị R1 ¹ R2 cho cùng một giá trị công suất

2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại

a. Giá trị R làm cơng suất tồn mạch cực đại
b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại
c. Giá trị R làm cho công suất cuộn dây cực đại.

3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với cuộn dây thuần cảm.
1. Có hai giá trị L1 ¹ L2 cho cùng giá trị cơng suất

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo cảm kháng.
3. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULmax

4. Có hai giá trị L1 ¹ L2 cho cùng giá trị UL,giá trị L để ULmax tính theo L1 và L2.
5. Giá trị ZL để hiệu điện thế ULRrmax

III. Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.
1. Có hai giá trị C1 ¹ C2 cho cùng giá trị cơng suất

2. Khảo sát sự biến thiên của công suất theo dung kháng.
3. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCmax

4. Có hai giá trị C1 ¹ C2 cho cùng giá trị UL và giá trị ZC để UCmax tính theo C1 và C2.
5. Giá trị ZC để hiệu điện thế UCRrmax

IV. Sự thay đổi w trong mạch R-L-C mắc nối tiếp
1. Giá trị w làm cho Pmax

2. Khảo sát sự biến thiên cơng suất theo w.

3. Có hai giá trị w1 ¹ w2 cho cùng cơng suất và giá trị w làm cho Pmax tính theo w1 và w2
4. Giá trị w làm cho hiệu điện thế ULmax

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

I. Sự thay đổi R trong mạch R-L-C mắc nối tiếp:

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
R là một biến trở, các giá trị R0 , L và C không đổi.

Gọi Rtd = R + R0

1. Có hai giá trị R

¹

R

cho cùng một giá trị công suất

- Công suất tiêu thụ trên mạch là :

- Vì P1 = P2 = P nên ta có thể xem như cơng suất trong phương trình trên là một số khơng đổi ứng với hai
giá trị R1 và R2 . Khai triển biểu thức trên ta có:

- Nếu có 2 giá trị của điện trở cho cùng một giá trị cơng suất thì phương trình bậc 2 trên có hai nghiệm
phân biệt R1 và R2. Theo định lý Viète (Vi-et):

- Từ đó ta thấy rằng có 2 giá trị R1 và R2 khác nhau cho cùng giá trị công suất

2. Giá trị của R làm cho công suất cực đại

a. Giá trị R làm cơng suất tồn mạch cực đại

- Ta có:

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

- Ta thấy rằng Pmax khi Amin => “ =” xảy ra. Vậy:

- Khi đó giá trị cực đại của công suất là:

Với R1td và R2td là hai giá trị của R cho cùng giá trị công suất.

Lưu ý: Khi thì giá trị biến trở R < 0, khi đó giá trị biến trở làm cho cơng suất tồn mạch 
cực đại là R = 0.

b. Giá trị R làm cho công suất của R cực đại

- Công suất của biến trở R là

- Đặt mẩu thức của biểu thức trên là :

- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho A ta được:

- Ta thấy rằng PRmax khi Amin nghĩa là dấu “ =” phải xảy ra, khi đó:

- Cơng suất cực đại của biến trở R là:

c. Giá trị R làm cho cơng suất cuộn dây cực đại, cường độ dịng điệncực đại, hiệu điện thế cuộn dây cực
đại, hiệu điện thế tụ điện cực đại.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

- Vì R0; ZL; ZC và U là các đại lượng không đổi nên muốn đạt giá trị cực đại thì chỉ cần cường độ dòng
điện qua mạch cực đại. Từ biểu thức của dòng điện ta thấy rằng Imax khi giá trị của biến trở R = 0.

3. Khảo sát sự biến thiên của công suất vào giá trị của R

- Để thấy rõ hơn sự phụ thuộc của công suất toàn mạch vào giá trị của biến trở R người ta thường dùng
phương pháp khảo sát hàm số:

- Ta có cơng suất tồn mạch theo biến thiên theo biến trở R cho bởi hàm số:

- Đạo hàm P theo biến số Rtd ta có:
Khi

Bảng biến thiên :

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Nhận xét đồ thị :

· Từ đổ thị ta thấy rằng có hai giá trị R1 và R2 cho cùng một giá trị của công suất.
· Công suất đạt giá trị cực đại khi

· Trong trường hợp thì đỉnh cực đại nằm ở phần R< 0 do đó ta thấy rằng cơng suất
của mạch sẽ lớn nhất khi R = 0.

· Nếu R0 = 0 thì đồ thị xuất phát từ gốc tọa độ và ta ln có giá trị R làm cho cơng suất của tồn mạch cực
đại là

Kết luận:

· Với phương pháp khảo sát hàm số để thu được các kết quả ở phần 1 và 2 sẽ không hiệu quả bằng phương
pháp dùng tính chất của hàm bậc 2 và bất đẳng thức Cauchy.

· Tuy nhiên từ việc khảo sát này ta có thể biết được sự biến thiên của P theo biến trở R nhằm định tính
được giá trị của công suất sẽ tăng hay giảm khi thay đổi điện trở.

II. Sự thay đổi L trong mạch R-L-C mắc nối tiếp với

cuộn dây thuần cảm.

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

R và C khơng đổi.

1. Có hai giá trị L

¹

L

cho cùng giá trị cơng suất

- Vì có hai giá trị của cảm kháng cho cùng giá trị công suất nên:

- Khai triển biểu thức trên ta thu được :

- Suy ra :

2. Khảo sát sự biến thiên của cơng suất theo cảm kháng Z

- Ta có cơng suất toàn mạch là: , với R, C là các hằng số, nên công suất của mạch
là một hàm số theo biến số ZL

- Đạo hàm của P theo biến số ZL ta có:

khi
-Bảng biến thiên

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

- Nhận xét đồ thị:

· Có hai giá trị của cảm kháng cho cùng một giá trị công suất

· Công suất của mạch cực đại khi

, với

là hai giá trị của cảm kháng

cho cùng một giá trị công suất.

Kết luận: Từ việc khảo sát sự biến thiên sự thay đổi công suất vào giá trị của ZL sẽ cho phép định tính
được sự tăng hay giảm của P theoZL. Từ đó ta có thể tiên đốn được sự thay đổi của cơng suất theo giá trị
của ZLtrong một số bài toán.

3. Giá trị Z

để hiệu điện thế U

Lmax

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Ta có hiệu điện thế trên cuộn dây là : , trong đó R; ZC và U là các hằng số
khơng đổi. Ta có thể dùng phương pháp khảo sát hàm số này theo biến số là ZL. Tuy nhiên với cách khảo
sát hàm số sẽ rất phức tạp. Với phương pháp dùng giản đồ Vecto bài tốn này có thể giải dể hơn và rút ra
nhiều kết luận hơn.

- Theo giản đồ vectơ và định lý hàm số sin trong tam giác ta có :

- Vì , suy ra

- Do cosb và U là các giá trị không đổi nên hiệu điện thế ULmax khi
- Theo hệ thức của tam giác vng ta có: , từ đó suy ra
- Tóm lại:

· Khi

thì

· Khi ULmax thì hiệu điện thế tức thời ở hai đầu mạch ln nhanh pha hơn uRC một góc 90

0

.

4. Có hai giá trị L

¹ L

cho cùng giá trị U

, giá trị L để U

Lmax

tính theo L

và L

.

- Khi có hai giá trị của L cho cùng một giá trị hiệu điện thế:

- Bình phương và khai triển biểu thức trên ta thu được:

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

- Tiếp tục khai triển biểu thức trên ta thu được:

- Vì L1 ¹ L2 nên đơn giàn biểu thức trên ta thu được: với giá L là giá trị là
cho ULmax

5. Giá trị Z

để hiệu điện thế U

LRrmax

- Khi R và L mắc nối tiếp nhau thì :

- Đặt , ta thực hiện việc khảo sát hàm số MT theo biến số ZL để tìm giá trị của ZL
sao cho MTmin khi đó giá trị của ULrmax . Đạo hàm của MT theo biến số ZL ta thu được :

- Cho MT’(ZL) = 0 ta có : . Nghiệm của phương trình bậc hai này

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

- Từ bảng biến thiên ta thấy rằng MT đạt giá trị nhỏ nhất nên ULR đạt
giá trị lớn nhất. Ta thu được kết quả sau:

Khi thì

III.Sự thay đổi C trong mạch R-L-C mắc nối tiếp.

Xét mạch điện xoay chiều có hiệu hiệu thế hai đầu ổn định :
R là điện trở L là một cuộn dây thuần cảm khơng đổi

và C có giá trị thay đổi .

Nhận xét: Vì trong cơng thức tổng trở do đó ta thấy rằng bài tốn
thay đổi giá trị C cũng giống như bài toán thay đổi giá trị L. Do đó khi thực hiện việc khảo sát ta cũng
thực hiện tương tự thu được các kết quả sau:

1. Có hai giá trị C

1

¹

C

2

cho cùng giá trị công suất

Với hai giá trị C1 và C2 cho cùng giá trị cơng suất ta có

Với giá trị C0 là giá trị làm cho công suất mạch cực đại

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

- Đồ thị của công suất theo giá trị ZC :

3. Giá trị Z

C

để hiệu điện thế U

Cmax

- Khi

thì:

· và

· u

vng pha với hiệu điện thế hai đầu mạch

4. Có hai giá trị C

1

¹ C

2

cho cùng giá trị U

C

,giá trị Z

C

để U

Cmax

tính theo C

1

và C

2

- Khi có hai giá trị C = C1 hoặc C = C2 cho cùng giá trị UC thì giá trị của C làm cho UCmax
khi

5. Giá trị Z

C

để hiệu điện thế U

RCmax

- Khi thì ( Với điện trở R và tụ điện mắc gần nhau)

IV. Sự thay đổi

w

trong mạch R-L-C mắc nối tiếp

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

- Ta có , từ công thức này ta thấy rằng công suất của mạch đạt giá trị cực

đại khi: . Với

- Khi đó Zmin = R và hiệu điện thế giửa hai đầu mạch và cường độ dòng điện qua mạch đồng pha nhau.

2. Có hai giá trị

w

1

¹ w

2

cho cùng cơng suất và giá trị

w

làm cho P

max

tính theo

w

1

và w

2

:

- Nếu có hai giá trị tần số khác nhau cho một giá trị cơng suất thì:

- Biến đổi biểu thức trên ta thu được :

- Vì w1 ¹ w2 nên nghiệm (1) bị loại

- Khai triển nghiệm (2) ta thu được :

- Theo kết quả ta có : với w0 là giá trị cộng hưởng điện.

3. Khảo sát sự biến thiên cơng suất theo w.

- Ta có

- Việc khảo sát hàm số P theo biến số w bằng việc lấy đạo hàm và lập bảng biến thiên rất khó khăn vì hàm
số này tương đối phức tạp. Tuy nhiên, ta có thể thu được kết quả đó từ những nhận xét sau:

· Khi w = 0 thì làm cho P = 0

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

· Khi thì làm cho P = 0

- Từ những nhận xét đó ta dễ dàng thu được sự biến thiên và đồ thị :

-Nhận xét đồ thị:

· Từ đồ thị ta thấy rằng sẽ có hai giá trị w1 ≠ w2 cho cùng một giá trị công suất, điều này phù hợp với

những biến đổi ở phần trên.

4. Giá trị

w

làm cho hiệu điện thế U

Lmax

- Ta có : , đặt

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

- Ta tiếp tục đặt khi đó

- Lấy đạo hàm của A theo biến số x ta thu được:

- Cho A’(x) = 0 ta thu được

- Vì khi đó ta thu bảng biến thiên:

- Thay giá trị x vào biểu thức đã đặt ta thu được hiệu điện thế cực đại của cuộn dây là:

và

Nhận xét : Khi thì Amin khi x = 0 do A làm hàm số bậc 2 có hệ số nên hàm số
có cực tiểu ở phần âm, do đó x = 0 làm cho Amin trong miền xác định của x. Khi đó w rất lớn làm cho ZL
rất lớn làm cho I = 0. Do đó khơng thể tìm giá trị w làm cho ULmax