Chuyen de PHEP BIEN HINH TRONG MAT PHANG

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (178.14 KB, 16 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG THPT LÝ TỰ TRỌNG

CHUYÊN ĐỀ:

TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG

MẶT PHẲNG

Người thực hiện: GV Phan Thị Thanh Huyền

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

MỤC LỤC
Chương 1: Mở đầu

1.1 – Lý do chọn đề tài

1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2.1 – Phép biến hình.

1.2.2 – Phép dời hình.
1.2.3 – Phép đồng dạng.

Chương 2: Tích các phép biến hình trong mặt phẳng.
2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.

2.2 – Tích của hai phép đối xứng trục.
2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm.
2.4 – Tích của hai phép quay.

2.5 – Tích của hai phép vị tự.

2.6 – Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến.
2.7 – Tích của phép quay và phép đối xứng trục.

2.8 – Mở rộng

Chương 3: Bài tập áp dụng.

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Chương 1: MỞ ĐẦU

1.1 – Lý do chọn đề tài

Phép biến hình là một khái niệm có thể nói là mới và khó đối với học sinh
trung học phổ thơng. Mục đích của việc đưa nội dung các phép biến hình vào
chương trình tốn phổ thơng là nhằm cung cấp cho học sinh một công cụ mới để
giải toán đồng thời tập cho học sinh làm quen với phương pháp tư duy và suy
luận mới. Tuy nhiên, việc dạy học các chủ đề về phép biến hình ở trường trung
học phổ thơng người ta chỉ nhắm đến ba cấp độ:

Cấp độ 1: Phép biến hình gắn liền với mối liên hệ giữa hai hình hoặc giữa
hai phần của một hình ( đặc trưng hàm hồn tồn vắng mặt).

Cấp độ 2: Phép biến hình được hiểu là ánh xạ từ mặt phẳng, hay tổng quát
hơn , từ khơng gian lên chính nó, ở đó mặt phẳng và không gian được nghiên
cứu với tư cách là các tập hợp điểm.

Cấp độ 3: Phép biến hình được xem như một cơng cụ giải tốn hình học.
Trong đó, cấp độ 2 là một trọng tâm, còn cấp độ 3 được đòi hỏi cao thấp
thế nào là tùy vào từng thể chế dạy học.

Trong chuyên đề này, tôi chỉ đề cập đến các phép biến hình trong mặt
phẳng, tích các phép biến hình trong mặt phẳng và một vài ứng dụng của chúng
vào việc giải tốn hình học.

Trên thực tế, sách giáo khoa Hình học 11 (cơ bản và nâng cao) đều khơng
nói đến tích các phép biến hình trong mặt phẳng nhưng lại đề cập đến việc “thực
hiện liên tiếp các phép biến hình”. Chính vì vậy, với chun đề nhỏ này, tơi hi
vọng có thể giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về “ Tích các phép biến hình trong
mặt phẳng” và ứng dụng nó vào giải tốn.

1.2 – Sơ lược về các phép biến hình trong mặt phẳng.
1.2.1 – Phép biến hình.

Ta kí hiệu tập hợp tất cả các điểm của mặt phẳng là

P

. Khi đó mỗi hình

H

bất kì của mặt phẳng đều là một tập con của

P

và được kí hiệu

H



P

.

a) Định nghĩa

Một song ánh f P:  P từ tập điểm của

P

lên chính nó được gọi là một
phép biến hình trong mặt phẳng.

f P P

M M




Điểm M'f M( ) gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f . Ngược lại

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

Nếu

H

là một hình nào đó của

P

thì ta có thể xác định tập hợp





' ' ( )

H  M f M MH

. Khi đó H' gọi là ảnh của hình

H

qua phép biến hình

f và hình

H

được gọi là tạo ảnh của hình

H

'

qua phép biến hình f đó.

b) Sự xác định phép biến hình.

Muốn xác định một phép biến hình f P:  P ta cần nêu rõ quy tắc f đó
bằng các cách sau đây:

_ Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong mặt
phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng
đường thẳng đi qua một điểm và vng góc với một đường thẳng cho trước,
dựng đường trịn với tâm và bán kính đã cho, ...

_ Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ ( ; )x y
của điểm M với tọa độ ( '; ')x y của điểm M'f M( ) đối với hệ tọa độ Oxy nào

đó.

c) Phép đồng nhất

Phép biến hình f P:  P, biến mỗi điểm M thành chính nó được gọi là

phép đồng nhất
Kí hiệu:

e P P

M M





d) Điểm bất động của phép biến hình.

Một điểm MP là điểm bất động (hoặc là điểm kép) đối với phép biến

hình f nếu f M( )M .

e) Phép biến hình đảo ngược.

Trong mặt phẳng, cho phép biến hình f M:  M'. Khi đó phép biến hình

biến M' M được gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f .

Kí hiệu: f1

Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f1 .
Nếu f f1 thì phép biến hình f gọi là phép biến hình đối hợp.

f) Tích các phép biến hình

Dễ dàng chứng minh được:

Tích của hai phép biến hình là một phép biến hình.
Tích các phép biến hình có tính chất kết hợp.

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

1.2.2 – Phép dời hình

a) Định nghĩa

Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất
kì.

Nhận xét: i) Phép đồng nhất là phép dời hình.

ii) Đảo ngược của phép dời hình là phép dời hình.

b) Các phép dời hình

i) Phép tịnh tiến
ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P cho vectơ v


phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’
sao cho MM  'v gọi là phép tịnh tiến theo vectơ v


Kí hiệu: Tv , vectơ v



gọi là vectơ tịnh tiến.
ii) Phép đối xứng trục

ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P cho một đường thẳng d cố định,
phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’

sao cho đoạn thẳng MM’ nhận d làm đường trung trực
thì phép biến hình đó gọi là phép đối xứng trục d

Kí hiệu: Đd, với d là trục đối xứng

Nếu điểm M thuộc đường thẳng d thì ta lấy M’ trùng với M.
iii) Phép đối xứng tâm

ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định,

phép biến hình biến mỗi điểm M thành một điểm M’
sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’

gọi là phép đối xứng tâm O.

Kí hiệu: ĐO, điểm O gọi là tâm đối xứng.

iv) Phép quay

ĐỊNH NGHĨA:

Trong mặt phẳng P, cho một điểm O cố định
và góc lượng giác  . Phép quay tâm O, góc quay 

là phép biến hình biến điểm O thành chính nó,
biến mỗi điểm M thành điểm M’

sao cho OM OM' và



OM OM, '




 

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Kí hiệu:

Q

O; , O là tâm quay,  là góc quay.

Nhận xét : - Phép quay tâm O, góc quay 0o là phép đồng nhất.

- Phép quay tâm O, góc quay ; là phép đối xứng tâm O.

1.2.3 Phép đồng dạng
a) Phép vị tự

ĐỊNH NGHĨA :

Trong mặt phẳng cho điểm O cố định và một số k 0. Phép biến hình biến
mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho OM 'kOM được gọi là phép vị tự tâm O, tỉ

số k

Kí hiệu :

V

O k;  , O gọi là tâm vị tự, k gọi là tỉ số vị tự.

Nhận xét : - Phép vị tự tỉ số 1 là phép đồng nhất.
- Phép vị tự tỉ số -1 là phép đối xứng tâm.

b) Phép đồng dạng

ĐỊNH NGHĨA :

Một phép biến hình f P:  P gọi là một phép đồng dạng nếu nó biến hai

điểm A, B bất kì của mặt phẳng thành hai điểm A’=f(A) và B’=f(B) sao cho ln
có A’B’=kAB, trong đó k là số thực dương xác định. Số k được gọi là tỉ số đồng
dạng

Nhận xét : - Phép dời hình là phép đồng dạng tỉ số 1.
- Phép vị tự tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số /k/.

- Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng
dạng tỉ số 1/k.

- Tích của một phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

Chương 2 : TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

2.1 – Tích của hai phép tịnh tiến.

Tích của hai phép tịnh tiến theo vectơ u và v là một phép tịnh tiến theo
vectơ

u v



 

.

Chứng minh :

Trong mặt phẳng lấy điểm M bất kì

Giả sử:

' ''

( )

(

)

u
v

T M

M

T M

M





Ta có:

' ''

MM u

M M v




 

 

Suy ra MM'' MM'M M' ''  u v

    

Vậy Tu v  ( )M M''.

* Nhận xét: Tích của hai phép tịnh tiến có tính chất giao hốn.

(Bạn đọc tự kiểm chứng).

2.2 - Tích của hai phép đối xứng trục.

a. Tích của hai phép đối xứng có trục song.

Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là a và b song song

với nhau là một phép tịnh tiến theo vectơ v có phương vng góc với hai trục,

có hướng từ avà b và có mơđun bằng hai lần khoảng cách giữa hai trục đó.

Chứng minh:

Gọi Đa và Đb là hai phép đối xứng trục có hai trục a và b song song.

Với điểm M bất kì ta có M’= Đa(M), M’’= Đb(M’)

Đường thẳng a là đường trung trực của đoạn MM’ và nếu gọi H là trung điểm
của MM’ thì MM ' 2  HM' và HM'a.

Tương tự, nếu gọi H’là trung điểm của M’M” thì M M' '' 2 M H' '

 

và M H' 'b


.
Vậy MM''MM'M M' ''

  

2(HM'M H' ') 2 HH'

  

Mặt khác ta nhận thấy rằng ba điểm M, M’, M’’ nằm trên một đường thẳng
vng góc với a và b, đồng thời vectơ HH'không phụ thuộc vào vị trí điểm M và

vectơ này có hướng từ a đến b, có phương vng góc với a và b, có độ dài bằng
khoảng cách giữa hai trục đó. Do đó phương của đường thẳng MM’ khơng đổi vì
nó ln vng góc với a và b. Như vậy tích của hai phép đối xứng trục Đa và Đb

biến điểm M thành điểm M’’ với MM'' 2 HH'

 

chính là phép tịnh tiến theo vectơ

2HH'.

v



u
M’

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Do đó: ĐbĐa= T2HH'



* Chú ý: Tích của hai phép đối xứng này khơng có tính chất giao hốn.

Nhận xét: Mỗi phép tịnh tiến đều có thể phân tích thành tích của hai phép đối
xứng có trục song song.

b. Tích của hai phép đối xứng có trục cắt nhau:

Tích của hai phép đối xứng trục theo thứ tự có 2 trục a và b cắt nhau
tại O là một phép quay tâm O góc quay  bằng 2 lần góc giữa hai đường

thẳng a và b.

Chứng minh:

Gọi Đa và Đb là 2 phép đối xứng trục với hai trục là a và b cắt nhau tại O. Với

một điểm M bất kỳ khác O, ta gọi
M’ = Đa(M),

M’’ = Đa(M’)

Như vậy tích ĐbĐa biến điểm M thành M’’

Gọi H và H’ lần lượt là trung điểm của MM’ và M’M’’ thì H’b

Ta có

( , ') 2( , ')

( , '') 2( ', ')

OM OM OH OM

OM OM OM OH




   

  

Do đó

(    OM OM           ,                '')              (OM OM, ') ( OM OM', '')

2 ( OH OM, ') ( OM OH', )

   

(OH OH               , ') 2( , ) a b

Trong đó (a,b) là góc định hướng tạo bởi a và b. Góc này xác định sai khác một
bội số của . Dó đó nếu ( , )a b   k thì (OM OM, ') 2  k2 .

 

Ngoài ra OM = OM’ = OM’’.

Nếu M  O thì tích ĐbĐa biến O thành O.

Vậy tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại O tạo thành một
góc  là một phép quay tâm O với góc 2 .

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Nhận xét:

i. Tích của 2 phép đối xứng có trục vng góc tại O là phép đối xứng tâm
O.

ii. Mỗi phép quay ta có thể phân tích thành tích của hai phép đối xứng có
trục cắt nhau.

(Bạn đọc tự kiểm chứng)

2.3 – Tích của hai phép đối xứng tâm:

Tích của hai phép đối xứng tâm I1, I2 (I1I2) theo thứ tự là phép tịnh

tiến theo véctơ 2I I1 2.



Chứng minh:

Gọi ĐI1 và ĐI2 là hai phép đối xứng tâm I1, I2.

Với điểm M bất kỳ

Giả sử ĐI1(M) = M’

ĐI2(M’) = M’’

Ta có

1
2

' 2

'' 2 '

MM MI

MM M I




 

1 2

1 1 1 2

0
1 2

'' ' ' '' 2( ' )

2( ' )

2 .

MM MM M M MI M I

MI M I I I
I I

    

  





    

  
    


Vậy T2I I1 2( )M M''



2.4 – Tích của hai phép quay:

a. Tích của hai phép quay cùng tâm.

Tích của hai phép quay

Q

( ; )O1

v Q

à

( ;O2)là một phép quay

Q

( ;O12).

Chứng minh:

Gọi Q( ; )O1 à v Q( ;O2)là hai phép tâm O góc quay 1 và phép quay tâm O góc quay

 với mỗi điểm M bất kì

Giả sử

1
2
( ; )

( ; )

( ) '

( ') ''

O
O

Q M M



</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Ta có 1

( , ')

OM OM

OM OM 








Và 1 2

' ''

( , '') ( , ') ( ', '') .

OM OM

OM OM OM OM OM OM  






   



Vậy

Q

( ;O12)

( )

M



M

''.

b. Tích của hai phép quay khác tâm:

Phân tích:

Giả sử

1 1

2 2

( ; )
( ; ).

O
O

Q



Qua O1,O2 lần lượt kẻ đường thẳng d1, d2 sao cho









1; 1 2 và O O ;1 2 2

2 2

d O O  d 

.
Đặt

f



Q

(O2;2)

Q

(O1; ).1

= (Đ

d2

Đ

O O1 2

)(Đ

O O1 2

Đ

d1

)

= Đ

d2

(Đ

O O1 2

Đ

O O1 2

)Đ

d1

= Đ

d2

Đ

d1

(Vì tích ĐO O1 2ĐO O1 2 là phép đồng nhất)

Nếu d1 // d2 thì f là một phép tịnh tiến

Nếu d1 cắt d2 thì f là một phép quay.

Tóm lại:

Tích của hai phép quay

Q

(O1; )1

à

v Q

(O2;2) hoặc là một phép quay

hoặc là một phép tịnh tiến.
2.5 – Tích của hai phép vị tự.

a. Tích của hai phép vị tự cùng tâm.

Tích của hai phép vị tự V( ; )O k1 à v V( ; )O k2 là một phép vị tự V( ; )O k2 ,k k k 1. 2

Chứng minh.

Giả sử:

V

( ; )(O k1 M)M' , M bất kì

( ; )(O k M') M''

V



Ta có

2 2 1

'' ' .

OM k OM

OM k OM k k OM



 

 

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

Vậy

OM

''



kOM k k k

,



.



Nhận xét: Nếu k k1. 2 1 thì tích đó là một phép đồng nhất.

b. Tích của hai phép vị tự khác tâm.

Tích của hai phép vị tự khác tâm là một phép vị tự có tâm thẳng hàng
với hai tâm của hai phép vị tự đã cho hoặc đặc biệt là một phép tịnh tiến hay
phép đồng nhất.

Chứng minh:

Giả sử có hai phép vị tự

V

(O k1; )1

v V

à

(O k2; ).2

Với hai điểm bất kỳ A, B ta có

1 1

( ; )O k

(

)

' '

V



AB





A B

với

A B

' '



k AB



2 2

(O k; )( ' ') '' ''

V A B A B

với

A B

'' ''



k A B

' '



Do đó

A B

'' ''



k k AB

2 1



Vậy tích

V

(O k2; ) (2

V

O k1; )1 là

Phép vị tự nếu k k2. 1 1

Phép tịnh tiến hoặc phép đồng nhất nếu k k2. 1 1

* Cách xác định tâm vị tự O của tích

V

(O k2; ) (2

V

O k1; )1

Ta thấy tâm O phải nằm trên đường thẳng O1O2

Giả sử

V

(O k1 1; )

( )

O



O

'

ta có O O '1 k1O O1

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(1)
Khi đó

V

(O k2; )2

( ')

O



O

(vì

O O



''



V

(O k2; )2 )

Nên

O O kO O



'



(2)
Nhưng O O2 'O O O O2 1 1 '

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  
  
  
  

Do đó O O2 "O O k O O O O2  2( 2 1 1 ')k O O2( 2 1kO O1 )

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
Theo (1)

2 1 1 2 2 1 2 1 1

O O





O O k O O









k k O O

(1

2 1

)

1 2

(1

)

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

Nên

1 1 2

2 1

1 k

O O

k k









(*)

Vì O O1, 2 đã cho nên điểm O hoàn toàn xác định nhờ (*)

Vậy:

Nếu k k1 2 1thì

V

(O k2; ) (

V

O k1 1; ) là một phép vị tự tâm O được xác định bởi

hệ thức (*), tỉ số k k k 1 2.

Nếu

k k

1 2



1

thì

A B

" "



AB



, do đó

V

(O k2; ) (2

V

O k1; )1 là một phép tịnh

tiến nếu O1 O2 và là phép đồng nhất nếu

O



O

2.

2.6 – Tích của phép đối xứng trục Đd và phép tịnh tiến

T

a


.
Đặt

f



Đ

T

a



.

a) Nếu

a d





Kẻ đường thẳng d1 thỏa

1
( , )

2

d d

a

d







Khi đó

T

a



Đ

d

Đ

d1

Suy ra

f



Đ

T

a





Đ

d

(Đ

d

Đ

d1

) = Đ

d1

Vậy tích của phép đối xứng trục Đd và phép tịnh tiến

T

a


,

a



vng góc với trục
đối xứng d là một phép đối xứng trục.

b) Nếu a khơng vng góc với d

Phân tích

a a





a



 



Trong đó a1 d a, 2 d

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


f



Đ

dTa



= Đ

(

T Ta1 a2

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

)

= (Đ

d 1 2

)

a a

T T 

(với d1 được xác định như trường hợp a)

Ta gọi tích của một phép tịnh tiến Ta và phép đối xứng trục Đd , với a d



 là một

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

Nhận xét: Phép đối xứng trượt có tính chất giao hốn nghĩa là:
ĐdTa Ta

 
Đd

2.7 – Tích của một phép quay và một phép đối xứng trục.
Giả sử g 

Đ

Q

( ; )O

Kẻ d1, d2 thỏa:

 d1 cắt d2 tại O



d



d

 1 2

( , )
2

d d 

Khi đó:

g



Đ

Q

( ; )O

= Đ

(Đ

Đ

)

= (Đ

Đ

)

=

T2a

Đ

d1

Nếu ad1



thì g là phép đối xứng trục.
Nếu

a



khơng vng góc với d1 thì g là phép đối xứng trượt.

2.8 – Mở rộng.

a. Tích của một số chẵn các phép đối xứng có trục đối xứng song song là một
phép tịnh tiến.

b. Tích của một số lẻ các phép đối xứng trục có trục đối xứng song song là
một phép đối xứng trục.

c. Tích của một số chẵn các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy
là một phép quay.

d. Tích của một số lẻ các phép đối xứng trục có các trục đối xứng đồng quy là
một phép đối xứng trục.

e. Tích của hai phép đối xứng trượt có trục song song là một phép tịnh tiến. 
f. tích của ba phép đối xứng trục bất kì là một phép đối xứng trượt.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Chương 3: BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Cho hai điểm A, B cố định trên đường tròn (O; R) cho trước. Một điểm M
di động trên (O; R). Gọi N là trung điểm của đoạn AM. Dựng hình bình hành
ABCN. Xác định phép biến hình điểm M thành C và chứng tỏ rằng tập hợp các
điểm C là một đường trịn có bán kính xác định.

Giải.
Ta có

1
2

AN  AM

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Vậy ( ; )12

( )

A

V M N

Mặt khác: NCAB
Vậy TAB( )N C

Do đó : ( ; )12

. ( )

AB A

T V M C

Vậy phép đồng dạng là tích của một phép vị tự và một phép tịnh tiến biến M
thành C.

Vì N chạy trên đường trịn bán kính 2

R

nên C cũng chạy trên đường trịn bán kính

R

Bài 2 : Tam giác ABC có M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. S

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

Giải
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Xét tích

 ; 1 ( ; 1)
2

S G

f

V



V





( ; ) ( ; 1)
2

G S

V

A

M

I





B



N



J

C



P



K

Suy ra I, J, K lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự f tâm S’, tỉ số





1 1

. 1

2 2

k  

Vậy AI, BJ, CK đồng quy tại S’

b) Ta có

2
1 2

1 1 1

'

1 1

2 k

GS

k k













4 '

3 GS







GS



4
;
3

'

G
V

S

 
 
 



Vậy S’ thuộc đường tròn ảnh của (ABC) qua

4
;

G

V 

 

  .

* Bài tập tự giải

Bài 1: cho hai đường trịn (O), (O’) tiếp xúc ngồi tại A và một đường thẳng d,
điểm M thay đổi trên d. từ M kẻ hai tiếp tuyến MN và MP đến (O). Hai đường
thẳng AN, AP lần lượt cắt (O’) tại N’, P’. Chứng minh rằng đường thẳng N’P’
luôn qua một điểm cố định khi M thay đổi trên d.

Bài 2: Dựng hình vng nội tiếp một tam giác đã cho. Trong đó hai đỉnh của
hình vng nằm trên một cạnh, hai đỉnh kia nằm trên hai cạnh còn lại của tam
giác đó.

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Bài 4: Cho hai đường trịn cố định (O1), (O2) ngồi nhau. Đường trịn (O3) thay

đổi tiếp xúc với (O1), (O2) lần lượt tại M và N. Cho biết bán kính của (O1), (O2)

khơng bằng nhau. Chứng minh rằng MN đi qua một điểm cố định.

Bài 5: Cho hình thanh ABCD vng tại A và D có AB = 2AD = 2CD. M là điểm
thay đổi trên cạnh CD. Đường thẳng vng góc với AM tại M cắt BC tại N.
Chứng minh trung điểm I của MN thuộc một đường thẳng cố định.

Tài liệu tham khảo:

1. Văn Như Cương (chủ biên), 2007, Hình học 11 nâng cao, NXB Giáo dục.
2. Văn Như Cương (chủ biên), 2007, Bài tập hình học 11 nâng cao, NXB Giáo
dục.

3. Văn Như Cương, Trần Phương Dung, Phan Thị Minh Nguyệt, 2007, Câu hỏi
trắc nghiệm khách quan và bài tập tự luận Hình học 11, NXB Giáo dục.

4. Nguyễn Mộng Hy, 2004, Các phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo
dục.

5. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), 2007, Hình học 11, NXB Giáo dục.

6. Nguyễn Mộng Hy (chủ biên), 2007, Bài tập hình học 11, NXB Giáo dục.
7. Đỗ Thanh Sơn, 2006, Phép biến hình trong mặt phẳng, NXB Giáo dục.
8. Lê Ngơ Hữu Lạc Thiện, 2007, Bài tập hình học sơ cấp

</div>

Chuyen de PHEP BIEN HINH TRONG MAT PHANG

TÍCH CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG

MẶT PHẲNG

<b>Chương 1: MỞ ĐẦU</b>

<i>P</i>

<i>H</i>

<i>P</i>

<i>H</i>



<i>P</i>

<i>P</i>

<i>H</i>

<i>P</i>





<i>H</i>

<i><sub>H</sub></i>

<i><sub>H</sub></i>

<sub>'</sub>





<i>Q</i>

<i>V</i>

<i>u v</i>



 

( )

(

)

<i>T M</i>

<i>M</i>

<i>T M</i>

<i>M</i>





<i>v</i>



<i>Q</i>

<i>v Q</i>

à

<i>Q</i>

<i>Q</i>

( )

<i>M</i>



<i>M</i>

''.

<i>Q</i>

<i>Q</i>









<i>f</i>



<i>Q</i>

<i>Q</i>

= (Đ

Đ

)(Đ

Đ

)

= Đ

(Đ

Đ

)Đ

= Đ

Đ

<i>Q</i>

à

<i>v Q</i>

<i>V</i>

<i>V</i>

<i>OM</i>

''



<i>kOM k k k</i>

,



.