DE THI VAO LOP 10 CHUYEN LUONG VAN TUY NAM HOC 20102011

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>Sở giáo dục và đào tạo</b>
<b>NINH BìNH</b>

<b>đề chớnh thc</b>

<b>kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên</b>
<b>LƯƠNG VĂN TụY</b>

<b>NăM HọC: 2010-2011</b>
<b>Môn thi:</b> Toán

Thời gian làm bài: 150 phút
<b>Bài 1: (1,5 điểm)</b>

Cho

1 1

a 2 :

7 1 1 7 1 1

 

   

 _{ } _

HÃy lập một phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a 1 là một nghiệm.

<b>Bài 2: (2,5 điểm)</b>

a) Giải hệ phơng trình:

x 16
xy

y 3
y 9
xy

x 2



 





 _ _




b) Tìm m để phơng trình





2

2 2

x  2x  3x 6xm0

có 4 nghiệm phân biệt.
<b>Bài 3: (2,0 điểm)</b>

a) Chứng minh rằng nếu số nguyên k lớn hơn 1 thoả mÃn k24 và k216 là
các số nguyên tố thì k chia hÕt cho 5.

b) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác có p là nửa
chu vi thì p a p b p c 3p

<b>Bài 4: (3,0 điểm)</b>

Cho ng trũn tõm O và dây AB không đi qua O. Gọi M là điểm chính giữa của
cung AB nhỏ. D là một điểm thay đổi trên cung AB lớn (D khác A và B). DM cắt AB tại
C. Chứng minh rằng:

a) MB.BDMD.BC

b) MB là tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD.

c) Tổng bán kính các đờng trịn ngoại tiếp tam giác BCD và ACD không đổi.
<b>Bài 5: (1,0 điểm)</b>

Cho hình chữ nhật ABCD. Lấy E, F thuộc cạnh AB; G, H thuộc cạnh BC; I, J
thuộc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA sao cho hình 8 cạnh EFGHIJKM có các góc bằng
nhau. Chứng minh rằng nếu độ dài các cạnh của hình 8 cạnh EFGHIJKM là các số hữu
tỉ thì EF = IJ.

--- Hết

<i>---Họ và tên thí sinh:...</i>
<i>Chữ ký của giám thị ...</i>

<i>Số báo danh:...Phòng thi số:...</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

<i>(Bản Hớng dẫn chÊm thi gåm 04 trang)</i>
<b>I. Híng dÉn chung</b>

<i>1)Hớng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bớc chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong</i>
<i>bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.</i>

<i>2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm</i>
<i>từng phần nh hớng dẫn quy định.</i>

<i>3) Việc chi tiết hố thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hớng dẫn phải đảm bảo</i>
<i>không sai lệch với hớng dẫn chấm và đợc thống nhất thực hiện trong Hội đồng chấm thi.</i>

<i>4) Các điểm thành phần và điểm cộng tồn bài phải giữ ngun khơng đợc lm trũn. </i>

<b>II. Đáp án và thang điểm</b>
<b>Bài 1: (1,5 ®iÓm)</b>

1 1 7 1 1 7 1 1

a 2 : 2 :

7
7 1 1 7 1 1

  _{  } _{ }

   

 _{ } _{ }

<i>0,5 đ</i>

a =
2

2 : 7

7 <i>0,25 đ</i>

Đặt x a 1 x 7 1  x 1  7 x22x 1 7 <i>0,5 ®</i>
2

x 2x 6 0

 

Vậy phơng trình x22x 60 nhận 7 1 làm nghiệm

<i>0,25 đ</i>

<b>Bài 2: (2,5 điểm)</b>

a)

x 16
x 16

xy (1)

xy

y 3
y 3

y x 5
y 9

(2)
xy

x y 6
x 2



 _ _

  _



 



 

 _ _ _{ } _

 

  _§K:x, y0

<i>0,25 đ</i>

Giải (2) 6y2 6x2 5xy (2x 3y)(3x 2y)  0 <i>0,25 ®</i>

* NÕu

3y
2x 3y 0 x

2



   

.
Thay vào (1) ta đợc

3y 3 16
y.

2 2 3



 

<i>0,25 ®</i>



2
3y 23

2 6





(phơng trình vô nghiệm)

<i>0,25 đ</i>

* Nếu

2y
3x 2y 0 x

3

  

.
Thay vào (1) ta đợc

2

y  9 y3

<i>0,25 đ</i>

- Với y 3 x2 (thoả mÃn điều kiện)
- Với y 3 x2 (thoả mÃn điều kiện)

Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3)

<i>0,25 đ</i>

b) Đặt





2
2

x  2x 1  y x 1  y x 1 y (y0)
(*)

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Phơng trình đã cho trở thành:









2

y 1  3 y 1 m0
2

y 5y m 4 0

     ₍₁₎

Từ (*) ta thấy, để phơng trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phơng trình
(1) có 2 nghiệm dơng phân biệt

<i>0,25 ®</i>

0 9 4m 0

S 0 5 0

P 0 m 4 0

   

 

 

 _   _ 

 _  _{ }

 

<i>0,25 ®</i>

9

m 9

4 m
4

4

m 4





 _    

 _{ }



VËy víi

9
4 m

4

  

thì phơng trình có 4 nghiệm phân biệt.

<i>0,25 đ</i>

<b>Bài 3: (2,0 điểm)</b>

a) Vì k > 1 suy ra k245; k2165

- XÐt k5n 1 (víi n ) k2 25n210n 1  k24 5
2

k 4

_{không là số nguyên tố.}

<i>0,25 ®</i>

- XÐt k5n2 (víi n) k2 25n2 20n 4 k2 16 5
2

k 16

_{không là số nguyên tè.} <i>0,25 ®</i>

- XÐt k5n3 (víi n) k2 25n2 30n 9 k216 5
2

k 16

_{không là số nguyên tố.} <i>0,25 đ</i>

- Xét k5n4 (với n) k2 25n240n 16 k24 5
2

k 4

_{không là số nguyên tố.}

Do vậy k 5

<i>0,25 đ</i>

b) Ta chứng minh: Víi a, b, c th×









2 ₂ ₂ ₂

a b c 3 a b c
(*)
ThËt vËy (*) a2b2c22ab2bc 2ca 3a2 3b23c2

2 2 2

(a b) (b c) (c a) 0

       _{(luụn ỳng)}

<i>0,5 đ</i>

áp dụng (*) ta có:

p a p b p c



2 3 3p



 a b c



3p
Suy ra p a p b p c  3p (®pcm)

<i>0,5 ®</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<i> </i>

<b>J</b>
<b>I</b>

<b>C</b>
<b>N</b>

<b>M</b>
<b>O</b>

<b>A</b> <b>B</b>

<b>D</b>

a) XÐt MBC vµ MDB cã:

BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau)
BMC BMD

<i>0,5 ®</i>

Do vậy MBCvà MDB đồng dạng
Suy ra

MB MD

MB.BD MD.BC

BC BD  

<i>0,5 ®</i>

b) Gọi (J) là đờng trịn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC

hay

BJC

MBC
2

1800 BJC

BCJ cân tại J CBJ

2



  

<i>0,5 ®</i>

Suy ra

  BJC 180O BJC O

MBC CBJ 90 MB BJ

2 2



     

Suy ra MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J)

<i>0,5 ®</i>

c) Kẻ đờng kính MN của (O)  NB  MB

Mà MB là tiếp tuyến của đờng tròn (J), suy ra J thuộc NB
Gọi (I) là đờng tròn ngoại tiếp ADC

Chøng minh t¬ng tù I thuéc AN

Ta cã ANB ADB 2BDM BJC  CJ // IN
Chøng minh tơng tự: CI // JN

<i>0,5 đ</i>

Do ú t giỏc CINJ là hình bình hành  CI = NJ
Suy ra tổng bán kính của hai đờng trịn (I) và (J) là:
IC + JB = BN (khơng đổi)

<i>0,5 ®</i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

<i>g</i>

<i>f</i> <i>_e</i> <i>d</i>

<i>h</i> <i>_c</i>

<i>b</i>
<i>a</i>

<b>G</b>
<b>F</b>

<b>I</b>

<b>H</b>

<b>J</b>
<b>M</b>

<b>C</b>

<b>A</b> <b>B</b>

<b>D</b>

<b>E</b>

<b>K</b>

Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi
a, b, c, d, e, f, g, h là các số hữu tỉ dơng)

Do các góc của hình 8 cạnh bằng nhau nên mỗi góc trong của hình 8 cạnh có
số đo là:

O

O

8 2 180

135
8

(  ).



<i>0,25 ®</i>

Suy ra mỗi góc ngồi của hình 8 cạnh đó là: 180O_{- 135}O_{= 45}O

Do đó các tam giác MAE ; FBG ; CIH ; DKJ là các tam giác vuông cân.

 MA = AE =

h

2 _{; BF = BG =}
b

2 _{; CH = CI =}
d

2 _{; DK = DJ =}
f

2

Ta cã AB = CD nªn:

h b f d

a e

2   2  2   2

 (e - a) 2 = h + b - f - d

<i>0,5 ®</i>

NÕu e - a ≠ 0 th×

h b f d
2

e a

  

 

 _{(điều này vô lý do} 2_{là số vô tØ)}
VËy e - a = 0  e = a hay EF = IJ (®pcm).

<i>0,25 ®</i>

</div>

<!--links-->