Giai de thi thu dai hoc lan hai cua dai hoc supham Vinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

TRƯỜNG ðẠI HỌC VINH

TRƯỜNG THPT CHUYÊN

ðỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LỚP 12, LẦN 2 - NĂM 2012

Mơn: TỐN; Khối: A; Thời gian làm bài: 180 phút

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)

Câu I.(2,0 ñiểm) Cho hàm số y= x3−3x2 +3mx+m+2.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ ñồ thị của hàm số đã cho khi m=0.

2. Tìm m ñể ñồ thị hàm số có hai ñiểm cực trị sao cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với hai trục
tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.

Câu II. (2,0 điểm) 1. Giải phương trình 3(sin2 cos ).
sin

2
1

1
2
cos
2
3
cos
tan

x
x
x

x
x

x

+
=

−

−
+

2. Giải hệ phương trình ( , ).
0

)
2
)(

1
(

0
1
)
(
2
2

R
∈






=
+
−
+
+

=
+
+
−

y
x
y
y

x
x

y
x

y
x

Câu III.(1,0 điểm) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị các hàm số

1
1 2

+
−
=

x
x

y và y=1−x.

Câu IV. (1,0 điểm) Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình thoi cạnh a, BAD =

α

với
,

4
3

cosα = cạnh bên AA'=2a. Gọi M là ñiểm thỏa mãn DM =k.DA và N là trung điểm của cạnh A'B'.
Tính thể tích khối tứ diện C'MD'N theo a và tìm k để C'M ⊥D'N.

Câu V.(1,0 ñiểm) Cho các số thực a, b, c thuộc đoạn [0;1]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.

1

2
1

2
1

2

2
3
2

3
2

3

+
+
+
+
+
+
+
+
=

a
c
c

b
b

a
P

PHẦN RIÊNG(3,0 ñiểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần a hoặc b)
a. Theo chương trình Chuẩn

Câu VIa. (2,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A, phương trình
,

0
7
2

: x−y− =

BC ñường thẳng AC ñi qua ñiểm M(−1;1), ñiểm A nằm trên ñường thẳng
.

0
6
4
: − + =

∆ x y Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết rằng đỉnh A có hồnh độ dương.

2. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S):(x−1)2+(y−2)2+(z−3)2 =9 và ñường thẳng

.

2
2
2

2
3

6

: = − = −
−

−

∆ x y z Viết phương trình mặt phẳng (P) ñi qua M(4;3;4), song song với ñường thẳng
∆ và tiếp xúc với mặt cầu (S).

Câu VIIa.(1,0 ñiểm) Tìm số phức z thỏa mãn | | .
1

1
)
1
)(
1

( 2

z
i
z
i

z =

−
−
+
+
+
b. Theo chương trình Nâng cao

Câu VIb. (2,0 ñiểm) 1. Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, cho ñường thẳng ∆:5x−2y−19=0 và ñường tròn
.

0
2
4
:

)

( 2₊ 2₋ ₋ ₌

y
x
y
x

C Từ một ñiểm M nằm trên ñường thẳng ∆ kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường
trịn (C) (A và B là hai tiếp điểm). Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác AMB biết rằng AB= 10.
2. Trongkhơng gian với hệ tọa độ Oxyz,cho mặt cầu (S):(x+1)2+(y−1)2+z2 =9 và điểm A(1;0;−2).
Viết phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A và tạo với trục Ox một góc

α

có .

10
3

1
cosα=
Câu VIIb. (1,0 ñiểm) Cho số phức z thỏa mãn

2
2
−
−

z
i
z

là số ảo. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
.

|
|
|
1

|z z i

T = − + −

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

BÀI GIẢI

Câu I:

1/ Bạn ñọc tự giải.

2/ Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị sao cho ñường thẳng ñi qua hai ñiểm cực trị tạo với
hai trục tọa ñộ một tam giác có diện tích bằng 1.

Bài giải:

Ta có 2

' 3 6 3

y = x − x+ m (Dy’ = R).

ðể đồ thị hàm số có hai điểm cực trị ⇔phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ ñổi dấu
khi ñi qua hai nghiệm đó.

2

3x 6x 3m 0

⇔ − + = có hai nghiệm phân biệt.
' 9 9m 0 m 1

⇔ ∆ = − > ⇔ < .

Gọi A x

(

A;yA

) (

,B xB;yB

)

là tọa ñộ hai ñiểm cực trị của đồ thị.

Ta có: 1 ' 2

(

1

)

2

(

1

)

3 3

x

y=_ − _y + m− x+ m+

 

Ta có

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

1

' 2 1 2 1 2 1 2 1

3 3

 

=_ − _ + − + + ⇒ = − + +

 

A A A A A

x

y y x m x m y m x m

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

1

' 2 1 2 1 2 1 2 1

3 3

 

=_ − _ + − + + ⇒ = − + +

 

B B B B B

x

y y x m x m y m x m

( )

(

)

(

)

, : 2 1 2 1

A B d y m x m

⇒ ∈ = − + + ⇒ phương trình đường thẳng đi qua hai ñiểm cực trị

( )

d :y=2

(

m−1

)

x+2

(

m+1

)

.

Gọi M, N lần lượt là giao ñiểm của ñường thẳng (d) với Ox, Oy.

Tọa ñộ M là nghiệm của hệ phương trình: 2

(

1

)

2

(

1

)

1; 0
1
0

y m x m m

M
m
y

 = − + + _⇒  + 

 ₌ _ ₋ _



Tọa ñộ N là nghiệm của hệ phương trình: 2

(

1

)

2

(

1

)

(

0; 2 2

)

0

y m x m

N m

x

 = − + +

⇒ +

 ₌



Ta có: 1;0 ,

(

0; 2 2

)

1, 2 2

1 1

m m

OM ON m OM ON m

m m

+ +

 

=_ _ = + ⇒ = = +

− −

 

.
Theo đề bài ta có: 1 1 . 1 1. 2 2 2

2 1

OMN

m

S OM ON m

m
∆

+

= ⇔ = ⇔ + =

−

(

)

₍

₎

(

)

(

)

2
2

2

2

1 1 0

1

1 1 1

3

1 ₁ ₁

m m m

m

m m

m

m _m _m

 − = + =

+ _ 

⇔ = ⇔ − = + ⇔ _{⇔ }

= −

− _{ − = −}_ ₊ _ .

So sánh ñiều kiện m < 1. Ta có m= ∨0 m= −3thỏa u cầu bài tốn.

Câu II: 1/ ðiều kiện:

cos 0
1
sin

2

x

x

≠



 _≠

 .

Phương trình sin .cos 3 2 cos 2 1 3 cos

(

2sin 1 1 2sin

)(

)

cos

x x

x x x x

x

⇔ + − = + −

(

2

)

(

)(

)

sinx 4 cos x 3 2 cos 2x 1 3 cosx 2sinx 1 1 2 sinx

⇔ − + − = + −

(

2

)

2

(

2

)

sinx 4 cos x 3 4 cos x 3 3 cosx 4 cos x 3

⇔ − + − = −

(

2

)

₍

₎

4 cos 3 sin 3 cos 1 0

⇔ x− x− x+ =

2

2

3 6

cos

4 cos 3 0 ₂ ₅

2
6
1

3 cos sin 1

cos

6 2 ₂

2

π _π

π
π
π

π _π

 = ± +


 


= ±

 _{− =} 



 

⇔ ⇔ ⇒_ = ± +

 − =   ₊ ₌ _

  _ _

 

 _{= − +}



x k

x
x

x k

x x _x

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

So sánh ñiều kiện ban đầu. Ta có nghiệm của pt là: 2 5 2

(

)

6 6

x= − +π k π∨ = −x π +k π k∈Z .
2/ Giải hệ phương trình:

(

)

( )

(

)

(

)

( )

(

)

2
2

1 0 1

,

1 2 0 2

x y x y

x y R

x x y y

 − + + =

 _∈



+ + − + =



Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt. Chia cả hai vế của pt (1),(2) cho y.

Hpt

(

)

(

)

₍

₎

2

2
1

0
1

2 1 0

x

x y

y
x

x y

y

 + ₋ ₊ ₌



⇔  ₊

 _{+ −} _{+ =}




. ðặt

2

1

x
a

y
b x y

 ₌ +




 = +


(

)

(

)

0

1

2 1 0 2 1 0

a b b a

Hpt a b

a b a a

 − =  =



⇔_ ⇔_ ⇔ = =

− + = − + =

 



2

2 0

1

1 1 1 0 1

1

1 2

1

1 1

x
x

x x

x x

x
y

y y

y x

x y y x

 + ₌   = _{ =} _{= −}

  + = −   

⇔_ ⇔_ ⇔__ = − ⇒_ ∨_

= =

= − _ _

 _{+ =}   _{= −}






.

Vậy nghiệm của hệ phương trình:

( ) (

0;1 , −1; 2

)

.
Câu III: TXð: D= −

(

1;1

]

Pt hoành ñộ giao ñiểm của hai ñường

2

1

1

x
y

x

−
=

+ và y= −1 x.

(

)

( )

( )

( )

2

2 2 2 2

2

2
1

1 1 1 1 1 1 0

1

1

1 0 0

0

1

1 1 0 ₁

x

x x x x x

x

x l

x x

x n

x

x _x _n

− _{= − ⇔} ₋ _{= −} _⇔ ₋ ₋ ₋ ₌

+

= −


 ₋ ₌ _ _ ₌



⇔ ⇒_ = _{⇒ }

=

 − − = 

 _{ =}_

Với x∈

[ ]

0;1 ta có

2

1

1
1

x

x
x

− _{≥ −}

+ . Diện tích hp giới hạn bởi hai ñồ thị của hai hàm số trên:

(

)

(

)

1 2 1 2 1 1 2

0 0 0 0

1 1 1

1 1 1

1 1 1

 

− − −

= − − = _ − + _ = − + + =

+ _ + _ +

∫

x

∫

x

∫

∫

x

S x dx x dx x dx dx

x x x

1

1 1

2 2 2

0 0

0

1 1 1

2 1 2 1

  − −

= − +_ _ + = − +

+ +

 

∫

∫

x x x

x dx dx

x x .

ðặt

1 2

0
1

1

x

I dx

x

−
=

+

∫

. ðặt sin , ;
2 2

x= t t∈ −_ π π_

  ⇒dx=cos .t dt
ðổi cận:

0 0

1

2

π

= ⇒ =





= ⇒ =


x t

x t

(

)

2 2 2

2 2 2 2 2

0 0 0 0 0

cos cos

1 sin cos 1 sin

.cos . 1 sin

sin 1 sin 1 sin 1 sin 1

π π π π π

− −

⇒ = = = = = − =

+ + + +

∫

t

∫

t t

∫

t

∫

t

∫

I t dt dt dt dt t dt

t t t t

(

)

2
0

cos 1

2

π _π

= +t t = − 3

2

S π −

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Câu IV:

Gọi O là giao ñiểm của A1C1 và B1D1.
Gọi H là hình chiếu của D1 trên A1B1.

Xét ∆vng A1HD1, ta có: 1 1
1 1

7 7

sin

4 4

HD a

HD
A D

α

= = ⇒ = .

Ta lại có: ₍ ₎

1 1 1

,

7

4

N D C

a

d =HD = ₍ ₎

1 1 1 1

2
1 1

,

1 1 7 7

. . . .

2 2 4 8

NC D N D C

a a

S_∆ d D C a

⇒ = = =

Ta có: ₁ ₁ ₍ ₍ ₎₎ _{1 1}

1 1

2 3

1
,

1 1 7 7

. . .

3 3 8 12

C MD N M ND C ND C

a a

V = d S_∆ = AA =

• Tìm k?

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ với O

(

0;0; 0

)

là gốc tọa ñộ.
Trong ∆A B D1 1 1, áp dụng định lí hàm số cos ta có:

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 2

2 . .cos 2 . .

4 2 2

α

= + − ⇔ = + − = a ⇒ =a

B D A B A D A B A D B D a a a a B D

Ta có: cos 3 cos

(

₁ ₁ ₁

)

cos

(

)

cos 3

4 A D C 4

α

= ⇒ =

π α

− = −

α

= − .

Trong ∆A C D₁ ₁ ₁, áp dụng định lí hàm số cos, ta có:

2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

3 7 14

2 . .cos 2. . .

4 2 2

= + − ⇔ = + + = a ⇒ =a

A C A D D C A D D C A D C A C a a a a A C

Ta có: 1

14
0; ; 0

4

a

A __ − __

 , 1

14
0; ; 0

4

a

C __ __

 , 1

2
; 0;0
4

a

B __− __

 , 1

2
;0; 0
4

a

D __ __

 

14
0; ; 2

4

a

A __ − a__

 ,

14
0; ; 2

4

a

C__ a__

 ,

2
;0; 2
4

a

B __− a__

 ,

2
; 0; 2
4

a

D__ a__

  ,

2 14
; ; 0

8 8

a a

N__− − __

 .

2 14
; ; 0

4 4

a a

DA  

⇒ = −__ − __

 

. Gọi M x

(

M;yM;zM

)

2

; ; 2
4

M M M

a

DM x y z a

⇒ =__ − − __

 

.
C

A

B

D

A1

B1

C1

D1
O

x

y
z

a

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Theo ñề bài:

DM =k DA

(

)

(

)

2 2 2

. 1

4 4 4

14 14 2 14

. 1 ; . ; 2

4 4 4 4

2 0 2

 

− = − = −

 

 

   

 

⇒ = − ⇒ = − ⇒ _ − − _

 

 

− = =

 

 

 

 

M M

M M

M M

a a a

x k x k

a a a a

y k y k M k k a

z a z a

(

)

(

)

1

2 14

1 ; 1 ; 2

4 4

a a

C M  k k a

⇒ =__ − − + __

 

1

3 2 14

; ;0

8 8

a a

D N  

⇒ = −__ − __

 

Theo ñề bài C M₁ ⊥D N₁ ⇒C M₁ ⊥D N₁ ⇒C M D N₁ . ₁ =0

(

)

(

)

2 2

3 7 2

1 1 0 3 3 7 7 0

16 16 5

⇔ − a −k + a +k = ⇔ − + k+ + k = ⇔ = −k

Vậy với 2
5

k = − thì C M₁ ⊥D N₁

Câu V: Cho các số thực a b c, , ∈

[ ]

0;1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 3 3

2 2 2

2 2 2

1 1 1

a b c

P

b c a

+ + +

= + +

+ + +

Vì a b c, , ∈

[ ]

0;1

3 2

3 2

3 2

a a

b b

c c

 ≤

⇒ _ ≤

 _≤


(

) (

)

4 2 4 2 4 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 5 6

2 2 2

1 1 1 1

+ + + + + + + + + + + +

+ + +

⇒ ≤ + + =

+ + + + + + + + + +

a c c b b a a b c a b b c c a a b c

a b c

P

b c a a b c a b b c c a a b c

Ta có: 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2 2

a c +c b +b a ≤a c +c b +b a

4 4 4 2 2 2

a +b +c ≤a +b +c

2 2 2

(

2 2 2 2 2 2

)

0 6≤ a b c +2 a b +b c +c a

Cộng vế theo vế ta có:

(

)

4 2 4 2 4 2 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 3

a c +c b +b a +a +b +c ≤a +b +c + a b c + a b +b c +c a

(

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

6 1

6
1

a b c a b b c c a a b c

P

a b c a b b c c a a b c

+ + + + + + +

⇒ ≤ =

+ + + + + + +

6

MaxP

⇒ = ⇔

(

0; 0;0 , 1;0; 0

) (

)

và các hốn vị của nó.

Câu VIa.

1/ Gọi n a b

(

;

)

là pháp vectơ của ñường thẳng AC.
ðường thẳng BC có PVT n₁

(

2; 1−

)

.

Theo đề bài, ∆ABC vng cân tại A ⇒đường thẳng AC và BC tạo với nhau một góc
0

45 0 1

2 2
1

. ₂ ₁

cos 45

2

. . 5

n n _{a b}

n n a b

−

⇒ = ⇔ =

+

(

)

2

(

2 2

)

2 2

2 2a b 5 a b 3a 8ab 3b 0

⇔ − = + ⇔ − − =

Chọn

( )

2

3 3;1

1 3 8 3 0 ₁ ₁

;1

3 3

a n

b a a

a n

 = ⇒


= ⇒ − − = ⇒ _ _

 = − ⇒ −_ _

 _ _



*Với n

( )

3;1

, đường thẳng AC đi qua M

(

−1;1

)

và có PVT n

( )

3;1

có phương trình:

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Mặt khác A∈ ∆:x−4y+ =6 0. Suy ra tọa ñộ ñiểm A là nghiệm của hệ phương trình:
14

0

3 2 0 13 14 16_;

4 6 0 16 13 13

13

x

x y

A

x y

y

 _{ = − <}

 _{+ + =} 

 _⇒ _⇒ ₋ 

 ₋ _{+ =}  _ _

 _{ =}



 



. Vì 0 14 16;
13 13

A

x > ⇒ A_− _

  không thỏa.

*Với 1;1
3

n_− _

 

, ñường thẳng AC ñi qua M

(

−1;1

)

và có PVT 1;1
3

n_− _

 

có phương
trình:

(

)

: 1

(

1

) (

1

)

0

(

)

: 3 4 0

3

AC − x+ + y− = ⇔ AC − +x y− = .

Mặt khác A∈ ∆:x−4y+ =6 0. Suy ra tọa ñộ ñiểm A là nghiệm của hệ phương trình:

(

)

3 4 0 2

2; 2

4 6 0 2

x y x

A

x y y

− + − =  =

⇒ ⇒

 ₋ _{+ =}  ₌



 . Vì xA > ⇒0 A

(

2; 2

)

thỏa.

Tọa ñộ ñiểm C là nghiệm của hệ phương trình: 2 7 0 5

( )

5;3

3 4 0 3

x y x

C

x y y

 − − =  =

⇒ ⇒

_{− +} _{− =}  ₌




Gọi I là hình chiếu của A trên BC.

Gọi (d) là đường thẳng qua A và vng góc với BC

( ) (

d : x 2

) (

2 y 2

)

0

( )

d :x 2y 6 0

⇒ − + − = ⇒ + − = .

Tọa ñộ ñiểm I là nghiệm của hệ phương trình: 2 6 0 4

( )

4;1

2 7 0 1

x y x

I

x y y

 + − =  =

⇒ ⇒

 _{− − =}  ₌





Vì ∆ABC vng cân tại A ⇒I là trung ñiểm cạnh BC

(

)

2 3

3; 1

2 1

B I C B

B I C B

x x x x

B

y y y y

= −

  =



⇒_ ⇒_ ⇒ −

= − = −

 

 .

Vậy tọa ñộ ba ñiểm A, B, C cần tìm là: A

( ) (

2; 2 ,B 3; 1 ,−

) ( )

C 5;3 .
2/ Gọi n a b c

(

; ;

)

là PVT của mặt phẳng (P).
ðường thẳng ∆ có VTCP m

(

−3; 2; 2

)

, mặt cầu (S) có tâm I

(

1; 2;3

)

và bán kính R=3.
Mặt phẳng (P) đi qua M

(

4;3; 4

)

có PVT n a b c

(

; ;

)

có dạng:

( ) (

) (

) (

)

( )

: 4 3 4 0

: 4 3 4 0

P a x b y c z

P ax by cz a b c

− + − + − =

⇔ + + − − − =

Mặt phẳng (P) song song với ∆ ⇒n m. = ⇔ −0 3a+2b+2c=0(1)
Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) ₍ _,_{( )}₎

2 2 2

2 3 4 3 4

3 3

I P

a b c a b c

d R

a b c

+ + − − −

⇔ = = ⇔ =

+ +

2 2 2

3

3

a b c

a b c

− − −

⇔ =

+ + (2). Thay c từ pt (1) vào pt (2), ta có:

2 2 2 2 2 2 2

2
2 2

3
3

9 9

2

3 3 3 2 0

4 4

3
2

a b a b

a a b a b ab a ab b

a b a b

− − − +

= ⇔ = + + + − ⇔ − + =

 

+ +_ − _

 

Chọn

( )

( )

2

1

1 : 2 2 18 0

1 3 2 0 2

2 2 : 2 2 19 0

a c P x y z

b a a

a c P x y z

 = ⇒ = ⇒ + + − =


= ⇒ − + = ⇒_

= ⇒ = ⇒ + + − =


Vậy mp (P) cần tìm là:

( )

( )

: 2 2 18 0
: 2 2 19 0

P x y z

P x y z

+ + − =



 _{+ +} ₋ ₌

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

Câu VIIa.

Số phức z có dạng: z= +a bi a b

(

, ∈R

)

Phương trình

(

1

)(

1

)

1 2 2
1

a bi

a bi i a b

i

− −

⇔ + + + + = +

−

(

) (

)(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 2

2 2

2 2 2

1 1

1 1

2

2 1 2 1 1 1 2

3 1 3 1 2

0 1

3 1 2 20 6 0

3 1 3 1

3 1

3 1 0

10 10 10 10

− − +

⇔ − + + + + + = +

⇔ − + + + + + + − + − − = +

⇔ − + + + + = +

 _{− + =} ₊  ₊ ₌  = ⇒ = − ⇒ = −

  _

⇔_ ⇔_ ⇒

 = − ⇒ = − ⇒ = − −
= − −

+ + =

 _ _



a bi i

a b a b i a b

a b a b i a b a b i a b

a b a b i a b

a b z i

a b a b a a

a b z i

b a

a b

Vậy số phức cần tìm là: 3 1
10 10

z= − ∨ = −i z − i.
Câu VIb. 1/ ðường trịn (C) có tâm I

( )

2;1 , bán kính R= 5

Theo đề bài AB= 10 =R 2 ⇒ ∆IABvng cân tại I ⇒ tứ giác IAMB là hình vng
10

IM AB

⇒ = =

( ) (

) (

2

)

2

1 : 2 1 10

M C x y

⇒ ∈ − + − = .

Mặt khác M∈ ∆: 5x−2y−19 0= ⇒ Tọa ñộ M là nghiệm của hpt:

(

) (

)

(

)

2
2

2 2 2 5 21 10

2 1 10 ₂ ₂

5 2 19 0 5 19

2 2

 _ _

− + − =

 _ _

 − + − =

 _⇔ _ _

 

− − =

 

 ₌ ₋



x x

x y

x y

y x

(

)

139

3 139 72

29 _; _{3; 2}

72 2 29 29

29

x

x

M M

y
y

 =

 _ ₌

 _∨ _⇒  _∨ ₋

  _{= −}  

 


 =



Gọi I₁là tâm ñường trịn ngoại tiếp ∆MAB⇒I1 là trung điểm của đoạn MI và đường trịn đó có
bán kính 10

2 2

AB

=

• Với 1

139 72 197 101

; ;

29 29 58 58

M_ _⇒I _ _

   . ðường tròn ngoại tiếp ∆MAB có phương trình:

( )

2 2 2

197 101 5

:

58 58 2

C _x− _ +_y− _ =

    .

• Với

(

3; 2

)

₁ 5; 1
2 2

M − ⇒I _ − _

 .ðường tròn ngoại tiếp ∆MAB có phương trình:

( )

3 2 2

5 1 5

:

2 2 2

C _x− _ +_y+ _ =

    .

Vậy đường trịn ngoại tiếp ∆MAB cần tìm là:

( )

( )

2 2

2

2 2

3

197 101 5

:

58 58 2

5 1 5

:

2 2 2

C x y

C x y

 _ _ _ _

− + − =

    

   



 _ _ _ _

 _ − _ +_ + _ =

    


2/ Gọi a_∆

(

a b c; ;

)

là VTCP của ñường thẳng ∆
ðường thẳng chứa trục Ox có VTCP a1

(

1; 0;0

)

Mặt cầu (S) có tâm I

(

−1;1;0

)

và bán kính R=3

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Ta có IA=

(

2; 1; 2− −

)

. Mp

( )

β

qua A nhận IA=

(

2; 1; 2− −

)

làm PVT

( ) (

β

: 2 x 1

)

y 2

(

z 2

)

0

( )

β

: 2x y 2z 6 0

⇒ − − − + = ⇔ − − − =

ðường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) ⇒ ∆ ∈

( )

β

⇒a IA_∆. =0
2a b 2c 0 b 2a 2c

⇔ − − = ⇒ = − (1)

Mặt khác ∆ tạo với Ox một góc 1
1

. ₁

cos

3 10
.

a a

a a

α

α

∆

∆

⇒ = =

2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

1

90 89 0

3 10

a

a a b c a b c

a b c

⇔ = ⇔ = + + ⇔ − − =

+ + (2)

Thay (1) vào (2) ta có: 2

(

)

2 2 2 2
89a −4 a c− −c = ⇔0 85a +8ac−5c =0

Chọn 2

1 8

5 5

1 85 8 5 0

5 44

17 17

a b

c a a

a b

 _{= ⇒ = −}


= ⇒ + − = ⇒ 

 = − ⇒ = −


Vậy phương trình đườngthẳng ∆ cần tìm là:

1 5

1 1

5 17

8 44

: :

5 17

2 2

x t x t

y t y t

z t z t

 _{= +}  _{= −}

 

 

 

∆ _ = − ∨ ∆ _ = −

 

= − + = − +

 

 

 

Câu VIIb.

Số phức z có dạng z= +a bi

(

a b, ∈R

)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2 2

2 ₂ 2 ₂

2 2

2 2 2 2 2

2

2 2 2 2

a b i a bi

a b i a b a b a b i

z i

z a bi _a _b _a _b

+ − − −

   

+ − + − − − + −

− _ _{ } _

⇔ = = =

− − + − + − +

Theo ñề bài 2
2

z i

z

−

− là số ảo

(

)

2 2 2 2

2 2 0 2

a b a b a b a b

⇒ + − − = ⇒ + = + ,

(

a b+ ≥0

)

Ta có

(

)

(

)

2

(

)

2

(

)

2 2 2 2 2 2

2 2

2 4 8

8

a b a b a b a b a b

a b

+ = + ⇔ + = + ≤ +

⇒ + ≤

Ta lại có

(

)

2 2 2

(

)

2

1 1 1

T = − + − =z z i a− +b + a + b−

(

)

(

)

(

2 2

)

2

(

)

2

(

)

2

(

)

2 2 2 2 2 2 2

1 1 2. 1 1 2 2 20

2 5

2 5 2 2 2

T a b a b a b a b a b

T

MaxT a b z i

 

⇒ = − + + + − ≤ _ − + + + − _= + + ≤

⇒ ≤

</div>

<!--links-->