Chuyen deHe phuong trinh

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

<b>HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN</b>
<b>Phần I. Lý thuyết: </b>

<b>1.Định nghĩa.</b>

<b>2. Định nghĩa nghiệm, tập nghiệm.</b>

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất, có vơ số nghiệm, vô nghiệm.
ax by c

a' x b ' y c '

 




 

 _{(a, b, c, a’, b’, c’ khác 0)}
+ Hệ có vơ số nghiệm nếu

a b c
a ' b' c' 
+ Hệ vô nghiệm nếu

a b c

a ' b' c' 
+ Hệ có một nghiệm duy nhất nếu

a b
a 'b'
<b>3.</b> Các phương pháp Giải hệ.

ax by c
a 'x b'y c'

 




 



<i>a)</i> <i>Phương pháp cộng đại số.</i>
+ Nếu có

ax by c
ax b ' y c '

 




  





(b b')y c c'
ax b'y c'

  




 



+ Nếu có

ax by c
ax b ' y c '

 




 







(b b ')y c c '
ax b ' y c '

  




 



+ Nếu có

ax by c
k.ax b'y c'

 




 





k.ax kby c
k.ax b'y c'

 




 





(kb b')y k.c c'
ax by c

  




 



+ Nếu hệ

ax by c
a' x b ' y c '

 




 

 _{có (a, a’) = 1 thì hệ}



aa' x ba' y ca'
aa' x ab' y ac '

 




 





_…

<i>b)</i> <i>Phương pháp thế.</i>

ax by c
a' x b ' y c '

 


 




a c
y x
b b
a 'x b'y c'

 



 _ _




a c
y x
b b
a c
a 'x b' x c'

b b

 



 
 _ __ _ __
  
 _…

<i><b>Chú ý: Có thể đặt ẩn phụ trước khi áp dụng các phương pháp Giải hệ:</b></i>
(Áp dụng cho các hệ phương trình chứa ẩn ở mẫu, dưới dấu căn bậc hai.)
<b>Phần II.</b> <b>Phân dạng bài tập:</b>

<b>Dạng 1: Giải hệ phương trình khơng chứa tham số.</b>
<b>Ví dụ:Giải các hệ phương trình:</b>

a)
 



 


2x y 7

4x 3y 4_b)

 



 



3a 3b 8

a

b 4

2 _c)

2 3
2
x y
1 1
5
x y


 



 _ _



</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Cho hệ pt:

   




  




2
2

3mx (n 3) y 6
(m 1)x 2ny 13
a) Giải hệ pt với m = 2; n = 1
b) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3

<b>Dạng3: Giải biện luận hệ phương trình có chứa tham số tham số.</b>

<b>Ví dụ 1:</b>

Cho hệ pt:

 




 


mx y 2
2x y 1
Giải và biện luận hệ theo m.
Bài làm:

2x y 1
mx y 2

 




 





(2 m)x 3 (1)

2x y 1 (2)

 




 


+ Xét phương trình (1) (2 + m)x = 3

- Nếu 2 + m = 0



m = - 2 thì phương trình (1) có dạng 0x = 3 (3)

Do phương trình (3) vơ nghiệm



hệ vơ nghiệm.

- Nếu 2 + m



0



m



- 2.

Thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất x =
3
2 m

+ Thay x =
3

2 m vào phương trình (2) ta có:y = 2x – 1 =
6

2m- 1 =
4 m

2 m




Vậy với m



_{- 2 thì hệ có nghiệm duy nhất}

3
x

2 m
4 m
y

2 m





 




 


  _.

<b>Ví dụ 2:</b>
Cho hệ pt:

 




 



nx y 2n
nx ny n
Giải và biện luận hệ theo n.

Chú ý:

Phương trình ax = b (1)

+ Nếu a = 0 thì phương trình (1) có dạng 0x = b.

- Khi b = 0 thì phương trình (1) có dạng 0x = 0



_{phương trình có vơ số nghiệm.}

- Khi b



0 phương trình (1) vơ nghiệm.

+ Nếu a



0 thì phương trình (1) có một nghiệm duy nhất

b

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Cho hệ pt:

x 2y 5

mx y 3















_{Tìm m để x < 0, y < 0}

<b>Ví dụ 2:</b>
Cho hệ pt:

    




  




2

2

x ay a a 1

ax 3y a 4a _{Tìm m để x > 0, y < 0}

<b>Dạng5: Tìm giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình.</b>
<b>D.5.1: Tìm một giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình.</b>

<b>Phương pháp: </b>
Cho hệ pt:

 




    


ax by c (1)

a x b y c (2) _{có nghiệm}

0
0

x x
y y







Thay x = x0; y = y0 lần lượt vào (1) và Giải.
Thay x = x0; y = y0 lần lượt vào (2) và Giải.

<b>Ví dụ 1: Cho hệ phương trình </b>

 




     

 2

3x 2y 7 (1)

(5n 1)x (n 2)y n 4n 3 (2)
Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2)

<b>Ví dụ 2: Cho hệ phương trình </b>



   




 _ _ _ _



2

2

1

5m(m 1)x my (1 2m) (1)

3

4mx 2y m 3m 6 (2)

Tìm m để hệ có 1 nghiệm duy nhất x = 1; y = 3.

<b>D.5.2: Tìm hai giá trị tham số khi biết nghiệm của hệ phương trình.</b>
<b>Phương pháp: </b>

Cho hệ pt:

ax by c
a x b y c

 





    

 _{có nghiệm}

0
0

x x
y y







Thay x = x0; y = y0 vào cả hệ pt ta được

0 0
0 0

ax by c
a x b y c

 




    




_{Giải hệ pt chứa ẩn là tham số.}

<b>Ví dụ:</b>
Cho hệ pt:

  




  



2mx (n 2)y 9

(m 3)x 2ny 5_{Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1}
<b>Dạng 6: Tìm giá trị tham số khi biết hệ thức liên hệ giữa x và y.</b>

<b>Phương pháp:</b>
Cho hệ pt:

ax by c (1)
a x b y c (2)

 




    

 _{(I) có nghiệm (x; y) thoả mãn: px + qy = d (3)}
+ Do (x; y) là nghiệm của hệ (I) và thoả mãn (3)



(x; y) là nghiệm của (1), (2), (3)
+ Kết hợp 2 pt đơn giản nhất.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Cho hệ phương trình

3x 2y 8 (1)

3mx (m 5)y (m 1)(m 1) (2)
 




    

 _(I)

Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x – 2y = - 6 (3)
<b>Ví dụ 2: </b>

Cho hệ phương trình

mx y 5 (1)
2mx 3y 6 (2)

 




 

 _(I)

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3)
<b>Dạng 7: Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm nguyên.</b>
<b>Chú ý: </b>

+)
a

Z

m



_m



Ư(a) (a, m



Z)

+)
a

Z

m

b
Z
m


 _










_m

_

_Ư(a,b)
<b>Ví dụ 1: </b>

Cho hệ pt:

  




 


(m 2)x 2y 5
mx y 1 
Tìm m



_{Z để hệ có nghiệm ngun}

<b>Ví dụ 2:</b>
Cho hệ pt:

(m 3)x y 2
mx 2y 8

  




 

 

Tìm m để hệ có nghiệm ngun.

<b>Dạng 8: Tìm giá trị tham số để biểu thức liên hệ giữa x, y nhận giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.</b>
<b>Ví dụ 1: </b>

Cho hệ pt:

2
2

mx y m

2x my m 2m 2
  




   



 

a) CMR hệ pt ln có nghiệm duy nhất với mọi m

b) Tìm m để biểu thức: x2_{+ 3y + 4 nhận GTNN. Tìm giá trị đó.}
<b>Ví dụ 2: Cho hệ pt:</b>

2
2

3mx y 6m m 2 (1)
5x my m 12m (2)

    




  



 

Tìm m để biểu thức: A = 2y2_{– x}2_{nhận GTLN. Tìm giá trị đó}

<b>Dạng 9: Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào tham số.</b>
<b>Ví dụ 1: Cho hệ pt:</b>

 




  



2mx 3y 5
x 3my 4
1. CMR hệ ln có nghiệm duy nhất

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y khơng phụ thuộc vào m
<b>Ví dụ 2: Cho hệ pt: </b>

(m 1)x y m
x (m 1)y 2

  




  

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y khơng phụ thuộc vào m.
<b>Ví dụ 3: Cho hệ pt:</b>

   




   




2
2

5x ay a 12a
3ax y 6a a 2
Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào a.

<b>BÀI TẬP VỀ NHÀ:</b>

<b>Bài 1: </b> Giải hệ phương trình:

( 2 1) 1
2

m 1 n

1 ( 2 1)
1

m 1 n

 

 


 




 _ _


 

<b>Bài 2: Cho hệ phương trình </b> 2

2x 3y 7

3mx (m 3)y m 6m 3

 




    



Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1)

<b>Bài 3: Cho hệ pt: </b>

(m 1)x 2ny 2
3mx (n 2)y 9

  




  



a) Giải hệ pt với m = 1; n = - 3

b) Tìm m; n để hệ có nghiệm x = 3; y = - 1

<b>Bài 4: Cho hệ phương trình </b> 2

3x 2y 8

mx (3m 1)y m 1
 




   

 _(I)
Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn: 4x – 2y = -6 (3)
<b>Bài 5: Cho hệ phương trình </b>

x my 3
2x 3my 5

 




 

 

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: (m2_{– 1)x – 10my = 4m + 5}
<b>Bài 6: Cho hệ pt: </b>

(m 2)x y 3

mx 3y 7

  




 

 

a) Giải hệ pt với m = -1
b) Tìm m để x > 0, y > 0
<b>Bài 7: </b>Cho hệ pt:

mx my m

mx y 2m

 




 


Tìm m để nghiệm của hệ thoả mãn điều kiện x > 0, y > 0.
<b>Bài 8: </b>Cho hệ pt:

(m 1)x 2y 5

mx y 1

  




 

 

<b>1.</b> Giải hệ pt với m = 2

<b>2.</b> Tìm m



_{Z để hệ có nghiệm nguyên.}

<b>Bài 9: </b>Cho hệ pt:

(m 3)x y 2
mx 2y 5

  




 

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Tìm m để hệ có nghiệm nguyên

<b>Bài 10: Cho hệ pt:</b>

2
2

3mx y 6m m 2 (1)

5x my m 12m (2)

    




  



 

Tìm m để biểu thức: A = 2y2_{– x}2_{nhận GTLN. Tìm giá trị đó}
<b>Bài 11: Cho hệ pt: </b>

2
2

3mx y 3m 2m 1
x my 2m

    




 




</div>

<!--links-->