SKKN góp phần nâng cao năng lực toán học cho học sinh thông qua dạy học vận dụng tính chất hình học vào bài toán cực trị hình không gian

Phần 1. Đặt vấn đề
1.1. Lý do chọn đề tài
Hình học không gian là chủ đề hiện nay được giáo viên và học sinh giành
nhiều sự quan tâm và chú trọng trong quá trình dạy học. Đặc biệt hơn nữa chủ đề
này thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi trung học phổ thông quốc gia, kỳ thi
tốt nghiệp trung học phổ thông và kỳ thi chọn học sinh giỏi các cấp.
Qua thực trạng dạy học bản thân nhận thấy các bài tốn cực trị hình khơng
gian cổ điển và hình khơng gian Oxyz ln là những thách thức thực sự dành cho
người dạy và người học. Để giải quyết được dạng bài tập hình học này địi hỏi
người học phải có tư duy linh hoạt, sáng tạo trong giải tốn.
u cầu về đổi mới phương pháp dạy học ln là đòi hỏi cấp thiết hàng đầu
của ngành giáo dục đối với giáo viên, đặc biệt đối với chủ đề cực trị hình khơng
gian là một chủ đề hay và khó của mơn tốn nên người dạy phải có một trình độ
chun mơn vững vàng, có kiến thức sâu rộng và linh hoạt, sáng tạo trong việc lựa
chọn phương pháp dạy học.
Việc vận dụng tính chất hình học để giải các bài tốn cực trị hình khơng gian
khơng những mang lại hiệu quả cao mà qua đó cịn có tác dụng rất lớn đến việc
hoàn thiện và phát triển các phẩm chất năng lực Toán học cho học sinh. Đồng thời
góp phần quan trọng vào cơng cuộc đổi mới phương pháp dạy học cho giáo viên.
Chính vì những lý do nêu trên nên bản thân tôi quyết định lựa chọn đề tài
“Góp phần nâng cao năng lực tốn học cho học sinh thơng qua dạy học vận dụng
tính chất hình học vào bài tốn cực trị hình khơng gian”
1.2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận dạy học
- Nghiên cứu một số tính chất hình học phẳng và hình học khơng gian vào
giải quyết bài tốn cực trị hình không gian
- Hướng dẫn học sinh biết cách khai thác các tính chất trong hình học phẳng
và hình học khơng gian để giải quyết bài tốn cực trị hình học khơng gian. Từ đó
biết vận dụng vào bài tốn cực trị Oxyz.
- Bước đầu giúp học sinh biết cách tìm tịi, phát hiện các tính chất của hình
học. Đồng thời nâng cao tinh thần và năng lực tự học, tự nghiên cứu các vấn đề nảy

sinh trong toán học.

1


1.3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Học sinh khá giỏi THPT, sinh viên các trường sư phạm,…
- Giáo viên giảng dạy mơn tốn THPT
Phần 2. Nội dung nghiên cứu
2.1. Cơ sở khoa học
- Cơ sở lý luận: một số tính chất hình học phẳng và hình học khơng gian hay
sử dụng.
- Cơ sở thực tiễn: Xuất phát từ việc học tập bộ mơn tốn nói chung, chủ đề
hình học khơng gian cổ điển nói riêng của học sinh cịn gặp nhiều khó khăn.
2.2. Thực trạng của vấn đề
- Việc học tập bộ mơn hình học khơng gian ở nhà trường phổ thơng cịn khá
nhiều khó khăn đối với học sinh
- Việc dạy học chủ đề cực trị hình học khơng gian của đa số giáo viên cịn
gặp khá nhiều khó khăn trong việc lựa chọn cách thức tổ chức dạy học và xây dựng
nguồn bài tập phong phú, đa dạng để kích thích được tư duy người học.
- Nội dung đề tài mang tính thời sự cao và đáp ứng được nhu cầu giảng dạy
cũng như học tập của nhiều giáo viên và học sinh.
2.3. Tính ưu việt của đề tài
Việc sử dụng tính chất hình học vịa bài tốn cực trị hình khơng gian nó làm
cho bản chất của bài toán được bộc lộ rõ hơn. Đồng thời, cách giải quyết này
thường ngắn gọn và khắc sâu hơn về kiến thức hình học được đề cập đến.
Việc vận dụng tính chất hình học vào bài tốn cực trị hình học khơng gian
khơng chỉ đơn thuần dừng lại ở phương pháp giải tốn mà thơng qua đó giúp học
sinh phát triển được tư duy linh hoạt, khả năng sáng tạo trong giải toán.
Hướng triển khai của đề tài giúp giáo viên và học sinh có được nguồn tài liệu

bổ ích phục vụ cho cơng tác giảng dạy và học tập bộ mơn hình học khơng gian hiệu
quả hơn.
2.4. Hướng triển khai của đề tài
2.4.1. Định hướng chung về phương pháp giải toán
Việc đề xuất các hướng giải quyết cho bài tốn cực trị hình khơng gian vơ
cùng quan trọng bởi khi đứng trước bài tốn cực trị hình khơng gian người giải tốn

2


sẽ có được sự nhìn nhận vấn đề một cách tốt hơn là việc phải mị mẫm. Qua đó học
sinh sẽ vạch ra được các hướng giải quyết cho mỗi bài tốn và có được sự lựa chọn
phù hợp dựa vào đặc thù của mỗi bài toán. Cụ thể ta có các hướng giải quyết sau:
- Gắn biến để đưa về đưa về bài toán min – max của hàm một biến hoặc
nhiều biến
- Sử dụng công cụ véc tơ;
- Xây dựng đẳng thức trung gian;
- Đánh giá trực tiếp, …
2.4.2. Đề xuất một số tính chất hình học thường được sử dụng để giải tốn
2.4.2.1. Tính chất hình học liên quan đến độ dài, khoảng cách.
Tính chất 1. Trong khơng gian, cho 2 điểm phân biệt
ln có:
. Dấu “=” xảy ra khi

•

. Với điểm

thẳng hàng và

tùy ý, ta

thuộc đoạn

.
. Dấu “=” xảy ra khi

•

đoạn

(

có thể trùng với

Tính chất 2. Cho mặt phẳng
ta ln có:

, với

xảy ra khi

và điểm

nằm ngồi

).
. Với điểm

là hình chiếu vng góc của

tùy ý thuộc
trên

. Dấu “=”

.

Tính chất 3. Cho đường thẳng
ln có
khi

hoặc

thẳng hàng và

, với

và điểm

. Với điểm

là hình chiếu vng góc của

trên

tùy ý trên

, ta

. Dấu “=” xảy ra

.

3


Tính chất 4. Cho đường trịn
. Gọi

có tâm , bán kính

là một điểm di động trên

và điểm

nằm ngồi

, khi đó ta ln có tính chất sau:
.

Tính chất 5. Cho đường trịn
. Gọi

có tâm , bán kính

là một điểm di động trên

và điểm

nằm trong

, khi đó ta ln có tính chất sau:
.

Tính chất 6. Trong khơng gian cho hai mặt phẳng
thẳng

. Khi đó,

giao tuyến của

và

cắt nhau và đường

, dấu “=” xảy ra khi

và

vng góc với

.

2.4.2.2. Tính chất hình học liên quan đến tỉ số diện tích.
2.4.2.2.1. Một số trường hợp về tỉ số diện tích trong tam giác
+) Tỉ số diện tích của hai tam giác có chung đường cao bằng tỉ số độ dài các
cạnh đáy.
Cho tam giác

,

là một điểm thuộc

cạnh
và khơng trùng với các đỉnh
hình vẽ bên). Ta có tỉ số sau:

(như

+) Tỉ số diện tích của hai tam giác có
chung cạnh đáy bằng tỉ số độ dài các đường cao.

A

M
B

N

4C


Cho tam giác
Gọi
sau

,

là giao điểm của

là một điểm tùy ý thuộc miền trong tam giác
với

.

(như hình bên). Khi đó, ta có tỉ số diện tích

+) Tỉ số diện tích của hai tam giác chung
đỉnh (như hình bên).

A
N
M
B

C

2.4.2.2.2. Xây dựng cơng thức về tỉ số trong tam giác thường sử dụng
Bằng kinh nghiệm dạy học 16 năm, cùng với việc thường xuyên ôn thi cho đội
tuyển dự thi HSG cấp tỉnh tác giả đã đúc rút được bài toán sau về tỉ số trong tam
giác dựa trên nền tảng tỉ số diện tích trong tam giác mà tác giả đã đề cập đến trong
đề tài SKKN năm 2019 – 2020 của chính tác giả.
“Cho tam giác

. Gọi

là hai điểm thuộc cạnh
trùng với A). Trên cạnh
thỏa mãn

của
sau:

và

. Gọi

lần lượt
(không
lấy điểm
là giao điểm

. Khi đó ta có đẳng thức
”

2.4.2.3. Tính chất hình học liên quan đến tỉ số thể tích.
•

Tỉ số thể tích khối chóp tam giác:

5


Cho hình chóp tam giác

. Trên các cạnh

(khơng trùng với đỉnh

lần lượt lấy các điểm

), khi đó ta có cơng thức tỉ số thể tích sau:

.
Từ cơng thức trên ta cũng xây dựng được cơng thức tỉ số thể tích cho khối chóp có
đáy là hình bình hành sau đây:
Cho hình chóp

có đáy

là hình bình hành. Một mặt phẳng

khơng đi qua đỉnh của hình chóp cắt các cạnh

điểm

. Đặt

lần lượt tại các

, ta có cơng thức:

.
Chứng minh.
Ta có:

là hình bình hành nên:
.

Khi đó:

.

.

6


.

Chứng minh tương tự như trên ta cũng có:
Từ

và

suy ra:

.

.

.

Vậy:
•

.
Tỉ số thể tích khối lăng trụ:

Cho lăng trụ tam giác

điểm

. Trên các cạnh

. Khi đó ta có cơng thức:

lần lượt lấy các

.

Chứng minh.

Ta có:

7


Hồn tồn tương tự ta cũng có:

Khi đó:

Hay

. (điều phải chứng minh)

Hồn tồn tương tự ta cũng có cơng thức tỉ số cho khối hộp như sau:
Cho hình hộp

. Một mặt phẳng cắt các cạnh bên

lần lượt tại các điểm

. Khi đó ta có cơng thức tỉ số sau:

.
Việc chứng minh công thức
ta thực hiện bằng cách chia khối hộp thành hai
khối lăng trụ tam giác bằng nhau rồi áp dụng cơng thức tỉ số thể tích của khối lăng
trụ tam giác.
2.4.2.4. Tính chất liên quan đến véc tơ.
.

•
•
•

.
.

8


•

Cho

điểm phân biệt

và bộ số

thỏa mãn

. Khi đó tồn tại duy nhất điểm
•

Trong khơng gian, bốn điểm

sao cho

.

đồng phẳng khi và chỉ khi với điểm

tùy ý ta ln có

và

.

Trên đây là một số tính chất hình học thường được sử dụng khi giải tốn cực trị
hình học khơng gian mà tác giả đề cập đến. Ngồi ra ta cịn có thể bặt gặp thêm
một số tính chất khác trong quá trình giải tốn.
2.4.3. Phân tích, định hướng giúp học sinh phát hiện và sử dụng tính chất hình học
cho các bài tốn cực trị hình khơng gian.
Trong nội dung này, tác giả chọn lọc và đưa ra một số bài tốn cực trị hình khơng
gian có sử dụng đến các tính chất hình học đã được hệ thống ở mục 2.4.2. Đồng
thời đưa ra những phân tích, bình luận phù hợp để hỗ trợ học sinh trong việc tìm ra
lời giải cho bài toán.
Trước hết chúng ta đến với các bài tốn sử dụng tính chất về khoảng cách, độ dài

trong hình học
Bài tốn 1. Cho hình chóp

có đáy

; góc giữa
trọng tâm tam giác
đường thẳng

,

là hình thoi và

và mặt phẳng

là trung điểm của

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

bằng
và

,
. Gọi

là

là điểm thay đổi trên

.

Phân tích:
•

Biểu thức

gợi ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất 1

•

Tuy nhiên

•

Ta nghĩ đến việc thay thế điểm

và

không đồng phẳng nên dấu “=” không xảy ra
bởi một điểm

thỏa mãn 2 điều kiện:

9


và

cắt nhau tại điểm thuộc đoạn

thuộc mặt phẳng

. Để thỏa mãn được điều kiện này ta cần phát hiện thêm
các tính chất hình học khác của hình chóp.
•

Ta phát hiện ra tam giác
là hình chiếu của đỉnh
thì

đều, kết hợp với giả thiết
trên mặt phẳng

suy ra

. Do đó, để

phải thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác

.

Từ các phân tích trên ta có định hướng cho bài tốn như sau:
Bước 1: Chứng minh
Bước 2: Trong mặt phẳng đáy, gọi

là điểm đối xứng với

Bước 3: Đánh giá
Bước 4: Tính độ dài đoạn thẳng

cosin cho tam giác

qua

, dấu “=” xảy ra khi
và kết luận. Để tính

.

ta sử dụng định lí

.

10


Bài tốn 2. Cho khối chóp
Mặt phẳng

có

bất kỳ qua

của chu vi tam giác

cắt các cạnh

và
tại

.
. Tìm giá trị nhỏ nhất

.

Để giải quyết bài toán này ta sử dụng phương pháp trải phẳng. Vấn đề đặt ra là
làm thế nào để học sinh nhận ra được cách giải quyết này? Ta cần có những phân
tích hợp lý để lời giải bài toán đến với người học một cách tự nhiên dễ hiểu chứ
khơng mang tính áp đặt, cho sẵn.
Phân tích.
•
•

Bài tốn u cầu ta đi tìm
.
Tổng trên có quy luật nối tiếp nhau nên ta nghĩ đến việc sử dụng tính chất 1

•

Vì 3 đoạn thẳng
thuộc 3 mặt bên của hình chóp nên chưa thể
áp dụng tính chất 1 ngay được. Hơn nữa việc gắn biến hoặc xây dựng mối
liên hệ giữa 3 đoạn thẳng này cũng chưa có cơ sở để thực hiện.
Có cách nào đưa về tổng của 3 đoạn thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng
mà độ dài của chúng vẫn được bảo tồn hay khơng?
Ta cần một cách nào đó để cho 3 mặt bên của hình chóp cùng nằm trong một
mặt phẳng?
Từ đó học sinh sẽ nghĩ đến việc trải hình chóp ra phẳng như hình vẽ dưới
đây

•
•
•

11


Trải phẳng

Lời giải.
Trải hình chóp

ra phẳng ta được như hình trên (

đầu). Khi đó chu vi tam giác

chính là điểm

là
. Dấu “=” xảy ra

Vì tam giác

vng cân tại

Vậy, chu vi tam giác

ban

, nên

.

.

nhỏ nhất bằng

Từ bài toán này, bạn đọc có thể tự giải quyết hai bài tốn tương tự sau
Bài tốn 2.1. Người ta cần trang trí một
kim tự tháp hình chóp tứa giác đều
cạnh bên bằng

, góc

bằng đường gấp khúc dây đèn
led vịng quanh kim tự tháp
(như hình vẽ). Trong đó
điểm cố định và
. Tính đọ
dài đoạn dây tối thiểu dùng để trang trí.

12


Bài tốn 2.2. Cho hình lập phương
phát từ đỉnh

cạnh

. Một con kiến xuất

đi trên các mặt của hình lập phương. Tính qng đường ngắn nhất

con kiến đi từ đến
của hình lập phương.

mà phải đi qua tất cả các mặt

Bài toán 3. Cho tứ diện

và

là một điểm nằm trong tứ diện. Gọi

lần lượt là khoảng cách từ

tới các đỉnh

lần lượt là chiều cao của tứ diện kẻ từ các đỉnh

và
. Chứng minh rằng:

.
Phân tích:
•

Để giải quyết bài tốn ta cần phát hiện một tính chất hình học liên quan đến
và

•

. Để phát hiện ra tính chất thì giáo viên cần mơ tả bằng hình vẽ mẫu

Từ hình ảnh trên ta dễ dàng phát hiện ra một tính chất rất quan trọng là:

. Ta cần tạo tỉ số

thì được:

, do đó ta nghĩ đến việc chia cả hai vế cho

.

13


•
•

Tỉ số
gợi ta nghĩ đến tỉ số thể tích
Từ đó ta đưa ra được lời giải cho bài toán như sau:

Lời giải.
Với điểm

tùy ý trong tứ diện, ta ln có:
(xem hình vẽ bên).

(1)
Hồn tồn tương tự ta cũng có:

(2);

(3);

(4)

Cộng vế theo vế của các BĐT (1), (2), (3), (4) ta được:

.
Dấu “=” xảy ra

là trọng tâm của tứ diện

.

Tiếp theo tác giả xin đề xuất một số bài toán cực trị mà việc sử dụng tính chất véc
tơ được xem là mẫu chốt để giải quyết vấn đề.
Bài toán 4. Cho hình chóp
. Gọi

có đáy là hình vng cạnh a,

là điểm di động trên mặt phẳng

nhất của biểu thức

và

. Tìm giá trị nhỏ
.

Phân tích, định hướng.

14


•

Biểu thức

có chứa 5 đại lượng biến thiên phụ thuộc

nên ta nghĩ đến

việc giảm các đại lượng biến thiên trong
•

Biểu thức là tổng của các bình phương độ dài của các đoạn thẳng nên ta
nghĩ đến việc sử dụng véc tơ để biến đổi như sau

•

Vì đẳng thức trên đúng với điểm
ta chọn điểm

•

Khi đó,

tùy ý nên để thuận lợi cho việc đánh giá

thỏa mãn

nhỏ nhất khi

.
nhỏ nhất

là hình chiếu của

trên

Lời giải.
Gọi
Gọi

.
là điểm thỏa mãn

Vì

.

Khi đó,

Ta có:

15


Suy ra,

.

nhỏ nhất khi

nhỏ nhất

là hình chiếu của

trên

, khi đó

Lại có:

Vậy,

.

Bài tốn 5. Cho hình hộp chữ nhật
. Gọi

có

là trung điểm của

, mặt phẳng

tương ứng tại ba điểm phân biệt

biểu thức

đi qua

và cắt các tia

. Tìm giá trị nhỏ nhất của

.

Phân tích.
•

Về mặt phương pháp: ta đi xây dựng đẳng thức trung gian

.

16


•

Nhận thấy:
phẳng

là 3 cạnh bên của hình chóp

ln đi qua

hay 4 điểm

và mặt

luôn đồng phẳng khi

thay đổi. Điều này gợi ta nghĩ đến tính chất 4 điểm đồng phẳng.
Lời giải.

Đặt

Vì 4 điểm

,

. Ta có:

đồng phẳng nên ta có:

.
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

.

17


Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi

Vậy,

, hay

.

.

Nhận xét: Mẫu chốt của bài tốn chính là việc phát hiện ra tính chất 4 điểm
đồng phẳng. Cũng với ý tưởng này, xin mời bạn đọc đến với bài toán
trong đề thi học sinh giỏi tỉnh Nghệ An, năm học 2020 – 2021 sau đây.
Bài tốn 6. (Trích đề thi HSG tỉnh Nghệ An, năm học: 2020 – 2021)
Cho hình chóp
. Gọi
qua

có

đơi một vng góc và

là tâm đường trịn nội tiếp tam giác
lần lượt cắt các tia

Chứng minh rằng

. Một mặt phẳng

tại

,
thay đổi đi

.

.

Lời giải.

Ta có:
giác

Vì

là tâm đường trịn nội tiếp tam

nên ta có:

18


(1)
Vì

đồng phẳng nên từ (1) ta có:

.

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta suy ra:

Dấu “=” xảy ra khi

.

. (đpcm)

Nhận xét.
Bài toán trên tương tự bài toán tác giả đề xuất trong đề tài SKKN của tác giả năm
học 2019 – 2020 sau đây:
“Cho hình chóp
Gọi

, đáy

có độ dài các cạnh là

là tâm đường trịn nội tiếp tam giác

phẳng qua

thay đổi ln cắt các cạnh

. Chứng minh rằng

,

.

là trung điểm của

. Mặt

lần lượt tại ba điểm phân biệt

.”

Ta có thể khái quát hóa bài tốn 6 thành bài tốn tổng qt hơn như sau:

19


“Cho hình chóp

,

là một điểm thuộc mặt phẳng
. Lấy

với

,

). Mặt phẳng

,

. Đặt

qua

thỏa mãn

là điểm thuộc đoạn

luôn cắt các tia

( không trùng

lần lượt tại các điểm

.

Chứng minh rằng:

.”

Việc chứng minh bài tốn trên ta cũng dựa vào tính chất 4 điểm đồng phẳng để xây

dựng đẳng thức trung gian:
này ta có thể đề xuất nhiều bài toán cực trị khác.

. Từ đẳng thức

Việc sử dụng tỉ số diện tích và tỉ số thể tích trong bài tốn cực trị hình học không
gian là khá phổ biến, trong đề tài này tác giả đưa ra một số ví dụ minh họa để thấy
được vai trị của của nó trong việc xây dựng đẳng thức trung gian.
Bài tốn 7. Cho hình chóp

. Gọi

điểm bất kì thuộc miền trong tam giác
song song với đường thẳng

tại

là trọng tâm tam giác
. Đường thẳng

cắt các mặt phẳng

. Chứng minh rằng

,

là

đi qua điểm

và

lần lượt

.

Phân tích.

•

Bất đẳng thức đã cho tương đương với

20


•

Với biến đổi trên, gợi ta nghĩ đến việc xây dựng một đẳng thức trung gian

, với
là các hằng số.
• Để thuận lợi cho việc chứng minh, ta tìm cách đưa các tỉ số trên về các tỉ số
trong cùng một mặt phẳng. Khi đó giáo viên có thể đặt ra cho người học câu
hỏi : Giả thiết nào giúp ta chuyển đổi các tỉ số trên về các tỉ số trong cùng
một mặt phẳng?
Lời giải.
TH1:

không song song với cạnh của tam giác
Cách dựng các điểm

+) Gọi
+) Qua

lần lượt là giao điểm của
kẻ đường thẳng song song với

tại các điểm

cắt các đường

lần lượt

; đây cũng chính là các giao điểm cần dựng.

Chứng minh

Xét tam giác

với các đường thẳng

.

có

21


Tương tự:

;

Từ đó, ta có:
Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:

.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
TH2:

, hay

là trọng tâm tam giác

.

song song với cạnh của tam giác

Vì vai trị như nhau nên ta chỉ cần xét cho trường hợp
Cách dựng các điểm

Giả sử
Qua
Vì

cắt

lần lượt tại

và

kẻ đường thẳng song song với
nên mặt phẳng

song song với

.
cắt

cắt

; và giao tuyến này cắt

lần lượt tại
theo giao tuyến đi qua

tại

và

.

22


Chứng minh

Ta có:

Xét tam giác

, có

Tương tự:
Khi đó,

. Đến đây, giải tương tự như TH1.

Vậy,
. Dấu “=” xảy ra khi
.
Nhận xét: Mẫu chốt của bài tốn trên ngồi việc sử dụng định lí talet để đưa các tỉ
số

về các tỉ số trong mặt phẳng
tính chất quan trong về tỉ số diện tích trong tam giác.
Bài tốn 8. Cho hình chóp
). Gọi
và

lần lượt tại

có đáy

ta cịn sử dụng thêm một

là hình thang (

lần lượt là các điểm thuộc các cạnh
. Một mặt phẳng thay đổi ln chứa

và

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

và

sao cho
cắt

và

.

Phân tích.

23


•

Bài toán này ý tưởng giống với bài ở trên, tức là ta đi xây dựng một đẳng

thức trung gian liên quan đến

và

dụng cơng thức (2.1) cho tam giác
Để tính tỉ số
Lời giải
•

+) Cách dựng

, điều này gợi ta nghĩ đến việc sử
. Do đó ta cần tính tỉ số

ta lại sử dụng công thức (2.1) cho tam giác

.

.

và

Gọi
Trong mặt phẳng

, kẻ đường thẳng qua

sao cho cắt các cạnh
phân biệt
và . Hai điểm
hai điểm cần dựng.

tại hai điểm
và

chính là

+) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Vì

là hình thang có

và

Áp dụng công thức (2.1) cho tam giác

, ta được

Áp dụng công thức (2.1) cho tam giác

, ta được

Áp dụng BĐT bunhiacopxki ta có:
24


Dấu “=” xảy ra

. Vậy,

Bài tốn 9. Cho hình chóp
Gọi

là điểm trên cạnh

các cạnh

khối chóp

và

có đáy là hình bình hành và có thể tích là
sao cho

. Một mặt phẳng

lần lượt tại hai điểm phân biệt

. Tìm giá trị lớn nhất của

và

. Gọi

qua

.
cắt

là thể tích của

.

Phân tích.

•

•

Tỉ số
là tỉ số thể tích của hai khối chóp tứ giác nên ta chưa thể áp dụng
trực tiếp công thức (2.2) cho tỉ số này. Để áp dụng được công thức (2.2) ta
tách thành hai khối chóp tam giác để có thể áp dụng cơng thức (2.1).
Bài tốn xuất hiện khá nhiều tỉ số, do đó ta gắn biến để thuận lợi cho việc tìm
mối liên hệ giữa chúng.

Lời giải.

Đặt

(

)

Áp dụng cơng thức (2.2) ta có:

;

25