Góp phần phát triển một số yếu tố tư duy hàm thông qua dạy học phương trình, hệ phương trình, bất phương trình

trờng đại học vinh
Khoa toán

Nguyễn thị thuận

Góp phần phát triển một số yếu tố
t duy hàm thông qua dạy học phơng trình,
hệ phơng trình, bất phơng trình

Khóa luận tốt nghiệp đại học
ngành cử nhân s phạm toán

Vinh 2007


trờng đại học vinh
Khoa toán

Nguyễn thị thuận

Góp phần phát triển một số yếu tố
t duy hàm thông qua dạy học phơng trình,
hệ phơng trình, bất phơng trình
Khoá luận tốt nghiệp đại học
ngành cử nhân s phạm toán
Cán bộ hớng dẫn khoá luận
ThS. Trơng Thị Dung
ThS. Nguyễn Thị Mỹ Hằng
Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thuận
Lớp 44A2 Toán

Vinh 2007


Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với cô giáo hớng dẫn Thạc sĩ
Trơng Thị Dung, Thạc sĩ Nguyễn Thị Mĩ Hằng, đà hết lòng hớng dẫn tôi trong
thời gian hoàn thành khoá luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán và càc thầy, cô
trong khoa đà tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình hoàn thành khoá
luận.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trờng THPT Ba Đình đà giúp
đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình kiểm chứng s phạm.
Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn bạn bè, ngời thân luôn ủng hộ,
động viên và giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.

Vinh, tháng 5 năm 2007.
Tác giả

Nguyễn Thị Thuận


Quy ớc các chữ viết tắt sử dụng trong khóa luận
Viết tắt
Pt
:
Hpt :
Bpt :
TDH :

Viết đầy đủ

Phơng trình
Hệ Phơng trình
Bất Phơng trình
T duy hàm


mục lục
Trang
Mở đầu.................................................................................................................1
Cơ sở lý luận và thực tiễn.............................................................4
T duy hàm và các đặc trng cơ bản...........................................................4
Tiềm năng của vấn đề phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng
trình trong việc phát triển t duy hàm......................................................23

Chơng I:

I.
II.

Các biện pháp s phạm góp phần phát triển t duy hàm
thông qua dạy học phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình......................................................................................43
Cơ sở khoa học để đa ra các biện pháp..................................................43
Các biện pháp s phạm góp phần phát triển t duy hàm thông qua
dạy học phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình............................47

Chơng II:

I.
II.

Chơng III:

Kiểm chứng s phạm....................................................................78

Kết luận...........................................................................................................81
Tài liệu tham khảo.....................................................................................82


1

Mở Đầu
I. Lý do chọn đề tài
Hàm là một khái niệm cơ bản của toán học, nó giữ vị trí trung tâm ở trờng
phổ thông.Trong dự thảo (năm 1989) môn toán học ở trờng phổ thông có quy định
nghiên cứu hàm số đợc coi là nhiệm vụ xuyên suốt chơng trình phổ thông trung
học.
- Mọi sự vật trong thế giới khách quan đều trong trạng thái vận động và biến
đổi và tồn tại những mối tơng quan nhất định. Để nhận thức và cải tạo đợc hiện
thực con ngời phải phát hiện, nghiên cứu và lợi dụng những tơng quan ấy. Bản chất
của khái niệm hàm là sự tơng ứng, nhìn sự vật, hiện tợng trong trạng thái biến đổi
sinh động, phụ thuộc lẫn nhau. Theo nhà toán học Khinsin Không có khái niệm
nào khác có thể phản ánh những hiện tợng của thực tại khách quan một cách trực
tiếp và cụ thể nh khái niệm tơng quan hàm, không có khái niệm nào có thể thể hiện
đợc ở trong nó những nét biện chứng của t duy toán học hiện đại nh khái niệm tơng
quan hàm[11].
- Theo P.V.Kopnin Kiến thøc chØ thùc sù lµ kiÕn thøc khi nã lµ thành quả
của những cố gắng của t duy chứ không phải là trí nhớ[1]. Thế nhng việc dạy học
toán ở trờng phổ thông và việc dạy học chủ đề hàm số nói riêng còn nhiều bất cập.
Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt, giải những bài toán
oái ăm giả tạo, chẳng giúp gì mấy để phát triển trí tuệ, mà làm học sinh xa rời thực

tế mỏi mệt, chán nản[19].
Theo tác giả Nguyễn Cảnh Toàn Mục tiêu của giáo dục là kiến thức, t duy,
tính cách con ngời nhng hiện nay trong nhà trờng t duy và tính cách bị chìm đi
trong kiến thức[19]. Cách dạy thầy đa ra kiến thức rồi giải thích, chứng minh, trò
cố gắng hiểu ghi nhớ và vận dụng còn rất phổ biến.
- T duy hàm là một loại hình t duy liên quan đến nhiều loại hình kiến thức
khác nhau trong môn toán. Trong dạy học ngời giáo viên có nhiều cơ hội phát triển
TDH thông qua nhiều chđ ®Ị kiÕn thøc. Trong ®ã chđ ®Ị pt, hpt, bpt là một trong
những chủ đề có những tiềm năng để phát triển TDH. Vì khái niệm phơng trình ở
trờng phổ thông đợc xây dựng từ khái niệm biểu thức. Trong khi đó khái niệm biểu
thức lại đợc xây dựng theo quan điểm hàm. Vì thế khi hình thành khái niệm pt học
sinh đợc tập luyện những hoạt động liên quan đến khái niệm hàm. Mặt khác bản
thân chủ thể kiến thức này liên quan chặt chẽ đến các hoạt động phát hiện, thiết
lập, nghiên cứu và lợi dụng các sự tơng ứng[18].
Thực tế cho thấy học sinh còn bộc lộ nhiều yếu kém về năng lực t duy, nhìn
các đối tợng toán học một cách rời rạc, cha thấy đợc những mối liên quan phụ
thuộc, giữa các kiến thức liên quan và các bài toán với nhau khi giải pt, hpt, bpt. V×


2
vậy chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là Góp phần phát triển một số yêu tố t duy
hàm cho học sinh thông qua dạy học chủ đề phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng
trình.
II. Mục đích nghiên cứu
Làm sáng tỏ các đặc trng của TDH thông qua nghiên cứu cơ sở về TDH. Từ
đó đa ra một số biện pháp nhằmGóp phần phát triển TDH cho học sinh thông qua
dạy học pt, hpt, bpt.
III. Giả thuyết khoa học
Trong dạy học toán nói chung và dạy học chủ đề pt, hpt, bpt nói riêng nếu
ngời giáo viên chú ý phát triển t duy hàm cho học sinh thì sẽ nâng cao chất lợng

dạy và học.
IV. Nhiệm vụ nghiên cứu
Khoá luận sẽ làm rõ thêm những vấn đề sau đây:
1. Khái niệm TDH.
2. Các đặc trng cơ bản của TDH.
3. Các biện pháp s phạm Bồi dỡng TDH thông qua dạy học chủ đề pt, hpt,
bpt.
V. Phơng pháp nghiên cứu
1. Nghiên cứu lý luận: Tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu về các đề tài có liên
quan đến đề tài khoá luận.
2. Điều tra quan sát: Trao đổi với giáo viên ®Ĩ s¬ bé rót ra mét sè nhËn xÐt
vỊ “Båi dìng TDH cho häc sinh”.
3. Thùc nghiƯm s ph¹m: TiÕn hành một số giờ dạy kiểm chứng ở trờng phổ
thông, so sánh, đối chiếu với các lớp đối chứng nhằm xét tính khả thi và hiệu quả
của biện pháp đề ra trong khoá luận.
VI. Đóng góp của khoá luận
1. Về lý luận: góp phần làm sáng tỏ nội dung Bồi dỡng TDH cho học sinh
trong dạy học toán ở trờng phổ thông.
2. Về thực tiễn:
- Xây dựng một số biện pháp bồi dỡng TDH cho học sinh qua dạy học chủ
đề pt, hpt, bpt.
- Vận dụng một số biện pháp trên trong một số giờ dạy ở trờng phổ thông.


3


4

chơng I

Cơ sở lý luận và thực tiễn
I. T duy hàm và các đặc trng cơ bản
1. Khái niệm hàm số (Theo lý thuyết tập hợp)
Một tập G mà mỗi phần tử là một cặp đợc gọi là một đồ thị, tập hợp tất cả
các phần tử thứ nhất của các cặp trong G đợc gọi là miền xác định của đồ thị. Tập
hợp các phần tử thứ hai của các cặp trong G đợc gọi là miền giá trị của đồ thị. Một
bộ ba (G, A, B) với G là một đồ thị mà miền xác định bị chứa trong A, miền giá trị
bị chứa trong B gọi là sự tơng ứng giữa các tập A và B.
A là nguồn, B là đích của sự tơng ứng.
Một đồ thị đợc gọi là một đồ thị hàm nếu trong đó không có hai cặp phần tử
nào cùng chung phần tử thứ nhất.
Một sự tơng ứng (G, A, B) đợc gọi là một hàm nếu G là một đồ thị hàm và A
chính là tập xác định của G.
Nói cách khác thì một bộ ba (G, A, B) trong đó G là một cặp sao cho tập xác
định của G nằm trong A, tập giá trị của G nằm trong B, đợc gọi là một hàm khi và chỉ
khi mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp trong G.
Khái niệm hàm theo lý thuyết tập hợp có tính tổng quát cao đảm bảo tính đa
dạng, linh hoạt, chặt chẽ và rõ ràng nhất, vì nó bao hàm cả đại lợng hàm theo đại lợng biến thiên, không cần dùng tới các thuật ngữ đại lợng, ứng đang còn ở
trạng thái mơ hồ.
2. Khái niệm hàm số trong sách giáo khoa phổ thông hiện hành
Trong [5] định nghĩa:
Cho D là một tập con khác rỗng của R.
Một hàm số f xác định trên D là một quy tắc cho tơng ứng mỗi x thc D víi
mét vµ chØ mét sè thùc y.
Trong [7] định nghĩa:
Giả sử có hai đại lợng biến thiên x và y, trong đó x nhận giá trị thuộc tập số
D.
Nếu với mỗi giá trị x thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tơng ứng y thuộc
tập số thực R thì ta có một hàm số.
Ta gọi x lµ biÕn sè, y lµ hµm sè cđa x.

TËp hợp D đợc gọi là tập xác định của hàm số.
Trong [14] định nghĩa:
Cho một tập hợp khác rỗng D R.


5
Hàm số f xác định trên D là một qui tắc đặt tơng ứng mỗi số x thuộc D với
một vµ chØ mét sè, kÝ hiƯu lµ f(x). Sè f(x) đợc gọi là giá trị của hàm số f tại x.
Tập D gọi là tập xác định (hay miền xác định), x gọi là biến số hay đối số
của hàm số f.
Nh vậy đặc trng của khái niệm hàm số lµ:
f: D  R sao cho
- xD, y=f(x) R.
- Sù y ứng mỗi x là duy nhất.
Tuy nhiên mỗi y R cã thĨ cã nhiỊu h¬n mét xD.
Theo Can-mo -go-rop thì vấn đề cơ bản trong dạy học hàm hiện nay là hình
thành ở học sinh những hiểu biết đúng đắn về nội dung khái niệm đó theo tinh thần
của lý thuyết tập hợp chứ không bắt buộc phải phát biểu định nghĩa tơng ứng một
cách tờng minh.
3. T duy hàm
3.1. T duy
- Theo Từ điển Tiếng việt T duy là giai đoạn cao của quá trình nhận thức,
đi sâu vào bản chất và tính quy luật của sự vật bằng những hình thức nh: Biểu tợng,
khái niệm phán đoán vµ suy lÝ ”[15].
- Theo TriÕt häc: T duy lµ sản phẩm cao nhất của cái vật chất đợc tổ chức
một cách đặc biệt là bộ nÃo, là quá trình phản ánh tích cực thế giới khách quan
trong các khái niệm, phán đoán, lý luận. T duy xuất hiện trong các quá trình hoạt
động sản xuất xà hội của con ngời và bảo đảm phản ánh thực tại một cách gián
tiếp, phát hiện các mối quan hệ hợp quy luật của thực tại khách quan.
Theo đó, t duy có những đặc điểm cơ bản sau:

1. T duy là sản phẩm của bộ nÃo ngời và là một quá trình phản ¸nh tÝch cùc
thÕ giíi kh¸ch quan.
2. KÕt qu¶ cđa t duy bao giờ cũng là một ý nghĩ và đợc thể hiện qua ngôn ngữ.
3. Bản chất của t duy là sự phân biệt sự tồn tại độc lập của đối tợng và đợc
phản ánh với hình ảnh nhận thức đợc qua khả năng hoạt động suy nghĩ của con ngời nhằm phản ánh đối tợng
4. T duy là quá trình phát triển năng động và sáng tạo.
5. Khách thể trong t duy đợc phản ánh với nhiều mức độ khác nhau, từ thuộc
tính này đến thuộc tính khác, nó phụ thuộc vào chủ thể là con ngời.[16].
- Theo tâm lý học:
T duy là một quá trình tâm lý phản ánh những thuộc tính bản chất, những
mối liên hệ và quan hƯ bªn trong cã tÝnh quy lt cđa sù vật hiện tợng trong hiện
thực khách quan mà trớc đó ta cha biÕt.


6
Theo đó t duy có các đặc điểm sau:
1. Tính có vấn đề
Khi gặp một hoàn cảnh có vấn đề mà những phơng tiện, phơng pháp hoạt
động cũ không đủ sức để giải quyết dẫn đến cần phải vạch ra một cách thức giải
quyết mới. Mặt khác hoàn cảnh có vấn đề phải đợc cá nhân nhận thức đầy đủ, có
nhu cầu giải quyết.
2.Tính gián tiếp
T duy phát hiện ra bản chất của sự vật, hiện tợng và quy luật giữa chúng nhờ
những công cụ phơng tiện, kết quả nhận thức của loài ngời và kinh nghiệm của mỗi
cá nhân, t duy đợc biểu hiện trong ngôn ngữ.
3. Tính trừu tợng và khả năng của t duy
T duy phản ánh cái bản chất nhất và chung nhất cho những sự vật, hiện tợng
hợp thành một nhóm đồng thời trục xuất khỏi những sự vật, hiện tợng đó những cái
cụ thể và cá biệt. Nói cách khác, t duy đồng thời mang tính trừu tợng và khái quát.
4.T duy liên hệ chặt chẽ với ngôn ngữ

T duy có tính trừu tợng, khái quát không thể tồn tại ngoài ngôn ngữ. Nó dùng
ngôn ngữ làm phơng tiện cho mình. Ngôn ngữ giúp các sản phẩm của t duy đợc chủ
thể và ngời khác tiếp nhận. Ngôn ngữ cố định lại kết quả của t duy và nhờ đó làm
khách quan hoá chúng cho ngời khác và cho cả bản thân chủ thể nữa.
5. T duy có tính liên hệ chặt chẽ với nhận thức cảm tính. Lấy nhận thức cảm tính
làm cơ sở, t duy đồng thời ảnh hởng trở lại quá trình nhận thức cảm tính.
3.2. T duy toán học
3.2.1. T duy toán học
Cũng nh những lĩnh vực khác, toán học luôn chứa đựng những điều mà con
ngời cha biết. Nhng nhiệm vụ của thực tiễn và cuộc sống đòi hỏi phải hiểu thấu
những điều cha biết đó một cách sâu sắc. Vì vậy toán học cũng là một đối tợng của
t duy, khi đó ta có t duy của toán học.
Toán học với t cách là đối tợng của t duy, cũng nh những đối tợng và sự kiện
khoa học khác, nó là những sao chép phản ánh mặt nào ®ã cđa thÕ giíi hiƯn thùc,
®ã lµ tÝnh hiƯn thùc của t duy toán học, ngoài ra t duy toán học còn có tính trìu tợng
nữa.
Mặt hiện thực và trìu tợng thống nhất biện chứng với nhau, theo[8]: Để
nhận thức đợc mặt nội dung của hiện thực cần có t duy biện chứng; để nhận thức đợc mặt nhận thức của hiện thực cần có t duy logic. Do đó t duy toán học là sự thống
nhất giữa t duy biện chứng và t duy logic. Theo đó, t duy toán học cũng có những
cặp phạm trù quan trọng: cụ thể- trừu tợng; nhận thức cảm tính- nhận thức lý tính;
cái chung- cái riêng.


7
T duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt
động toán học của học sinh, nó còn là thành phần mà nếu thiếu sự phát triển có ph ơng hớng thì không thể đạt đợc hiƯu qu¶ trong viƯc trun thơ cho häc sinh hƯ
thèng các kiến thức và kỹ năng toán học. (Iu.M. Koliagin và V.A.Ôganhêxian)
[19]. Do đó nếu không có t duy toán học thì không thể đạt đợc mục tiêu của quá
trình giáo dục.
3.2.2. Một số quan điểm về thành phần của t duy toán học- T duy hàm

Năm 1975, nhóm tác giả Iu.M. Koliagin và V.A.Ôganhêxian đà quan niệm
rằng các thành phần chủ yếu của t duy toán học gồm:
- T duy cụ thể;
- T duy trìu tợng;
- T duy trực giác;
- T duy hàm;
- T duy biện chứng;
- T duy sáng tạo;
- Các phong cách toán học của t duy.
Cũng nhóm tác giả đó, năm 1980 đà quan niệm rằng t duy toán học bao gồm
các thành phần chủ yếu sau:
- T duy cụ thể;
- T duy trìu tợng;
- T duy trực giác;
- T duy hàm.
Trong đó t duy hàm là Trình bày các đối tợng toán học trong sự chuyển
động và sự biến đổi của chúng, thể hiện quan điểm tác động - ảnh hởng với các sự
kiện toán học trong mối liên hệ nhân quả và khuynh hớng diễn đạt các sự kiện toán
học một cách thực chất và tăng cờng ứng dụng của toán học[19].
Theo đó, t duy hàm đợc vận dụng trong việc dạy toán ở trờng phổ thông đợc
biểu hiện nh sau:
- Trình bày các đối tợng toán học trong sự vận động và sự biến đổi của chúng.
- Thể hiện quan điểm tác động - ảnh hởng đến các sự kiện toán học trong
mối quan hệ nhân quả.
- Tăng cờng ứng dụng các kết quả nghiên cứu về hàm vào thực tiễn học tập
và cuộc sống.
Theo giáo s Nguyễn Bá Kim t duy hàm là loại t duy đợc đặc trng bởi các
hoạt động:
- Phát hiện hoặc thiết lập những sự tơng ứng.

8
- Nghiên cứu sự tơng ứng.
- Lợi dụng sự tơng ứng.
Dựa vào quan điểm hoạt động vào dạy học; tác giả có nêu lên bốn t tởng
chủ đạo trong việc hình thành và phát triển về hàm cho học sinh.
- Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụng sự tơng
ứng trong khi và nhằm vµo viƯc trun thơ tri thøc vµ rÌn lun kü năng toán học.
- Thực hiện gợi động cơ đặc biệt là động cơ kết thúc đối với những hoạt động
nhận thức về hàm sao cho các hoạt động này trở thành những khả năng gợi động cơ
trong nội tại toán học.
- Hình thành ở học sinh những biểu tợng tiến tới những tri thức về sự tơng
ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những tri thức, phơng
pháp về t duy hàm.
- Phân bậc hoạt động về t duy hàm theo số lợng biến, theo mức độ trực quan
của đối tợng, theo mức độ độc lập thành thạo của con ngời.[11]
Theo tác giả Trần Thúc Trình T duy hàm là những hoạt động trí tuệ liên
quan đến những tơng ứng giữa các phần tử của một, hai hay nhiều tập hợp phản ánh
mối liên quan phụ thuộc lẫn nhau giữa các phần tử của tập hợp đó trong sự vận
động của chúng[4].
4. Phân tích các đặc trng của t duy hàm
4.1. Phát hiện, thiết lập sự tơng ứng: tức là nhận ra một mối liên hệ tơng ứng tồn tại
khách quan.
Theo quan điểm duy vật biện chứng, sự liên hệ phổ biến là đặc tr ng phỉ qu¸t
nhÊt cđa thÕ giíi. C¸c sù vËt, hiƯn tỵng trong thÕ giíi chØ biĨu hiƯn sù tån tại của
chúng thông qua sự vận động, tác động qua lại lẫn nhau. Bản chất tính quy luật của
sự vật hiện tợng cũng chỉ bộc lộ thông qua sự tác động qua lại giữa các mặt của bản
thân chúng, hay sự tác động với các sự vật, hiện tợng khác.Vì vậy để nhận thức đợc
thế giới trớc hết phải nhận ra những mối liên hệ liên quan đến sự vật, hiện tợng
đang quan tâm. Nói đến t duy hàm là phải nhấn mạnh dạng t duy có liên hệ mật

thiết với những hoạt động gắn với sự tơng ứng đơn trị.Tất nhiên sự tơng ứng đơn trị
ở đây không phải chỉ là ở giữa tập số với số mà giữa nhiều tập hợp với đối tợng
khác nhau.
Hàm là chân dung toán học của những quy luật bền vững mà con ngời nhận
thức đợc, để minh hoạ các tính chất đặc trng của hàm ta thấy một cách tự nhiên là
phải để ý đến các câu châm ngôn, những câu châm ngôn cũng là sự phản ánh các
quy luật bền vững rút ra từ kinh nghiệm lâu đời của nhân dân. Thật vậy ta xét ví dụ
sau Trăng quầng trời hạn, trăng tán trời ma. Rõ ràng ông cha ta từ kinh nghiệm
lâu đời rút ra một quy luật của tự nhiên về đặc điểm của mặt trăng (Quầng, tán) với


9
thời tiết (hạn, ma) trong trạng thái biến đổi phụ thuộc lẫn nhau. Đó là sự tơng ứng
1-1 giữa hai tập hợp {Trăng quầng, trăng tán} và{trời hạn, trời ma}, toán học gọi
đó là song ánh. Ví dụ này có thể đa ra giúp học sinh có những biểu tợng ban đầu về
sự tơng ứng hàm.
Phát hiện ra các mối liên hệ là tiền đề để cải tạo thực tiễn cũng nh phát hiện
sự tơng ứng là hoạt động đầu tiên của t duy hàm.
Ví dụ ở học sinh tiểu học khi yêu cầu các em hoàn thành bảng sau:
a
1
5
10
a+5
9
20
thì trớc hết các em phải phát hiện ra có sự tơng ứng giữa số hạng và tổng của nó.
Mỗi sự vật, hiện tợng tồn tại nhiều mối liên hệ, mỗi loại mối liên hệ là một
hình thức, một bộ phận, một mắt xích của mối liên hệ phổ biến. Có thể khi xem xét
sự vật, hiện tợng ở khía cạnh này thì cần phát hiện một sự tơng ứng, ở khía cạnh

khác lại cần phát hiện sự tơng ứng khác. Có khi phải xem xét một cách toàn diện
các mối liên hệ tơng ứng mới hiểu đợc bản chất sự việc. Vì vậy việc phát hiện sự tơng ứng cũng phụ thuộc vào nhiều yếu tố.
Ví dụ1: Cho ABCcó toạ độ các đỉnh A(1,1) ; B(2,1); C(3,2)
a) Tính góc giữa đờng thẳng AB và AC.
Tính diện tích ABC.
Để giải bài toán này, đối với câu a, học sinh phải phát hiện đợc sự tơng ứng
giữa góc của 2 đờng thẳng với góc giữa 2 véc tơ, góc giữa 2 véc tơ với tích vô hớng
và độ dài véctơ.
Còn câu b, học sinh phải phát hiện đợc sự tơng ứng giữa diện tích tam giác
với tích có hớng của 2 véc tơ tạo bởi các đỉnh của tam giác.
Trong nội dung môn toán ở trờng phổ thông có chứa đựng nhiều sự tơng ứng
mà học sinh cần phải phát hiện mới đạt đợc những yêu cầu và mục đích của việc
học. Theo [11] các lĩnh vực chủ yếu là:
- Các hệ thống số.
- Phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình.
- ánh xạ và hàm số.
- Các lĩnh vực hình học khác.
Ví dụ 2:
- Sự tơng ứng giữa những số trong một hệ thống số nào đó và những điểm trên
tia số, đờng thẳng số.
- Sự tơng ứng giữa một số tự nhiên và số d của phép chia chúng cho một số tự
nhiên cố định.
- Sự thay đổi giữa các đơn vị đo lờng.
b)


10
- Sự tơng ứng giữa những cặp số tự nhiên vµ íc chung lín nhÊt (hay béi chung
nhá nhÊt) cđa chúng.
Lĩnh vực phơng trình, hệ phơng trình, bất phơng trình chứa đựng nhiều sự tơng ứng sẽ đợc phân tích kỹ ở phần tiếp theo của khoá luận.

Lĩnh vực ánh xạ và hàm số là lĩnh vực trong đó các sự tơng ứng đợc phát
biểu một cách tờng minh.
Các lĩnh vực hình học khác cũng tồn tại nhiều sự tơng ứng nh diện tích hình
tròn với bán kính, giữa một góc với các giá trị lợng giác, sự tơng ứng giữa các điểm
thuộc mặt phẳng hay không gian lên chính nó thể hiện trong các phép biến hình
Thiết lập sự tơng ứng: là tự tạo ra những sự tơng ứng quy định chủ quan của
mình để thuận lợi cho một mục đích nào đó.
Những sự tơng ứng tạo ra theo quy định chủ quan nhng phải phù hợp với
điều kiện khách quan, không đợc trái quy luật, không đợc chứa đựng những mâu
thuẫn và xuất phát từ mục đích hoạt động của chủ thể.
Chẳng hạn để xác định trạng thái chuyển động của một vật tại thời điểm nào
đó, thì phải thiết lập đợc một hàm biểu diễn toạ độ, vận tốc theo thời gian. Để làm
đợc điều đó cần thiết lập đợc hệ quy chiếu, phân tích tổng hợp lực, giải các phơng
trình vi phân
Toán học có tính trừu tợng cao độ. Các trìu tợng tách ra khỏi mọi vật liệu của
đối tợng, chỉ giữ lại những quan hệ số lợng dới dạng cấu trúc mà thôi.Vì vậy mọi
đối tợng toán học sẽ tơng ứng với một đối tợng nào đó của thực tiễn. Thiết lập sự tơng ứng trong toán học cũng phải lu ý đến đặc điểm trên.
Ví dụ 3: Giải bài toán cổ.
Vừa gà vừa chó
Bó lại cho tròn
Ba mơi sáu con
Một trăm chân chẵn.
Giải:
Gọi x lµ sè gµ; y lµ sè chã 0  x, y 100
x+y =36
x=22



2x+4y=100

y=14
Bài toán trên minh hoạ cho sự trìu tợng đối tợng thực tế thành đối tợng toán
học. Để giải bài toán dạng này cần thiết phải thiết lập sự tơng ứng giữa cá mối liên
hệ giữa các yếu tố trong bài toán với các phơng trình toán học. Lời giải bài toán
phụ thuộc vào việc thiết lập đúng đắn và khéo léo sự tơng ứng này.
Cũng nh hoạt động phát hiện sự tơng ứng; để thiết lập một sự tơng ứng cần
thiết phải dựa vào những mối liên hệ riêng là mắt xích của mối liên hệ phổ biến.
Khi đó ta có:


11
Ví dụ 4:
Giải phơng trình: 4x3- 3x- 1/2 = 0
Có thể nhìn phơng trình dới nhiều khía cạnh khác nhau:
- Là phơng trình bậc ba có thể giải bằng công thức Cac-đa-Nô.
- Có thể nhẩm một nghiệm để đa về phơng trình bậc 2 đà biết cách giải.
Nhng có thể phân tích bài toán sâu hơn để lựa chọn cách giải phù hợp.
Đặt f(x)= 4x3 - 3x- 1/2
Biểu thức 4x3- 3x làm ta liên hệ đến công thức cos3x theo cosx; ở đây nảy
sinh nhu cầu đặt x= cost để tìm nghiệm thuộc [-1,1] của phơng trình f(x) = 0, từ đó
dẫn đến lời giải sáng sủa và độc đáo. Sự thiết lập t = cosx không dựa vào sự kiƯn
f(x) lµ hµm bËc ba hay cã thĨ nhÈm nghiƯm để đa về phơng trình bậc hai, mà dựa
vào mối liên hệ giữa cos3x và cosx với việc giải phơng trình f(x) = 0.
Nh vậy để thiết lập sự tơng ứng đúng đắn và khéo léo cũng đòi hỏi những
tiền đề nhất định. Bản thân hoạt động phát hiện và thiết lập sự tơng ứng lại làm tiền
đề cho hoạt động tiếp theo của t duy hàm. Đó là hoạt động nghiên cứa sự tơng ứng.
Nếu t duy hàm chỉ dừng lại ở hoạt động phát hiện và thiết lập sự tơng ứng thì
quá trình t duy cha có kết quả kết quả của quá trình t duy bao giờ cũng là một ý
nghĩ và đợc thể hiện qua ngôn ngữ [20]. T duy bao giờ cũng vận động từ chỗ cha
biết, biết không đầy đủ đến chỗ biết và biết đầy đủ. Sau khi đà thiết lập và phát

hiện sự tơng ứng, học sinh đặt ra câu hỏi: Liệu sự tơng ứng đó là bản chất hay cha?
có phục vụ gì cho việc giải quyết vấn đề đang quan tâm hay không? sự thiết lập đó
đà đúng đắn hay cha? có lợi gì không? Để trả lời câu hỏi đó tất yếu phải dẫn đến
hoạt động nghiên cứu sự tơng ứng.
4.2. Nghiên cứu sự tơng ứng
Nghiên cứu sự tơng ứng nhằm phát hiện ra những tính chất của những mối
liên hệ nào đó. Theo [11] hoạt động này đợc đặc trng bởi nhiều phơng diện mà có
thể cụ thể hoá thành những tình huống sau đây:
1. Xác định giá trị ra khi cho biết giá trị vào;
Xác định giá trị vào khi cho biết giá trị ra;
Nhận biết quy tắc tổng quát của một mối liên hệ (trong trờng hợp có thể) khi
cho biết những cặp phần tử tơng ứng trong mối liên hệ này.
2. Đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi cho biết giá trị vào;
Thực hiện sự biến thiên mong muốn đối với giá trị ra khi cho biết giá trị vào;
Đoán nhận sự phụ thuộc.
3. Phát hiện và nghiên cứu những bất biến, những trờng hợp đặc biệt và những
trờng hợp suy biến.


12
Hoạt động xác định giá trị ra khi cho biết giá trị vào và xác định giá trị vào
khi cho biết giá trị ra là những hoạt động cơ bản để tiến tới biểu tợng của sự tơng
ứng đơn trị cho học sinh từ đó hình thành khái niệm hàm sè.
VÝ dơ 1:
- Céng sè tù nhiªn (häc sinh líp 2).
HÃy hoàn thành bảng sau
Một số hạng luôn bằng 5

Số hạng kia
Tổng

4

1

2

8

0
19

20

- Tính giá trị biểu thức x3y2+ xy tại x=1; y=1/2.
Những hoạt động đó có thể gợi động cơ, đặc biệt là động cơ kết thúc. Chẳng
hạn nh bài toán sau:
Ví dụ 2 Giải thởng toán học Việt Nam (dành cho giáo viên và học sinh phổ
thông) mang tên nhà toán học nổi tiếng nào?
HÃy tính giá trị các biểu thức sau tại x =3; y = 4 và z = 5 rồi viết các chữ tơng ứng
vào các số tính đợc vào ô trống dới đây em sẽ tìm đợc câu trả lời.
N= x2 ; T= y2 ; ¡ = 1/2 (yx+z); L= x2 +y2
£= 2z2+1; H= x2+y2; V= z2-1; I= 2yz;
M= (x2+y2)1/2.
-7

51

24

8,5

9

16

25

18

51

5

L

Ê

V

Ă

N

T

H

I

Ê

M

ở bài toán trên học sinh xác định giá trị ra (là các biểu thức tơng ứng với các
chữ cái) khi cho biết giá trị vào (x = 3, y = 4, z =5) b»ng c¸ch gợi động cơ tìm tên
của nhà toán học tuy nhiên có những hoạt động không cần gợi động cơ vì chúng
đồng thời là những hoạt động toán học mà học sinh nhất thiết phải thực hiện mới
hoàn thành đợc nhiệm vụ học tập.
Ví dụ 3: Giải và biện luận phơng trình: x2 - m =0
Giải bài toán này ắt sẽ dẫn đến xét các trờng hợp m = 0; m > 0; m < 0. Tõ ®ã
häc sinh cã thĨ phát hiện ra có sự tơng ứng giữa hệ số của phơng trình x2- m = 0
nhng cha biết cụ thể là nh thế nào, từ bài toán đó có thể dẫn đến đợc bài toán
(x+a)2- m = 0 và ax2+ bx + c = 0 hay không? Nghiên cứu sự tơng ứng này có thể
dẫn học sinh đến công thức tính nghiệm của phơng trình bậc 2.
Để thúc đẩy sự nghiên cứu đó có thể bắt đầu cho học sinh giải các phơng trình
nh
x2 - 5 = 0
(1)
2
x + 5x +5 = 0
(2)


13
Bằng một hệ thống câu hỏi thích hợp:
- Có thể đa (2) về (1) đợc không? đa nh thế nào?
- Từ (2) hÃy nêu lên cách giải phơng trình 2x2 + 5x+ 5 = 0
- Trong trờng hợp tổng quát các phơng trình x2 + bx +c = 0 và ax2 + bx + c =
0 đợc xét tơng tự nh thế nào?

Nhận biết quy tắc tổng quát khi cho biết cặp giá trị ra và giá trị vào có thể đ ợc thực hiện khi cha biết chỉ một số cặp giá trị tơng ứng của một quy tắc nào đó;
công việc này cũng có thể chỉ là sự suy đoán dựa trên một cơ sở nào đó và chứng
minh điều vừa dự đoán.
Ví dụ 4: Cho bảng sau:
a
1
(2)-1/2
1/2
-1
-1/2
-(2)1/2
Sự biến thiên
Đồng Đồng
Đồng Nghịch Nghịch Nghịch
của y= ax
biến
biến
biến
biến
biến
biến
HÃy xác định sự biến thiên của hàm số y = 5x.
Từ bảng trên học sinh tìm ra sự đồng biến, nghịch biến của hàm số có liên
quan đến hệ số a. Cụ thể
a > 0 hàm số đồng biến
a < 0 hàm số nghịch biến.
Tuy nhiên quy luật tổng quát đó có đúng hay không? Để trả lời câu hỏi này
học sinh phải xét trong trờng hợp tổng quát nh với a > 0 và x1 > x2 có suy ra đợc y1
> y2 hay không?
Hoạt động đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi cho biết giá trị vào. Thực

hiện sự biến thiên mong muốn đối với giá trị ra cã thĨ thùc hiƯn th«ng qua vÝ dơ sau:
VÝ dụ 5
Cho phơng trình: x4 - mx2 + 1 = 0
(1)
a) Giải phơng trình khi m=2.
b) Tìm m để phơng trình: vô nghiệm, có một nghiệm, hai nghiệm, ba
nghiệm, bốn nghiệm.
Phơng trình (1) là phơng trình trùng phơng, học sinh dễ dàng đa về dạng:
X2 - mX + 1 = 0
(2)
bằng cách đặt X = x2 ; X 0
Mỗi XR mµ:
+) X = 0 cho x = 0
+) X > 0 cho 2 giá trị x là x = X
+) X < 0 không cho giá trị x t¬ng øng.


14
Câu a) đặc trng cho hoạt động đánh giá sự biến thiên của giá trị ra khi cho biết
giá trị vào, cụ thể đánh giá xem phơng trình có mấy nghiệm và nghiệm nh thế nào?
Với m =2, phơng trình X2 - 2X + 1 = 0 cã nghiÖm duy nhất X = 1. Do đó
phơng trình đà cho có 2 nghiệm x = 1.
Câu b) đặc trng cho hoạt ®éng thùc hiƯn sù biÕn thiªn mong mn ®èi víi giá trị
ra. Sự biến thiên ở đây là số nghiệm của phơng trình. Giá trị vào và giá trị ra không
nên chỉ hiểu là giá trị của đối số và giá trị của hàm số.
Từ sự nghiên cứu trên ta suy ra:
(1) vô nghiệm khi (2) vô nghiệm hoặc có 2 nghiÖm X1 < 0, X2 < 0
(1) cã 1 nghiÖm khi (2) cã hai nghiÖm X1= 0, X2< 0.
(1) cã 2 nghiÖm khi (2) cã mét nghiÖm kÐp X > 0; hc cã hai nghiƯm X1> 0,
X2 < 0

(1) cã 3 nghiÖm khi (2) cã hai nghiÖm X1 = 0, X2 > 0.
(1) cã 4 nghiÖm khi (2) cã hai nghiÖm X1 > 0, X2 > 0, X1≠ X2.
NÕu không có câu a) thì khi giải quyết trờng hợp phơng trình (1) có 2 nghiệm, học
sinh rất dễ nhầm lẫn chỉ có trờng hợp phơng trình (2) có 2 nghiƯm X1 > 0, X2 < 0 mµ
bá sãt trêng hợp (2) có nghiệm kép X > 0.
Đến đây bài toán hoàn toàn giải đợc nhờ xét nghiệm của tam thức bậc 2.
Ví dụ 6: Sự biến thiên của hàm sè Logarit.
Ta cã thĨ suy ra sù biÕn thiªn cđa hàm số logarit từ sự biến thiên của hàm số
mũ. Cơ thĨ xÐt hµm sè y = logax.
Ta cã
y = logax  x = ay
(*)
XÐt hµm sè mị y = a x ; a > 1 hàm số đồng biến, nghĩa là nếu x 1 > x2 thì
y(x1) > y(x2) (Hoạt động đánh giá biến thiên)
Ngợc lại nếu y1 > y2 thì x1 > x2? (tạo ra sự biến thiên)
Câu hỏi này đợc trả lời bằng phơng pháp phản chứng..
Nh vậy, với hàm số mũ với a > 1 thì:
- Khi đối số tăng giá trị hàm tơng ứng tăng.
- Khi giá trị hàm tăng thì đối số tăng.
Từ (*) suy ra x là hàm số mũ đối số y nên x 1 > x2 y1> y2, tức là hàm y =
logax đồng biến khi a > 1.
Trờng hợp 0 < a < 1 xét tơng tự.
Trong sách giáo khoa Đại số và giải tích 11 (năm 2000), bảng biến thiên
của hàm số y = logax nhận đợc trực tiếp từ bảng biến thiên của hàm số mũ. Từ đó
suy ra sự biến thiên của hàm số logarit, việc này có vẻ hơi áp đặt, thiếu tự nhiên. ở
đây chúng tôi xin đề xuất sự tiếp cận ngợc lại là xét sự biến thiên rồi mới suy ra
bảng biến thiên. Cách làm này hoàn toàn không quá sức đối víi häc sinh líp 11.


15

Làm việc với hằng đẳng thức cũng tạo cơ hội để tập luyện cho học sinh
nghiên cứu sự tơng ứng, biểu thị ở mỗi vế của đẳng thức.
Ví dụ 7: Chøng minh: sin6x + cos6x = 1- 1 sin22x.
4

§èi víi bài toán này ta có thể bổ sung một số câu hỏi để phát triển TDH cho
học sinh nh sau:
- Em có nhận xét gì về bậc của vế phải và vế trái đối với sinx và cosx?
Đó là sự nghiên cứu về bậc của 2 vế, một đẳng thức thì bậc của các biến ở 2
vế phải bằng nhau.
Câu hỏi này giúp học sinh biến đổi 1/4 sin 22x = cos2x.sin2x là biểu thức bậc
4 đối với sinx và cosx.
- Bậc của 2 vế đối với sinx và cosx không bằng nhau. Cần làm thế nào để bậc
của vế trái giảm đi 2 để bằng vế phải?
Nếu học sinh cha biết biến đổi:
cos6x+sin6x=(sin2x+cos2x)(cos4x - cos2x.sin2x+ sin4x)
(*)
ta có thể gợi ý:
- Em có liên hệ đến biểu thức bậc 2 nào của sinx và cosx mà kết quả là một
hằng số không?
Khi học sinh biến đổi đợc về dạng (*). Hớng dẫn học sinh đa vế trái về vế phải.
T duy hàm liên quan chặt chẽ đến khái niệm hàm số, vì vậy mặc dù đà học khái
niệm này nhng khi có cơ hội, giáo viên nên cho học sinh nhắc lại khái niệm này nhằm
củng cố kiến thức, đồng thời phục vụ cho mục đích góp phần phát triển TDH.
Chẳng hạn khi học giá trị lợng giác tan của mét gãc, ta cã thĨ hái:
- LiƯu mäi x  R tanx có phải là hàm số không?
- Với giá trị nào của x thì tanx biểu thị một hàm số?
Hay đối với hàm số y= x2, có thể đặt câu hỏi:
- Với mỗi giá trị của y cho ta mấy giá trị của x?
- Tìm điều kiện của tập xác định để y= x2 có hàm số ngợc?

Ví dụ này tất nhiên là rèn luyện kỹ năng tìm tập xác định, tập giá trị cho hàm
số. Nhng điều đáng nói là ở chỗ nó hình thành cho học sinh những biểu tợng tiến
tới sự đơn trị. Đối với khái niệm hàm số nội hàm của nó là: Mỗi giá trị của đối số
cho duy nhất một giá trị của hàm số. Nhng ứng với mỗi giá trị của hàm sè cã thĨ
cho mét hay nhiỊu thËm chÝ v« sè giá trị của đối số. Trờng hợp một giá trị hàm cho
tơng ứng một giá trị của đối số thì ta xác định đợc một hàm số ngợc, vì nó thoả
mÃn nội hàm của khái niệm hàm số. Ví dụ trên cho học sinh hiểu rõ hơn về khái
niệm hàm số, góp phần phân biệt đặc điểm bản chất với đặc điểm không bản chất
của khái niệm, đó là năng lực trìu tợng hoá. Tuy nhiên để phát triển mạnh mẽ hơn
nữa năng lực trên ta cần cho học sinh làm việc với nhiều hàm số có đặc điểm khác