SKKN rèn luyên kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

MỤC LỤC

I. ĐẶT VẤN ĐỀ……...………………………………………….… 1
II. NỘI DUNG.....………………….………………………………. 1
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …….…………....... 1
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm …………………………………………………….. 5
3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề………………… 5
3.1. Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm
số………………………………………………………… 5
3.2. Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài
toán cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối.. 5
3.3. Các dạng bài toán ……………………………………….

6

Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt
6
�
đối khi cho hàm số y  f  x  ………………………………
Bài tốn 2: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt
�
đối khi cho bảng biến thiên, bảng xét dấu của f  x  ……... 15

Bài tốn 3: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt
đối khi cho đồ thị ………………………………………...

22

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ………………………..

30

III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ……………………………………

30

Tài liệu tham khảo …………………………………………………

31

I. ĐẶT VẤN ĐỀ

0


Mỗi giáo viên dạy tốn ở trường THPT ln trăn trở, suy nghĩ tìm mọi biện
pháp tối ưu để truyền đạt cho học sinh những kiến thức cơ bản cốt lõi nhất để giúp
các em đáp ứng chuẩn kiến thức kỹ năng và làm bài thi một cách trôi chảy, giúp
học sinh luyện thi vào các trường Đại học có kết quả tốt nhất.
Trong các kì thi THPT quốc gia những năm gần đây và năm 2020 gọi là kì
thi Tốt nghiệp THPT, bài tốn tìm cực trị của hàm số là một dạng bài toán thường
gặp trong các đề thi THPT quốc gia mơn Tốn với các mức độ từ dễ đến khó, trong
đó bài tốn tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuất hiện trong
các đề thi tương đối khó. Vì vậy để giải được dạng tốn này chúng ta cần tìm hiểu
bản chất, phân loại các bài toán cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán
đặc trưng cho loại tốn. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong
q trình giải bài tốn tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, người giáo
viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài tốn dưới nhiều góc độ, biết khai
thác các giả thiết của bài tốn để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học
sinh khả năng tư duy, biết phân loại theo các dạng tốn để tìm phương pháp giải là

một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua q trình giải tốn sẽ giúp học sinh hồn
thiện kỹ năng định hướng và giải toán.
Với mong muốn sẽ giúp các em học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học
ở mức độ khá, giỏi kể cả trung bình có thể giải được các bài tốn về cực trị của
hàm số chứ dấu giá trị tuyệt đối một cách trơi chảy, có đáp án chính xác và nhanh
thơng qua việc biết phân loại bài tốn và tìm phương pháp giải, tôi đã chọn đề tài
"Rèn luyên kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá
trị tuyệt đối"
Trong đề tài này tôi không có tham vọng nêu ra phương pháp để giải được tất
cả các bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối mà chỉ mạnh dạn nêu
lên một số phương pháp mà chúng tôi đã áp dụng trong q trình giảng dạy và ơn
thi cho học sinh. Coi đó là kinh nghiệm qua một số ví dụ minh hoạ, với mong
muốn góp phần tạo ra và phát triển phương pháp dạy học toán học đạt hiệu quả cao
hơn qua các bài giảng.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
1.1. Cực trị của hàm số
a. Định nghĩa
Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là �; b là
�) và điểm x0 �(a; b) .
1


+) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x �( x0  h; x0  h) và x �x0
thì ta nói hàm số y  f ( x) đạt cực đại tại x0 .
+) Nếu tồn tại số h  0 sao cho f  x   f  x0  với mọi x �( x0  h; x0  h) và x �x0
thì ta nói hàm số y  f ( x) đạt cực tiểu tại x0 .
* Chú ý
+) Nếu hàm số y  f ( x ) đạt cực đại (cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực
đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f ( x0 ) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)

của hàm số, kí hiệu là fCÐ ( fCT ) , cịn điểm M ( x0 ; f ( x0 )) được gọi là điểm cực đại
(điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
+) Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực
đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của
hàm số.
b. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
* Định lí 1: Giả sử hàm số y  f ( x ) đạt cực trị tại điểm x0 . Khi đó nếu hàm số
y  f ( x) có đạo hàm tại x0 thì f �
( x0 )  0 .
c. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
* Định lí 2: Giả sử hàm số y  f ( x ) liên tục trên K  ( x0  h; x0  h) và có đạo
hàm trên K hoặc trên K \ {x0 } , với h  0 .
+) Nếu f '  x   0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f '( x)  0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là
một điểm cực đại của hàm số y  f ( x) .

�
( x )  0 trên ( x0 ; x0  h) thì x0 là
+) Nếu f  x   0 trên khoảng ( x0  h; x0 ) và f �
một điểm cực tiểu của hàm số y  f ( x ) .
Minh họa bằng bảng biến thiến

2


* Chú ý
+) Giá trị cực đại (cực tiểu) f ( x0 ) của hàm số y  f ( x) nói chung khơng phải là
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số y  f ( x) trên tập xác định của nó.
+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng 0
hoặc hàm số khơng có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng 0 tại điểm x0
nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm x0 .

* Định lí 3: Giả sử hàm số y  f ( x) có đạo hàm cấp hai trong khoảng
K  ( x0  h; x0  h) với h  0 . Khi đó:

�
�
�
+) Nếu f  x0   0, f  x0   0 thì x0 là điểm cực tiểu.
�
�
�
+) Nếu f  x0   0, f  x0   0 thì x0 là điểm cực đại.
1.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
a. Định nghĩa:
+) Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi là hàm số chẵn nếu x �D thì  x �D
và f   x   f  x 
+) Hàm số y  f  x  với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu x �D thì  x �D và
f  x   f  x
b. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
1.3. Một số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp và cách vẽ đồ thị của
các hàm số đó
a. Hàm số

y  f  x

�
�f  x  khi f  x  �0
y  f  x  �
� f  x  khi f  x   0

Ta có:
3


Nhận xét: Hàm số

y  f  x

luôn nhận giá trị không âm

Cách vẽ đồ thị:
+> Vẽ đồ thị  C  của hàm số y  f  x 
+> Gọi  C1  là phần đồ thị nằm phía trên trục hồnh của  C 
+> Gọi  C2  là phần đồ thị đối xứng với phần nằm phía dưới trục hồnh của  C 
qua trục Ox .
+> Vậy đồ thị hàm số

y  f  x

Nhận xét: Đồ thị hàm số
b. Hàm số

gồm  C1  và  C2 

y  f  x

luôn nằm trên trục hoành

y f  x

�
�f  x  khi x �0
y f  x �
�f   x  khi x  0
Ta có:
Nhận xét: Hàm số

y f  x

là hàm số chẵn

Cách vẽ đồ thị:
+> Vẽ đồ thị  C  của hàm số y  f  x 
+> Gọi  C1  là phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung của  C 
+> Gọi  C2  là phần đồ thị đối xứng với  C1  qua trục Oy .
+> Vậy đồ thị hàm số

y f  x

Nhận xét: Đồ thị hàm số
c. Hàm số

gồm  C1  và  C2 

y f  x

nhận trục tung làm trục đối xứng

y f  x

Cách vẽ đồ thị:
Cách 1:
+> Vẽ đồ thị  C  của hàm số y  f  x 

4


+> Từ đồ thị

 C  của

hàm số y  f  x  ta suy ra đồ thị

 C1 

của hàm số

y  f  x  g  x
y  f  x  g  x
+> Từ đồ thị  C1  của hàm số
ta suy ra đồ thị  C2  của hàm số
y  g x   f  x 

Cách 2:
+> Vẽ đồ thị  C  của hàm số y  f  x 
+> Từ đồ thị

 C  của

y  f  x   h x

hàm số y  f  x  ta suy ra đồ thị

 C1 

của hàm số

y  f  x   h x
+> Từ đồ thị  C1  của hàm số
ta suy ra đồ thị  C2  của hàm số
y  h x  f  x 

2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Với xu thế giáo dục phát triển năng lực học sinh một cách toàn diện, và đổi
mới thi cử, đánh giá của ngành giáo dục, đặc biệt là việc thi và đánh giá năng lực
học sinh bằng phương pháp thi trắc nghiệm. Yêu cầu số lượng câu hỏi lớn, nội
dung thi phủ rộng cả chương trình học. Vì vậy việc làm phong phú hệ thống câu
hỏi và bài tập là điều hết sức cần thiết. Với bài tốn tìm cực trị của hàm số khi xuất
hiện trong các đề thi ở mức độ 1 và mức độ 2 học sinh thường đi theo các bước của
quy tắc tìm cực trị của hàm số, nhưng với những bài tốn tìm cực trị của hàm số ở
mức độ khó hơn nếu chỉ áp dụng quy tắc tìm cực trị thì học sinh thường lúng túng,
cách giải quyết vấn đề dài dòng, mất thời gian. Trong nhiều trường hợp bài làm sẽ
rơi vào bế tắc khơng giải được. Đặc biệt các bài tốn tìm cực trị của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối và điều đó càng bất lợi khi các bài kiểm tra thi cử dưới dạng
trắc nghiệm: số lượng câu hỏi nhiều, thời gian làm bài bị rút ngắn lại.
Chính vì lẽ đó tơi đã tìm tịi nghiên cứu để phân loại các bài tốn tìm cực trị
của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và áp dụng các phương pháp đó vào giảng
dạy ơn thi THPT Quốc gia và ôn thi tốt nghiệp THPT hiện nay và bồi dưỡng học
sinh khá giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh. Dưới đây là một số
phương pháp cụ thể.

3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
3.1. Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm số
5


+> Số điểm cực trị của hàm đa thức y  f  x  bằng tổng số nghiệm đơn và
�
số nghiệm bội lẻ của phương trình f  x   0
+> Số điểm cực trị của hàm số
của hàm số y  f  x  cộng với 1.

y f  x

bằng 2 lần số điểm cực trị dương

y  f  x
+> Số điểm cực trị của hàm số
bằng tổng số điểm cực trị của hàm
số y  f  x  với số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình f  x   0 .
3.2. Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài toán cực trị của
hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

y  f  u  x 

Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số u  u  x  và y  f  x 
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa x với u  x 
và u với f  u 
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận
3.3. Các dạng bài tốn

Bài tốn 1: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho hàm số
y f�
 x
Bài tốn 1.1: Sử dụng các tính chất 3.1 để giải nhanh các bài toán cực trị.
�
+> Giải phương trình f  x   0 . Xét xem các nghiệm xi  i  1,2,..., n  của phương
trình là nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, nghiệm bội chẵn.

+> Sử dụng các tính chất ở mục 3.1 để kết luận.
�
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  có f  x    x  1
của hàm số

y f  x

A. 4 .

2

 x  1  x  2 

3

. Số điểm cực trị

là.
B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn B

6


Ta có

x  1
�
f�
x 1
 x  0 � �
�
�
x2
�

Trong đó:

�
+> x  1 là nghiệm bội 2 nên f  x  không đổi dấu khi qua x  1
�
+> x  1 là nghiệm đơn và x  2 là nghiệm bội 3 � f  x  đổi dấu khi qua 2
điểm x  1; x  2 nên hàm số y  f  x  có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực
trị dương.

f x  f  x

y f  x
y f  x
Do  
khi x  0 và hàm
là hàm chẵn nên hàm số
có 3 điểm cực trị.
�
Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x  có f  x   x  3x  4   x  1
trị của hàm số

y f  x

4

 x  3

3

. Số điểm cực

là.

A. 4 .

B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn D

x0
�
�
x  1
�
f�
 x  0 � � 4
x
�
� 3
x3
�
Ta có
Trong đó:

�
+> x  1 là nghiệm bội 4 nên f  x  không đổi dấu khi qua x  1
+>

x  0; x 

4
 x  đổi dấu khi qua 3
3 là nghiệm đơn và x  3 là nghiệm bội 3 � f �

4
x  0; x  ; x  3

3
điểm
nên hàm số y  f  x  có 3 điểm cực trị trong đó có 2 điểm
cực trị dương.

7


f x  f  x
y f  x
y f  x
Do  
khi x  0 và hàm
là hàm chẵn nên hàm số
có 5 điểm cực trị.
f�
 x   3x  x  3
Ví dụ 3. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm
cực trị của hàm số
A. 0.

y f  x

2

x

2

 2 .

Số điểm

là:
B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Chọn B

Ta có:

f�
 x   0 �  3 x  x  3

2

x

2

x0
�
 2  0 � �
x3
�
.

�
Do f  x  chỉ đổi dấu khi đi qua điểm x  0 nên hàm số y  f  x  có 1 điểm cực trị
x  0.

f x  f  x
y f  x
y f  x
Mà  
nếu x �0 và
là hàm số chẵn nên hàm số
có 1 điểm cực trị x  0 .
f�
x    x 3  3x   4 x 2  1  x 2  1

y

f
x


Ví dụ 4. Cho hàm số
có đạo hàm
.

Hàm số

y  f  x
A. 5.

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?
B. 6.

C. 12.

D. 11.

Lời giải
Chọn D
�
x0
�
�
f�
 x   0 �  x3  3x   4 x 2  1  x 2  1  0 � �x  � 3
�
1
x�
�
�
2 .
Ta có:
Bảng biến thiên của hàm số y  f  x 

8


Từ

bảng biến thiên ta thấy hàm số y  f  x  có 5 điểm cực trị và phương trình

f  x   0 có tối đa 6 nghiệm phân biệt.
Do đó hàm số

y  f  x

có tối đa 5  6  11 điểm cực trị.

Ví dụ 5. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm

f ' ( x )   x  3

2

mx 2  2  m  1 x  5�
 x  2 �
�
�với mọi

x �R .

y f  x
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m  15 để hàm số
có 5 điểm
cực trị?
A. 6 .

C. 8 .

B. 7.

D. 9 .

Lời giải
Chọn C

y f  x
Do tính chất đối xứng qua trục Oy của đồ thị hàm số
nên hàm số
y f  x

có 5 điểm cực trị khi hàm số y  f ( x) có 2 điểm cực trị dương.

Ta có:
f ' ( x )   x  3

2

mx 2  2  m  1 x  5�
 x  2 �
�
� 0

2
�
�
 x  3  0
x3
�
�
��

x20
��
x  2
� 2
�
mx  2  m  1 x  5  0
mx 2  2  m  1 x  5  0
�
�

9


Do x  3 là nghiệm bội 2 và x  2 là nghiệm đơn âm nên hàm số y  f ( x ) có 2
2
điểm cực trị dương khi phương trình mx  2  m  1 x  5  0 có hai nghiệm dương
phân biệt.

m �0
�
m �0
�
�'
  m 2  7m  1  0 � � 7  3 5 � �7  3 5
�
�
�
m
�


�
;
�
;

�
�
�
�
�
�
�
2 � � 2
� �S  2  m  1  0
�� �
�
m
�
�
m � �;0  � 1; �
� 5
�
�P   0
�
m � 0; �
�
� m
�7  3 5
�
� m ��

;  ��
� 2
�

y f  x
Giá trị nguyên của tham số m  15 để hàm số
có 5 điểm cực trị là:
m � 7;8;9;10;11;12;13;14 .
y f  x
Số giá trị nguyên của tham số m  15 để hàm số
có 5 điểm cực trị là 8 .
�
Ví dụ 6. Cho hàm số y  f  x  liên tục trên �, biết f  x   x  x  3  x  1 và
f  0   m . Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để hàm số
2

y  f  x

có 5 điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của S bằng
A. 30 .

B. 465 .

C. 456 .

D. 466 .

Lời giải
Chọn B
4

3
2
�
f
x

x
x

3
x

1

x

x

5
x
 3x






Ta có
2

f  x  �
f '  x  dx  �
 x 4  x3  5 x 2  3x  dx  15 x5  14 x 4  53 x3  23 x 2  C
,
vì f  0   m � C  m
1
1
5
3
f  x   x5  x 4  x3  x 2  m
5
4
3
2
Nên
TXĐ: D  �
10


x0
�
f�
x  1
 x   x  x  3  x  1 � f �
 x  0 � �
�
�
x3
�
2

Bảng biến thiên của hàm y  f  x 

y  f  x
Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số
có 5 điểm cực trị thì đồ thị hàm
số y  f  x  cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt. Khi đó ta có
m0
�
�
� 0  m  30,15
� 603
m


0
�
� 20
Vì m ngun nên m � 1;2;3;4;...;30 . Suy ra S   1;2;3;4;...;30
Vậy tổng các phần tử của S bằng

1  2  3  ...  30 

30  30  1
 465
2

Bài toán 1.2: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên kết hợp với các tính
chất 3.1 để giải nhanh các bài tốn cực trị.
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

y  f  u  x 

Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số u  u  x  và y  f  x 
Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa x với u  x  và u
với f  u 

11


Trong đó:
+> a1 , a2 , …, an1 , an  a1  a2  ...  an 1  an  là các điểm biên của tập xác định

u  u  x
D, là các điểm cực trị của hàm số u  u  x  . (Nếu
thì cịn có thêm

u  u x 
nghiệm của phương trình u  x   0 , hay
thì cịn có thêm số 0)





u  u  ai  , i  1, n
+> Ở dòng thứ 2 ta điền các giá trị i
. Trên mỗi khoảng  ui ; ui 1 
hoặc  ui 1; ui  điền các số b1 , b2 , …, bk , trong đó b1 , b2 , …, bk là các điểm mà tại
�

đó f  x  , f  x  không xác định; là các điểm cực trị của hàm số y  f  x  . Có thể
dùng mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của hàm số u  u  x 

g  f  u  x 
+> Ở dòng 3 xét chiều biến thiên của hàm số
dựa vào bảng biến
thiên y  f  x  bằng cách hốn đổi u đóng vai trị của x và f  u  đóng vai trị
của f  x 

g  f  u  x 
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
để kết luận. (Kết hợp
với các tính chất 3.1 để có kết luận thỏa mãn u cầu bài tốn đặt ra)
2
�
Ví dụ 7. Cho hàm số y  f  x  có f  x   x  1  x   x  3  x  2  . Số điểm cực
3

tiểu của hàm số
A. 4 .

y f  x

là.
B. 3 .

C. 2 .

D. 5 .

Lời giải
Chọn B.
Đặt u  x   x
12


Bảng biến thiên của hàm số y  u  x 

Ta có:

x0
�
�
x 1
3
2
f�
 x   0 � x  1  x   x  3  x  2   0 � �
�
x2
�
x3
�

Bảng biến thiên của hàm số y  f  x 

Bảng biến thiên của hàm số

y f  x

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
cực tiểu.

y f  x

thì hàm số

y f  x

có 3 điểm

13


2
Ví dụ 8. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên �, có f '  x   x  1 .

Hàm số



y  f x2  2

 có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 2.

B. 5.

C. 7.

D. 4.

Lời giải
Chọn D.
Đặt

u  x   x2  2






�x 2  2 khi x � �;  2 ��� 2; �
� �
�
u  x  �
 x 2  2 khi x �  2; 2
�
�
Ta có:






 




�
2 x khi x � �;  2 � 2; �
�
�
� u  x  �
2 x khi x �  2; 2
�
�

Bảng biến thiên của hàm số y  u  x 

Bảng biến thiên của hàm số y  f  x 

Bảng biến thiên của hàm số



y  f x2  2



14




y  f x2  2

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
điểm cực tiểu.
Ví

dụ

9.

Cho

f�
 x    x  1  x  1

hàm
2

 x  3

y  f  x 3  2 x 2  5 x  3

 thì hàm số y  f  x

2

2

 có 4

số

y  f  x

và

f  3  0 . Số điểm cực trị của hàm số

3

liên

tục

trên

�

và

có

là

A. 2.

B. 4.

C. 3.

D. 5.

Lời giải
Chọn C.
Xét hàm số
Đặt

y  f  x 3  2 x 2  5 x  3

u  x   x3  2 x 2  5x  3

� u�
 x   3x 2  4 x  5  0, x �R
Bảng biến thiên của hàm số y  u  x 

Bảng biến thiên của hàm số y  f  x 

15


Bảng biến thiên của

y  f  x 3  2 x 2  5 x  3

Dựa vào bảng biến thiên của
y  f  x 3  2 x 2  5 x  3

y  f  x 3  2 x 2  5 x  3

thì hàm số

có 2 điểm cực trị.

f  x 3  2 x 2  5 x  3  0
f
3

0


Mà
nên phương trình
chỉ có một nghiệm đơn

Vậy hàm số

y  f  x 3  2 x 2  5 x  3

có 3 điểm cực trị.

Bài tốn 2: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho bảng
�
biến thiên, bảng xét dấu của f  x 
�
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm f  x  trên � và bảng biến thiên của
hàm số y  f  x  như hình vẽ.

16


Hàm

số

y  f  x  2019   2020
A. 2.

có bao nhiêu cực trị?
B. 3 .

C. 4.

D. 5.

Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số y  g  x   f  x  2019   2020 có được từ đồ thị hàm số y  f  x 
bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số y  f  x  sang phải 2019 đơn vị và lên trên

2020 đơn vị. Suy ra bảng biến thiên của hàm số y  g  x  .

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  g  x   f  x  2019   2020 suy ra hàm số
y  g  x   f  x  2019   2020 có 2 cực trị và 1 nghiệm đơn nên hàm số

y  f  x  2019   2020

có 3 điểm cựu trị.

Ví dụ 2. Cho hàm số y  f  x  có f ( 2)  0 và đạo hàm liên tục trên � và có
bảng xét dấu như hình sau

17


Hàm số

g  x   15 f   x 4  2 x 2  2   10 x 6  30 x 2
A. 2.

B. 3.

có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 5.

D. 7.

Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
Ta có

h  x   15 f   x 4  2 x 2  2   10 x 6  30 x 2

h '  x   15  4 x 3  4 x  . f �
  x 4  2 x 2  2   60 x5  60 x

4
2
2
�
� h '  x   60 x  x 2  1 �

f

x

2
x

2

x
 1�


�
�.

 x 4  2 x 2  2    x 2  1  1 �1, x ��
2

Mà

ta suy ra

f�
  x4  2 x2  2  �0, x ��.

�
nên dựa vào bảng xét dấu của f  x 

� f�

  x4  2 x2  2   x2  1  0, x ��.

x0
�
�
h�
 x   0 � 60 x  x  1  0 � �x  1
�
x 1
�
2

Bảng biến thiên của hàm số y  h  x 

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  h  x  suy ra hàm số y  h  x  có 3 điểm
cực trị.
Ta có h(0)  15 f (2)  0 nên phương trình h  x   0 có hai nghiệm đơn và 1
nghiệm bội chẵn. Vậy

y  g ( x)  h  x 

có 5 cực trị.

Ví dụ 3. Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm trên R và có bảng xét dấu hàm số
y f�
( x) như sau:
18


Hàm số



y  f x2  4x  3
A. 2 .

 có bao nhiêu điểm cực đại.
B. 3 .

C. 0 .

D. 1 .

Lời giải
Chọn B.
Đặt

u  x   x2  4 x  3

2
�
�x  4 x  3 khi x � �;1 � 3; �
u  x  � 2
 x  4 x  3 khi x � 1;3
�
Ta có:

�2 x  4 khi x � �;1 � 3; �
� u�
 x  �

�
�2 x  4 khi x � 1;3
Bảng biến thiên của hàm số y  u  x 

Bảng biến thiên của hàm số y  f  x 

19


Bảng biến thiên của hàm số



y  f x2  4x  3

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số



y  f x2  4x  3





y  f x2  4x  3

 có 3 điểm cực đại.

 thì hàm số

Ví dụ 4. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên �, có bảng xét dấu của
f�
 x  như sau

Số điểm cực trị của đồ thị hàm số
A. 7 .





y  f x 2  2 x  3  2  2021

B. 8 .

C. 11 .

là
D. 13 .

Lời giải
Chọn D
Đặt

u  x   x2  2x  3  2

2
�
�x  2 x  5 khi x � �; 3 � 1; �

u  x  � 2
 x  2 x  1 khi x � 3;1
�
Ta có:

�2 x  2 khi x � �; 3 � 1; �
� u�
 x  �
�
�2 x  2 khi x � 3;1
Bảng biến thiên của hàm số y  u  x 
20


Bảng biến thiên của hàm số
Dựa vào bảng biến thiên của



y  f x2  2x  3  2
Suy ra đồ thị hàm số





y  f x2  2x  3  2



y  f x2  2x  3  2



 có 13 điểm cực trị




y  f x 2  2 x  3  2  2021

y  f x2  2x  3  2

đồ thị hàm số
khơng thay đổi).





thì hàm số

có 13 điểm cực trị (Tịnh tiến

lên trên 2021 đơn vị thì số điểm cực trị

Ví dụ 5. Cho hàm số y  f  x  xác định và liên tục trên � và có bảng xét dấu của

f�
 x

như sau:

21


Xét hàm số g  x   e
hàm số



  2 f  x  x 1
. Gọi S là tập hợp các điểm cực trị của

2 f x 2  x 1 1

y  g 2 x 

2

. Tổng giá trị tất cả các phần tử của S là

A. 10 .

B. 7 .

C. 8 .

D. 5.

Lời giải
Chọn A
Ta có

g '  x   2  2 x  1 f '  x 2  x  1 .e



  2 x  1 f ' x 2  x  1 2 f  x  x 1 ln 2

 


2 f x 2  x 1 1

2

2 f  x 2  x 1 1
f  x 2  x 1
  2 x  1 f '  x 2  x  1 �
2.e
2
ln 2 �
�
�
�
�

Do 2.e





2 f x 2  x 1 1

2





f x 2  x 1

ln 2  0, x ��

1
�
x
�
2
�2
2x  1  0
�
x  x  1  1
g '  x   0 �  2 x  1 f '  x 2  x  1  0 � � 2
��
�
�f '  x  x  1  0
x2  x  1  1

�
�
x2  x  1  5
�
1
�
1
�
x
x


�
�
2
2
�2
�
x x0
x  1; x  0
��
��
�
�
x  1; x  2
x2  x  2  0
�
�
x  2; x  3
�

�
x2  x  6  0
�

Bảng xét dấu của

g�
 x

22


Bảng biến thiên của hàm số y  g  x 

Bảng biến thiên của hàm số u  x   2  x

Bảng biến thiên ta thấy hàm số

y  g 2 x 

23


Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số

y  g 2 x 

có 5 điểm cực trị.

Hàm số đạt cực trị tại các điểm tương ứng với

x2
x2
�
�
�
�
�2  x  0
2  x 1
x 1
�
�
�
2  x  1 � �
x3
�2  x  1 � �
�
�
�2  x  2
2 x2
x0
�
�
�
�
�
2  x  2
x4
�
�
Suy ra S   0;1;2;3;4 . Vậy tổng các phần tử của S bằng 10

Bài tốn 3: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho đồ thị
Ví dụ 1. Cho hàm số y  f  x  là một hàm đa thức có đồ thị như hình vẽ.

Số điểm cực trị của hàm số
A. 3.

y  f  x2  2 x 

là

B. 5.

C. 7.

D. 9.

Lời giải
Chọn C
24