Phương trình hàm một biến

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————————-

PHAN THỊ HỒNG THẮM

PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN

Chun ngàn: Phương pháp Tốn sơ cấp
Mã số: 8.46.01.13

TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC

Đà Nẵng - Năm 2020


Cơng trình được hồn thành tại
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Quý Mười

Phản biện 1: TS. Lê Văn Dũng
Phản biện 2: TS. Nguyễn Thành Chung

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn luận văn tốt nghiệp thạc sĩ
Toán học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 30 tháng 5 năm 2020.

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thơng tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

1

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là các hàm số. Giải phương trình hàm tức là đi
tìm các hàm số chưa biết thỏa mãn phương trình hàm và các điều kiện khác (nếu có).
Lý thuyết phương trình hàm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của
chuyên ngành Đại số và Giải tích Tốn học cũng như tốn học phổ thơng. Các dạng tốn về
phương trình hàm rất phong phú và đa dạng, bao gồm các loại phương trình tuyến tính và phi
tuyến tính, phương trình hàm với một biến số và phương trình hàm với hai hoặc nhiều biến
số,. . .
Phương trình hàm một biến là một chuyên đề quan trọng trong bồi dưỡng học sinh khá
giỏi ở bậc trung học phổ thông. Những năm gần đây, các dạng bài tốn về phương trình hàm
một biến xuất hiện ngày một nhiều hơn trong các kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia, Olympic
toán khu vực và quốc tế. Tuy nhiên, việc giảng dạy và học tập về phương trình hàm một biến
tại các trường chuyên nói riêng và các trường trung học phổ thơng nói chung cịn ít và chưa
được quan tâm, đầu tư đúng mực, làm cho học sinh và giáo viên rất khó tiếp cận về lĩnh vực
này, thậm chí cịn lúng túng trong việc giải phương trình hàm, đơi khi cịn khơng biết định
hướng khi tiếp cận phương trình hàm một biến.
Hiện nay, các tài liệu liên quan đến phương trình hàm bằng tiếng việt cũng đã có, mặc
dù khơng nhiều. Các tài liệu hiện có thường trình bày lí thuyết chung hoặc tập trung vào một
số dạng phương trình đặc biệt. Vì thế, sinh viên và giáo viên gặp nhiều khó khăn trong việc
nắm bắt, hiểu và vận dụng. Do đó, để có thể giúp học sinh dễ dàng tiếp cận về phương trình
hàm một biến, tơi chọn đề tài: “Phương trình hàm một biến”. Nội dung của luận văn nhằm
trình bày cơ sở lí thuyết, một số dạng toán và phương pháp giải cơ bản về phương trình hàm
một biến.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Luận văn tập trung nghiên cứu lí thuyết chung về phương trình hàm một biến, một số

phương trình hàm một biến đặc biệt và phương pháp giải.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận văn là phương trình hàm một biến.
3.2 Phạm vi nghiên cứu


2

Một số phương trình hàm một biến cơ bản và các phương pháp giải.
4. Phương pháp nghiên cứu
Với đề tài: “Phương trình hàm một biến” tơi đã sử dụng các phương pháp nghiên cứu
sau:
+ Nghiên cứu, sưu tầm các tài liệu tham khảo về phương trình hàm một biến.
+ Chọn lọc, phân loại, nêu phương pháp giải và đề xuất một số bài toán liên quan.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo về lý thuyết phương trình hàm một biến. Có thể sử
dụng luận văn như là tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán và các đối tượng quan
tâm đến các bài tốn về phương trình hàm một biến.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài các phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo luận văn gồm 3 chương.
Chương 1: MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN Trong chương
này luận văn nhắc lại một số khái niệm, tính chất cơ bản về hàm một biến và các kiến thức
liên quan. Đây là những khái niệm, tính chất cần thiết, được sử dụng trong các chương sau của
luận văn.
Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN Trong chương này luận văn trình bày
tổng quan về phương trình hàm, phương trình hàm một biến và một số phương pháp giải
phương trình hàm cơ bản: Phương pháp thế biến, phương pháp hệ số bất định, phương pháp
dùng hàm phụ, phương pháp tìm nghiệm riêng, phương pháp giải bằng cách lập phương trình.
Chương 3: MỘT SỐ DẠNG CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN

Trong chương này luận văn trình bày một số dạng phương trình hàm một biến cơ bản, phương
pháp cũng như các ví dụ minh họa cho các phương pháp như phương trình Abel, phương trình
Schroder, phương trình Bottcher, phuong trình giao hốn.


3

CHƯƠNG 1

MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ HÀM SỐ MỘT BIẾN

Trong chương này luận văn trình bày các khái niệm cơ bản về hàm số một biến như:
Hàm số chẵn, hàm số lẻ, hàm số tuần hoàn, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến, hàm số
liên tục, hàm số khả vi, dãy số và giới hạn của dãy số.

1.1. Hàm số một biến
Định nghĩa 1.1.1.

Cho X là một tập con khác rỗng của R. Ta gọi ánh xạ f : X →

R, x → y = f (x), là hàm số một biến số trên tập hợp X. Khi đó, x là biến số độc lập, y là đại
lượng phụ thuộc hay hàm số của x.
Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f . Tập hợp f (X) = {y ∈ R, y = f (x) : x ∈ X}
gọi là miền giá trị của f .
Nếu hàm số một biến số cho dưới dạng biểu thức: y = f (x) mà khơng nói gì thêm thì ta
hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số x làm cho biểu thức
có nghĩa.

1.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ và hàm số tuần hoàn
Xét hàm số f (x) với tập xác định D( f ) ⊂ R và tập giá trị R( f ) ⊂ R.

Định nghĩa 1.2.1.

a) Hàm số f (x) được gọi là hàm số chẵn trên M, M ⊂ D( f ) (gọi

tắt là hàm chẵn trên M) nếu
∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = f (x), ∀x ∈ M.
b) Hàm số f (x) được gọi là hàm số lẻ trên M, M ⊂ D( f ) (gọi tắt là hàm số lẻ trên M) nếu
∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = − f (x), ∀x ∈ M.
Định nghĩa 1.2.2.

a) Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hồn (nhân tính) chu kỳ a

(a ∈
/ {0, 1, −1}) trên M nếu M ⊂ D( f ) và
∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M,
f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M.
b) Hàm số f (x) được gọi là hàm tuần hồn (cộng tính) chu kỳ a (a > 0) trên M, M ⊂ D( f ),
nếu
∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M,
f (x + a) = f (x), ∀x ∈ M.
Cho f (x) là một hàm số tuần hoàn trên M. Khi đó, T (T > 0) được gọi là chu kỳ cơ sở


4

của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kỳ T mà khơng là hàm tuần hồn với bất cứ chu kỳ nào
bé hơn T.

1.3. Hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến
Định nghĩa 1.3.1 (Tính đơn điệu).

Giả sử tập K là một trong các khoảng (a, b), (a, b]

, [a, b), [a, b] và f là một hàm số xác định trên K .
* Hàm số f được gọi là đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K, x1
f (x1 )

f (x2 ) .

* Hàm số f được gọi là nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1 , x2 ∈ K, x1
f (x1 )

x2 ta có:

x2 , ta có:

f (x2 ) .

Định lý 1.3.1. Giả sử tập K là một trong các khoảng (a, b), (a, b] , [a, b), [a, b] và f là
một hàm số xác định, có đạo hàm trên K .
* Nếu f (x) > 0, ∀x ∈ K, thì hàm số y = f (x) đồng biến trên K.
* Nếu f (x) < 0, ∀x ∈ K, thì hàm số y = f (x) nghịch biến trên K.
Định lý mở rộng:
* Nếu f (x) ≥ 0, ∀x ∈ K, và f (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến
trên K.
* Nếu f (x) ≤ 0, ∀x ∈ K, và f (x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến
trên K.

1.4. Hàm số liên tục
Định nghĩa 1.4.1 (Tính liên tục tại một điểm).

Cho hàm số y = f (x) xác định trong

trong một lân cận mở của điểm x0 (lân cận phải, lân cận trái tương ứng với trường hợp hàm
liên tục phải, liên tục trái).
* Hàm số f được gọi là liên tục tại x0 nếu lim f (x) = f (x0 ) .
x→x0

* Hàm số f được gọi là liên tục phải tại x0 nếu lim+ f (x) = f (x0 ) .
x→x0

* Hàm số f được gọi là liên tục trái tại x0 nếu lim− f (x) = f (x0 ) .
x→x0

Định nghĩa 1.4.2 (Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn).
* Hàm số f được gọi là liên tục trên khoảng (a, b) nếu nó liên tục tại mọi điểm x0 ∈ (a, b) .
* Hàm số f được gọi là liên tục trên đoạn [a, b] nếu f liên tục trên khoảng (a, b) , liên tục
phải tại a và liên tục trái tại b.


5

1.5. Hàm số khả vi
Định nghĩa 1.5.1 (Đạo hàm của hàm số).

Cho hàm số f xác định trong một lân cận

(lân cận phải, lân cận trái ứng với đạo hàm phải, đạo hàm trái) của điểm x0 .
* Hàm số f được gọi là có đạo hàm (khả vi) tại điểm x0 nếu
f (x) − f (x0 )

A = lim
x→x0
x − x0
tồn tại hữu hạn và giới hạn đó được gọi là đạo hàm của f tại x0 , kí hiệu f (x0 ) = A.
* Hàm số f được gọi là có đạo hàm (khả vi) phải tại điểm x0 nếu
f (x) − f (x0 )
B = lim+
x − x0
x→x0
tồn tại hữu hạn và giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải của f tại x0 , kí hiệu f (x0+ ) = B.
* Hàm số f được gọi là có đạo hàm (khả vi) trái tại điểm x0 nếu
f (x) − f (x0 )
C = lim−
x − x0
x→x0
tồn tại hữu hạn và giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải của f tại x0 , kí hiệu f (x0− ) = C.
Định nghĩa 1.5.2 (Tính khả vi trên một khoảng, đoạn).
* Một hàm số được gọi là khả vi trong khoảng (a, b) nếu hàm số đó có đạo hàm tại mọi
điểm điểm thuộc khoảng (a, b).
* Một hàm số được gọi là khả vi trong khoảng [a, b] nếu hàm số đó có đạo hàm tại mọi
điểm điểm thuộc khoảng (a, b), có đạo hàm phải tại a và có đạo hàm trái tại b.

1.6. Dãy số, giới hạn của dãy số
Định nghĩa 1.6.1.

Dãy số là hàm số từ N∗ vào một tập hợp số (N, R, Q) hay một tập

con nào đó của các tập hợp trên. Các số hạng của dãy thường được kí hiệu un , vn , xn , yn thay vì
u(n), v(n), x(n), y(n). Bản thân dãy số được kí hiệu là {xn }
Định nghĩa 1.6.2 (Giới hạn hữu hạn).

* Ta nói dãy số (un ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cùng, nếu |un | có thể nhỏ hơn
một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Kí hiệu: lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.
n→+∞

* Ta nói dãy số (vn ) có giới hạn là a (hay vn dần tới a) khi n → +∞, nếu lim (vn − a) = 0.
n→+∞

Ký hiệu: lim vn = a hay vn → a khi n → +∞.
n→+∞


6

Định nghĩa 1.6.3 (Dãy tuần hoàn).
Dãy xn được gọi là dãy tuần hoàn nếu tồn tại một số nguyên dương k sao cho
xn+k = xn , ∀n ∈ N∗ .

(1.1)

Số nguyên dương k nhỏ nhất để dãy xn thỏa mãn (1.1) được gọi là chu kì cơ sở (cịn gọi
tắt là chu kì) của dãy.

1.7. Đặc trưng hàm của một số hàm sơ cấp
Để mơ tả bức tranh mang tính định hướng, gợi ý và dự đốn cơng thức nghiệm của các
bài tốn liên quan đến phương trình hàm, chúng ta xét một vài tính chất hàm tiêu biểu của một
số dạng hàm số quen thuộc sau:
1) Hàm tuyến tính: f (x) = ax, (a = 0) có tính chất:
f (x + y) = f (x) + f (y) với mọi x, y ∈ R.
2) Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b, (a = 0, b = 0) có tính chất:

f (x) + f (y)
x+y
=
, ∀x, y ∈ R.
f
2
2
3) Hàm mũ: f (x) = ax , (a > 0, a = 1) có tính chất:
f (x + y) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R.
4) Hàm logarit: f (x) = loga |x| , (a > 0, a = 1) có tính chất:
f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R.
5) Hàm lũy thừa: f (x) = |x|a , có tính chất:
f (xy) = f (x) f (y), ∀x, y ∈ R.
6) Hàm f (x) = sin x có tính chất:
f (−x) = − f (x) và f (3x) = 3 f (x) − 4[ f (x)]3 .
7) Hàm f (x) = cos x có tính chất:
f (−x) = f (x) , f (2x) = 2[ f (x)]2 − 1 và
f (x + y) + f (x − y) = 2 f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R.
8) Cặp hàm: f (x) = sin x và g (x) = cos x có tính chất:
f (x + y) = f (x) g (y) + f (y) g (x) , ∀x, y ∈ R,
g (x + y) = g (x) g (y) − f (x) f (y) , ∀x, y ∈ R.
9) Hàm f (x) = tan x có tính chất:
f (−x) = − f (x) và f (x + y) =

f (x) + f (y)
,
1 − f (x) f (y)


7

với x = π2 + kπ, (k ∈ Z), x + y = π2 + kπ, (k ∈ Z).
10) Hàm f (x) = cot x có tính chất:
f (−x) = − f (x) và f (x + y) =
với x = kπ, (k ∈ Z), x + y = kπ, (k ∈ Z).

f (x) f (y) − 1
,
f (x) + f (y)


8

CHƯƠNG 2

PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT BIẾN

Trong chương này, luận văn tập trung nghiên cứu phương trình hàm một biến và một số
phương pháp cơ bản để giải phương trình hàm một biến. Ở đây luận văn tập trung vào các
phương pháp giải cụ thể như sau: phương pháp thế biến, dùng hàm phụ, hệ số bất định, tìm
nghiệm riêng, giải bằng cách lập phương trình.

2.1. Phương trình hàm và giải phương trình hàm
Phương trình hàm là phương trình mà ẩn là một hoặc nhiều hàm số.
Giải phương trình hàm là tìm các hàm số thỏa mãn phương trình đó.
Cấu trúc cơ bản của một phương trình hàm gồm ba phần chính:
* Miền xác định và miền giá trị;
* Phương trình hoặc hệ phương trình hàm;
* Một số điều kiện bổ sung (tính tăng, giảm, bị chặn, liên tục, khả vi,... của hàm số).
Người ta thường phân loại phương trình hàm theo hai yếu tố chính: Miền giá trị và số biến tự

do. Trong luận văn này, chúng ta phân loại phương trình hàm dựa vào số biến tự do có mặt
trong phương trình hàm đó và chỉ giới hạn nghiên cứu các phương trình hàm một biến.

2.2. Một số phương pháp giải phương trình hàm
2.2.1. Phương pháp thế biến
Ý tưởng của phương pháp: Đối với phương trình dạng f (A) = B với A, B là các biểu
thức chứa x, trong đó A có hàm ngược, ta thường sử dụng cách đặt: Đặt A = t, suy ra biểu thức
x theo t. Tiếp theo, thay các giá trị này vào các biểu thức A, B.
Đối với phương trình dạng hàm hợp f (g(x)) = h(x), nếu g(x) có hàm ngược, người ta
thường đặt ẩn phụ g(x) = t, để xác định hàm số f (t).
Bài tốn 2.2.1.

Tìm hàm số f(x) biết
x+1
) = x + 3, x = 1.
f(
x−1

Giải.
Đặt t =

x+1
x−1

⇒ x = t+1
t−1 , ∀x = 1.

(2.1)

9
t+1
+3 =
Từ (2.1) ta suy ra f (t) = t−1

4t−2
t−1

⇒ f (x) =

4x−2
x−1 .

Thử lại ta thấy f (x) thỏa mãn u cầu bài tốn.
Vậy hàm số cần tìm là f (x) =
Bài tốn 2.2.2.

4x−2
x−1 , x

= 1.

Tìm hàm số f (x) biết
1
1
f (x − ) = x3 − 3 , ∀x = 0.
x
x

(2.2)

Giải.
Đặt u = x − 1x ⇒ u3 = x3 − 3x2 1x + 3x x12 − x13
⇒ x3 − x13 = u3 + 3x − 3x = u3 + 3(x − 1x ) = u3 + 3u.
Ta có (2.2) ⇔ f (u) = u3 + 3u.
Vậy hàm số cần tìm là f (x) = x3 + 3x, ∀x = 0.
Nhận xét 2.2.3.

Phương pháp thế biến có lẽ là phương pháp được sử dụng nhiều nhất

khi giải phương trình hàm. Từ các ví dụ trên, ta thấy rằng phương pháp thế biến có thể thực
hiện như sau:
* Thay thế biến, hoặc các bộ phận chứa biến đó trong phương trình hàm đã cho bởi các
chữ mới hoặc các biểu thức mới.
* Hoặc thế biến bằng các biểu thức để làm xuất hiện các hằng số hoặc các biểu thức cần
thiết.
* Hoặc xây dựng hàm số phụ.
2.2.2. Phương pháp dùng hàm phụ
Ý tưởng của phương pháp: Đối với phương trình dạng f (A) + f (B) = CB với A, B,C
là các biểu thức chứa x, ta thường sử giả sử miền xác định của hàm số cần tìm là D f , với mỗi
x ∈ D f ta xét dãy xác định bởi biểu thức
x1 = x; xn+1 = g(xn ), n ∈ N∗ .
Nếu dãy xn được xác định như trên tuần hồn với chu kì k, ta sẽ đưa xn+k = xn , ∀n ∈ N∗
về hệ k phương trình với k là ẩn hàm. Giải hệ này ta tìm được f (x).
Bài tốn 2.2.4.

(Philippine 2010). Tìm tất cả các hàm số f : R\{1} → R thỏa mãn
x + 2009
) = 2010.
x + f (x) + 2 f (

x−1

Giải.
Với x = 1, xét dãy x1 = x; xn+1 = g(n), trong đó g(x) =
Ta có x1 = x; x2 =

x+2009
x−1 ; x3

x+2009
x−1 .

= x. Bằng phép thay thế x lần lượt bằng x1 , x2 ta được
x1 + f (x1 ) + 2 f (x2 ) = 2010,
x2 + f (x2 ) + 2 f (x1 ) = 2010.


10

Giải hệ trên, với ẩn f (x1 ), ta được f (x1 ) =
Vậy f (x) =

2

x +2007x−6028
,
3(x−1)

Bài toán 2.2.5.

x12 +2007x1 −6028
,
3(x1 −1)

với x1 = 1

∀x ∈ R\{1}.

(Croatia 1996). Cho t ∈ (0; 1). Tìm tất cả các hàm số f : R → R liên

tục thỏa mãn điều kiện
f (x) − f (tx) + f (t 2 x) = x2 , ∀x ∈ R.
Giải.
Giả sử tồn tại hàm số f (x) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đặt g(x) := f (x) − f (tx). Dễ thấy g(x) liên tục tại x = 0 và g(0) = 0. Ngoài ra, với ∀x ∈ R, ta
có g(x) − g(tx) = x2 . Như vậy, ta có
g(x) − g(tx) = x2 ,
g(tx) − g(t 2 x) = t 2 x2 ,
..
.
g(t n−1 ) − g(t n x) = t 2(n−1) x2 .
Cộng từng vế các đẳng thức trên, rút gọn các số hạng đồng dạng và nhớ rằng t 2 = 1 ta được
1 − t 2n
.
(2.3)
g(x) − g(t n x) = x2 (1 + t 2 + t 4 + ... + t 2(n−1) ) = x2
1 − t2
Từ (2.3) cho n → +∞, do t ∈ (0; 1) nên t n → 0, t 2n → 0 và lim = g(0) = 0, ta được
x→0

1−0
x2
∀x ∈ R : g(x) − g(0) = x
⇒ g(x) =
.
1 − t2
1 − t2
Nhưng g(x) = f (x) − f (tx), nên làm tương tự trên ta được
2n
x2
2
4
2(n+1)
2 1−t
[1
+
t
+
t
+
...
+
t
]
=
x
.
f (x) − f (t n x) =
1 − t2
(1 − t 2 )2

Với mỗi x cố định, cho n → +∞ ta được:
x2
f (x) − f (0) =
.
(1 − t 2 )2
x2
⇒ f (x) =
+C, (C := f (0)).
(1 − t 2 )2
2

Dễ thấy, hàm số này thỏa mãn yêu cầu của bài toán.
Vậy f (x) =

x2
(1−t 2 )2

+C là hàm số cần tìm.

Bài tốn 2.2.6.

Tìm tất cả các hàm số f (x). Nếu biết với ∀x = −1. Ta có:
x−1
x f (x) + 2 f (
) = 1.
x+1

Giải.
Đặt Mỗi x = 1, xét dãy x1 = xn ; xn+1 = g(xn ), trong đó g(x) =

x−1
x+1 .

(2.4)


11

Ta có:

x−1
1
x+1
; x3 = − ; x4 =
; x5 = x.
x+1
x
1−x
Suy ra, dãy xn tuần hoàn với chu kỳ 4.
x1 = x; x2 =

Bằng phép thay thế x lần lượt bằng
 x1 , x2 , x3 , x4 , xta−1đưa (2.4) về hệ sau:

x1 f (x1 ) + 2 f ( x11 +1 ) = 1


x f (x ) + 2 f ( x2 −1 ) = 1
2
2

x2 +1
x3 −1
x
f
(x
)
+
2
f
(

3
3

x +1 ) = 1

x f (x ) + 2 f ( x13 −1 ) = 1.
4
4
x1 +1
Giải hệ trên, với ẩn f (x1 ) ta được:
4x12 − x1 + 1
f (x1 ) =
(x1 ∈
/ {−1; 0; 1})
5x1 (x1 − 1)
Cho x = 0 từ (2.4), suy ra 2 f (−1) = 1 hay f (−1) = 12 . Cho x = 1 từ (2.4), suy ra f (1) +
2 f (0) = 1.
Kết luận:
f (x)

 4x2 −x+1


 5x(x−1)

nếu
nếu
nếu
nếu

1
2


a


1 − 2a

x∈
/ {0; 1; −1},
x = −1,
x = 0,
x = 1; a là một hằng số cho trước.

Thử lại, ta thấy hàm số vừa tìm được thỏa mãn điều kiện bài tốn.
2.2.3. Phương pháp hệ số bất định
Ý tưởng của phương pháp: Đối với phương trình dạng f (A f (B))) + f (C) = D với
A, B,C, D là các biểu thức chứa x, ta thường dựa vào điều kiện bài toán, dự đoán dạng của

f (x), thường là f (x) = ax + b hoặc f (x) = ax2 + bx + c.
* Đồng nhất hệ số để tìm f (x).
* Chứng minh rằng mọi hệ số khác của f (x) đều khơng thỏa mãn điều kiện bài tốn.
Bài tốn 2.2.7.

Tìm f , g : R → R thỏa mãn:
2 f (x) − g(x) = f (y) − y,∀x, y ∈ R.

(2.5)

f (x)g(x) ≥ x + 1,∀x, y ∈ R.

(2.6)

Giải.
Thay x = y ∈ R vào (2.5), ta có f (x) = g(x) − x. Thay lại (2.5) ta được: g(x) = 2x + a, f (x) =
x + a. Thế hàm f vào (2.5),
 (2.6) ta được:
2x + a = 2x + a,

(x + a)(2x + a) ≥ x + 1.

(∀x ∈ R).


12

⇔ 2x2 + (3a − 1)x + a2 − 1 ≥ 0, ∀x ∈ R.
⇔ (a − 3)2 ≤ 0 ⇔ a = 3.
Vậy f (x) = x + 3; g(x) = 2x + 3.

Bài toán 2.2.8.

Cho đa thức f (x) xác định với ∀x ∈ R và thỏa mãn điều kiện:
2 f (x) + f (1 − x) = x2 , ∀x ∈ R.

Tìm

f (x)

(2.7)

Giải.
Nhận thấy vế trái của biểu thức dưới dấu f là bậc nhất: x, 1 − x vế phải là bậc hai x2 .
Vậy f (x) phải có dạng: f (x) = ax2 + bx + c.
Khi đó (2.7) trở thành: 2(ax2 + bx + c) + a(1 − x)2 + b(1 − x) + c = x2 ∀x ∈ R.
Do đó:
3ax2 + (b − 2a)x + a + b + 3c = x2 , ∀x ∈ R.


a = 13
3a = 1
⇔ b = 23
Đồng nhất các hệ số, ta thu được: b − 2a = 0


a + b + 3c = 0
c = − 13
Vậy: f (x) = 13 (x2 + 2x − 1).
Thử lại ta thấy hiển nhiên f (x) thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta phải chứng minh mọi hàm số khác f (x) sẽ khơng thỏa mãn điều kiện bài tốn.

Thật vậy giả sử còn hàm số g(x) khác f (x) thỏa mãn điều kiện bài tốn.
Do f (x) khơng trùng với g(x) nên ∃x0 ∈ R : g(x0 ) = f (x0 ).
Do g(x) thỏa mãn điều kiện bài toán nên: 2g(x) + g(1 − x) = x2 , ∀x ∈ R.
Thay x bởi x0 ta được: 2g(x0 ) + g(1 − x) = x02 .
Thay x bởi 1 − x0 ta được: 2g(1 − x0 ) + g(x0 ) = (1 − x0 )2 .
Từ hai hệ thức này ta được: g(x0 ) = 13 (x02 + 2x0 − 1) = f (x0 ).
Điều này mâu thuẫn với g(x0 ) = f (x0 ).
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là : f (x) = 13 (x2 + 2x − 1).
Nhận xét 2.2.9.

Nếu ta chỉ dự đoán f (x) có dạng nào đó thì phải chứng minh sự duy

nhất của các hàm số tìm được.
Bài tốn 2.2.10.

Hàm số y = f (x) xác định, liên tục với ∀x ∈ R và thỏa mãn điều kiện:

f ( f (x)) = f (x) + x, ∀x ∈ R.
Hãy tìm hai hàm số như thế.
Giải.
Ta viết phương trình đã cho dưới dạng:
f ( f (x)) − f (x) = x.

(2.8)

Vế phải của phương trình là một hàm tuyến tính vì vậy ta nên giả sử rằng hàm số cần tìm có


13

dạng: f (x) = ax + b.
Khi đó (2.8) trở thành: a(ax + b) + b − (ax − b) = x, ∀x ∈ R.
Hay (a2 − a)x + ab = x, ∀x ∈ R.
a2 − a = 1
Đồng nhất hệ số ta được:
ab = 0

√
5

a = 1+2
⇔
b=0

√
5

a = 1−2
∨
b=0

√
1± 5
⇒ f (x) =
x.
2
Hiển nhiên, hai hàm số trên thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài toán 2.2.11.

Hàm số f : Z → Z thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

a) f ( f (n)) = n, ∀n ∈ Z

(2.9)

b) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ Z

(2.10)

c) f ( f (n + 2) + 2) = n, ∀n ∈ Z.

(2.11)

Tìm giá trị f (1995), f (−2007).
Giải.
Cũng nhận xét và lý luận như các ví dụ trước, ta đưa đến f (n) phải có dạng: f (n) = an + b.
Khi đó điều kiện (2.9) trở thành: a2 n + ab + b = n, ∀n ∈ Z.
Đồng nhất các hệ số ta được:
a2 = 1
a=1
a = −1
⇔
∨
ab + b = 0
b=0
b = 0.
a=1
Với
ta được f (n) = n. Trường hợp này loại vì khơng thỏa mãn (2.10).

b=0
a = −1
Với
ta được f (n) = −n + b. Từ (2.11) cho n = 0 ta được b = 1.
b=0
Vậy f (n) = −n + 1.
Hiển nhiên hàm số này thỏa mãn điều kiện bài toán.
Ta phải chứng minh f (n) = −n + 1 là hàm duy nhất thỏa mãn điều kiên bài toán.
Thật vậy, giả sử tồn tại hàm g(x) khác f (n) cũng thỏa mãn điều kiện bài toán.
Từ (2.11) suy ra f (0) = g(0) = 1, f (1) = g(1) = 0.
Sử dụng điều kiện (2.9) và (2.10) ta nhận được:
g(g(n)) = g(g(n + 2) + 2), ∀n ∈ Z


14

. Do đó: g(g(g(n))) = g(g(g(n + 2) + 2)), ∀n ∈ Z. Hay
g(n) = g(n + 2) + 2, ∀n ∈ Z.

(2.12)

Giả sử n0 là số tự nhiên bé nhất làm cho: f (n0 ) = g(n0 ).
Do f (n) cũng thỏa mãn (2.12) nên ta có:
g(n0 − 2) = g(n0 ) + 2 = f (n0 ) + 2 = f (n0 − 2)
⇔ g(n0 − 2) = f (n0 − 2).

(2.13)

Mâu thuẫn với điều kiện n0 là số tự nhiên bé nhất thỏa mãn (2.13).
Vậy f (n) = g(n), ∀n ∈ N.

Chứng minh tương tự ta cũng được f (n) = g(n) với mọi n nguyên âm.
Vậy f (n) = 1 − n là nghiệm duy nhất.
Từ đó tính được f (1995) = 1 − 1995 = −1994.
f (−2007) = 1 − (−2007) = 2008.
2.2.4. Phương pháp tìm nghiệm riêng
Ý tưởng của phương pháp: Tìm nghiệm riêng của phương trình hàm đã cho, nghiên
cứu các tính chất của nghiệm riêng đó. Hiển nhiên, nghiệm cần tìm cũng phải có những tính
chất đó. Từ đó, ta có được hướng giải phương trình hàm đã cho. trước hết, nên tìm nghiệm
riêng trong lớp các hàm hằng, hàm số bậc nhất, hàm số đa thức....Nói chung, nên tìm các
nghiệm riêng trong lớp các hàm số sơ cấp, bắt đầu từ các hàm đơn giản nhất. Nên chú ý đến
các đặc trung của của các hàm số sơ cấp.
Sau khi tìm được nghiệm riêng dạng f0 (x) ta thường xét đến hàm số phụ g(x) = f (x) −
f0 (x) và xét phương trình hàm mới thu được đối với g(x).
Khi tìm nghiệm riêng, nên chú ý đến một số nhận xét sau:
Nhận xét 2.2.12.

(Điều kiện để một hàm số có đạo hàm bằng không là hàm hằng)

Cho hàm số f (x) liên tục trên [a; b], có đạo hàm f (x) trên khoảng (a; b). Khi đó
f (x) = C, ∀x ∈ [a; b] ⇔ f (x) = 0, ∀x ∈ (a; b) ,
trong đó C = f (x0 ), với x0 là một số nào đó ∈ [a; b].
Nhận xét 2.2.13.

(Điều kiện để một đa thức là hàm hằng)

Cho đa thức P(x) có bậc ≤ n. Khi đó,
1. Nếu P(x) có nhiều hơn n nghiệm thì P(x) = 0, ∀x ∈ R.
2. Nếu ∃a ∈ R, a = 0 sao cho P(x + a) = P(x), ∀x ∈ R thì P(x) = C với ∀x ∈ R.
chú ý: f ≡ C thay cho f (x) = C, ∀x ∈ D f .

15

Bài toán 2.2.14.

Cho a là hằng số a ∈ R∗ , b ∈ R. Tìm các hàm số f : R → R thỏa mãn

điều kiện
f (x + a) = f (x) + b, ∀x ∈ R.

(2.14)

Giải.
Nghiệm riêng có dạng f0 (x) = kx. Để thỏa mãn (2.14) ta phải có:
k(x + a) = kx + b
b
⇔k= .
a
Đặt f (x) := kx + g(x). Thay vào (2.14) ta được
k(x + a) + g(x + a) = kx + g(x) + b
⇔ g(x + a) = g(x), ∀x ∈ R.
Suy ra, g(x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a|. Dễ thấy, mọi hàm số dạng f (x) = g(x) + ba x,
trong đó g(x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a|, đều thỏa mãn u cầu của bài ra.
Vậy f (x) = g(x) + ba x, trong đó g(x) là hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a|, là hàm số cần tìm.
Bài tốn 2.2.15.

Cho a, b, m ∈ R, m = 1, am = 0. Tìm tất cả các hàm số f : R → R

thỏa mãn điều kiện
f (x + a) = m f (x) + b, ∀x ∈ R.

(2.15)

Giải:
Ta sẽ tìm nghiệm riêng dưới dạng f0 (x) = c.
Thay vào (2.15) được C =

b
1−m .

Đặt f (x) = C + g(x), ta được
(2.15) ⇔ C + g(x + a) = mC + mg(x) + b,
⇔ g(x + a) = mg(x).

(2.16)

Nhận xét rằng: Hàm g có tính chất biến đổi "tổng thành tích" nên ta chọn nghiệm riêng
dưới dạng hàm số mũ. Để khử hệ số m ta sẽ tìm nghiệm riêng dưới dạng g0(x) = d x . Thay vào
ta được
1

d x+a = md x ⇔ d a = m ⇔ d = m a .
x

Đặt g(x) = m a ϕ(x) ta được
(2.16) ⇔ m

x+a
a

x

ϕ(x + a) = m.m a ϕ(x) ⇔ ϕ(x + a) = ϕ(x), ∀x ∈ R.

Từ đó ta có ϕ(x) có hàm tuần hồn cộng tính chu kì |a|. Vậy
x
b
f (x) =
+ m a .ϕ(x),
1−m
với ϕ(x) là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì |a|, là hàm số cần tìm.


16

2.2.5. Phương pháp giải bằng cách lập phương trình
Ý tưởng của phương pháp: Giải tốn bằng cách lập phương trình một phương pháp
thơng dụng trong các bài tốn đại số. Ý tưởng là để tìm ra một ẩn số nào đó, ta đưa vào các ẩn
số phụ, sử dụng các dữ kiện đã cho tạo ra mối liên hện giữa các ẩn số đó (các phương trình),
tìm ra giá trị của ẩn số cần tìm. Phương pháp tương tự cũng có thể áp dụng cho các bài tốn
hình học tính tốn, các bài tốn đếm.
Bài tốn 2.2.16.

Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện

i. f (−x) = − f (x) với mọi x ∈ R.
ii. f (x + 1) = f (x) + 1 với mọi x ∈ R.
iii. f ( 1x ) =

f (x)

x2

với mọi x = 0.

Giải.
Tất cả các điều kiện đều trên một biến x. Trong trường hợp này, ta có thể dùng một chút khái
niệm về đồ thị để hiểu con đường đi đến lời giải. Ta xem các số thực như đỉnh của một đồ thị.
Đỉnh x sẽ được nối với các đỉnh x + 1, −x, 1x . Các điều kiện đề bài sẽ cho chúng ta các mối liên
hệ giữa giá trị của hàm số tại các đỉnh được nối bởi một cạnh. Nếu chúng ta tìm được một chu
trình thì một cách tự nhiên, chúng ta sẽ có một phương trình hàm (để tránh hàm số có hai giá
trị khác nhau).
Ta thử tìm một chu trình như vậy.
x → x+1 →

1
x+1

1
1
→ − x+1
→ 1 − x+1
=

x
x+1

→

x+1
x

= 1 + 1x → 1x → x.

Đặt y = f (x) thì từ chu trình ở trên, ta lần lượt có
1
y+1
1
y+1
=
,f −
=−
.
f (x + 1) = y + 1, f
2
x+1
(x + 1)
x+1
(x + 1)2
y+1
1 − (x+1)
2
x+1
x2 + 2x − y
f
.
=
x 2 =
x
( x+1
)

x2
f

1
2x − y
=
, f (x) = 2x − y.
x
x2

Từ đó suy ra y = x. Vậy f (x) = x.
Trong lý luận trên, ta cần đến điều kiện x khác 0 và -1. Tuy nhiên từ hai điều kiện f (−x) =
− f (x), f (x + 1) = f (x) + 1 ta dễ dàng suy ra f (0) = 0 và f (−1) = 1. Vậy f (x) = x là tất cả
các nghiệm của bài toán.


17

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ DẠNG ĐẶC BIỆT CỦA PHƯƠNG TRÌNH HÀM MỘT
BIẾN

Trong chương này, chúng ta xét các phương trình hàm một biến cơ bản, ta sẽ nghiên cứu
chi tiết hơn về một số bài toán và phương pháp giải đơn giản của loại bài này. Bắt đầu bằng
việc xét một kỹ thuật rất hữu ích được gọi là tuyến tính. Sau đó ta sẽ xem xét một số ví dụ về
phương trình Abel,phương trình Schroder, phương trình Bottch, phương trình giao hốn.

3.1. Một số họ phương trình hàm cơ bản
Một trong những họ phương trình hàm một biến đơn giản nhất có dạng

f (x) = f [α(x)].

(3.1)

với mọi số thực x và α : R → R là một hàm cho trước. Trường hợp f là một hàm không liên
tục thì lời giải đầy đủ sẽ được viết như dưới đây. Trước hết ta viết
α1 (x) = α(x) và αn+1 (x) = α[αn (x)].

(3.2)

với n = 1, 2, ... Để thuận lợi, ta định nghĩa α0 là hàm số xác định bởi α0 (x) = x. Ta gọi dãy
α(x), α2 (x), α3 (x), ..

(3.3)

là chu trình của x. Áp dụng liên tiếp (3.1) n lần ta có
f (x) = f [αn (x)], ∀(n).

(3.4)

Khi đó, f là hàm hằng theo biến x.
Bài tốn 3.1.1.

Tìm tất cả các hàm số f liên tục tại 0 và thỏa mãn:
f (x) = f (2017x), ∀x ∈ R.

(3.5)

Giải.
Đặt f (0) = a. Trong (3.5) thay x bởi

x
2017

ta được:
x
f (x) = f (
), ∀x ∈ R.
2017
Với mỗi x1 ∈ R, ta xây dựng dãy số {xn } như sau: xn+1 =
cấp số nhân với số hạng đầu là x1 , công bội q =

1
2017 .

(3.6)
xn
2017 , ∀n

= 1, 2, ... Khi đó {xn } là

Vậy số hạng tổng quát của dãy số này là

1 n−1
xn = ( 2017
) x1 , ∀n = 1, 2... Do đó:

lim xn = lim (

n→+∞

n→+∞

1 n−1
)
= 0.
2017

Hơn nữa, từ (3.6) ta có:
f (x1 ) = f (

x1
xn−1
) = f (x2 ) = ... = f (
) = f (xn ), ∀n = 1, 2...
2017
2017


18

Vì f liên tục tại 0 nên:
f (x1 ) = lim f (x1 ) = lim f (xn ) = f ( lim f (xn )) = f (0) = a.
n→+∞

n→+∞

n→+∞

Vậy f (x1 ) = a, ∀x1 ∈ R. Hay f là hàm hằng trên R. Thử lại thấy thỏa mãn.

3.2. Phương trình Abel
Định nghĩa 3.2.1.

Phương trình hàm dạng
f [α(x)] = f (x) + a,

(3.7)

trong đó, α là hàm cho trước được gọi là phương trình hàm Abel.
Chúng ta thường xét trường hợp đặc biệt của phương trình Abel khi a = 1, nghĩa là
f [α(x)] = f (x) + 1. Chú ý rằng, nếu f (x) là một nghiệm bất kỳ cho phương trình Abel (3.7)
thì f (x) + c (với c là hằng số tùy ý) cũng là nghiệm của phương trình Abel. Nếu hàm αn (x) là
một xấp xỉ nhân, người ta có thể biến đổi phương trình Abel về phương trình Schroder và tìm
nghiệm như trong mục trước. Ngược lại người ta có thể biến đổi hàm αn (x) bằng cách dùng
x → X + a. Trong trường hợp này đa số các công thức tường minh của phương trình hàm có
dạng phương trình hàm Abel. Giả sử ∃x0 sao cho:
αn+1 (x0 ) − αn (x0 )
= 1, ∀x.
lim n+1
n→∞ α
(x) − αn (x)

(3.8)

Thì nếu giới hạn:
αn (x) − αn (x0 )
f (x) = lim n+1
, ∀x.
n→∞ α

(x) − αn (x)

(3.9)

tồn tại, nó là một lời giải của phương trình Abel
f [α(x)] = f (x) + 1.
Bài toán 3.2.2.

Hãy xác định hàm số f : R → R sao cho
f (x + 2012) = f (x) − 5, ∀x ∈ R.

(3.10)

Giải.
Giả sử f là hàm số thỏa mãn bài tốn, khi đó ta có (3.10). Đặt:
−1
.x + g(x), ∀x ∈ R.
f (x) =
503
Khi đó thay vào (3.10), ta được
−1
−1
.(x + 2012) + g(x + 2012) =
.x + g(x) − 4, ∀x ∈ R
503
503
−x
−1
⇔
− 4 + g(x + 2012) + g(x + 2012) =

.x + g(x) − 4, ∀x ∈ R.
503
503
⇔ g(x + 2012) = g(x), ∀x ∈ R.
−1
Vậy f (x) = 503
.x + g(x), ∀x ∈ R, với g là hàm số tuần hồn chu kì 2012 trên R. Sau khi thử lại

kết luận: Hàm số cần tìm là f (x) =

−1
503 .x + g(x), ∀x

∈ R.

Trong đó, g là hàm số tuần hồn chu kì 2012 trên R, tùy ý.


19

3.3. Phương trình Schroder
Định nghĩa 3.3.1.

Ta có phương trình hàm:
f [α(x)] = s. f (x).

(3.11)

Phương trình (3.11) được gọi là phương trình hàm Schroder.

Ta chú ý rằng nếu f (x) là một lời giải bất kỳ cho phương trình Schroder f [α(x)] = s. f (x)
thì ta nhân nó với một hằng số bất kỳ (tức là k. f (x), k ∈ R) cũng là lời giải cho phương trình
Schroder. Nếu dãy αn là một cấp số nhân thì ta có tìm thấy lời giải cho phương trình Schroder.
Hàm αn (x) được gọi là xấp xỉ hình học nếu tồn tại một số s ∈ (0; 1) sao cho
αn (x)
.
(3.12)
lim
n→∞ sn
tồn tại hữu hạn và khác 0. Trong trường hợp này, ta nói rằng hàm αn (x) xấp xỉ hình học với độ
biến đổi s độc lập với x, một nghiệm của phương trình Schroder được cho bởi
αn (x)
f (x) = lim n .
(3.13)
n→∞ s
Với cách chọn đặc biệt của s mà nó có tính chất (3.12). Điều này là dễ dàng kiểm tra
bằng cách thế trực tiếp với phương trình Schroder.
Thật vậy,
αn [α(x)]
αn+1 (x)
f [α(x)] = lim
= s. lim n+1 = s. f (x).
n→∞
n→∞ s
sn
Phương pháp đặc biệt cho trong phương trình (3.13) đưa tới một lời giải mà người ta
thường gọi là thuật toán Koenigs.
Bài toán 3.3.2.

Hãy xác định hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện

f (2x) = 3 f (x) − 4, ∀x ∈ R+ .

(3.14)

Giải.
Đặt f (x) = 2 + g(x). Thế vào (3.14) ta được:
2 + g(2x) = 3(2 + g(x)) − 4,
⇔ g(2x) = 3g(x), ∀x ∈ R+ .

(3.15)

Đặt g(x) = xlog23 .h(x). Thế vào (3.15), ta được:
(2x)log23 .h(2x) = 3.xlog23 .h(x)
⇔ h(2x) = h(x), ∀x ∈ R+ .
Do x > 0 nên đặt x = 2t thì (3.16) có dạng:
h(2t+1 ) = h(2t ).

(3.16)


20

Hay
ϕ(t + 1) = ϕ(t), ∀t ∈ R.
Trong đó ϕ(t) = h(2t ). Điều này chứng tỏ hàm ϕ là hàm tuần hồn cộng tính chu kì 1.
Kết luận: Vậy f (x) = 2 + xlog2 3 ϕ log2 x, trong đó ϕ(t) là hàm số tuần hồn chu kì 1 tùy ý.

3.4. Phương trình Bottcher
Phương trình
f [α(x)] = [ f (x)] p .

(3.17)

Trong đó p = 1, được gọi là phương trình Bottcher. Với phương trình này ta quan tâm tới lớp
hàm không âm f (x).
Nếu f (x) là một nghiệm bất kỳ của phương trình Bottcher (3.17), thì [ f (x)]q cũng là
nghiệm với số mũ q bất kỳ. Phương trình Bottcher có thể theo cách tự nhiên để đưa về một
phương trình tuyến tính hóa khi hàm αn (x) được xấp xỉ như một hàm lũy thừa. Một nghiệm
của phương trình Bottcher có thể thu được nếu giới hạn
f (x) = lim [αn (x)] p−n .
n→∞

Bài toán 3.4.1.

(3.18)

Tìm hàm liên tục f : R → R thỏa mãn:
f (x2 f (x) + f (y)) = ( f (x))3 + y.

Giải.
Giả sử tồn tại y1 , y2 sao cho f (y1 ) = f (y2 )
Khi đó ta có f (x2 f (x) + f (y1 )) = f (x2 f (x) + f (y2 ))
⇒ f (x3 ) + y1 = f (x3 ) = y2 ⇒ f đơn ánh.
Ta có: x = 0, y = − f (0)3 ⇒ f ( f (− f (0)3 )) = 0. Đặt a = f (− f (0)3 ) ⇒ f (0) = 0
Thay x = a ta có: f (0) = a = f (− f (0)3 ). Dễ thấy f đơn ánh ⇒ f (0) = 0
Từ đây dễ thấy: f (x + y) = f (x) + f (y) ⇒ f (x) = ax ⇒ f (x) = x.
Thử lại f (x) = x thỏa mãn yêu cầu bài toán. Vậy f (x) = x.

3.5. Phương trình giao hốn
Phương trình giao hốn được xác định bởi:

f [α(x)] = α[ f (x)].

(3.19)

Dễ thấy rằng các hàm fn (x) = αn (x), thỏa mãn phương trình giao hốn
f [α(x)] = α[ f (x)].
với n ∈ N. Một trong những cách giải phương trình giao hốn là thơng qua một lời giải của
phương trình Schroder, Abel hay Bottcher tương ứng. Chẳng hạn, giả sử g thỏa mãn phương
trình Schroder, g[α(x)] = s.g(x), hơn nữa giả sử g là đơn ánh với hàm ngược g−1 khi đó với


21

bất kỳ hằng số c, sao cho
f (x) = g−1 [c.g(x)].

(3.20)

thỏa mãn phương trình giao hốn. Điều này được suy ra dễ dàng bằng cách dùng sự kiện g−1
thỏa mãn phương trình Poincare. Ta có:
f [α(x)] = g−1 [c.g(α(x)),
= g−1 [c.s.g(x)],
= α[g−1 (c.g(x))],
= α[ f (x)].
Nếu g thỏa mãn phương trình Able g[α(x)] = g(x) + a thì với mỗi hằng số c, hàm
f (x) = g−1 [g(x) + c].

(3.21)

thỏa mãn phương trình giao hốn. Cuối cùng, nếu g[α(x)] = [g(x)] p (phương trình Bottcher)

thì hàm
f (x) = g−1 {[g(x)]c }.

(3.22)

thỏa mãn phương trình giao hốn với mọi c.
Bài tốn 3.5.1.

Tìm tất cả các hàm số f : R → R có đạo hàm tại 0 và thỏa mãn:
f (2x) = 2( f (x)), ∀x ∈ R.

(3.23)

Giải.
Giả sử hàm số f thỏa mãn các yêu cầu đề bài. Từ (3.23) cho x = 0 được f (0) = 0. Xét hàm số
g : R → R như sau:
g(x) =

f (x)
x

khi x = 0
f (0) khi x = 0.

Với mọi x = 0, theo (3.23) ta có:
f (2x)
f (x)
=
⇔ g(2x) = g(x).
2x

x
Mặt khác:
f (x)
f (x) − f (0)
lim g(x) = lim
= lim
(do f (0) = 0) = f (0) = g(0).
x→0
x→0 x
x→0
x
Vậy hàm g liên tục tại 0. Từ (3.24) ta có:
x
x
g(x) = g( ) = ... = g( n ), ∀x = 0, ∀n = 1, 2, ...
2
2
x
Do hàm g liên tục tại 0 và lim 2n = 0, ∀x = 0 nên từ (3.25) suy ra:
n→+∞
x
x
g(x) = lim g(x) = lim g( n ) = g( lim n ) = g(0), ∀x = 0.
n→+∞
n→+∞
n→+∞ 2
2
Vì thế g(x) = f (0), ∀x ∈ R, hay g là hàm hằng. Do đó f (x) = cx, ∀x = 0.
Lại do f (0) = 0 nên f (x) = cx, ∀x ∈ R (c là hằng số). Thử lại thấy thỏa mãn.

(3.24)

(3.25)


22

Bài tốn 3.5.2.

Tìm tất cả các hàm số f : R\{−2} → R\{−2}. Thỏa mãn:
2x
2 f (x)
f(
)=
.
x+2
f (x) + 2

(3.26)

Giải.
Giả sử f (x) là hàm số thỏa mãn đề bài. Đặt t = 1x , khi đó:
2
1
1 2x
2
= 1 t =
= 0+ 1
x = 0+ ;
.

t x+2
1
+
2t
+
2
+
t
t
2

Thay vào (3.26):
2 f ( 1t )
.
= 1
f(t )+2

2
f
1 + 2t
⇔
Đặt

1
f ( 1t )

= g(t). Khi đó g(t + 12 ) = g

1
2

f ( 1+2t
)
1+2t
2

=

=

1
1
+ 1 .
2 f(t )

1
.
2
)
f ( 1+2t

(3.27)

Thay vào (3.27) ta được:

1
1
= g(t) + .
2
2
Đặt: g(t) = t + h(t). Thay vào (3.28) ta được:

1
1
1
t + + h(t + ) = t + h(t) + .
2
2
2
1
⇔ h(t + ) = h(t).
2
1
x
Vậy f (x) = g(11 ) = 1 +h(
, trong đó h(x) là hàm số tuần hồn chu kì 12 , bất kì.
1 =
xh( 1 )
)
g t+

x

x

x

x

Thử lại thấy đúng, thật vậy:
2x
f

x+2

=

2x
x+2

=

2x

2x
1 + ( x+2
).h( 1x + 12 ) x + 2 + 2xh( 1x )
2x
2 f (x)
2x
1+xh( 1x )
=
=
.
x
f (x) + 2 1+xh(
x + 2 + 2xh( 1x )
1 +2
)
x

Tất cả các hàm số thỏa mãn đề bài là f (x) =
1

2,

bất kì.

(3.28)

x
.
1+xh( 1x )

.

Trong đó h(x) là hàm tuần hồn chu kì


23

KẾT LUẬN

Dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Phạm Quý Mười cùng với sự nỗ lực học tập và
nghiêm túc nghiên cứu của bản thân, các kết quả chính của luận văn "Phương trình hàm một
biến" đã được trình bày theo hệ thống sau:
1. Hệ thống hóa lại các kiến thức về hàm số chẵn, hàm số lẽ, hàm số tuần hồn, hàm số
đồng biến, nghịch biến, tính liên tục, tính khả vi của hàm số
2. Luận văn trình bày một số phương pháp giải phương trình hàm một biến. Trong mỗi
phương pháp, tác giả đã cố gắng chọn lọc, sưu tầm các bài tốn trong các kì thi học sinh
giỏi quốc gia, khi vực, quốc tế và các bài tốn trong tạp chí tốn học tuổi trẻ để minh họa
cho từng phương pháp giải. Qua đó giúp học sinh dễ nắm bắt được từng phương pháp,
vận dụng thực hành để ứng dụng trong việc giải phương trình hàm một biến.
3. Luận văn trình bày một vài phương pháp và kỹ thuật giải quyết các bài tốn phương trình

hàm một biến cơ bản như: Phương trình hàm, phương trình hàm giao hốn, phươn trình
hàm Schroder, phương trình hàm Abel, phương trình hàm Bottcher.
Luận văn là một tài liệu rất bổ ích cho các bạn học sinh, sinh viên tham khảo cho các kì thi
Olympic, quốc gia, quốc tế.
Luận văn được trình bày rõ ràng, đi sâu phân tích nhằm giúp người đọc có cái nhìn tổng qt.
Tuy nhiên, do hạn chế của bản thân chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót, vẫn cịn nhiều
vấn đề mà tác giả chưa nghiên cứu rất mong nhận được sự nhận xét và góp ý chân thành từ
q thầy cơ cũng như đọc giả để đề tài được hoàn thiện hơn.