Rèn luyên kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối

MỤC LỤC

I. ĐẶT VẤN ĐỀ……...………………………………………….… 1
II. NỘI DUNG.....………………….………………………………. 1
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm …….…………....... 1
2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh
nghiệm …………………………………………………….. 5
3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề………………… 5
3.1. Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm
số………………………………………………………… 5
3.2. Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài
toán cực trị của hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối.. 5
3.3. Các dạng bài toán ……………………………………….

6

Bài toán 1: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt

y = f ′( x )

6
đối khi cho hàm số
……………………………… 15
Bài tốn 2: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt
31
f ′( x )
đối khi cho bảng biến thiên, bảng xét dấu của
……... 30
30
Bài tốn 3: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt
đối khi cho đồ thị ………………………………………...

22

4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm ………………………..
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ……………………………………
Tài liệu tham khảo …………………………………………………

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1


Mỗi giáo viên dạy tốn ở trường THPT ln trăn trở, suy nghĩ tìm mọi biện
pháp tối ưu để truyền đạt cho học sinh những kiến thức cơ bản cốt lõi nhất để giúp
các em đáp ứng chuẩn kiến thức kỹ năng và làm bài thi một cách trôi chảy, giúp
học sinh luyện thi vào các trường Đại học có kết quả tốt nhất.
Trong các kì thi THPT quốc gia những năm gần đây và năm 2020 gọi là kì
thi Tốt nghiệp THPT, bài tốn tìm cực trị của hàm số là một dạng bài toán thường
gặp trong các đề thi THPT quốc gia mơn Tốn với các mức độ từ dễ đến khó, trong
đó bài tốn tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường xuất hiện trong
các đề thi tương đối khó. Vì vậy để giải được dạng tốn này chúng ta cần tìm hiểu
bản chất, phân loại các bài toán cũng như xây dựng phương pháp tư duy giải toán
đặc trưng cho loại tốn. Với tình hình ấy để giúp học sinh định hướng tốt hơn trong
q trình giải bài tốn tìm cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối, người giáo
viên cần tạo cho học sinh thói quen xem xét bài tốn dưới nhiều góc độ, biết khai
thác các giả thiết của bài tốn để tìm lời giải. Trong đó việc hình thành cho học
sinh khả năng tư duy, biết phân loại theo các dạng tốn để tìm phương pháp giải là
một điều cần thiết. Việc trải nghiệm qua q trình giải tốn sẽ giúp học sinh hồn
thiện kỹ năng định hướng và giải toán.
Với mong muốn sẽ giúp các em học sinh, đặc biệt là đối tượng học sinh học
ở mức độ khá, giỏi kể cả trung bình có thể giải được các bài tốn về cực trị của

hàm số chứ dấu giá trị tuyệt đối một cách trơi chảy, có đáp án chính xác và nhanh
thơng qua việc biết phân loại bài tốn và tìm phương pháp giải, tôi đã chọn đề tài
"Rèn luyên kỹ năng cho học sinh giải bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá
trị tuyệt đối"
Trong đề tài này tôi không có tham vọng nêu ra phương pháp để giải được tất
cả các bài toán cực trị của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối mà chỉ mạnh dạn nêu
lên một số phương pháp mà chúng tôi đã áp dụng trong q trình giảng dạy và ơn
thi cho học sinh. Coi đó là kinh nghiệm qua một số ví dụ minh hoạ, với mong
muốn góp phần tạo ra và phát triển phương pháp dạy học toán học đạt hiệu quả cao
hơn qua các bài giảng.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm:
1.1. Cực trị của hàm số
a. Định nghĩa

2


Cho hàm số

y = f ( x)

xác định và liên tục trên khoảng
x0 ∈ (a; b)
+∞
) và điểm
.

+) Nếu tồn tại số

(có thể

a

là

−∞ b
; là

x ≠ x0

h>0

f ( x ) < f ( x0 )

x ∈ ( x0 − h; x0 + h)

h>0

f ( x ) > f ( x0 )

x ∈ ( x0 − h; x0 + h)

sao cho
với mọi
y = f ( x)
x0
thì ta nói hàm số
đạt cực đại tại .
+) Nếu tồn tại số

( a; b )

sao cho

với mọi

và

và

x ≠ x0

y = f ( x)
x0
thì ta nói hàm số
đạt cực tiểu tại .
* Chú ý
y = f ( x)
x0
x0
+) Nếu hàm số
đạt cực đại (cực tiểu) tại
thì
được gọi là điểm cực
f ( x0 )
đại (điểm cực tiểu) của hàm số;
được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu)
fCÐ ( fCT )
M ( x0 ; f ( x0 ))

của hàm số, kí hiệu là
, cịn điểm
được gọi là điểm cực đại
(điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.
+) Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực
đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của
hàm số.
b. Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị
y = f ( x)
x0
* Định lí 1: Giả sử hàm số
đạt cực trị tại điểm . Khi đó nếu hàm số
y = f ( x)
x0
f ′( x0 ) = 0
có đạo hàm tại
thì
.
c. Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị
y = f ( x)
K = ( x0 − h; x0 + h)
* Định lí 2: Giả sử hàm số
liên tục trên
và có đạo
K \ {x0 }
h>0
K
hàm trên
hoặc trên
, với

.
f '( x ) > 0
( x0 − h; x0 )
f '( x) < 0
( x0 ; x0 + h)
x0
+) Nếu
trên khoảng
và
trên
thì
là
y = f ( x)
một điểm cực đại của hàm số
.
f ′( x ) < 0
( x0 − h; x0 )
f ′( x ) > 0
( x0 ; x0 + h)
x0
+) Nếu
trên khoảng
và
trên
thì
là
y = f ( x)
một điểm cực tiểu của hàm số
.
Minh họa bằng bảng biến thiến

3


* Chú ý
+) Giá trị cực đại (cực tiểu)

y = f ( x)

f ( x0 )

của hàm số
nói chung khơng phải là
y = f ( x)
giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số
trên tập xác định của nó.
+) Hàm số chỉ có thể đạt cực trị tại các điểm mà tại đó đạo hàm của hàm số bằng
x0
0
hoặc hàm số khơng có đạo hàm. Ngược lại, đạo hàm có thể bằng tại điểm
x0
nhưng hàm số không đạt cực trị tại điểm .
y = f ( x)
* Định lí 3: Giả sử hàm số
có đạo hàm cấp hai trong khoảng
K = ( x0 − h; x0 + h)
h>0
với
. Khi đó:
f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) > 0
x0

+) Nếu
thì
là điểm cực tiểu.
f ′ ( x0 ) = 0, f ′′ ( x0 ) < 0
x0
+) Nếu
thì
là điểm cực đại.

0

1.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
a. Định nghĩa:
+) Hàm số
và

y = f ( x)

với tập xác định

D

gọi là hàm số chẵn nếu

∀x ∈ D

thì

−x ∈ D

f ( −x ) = f ( x)

+) Hàm số

y = f ( x)

với tập xác định

D

gọi là hàm số lẻ nếu

∀x ∈ D

thì

−x ∈ D

và

f ( −x) = − f ( x)
b. Đồ thị của hàm số chẵn, hàm số lẻ.
Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng
4


Đồ thị của hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng
1.3. Một số hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối thường gặp và cách vẽ đồ thị của
các hàm số đó

a. Hàm số

Ta có:

y = f ( x)

 f ( x ) khi f ( x ) ≥ 0
y = f ( x) = 
− f ( x ) khi f ( x ) < 0

Nhận xét: Hàm số

y = f ( x)

luôn nhận giá trị không âm

Cách vẽ đồ thị:
+> Vẽ đồ thị

( C1 )

+> Gọi
+> Gọi

qua trục

của hàm số

( C)

.

y = f ( x)

Nhận xét: Đồ thị hàm số

Ta có:

( C)

là phần đồ thị đối xứng với phần nằm phía dưới trục hồnh của

+> Vậy đồ thị hàm số

b. Hàm số

y = f ( x)

là phần đồ thị nằm phía trên trục hồnh của

( C2 )
Ox

( C)

gồm

y = f ( x)

( C1 )

và

( C2 )

ln nằm trên trục hồnh

y= f ( x)

 f ( x ) khi x ≥ 0
y= f ( x) =
 f ( − x ) khi x < 0

5


y= f ( x)

Nhận xét: Hàm số

là hàm số chẵn

Cách vẽ đồ thị:
+> Vẽ đồ thị
+> Gọi
+> Gọi

( C1 )

( C)

của hàm số

là phần đồ thị nằm phía bên phải trục tung của

( C2 )

là phần đồ thị đối xứng với

+> Vậy đồ thị hàm số

y= f ( x)

Nhận xét: Đồ thị hàm số

c. Hàm số

y = f ( x)

gồm

y= f ( x)

( C1 )

( C1 )

qua trục

và

Oy

( C)

.

( C2 )

nhận trục tung làm trục đối xứng

y= f ( x)

Cách vẽ đồ thị:
Cách 1:
+> Vẽ đồ thị

( C)

+> Từ đồ thị

của hàm số

( C)

y = f ( x)

của hàm số

y = f ( x)

ta suy ra đồ thị

( C1 )

của hàm số

y = f ( x) = g ( x)

+> Từ đồ thị

( C1 )

của hàm số

y = f ( x) = g ( x)

ta suy ra đồ thị

( C2 )

của hàm số

y = g( x ) = f ( x )

Cách 2:

6

+> Vẽ đồ thị

( C)

+> Từ đồ thị

của hàm số

( C)

y = f ( x)

của hàm số

y = f ( x)

ta suy ra đồ thị

( C1 )

của hàm số

y = f ( x ) = h( x)

+> Từ đồ thị

( C1 )

của hàm số

y = f ( x ) = h( x)

ta suy ra đồ thị

( C2 )

của hàm số

y = h( x) = f ( x )

2. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm:
Với xu thế giáo dục phát triển năng lực học sinh một cách toàn diện, và đổi
mới thi cử, đánh giá của ngành giáo dục, đặc biệt là việc thi và đánh giá năng lực
học sinh bằng phương pháp thi trắc nghiệm. Yêu cầu số lượng câu hỏi lớn, nội
dung thi phủ rộng cả chương trình học. Vì vậy việc làm phong phú hệ thống câu
hỏi và bài tập là điều hết sức cần thiết. Với bài tốn tìm cực trị của hàm số khi xuất
hiện trong các đề thi ở mức độ 1 và mức độ 2 học sinh thường đi theo các bước của
quy tắc tìm cực trị của hàm số, nhưng với những bài tốn tìm cực trị của hàm số ở
mức độ khó hơn nếu chỉ áp dụng quy tắc tìm cực trị thì học sinh thường lúng túng,
cách giải quyết vấn đề dài dòng, mất thời gian. Trong nhiều trường hợp bài làm sẽ
rơi vào bế tắc khơng giải được. Đặc biệt các bài tốn tìm cực trị của hàm số chứa
dấu giá trị tuyệt đối và điều đó càng bất lợi khi các bài kiểm tra thi cử dưới dạng
trắc nghiệm: số lượng câu hỏi nhiều, thời gian làm bài bị rút ngắn lại.
Chính vì lẽ đó tơi đã tìm tịi nghiên cứu để phân loại các bài tốn tìm cực trị
của hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và áp dụng các phương pháp đó vào giảng
dạy ơn thi THPT Quốc gia và ôn thi tốt nghiệp THPT hiện nay và bồi dưỡng học
sinh khá giỏi, học sinh dự thi học sinh giỏi trường, giỏi tỉnh. Dưới đây là một số
phương pháp cụ thể.
3. Các giải pháp sử dụng để giải quyết vấn đề
3.1. Một số dấu hiệu nhận biết nhanh về số cực trị của hàm số

7


y = f ( x)

+> Số điểm cực trị của hàm đa thức
f ′( x ) = 0
số nghiệm bội lẻ của phương trình
+> Số điểm cực trị của hàm số
của hàm số

y = f ( x)

số

bằng 2 lần số điểm cực trị dương

cộng với 1.

+> Số điểm cực trị của hàm số

y = f ( x)

y= f ( x)

bằng tổng số nghiệm đơn và

y = f ( x)

bằng tổng số điểm cực trị của hàm

với số nghiệm đơn và số nghiệm bội lẻ của phương trình

f ( x) = 0

.

3.2. Phương pháp ghép bảng biến thiên để giải nhanh các bài tốn cực trị của
hàm số hợp có chứa dấu giá trị tuyệt đối
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

y = f ( u ( x) )

Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số

u = u ( x)

và

y = f ( x)

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa
và

u

với

x

với

u ( x)

f ( u)

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận
3.3. Các dạng bài tốn
Bài tốn 1: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho hàm số
y = f ′( x )
Bài toán 1.1: Sử dụng các tính chất 3.1 để giải nhanh các bài toán cực trị.
f ′( x ) = 0
xi ( i = 1,2,..., n )
+> Giải phương trình
. Xét xem các nghiệm
của phương
trình là nghiệm đơn, nghiệm bội lẻ, nghiệm bội chẵn.

+> Sử dụng các tính chất ở mục 3.1 để kết luận.

8


Ví dụ 1. Cho hàm số
của hàm số
A.

y= f ( x)

4

y = f ( x)

f ′ ( x ) = ( x − 1)

có

2

( x + 1) ( x − 2 )

3

. Số điểm cực trị

là.

.

B.

3

.

C.

2

.

D.

5

.

Lời giải
Chọn B

Ta có

 x = −1
f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = 1
 x = 2

Trong đó:
+>
+>

x =1

f ′( x )

là nghiệm bội 2 nên

x = −1

là nghiệm đơn và

x = −1; x = 2

điểm
trị dương.

Do
khi
có 3 điểm cực trị.
Ví dụ 2. Cho hàm số

A.

4

x>0

.

có

x =1

⇒ f ′( x )

đổi dấu khi qua 2

có 2 điểm cực trị trong đó có 1 điểm cực

y= f ( x)

và hàm

y = f ( x)

y= f ( x)

là nghiệm bội 3

y = f ( x)

nên hàm số

f ( x ) = f ( x)

trị của hàm số

x=2

không đổi dấu khi qua

là hàm chẵn nên hàm số

f ′ ( x ) = x ( 3x − 4 ) ( x + 1)

4

( x − 3)

y= f ( x)

3

. Số điểm cực

là.
B.

3

.

C.

2

.

D.

5

.

Lời giải
Chọn D

9

x = 0
 x = −1

f ′( x ) = 0 ⇔ 
4
x = 3

 x = 3

Ta có

Trong đó:
+>

x = −1

là nghiệm bội 4 nên

x = 0; x =
+>

f ′( x )

4
3

là nghiệm đơn và

4
x = 0; x = ; x = 3

3

điểm
cực trị dương.

f ( x ) = f ( x)

Do
khi
có 5 điểm cực trị.
Ví dụ 3. Cho hàm số
cực trị của hàm số
A. 0.

x=3

nên hàm số

x>0

là nghiệm bội 3

y = f ( x)

và hàm

y = f ( x)

y= f ( x)

không đổi dấu khi qua

⇒ f ′( x )

đổi dấu khi qua 3

có 3 điểm cực trị trong đó có 2 điểm

y= f ( x)

có đạo hàm

x =1

là hàm chẵn nên hàm số

f ′ ( x ) = −3x ( x − 3)

2

(x

2

y= f ( x)

+ 2) .

Số điểm

là:
B. 1.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Chọn B
f ′ ( x ) = 0 ⇔ − 3 x ( x − 3)

Ta có:

f ′( x )

Do
x=0

2

(x

2

x = 0
+ 2) = 0 ⇔ 
x = 3

chỉ đổi dấu khi đi qua điểm

x=0

.

nên hàm số

y = f ( x)

có 1 điểm cực trị

.

10


Mà

f ( x ) = f ( x)

có 1 điểm cực trị

nếu
x=0

x≥0

Hàm số

là hàm số chẵn nên hàm số

y= f ( x)

.

Ví dụ 4. Cho hàm số

y = f ( x)

và

y= f ( x)

y = f ( x)

có đạo hàm

f ′ ( x ) = ( x 3 − 3x ) ( 4 x 2 − 1) ( x 2 + 1)

.

có nhiều nhất bao nhiêu điểm cực trị?

A. 5.

B. 6.

C. 12.

D. 11.

Lời giải
Chọn D

Ta có:


x = 0

f ′ ( x ) = 0 ⇔ ( x3 − 3 x ) ( 4 x 2 − 1) ( x 2 + 1) = 0 ⇔  x = ± 3

1
x = ±

2

Bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số

f ( x) = 0

.

y = f ( x)

có 5 điểm cực trị và phương trình

có tối đa 6 nghiệm phân biệt.

Do đó hàm số

y = f ( x)

Ví dụ 5. Cho hàm số

có tối đa

y = f ( x)

5 + 6 = 11

điểm cực trị.

có đạo hàm
11


f ' ( x ) = ( x − 3)

2

( x + 2 )  mx2 − 2 ( m − 1) x + 5

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số
cực trị?
A.

6

.

m < 15

B. 7.

với mọi

để hàm số

C.

8

x∈R

y= f ( x)

.

.
có

D.

9

5

điểm

.

Lời giải
Chọn C
Do tính chất đối xứng qua trục

y= f ( x)

có

5

Oy

của đồ thị hàm số

điểm cực trị khi hàm số

y = f ( x)

có

y= f ( x)
2

nên hàm số

điểm cực trị dương.

Ta có:
f ' ( x ) = ( x − 3)

2

( x + 2 ) mx 2 − 2 ( m − 1) x + 5 = 0

( x − 3 ) 2 = 0
x = 3


⇔ x + 2 = 0
⇔  x = −2
 2
mx 2 − 2 ( m − 1) x + 5 = 0

 mx − 2 ( m − 1) x + 5 = 0

Do

x=3

là nghiệm bội 2 và

x = −2

điểm cực trị dương khi phương trình
phân biệt.

là nghiệm đơn âm nên hàm số
mx 2 − 2 ( m − 1) x + 5 = 0

y = f ( x)

có

2

có hai nghiệm dương

m ≠ 0
m ≠ 0
 '
2



7−3 5  7+3 5
∆ = m − 7m + 1 > 0 
m
∈
−∞
;
∪
;
+
∞

÷


÷


2
2
⇔  S = 2 ( m − 1) > 0
⇔

 

m

m ∈ −∞;0 ∪ 1; +∞
(
) (
)


5
P = > 0
m ∈ ( 0; +∞ )

m

7+3 5

⇔ m∈
;+ ∞ ÷
2




12


Giá trị nguyên của tham số

m ∈ { 7;8;9;10;11;12;13;14}

m < 15

f ( 0) = m
y = f ( x)

S

. Gọi
có
A.

5

30

có

5

điểm cực trị là:

.

Số giá trị nguyên của tham số

m < 15

y = f ( x)

Ví dụ 6. Cho hàm số

để hàm số

y= f ( x)

để hàm số

liên tục trên

y= f ( x)

¡

, biết

có

5

điểm cực trị là

f ′ ( x ) = x ( x − 3) ( x + 1)

là tập hợp các giá trị nguyên của tham số

điểm cực trị. Tổng tất cả các phần tử của
.

B.

465

.

C.

456

S
.

m

8

.

2

và

để hàm số

bằng
D.

466

.

Lời giải
Chọn B

f ′ ( x ) = x ( x − 3) ( x + 1) = x 4 − x 3 − 5 x 2 − 3x
2

Ta có

1
1
5
3
f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( x 4 − x 3 − 5 x 2 − 3 x ) dx = x 5 − x 4 − x 3 − x 2 + C
5
4
3
2

vì

,

f ( 0) = m ⇒ C = m

Nên

1
1
5
3
f ( x ) = x5 − x 4 − x3 − x 2 + m
5
4
3
2

TXĐ:

D=¡

x = 0
f ′ ( x ) = x ( x − 3) ( x + 1) ⇒ f ′ ( x ) = 0 ⇔  x = −1

 x = 3
2

Bảng biến thiên của hàm

y = f ( x)

13


Từ bảng biến thiên ta thấy để hàm số
số

y = f ( x)

cắt trục hồnh tại

3

y = f ( x)

có

5

điểm cực trị thì đồ thị hàm

điểm phân biệt. Khi đó ta có

m > 0

⇔ 0 < m < 30,15

603
m
−
<

0

20
Vì

m

ngun nên

m ∈ { 1;2;3;4;...;30}

Vậy tổng các phần tử của

S

. Suy ra

S = { 1;2;3;4;...;30}

1 + 2 + 3 + ... + 30 =

bằng

30 ( 30 + 1)
= 465
2

Bài toán 1.2: Sử dụng phương pháp ghép bảng biến thiên kết hợp với các tính
chất 3.1 để giải nhanh các bài tốn cực trị.
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

y = f ( u ( x) )

Bước 2: Lập bảng biến thiên của các hàm số

u = u ( x)

và

y = f ( x)

Bước 3: Lập bảng biến thiên tổng hợp xét sự tương quan giữa
với

x

với

u ( x)

và

u

f ( u)

14


Trong đó:

a1 a2
an−1 an ( a1 < a2 < ... < an −1 < an )
+> , , …,
,
là các điểm biên của tập xác định

u = u ( x)

D, là các điểm cực trị của hàm số
nghiệm của phương trình

u ( x) = 0

, hay

+> Ở dịng thứ 2 ta điền các giá trị
hoặc
đó

( ui+1; ui )

f ( x)

,

điền các số

f ′( x )

. (Nếu

u = u( x )

(

ui = u ( ai ) , i = 1, n

của

)

. Trên mỗi khoảng

( ui ; ui+1 )

b1 b2
bk
b1 b2
bk
, , …, , trong đó , , …,
là các điểm mà tại

không xác định; là các điểm cực trị của hàm số

+> Ở dòng 3 xét chiều biến thiên của hàm số
thiên

thì cịn có thêm

thì cịn có thêm số 0)

dùng mũi tên để thể hiện chiều biến thiên của hàm số

y = f ( x)

u = u ( x)

bằng cách hoán đổi

u

y = f ( x)

. Có thể

u = u ( x)

g = f ( u ( x) )

đóng vai trị của

x

và

dựa vào bảng biến
f ( u)

đóng vai trị

f ( x)

g = f ( u ( x) )

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
để kết luận. (Kết hợp
với các tính chất 3.1 để có kết luận thỏa mãn u cầu bài tốn đặt ra)
Ví dụ 7. Cho hàm số
tiểu của hàm số
A.

4

y = f ( x)

y= f ( x)

có

f ′ ( x ) = x 2 ( 1 − x ) ( x − 3) ( x − 2 )

3

. Số điểm cực

là.

.

B.

3

.

C.

2

.

D.

5

.

Lời giải
Chọn B.
Đặt

u ( x) = x

Bảng biến thiên của hàm số

y = u ( x)
15


Ta có:

x = 0
x =1
3
2
f ′ ( x ) = 0 ⇔ x ( 1 − x ) ( x − 3) ( x − 2 ) = 0 ⇔ 
x = 2

x = 3

Bảng biến thiên của hàm số

Bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

y= f ( x)

16


Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
cực tiểu.
Ví dụ 8. Cho hàm số

(

y = f x2 − 2
Hàm số

y = f ( x)

)

y= f ( x)

thì hàm số

xác định và liên tục trên

¡

y= f ( x)

, có

có 3 điểm

f '( x ) = x 2 − 1

.

có bao nhiêu điểm cực tiểu ?

A. 2.

B. 5.

C. 7.

D. 4.

Lời giải
Chọn D.
Đặt

u ( x ) = x2 − 2

Ta có:

(
(

 x 2 − 2 khi x ∈ −∞; − 2  ∪  2; +∞
 

u ( x) = 
2
− x + 2 khi x ∈ − 2; 2


(
(

)

) (
)

2 x khi x ∈ −∞; − 2 ∪


⇒ u′ ( x ) = 
−2 x khi x ∈ − 2; 2


2; +∞

)

)

Bảng
biến
thiên
của
hàm số

y = u ( x)

17


Bảng biến thiên của hàm số

y = f ( x)

(

y = f x2 − 2
Bảng biến thiên của hàm số

)
(

y = f x2 − 2
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
điểm cực tiểu.
Ví

dụ

9.

Cho

f ′ ( x ) = ( x + 1) ( x − 1)

hàm
2

( x − 3)

y = f ( x 3 − 2 x 2 + 5 x − 3)
A. 2.

số
3

và

y = f ( x)
f ( 3) > 0

)

(

y = f x2 − 2
thì hàm số

liên

tục

trên

¡

)

và

có 4

có

. Số điểm cực trị của hàm số

là
B. 4.

C. 3.

D. 5.

Lời giải
Chọn C.
Xét hàm số

y = f ( x 3 − 2 x 2 + 5 x − 3)

18


Đặt

u ( x ) = x3 − 2 x 2 + 5x − 3

⇒ u′ ( x ) = 3 x 2 − 4 x + 5 > 0, ∀x ∈ R
Bảng biến thiên của hàm số

Bảng biến thiên của hàm số

Bảng biến thiên của

y = u ( x)

y = f ( x)

y = f ( x 3 − 2 x 2 + 5 x − 3)

19


Dựa vào bảng biến thiên của
y = f ( x 3 − 2 x 2 + 5 x − 3)

Mà

f ( 3) > 0

Vậy hàm số

y = f ( x 3 − 2 x 2 + 5 x − 3)

thì hàm số

có 2 điểm cực trị.

nên phương trình

f ( x 3 − 2 x 2 + 5 x − 3) = 0

y = f ( x 3 − 2 x 2 + 5 x − 3)

chỉ có một nghiệm đơn

có 3 điểm cực trị.

Bài tốn 2: Tìm cực trị của hàm số chứa dấu giái trị tuyệt đối khi cho bảng

f ′( x )
biến thiên, bảng xét dấu của
Ví dụ 1. Cho hàm số
hàm số

Hàm số

y = f ( x)

y = f ( x)

có đạo hàm

2.

trên

¡

và bảng biến thiên của

như hình vẽ.

y = f ( x − 2019 ) + 2020
A.

f ′( x )

có bao nhiêu cực trị?

3
B. .

C.

4.

D.

5.

Lời giải
Chọn B
Đồ thị hàm số

y = g ( x ) = f ( x − 2019 ) + 2020

bằng cách tịnh tiến đồ thị hàm số

2020

y = f ( x)

có được từ đồ thị hàm số

sang phải

đơn vị. Suy ra bảng biến thiên của hàm số

2019

y = f ( x)

đơn vị và lên trên

y = g ( x) .

20


Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
y = g ( x ) = f ( x − 2019 ) + 2020

y = f ( x − 2019 ) + 2020

y = g ( x ) = f ( x − 2019 ) + 2020

suy ra hàm số

có 2 cực trị và 1 nghiệm đơn nên hàm số

có 3 điểm cựu trị.

y = f ( x)
f ( −2) = 0
¡
Ví dụ 2. Cho hàm số
có
và đạo hàm liên tục trên
và có

bảng xét dấu như hình sau

Hàm số

g ( x ) = 15 f ( − x 4 + 2 x 2 − 2 ) − 10 x 6 + 30 x 2
A. 2.

B. 3.

có bao nhiêu điểm cực trị?
C. 5.

D. 7.

Lời giải
Chọn C
Xét hàm số
Ta có

h ( x ) = 15 f ( − x 4 + 2 x 2 − 2 ) − 10 x 6 + 30 x 2

h ' ( x ) = 15 ( −4 x 3 + 4 x ) . f ′ ( − x 4 + 2 x 2 − 2 ) − 60 x 5 + 60 x

⇒ h ' ( x ) = −60 x ( x 2 − 1)  f ′ ( − x 4 + 2 x 2 − 2 ) + x 2 + 1

.

21

− x 4 + 2 x 2 − 2 = − ( x 2 − 1) − 1 ≤ −1, ∀x ∈ ¡
2

Mà

ta suy ra

f ′ ( − x 4 + 2 x 2 − 2 ) ≥ 0, ∀x ∈ ¡

nên dựa vào bảng xét dấu của

f ′( x )

.

⇒ f ′ ( − x 4 + 2 x 2 − 2 ) + x 2 + 1 > 0, ∀x ∈ ¡

.

x = 0
h′ ( x ) = 0 ⇔ −60 x ( x 2 − 1) = 0 ⇔  x = −1
 x = 1
Bảng biến
của hàm số
y = h( x)

thiên

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số
cực trị.

Ta có

h(0) = 15 f (−2) = 0

nghiệm bội chẵn. Vậy
Ví dụ 3. Cho hàm số
y = f ′( x)
như sau:

y = h( x)

nên phương trình

y = g ( x) = h ( x )
y = f ( x)

có

5

suy ra hàm số
h( x) = 0

y = h( x)

có 3 điểm

có hai nghiệm đơn và 1

cực trị.

có đạo hàm trên

R

và có bảng xét dấu hàm số

22


(

y = f x2 − 4x + 3
Hàm số
A.

2

)

.

có bao nhiêu điểm cực đại.
B.

3

.

C.

0

.

1
D. .

Lời giải
Chọn B.
Đặt

u ( x ) = x2 − 4 x + 3

Ta có:

 x 2 − 4 x + 3 khi x ∈ ( −∞;1] ∪ [ 3; +∞ )
u ( x) =  2
 − x + 4 x − 3 khi x ∈ ( 1;3)

2 x − 4 khi x ∈ ( −∞;1) ∪ ( 3; +∞ )
⇒ u′ ( x ) = 
−2 x + 4 khi x ∈ ( 1;3)
Bảng biến thiên của hàm số

Bảng biến thiên của hàm số

y = u ( x)

y = f ( x)

(

y = f x2 − 4x + 3
Bảng biến thiên của hàm số

)
23


(

y = f x2 − 4x + 3
Dựa vào bảng biến thiên của hàm số

(

y = f x2 − 4x + 3

)

)

thì hàm số

có 3 điểm cực đại.

Ví dụ 4. Cho hàm số
f ′( x )
như sau

y = f ( x)

¡

xác định và liên tục trên

(

)

, có bảng xét dấu của

y = f x 2 + 2 x − 3 − 2 + 2021
Số điểm cực trị của đồ thị hàm số
A.

7

.

8
B. .

C.

11

.

là
D.

13

.

Lời giải
Chọn D
Đặt

u ( x ) = x2 + 2x − 3 − 2

Ta có:

 x 2 + 2 x − 5 khi x ∈ ( −∞; −3] ∪ [ 1; +∞ )
u ( x) =  2
− x − 2 x + 1 khi x ∈ ( −3;1)

2 x + 2 khi x ∈ ( −∞; −3) ∪ ( 1; +∞ )
⇒ u′ ( x ) = 
−2 x − 2 khi x ∈ ( −3;1)
24


Bảng
thiên
hàm số

biến

của

y = u ( x)

(

y = f x2 + 2x − 3 − 2
Bảng biến thiên của hàm số

(

)

y = f x2 + 2x − 3 − 2
Dựa vào bảng biến thiên của

(

y = f x2 + 2x − 3 − 2

)

)

thì hàm số

có 13 điểm cực trị

25