SKKN rèn luyện tư duy cho học sinh thông qua khai thác các bài toángiá trịlớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.74 MB, 91 trang )
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT DIỄN CHU 3
Đề CƯƠNG
SáNG KIếN KINH NGHIệM
RẩN LUYN T DUY CHO HỌC SINH THƠNG
QUA KHAI THÁC CÁC BÀI TỐN LỚN NHẤT,
NHỎ NHẤT TRONG HÌNH HỌC KHƠNG GIAN
Lĩnh vực: TỐN HỌC
Người thực hiện: TRÌNH HỒI NAM
Tổ bộ mơn: TỐN TIN
Năm thực hiện: 2020
Số điện thoại: 0339.545577
Email:
Nghệ An, tháng 12 năm 2020.
MỤC LỤC
ĐẶT VẤN ĐỀ ................................................................................................................................ 2
I.
1.
Lý do chọn đề tài ......................................................................................................................... 2
2.
Tính cấp thiết của đề tài ............................................................................................................... 3
3.
Tính mới của đề tài ...................................................................................................................... 4
4.
Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài ........................................................................................ 4
5.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ................................................................................................ 4
6.
II.
1.
5.1.
Đối tượng nghiên cứu .......................................................................................................... 4
5.2.
Phạm vi nghiên cứu ............................................................................................................. 4
Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu ......................................................................................... 4
6.1.
Phương pháp nghiên cứu...................................................................................................... 4
6.2.
Nhiệm vụ nghiên cứu ........................................................................................................... 5
NỘI DUNG ................................................................................................................................ 6
Cơ sở khoa học .......................................................................................................................... 6
1.1.
Cơ sở lý luận ....................................................................................................................... 6
1.2.
Cơ sở thực tiễn..................................................................................................................... 9
2.
Thực trạng ............................................................................................................................... 11
3.
Phương hướng và giải pháp .................................................................................................... 12
3.1.
3.1.1.
Sử dụng phương pháp định tính .................................................................................. 12
3.1.2.
Sử dụng phương pháp định lượng ............................................................................... 28
3.2.
4.
III.
Bài tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian thuần túy .............................. 12
Áp dụng vào việc giải các bài tốn cực trị hình học tọa độ khơng gian................................ 63
3.2.1.
Giải pháp ................................................................................................................... 63
3.2.2.
Ví dụ áp dụng............................................................................................................. 63
3.2.3.
Bài tập tham khảo ...................................................................................................... 70
Đánh giá và kết quả thực hiện................................................................................................. 70
4.1.
Trong công tác bồi dưỡng học sinh lớp 11 .......................................................................... 70
4.2.
Trong công tác bồi dưỡng học sinh lớp 12 .......................................................................... 71
KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ ....................................................................................................... 73
1.
Kết luận .................................................................................................................................... 73
2.
Kiến nghị .................................................................................................................................. 74
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................................................. 75
PHỤ LỤC ............................................................................................................................................ 76
Phụ lục 1. ĐỀ KIỂM TRA CHƯƠNG 3 – HÌNH HỌC 11 ................................................................. 76
Phụ lục 2. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HỌC KỲ 1 – KHỐI 12 .................................................................. 78
Phụ lục 3. ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ 2 – KHỐI 12 ................................................................. 85
-1-
I.
ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài
Định hướng đổi mới phương pháp dạy và học đã được xác định trong Nghị
quyết Trung ương 4 khóa VII (1/1993), Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII
(12/1996), được thể chế hóa trong Luật Giáo dục (12/1998), được cụ thể hóa trong
các chỉ thị của Bộ Giáo dục và Đào tạo, đặc biệt là Chỉ thị số 15 (4/1999). Điều 24.2
của Luật Giáo dục đã ghi: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích
cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp
học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức
vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học
sinh”. Qua đây ta có thể thấy được phương pháp dạy học tích cực là cần phải phát
huy tính được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người học.
Bản thân trong quá trình dạy học nhận thấy tầm quan trọng của việc rèn luyện
tư duy qua các bài tốn hình học khơng gian. Có thể nói, giai đoạn gần đây bài tốn
về hình học khơng được khai thác rất đa dạng. Trong số đó có thể kể đến bài tốn về
cực trị hình học. Đây có thể nói là một chủ đề ở mức vận dụng cao dành cho học
sinh khá giỏi ở các đề thi. Chẳng hạn:
Bài tốn 1 (Trích Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2018-2019):
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân ( AB // CD ) nội
SCA
90 . Gọi M là trung điểm cạnh SA. Gọi là
tiếp đường tròn tâm O và SBA
BC
góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Chứng minh rằng cos
.
SA
Bài toán 2 (Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2020-2021):
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi một vng góc và SA 1,
SB SC 2 2 . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Một mặt phẳng P
thay đổi đi qua I lần lượt cắt các tia SA, SB, SC tại M, N, P. Chứng minh rằng
1
1
1
5
2 .
2
2
8
SM
SN
SP
Bài toán 3 (Đề thi HSG Hà Nội 2020-2021):
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm
thay đổi trên các cạnh AB, A’D’ sao cho đường thẳng MN tạo với mặt phẳng (ABCD)
một góc 60 . Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và
CC’.
Thậm chí đâu đó, bài tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hình học khơng gian
được cho dưới dạng các bài tốn về tọa dộ trong không gian. Bản thân tôi tự đặt câu
-2-
hỏi, liệu bài tốn trên có được giải quyết bằng cách thật cơ bản theo như bài tốn
hình học khơng gian thuần túy hay khơng?
Thực ra về bài tốn lớn nhất, nhỏ nhất các em đã được bắt gặp ở các bài tốn
về Đại số. Tuy nhiên, trong Hình học nói chung và Hình học khơng gian nói riêng
cịn chưa phong phú. Do đó bản thân mong muốn khai thác các bài tốn lớn nhất,
nhỏ nhất về Hình học khơng gian để học sinh được làm quen và đi sâu hơn.
Chính vì các vấn đề trên, tơi xin mạnh dạn nghiên cứu đề tài “Rèn luyện tư
duy cho học sinh thơng qua khai thác các bài tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong
hình học khơng gian”.
2. Tính cấp thiết của đề tài
Đối với học sinh lớp 11, khi học về hình học khơng gian, học sinh đã được
làm quen với một số bài tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Chẳng hạn ở một số bài
tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của diện tích thiết diện hoặc của một biểu thức
nào đó. Tuy nhiên, thường các em cịn e ngại đến các bài tốn này. Bởi bản thân khi
nhắc đến bài toán lớn nhất, nhỏ nhất là học sinh đã không thực sự hứng thú để giải
quyết bài toán. Hơn nữa, sự tiếp cận của các em về bài tốn này chưa có các cách tư
duy nhất định, do vậy các em còn rất bỡ ngỡ. Ngồi ra, lượng bài tốn này ở mức độ
vận dụng và vận dụng cao chưa nhiều, thành ra học sinh chưa thể có cơ hội rèn luyện
tư duy, các kỹ năng để giải quyết bài toán. Trong hệ thống các bài tốn, sách Hình
học 11 mới chỉ dừng lại ở việc tính tốn về độ dài, góc, khoảng cách. Bài tốn tìm
giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của các đại lượng đó cịn ít gặp.
Đối với học sinh lớp 12, học sinh đã được tiếp cận các bài tốn tìm giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất liên quan đến thể tích của một số khối đa diện cơ bản, khối tròn xoay
qua công cụ đạo hàm. Tuy nhiên, công cụ đạo hàm sẽ gặp khó khăn ở một số dạng
tốn. Do vậy, việc tìm các giải pháp để giải quyết các bài toán này là cần thiết cho
học sinh.
Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có một vị trí xứng đáng trong
chương trình học và dạy ở các trường phổ thơng. Các bài tốn này địi hỏi vận dụng
nhiều kiến thức và vận dụng một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo. Do đó các em
học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc đi tìm lời giải, các em không biết bắt
đầu từ đâu, vận dụng kiến thức nào trong chương trình đã học? Mặt khác trong các
đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi Đánh giá năng lực và đề thi HSG thì bài tốn tìm giá
trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học khơng gian cũng thường xuyên xuất hiện, thí
sinh khi làm các bài thi này thường rất lúng túng trong việc tìm lời giải. Để giúp các
em bớt gặp khó khăn cũng như có cách nhìn chung về vấn đề này, đề tài nhằm mục
đích hệ thống lại các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học khơng
gian.
-3-
3. Tính mới của đề tài
- Đề tài đưa ra được một số giải pháp giải quyết bài tốn tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất trong hình học khơng gian.
- Đề tài xây dựng được hệ thống các bài tập tương ứng với các giải pháp, đồng
thời đưa ra được một số bài toán mới ở mức độ vận dụng, vận dụng cao do tác
giả tự xây dựng nhằm rèn luyện tư duy cho học sinh khi giải quyết các bài
tốn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học khơng gian.
- Đề tài phát triển các bài tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học
khơng gian thuần túy sang bài tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về tọa độ trong
không gian.
- Đề tài rèn luyện thêm cho học sinh các kỹ năng về sử dụng đạo hàm, sử dụng
các bất đẳng thức cơ bản.
4. Khả năng ứng dụng và triển khai đề tài
Đề tài này có khả năng áp dụng và triển khai cho học sinh trung học phổ thông
và các thầy cô dạy Tốn THPT tham khảo. Đề tài hồn tồn phù hợp với các đối
tượng học sinh: học sinh khá, HSG, học sinh ôn thi TN THPT, ôn thi các kỳ thi đánh
giá năng lực.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
5.1.
Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh khá giỏi và giáo viên THPT.
- Các bài toán về hàm số và các vấn đề liên quan đến hàm số.
5.2.
Phạm vi nghiên cứu
- Bám sát nội dung chương trình Tốn THPT.
- Mở rộng phù hợp với nội dung thi HSG và Đại học.
6. Phương pháp và nhiệm vụ nghiên cứu
6.1.
Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp điều tra, phân tích: Tập hợp, phân tích các bài tốn giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất trong hình học không gian.
- Phương pháp thực nghiệm: Sử dụng các bài toán tạo ra, thực nghiệm cho các
lớp giảng dạy và đồng nghiệp sử dụng để rút ra các kết luận, bổ sung vào đề
tài.
- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa tri thức: Sắp xếp các bài tốn theo
từng dạng, từng vấn đề có cùng dấu hiệu bản chất, cùng một hướng phát triển.
-4-
Sau đó hệ thống hóa, tức là sắp xếp tri thức thành một hệ thống trên cơ sở một
mơ hình lý thuyết làm sự hiểu biết về đối tượng đầy đủ hơn.
6.2.
Nhiệm vụ nghiên cứu
- Xây dựng từng lớp các bài toán liên quan đến giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong
hình học khơng gian
- Đưa ra một số nhận xét, phân tích về cách tiếp cận lời giải cho từng loại, từng
dạng.
- Định hướng khai thác, mở rộng hoặc tạo ra bài toán mới.
-5-
II.
NỘI DUNG
1. Cơ sở khoa học
1.1.
Cơ sở lý luận
Đề tài được xây dựng dựa trên các cơ sở lý luận sau
a) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức
Cho biểu thức P.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức P nếu P M và tồn tại
khả năng để dấu bằng xảy ra.
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức P nếu P m và tồn tại
khả năng để dấu bằng xảy ra.
b) Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số (SGK Giải tích 12)
Cho hàm số y f x xác định trên tập D.
Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y f x trên tập D nếu
f x M , x D và tồn tại x0 D sao cho f x0 M .
Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y f x trên tập D nếu
f x m, x D và tồn tại x0 D sao cho f x0 m .
c) Bất đẳng thức Cauchy
Với n số không âm a1, a2 , , an , ta có :
a1 a2 an n
a1a2 an .
n
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a1 a2 an .
d) Bất đẳng thức Bunhiacopxki và hệ quả
Bất đẳng thức Bunhiacopxki
Với 2 bộ số thực khác 0: a1, a2 , , an và b1, b2 , , bn , ta có
a1b1 a2b2 anbn 2 a12 a22 an 2 b12 b22 bn 2 .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a
a1 a2
n .
b1 b2
bn
Hệ quả
Với các số thực a, b, c và các số thực dương x, y, z , ta có
-6-
2
a 2 b2 c2 a b c
.
x
y
z
x yz
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi
a b c
.
x y z
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2
a 2 b2 c 2
a
b
c
x
.
y
.
z
.
x
y
z
.
y
z
x
y
z
x
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
e) Tâm tỉ cự
Khái niệm tâm tỉ cự được đưa ra ở Sách Bài tập Hình học 10 Nâng cao, đó là
khái niệm trong hình học phẳng. Tuy nhiên khái niệm này hồn tồn có thể đưa ra
trong khơng gian. Việc chứng minh hồn tồn tương tự Bài tập 40 trang 12 Sách Bài
tập Hình học 10 Nâng cao.
Khái niệm
Cho n điểm A1, A2 ,, An và n số k1, k2 ,, kn thỏa mãn k1 k2 kn k
k 0 . Khi đó tồn tại duy nhất một điểm G sao cho:
k1GA1 k2 GA2 kn GAn 0 .
Điểm G như thế gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm A1, A2 ,, An tương ứng với các hệ số
k1, k2 ,, kn .
Nhận xét
Nếu G là tâm tỉ cự như trên thì mọi điểm O bất kì, ta có
k k
k
OG 1 OA1 2 OA2 n OAn .
k
k
k
f) Điều kiện ba điểm thẳng hàng và hệ quả
Điều kiện ba điểm thẳng hàng
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng Tồn tại số x sao cho AB x AC .
Hệ quả
Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi nếu MA k MB hMC
thì cặp số h, k là duy nhất và thỏa mãn h k 1, trong đó M là một điểm nào đó nằm
trong mặt phẳng (ABC) và khơng thẳng hàng với hai trong ba điểm A, B, C.
-7-
Chứng minh:
+ Giả sử A, B, C thẳng hàng. Khi đó tồn tại x sao cho BA xBC
MA MB x MC MB MA 1 x MB xMC .
Theo định lý về sự duy nhất phân tích vectơ trong mặt phẳng ta suy ra
k 1 x
h k 1.
h
x
+ Giả sử MA k MB hMC , h k 1 MA 1 h MB hMC
MA MB h MC MB BA hBC Ba điểm A, B, C thẳng hàng.
g) Điều kiện ba vectơ đồng phẳng và hệ quả
Điều kiện ba vectơ đồng phẳng (SGK Hình học 11)
Trong không gian cho hai vectơ a , b không cùng phương và vectơ c . Khi đó
ba vectơ a, b, c đồng phẳng khi và chỉ khi có cặp số m, n sao cho c ma nb .
Ngoài ra, cặp số m, n là duy nhất.
Hệ quả 1
Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi thỏa mãn 1 trong 2
điều kiện sau:
i)
Tồn tại 2 số h, k sao cho AD hAB k AC .
ii)
Gọi M là điểm nào đó sao cho khơng đồng phẳng với 3 điểm bất kỳ
trong 4 điểm A, B, C, D. Nếu MD xMA yMB zMC thì
x y z 1.
Chứng minh:
+ Ta có A, B, C, D đồng phẳng khi và chỉ khi AB, AC , AD đồng phẳng. Áp dụng
điều kiện đồng phẳng của ba vectơ ta suy ra i).
+ Ta chứng minh i) và ii) tương đương:
Giả sử i) đúng:
Khi đó tồn tại h, k sao cho:
AD hAB k AC MD MA h MB MA k MC MA
MD 1 h k MA hMB k MC .
-8-
Theo định lý biểu thị một vectơ bất kỳ theo ba vectơ khơng cùng phương (Định lý
2, SGK Hình học 11, trang 90) thì sự biểu thị này là duy nhất.
Do đó x 1 h k , y h, z k x y z 1.
Đảo lại, giả sử ii) đúng: MD xMA yMB zMC với x y z 1 .
MD 1 x y MA yMB zMC
MD MA x MB MA y MC MA AD x AB y AC .
Điều phải chứng minh.
Hệ quả 2
Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. Một mặt phẳng (P) cắt
các cạnh SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q. Khi đó
SA SC SB SQ
.
SM SP SN SD
Chứng minh:
SA
SB
SC
SQ
x,
y,
z,
t.
SM
SN
SP
SD
1 1 1
x z y
Ta có SQ SD SA AD SA SC SB SM SP SN .
t
t
t
t
t
t
Đặt
Do M, N, P, Q đồng phẳng nên
1.2.
x z y
1 x z y t.
t t t
Cơ sở thực tiễn
Đề tài mục đích xây dựng hệ thống các bài tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong
hình học khơng gian thuần túy và từ đó phát triển sang bài tốn lớn nhất, nhỏ nhất
trong hình học tọa độ khơng gian. Điều này bắt nguồn từ một thực tiễn đó là các
dạng tốn hình học khơng gian mức độ vận dụng, vận dụng cao trong các đề thi học
sinh giỏi, đề thi đại học. Chẳng hạn như:
-9-
Các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất về góc, khoảng cách, thể tích, của một
biểu thức nào đó trong các đề học sinh giỏi, đề thi TN THPT.
Các bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học tọa độ khơng gian.
Một số ví dụ như:
Câu 5 - Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2020-2021
Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi một vng góc và SA 1,
SB SC 2 2 . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Một mặt phẳng
P thay đổi đi qua I lần lượt cắt các tia SA, SB, SC tại M, N, P. Chứng minh rằng
1
1
1
5
2 .
2
2
8
SM
SN
SP
Câu 4 - Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An 2018-2019
Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thang cân ( AB // CD ) nội
SCA
90 . Gọi M là trung điểm cạnh SA. Gọi
tiếp đường trịn tâm O và SBA
BC
là góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Chứng minh rằng cos
.
SA
Câu 4 - Đề thi HSG Hà Nội 2020-2021
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Gọi M, N là hai điểm
thay đổi trên các cạnh AB, A’D’ sao cho đường thẳng MN tạo với mặt phẳng
(ABCD) một góc 60 . Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách giữa hai đường thẳng
MN và CC’.
Câu 4 - HSG tỉnh Thanh Hóa năm học 2020-2021
Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi
ln song song với mặt phẳng (ABCD) và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt
tại M, N, P, Q (không trùng với các đỉnh của hình chóp S.ABCD). Gọi M , N , P, Q
lần lượt là hình chiếu vng góc của M, N, P, Q lên mặt phẳng (ABCD). Tính tỉ số
SM
để thể tích khối đa diện MNPQ.M N PQ đạt giá trị lớn nhất.
SA
Câu 7 - HSG tỉnh Gia Lai năm học 2020-2021
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi H là chân đường cao hạ từ A xuống mặt
phẳng (BCD) và O là trung điểm đoạn AH. Gọi là mặt phẳng qua O và không
đi qua các điểm A, B, C và D. Mặt phẳng cắt các đoạn AB, AC, AD lần lượt tại
M, N, P. Tìm giá trị nhỏ nhất của T AM . AN . AP theo a.
Câu 47 – Mã đề 101 – Đề thi THPT Quốc gia năm 2018
-10-
Trong khơng gian Oxyz, cho mặt cầu (S) có tâm I 2;1;2 và đi qua điểm
A 1; 2; 1 . Xét các điểm B, C, D thuộc (S) sao cho AB, AC, AD đơi một vng góc
với nhau. Thể tích khối tứ diện ABCD có giá trị lớn nhất bằng
A. 72.
B. 216.
C. 108.
D. 36.
Câu 42 – Mã đề 101 – Đề thi THPT Quốc gia năm 2019
Trong không gian Oxyz, cho điểm A 0;4; 3 . Xét đường thẳng d thay đổi,
song song với Oz và cách trục Oz một khoảng bằng 3. Khi khoảng cách từ A đến d
nhỏ nhất, d đi qua điểm nào dưới đây?
A. P 3;0; 3 .
B. M 0; 3; 5 .
C. N 0;3; 5 .
D. Q 0;5; 3 .
Qua đây ta có thể thấy rằng, bài tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học
khơng gian khơng phải là ít gặp. Hơn nữa, bản thân cũng nhận thấy dạng tốn này
góp một phần khơng nhỏ trong quá trình rèn luyện tư duy cho học sinh khá, giỏi.
Đây là một bài toán kết hợp được khá nhiều kỹ thuật khác nhau.
2. Thực trạng
Trên thực tế giảng dạy Toán ở THPT, bản thân nhận thấy bài tốn giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học không gian là một trong những nội dung cần
thiết cho học sinh khá giỏi. Sách giáo khoa, sách bài tập cũng đã đề cập đến dạng
toán này. Cụ thể như sau:
Sách Giải tích 12, Ví dụ 3 trang 22; Sách Giải tích 12 Nâng cao, Ví dụ 3 trang
20 đã đưa ra bài tốn tìm giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp chữ nhật và trình bày
cách sử dụng khảo sát hàm số để giải quyết bài tốn đó.
Sách Bài tập Giải tích 12, Ví dụ 2 trang 14 đề cập đến bài tốn tìm giá trị lớn
nhất của thể tích hình trụ nội tiếp trong một mặt cầu.
Sách Hình học 12 Nâng cao, Bài tập 10b trang 46 đề cập đến bài tốn tìm giá
trị lớn nhất của thể tích tồn phần hình hộp nội tiếp trong một mặt cầu.
Sách Bài tập Hình học 11, Bài tập 6 trang 182 đề cập đến bài tốn tìm giá trị
nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng.
Như vậy có thể thấy, ở đâu đó các em cũng đã bắt gặp các bài tốn tìm giá trị
lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học khơng gian. Thế nhưng, thực trạng cho thấy học
sinh chưa có hứng thú, chưa có một cái nhìn tổng quan đối với bài tốn. Bởi lẽ trong
chương trình, các dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học khơng
gian được đưa vào một cách nhỏ lẻ, chưa có hệ thống; số lượng bài tập chưa nhiều.
Chính vì thế nên khi đứng trước các bài tốn dạng này, các em cịn bỡ ngỡ và chưa
tự tin khi giải quyết chúng.
-11-
Một thực trạng nữa là trong quá trình dạy học, giáo viên cần phải biết hướng
dẫn, tổ chức cho học sinh tìm hiểu phát hiện vấn đề và phân tích mối quan hệ giữa
các kiến thức đã học trong bài tốn, để từ đó học sinh tìm được cho mình phương
pháp giải quyết vấn đề của bài toán. Chỉ trong q trình giải tốn, tiềm năng sáng
tạo của học sinh được bộc lộ và phát huy, các em có được thói quen nhìn nhận một
sự kiện dưới những góc độ khác nhau, biết đặt ra nhiều giả thuyết khi lý giải một
vấn đề, biết đề xuất những giải pháp khác nhau khi xử lý tình huống. Hơn nữa bản
thân tơi nhận thấy rằng để gây hứng thú học tập, kích thích sự tìm tịi, sáng tạo, khám
phá kiến thức, học sinh, giáo viên cần phải trang bị cho mình các kiến thức, kỹ năng,
các phương pháp học tập phù hợp. Nhìn nhận thực trạng đó vào dạy học cho năm
học 2020-2021, đây là năm học bản thân tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy lớp 12
và bồi dưỡng HSG. Bản thân nhận thấy trong quá trình dạy học và bồi dưỡng, chúng
ta thường bắt gặp các bài toán ở mức độ vận dụng, vận dụng cao, trong đó có các
bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học khơng gian thường hay gặp
ở các chủ đề về thể tích, góc, khoảng cách, biểu thức về độ dài, Oxyz, … Do vậy bản
thân rất trăn trở suy nghĩ tìm cách rèn luyện cho học sinh cách tư duy khi đứng trước
các bài toán này. Hy vọng rằng, qua bài viết này có thể phần nào thực hiện được
điều đó.
3. Phương hướng và giải pháp
3.1. Bài tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học khơng gian thuần túy
Đứng trước một bài toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học nói
chung và hình học khơng gian nói riêng, bản thân tơi xin đưa ra hai phương hướng
tư duy. Đó là tư duy theo phương pháp định tính và tư duy theo phương pháp định
lượng. Tương ứng với mỗi phương pháp này sẽ rèn luyện cho học sinh các tư duy
khác nhau. Với phương pháp định tính, địi hỏi học sinh cần có một sự tư duy nhanh
nhạy phát hiện ra bản chất vấn đề, phát hiện ra tính chất cốt lõi của bài toán. Trong
khi, phương pháp định lượng lại rèn luyện cho học sinh một lối tư duy kiểu “đại số”.
Nó địi hỏi cần có một sự tư duy nhất định về tính tốn, về biến đổi đại số.
3.1.1. Sử dụng phương pháp định tính
3.1.1.1. Giải pháp
Tư duy bài tốn giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong hình học khơng gian theo
phương pháp định tính được hiểu nơm na là đi xác định được tính chất đặc biệt của
bài tốn và dựa vào tính chất đó để giải quyết bài tốn. Quy trình được thực hiện
theo hai bước:
Bước 1: Phân tích giả thiết bài toán, phát hiện ra yếu tố cố định của bài toán.
Trong bài toán giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hình học khơng gian sẽ có các
yếu tố thay đổi. Do vậy ta cần xem xét để tìm ra, chỉ ra được các yếu tố cố định. Yếu
-12-
tố cố định được nhắc tới ở đây có thể là điểm cố định, đường thẳng cố định hay một
đại lượng khơng đổi nào đó. Chúng ta cần tự đặt ra các câu hỏi cho bản thân các
dạng câu hỏi như: “Liệu chăng, mặt phẳng thay đổi kia có chứa điểm cố định, đường
thẳng cố định nào khơng? Đó là điểm nào?”; “Trong bài tốn này, liệu có đại lượng
nào khơng thay đổi khơng”, …
Bước 2: Sử dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Sau khi chỉ ra được đặc điểm của bài tốn rồi, ta thường vận dụng một tính
chất cơ bản nào đó để áp dụng vào bài tốn. Các tính chất cơ bản thường sử dụng là:
Tính chất 1. Cho hai điểm phân biệt A và B. Một mặt phẳng (P) thay đổi ln đi
qua B. Khi đó d A; P AB . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi P AB .
Tính chất 2. Cho điểm A và đường thẳng d ( A d ). Một mặt phẳng (P) thay đổi
ln chứa đường thẳng d. Khi đó d A; P d A; d . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ
khi P vng góc với mặt phẳng chứa A và d.
Tính chất 3. Cho hai đường thẳng d1 và d 2 cắt nhau nhưng khơng vng góc. Một
mặt phẳng (P) thay đổi ln chứa d 2 . Khi đó d1; P d1; d 2 . Dấu “=” xảy ra
khi và chỉ khi P vng góc với mặt phẳng chứa d1 và d 2 .
Chứng minh:
Gọi I d1 d 2 . Lấy M d1 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vng góc của M lên
(P) và d1 . Khi đó MH MK .
MK ; sin d ; P sin MIH
MH .
Mặt khác: sin d1; d 2 sin MIK
1
MI
MI
sin d1; P sin d1; d 2 d1; P d1; d 2 .
Dấu “=” xảy ra khi H K
Mặt phẳng (P) vng góc với mặt phẳng chứa d1 và d 2 .
Tính chất 4. Cho đường thẳng d và mặt phẳng P cắt nhau nhưng không vng
góc. Một mặt phẳng (Q) thay đổi ln chứa d . Khi đó
P ; Q d ; P . Dấu
-13-
“=” xảy ra khi và chỉ khi P vng góc với mặt phẳng chứa d và d , trong đó d
là hình chiếu của d lên mặt phẳng (P).
Chứng minh:
Gọi I d P . Lấy M d . Gọi H là hình chiếu vng góc của M lên (P) và K là
hình chiếu của H lên giao tuyến của (P) và (Q). Khi đó HK HI .
MH ; tan d ; P tan MIH
MH
Ta có tan P ; Q tan MKH
HK
HI
tan P ; Q tan d ; P P ; Q d ; P .
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi K I Q MHI .
3.1.1.2. Ví dụ áp dụng
Trước tiên, khai thác các bài tốn về điểm cố định trong khơng gian và kết
hợp với các tính chất trên, ta nghiên cứu một số bài tốn say đây.
Ví dụ 1.
(Sáng tác) Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, G là trọng tâm tam giác BCD.
Gọi I là trung điểm cạnh SG. Mặt phẳng (P) thay đổi luôn đi qua I, cắt các cạnh AB,
AC, AD lần lượt tại M, N, P. Khi khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất, tính thể tích
khối đa diện MNPABC.
Phân tích bài tốn:
Bài tốn đã chỉ rõ mặt phẳng đi qua điểm I cố định. Vận dụng Tính chất 1 ta suy
ra d A; P AI . Từ đây ta xác định được khả năng lớn nhất của khoảng cách từ
A đến (P).
Lời giải:
-14-
Bước 1: Xác định yếu tố cố định
Mặt phẳng (P) đi qua điểm I cố định.
Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ta có d A; P AI . Do đó d A; P
AI P AI P // BCD .
max
AM AN AP AI 1
1
7
VAMNP VABCD VMNP. ABC VABCD .
AB AC AD AG 2
8
8
Mặt khác VABCD
1
1 6a 3a 2
2a3
7 2a 3
AG.S BCD .
.
VMNP. ABC
.
3
3 3
4
12
96
Ví dụ 2.
(Sáng tác) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng cạnh 2a.
Cạnh SA vng với mặt phẳng (ABCD) và SA 2a . Gọi E là điểm trên đoạn
DE 3EB . Gọi M là điểm thuộc đoạn AB sao cho AM x, 0 x 2 a . Tìm x để
khoảng cách từ D đến (SME) là lớn nhất.
Phân tích bài tốn:
Dễ dàng nhận ra mặt phẳng (SME) chứa đường thẳng SE cố định. Vận dụng
Tính chất 2 ta suy ra d D; SME d D; SE . Từ đây ta xác định được khả năng
lớn nhất của khoảng cách từ D đến (SME).
Lời giải:
Bước 1: Xác định yếu tố cố định
Mặt phẳng (SME) chứa đường thẳng SE cố định.
Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Ta có d D; SME d D; SE .
d D; SME
max
d D; SE SME SDE hay SME SBD .
-15-
Kẻ AH SO .
BD SA
BD SAC SBD SAC AH SBD AH // SME .
BD
AC
Kẻ SI // AH . Do SA AO 2a H là trung điểm SO A là trung điểm IO
M là trọng tâm tam giác IBO x
4a
.
3
Phân tích hai bài tốn trên ta thấy, yếu tố cố định của các bài tốn đó đã được
cho trước. Trong tình huống yếu tố cố định được giấu đi, ta cần phải chỉ ra được
điểm cố định là điểm nào, đường thẳng cố định là đường thẳng nào. Thơng
thường, thay vì cho trước điểm cố định sẽ là cho trước một hệ thức hoặc một đặc
điểm nào đó. Từ hệ thức, từ đặc điểm đó, ta tìm ra được điểm cố định của bài
tốn. Chẳng hạn:
Ví dụ 3.
(Sáng tác) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi,
AB AC AD 2 3a . Cạnh SA vuông với mặt phẳng (ABCD) và SA 2a . Mặt
phẳng (P) thay đổi cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P sao cho
1
2
2 6
. Mặt phẳng (P) chia khối chóp thành hai phần có thể tích là
SM SN SP a
V
V1, V2 , V1 V2 . Tính 1 để khoảng cách từ S đến (P) là lớn nhất.
V2
Phân tích bài toán:
Với giả thiết 1 đẳng thức vectơ chứa ba đại lượng, tính thêm điểm cố định cần
tìm là ta được 4 điểm. Điều làm ta liên tưởng đến đó là điều kiện đồng phẳng của 4
điểm. Mặt khác, ta nhận ra rằng:
1
2
2 6
SA SB SC
12 .
SM SN SP a
SM SN SP
Các hệ số 1:1:1 đưa về bài toán tâm tỉ cự của 3 điểm A, B, C với bộ số 1, 1, 1. Đó
chính là trọng tâm của tam giác ABC.
Lời giải:
Bước 1: Xác định yếu tố cố định
Ta có SB SC SD 4a; AG 2a, SG 2 2a .
1
2
2 6
SA SB SC
12
SM SN SP a
SM SN SP
-16-
SA
SB
SC
x,
y,
z.
SM
SN
SP
Gọi I là giao điểm của SG và (P). Giả sử SI kSG
k kx ky kz
SI SA SB SC SM SN SP .
3
3
3
3
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Đặt
Do M, N, P, I đồng quy nên
kx ky kz
3
1
1 k
I cố định.
3
3 3
x y z 4
Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Khi đó d S ; P SI .
d S ; P
max
MI SI
SI P SI
.
NQ
SI
SI .SG SG 2
SM 1
a
Do SIM SAG SM
SA
4 SA
SA 2
SD 2 SG 2 DG 2
2
SI
SQ 1
cos QSI
SQ
2a
2SD.SG
4
SD 2
cos QSI
cos
NSI
Lại có
SB 2 SG 2 BG 2 5 2
SI
4a
SN 1
SN
5
2SB.SG
8
SB 5
cos NSI
SA SB SC
SC
SP 1
12
5
SM SN SP
SP
SC 5
1
1
V
V
VS . ABCD
S
.
MNP
S
.
ABC
7
V
7
50
100
.
VS .MNPQ
VS . ABCD 1
1
1
200
V2 193
V
V
V
S .MPQ 20 S . ACD 40 S . ABCD
-17-
Ví dụ 4.
(Sáng tác) Cho hình chóp đều S.ABCD có AB a, SA 2a . Mặt
phẳng (P) thay đổi đi qua A và cắt các cạnh SB, SD lần lượt tại M, N sao cho
1
1
3
. Tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ C đến (P).
SM SN a
Phân tích bài tốn:
Ta thấy mặt phẳng (P) đã đi qua điểm A cố định. Tuy nhiên, giả thiết bài toán
cho thêm 1 sự ràng buộc giữa các đại lượng, điều này tượng trưng cho một điểm cố
định khác. Từ đó ta có thể nhận ra được mặt phẳng (P) sẽ chứa một đường thẳng cố
định. Với giả thiết là một đẳng thức chứa 2 tỉ số tương ứng với 2 điểm và cộng với
điểm cố định cần tìm thì ta được 3 điểm. Do vậy nghĩ tới việc sử dụng điều kiện
thẳng hàng của ba điểm.
1
1
3
SB SD
6 . Ta nhận ra tâm tỉ cự của 2 điểm B, C
SM SN a
SM SN
tương với bộ số 1, 1. Đó chính là trung điểm cạnh BD.
Mặt khác
Lời giải:
Bước 1: Xác định yếu tố cố định
Gọi O AC BD, I MN SO, E AI SC .
Đặt
SB
SD
x,
y.
SM
SN
1
1
3
2a
2a
6 x y 6.
SM SN a
SM SN
k kx ky
Giả sử SI kSO SI SB SD SM SN .
2
2
2
Ta có
Do I, M, N thẳng hàng nên
kx ky
2
1
1 k
I cố định.
2 2
x y 3
Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Như vậy mặt phẳng (P) chứa đường thẳng AI cố định.
-18-
Khi đó d C ; P d C ; AI .
d C; P
max
d C ; AI 2d O; AI .
Kẻ OH AI . Ta có OA
2a
2
14a
, OI SO
.
2
3
3
1
1
1
37
518a
2 518a
2
OH
d C ; P max
.
2
2
2
37
37
OH
OA
OI
14a
Ví dụ 5.
(Sáng tác) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật,
AB 4, AD 2 10 . Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SA 4 . Trên
cạnh SA lấy điểm M sao cho AM 2 . Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua M và cắt các
1
1
2
cạnh SB, SC, SD lần lượt tại N, P, Q sao cho
. Khi khoảng cách từ S
SN SP
2
đến (P) là lớn nhất, tính thể tích khối chóp S.MNPQ.
Phân tích bài tốn:
Điểm M là điểm cố định thứ nhất. Từ đẳng thức giữa 2 điểm cho trước ta sẽ
tìm cách chỉ ra điểm cố định thứ hai nhờ điều kiện thẳng hàng.
1
1
2
3SB 2SD
2
. Từ đây ta liên
SN SP
2
SN
SP
2
hệ tâm tỉ cự của hệ 2 điểm B, D tương với bộ số 3, 2.
Mặt khác, từ đẳng thức
Lời giải:
Bước 1: Xác định yếu tố cố định
2
Gọi K là điểm sao cho 3KB 2 KC 0 K thuộc đoạn BC và BK BC .
5
Đặt
SB
SC
x,
y . Ta có SB AB 2 SA2 4 2; SC SB 2 BC 2 6 2 .
SN
SP
Do
1
1
2 12 2 12 2
12 3x 2 y 12 .
SN SP
2
SN
SP
-19-
3 2 3 x 2 y
Ta có 3KB 2 KC 0 SK SB SC SN
SP .
5
5
5
5
3kx 2ky
Gọi I SK NE . Giả sử SI k SK SI
SN
SP .
5
5
Do 3 điểm I, N, P thẳng hàng nên
3kx 2ky
5
5
1 k
.
5
5
3 x 2 y 12
Suy ra I là điểm cố định.
Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Như vậy (P) là mặt phẳng thay đổi nhưng ln chứa đường thẳng cố định MI. Theo
Tính chất 2 ta có d S ; P d S ; MI . Do đó
d S; P
max
d S ; MI P SMI P SAK .
2
Mặt khác, ta có AK .BD BK BA BA BC BC 2 BA2 0 BD AK .
5
Mà BD SA BD SAK P // BD .
Gọi O BD AK . Áp dụng định lý ba đường giao tuyến cho ba mặt phẳng (SAK),
(SBD) và (P) ta suy ra 3 đường SO, MI, NQ đồng quy tại E.
OK BK 2 2 5
Ta có BK // AD
SO SA SK
OA AD 5
7
7
2m 5m 3m 12m
Giả sử SE mSO SE
SA
SK
SM
SI .
7
7
7
7
Do M, E, I thẳng hàng nên
Lại có
3m 12m
7
SN SQ SE 7
1 m
.
7
7
15
SB SD SO 15
SA SC SB SD
SC 39
.
SM SP SN SQ
SP 14
-20-
2 7 14
196
98
Khi đó VS .MNP VS .MPQ . . VS . ABC
VS . ABC
VS . ABCD
3 15 39
1755
1755
VS .MNPQ
196
196 1
6272 10
VS . ABCD
. .SA.S ABCD
.
1755
1755 3
5265
Ví dụ 6.
(Sáng tác) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật,
AB 2, AD 2 3, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SA 6 . Lấy điểm E
trên cạnh SA sao cho AE x, 0 x 6 . Mặt phẳng (P) thay đổi đi qua E và cắt các
MB 2 NC PD
cạnh SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P sao cho
4 . Tìm x để khoảng
MS
NS
PS
cách từ S đến (P) lớn nhất.
Phân tích bài toán:
Mặt phẳng (P) đi qua điểm E cố định. Hơn nữa, từ đẳng thức giữa 3 điểm cho
trước ta sẽ tìm cách chỉ ra điểm cố định thứ hai nhờ điều kiện 4 điểm đồng phẳng.
Từ đó mặt phẳng (P) chứa một đường thẳng cố định.
MB 2 NC PD
SB 2SC SD
4
8 . Từ
MS
NS
PS
SM
SN
SP
đây ta liên hệ tâm tỉ cự của hệ 3 điểm B, C, D tương với bộ số 1, 2, 1.
Mặt khác, từ đẳng thức
Lời giải:
Bước 1: Xác định yếu tố cố định
Gọi O AC BD . Áp dụng định lý ba đường giao tuyến của ba mặt phẳng
SAC , SBD , P , ta suy ra SO, MP, NE đồng quy tại J.
Đặt
SB
SC
SD
x,
y,
z.
SM
SN
SP
MB 2 NC PD
SB 2SC SD
4
8 x 2y z 8.
MS
NS
PS
SM
SN
SP
Gọi K là điểm sao cho KB 2 KC KD 0 2 KO 2 KC 0 .
Ta có
-21-
Suy ra K là trung điểm CO.
Ta có KB 2 KC KD 0 SB SK 2 SC SK SD SK 0
1 1 1 x y z
SK SB SC SD SM SN SP .
4
2
4
4
2
4
kx ky kz
Gọi I SK EN . Giả sử SI k SK SI SM SN SP .
4
2
4
Do 4 điểm M, N, P, I đồng phẳng nên
kx ky kz
4
1
1 k
.
4
2
4
x 2y z 2
1
Suy ra SI SK I cố định.
2
Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Như vậy mặt phẳng (P) thay đổi nhưng luôn chứa điểm I cố định.
Áp dụng Tính chất 1 ta có d S ; P SI .
d S; P
max
Ta có AK
SI P SI EN SK EN SK .
3
1
3 5
.
AC 3, SK SA2 AK 2 3 5, SI SK
4
2
2
SIE SAK
SE SI
SI .SK 15
9
SE
x SA SE .
SK SA
SA
4
4
Ví dụ 7.
(Sáng tác) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật,
AB 3a, AD 5a. Cạnh SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) và SA a . Mặt
phẳng (P) thay đổi luôn đi qua D và cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại M, N, P sao
1
2
3 4
cho
. Mặt phẳng (P) chia khối chóp thành hai phần có thể tích
SM SN SP a
V
là V1, V2 V1 V2 . Tính 1 để khoảng cách từ S đến (P) lớn nhất.
V2
Phân tích bài toán:
Từ đẳng thức giữa 3 điểm cho trước ta sẽ tìm cách chỉ ra điểm cố định nhờ
điều kiện 4 điểm đồng phẳng.
1
2
3 4
SA SB SC
4 . Từ đây
SM SN SP a
SM SN SP
ta liên hệ tâm tỉ cự của hệ 3 điểm B, C, D tương với bộ số 1, 1, 1.
Mặt khác, từ đẳng thức
Lời giải:
-22-
Bước 1: Xác định yếu tố cố định
Ta có SB SA2 AB 2 2a , AC AB2 AD2 2 2a, SC SA2 AC 2 3a .
Đặt
SA
SB
SC
x,
y,
z.
SM
SN
SP
1
2
3 4
SA SB SC
4 x y z 4.
SM SN SP a
SM SN SP
Gọi E là điểm sao cho EA EB EC 0 EC EA EB .
Ta có
Suy ra E là điểm thứ 4 của hình bình hành ACBE.
Ta có SE SA AE SA CB SA SB SC xSM ySN zSP .
Gọi I SK EN . Giả sử SI k SK SI kxSM kySN kzSP .
Do 4 điểm M, N, P, I đồng phẳng nên kx ky kz 1 k
1
1
.
x yz 4
1
Suy ra SI SE I cố định.
4
Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Như vậy mặt phẳng (P) thay đổi nhưng ln chứa đường thẳng DI cố định.
Áp dụng Tính chất 2 ta có d S ; P d S ; DI .
d S; P
max
d S ; DI P SDI hay P SAD .
Mặt khác AK
3
1
3 5
.
AC 3, SK SA2 AK 2 3 5, SI SK
4
2
2
SIE SAK
SE SI
SI .SK 15
9
SE
x SA SE .
SK SA
SA
4
4
-23-
Cũng với cách suy nghĩ như các bài toán trên, ta nghiên cứu bài toán giá trị lớn
nhất, nhỏ nhất của góc trong khơng gian bằng phương pháp định tính nhờ yếu
tố điểm cố định, đường thẳng cố định.
Ví dụ 8.
(Sáng tác) Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thoi cạnh a,
60 , SA SB SD . Gọi M và N là hai điểm lần lượt di động trên cạnh AB
BAD
và CD sao cho CN 2 AM . Xác định vị trí của M để góc giữa SB và (SMN) lớn nhất.
Phân tích bài toán:
Với giả thiết CN 2 AM ta nhận ra rằng khi AM càng lớn thì CN cũng lớn.
Nói cách khác, khi M tiến đến B thì N tiến đến D. Từ đó có thể thấy đường thẳng
MN có khả năng quay quanh 1 điểm cố định. Bằng việc kiểm tra một vài vị trí của 2
điểm M, N ta nhận ra đường thẳng MN đi qua 1 điểm cố định. Điểm đó ta có thể
kiểm tra chính là giao điểm với đường thẳng AC. Kết hợp với điểm S, ta suy ra mặt
phẳng (SMN) luôn chứa 1 đường thẳng cố định.
Lời giải:
Bước 1: Xác định yếu tố cố định
Gọi I = MN cắt AC. Ta có
IA AM 1
. Khi đó I cố định. Suy ra mặt phẳng
IC CN 2
(SMN) chứa SI cố định.
Bước 2: Vận dụng các tính chất cơ bản để đánh giá giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Theo Tính chất 3 ta có SB; SMN SB; SI .
Do đó SB; SMN
SB; SI P SBI .
max
IA 1
AI 2
. Mà ABD là tam giác đều nên I là tâm đường tròn ngoại
IC 2
AO 3
tiếp tam giác ABD.
Lại có
Do SABD là hình chóp đều nên SI ABD SI BI BI P BI MN .
-24-
