khao sat ham so 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (421.44 KB, 51 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

TRẦN SĨ TÙNG 
---- ›š & ›š ----

BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

1. Đinh nghóa:

Hàm số f đồng biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) < f(x2)
Hàm số f nghịch biến trên K Û ("x1, x2 Ỵ K, x1 < x2 Þ f(x1) > f(x2)

2. Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f đồng biến trên khoảng I thì f¢(x) ³ 0, "x Ỵ I
b) Nếu f nghịch biến trên khoảng I thì f¢(x) £ 0, "x Ỵ I

3.Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng I.

a) Nếu f¢ (x) ³ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến trên I.
b) Nếu f¢ (x) £ 0, "x Ỵ I (f¢(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f nghịch biến trên I.
c) Nếu f¢(x) = 0, "x Ỵ I thì f khơng đổi trên I.

Chú ý: Nếu khoảng I được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì f phải liên tục trên đó.

VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên của hàm số

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau: 
– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y¢. Tìm các điểm mà tại đó y¢ = 0 hoặc y¢ khơng tồn tại (gọi là các điểm tới hạn) 
– Lập bảng xét dấu y¢ (bảng biến thiên). Từ đó kết luận các khoảng đồng biến, nghịch 
biến của hàm số.

Baøi 1. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:

a) y = -2x2+4x+5 b) 2 5

4 4

x

y= + -x c) y x= 2-4x+3

d) y x= 3-2x2+ -x 2 e) y=(4-x x)( -1)2 f) y x= 3-3x2+4x-1

g) 1 4 2 2 1

y = x - x - h) y= -x4-2x2+3 i) 1 4 1 2 2

10 10

y= x + x

-k) 2 1

x
y

x

-=

+ l)

1
2

x
y

x

-=

- m)

1
1

y

x
=

-n) 2 2 26

x x

y

x
+ +
=

+ o)

1
3

y x

x
= +

-- p)

4 15 9

x x

y

x

- +

CHƯƠNG I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT

VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

Bài 2. Xét chiều biến thiên của các hàm số sau:
a) y= -6x4+8x3-3x2-1 b) 22 1

x
y

x

-=

- c)

2
2

1
1

x x

y

x x

- +
=

+ +

d) y 2x21
x

-= e) 2

3 2

x
y

x x

- + f) y = + +x 3 2 2-x

g) y = 2x- -1 3-x h) y x= 2-x2 i) y= 2x x- 2

k) sin 2

2 2

y= x ổỗ- < <x ửữ

ố ứ

p p l) sin 2

2 2

y= x x- ổỗ- < <x ửữ

ố ø

p p

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số luôn đồng biến hoặc nghịch biến 
trên tập xác định (hoặc trên từng khoảng xác định)

Cho haựm soõ y f x m= ( , ), m laự tham soõ, coỳ taồp xaỳc ũúnh D. 
· Haựm soõ f ũoỏng biẽn trn D í yđỂ 0, "x ẽ D. 
· Haựm sõ f nghúch biẽn trn D í yđê 0, "x ẽ D. 
Tữự ũoỳ suy ra ũieỏu kieồn cuỹa m.

Chú ý:

1) y¢ = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm. 
2) Nếu y'=ax2+bx x+ thì:

·

0
0
' 0,

0
0

a b
c

y x R

a

ộỡ = =

ớ
ờợ 
" ẻ ờ

ỡ >
ờớ
ờợ Ê
ở D

·

0
0
' 0,

0
0

a b
c

y x R

a
éì = =

ớ
ờợ Ê

Ê " ẻ ờ

ỡ <
ờớ
ờ Ê
ở D
3) nh lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ :

· Nếu D < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

· Nếu D = 0 thì g(x) ln cùng dấu với a (trừ x =

b
a

- )

· Nếu D > 0 thì g(x) có hai nghiệm x1, x2 và trong khoảng hai nghiệm thì g(x) khác dấu 
với a, ngồi khoảng hai nghiệm thì g(x) cùng dấu với a.

4) So sánh các nghiệm x1, x2 của tam thức bậc hai g x( )=ax2+bx c+ với số 0:

· 1 2 0 00

x x P

S
ì >
ï
< < Ûí >

ï <
ỵ

D

· 0 1 2 00

x x P

S
ì >
ï
< < Ûí >

ï >
ỵ

D

· x1< <0 x2 Û <P 0

5) Để hàm số y ax= 3+bx2+cx d+ có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng 
d thì ta thực hiện các bước sau:

· Tính y¢.

· Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến và nghịch biến:

0

a
ì ¹
í >

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

· Biến đổi x1-x2 =d thành (x1+x2)2-4x x1 2=d2 (2) 
· Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

· Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn đồng biến trên từng khoảng xác định (hoặc
tập xác định) của nó:

a) y x= 3+5x+13 b) 3 3 2 9 1
3

x

y= - x + x+ c) 2 1

x
y

x

-=

d) 2 2 3

x x

y

x

+ e) y=3x-sin(3x+1) f)

2 2 1

x mx

y

x m

-Bài 2. Chứng minh rằng các hàm số sau luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định (hoặc
tập xác định) của nó:

a) y= - +5x cot(x-1) b) y=cosx x- c) y=sinx-cosx-2 2x

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng xác
định) của nó:

a) y x= 3-3mx2+(m+2)x m- b) 3 2 2 1

3 2

x mx

y= - - x+ c) y x m

x m
+
=

d) y mx 4
x m

+
=

+ e)

2 2 1

x mx

y

x m

- f)

2 2 3 2

x mx m

y

x m

- +

-Bài 4. Tìm m để hàm số:

a) y x= 3+3x2+mx m+ nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 1.

b) 1 3 1 2 2 3 1

3 2

y= x - mx + mx- m+ nghịch biến trên một khoảng có độ dài bằng 3.

c) 1 3 ( 1) 2 ( 3) 4

y= - x + m- x + m+ x- đồng biến trên một khoảng có độ dài bằng 4.

Bài 5. Tìm m để hàm số:

a) 3 ( 1) 2 ( 1) 1

x

y= + m+ x - m+ x+ đồng biến trên khoảng (1; +¥).
b) y x= 3-3(2m+1)x2+(12m+5)x+2 đồng biến trên khoảng (2; +¥).
c) y x 4 (m 2)

x m
+

= ¹ ±

+ đồng biến trên khoảng (1; +¥).

d) y x m
x m

+
=

- đồng biến trong khoảng (–1; +¥).

e) 2 2 3 2

x mx m

y

x m

- +

- đồng biến trên khoảng (1; +¥).

f) 2 2 3

2 1

x x m

y

x

- - +

+ nghch bin trờn khong 1 ;2

ổ ử

- +Ơ

ỗ ữ

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5>

VẤN ĐỀ 3: Ứng dụng tính đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực hiện các bước sau:

· Chuyển bất đẳng thức về dạng f(x) > 0 (hoặc <, ³, £ ). Xét hàm số y = f(x) trên tập 
xác định do đề bài chỉ định.

· Xét dấu f¢ (x). Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến. 
· Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận. 
Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f¢ (x) thì ta đặt h(x) = f¢ (x) và quay lại 
tiếp tục xét dấu h¢ (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thơi.

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng: f(a) < f(b). 
Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Bài 1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) 3 sin , 0

x

x- < x x với x< > b) 2sin 1tan , 0

3 x+3 x x với> < <x 2

p

c) tan , 0

x< x với < <x p d) sin tan 2 , 0

x+ x> x với < <x p

Bài 2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) tan , 0

tana a với a bb b< < < < 2

p b) sin sin , 0

a- a b< - b với < < <a b p

c) tan tan , 0

a- a b< - b với < < <a b p

Bài 3. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) sin 2 , 0

x

x> với < <x p

p b)

3 3 5

sin , 0

6 6 120

x x x

x- < x x< - + với x>

Bài 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) ex > +1 x với x, >0 b) ln(1+x)<x với x, >0

c) ln(1 ) ln 1 , 0

x x với x

x

+ - > >

+ d)

(

)

2 2

1+xln x+ 1+x ³ 1+x

Bài 5. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) tan 550 >1,4 b) 1 sin 200 7

3< <20 c) log 3 log 42 > 3

HD: a) tan 550 =tan(450+10 )0 . Xét hàm số ( ) 1
1

x
f x

x
+
=

- . 
 b) Xét hàm số f x( ) 3= x-4x3.

f(x) đồng biến trong khoảng 1 1;

2 2

ổ ử

-ỗ ữ

ố ứ vaứ

0
1,sin 20 , 7

3 20ẻ

1 1;
2 2

ổ ử

-ỗ ữ

ố ứ.

</div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

VN ĐỀ 4: Chứng minh phương trình có nghiệm duy nhất

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau: 
· Chọn được nghiệm x0 của phương trình.

· Xét các hàm số y = f(x) (C1) và y = g(x) (C2). Ta cần chứng minh một hàm số đồng 
biến và một hàm số nghịch biến. Khi đó (C1) và (C2) giao nhau tại một điểm duy nhất 
có hồnh độ x0. Đó chính là nghiệm duy nhất của phương trình (*).

Chú ý: Nếu một trong hai hàm số là hàm hằng y = C thì kết luận trên vẫn đúng.

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) x + x- =5 5 b) x5+x3- 1 3- x+ =4 0

c) x+ x- +5 x+ +7 x+16 14= d) x2+15 3= x- +2 x2+8

Bài 2. Giải các phương trình sau:

a) 5x+ +1 5 x+ +2 5x+ =3 0 b) ln(x-4) 5= -x

c) 3x +4x =5x d) 2x+3x +5x =38

Bài 3. Giải các bất phương trình sau:

a) x+ +1 35x- +7 47x- +5 513x- <7 8 b) 2x+ x+ x+ +7 2 x2+7x <35

Baøi 4. Giải các hệ phương trình sau:
a)

3 2

2 1

x y y y

y z z z

z x x x

ì + = + +

í + = + +

ï + = + +
ỵ

3 2

2
2

x y y y

y z z z

z x x x

ì = + +
-ï

í = + +

ï = + +
-ỵ

c) 2tan 3 tan5
4

x y y x

x y

ì - =

-ï

í + =

ïỵ p d)

3 2

6 12 8

y x x

z y y

x z z

ì = - +

í = - +

ï = - +

ỵ

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

I.Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số f xác định trên tập D (D Ì R) và x0 Ỵ D.

a) x0 – điểm cực đại của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Ỵ (a; b) sao cho
f(x) < f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0}.

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) của f.

b) x0 – điểm cực tiểu của f nếu tồn tại khoảng (a; b) Ì D và x0 Ỵ (a; b) sao cho
f(x) > f(x0), với "x Ỵ (a; b) \ {x0}.

Khi đó f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) của f.

c) Nếu x0 là điểm cực trị của f thì điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị của đồ thị hàm số f.

II. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f¢ (x0) = 0.

Chú ý: Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc 
khơng có đạo hàm.

III. Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1. Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x0 và có đạo hàm
trên (a; b)\{x0}

a) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f đạt cực tiểu tại x0.
b) Nếu f¢ (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f đạt cực đại tại x0.

Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x0, f¢ (x0) = 0 và có
đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0.

a) Nếu f¢¢ (x0) < 0 thì f đạt cực đại tại x0.
b) Nếu f¢¢ (x0) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x0.

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị của hàm số

Qui tắc 1: Dùng định lí 1. 
· Tìm f¢ (x).

· Tìm các điểm xi (i = 1, 2, …) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc khơng có đạo hàm. 
· Xét dấu f¢ (x). Nếu f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua xi thì hàm số đạt cực trị tại xi. 
Qui tắc 2: Dùng định lí 2.

· Tính f¢ (x).

· Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm các nghiệm xi (i = 1, 2, …). 
· Tính f¢¢ (x) và f¢¢ (xi) (i = 1, 2, …).

Nếu f¢¢ (xi) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại xi. 
 Nếu f¢¢ (xi) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xi.

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Bài 1. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y=3x2-2x3 b) y = x3-2x2+2x-1 c) 1 3 4 2 15

y= - x + x - x

d) 4 2 3

x

y= -x + e) y x= 4-4x2+5 f) 4 2 3

2 2

x

y= - +x +

g) 2 3 6

x x

y

x

- + +

+ h)

3 4 5

x x

y

x

+ +

+ i)

2 2 15

x x

y

x

-Bài 2. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y=(x-2) (3 x+1)4 b) 4 22 2 1

2 3

x x

y

x x

+ - c)

2
2

3 4 4

x x

y

x x

+ +

d) y x x= 2-4 e) y= x2-2x+5 f) y x= + 2x x- 2

Bài 3. Tìm cực trị của các hàm số sau:

a) y=3 2x +1 b) 3 2

2 1

x
y

x
=

+ c) 4

x x

y e= + e

-d) y x= 2-5x+ +5 2 lnx e) y x= -4sin2x f) y x= -ln(1+x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1. Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f¢ (x0) = 0 hoặc tại x0 khơng có đạo hàm. 
2. Để hàm số y = f(x) đạt cực trị tại điểm x0 thì f¢ (x) đổi dấu khi x đi qua x0.

Chú ý:

· Hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+cx d+ có cực trị Û Phương trình y¢ = 0 có hai nghiệm 
phân biệt.

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách: 
 + y x( )0 =ax03+bx02+cx0+d

+ y x( )0 =Ax0+B, trong đó Ax + B là phần dư trong phép chia y cho y¢.

· Hàm số 2

' '

ax bx c

y

a x b

+ +

+ =

( )
( )

P x

Q x (aaÂạ 0) cú cc tr Phng trỡnh yÂ = 0 có hai 
nghiệm phân biệt khác '

b
a
- .

Khi đó nếu x0 là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị y(x0) bằng hai cách:

0 0

0
( )
( )

( )

P x
y x

Q x

= hoặc 0 0

0
'( )
( )

'( )

P x
y x

Q x
=

· Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ 
nghiệm ngoại lai.

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

Bài 1. Chứng minh rằng các hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu:

a) y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- 3 b) y=2x3-3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1
c) y x2 m m( 2 1)x m4 1

x m

+ - - +

- d)

2 2

x mx m

y

x m

+ - +

- +

Bài 2. Tìm m để hàm số:

a) y=(m+2)x3+3x2+mx-5 có cực đại, cực tiểu.

b) y = x3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)x m m- ( -1) có cực đại, cực tiểu.
c) y x= 3-3mx2+(m2-1)x+2 đạt cực đại tại x = 2.

d) y= -mx4+2(m-2)x2+ -m 5 có một cực đại 1 .
2

x=

e) y x2 2mx 2
x m

- +

- đạt cực tiểu khi x = 2.

f) 2 ( 1) 2 4 2

x m x m m

y

x

- + - +

- có cực đại, cực tiểu.

g) 2

x x m

y
x
- +
=

- có một giá trị cực đại bằng 0.

Bài 3. Tìm m để các hàm số sau khơng có cực trị:

a) y x= 3-3x2+3mx+3m+4 b) y mx= 3+3mx2-(m-1)x-1

c) 2 5

x mx

y

x

- + +

- d)

2 ( 1) 2 4 2

x m x m m

y

x

- + - +

-Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) y ax= 3+bx2+cx d+ đạt cực tiểu bằng 0 tại x = 0 và đạt cực đại bằng 4

27 tại x = 13
b) y ax= 4+bx2+c có đồ thị đi qua gốc toạ độ O và đạt cực trị bằng –9 tại x = 3 .

c) 2

x bx c

y

x

+ +

- đạt cực trị bằng –6 tại x = –1.

d) y ax2 bx ab
bx a

+ +

+ đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.

e) 2 22

ax x b

y

x

+ +

+ đạt cực đại bằng 5 tại x = 1.

Bài 5. Tìm m để hàm số :

a) y x= 3+2(m-1)x2+(m2-4m+1)x-2(m2+1) đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao

cho: 1 2

1 2

1 1 1 ( )

2 x x

x +x = + .

b) 1 3 2 1

y= x -mx +mx- đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho: x1-x2 ³8.

c) 1 3 ( 1) 2 3( 2) 1

3 3

y= mx - m- x + m- x+ đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho:

1 2 2 1

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

Bài 6. Tìm m để hàm số :

a) 2 2

x mx m

y

x m

+ - +

- + có cực đại, cực tiểu và các giá trị cực đại, cực tiểu cùng dấu.

b) 2 ( 1) 2 4 2

x m x m m

y

x

- + - +

- có cực đại, cực tiểu và tích các giá trị cực đại, cực

tiểu đạt giá trị nhỏ nhất.

c) 2 3

x x m

y

x

- + +

- có giá trị cực đại M và giá trị cực tiểu m thoả M m- =4.

d) 2 2 3 2

x x m

y

x

+ +

+ có yCĐ-yCT <12.

Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y= - +x3 mx2-4 có hai điểm cực trị là A, B và 2 900 2
729

m

AB = .

b) y x= 4-mx2+4x m+ có 3 điểm cực trị là A, B, C và tam giác ABC nhận gốc toạ độ
O làm trọng tâm.

c) y x2 mx m 2
x m

+ +

- có hai điểm cực trị nằm hai phía đối với trục tung. Chứng minh

hai điểm cực trị ln ln nằm cùng một phía đối với trục hồnh.

d) 2

x mx

y

x
+
=

- có khoảng cách giữa hai điểm cực trị bằng 10.

e) 2 2 5

x mx

y

x

- + +

- có hai điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với đường

thẳng y = 2x.

f) y x2 2x m 3
x m

+ + +

- có hai điểm cực trị và khoảng cách giữa chúng nhỏ nhất.

Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y=2x3+mx2-12x-13 có hai điểm cực trị cách đều trục tung.

b) y x= 3-3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường phân
giác thứ nhất.

c) y x= 3-3mx2+4m3 có các điểm cực đại, cực tiểu ở về một phía đối với đường
thẳng (d): 3x-2y+ =8 0.

d) 2 (2 1) 2 1

x m x m

y

x

+ + + +

+ có hai điểm cực trị nằm ở hai phía đối với đường thẳng

(d): 2x-3y- =1 0.

Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số :
a) y x2 (m 1)x 2m 1

x m

- + +

- có hai điểm cực trị ở trong góc phần tư thứ nhất của mặt

phẳng toạ độ.

b) 2 2 (4 2 1) 32 2 2

mx m x m m

y

x m

+ + + +

+ có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

c) y mx2 (m2 1)x 4m2 m
x m

- + + +

- có một điểm cực trị nằm trong góc phần tư thứ nhất

và điểm kia nằm trong góc phần tư thứ ba của mặt phẳng toạ độ.

d) 2 (2 1) 2 1

x m x m

y

x

+ + + +

+ có hai điểm cực trị nằm ở hai phía của trục hồnh (tung).

VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

1) Hàm số baäc ba y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+ .

· Chia f(x) cho f¢ (x) ta được: f(x) = Q(x).f¢ (x) + Ax + B. 
· Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) là các điểm cực trị thì:

1 1 1

2 2 2

( )
( )

y f x Ax B

ỡ = = +

ớ = = +

ợ

ị Cỏc im (x1; y1), (x2; y2) nằm trên đường thẳng y = Ax + B.

2) Hàm số phân thức ( ) ( ) 2

( )

P x ax bx c

y f x

Q x dx e

+ +

= = =

+ .

· Giả sử (x0; y0) là điểm cực trị thì 0 0

0
'( )
'( )

P x

y

Q x

= .

· Giả sử hàm số có cực đại và cực tiểu thì phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 
cực trị ấy là: '( ) 2

'( )

P x ax b

y

Q x d

= = .

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số :
a) y x= 3-2x2- +x 1 b) y=3x2-2x3 c) y x= 3-3x2-6x+8

d) 2 2 1

x x

y
x

- +
=

+ e

2 1

x x

y
x

-Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực
trị của đồ thị hàm số:

a) y x= 3-3mx2+3(m2-1)x m- 3 b) y x2 mx 6
x m

c) y x= 3-3(m-1)x2+(2m2-3m+2)x m m- ( -1) d) 2 2
1

x mx m

y

x m

+ - +

- +

Bài 3. Tìm m để hàm số:

a) y=2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x-1 có đường thẳng đi qua hai điểm cực trị song song
với đường thẳng y = –4x + 1.

b) y=2x3+3(m-1)x2+6 (1 2 )m - m x có các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm trên
đường thẳng y = –4x.

c) y x= 3+mx2+7x+3 có đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu vng góc
với đường thẳng y = 3x – 7.

d) y x= 3-3x2+m x m2 + có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường
thẳng (D): 1 5

2 2

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

1. Định nghóa:

Giả sử hàm số f xác định trên miền D (D Ì R).
a)

0 0

( ) ,

max ( ) : ( )

D

f x M x D

M = f x Û í$ Ỵì x ÊD f x" ẻ=M
ợ

0 0

( ) ,

min ( ) : ( )

D

f x m x D

m= f x Û ớ$ ẻỡ x D f x" ẻ =m
ợ

2. Tớnh chaỏt:

a) Nếu hàm số f đồng biến trên [a; b] thì

[ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b f x = f b a b f x = f a .

b) Nếu hàm số f nghịch biến trên [a; b] thì

[ ; ] [ ; ]

max ( ) ( ), min ( ) ( )

a b f x = f a a b f x = f b .

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách lập bảng biến thiên

Cách 1: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một khoảng.

· Tính f¢ (x).

· Xét dấu f¢ (x) và lập bảng biến thiên. 
· Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng khi tìm GTLN, GTNN của hàm số liên tục trên một đoạn [a; b]. 
· Tính f¢ (x).

· Giải phương trình f¢ (x) = 0 tìm được các nghiệm x1, x2, …, xn trên [a; b] (nếu có). 
· Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).

· So sánh các giá trị vừa tính và kết luận.

{

1 2

}

[ ; ]

max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )n
a b

M= f x = f a f b f x f x f x

{

1 2

}

[ ; ]

min ( ) min ( ), ( ), ( ), ( ),..., ( )n
a b

m= f x = f a f b f x f x f x

Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y x= 2+4x+3 b) y=4x3-3x4 c) y x= 4+2x2-2

d) y= x2+ -x 2 e) 2 1

2 2

x
y

x x

- + f)

2
2

2 4 5

x x

y

x

+ +

g) y x2 1 ( 0)x
x

= + > h) 22 1

x x

y

x x

- +
=

+ + i)

4 2

3 1 ( 0)

x x

y x

x x

+ +

= >

Bài 2. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) y=2x3+3x2-12x+1 trên [–1; 5] b) y=3x x- 3 treân [–2; 3]
c) y x= 4-2x2+3 treân [–3; 2] d) y x= 4-2x2+5 treân [–2; 2]

e) 3 1

x
y

x

-=

- treân [0; 2] f)

1
1

x
y

x

-=

+ treân [0; 4]

III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

g) 4 2 7 7
2

x x

y

x

+ +

+ treân [0; 2] h)

2
1

x x
y

x x
- +
=

+ - treân [0; 1]

i) y= 100-x2 treân [–6; 8] k) y= 2+ +x 4-x

Baøi 3. Tìm GTLN, GTNN của các hàm số sau:

a) 2sin 1

sin 2

x
y

x

-=

+ b) 2

cos cos 1

y

x x

+ + c)

2sin cos 1

y= x- x+

d) y=cos2x-2sinx-1 e) y=sin3x+cos3x f) 4 2 21
1

x
y

x x

- +

g) y=4 x2-2x+ +5 x2-2x+3 h) y= -x2+4x+ x2-4x+3

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng bất đẳng thức

Cách này dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN của hàm số. 
· Chứng minh một bất đẳng thức.

· Tìm một điểm thuộc D sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm được trở 
thành đẳng thức.

Bài 1. Giả sử D=

{

( ; ; ) /x y z x>0,y>0,z>0,x y z+ + =1

}

. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức:

1 1 1

x y z

P

x y z

= + +

+ + + .

HD: 3 1 1 1

1 1 1

P

x y z

æ ử

= -ỗ + + ữ

+ + +

ố ứ

S dụng bất đẳng thức Cô–si:

[

( 1) ( 1) ( 1)

]

1 1 1 9

1 1 1

x y z

ổ ử

+ + + + = ỗ + + ữ

+ + +

è ø

Þ P £ 3

4. Dấu “=” xảy ra Û x = y = z = 
1
3. Vaäy

3
min

D P= .

Baøi 2. Cho D = ( ; ) / 0, 0, 5
4

x y x y x y

ì ỹ

> > + =

ớ ý

ỵ. Tỡm giỏ tr nh nhất của biểu thức:

4 1

S

x y

= + .

HD:

(

)

1 1 1 1 1 25

x x x x y

ổ ử

+ + + + ỗ + + + + ÷³

è ø Û

4 1

4( ) 25

x y

x y

ỉ ử

+ ỗ + ữ

ố ứ

ị S 5. Daỏu = xaûy ra Û x = 1, y = 1

4. Vaäy minS = 5.

Bài 3. Cho D =

{

( ; ) /x y x >0,y>0,x y+ <1

}

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 2 1

1 1

x y

P x y

x y x y

= + + + +

- - + .

HD: (1 ) 2 (1 ) 2 1 2

1 1

x y

P x y

x y x y

= + + + + + +

-- - + =

1 1 1 2

1-x+1-y x y+ + - .

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si:

[

(1 ) (1 ) ( )

]

1 1 1 9

1 1

x y x y

x y x y

æ ử

- + - + + ỗ + + ữ

- - +

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

Û 1 1 1 9

1-x+1-y x y+ + ³2

Þ P ³ 5

2. Dấu “=” xảy ra Û x = y = 
1

3. Vaäy minP = 
5
2 .

Bài 4. Cho D =

{

( ; ) /x y x>0,y>0,x y+ ³4

}

. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

3 2 4 2 2 2

x y

P

x y

+ +

= + .

HD: 1 2 12

4 8 8 2

x y y x y

P

x y

ổ ử +

= + + ỗ + + ữ+

ố ø (1)

Theo bất đẳng thức Cô–si: 1 2 .1 1

4 4

x x

+ ³ = (2)

3

2 2

1 3 1 . . 3

8 8 8 8 4

y y y y

y + + ³ y = (3)

Þ P ³ 9

2. Dấu “=” xảy ra Û x = y = 2. Vậy minP = 
9
2.

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN của hàm số bằng cách dùng miền giá trị

Xét bài tốn tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) trên một miền D cho trước.

Gọi y0 là một giá trị tuỳ ý của f(x) trên D, thì hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

( ) 0 (1)

(2)

f x y

x D

ì =

í Ỵ
ỵ

Tuỳ theo dạng của hệ trên mà ta có các điều kiện tương ứng. Thông thường điều kiện

ấy (sau khi biến đổi) có dạng: m £ y0£ M (3)

Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x) nên từ (3) ta suy ra được:

min ( ) ; max ( )

D f x =m D f x =M

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) 22 1

x x

y

x x

+ +
=

- + b)

2
2

2 7 23

2 10

x x

y

x x

+ +

+ + c)

2sin cos 1

sin 2 cos 3

x x

y

x x

+ +

- +

d) 2sin cos 3

2 cos sin 4

x x

y

x x

+ +

- +

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN của hàm số trong PT, HPT, BPT

Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên miền D và có min ( ) ; max ( )

D f x =m D f x =M. Khi đó:

1) Hệ phương trình f x( )
x D

ì =

ớ ẻ
ợ

a coự nghieọm m ÊaÊ M. 
2) Heọ baỏt phửụng trỡnh f x( )

x D

ỡ

ớ ẻ
ợ

a có nghiệm Û M ³a. 
3) Hệ bất phương trình f x( )

x D

ỡ Ê

ớ ẻ
ợ

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

4) Bất phương trình f(x) ³a đúng với mọi x Û m ³a. 
5) Bất phương trình f(x) £b đúng với mọi x Û M £b.

Bài 1. Giải các phương trình sau:

a) 4x- +2 44- =x 2 b) 3x +5x =6x+2 c) 5 (1 )5 1
16

x + -x =

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau có nghiệm:

a) x+ 2x2+ =1 m b) 2- +x 2+ -x (2-x)(2+x)=m

c) 3+ +x 6- -x (3+x)(6-x)=m d) 7- +x 2+ -x (7-x)(2+x)=m

Bài 3. Tìm m để các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x Ỵ R:

a) x+ 2x2+ >1 m b) m 2x2+ < +9 x m c) mx4-4x m+ ³0

Bài 4. Cho bất phương trình: x3-2x2+ - + <x 1 m 0.
a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2].
b) Tìm m để bất phương trình thoả mọi x thuộc [0; 2].

Bài 5. Tìm m để các bất phương trình sau:

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

1. Định nghóa:

Điểm U x f x

(

0; ( )0

)

đgl điểm uốn của đồ thị hàm số y = f(x) nếu tồn tại một khoảng (a;
b) chứa điểm x0 sao cho trên một trong hai khoảng (a; x0) và (x0; b) tiếp tuyến của đồ
thị tại điểm U nằm phía trên đồ thị cịn trên khoảng kia tiếp tuyến nằm phía dưới đồ thị

2. Tính chất:

· Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên một khoảng chứa điểm x0, f¢¢(x0) = 0 và
f¢¢(x) đổi dấu khi x đi qua x0 thì U x f x

(

0; ( )0

)

là một điểm uốn của đồ thị hàm số.

· Đồ thị của hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+cx d+ (a ¹ 0) ln có một điểm uốn và đó
là tâm đối xứng của đồ thị.

Bài 1. Tìm điểm uốn của đồ thị các hàm số sau:

a) y x= 3-6x2+3x+2 b) y x= 3-3x2-9x+9 c) y x= 4-6x2+3

d) 4 2 2 3

x

y= - x + e) y x= 4-12x3+48x2+10 f) y=3x5-5x4+3x-2

Bài 2. Tìm m, n để đồ thị của hàm số sau có điểm uốn được chỉ ra:

a) y x= 3-3x2+3mx+3m+4; I(1; 2). b) 3 ( 1) 2 ( 3) 8

3 3

x

y= - + m- x + m+ x- ; I(1; 3)
c) y mx= 3+nx2+1; I(1; 4) d) y x= 3-mx2+nx-2; 2 ; 3

Iổỗ - ửữ

ố ứ

e) y x3 3mx2 2

m

= - + - ; I(1; 0) f) y mx= 3+3mx2+4; I(–1; 2)

Bài 3. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn:

a) 5 4 4 (4 3) 3 5 1

5 3

x

y= - x + m+ x + x- b) 2 2 1

x mx

y
x

Bài 4. Chứng minh đồ thị của các hàm số sau có 3 điểm uốn thẳng hàng:

a) 22 1

x
y

x x

+
=

+ + b) 2

1
1

x
y

x
+
=

+ c)

2
2

2 3

x x

y
x

d) 22 1
1

x
y

x
+
=

+ e) 2 1

x
y

x
=

+ f)

2
2

2 5

x x

y

x x

+ +

- +

g) 22 2 3

3 3

x x

y

x x

- + h)

2
2

3
1

x x

y
x

+
=

+ i)

2 4 5

x
y

x x

- +

Bài 5. Tìm m, n để đồ thị của các hàm số:

a) y x= 4-2x3-6x2+mx+2m-1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2).

b) 3 2 2

3 3

x

y= - -x +mx+ có điểm uốn ở trên đường thẳng y x= +2.

c) 1 4 2

y= - x +mx +n có điểm uốn ở trên Ox.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

1. Định nghóa:

· Đường thẳng x x= 0 đgl đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y f x= ( ) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim ( )

x x® + f x = +¥;

lim ( )

x xđ + f x = -Ơ;

lim ( )

x xđ - f x = +Ơ;

lim ( )
x xđ - f x = -¥
· Đường thẳng y y= 0 đgl đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y f x= ( ) nếu ít
nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim ( ) 0

xđ+Ơf x =y ; xlim ( )đ-Ơf x =y0

Ã ng thng y ax b a= + , ¹0 đgl đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y f x= ( )
nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

lim

[

( ) ( )

]

xđ+Ơ f x - ax b+ = ; xđ-Ơlim

[

f x( ) (- ax b+ )

]

2. Chú ý:

a) Nếu ( ) ( )

( )

P x
y f x

Q x

= = là hàm số phân thức hữu tỷ.

· Nếu Q(x) = 0 có nghiệm x0 thì đồ thị có tiệm cận đứng x x= 0.

· Nếu bậc(P(x)) £ bậc(Q(x)) thì đồ thị có tiệm cận ngang.

· Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + 1 thì đồ thị có tiệm cận xiên.

b) Để xác định các hệ số a, b trong phương trình của tiệm cận xiên, ta có thể áp dụng
các công thức sau:

lim ( ); lim

[

( )

]

x x

f x

a b f x ax

x

đ+Ơ đ+Ơ

= =

-hoc lim ( ); lim

[

( )

]

x x

f x

a b f x ax

x

đ-Ơ đ-Ơ

= =

-Bi 1. Tỡm cỏc tim cn của đồ thị các hàm số sau:

a) 2 5

x
y
x

-=
- b)
10 3
1 2
x
y
x
+
=

- c)

2 3
2
x
y
x
+
=

-d) 2 4 3

1
x x
y

x
- +
=
+ e)
2
( 2)
1
x
y
x

-=
- f)
2

7 4 5

2 3
x x
y
x
+ +
=

-Bài 2. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) 2

4 5

x
y

x x

- + b) 2

2
9
x
y
x
+
=

- c)

2
2
4 5
1
x x
y
x
+ +
=

-d) 2 22 3 3
1
x x
y
x x
+ +
=

+ + e)

3
2
1
1
x x
y
x
+ +
=
+ f)
4
3
4
1
x x
y
x
- +
=

-Bài 3. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:
a) y= x2-4x b)

2
4 2
9
x
y
x
+
=

- c) 2

1
4 3
y
x x
=
- +

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

d) 1
1
x
y x
x

-=

+ e)

33 2 3

y= x -x f) 2 3 2

2
x x
y
x
- +
=

-Bài 4. Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) 2 1

2 1

x
x

y= +

- b) ln 2

x x

e e

y= - - c) y=ln(x2-5x+6)

Bài 5. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có đúng hai tiệm cận đứng:

a) 2 3

2 2 1

y

x mx m

+ + - b)

2
2

3 2( 1) 4

x
y

x m x

+
=

+ + + c) 2

3
2

x
y

x x m

+
=

+ +

-Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số sau có tiệm cận xiên:

a) 2 (3 2) 2 1

x m x m

y

x

+ + +

+ b)

2 (2 1) 3

mx m x m

y

x

+ + + +

Bài 7. Tính diện tích của tam giác tạo bởi tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau chắn
trên hai trục toạ độ:

a) 3 2 1

1
x x
y

x
+ +
=
- b)
2
3 4
2
x x
y
x
- +
-=

+ c)

2 7
3
x x
y
x
+
-=

-Bài 8. Tìm m để tiệm cận xiên của đồ thị các hàm số sau tạo với các trục toạ độ một tam
giác có diện tích S đã chỉ ra:

a) 2 1

x mx
y
x
+
-=

- ; S = 8 b)

2 (2 1) 2 3

x m x m

y

x

+ - - +

+ ; S = 8

c) 2 2 2(2 1) 4 5

x m x m

y

x

+ + +

+ ; S = 16 d)

2
2 2
1
x mx
y
x
+
-=

- ; S = 4

Bài 9. Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kì trên đồ thị của các hàm
số đến hai tiệm cận bằng một hằng số:

a) 2 1

1
x x
y
x

- +
=

- b)

2 5 4

3
x x
y
x
+
-=

+ c)

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

-1. Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

· Tìm tập xác định của hàm số.

· Xét sự biến thiên của hàm số:
+ Tính y¢.

+ Tìm các điểm tại đó đạo hàm y¢ bằng 0 hoặc khơng xác định.

+ Tìm các giới hạn tại vơ cực, giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận (nếu có).

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu của đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị của hàm số.

· Vẽ đồ thị của hàm số:

+ Tìm điểm uốn của đồ thị (đối với hàm số bậc ba và hàm số trùng phương).
– Tính y¢¢.

– Tìm các điểm tại đó y¢¢ = 0 và xét dấu y¢¢.
+ Vẽ các đường tiệm cận (nếu có) của đồ thị.

+ Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị như giao điểm của đồ thị với các trục
toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm toạ độ giao
điểm phức tạp thì có thể bỏ qua). Có thể tìm thêm một số điểm thuộc đồ thị để có thể
vẽ chính xác hơn.

+ Nhận xét về đồ thị: Chỉ ra trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) của đồ thị.

2. Hàm số bậc ba yy ax= 3+bx2+cx d a+ ( ¹0):

· Tập xác định R = R.

· Đồ thị ln có một điểm uốn và nhận điểm uốn làm tâm đối xứng.

· Các dạng đồ thị:

a > 0 a < 0

y’ = 0 coù 2 nghiệm phân biệt

ÛD’ = b2 – 3ac > 0

y’ = 0 có nghiệm kép

ÛD’ = b2 – 3ac = 0

y’ = 0 vô nghiệm

ÛD’ = b2 – 3ac < 0 y

x 
0

I 
y

x 
0

I

y

x 
0 I

y

x 
0

I

y

x 
0

I

VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN

VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ

y

x 
0

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

3. Hàm số trùng phương y ax= 4+bx2+c a( ¹0):

· Tập xác định D = R.

· Đồ thị luôn nhận trục tung làm trục đối xứng.

· Các dạng đồ thị:

4. Haøm số nhất biến y ax b (c 0,ad bc 0)

cx d
+

= ¹ - ¹

+ :

· Tập xác định D = \R d
c

ỡ ỹ

-ớ ý

ợ ỵ.

Ã th cú một tiệm cận đứng là x d
c

= - vaø một tiệm cận ngang là y a
c

= . Giao điểm
của hai tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

· Các dạng đồ thị:

5. Hàm số hữu tỷ 2 ( . ' 0, )

' '

ax bx c

y a a tử không chia hết cho mẫu

a x b

+ +

= ¹

+ :

· Tập xác định D = \ '
'

b
R

a
ỡ- ỹ

ớ ý

ợ ỵ.

Ã thị có một tiệm cận đứng là '
'

b
x

a

= - và một tiệm cận xiên. Giao điểm của hai
tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị hàm số.

a > 0 a < 0

y’ = 0 có 3 nghiệm
phân biệt

Û ab < 0

y’ = 0 chỉ có
1 nghiệm

Û ab > 0

y

x 
0

y

x 
0

y

x 
0

y

x 
0

0

ad – bc > 0 
x 
y

0

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

· Các dạng đồ thị:

a.a¢ > 0 a.a¢ < 0

y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt

y¢ = vô nghiệm

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y x= 3-3x2-9x+1 b) y x= 3+3x2+3x+5 c) y= - +x3 3x2-2
d) y=(x-1) (42 -x) e) 3 2 1

3 3

x

y= -x + f) y= - -x3 3x2-4x+2

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y x= 4-2x2-1 b) y x= 4-4x2+1 c) 4 3 2 5

2 2

x

y= - x +

d) y=(x-1) (2 x+1)2 e) y= -x4+2x2+2 f) y= -2x4+4x2+8

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 1

2
x
y
x
+
=
+ b)
2 1
1
x
y

x
+
=

- c)

3
4
x
y
x

-=

-d) 1 2

1 2
x
y
x

-=
+ e)
3 1
3
x
y
x

- f)

2
2 1
x
y
x

-=
+

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số:

a) 2 1

1
x x
y
x
+ +
=

+ b)

2 2
1
x x
y

x
+ +
=

- c)

2 2
1
x x
y
x
+
-=
+

d) 1 1

1
y x
x
= - + +
- e)
2
1
x
y
x
=

- f)

2 2
1
x x
y
x

-=
+

Bài 5. Vẽ đồ thị của các hàm số:

a) y x= 3-3 x +2 b) y= - +x3 3x2-2 c) y x= 4-2x2-3

d) 1

1
x
y
x
+
=
- e)
2 2
1
x x
y
x
- +
=

- f)

2 3 3

2
x x
y
x
+ +
=
+

0 x

y

0 x

y

0 x 
0 x

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ

1. Cho hai đồ thị (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x). Để tìm hồnh độ giao điểm của (C1) và
(C2) ta giải phương trình: f(x) = g(x) (*) (gọi là phương trình hồnh độ giao điểm).
Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của hai đồ thị.

2. Đồ thị hàm số bậc ba y ax= 3+bx2+cx d a+ ( ¹0) cắt trục hồnh tại 3 điểm phân biệt

Û Phương trình ax3+bx2+cx d+ =0 có 3 nghiệm phân biệt.

Û Hàm số y ax= 3+bx2+cx d+ có cực đại, cực tiểu và yCĐ CT.y <0.

Bài 1. Tìm toạ độ giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:
a)
2 3
3
2 2
1
2 2
x
y x
x
y
ì
= - +
-ïï
í
ï = +
ïỵ
b)
2
2 4
1
2 4
x

y
x

y x x

ì =

-ï

-ï = - + +
ỵ

c) 4 3 3

y x x

y x

ì =

-í = - +

ỵ

d) 42 2 1

4 5

y x x

y x
ìï = - +
í
=
-ïỵ e)
3 2

2 5 1 10 5

y x x x

y x x

ìï = - +

-í

= - +

ïỵ f)

2
1
3 1
x
y

x
y x
ì
ï =
í 
-ï = - +
ỵ

Bài 2. Biện luận theo m số giao điểm của các đồ thị của các hàm số sau:

a) 3 3 2

( 2)

y x x

y m x
ì = - +

í =

-ỵ b)

3 2
2
3 2
1 13
2 12
x x
y x

y m x
ì
= +
-ùù
ớ ổ ử
ù = ỗ + ữ+
ù ố ứ
ợ
c)
3
3
3
( 3)
x
y x

y m x
ì
ï = - +
í
ï =
-ỵ

d) 2 21

x

y

x

y x m

ì +

ï =

í +

ï = +

ỵ

e) 11

x
y

x

y x m

ì +
ï =
í

-ï = - +
ỵ
f)

2 6 3

x x

y
x
y x m

ì - +

ï =

í +

ï =
-ỵ

g) 3 11

3
y x
x
y mx
ìï = - + +

í
-ï = +
ỵ
h)

2 3 3

4 1

x x

y
x

y mx m

ì - +

ï =

í

-ï = -

-ỵ

i) 2 32 1

( 1)

y x x

y m x

ìï = + +

-ïỵ

Bài 3. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) ( 2)2 1; 1

x

y y mx

x

-= = +

+ cắt nhau tại hai điểm phân bieät.

b) 2 2 3 ; 2

x x m

y y x m

x

- +

= = +

- caét nhau tại hai điểm phân biệt.

c) 2 ; 2

mx x m

y y mx

x
+ +

= = +

- cắt nhau tại hai điểm có hồnh độ trái dấu.

d) 2 4 5 ; 2

x x

y y mx

x

+ +

= = +

+ cắt nhau tại hai điểm có hồnh độ trái dấu.

e) ( 2) ;2 3

x

y y mx

x

-= = +

- cắt nhau tại hai điểm thuộc hai nhánh khác nhau.

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

f) 2
1

mx x m

y

x
+ +
=

- cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hồnh độ dương.

Bài 4. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 3+3x2+mx+2 ;m y= - +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
b) y mx= 3+3mx2- -(1 2 )m x-1 cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
c) y=(x-1)(x2-mx m+ 2-3) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.

d) y x= 3+2x2-2x+2m-1; y=2x2- +x 2 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.
e) y x= 3+2x2-m x2 +3 ;m y=2x2+1 cắt nhau tại ba điểm phân biệt.

Bài 5. Tìm m để đồ thị các hàm số:

a) y x= 4-2x2-1; y m= cắt nhau tại bốn điểm phân biệt.

b) y x= 4-m m( +1)x2+m3 cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
c) y x= 4-(2m-3)x2+m2-3m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Bài 6. Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) 3 1; 2

x

y y x m

x
+

= = +

- cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn

AB ngắn nhất.

b) 4 1;

x

y y x m

x

-= = - +

- cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tìm m để đoạn

AB ngắn nhất.

c) 2 2 4 ; 2 2

x x

y y mx m

x

- +

= = +

-- cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B. Khi đó tính

AB theo m.

Bài 7. Tìm m để đồ thị của các hàm số:

a) y x= 3-3mx2+6mx-8 cắt trục hồnh tại ba điểm có hồnh độ lập thành một cấp

số cộng.

b) y x= 3-3x2-9x+1; y=4x m+ cắt nhau tại ba điểm A, B, C với B là trung điểm
của đoạn AC.

c) y x= 4-(2m+4)x2+m2 cắt trục hồnh tại bốn điểm có hoành độ lập thành một cấp
số cộng.

d) y x= 3-(m+1)x2-(m-1)x+2m-1 cắt trục hoành tại ba điểm có hồnh độ lập
thành một cấp số nhân.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ

· Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình: f(x) = g(x) (1)

Số nghiệm của phương trình (1) = Số giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) 
Nghiệm của phương trình (1) là hồnh độ giao điểm của (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) 
· Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) bằng đồ thị ta biến đổi (*) về

một trong các dạng sau:

Dạng 1: F(x, m) = 0 Û f(x) = m (1)
Khi đó (1) có thể xem là phương trình hồnh độ
giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)
d: y = m

· d là đường thẳng cùng phương với trục hoành.

· Dựa vào đồ thị (C) ta biện luận số giao điểm
của (C) và d. Từ đó suy ra số nghiệm của (1)

Dạng 2: F(x, m) = 0 Û f(x) = g(m) (2)

Thực hiện tương tự như trên, có thể đặt g(m) = k.
Biện luận theo k, sau đó biện luận theo m.

Daïng 3: F(x, m) = 0 Û f(x) = kx + m (3)

(k: khơng đổi)

Khi đó (3) có thể xem là phương trình hồnh độ
giao điểm của hai đường:

(C): y = f(x)
d: y = kx + m

· Vì d có hệ số góc k không đổi nên d cùng phương
với đường thẳng y = kx và cắt trục tung tại điểm A(0; m).

· Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, … của (C)
có hệ số góc k.

· Dựa vào các tung độ gốc b, b1, b2, … của d, d1, d2, …
để biện luận.

Dạng 4: F(x, m) = 0 Û f(x) = m(x – x0) + y0 (4)
Khi đó (4) có thể xem là phương trình

hồnh độ giao điểm của hai đường:
(C): y = f(x)

d: y = m(x – x0) + y0

· d quay quanh điểm cố định M0(x0; y0).

· Viết phương trình các tiếp tuyến d1, d2, …
của (C) đi qua M0.

· Cho d quay quanh điểm M0 để biện luận.

Chú ý:

· Nếu F(x, m) = 0 có nghiệm thoả điều kiện: a£ x £b thì ta chỉ vẽ đồ thị (C): y = f(x) 
với a£ x £b.

· Nếu có đặt ẩn số phụ thì ta tìm điều kiện của ẩn số phụ, sau đó biện luận theo m.

m A

(C)

c.(d) : y = m

yCÑ

yCT

xA

y

x 
A

y = kx

m
(C)

M1

M2

b1

b2

d1

d
d2

O

y

x0

d3

d1 y0

0

(C)

M1

M2

d2

m = –¥

m = +¥

m > 0
m = 0
m < 0
d

I

IV

(–) 
(+)

M

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

VẤN ĐỀ 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

Để biện luận số nghiệm của phương trình F(x, m) = 0 (*) ta biến đổi (*) về một trong các 
dạng như trên, trong đó lưu ý y = f(x) là hàm số đã khảo sát và vẽ đồ thị.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:

a) y x= 3-3x+1; x3-3x+ - =1 m 0 b) y= - +x3 3x-1; x3-3x m+ + =1 0
c) y x= 3-3x+1; x3-3x m- 2-2m- =2 0 d) y= - +x3 3x-1; x3-3x m+ + =4 0

e) 4 2 2 2; 4 4 2 4 2 0

x

y= - + x + x - x - + m= f) y x= 4-2x2+2; x4-2x2- + =m 2 0

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:

a) 2 5 7 ; 2 ( 5) 3 7 0

x x

y x m x m

x

- +

= - + + + =

-b) 2 2 4 2 ; 2 2 2( 2) 3 2 0

2 3

x x

y x m x m

x

- +

= - + - + =

c) y x2 1; (m 1)x2 2x 1 0

x
+

= - + - =

d) 2 2 4 ; 2 2( 1) 4( 1) 0

2 4

x x

y x m x m

x

- +

= - + + + =

-Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:

a) 2 2 ; 2sin2 2 cos 2 0 (0 )

2 1

x

y m m

x

= + - - = £ £

- a a a p

b) 2 2 3 ; cos2 ( 3)cos 2 1 0 (0 )

x x

y m m

x

-= - + + + = £ £

- a a a p

c) 2 3 3; cos2 (3 )cos 3 2 0 (0 )

x x

y m m

x

+ +

= + - + - = £ £

+ a a a p

d) y x= 3-3x2+6; cos3x-3cos2x+ - =6 m 0

Bài 4. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Dùng đồ thị (C) biện luận theo
m số nghiệm của phương trình:

a) 2 5 7 ; 2 (3 7)2 5

t t

x x

y m m

x

-- +

= + + = +

-b) 2 1; 2 ( 1)2 1

1 t t

x x

y m m

x

-= + - =

-c) 2 2 5 4 ; 2 2 (5 ) 4 0

t t

x x

y e m e m

x

- +

= - + + + =

-d) y x2 5x 4 ; e2t (5 m e) t 4 0

x

- +

= - + + =

Bài 5. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. Từ đồ thị (C) hãy suy ra đồ thị
(T). Dùng đồ thị (T) biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

a) ( ) : 2 3 6; ( ) : 2 3 6 ; 2 3 6 2 0

1 1 1

x x x x x x

C y T y m

x x x

- + - + - +

= = - =

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

-b) ( ) :C y x2 5x 4; ( ) :T y x2 5x 4 ; x2 5x 4 m 2 0

x x x

- + - + - +

= = - + =

c) ( ) :C y x= 3-3x2+6; ( ) :T y x= 3-3x2+6 ; x3-3x2+ - + =6 m 3 0

d) ( ) :C y=2x3-9x2+12x-4; ( ) :T y=2 x3-9x2+12 x -4; 2x3-9x2+12 x m+ =0
e) ( ) :C y=(x+1) (22 -x T y); ( ) : =(x+1) 22 -x x;( +1) 22 - =x (m+1) (22 -m)

f) ( ) :C y x2 1; ( ) :T y x2 1; (m 1)x2 2 x 1 0

x x

+ +

= = - + - =

Bài 6. Cho hàm số ( ) 2
1

x
y f x

x
+

= =

- .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vng góc với đường thẳng x-3y=0.
c) Dùng đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình:

3x2-(m+2)x m+ + =2 0

Baøi 7. Cho haøm soá ( ) 1
1

x
y f x

x
+

= =

- .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) vng góc với đường thẳng x-2y=0.
c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:

2x2-(m+1)x m+ + =1 0

Bài 8. Cho hàm số ( ) 2
1

x
y f x

x

= =

- .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A(0; 1).
c) Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
(1-m x) 2- -(1 m x) + =1 0

VẤN ĐỀ 2: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc ba bằng đồ thị

Cơ sở của phương pháp: Xét phương trình bậc ba: ax3+bx2+cx d+ =0(a ¹ 0) (1) 
Gọi (C) là đồ thị của hàm số bậc ba: y f x= ( )=ax3+bx2+cx d+

Số nghiệm của (1) = Số giao điểm của (C) với trục hoành 
Dạng 1: Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 3

·Trường hợp 1: (1) chỉ có 1 nghiệm Û (C) và Ox có 1 điểm chung 
 Û 2 ( .1 )( .1 )

. 0

CĐ CT

f khơng có cực trị h a

f có cực trị h b

y y

é
êì

êí <

êỵ
ë
(C)

A

x0 O x

y

(h.1a)

(C)

A

x0 x

y

(h.1b) 
x1 o x2

yCT

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

·Trường hợp 2: (1) có đúng 2 nghiệm Û (C) tiếp xúc với Ox

Û . 2 0 ( .2)

CĐ CT

f có cực trị h

y y

í =

ỵ

·Trường hợp 3: (1) có 3 nghiệm phân biệt Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt

Û . 2 0 ( .3)

CĐ CT

f có cực trị h

y y

í <

ỵ

Dạng 2: Phương trình bậc ba có 3 nghiệm cùng dấu 
·Trường hợp 1: (1) có 3 nghiệm dương phân biệt

Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ dương

Û

. 0

0, 0

. (0) 0 ( 0)

CĐ CT

CĐ CT

f có cực trị

y y

x x

a f hay ad

ï <

í > >

< <

ïỵ

·Trường hợp 2: (1) có 3 nghiệm có âm phân biệt

Û (C) cắt Ox tại 3 điểm phân biệt có hồnh độ âm

Û

. 0

0, 0

. (0) 0 ( 0)

CĐ CT

CĐ CT

f có cực trị

y y

x x

a f hay ad

ï <

í < <

> >

ïỵ
x1

xA xB xC

C 
(C) 
yCÑ

y

A

o x2 x

a > 0

yCT

B

f(0)

x1

xA xB xC

C

(C) 
yCÑ

y

A

o x2 x

a < 0

yCT

B 
f(0)

x"0

C 
x1

(C) 
yCÑ

y

A

o x2 x

(H.3) 
yCÑ

x0 x'0

B 
(C)

yCÑ

y

A 
x0 o x1

B 
x'0

(yCT = f(x0) = 0)

x 
(H.2)

x1

xA xB xC

C 
(C) 
yCÑ

y

A

o 
x2

x 
a > 0

yCT

B

f(0)

xC

x2

x1

xA xB

C 
(C)

yCÑ

y

A

o x

a < 0

yCT

B

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Bài 1. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 1 nghiệm:

a) 2x3-3(m+1)x2+6mx- =2 0 b) x3-3x2+3(1-m x) + +1 3m=0
c) 2x3-3mx2+6(m-1)x-3m+12 0= d) x3-6x2-3(m-4)x+4m- =8 0
e) 2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x+ - =2 m 0 f) x3-3mx+2m=0

Bài 2. Tìm m để các phương trình sau chỉ có 2 nghiệm:

a) x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2 (2m m- =1) 0 b) x3-3mx+2m=0
c) x3-(2m+1)x2+(3m+1)x m-( + =1) 0 d) x3-3x2+3(1-m x) + +1 3m=0

Bài 3. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) x3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2- =1) 0 b) x3-6x2-3(m-4)x+4m- =8 0
c) 2x3+3(m-1)x2+6(m-2)x+ - =2 m 0 d) 1 3 0

3x - + =x m

Bài 4. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm dương phân biệt:

a) x3-3mx2+3(m2-1)x m-( 2- =1) 0 b) x3-6x2-3(m-4)x+4m- =8 0

c) 1 3 5 2 4 7 0

3x -2x + x m+ + =6 d)

3 2 (2 1) 2 0

x -mx + m+ x m- - =

Bài 5. Tìm m để các phương trình sau có 3 nghiệm âm phân biệt:

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

3. SỰ TIẾP XÚC CỦA HAI ĐƯỜNG. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG CONG.

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x0 là hệ số góc
của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M x f x0

(

0; ( )0

)

Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M x f x0

(

0; ( )0

)

là:
y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)

2. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ
phương trình sau có nghiệm:

ìíf xf x'( )( )=g xg x( )'( )

ỵ (*)

Nghiệm của hệ (*) là hồnh độ của tiếp điểm của hai đường đó.

3. Nếu (C1): y = px + q vaø (C2): y = ax2 + bx + c thì

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép.

VẤN ĐỀ 1: Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong (C): y = f(x)

Bài tốn 1: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x) tại điểm M x y : 0

(

0 0;

)

· Nếu cho x0 thì tìm y0 = f(x0).

Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f(x) = y0. 
· Tính y¢ = f¢ (x0). Suy ra y¢(x0) = f¢ (x0).

· Phương trình tiếp tuyến D là: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)

Bài tốn 2: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y =f(x), biết D có hệ số góc k cho trước. 
Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

· Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Tính f¢ (x0). 
·D có hệ số góc k ị fÂ (x0) = k (1)

Ã Gii phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f(x0). Từ đó viết phương trình của D. 
Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

· Phương trình đường thẳng D có dạng: y = kx + m.

·D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm: 
 ìíf xf x( )'( )=kx mk +

ỵ (*)

· Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của D.

Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến D có thể được cho gián tiếp như sau: 
+ D tạo với chiều dương trục hồnh góc a thì k = tana

+ D song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a

+ D vng góc với đường thẳng d: y = ax + b (a ¹ 0) thì k = 1
a

-+ D tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc a thì tan

k a
ka

- =

+ a

Bài tốn 3: Viết phương trình tiếp tuyến D của (C): y = f(x), biết Dđi qua điểm A x y . ( ; )A A

Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm.

· Gọi M(x0; y0) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f(x0), y¢0 = f¢ (x0). 
· Phương trình tiếp tuyến D tại M: y – y0 = f¢ (x0).(x – x0)

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc.

· Phương trình đường thẳng D đi qua A x y và có hệ số góc k: y – y( ; )A A A = k(x – xA) 
·D tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

( ) ( )

'( ) A A

f x k x x y

f x k

ì = - +

í =

ỵ (*)

· Giải hệ (*), tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến D.

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C):y=3x3-x2-7x+1 taïi A(0; 1) b) (C):y x= 4-2x2+1 taïi B(1; 0)

c) (C): 3 4

2 3

x
y

x
+
=

- taïi C(1; –7) d) (C):

2
1

2 1

y x

x
= +

-- taïi D(0; 3)

Bài 7. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm được chỉ ra:

a) (C): 2 3 3

x x

y
x

- +

- tại điểm A có xA = 4

b) (C): 3( 2)
1

x
y

x

- tại điểm B có yB = 4

c) (C): 1

x
y

x
+
=

- tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.

d) (C):y=2x- 2x2+1 tại các giao điểm của (C) với trục hoành, trục tung.
e) (C): y x= 3-3x+1 tại điểm uốn của (C).

f) (C): 1 4 2 2 9

4 4

y= x - x - tại các giao điểm của (C) với trục hồnh.

Bài 8. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với đường được chỉ
ra:

a) (C):y=2x3-3x2+9x-4 vaø d: y=7x+4.

b) (C):y=2x3-3x2+9x-4 vaø (P): y= -x2+8x-3.
c) (C):y=2x3-3x2+9x-4 vaø (C’): y x= 3-4x2+6x-7.

Bài 9. Tính diện tích tam giác chắn hai trục toạ độ bởi tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm
được chỉ ra:

a) (C): 5 11

2 3

x
y

x
+
=

- tại điểm A có xA = 2 .

b) (C):y= x2-7x+26 tại điểm B có xB = 2.

Bài 10.Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm được chỉ ra chắn hai trục toạ độ một
tam giác có diện tích bằng S cho trước:

a) (C): 2
1

x m

y

x
+
=

- tại điểm A có xA = 2 và S = 12.

b) (C): 3

x m

y
x

+ tại điểm B có xB = –1 vaø S = 92.
c) (C):y x= 3+ -1 m x( +1) tại điểm C có xC = 0 và S = 8.

Bài 11.Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D có hệ số góc k được chỉ ra:
a) (C):y=2x3-2x2+5; k = 12 b) (C): 2 1

x
y

x

-=

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

c) (C): 2 3 4
1
x x
y
x
- +
=

- ; k = –1 d) (C):

2 4 3

y= x - x+ ; k = 2

Bài 12.Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D song song với đường thẳng d cho
trước:

a) (C): 3 2 2 3 1

x

y= - x + x+ ; d: y = 3x + 2 b) (C): 2 1
2

x
y
x

-=

- ; d:

3 2

y= - x+

c) (C): 2 2 3

4 6
x x
y
x
-
-=

+ ; d: 2x y+ - =5 0 d) (C):

4 2

1 3 3

2 2

y= x - x + ; d: y = –4x + 1

Bài 13.Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D vng góc với đường thẳng d cho
trước:

a) (C): 3 2 2 3 1

x

y= - x + x+ ; d: 2

x

y= - + b) (C): 2 1

2
x
y
x

-=

- ; d: y x=

c) (C): 2 3

1
x
y
x
+
=

+ ; d: y = –3x d) (C):

2 1
2
x x
y
x
+
-=

+ ; d: x – 2

Bài 14.Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với chiều dương trục Ox góc a:

a) (C): 3 2 2 4; 600

x

y= - x + -x a = b) (C): 3 2 2 4; 750

x

y= - x + -x a =

c) ( ) : 3 2; 450
1
x
C y
x

-= =
- a

Bài 15.Viết phương trình tiếp tuyến D của (C), biết D tạo với đường thẳng d một góc a:

a) (C): 3 2 2 4; : 3 7; 450

x

y= - x + -x d y= x+ a =

b) (C): 3 2 2 4; : 1 3; 300

3 2

x

y= - x + -x d y= - x+ a =

c) ( ) : 4 3; : 3 ; 450
1

x

C y d y x

x

-= = =

- a

d) ( ) : 3 7 ; : ; 600

2 5

x

C y d y x

x

-= = - =

- + a

e) ( ) : 2 3; : 1; 600

x x

C y d y x

x
- +

= = - + =

- a

Bài 16.Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra vng góc với đường thẳng d
cho trước:

a) (C): 2 (2 1) 2

x m x m

y

x

+ + - +

+ tại điểm A có xA = 0 và d là tiệm cận xiên của (C).

b) (C): 2 2 1

3
x mx
y
x
+
-=

- ; tại điểm B có xB = 4 và d: x – 12y + 1 = 0 .

Bài 17.Tìm m để tiếp tuyến D của (C) tại điểm được chỉ ra song song với đường thẳng d
cho trước:

a) (C):y (3m 1)x m2 m (m 0)

x m

+ - +

= ¹

+ tại điểm A có yA = 0 vaø d: y x= -10.

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

c) (C):y=

(

2-x2

)

2; C(0; 4) d) (C): 1 4 3 2 3

2 2

y= x - x + ; 0;3

Dổỗ ửữ

ố ø

e) (C): 2

x
y

x
+
=

- ; E(–6; 5) f) (C):

3 4

x

y

x
+
=

- ; F(2; 3)

g) (C): 2 3 3

x x

y

x

- +

- ; G(1; 0) h)

2 2

x x

y
x

- +
=

- ; H(2; 2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

1. Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ 
phương trình sau có nghiệm:

ìíf xf x'( )( )=g xg x( )'( )
=

ỵ (*)

Nghiệm của hệ (*) là hồnh độ của tiếp điểm của hai đường đó. 
2. Nếu (C1): y = px + q và (C2): y = ax2 + bx + c thì

(C1) và (C2) tiếp xúc nhau Û phương trình ax2+bx c px q+ = + có nghiệm kép.

Bài 1. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
a) ( ) :C1 y x= 3+ +(3 m x) 2+mx+2; ( ) :C2 trục hoành
b) ( ) :C1 y x= 3-2x2-(m-1)x m C+ ; ( ) :2 trục hoành

c) ( ) :C1 y x= 3+m x( + +1) 1; ( ) :C2 y x= +1
d) ( ) :C1 y x= 3+2x2+2x-1; ( ) :C2 y x m= +

Bài 2. Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau:
a) ( ) :C1 y x= 4+2x2+1; ( ) :C2 y=2mx2+m

b) ( ) :C1 y= -x4+x2-1; ( ) :C2 y= -x2+m

c) ( ) :1 1 4 2 2 9; ( ) :2 2

4 4

C y= - x + x + C y= -x +m

d) ( ) :C1 y=(x+1) (2 x-1) ; ( ) :2 C2 y=2x2+m

e) ( ) :1 (2 1) 2; ( ) :2
1

m x m

C y C y x

x

-= =

-f) ( ) :1 2 1; ( ) :2 2
1

x x

C y C y x m

x
- +

= = +

-VẤN ĐỀ 3: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị 
(C1): y = f(x) và C2): y = g(x)

1. Goïi D: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).

u là hồnh độ tiếp điểm của D và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của D và (C2). 
·D tiếp xúc với (C=1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

( ) (1)

'( ) (2)

( ) (3)

'( ) (4)

f u au b

f u a

g v av b

g v a

ì = +

ïï =

í = +

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

· T (2) v (4) ị fÂ (u) = gÂ (v) Þ u = h(v) (5) 
· Thế a từ (2) vào (1) Þ b = j(u) (6)

· Thế (2), (5), (6) vào (3) Þ v Þ a Þ u Þ b. Từ đó viết phương trình của D.

2. Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hồnh độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) 
và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó.

Bài 1. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị:
a) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y= -x2+5x-11

b) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y= -x2- -x 14
c) ( ) :C1 y x= 2-5x+6; ( ) :C2 y x= 3+3x-10

VẤN ĐỀ 4: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f(x) sao cho tại đó 
tiếp tuyến của (C) song song hoặc vng góc với một đường thẳng d cho trước

· Gọi M(x0; y0) Ỵ (C). D là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f¢ (x0).

· Vì D // d nên f¢ (x0) = kd (1)

hoặc D^ d nên f¢ (x0) = 1

d

k

- (2)

· Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0. Từ đó tìm được M(x0; y0) Ỵ (C).

Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó vng góc với đường thẳng d cho
trước:

a) (C): 2 3 6

x x

y

x

+ +

+ ; d:

1
3

y= x

b) (C): 2 1

x x

y
x

+ +
=

+ ; d là tiệm cận xiên của (C)

c) (C): 2 1

x x

y

x

+
-=

- ; d là đường thẳng đi qua hai điểm cực đại, cực tiểu của (C).

d) (C):y x2 x 1
x
- +

= ; d: y = x

Bài 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà tiếp tuyến tại đó song song với đường thẳng d cho
trước:

a) (C):y x= 3+x2+ +x 10; d: y=2x b) (C):y x2 x 1
x
- +

= ; d: y = –x

VẤN ĐỀ 5: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 
1, 2, 3, … tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x)

Giả sử d: ax + by +c = 0. M(xM; yM) Ỵ d.

· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
·D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)

'( ) M M (2)

f x k x x y

f x k

ì = - +

í =

ỵ

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):
a) ( ) :C y= - +x3 3x2-2 b) ( ) :C y x= 3-3x+1

Bài 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được đúng một tiếp tuyến với (C):

a) ( ) : 1

x
C y

x
+
=

- ; d là trục tung b)

2 2

( ) :

x x

C y
x

+ +
=

- ; d là trục hoành

c) ( ) : 2 2
1

x x

C y
x

+
=

+ ; d: y = 1 d)

2 3 3

( ) :

x x

C y
x

+ +

+ ; d: x = 1

e) ( ) : 3

x
C y

x
+
=

- ; d: y = 2x + 1

Bài 3. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ít nhất một tiếp tuyến với (C):

a) ( ) : 2 6 9

x x

C y

x

- +

- + ; d là trục tung b)

2 3 3

( ) :

x x

C y

x

+ +

+ ; d là trục tung

c) ( ) : 2 1
2

x
C y

x
+
=

- ; d: x = 3 d)

3 4

( ) :

4 3

x
C y

x
+

- ; d: y = 2

Bài 4. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được hai tiếp tuyến với (C):

a) ( ) : 2 2

x x

C y
x

+
-=

+ ; d là trục hoành b)

2 1

( ) :

x x

C y
x

+ ; d là trục tung

c) ( ) : 2 3 3
2

x x

C y
x

+ +

+ ; d: y = –5

Bài 5. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó vẽ được ba tiếp tuyến với (C):
a) ( ) :C y= - +x3 3x2-2; d: y = 2 b) ( ) :C y x= 3-3x; d: x = 2

c) ( ) :C y= - +x3 3x+2; d là trục hoành d) ( ) :C y x= 3-12x+12; d: y = –4
e) ( ) :C y x= 4-x2-2; d là trục tung e) ( ) :C y= -x4+2x2-1; d là trục tung

Bài 6. Từ điểm A có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):

a) ( ) :C y x= 3-9x2+17x+2; A(–2; 5) b) ( ) : 1 3 2 2 3 4; 4 4;

3 9 3

C y= x - x + x+ Aổỗ ửữ

ố ø

c) ( ) :C y=2x3+3x2-5; (1; 4)A

-Bài 7. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng d có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với (C):
a) ( ) :C y x= 3-6x2+9x-1; d: x = 2 b) ( ) :C y x= 3-3x; d: x = 2

VẤN ĐỀ 6: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được

2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f(x) và 2 tiếp tuyến đó vng góc với nhau

Gọi M(xM; yM).

· Phương trình đường thẳng D qua M có hệ số góc k: y = k(x – xM) + yM
·D tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:

( ) ( ) (1)

'( ) M M (2)

f x k x x y

f x k

ì = - +

í =

ỵ

· Thế k từ (2) vào (1) ta được: f(x) = (x – xM).f¢ (x) + yM (3)

· Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) Û (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2. 
· Hai tiếp tuyến đó vng góc với nhau Û f¢ (x1).f¢ (x2) = –1

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục 
hồnh thì

1 2

(3) 2

( ). ( ) 0có nghiệm phân biệt

f x f x
ì

í <

ỵ

Bài 1. Chứng minh rằng từ điểm A luôn kẻ được hai tiếp tuyến với (C) vng góc với
nhau. Viết phương trình các tiếp tuyến đó:

a)( ) : 2 2 3 1; 0; 1

C y= x - x+ Aổỗ - ửữ

ố ứ b)

2 1

( ) : ; (1; 1)

x x

C y A

x
+ +

c) ( ) : 2 2 2; (1;0)
1

x x

C y A

x

+ +

+ d)

Bài 2. Tìm các điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến với (C)
vng góc với nhau:

a) ( ) :C y x= 3-3x2+2; d: y = –2 b) ( ) :C y x= 3+3x2; d là trục hoành
c) ( ) : 2 2 1

x x

C y

x
+ +
=

+ ; d là trục tung d)

2 2 1

( ) :

x x

C y

x

- +

- ; d là trục tung

e) ( ) :C y x2 3x 2
x

- +

= ; d: x = 1

Bài 3. Tìm m để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt mà tại đó hai tiếp tuyến với (C) vng
góc với nhau:

a) ( ) : 2
2

x x m

C y

x m

- +

+ ; d: y = –1 b)

2 8

( ) :C y x mx
x m

- ; d là trục hoành

c) ( ) :C y x2 2mx m
x m

- +

+ ; d là trục hồnh

Bài 4. Tìm m để từ điểm A kẻ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai

phía với trục hồnh;

a) ( ) : 2; (0; )
1

x

C y A m

x
+
=

- b)

VẤN ĐỀ 7: Các bài toán khác về tiếp tuyến

Bài 1. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.

1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.
2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số.
3) Tìm điểm M để chu vi DIAB là nhỏ nhất.

a) ( ) : 2 1
1

x
H y

x

-=

- b)

1
( ) :

x
H y

x
+
=

- c)

4 5

( ) :

2 3

x
H y

x

- +

Bài 2. Cho hypebol (H) và điểm M bất kì thuộc (H). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận.
Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B.

1) Chứng minh M là trung điểm của đoạn AB.

2) Chứng minh tích các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận là không đổi.
2) Chứng minh diện tích của DIAB là một hằng số.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

a) ( ) : 2 3 4

2 2

x x

H y

x

- +

- b)

2 3 3

( ) :

x x

H y

x

- +

- c)

2 2 2

( ) :

x x

H y

x

+ +

Bài 3. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm M bất kì thuộc hypebol (H) cắt hai đường tiệm cận
tạo thành một tam giác có diện tích bằng S:

a) ( ) :H y 2mx 3; S 8

x m
+

= =

-Bài 4. Tìm điểm M thuộc hypebol (H) tại đó tiếp tuyến cắt các trục toạ độ tại các điểm A,
B sao cho DOAB vuông cân:

a) ( ) : 2 1

x x

H y
x

+ +

- b)

2 5

( ) :

x x

H y
x

+
=

+ c)

2 3 3

( ) :

x x

H y

x

+ +

=
+

Baøi 5. Cho (C): 2 2 1
1

x x

y

x
- +
=

- . Chứng minh rằng trên đường thẳng d: y = 7 có 4 điểm sao

cho từ mỗi điểm có thể kẻ đến (C) hai tiếp tuyến tạo với nhau một góc 450.

Bài 6. Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C) tạo với các trục toạ độ một tam
giác có diện tích S cho trước:

a) ( ) :C y x 1;S 4

x

= + = b) ( ) : 3 1; 1

x

C y S

x
+

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

4. HỌ ĐỒ THỊ

Cho họ đường (Cm): y = f(x, m) (m là tham số).

M(x0; y0) Ỵ (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1)

Xem (1) là phương trình theo ẩn m.

Tuỳ theo số nghiệm của (1) ta suy ra số đồ thị của họ (Cm) đi qua M.

· Nếu (1) nghiệm đúng với mọi m thì mọi đồ thị của họ (Cm) đều đi qua M.
Khi đó, M được gọi là điểm cố định của họ (Cm).

· Nếu (1) có n nghiệm phân biệt thì có n đồ thị của họ (Cm) đi qua M.

· Nếu (1) vơ nghiệm thì khơng có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua M.

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm cố định của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m)

Cách 1:

· Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).

M(x0; y0) Ỵ (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1) 
· Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

· Daïng 1: (1) Û Am + B = 0, "m · Daïng 2: (1) Û Am2+Bm C+ =0, "m 
 Û ì =í =AB 00

ỵ (2a) Û

0
0
0

A
B
C
ì =
ï

=
í
ï =
ỵ

(2b) 
· Giải hệ (2a) hoặc (2b) ta tìm được toạ độ (x0; y0) của điểm cố định.

Chú ý: Các hệ (2a), (2b) là các hệ phương trình có 2 ẩn x0, y0. 
Cách 2:

· Gọi M(x0; y0) là điểm cố định (nếu có) của họ (Cm).

M(x0; y0) Ỵ (Cm), "m Û y0 = f(x0, m), "m (1) 
· Đặt F(m) = f(x0, m) thì F(m) = y0 khơng đổi.

ị FÂ (m) = 0 (3)

Ã Giải (3) tìm được x0. Thay x0 vào (1) tìm được y0. Từ đósuy ra được các điểm cố định.

Bài 1. Tìm các điểm cố định của họ đồ thị (Cm) có phương trình sau:

a) y=(m-1)x-2m+1 b) y mx= 2+2(m-2)x-3m+1
c) y=(m+1)x3-2mx2-(m-2)x+2m+1 d) y= -(1 2 )m x2-(3m-1)x+5m-2
d) y x= 3+mx2-9x-9m e) y=(m-2)x3-mx+2

f) y=2mx4-x2-4m+1 g) y x= 4+mx2- -m 5
h) y (m 1)x 2 (m 1,m 2)

x m

-= ¹ - ¹

-- i)

3 1

( 2) 4

x m

y

m x m

+ +

i) 2 5 7 2

2 3

x mx

y m

mx

ổ ử

- +

= ỗ ạ ± ÷

- è ø k)

2 ( 2) ( 0)

x m x m

y m

x m

- + + +

= ¹

-l) 22 ( 1)

2 2 1

x m x m

y

x mx m

+ - +

+ + + m)

2
2

2 6 4

2 (5 2) 6

x x m

y

x m x

+ +

+ + +

Bài 2. Chứng minh rằng họ đồ thị (Cm) có 3 điểm cố định thẳng hàng. Viết phương trình
đường thẳng đi qua 3 điểm cố định đó:

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

b) y=(m+2)x3-3(m+2)x2-4x+2m-1

c) y=(m-4)x3-(6m-24)x2-12mx+7m-18
d) y=(m+1)x3-(2m+1)x m- +1

VẤN ĐỀ 2: Tìm điểm mà khơng có đồ thị nào của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua 
· Gọi M(x0; y0) là điểm mà khơng có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua.

M(x0; y0) Ï (Cm), "m Û y0 = f(x0, m) vô nghiệm m (1) 
· Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

· Daïng 1: (1) Û Am + B = 0 voõ nghieọm m ỡ =ớ ạAB 00

ợ (2a)

· Daïng 2: (1) Û Am2+Bm C+ =0vô nghiệm m Û

2
0
0
0

4 0

A B
C

A

B AC

éì = =

ớ

ờợ ạ
ờ

ỡ ạ
ờớ

ờợ - <

ở

(2b) 
Chỳ ý:Ã Kt quả là một tập hợp điểm.

· Những điểm nằm trên tiệm cận đứng cố định của hàm hữu tỷ là những điểm đồ thị 
không đi qua.

Bài 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng mà khơng có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:

a) y=(m+2)x m+ 2+2m b) 2 1 2 2

1 1

m m

y x

m m m m

= +

+ + + +

c) y mx= 2+2(1-m x) + +1 m m( ¹0) d) y x= 2-m x m3 + 2-2

d) y=2x3+3mx2-m3-5m2-4 e) y mx= 3-m x2 2-4mx+4m2-6
f) y (m 2)x m2 2m 4

x m

- - +

- g)

2
(3m 1)x m m
y

x m

+ - +

h) 2 8

x mx m

y

x

+ +

- i)

2 2 2

x mx m

y

x m

- + +

-k) 2 2 2 4

2 5

x mx m

y

x x

+ - +

+ + l)

2
2

(3 1) 10

3 2

x m x

y

x x

+ -

- +

Bài 2. Tìm các điểm thuộc (L) mà khơng có đồ thị nào của họ (Cm) đi qua:
a) (Cm): y mx= 3-m x2 2-4mx+4m2-6; (L) là trục hoành.

b) (Cm): y=2x3-3(m+3)x2+18mx+6; (L): y x= 2+14.

c) (Cm): 2 2 2 1

x mx m m

y

mx m m

- + - +

+ + + ; (L) là trục tung.

d) (Cm): y (m 1)x2 m x2 1
x m

+ + +

+ ; (L): x = 2.

e) (Cm): y m x2 2 1
x

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

VẤN ĐỀ 3: Tìm điểm mà một số đồ thị của họ đồ thị (Cm): y = f(x, m) đi qua 
· Ta có: M(x0; y0) Ỵ (Cm) Û y0 = f(x0, m) (1)

· Biến đổi (1) về một trong các dạng sau:

Am + B = 0 (2a) hoặc Am2+Bm C+ =0 (2b)

· Số nghiệm của (2a) hoặc (2b) theo m = Số (Cm) đi qua M.

Bài 1. Tìm các điểm trong mặt phẳng sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:

a) (Cm): 2 2 2

2( )

mx m m

y

x m

+ +

+ ; k = 1. b) (Cm):

2 2

x mx m

y

x m

- +

- ; k = 2.

c) (Cm): xy-2my-2mx m x+ 2 -4m=0; k = 1.

Bài 2. Tìm các điểm thuộc (L) sao cho có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:
a) (Cm): y x= 3+(m2+1)x2-4m; (L): x = 2; k = 1.

b) (Cm): y x= 3+(m2+1)x2-4m; (L): x = 2; k = 2.
c) (Cm): y x= 3+(m2+1)x2-4m; (L): x = 2; k = 3.

Bài 3. Chứng minh rằng các điểm thuộc (L) có đúng k đồ thị của họ (Cm) đi qua:
a) (Cm): y mx2 (m2 m 1)x m2 m 2

x m

- + - + - +

- ; (L): x > 1; k = 2.

b) (Cm): y (m 1)x2 m2
x m

- ; (L): x > 0; k = 2.

c) (Cm): y x= 4-2mx2+m2+1; (L): y = 1; k = 1.

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

5. TẬP HỢP ĐIỂM

Bài tốn: Tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả tính chất a.

· Nhận xét: Tìm tập hợp điểm M trong mặt phẳng toạ độ là tìm phương trình của tập
hợp điểm đó.

Dạng 1: Tìm toạ độ của điểm M.

1) Tìm điều kiện (nếu có) của tham số m để tồn tại điểm M.
2) Tính toạ độ điểm M theo tham số m.

Có các trường hợp xảy ra:

Trường hợp 1: Mì =í =y g mx f m( )( )

ỵ

Khử tham số m giữa x và y, ta có một hệ thức giữa x, y độc lập với m có dạng:

F(x, y) = 0 (gọi là phương trình q tích)

Trường hợp 2: M ( )
( )

x a hằng số
y g m

ì =
í =
ỵ

Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng x = a.

Trường hợp 3: Mì =í =y bx f m( )(hằng số)

ỵ

Khi đó điểm M nằm trên đường thẳng y = b.

3) Giới hạn quĩ tích: Dựa vào điều kiện (nếu có) của m (ở bước 1), ta tìm được điều
kiện của x hoặc y để tồn tại điểm M(x; y). Đó là giới hạn của quĩ tích.

4) Kết luận: Tập hợp các điểm M có phương trình F(x, y) = 0 (hoặc x = a, hoặc y = b)
với điều kiện của x hoặc y (ở bước 3).

Dạng 2: Trong trường hợp ta khơng thể tính được toạ độ của điểm M theo tham số m mà
chỉ thiết lập được một hệ thức chứa toạ độ của M thì ta tìm cách khử tham số m trong
hệ thức để tìm được hệ thức dạng F(x, y) = 0.

Chú ý: Nếu bài toán chỉ hỏi : Điểm M chạy trên đường nào thì ta chỉ tìm phương trình 
F(x, y) = 0 mà khơng cần tìm giới hạn của quĩ tích.

Bài 1. Tìm tập hợp các điểm đặc biệt của họ đồ thị đã cho.

a) (Pm): y=2x2-(m-2)x+2m-4. Tìm tập hợp các đỉnh của (Pm).
b) (Cm): y x= 3-3mx2+2x-3m-1. Tìm tập hợp các điểm uốn của (Cm).

c) (Cm): y=2x3-3(2m+1)x2+6 (m m+1)x+1. Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Cm).

d) (Hm): ( 1) 1

m x

y

mx

- +

- . Tìm tập hợp các tâm đối xứng của (Hm).

e) (Hm): 2 2 3 5

x mx m

y

x

- +

- . Tìm tập hợp các điểm cực đại của (Hm).

Bài 2. Cho (C) và (C¢). Tìm tập hợp trung điểm của đoạn thẳng.
1) Tìm m để (C) và (C¢) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.

a) (C): y x= 3+3x2+mx+1 vaø (C’): y x= 3+2x2+7.
b) (C): y x= 2-mx+3 và (C¢): y mx= +2.

c) (C): 1

x
y

x

-=

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

d) (C): ( 2)2
1

x
y

x

-=

- và (C¢) là đường thẳng đi qua A(0; 3) và có hệ số góc m.

e) (C): 2 4 3

x x

y

x

+ +

+ và (C¢): y mx= +1.

Bài 3. Cho (C) và (C¢).Tìm tập hợp các điểm.

1) Tìm m để (C) cắt (C¢) tại 3 điểm phân biệt A, B, C (trong đó xC khơng đổi).
2) Tìm tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng AB.

a) (C): y x= 3-3x2 và (C¢): y mx= .

b) (C): y x= 3-2(m+1)x2+(m2+1)x m- 2 và (C¢): y= -3mx m+ .
c) (C): y x= 3-6x2+9x và (C¢): y mx= .

d) (C): y=(x+2)(x-1)2 và (C¢) là đường thẳng đi qua C(–2; 0) và có hệ số góc m.

Bài 4. Cho (C). Tìm tập hợp các điểm từ đó có thể vẽ được hai tiếp tuyến của (C) vng
góc với nhau.

a) (C): y x 1
x

= + b) (C): 2 1

x x

y
x

+ +
=

Bài 5.

a) Cho (C): 2

x
y

x

-=

- . Tìm tập hợp các điểm trên trục tung mà từ đó có thể kẻ được

tiếp tuyến với (C).

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

6. HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Bài toán: Vẽ đồ thị của hàm số y = f(x) với f(x) có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Cách 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị.

· Xét dấu biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

· Chia miền xác định thành nhiều khoảng, trong mỗi khoảng ta bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

· Vẽ đồ thị hàm số tương ứng trong các khoảng của miền xác định.

Cách 2: Thực hiện các phép biến đổi đồ thị.

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số y= f x( ).

Đồ thị (C¢) của hàm số y= f x( ) có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

nhö sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở phía trên trục hồnh.

+ Lấy đối xứng phần đồ thị của (C) ở phía dưới trục hồnh qua trục hồnh.
+ Đồ thị (C¢) là hợp của hai phần trên.

Dạng 2: Vẽ đồ thị của hàm số y f x=

( )

Đồ thị (C¢) của hàm số y f x=

( )

có thể được suy từ đồ thị (C) của hàm số y = f(x)

nhö sau:

+ Giữ nguyên phần đồ thị (C) ở bên phải trục tung, bỏ phần bên trái trục tung.
+ Lấy đối xứng phần bên phải trục tung qua trục tung.

+ Đồ thị (C¢) là hợp của hai phần trên.

Bài 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C¢). Dùng đồ thị (C¢)
biện luận số nghiệm của phương trình (1):

a) (C): y x= 3-3x2-6; (C¢): y x= 3-3x2-6 ; x3-3x2- =6 m (1)
b) (C): y x= 4-2x2-3; (C¢): y x= 4-2x2-3 ; x4-2x2- =3 m (1)

c) (C): 2 2 5 2

x x

y

x

+ ; (C¢):

2 5 2

x x

y

x

+ ;

2 5 2

x x m

x

+ - =

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

d) (C): 2 1
2

x x

y
x

- ; (C¢):

2 1

x x

y
x

- ;

2 1

x x m

x

- - =

- (1)

e) (C): 2 2
2

x
y

x

-=

- ; (C¢):

2 2

x
y

x

-=

- ; 2

2
2

x m

x

- =

- (1)

Bài 2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C¢). Dùng đồ thị (C¢)
biện luận số nghiệm của phương trình (1):

a) (C): y=2x3-9x2+12x-4; (C¢): y=2 x3-9x2+12 x -4; 2 x3-9x2+12 x m=

b) (C): 2
1

x
y

x
=

- ; (C¢):

2
1

x
y

x
=

- ; (m-2).x m- =0 (1)

c) (C): 2 4 5

x x

y

x

+ +

+ ; (C¢):

2 4 5

x x

y

x

+ +

+ ;

2 4 5

x x m

x

+ + =

+ (1)

Bài 3. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C). Từ đó suy ra đồ thị C¢). Dùng đồ thị (C¢),
tìm m để phương trình (1) có k nghiệm phân biệt:

a) (C): y x= 4-2x2-1; (C¢): y x= 4-2x2-1; x4-2x2- =1 log2m; k = 6.

b) (C): y x= 3-6x2+9x; (C¢): y x= 3-6x2+9 x ; x3-6x2+9 x - + =3 m 0; k = 6.

c) (C): 2 2 5 2

x x

y

x

+ ; (C¢):

2 5 2

x x

y

x

+ ;

2 5 2

x x m

x

+ ; k = 4.

d) (C): 4 3 2 5

2 2

x

y= - x + ; (C¢): 4 3 2 5

2 2

x

y= - x + ; 4 3 2 5 2 2

2 2

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

7. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ

VẤN ĐỀ 1: Tìm điểm trên đồ thị (C): y = f(x) có toạ độ ngun

Tìm các điểm trên đồ thị hàm số hữu tỉ ( )

( )

P x
y

Q x

= có toạ độ là những số nguyên: 
· Phân tích ( )

( )

P x
y

Q x

= thành dạng ( )

( )

a
y A x

Q x

= + , với A(x) là đa thức, a là số ngun. 
· Khi đó xì Ỵí Ỵy

ỵ ¢¢ Û Q(x) là ước số của a. Từ đó ta tìm các giá trị x nguyên để Q(x) là 
ước số của a.

· Thử lại các giá trị tìm được và kết luận.

Bài 1. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

a) 2

x
y

x
+
=

+ b)

10
2

x
y

x

-=

+ c)

2
2

x
y

x
+
=

-d) 2 1

x x

y
x

+ +
=

+ e)

2 2

x x

y
x

+
=

+ f)

4
1

y x
x

= + +

-Bài 2. Tìm các điểm trên đồ thị (C) của hàm số có toạ độ nguyên:

a) y x= + y2+2(x+1)y+4x b) y=2x+ y2+4(x-1)y+6x

VẤN ĐỀ 2: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) 
đối xứng qua đường thẳng d: y = ax + b

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua d Û d là trung trực của đoạn AB 
· Phương trình đường thẳng D vng góc với d: y = ax = b có dạng:

D: y 1x m

a

= - +

· Phương trình hồnh độ giao điểm của D và (C):

f(x) = 1x m

a

- + (1)

· Tìm điều kiện của m để D cắt (C) tại 2 điểm

phân biệt A, B. Khi đó xA, xB là các nghiệm của (1). 
· Tìm toạ độ trung điểm I của AB.

· Từ điều kiện: A, B đối xứng qua d Û I Ỵ d, ta tìm 
 được m Þ xA, xBÞ yA, yBÞ A, B.

Chú ý:· A, B đối xứng nhau qua trục hoành Û A B

A B

x x

y y

ì =

í =

-ỵ

· A, B đối xứng nhau qua trục tung Û A B

A B

x x

y y

ì =

-í =

ỵ

· A, B đối xứng nhau qua đường thẳng y = b Û A B 2

A B

x x

y y b

ì =

í + =

ỵ

· A, B đối xứng nhau qua đường thẳng x = a Û A B 2

A B

x x a

y y

ì + =

í =

ỵ

(d) (C) (D) 
B

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Bài 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:

a) ( ) :C y x= 3+x; d x: +2y=0 b)( ) : 4; : 2 6 0
2

x

C y d x y

x
+

= - - =

-c) ( ) : 2 ; : 1

x

C y d y x

x

= =

-- d)

2 1

( ) : ; : 1

x x

C y d y x

x
+

-= =

-Bài 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Viết phương trình đồ thị (C¢) đối xứng với (C) qua
đường thẳng d:

a)( ) :C y=3x3-5x2+10x-2; d x: = -2 b)( ) : 2 2 3 7; : 2
1

x x

C y d x

x

- +

= =

-c) ( ) : 2 2; : 2

x x

C y d y

x
+

-= =

- d)

2 5 3

( ) : ; : 1

x x

C y d y

x

-= =

-Bài 3. Tìm m để trên đồ thị (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua đường thẳng d:
a)( ) :C y mx= 3+3x2+2x m d Ox+ 2; :

VẤN ĐỀ 3: Tìm cặp điểm trên đồ thị (C): y = f(x) đối xứng qua điểm I(a; b)

Cơ sở của phương pháp: A, B đối xứng nhau qua I Û I là trung điểm của AB. 
· Phương trình đường thẳng d qua I(a; b),

có hệ số góc k có dạng: y k x a b= ( - +) .

· Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và d: 
 f(x) = k x a b( - +) (1)

· Tìm điệu kiện để d cắt (C) tại 2 điểm phân biệt 
 A, B. khi đó xA, xB là 2 nghiệm của (1).

· Từ điều kiện: A, B đối xứng qua I Û I là trung điểm của AB, ta tìm được k Þ xA, xB.

Chú ý: A, B đối xứng qua gốc toạ độ O Û A B

A B
x x
y y
ì =
-í = 
-ỵ

Bài 1. Tìm trên đồ thị (C) của hàm số hai điểm đối xứng nhau qua điểm I:

a) ( ) :C y x= 3-4x2+ +x 2; I(2;4) b) ( ) : 2 2; 0;5

1 2

x x

C y I

x

ổ ử

+ +

= ỗ ữ

- è ø

c) ( ) :C y x= 3-3x2-2x+1; I Oº (0;0) d) ( ) : 4; (0;0)
1

x

C y I O

x
+

= º

e) ( ) : 3 4; (1;1)

2 1

x

C y I

x
+
=

- e)

(

)

2 5 1

( ) : ; 2; 5

x x

C y I

x

- +

Bài 2. Cho đồ thị (C) và điểm I. Viết phương trình đồ thị (C¢) đối xứng với (C) qua điểm I:
a)( ) :C y=2x3+3x2+5x+1; I(1;2) b)( ) : ( 1)2; (1;1)

x

C y I

x

-c) ( ) : 2 1; (2;1)

x x

C y I

x
- +
=

- d)

3 2 2 5 1

( ) : ; (2;1)

2 3

x x x

C y I

x

- - +

-Bài 3. Tìm m để trên đồ thị (C) có một cặp điểm đối xứng nhau qua điểm:
a)( ) :C y x= 3-3mx2+3(m2-1)x+ -1 m2; I Oº (0;0)

b) ( ) :C y x= 3+mx2+7x+3; I Oº (0;0)

c) ( ) :C y x= 3+mx2+9x+4; I Oº (0;0) d) ( ) : 2 2 2 2; (0;0)
1

x m x m

C y I O

x

+ +

= º

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

VẤN ĐỀ 4: Khoảng cách

Kiến thức cơ bản:

1) Khoảng cách giữa hai điểm A, B: AB = (xB -xA)2+(yB -yA)2

2) Khoảng cách từ điểm M(x0; y0) đến đường thẳng D: ax + by + c = 0:

d(M, D) = 0 0

2 2

ax by c

a b

+ +

+
3) Diện tích tam giác ABC:

S = 1 . .sin 1 2. 2

(

)

2AB AC A=2 AB AC - AB AC

uuur uuur

Bài 1. Cho đồ thị (C) và điểm A. Tìm điểm M trên (C) sao cho AM nhỏ nhất. Chứng minh
rằng khi AM nhỏ nhất thì đường thẳng AM vng góc với tiếp tuyến của (C) tại M.
a) ( ) :C y x= 2-1; A Oº (0;0) b) ( ) :C y x= 2; A(3;0)

c) ( ) :C y=2x2+1; A(9;1)

Bài 2. Cho đồ thị (C) và đường thẳng d. Tìm điểm M trên (C) sao cho khoảng cách từ M
đến d là nhỏ nhất.

a) ( ) :C y=2x4-3x2+2x+1; d y: =2x-1 b) ( ) : 2 4 5; : 3 6
2

x x

C y d y x

x

+ +

= =

c) ( ) :C y x x= - 2; d y: =2(x+1) d) ( ) : 1; : 2 3
1

x

C y d y x

x
+

= = - +

-Bài 3. Tìm các điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho d(M,Ox) = k.d(M,Oy) với k cho trước.

a) ( ) : 2; 1

x

C y k

x
+

= =

- b)

2 1

( ) : ; 1

x x

C y k

x

-= =

-c) ( ) : 2 1; 2

x x

C y k

x
+

-= =

- d)

2 2 2

( ) : ; 2

x x

C y k

x

+ +

= =

Bài 4. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai
tiệm cận là nhỏ nhất.

a) ( ) : 2

2
x
H y
x
+
=

- b)

2 1
( ) :
1
x
H y
x

-=
+ c)
4 9
( ) :
3
x
H y
x

-=
-

d) ( ) : 2 2

3
x x
H y
x
+
-=

- e)

2 1
( ) :
2
x x
H y
x
- +

- f)

2 3 3

( ) :
2
x x
H y
x
+ +
=
+

Bài 5. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho tổng các khoảng cách từ đó đến hai trục
toạ độ là nhỏ nhất.

a) ( ) : 1

1
x
H y
x

-=

+ b)

2 1

( ) :
2
x
H y
x
+
=

- c)

4 9
( ) :
3
x
H y
x

-=

-d) ( ) : 2 11

1
x x
H y
x
+
-=

- e)

2 3
( ) :
2
x
H y
x

-=

- f)

2 6
( ) :
3
x x
H y
x
+
-=

-Bài 6. Tìm các điểm M thuộc hypebol (H) sao cho khoảng cách từ đó đến giao điểm của
hai tiệm cận là nhỏ nhất.

a) ( ) : 2 2 2

1
x x
H y

x
+ +
=

- b)

2 1

( ) : ; 1

x x

H y x

x
- +

= >

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

a) ( ) : 1
1

x
H y

x

+ b)

2 3

( ) :
2

x
H y

x
+
=

- c)

4 9

( ) :

x
H y

x

d) ( ) :H y 2x 1 1

x

= + + e) ( ) : 2 3 3

x x

H y

x

- +

- f)

2 2 5

( ) :

x x

H y

x

- +

-Bài 8. Cho (C) và đường thẳng d. Tìm m để d cắt (C) tại 2 điểm A, B sao cho độ dài AB là
nhỏ nhất.

a) ( ) : 2 6 4; :

x x

H y d y k

x

-= =

+ b)

( ) : ; : 2 0

x

H y d x y m

x
+

= - + =

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Bài 1. Cho hàm số: y = x3+ax2-4, a là tham số.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị với a = 3.

b) Tìm các giá trị của tham số a để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

x3+ax2- =4 0

ÑS: b) a < 3.

Bài 2. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x3-6x2+9x-1.

b) Từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng x = 2 ta kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến tới đồ
thị của hàm số?

ÑS: b) một tiếp tuyến.

Bài 3. Cho hàm số: y = x3-3 (1)x

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Chứng minh rằng m khi thay đổi, đường thẳng d cho bởi phương trình:

( 1) 2

y m x= + + luôn cắt đồ thị hàm số (1) tại một điểm A cố định. Hãy xác định các
giá trị của m để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số (1) tại 3 điểm A, B, C khác nhau sao
cho tiếp tuyến với đồ thị tại B và C vng góc với nhau.

ÑS: b) ( 1; 2); 1 2 2

A - m= - +

Bài 4. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: y = x4-2x2-1 (1)

b) Với những giá trị nào của m thì phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt.

4 2

2 1 log (2)

x - x - = m

ÑS: b) 4 < m < 16.

Bài 5. Cho hàm số: y = x4-5x2+4 (1)
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.

b) Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị (C) của hàm số tại 4
điểm phân biệt.

c) Tìm m sao cho đồ thị (C) của hàm số chắn trên đường thẳng y = m ba đoạn thẳng có
độ dài bằng nhau.

ÑS: b) 9 4

4 m

- < < c) 7

m=

Bài 6. Cho hàm số: 1 4 2 3

2 2

y = x -mx + (1)

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 3.
b) Vit phng trỡnh tip tuyn i qua 0; 3

Aổỗ ö÷

è ø tiếp xúc với (C).

c) Xác định m để hàm số (1) có cực tiểu mà khơng có cực đại.

ĐS: b) 3; 2 2 3

2 2

y= y= ± x+ c) m £ 0.

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Bài 7. Cho hàm số: 3 4 ( )
1

x

y H

x
+
=

-a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

b) Với giá trị nào của a, đường thẳng y = ax + 3 không cắt đồ thị (H)?
c) Qua điểm M(2 ; 3) viết phương trình tiếp với đồ thị (H).

ĐS: b) –28 < a £ 0 c) y = –28x + 59.

Bài 8. a) Khảo sát và vẽ đồ thị 2 ( )
1

x

y C

x

-=

- .

b) Tìm tất cả những điểm trên đồ thị (C) cách đều hai điểm A(0; 0) và B(2; 2).

ÑS: b) (2 ; 0), (0 ; 2).

Bài 9. Cho hàm số: y x 2 1 ( )C
x
= - +

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

b) Tìm trên (C) các điểm cách đều hai trục tọa độ.

c) Tìm k để đường thẳng y = k cắt (C) tại hai điểm mà tại đó hai tiếp tuyến với (C)
vng góc vi nhau.

ẹS: b) 1 1;

2 2

Mổỗ ö÷

è ø c) k = - ±2 5.

Bài 10. Cho hàm số: 2 ( 1) 4 2 4 2

( 1)

x m x m m

y

x m

- + + -

-a) Khảo sát và vẽ đồ thị với m = 2.

b) Tìm các giá trị của m để hàm số xác định và đồng biến trên khoảng (0 ; +¥)

ĐS: b) 2 3 3

7 m 2

- £ £

Bài 11. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số: 2 2 2
1

x x

y

x

+ +

+ .

b) Gọi I là tâm đối xứng của đồ thị (C) và M là một điểm trên (C). Tiếp tuyến tại M
với (C) cắt hai đường tiệm cận tại A và B. Chứng minh rằng M là trung điểm của đoạn
AB và diện tích tam giác IAB khơng phụ thuộc vào vị trí điểm M trên (C).

ĐS: b) SIAB =2 2.

Bài 12. Cho hàm số: 2 2 2 1 1 ( )

1 1

x x

y x C

x x

+ +

= = + +

+ +

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C).

b) Tìm trên đồ thị hàm số đã cho các điểm sao cho tiếp tuyến tại đó vng góc với
tiệm cận xiên của nó.

ĐS: b) 1 1 2 3 2; ; 2 1 2; 3 2

2 2 2 2

M ổỗ- + ửữ M ổỗ- - - ửữ

ố ứ ố ø

Bài 13. Cho hàm số: y x2 (m 1)x mx 1 (Cm)

x m

+ + - +

-a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số ứng với m = 2.

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

c) Với giá trị nào của m thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu, đồng thời giá trị cực
đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.

ÑS: b) 9 2

2 c) m < - -3 2 3 hay m> - +3 2 3

Bài 14. a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số: 2 4 1
2

x x

y

x

+ +

b) Tìm các điểm trên đồ thị có khoảng cách đến đường thẳng (D) : y + 3x + 6 = 0 là
nhỏ nhất.

ÑS: b) 1 3 5; ; 2 5; 5

2 2 2 2

M ổỗ- ửữ M ổỗ- - ửữ

ố ứ è ø.

Bài 15. Cho hàm số: 2 2 2
1

x mx

y

x

- với m là tham số.

a) Xác định m để tam giác tạo bởi hai trục tọa độ và đường tiệm cận xiên của đồ thị

của hàm số trên có diện tích bằng 4.

b) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên khi m = –3.

ÑS: a) m = –6 hay m = 2.

Baøi 16. Cho hàm số: y x2 x 1
x
+ +

= .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên.
b) Xác định m sao cho phương trình sau có nghiệm:

4 ( 1)3 3 2 ( 1) 1 0

t - m- t + t - m- t+ =

ÑS: b) 3 7 .

2 2

m £ - hay m³

Bài 17. Cho hàm số: y = -x3+3mx2+3(1-m2)+m2-m2 (1) (m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

b) Tìm k để phương trình - +x3 3x2+k3-3k2=0 có 3 nghiệm phân biệt.
c) Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).

ÑS: b) 1- < <k 3; k¹0; k¹2; c) y =2x m- 2+m

Bài 18. Cho hàm số: y mx= 4+(m2-9)x2+10 (1) (m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
b) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.

ÑS: b) m < -3hay 0 < m <3.

Bài 19. Cho hàm số: (2 1) 2 (1)
1

m x m

y

x

- (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = –1.
b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục tọa độ.
c) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.

ÑS: b) 1 4 ln4
3

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

Bài 20. Cho hàm số: 2
1

mx x m

y

x
+ +
=

- (1) (m là tham số)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = –1.

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có
hồnh độ dương.

ĐS: b) 1 0.

2 m

- < <

Baøi 21. Cho haøm soá: y = x3-3x2+m (1) (m là tham số)

a) Tìm m để hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng nhau qua gốc tọa độ.
b) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.

ÑS: a) m > 0.

Bài 22. a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số 2 2 4 (1)
2

x x

y

x

- +

-b) Tìm m để đường thẳng dm: y = mx + 2 – 2m cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm
phân biệt.

ÑS: b) m > 1.

Bài 23. Cho hàm số: 2 3 3
2( 1)

x x

y

x

- +

- (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Tìm m để đường thẳng y = m cắt đồ thị tại 2 điểm A, B sao cho AB = 1.

ÑS: b) 1 5

m= ± .

Baøi 24. Cho hàm số: 1 3 2 2 3 (1)
3

y = x - x + x có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).

b) Viết phương trình tiếp tuyến D của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng D là tiếp
tuyến của (C) có hệ số góc nhỏ nhất.

ĐS: b) : 8; 1.

y = - +x k=
-D

Bài 25. Cho hàm số: y = x3-3mx2+9x+1 (1) (với m là tham số)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.

b) Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1.

</div>

khao sat ham so 12

<b>BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 </b>

ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC

<b>CHƯƠNG I </b>

<b>ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT </b>

<b>VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ</b>

(

)

{

}

{

}

<b>III. GIÁ TRỊ LỚN NHẤT </b>

{

}

[

]

(

)

{

}

[

]

{

}

(

)

(

)

[

]

[

]

[

]

[

]

<b>VI. KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN </b>

<b>VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ </b>

<b>1. SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ</b>

<b>2. BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ</b>

(

)

(

)

(

)

(

)

<b>4. HỌ ĐỒ THỊ</b>

<b>5. TẬP HỢP ĐIỂM </b>

<b>6. HÀM SỐ CĨ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI </b>

( )

( )

<b>7. ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ </b>

(

)

(

)

Tài liệu liên quan

Tài liệu bạn tìm kiếm đã sẵn sàng tải về