Góp phần giúp học sinh học tốt hình học không gian qua khai thác một số bài toán cơ bản

I. ĐẶT VẤN ĐỀ
1. Lý do chọn đề tài.
Trong công cuộc đổi mới căn bản và toàn diện nền giáo dục nước nhà, đổi
mới nội dung, chương trình dạy học và đi kèm theo đó là đổi mới phương pháp dạy
học là một trong những nhiệm vụ quan trọng hàng đầu. Chương trình dạy học mới
được xây dựng theo quan điểm tiếp cận năng lực người học, kết hợp dạy chữ, dạy
người và định hướng nghề nghiệp; góp phần chuyển nền giáo dục nặng về truyền
thụ kiến thức sang nền giáo dục phát triển toàn diện cả về phẩm chất và năng lực,
hài hồ đức, trí, thể, mĩ và phát huy tốt nhất tiềm năng của mỗi học sinh.
Để giải được một bài tốn thì điều quan trọng nhất là chúng ta phải lựa chọn
được phương pháp phù hợp để giải bài tốn đó. Các bài tốn, đặc biệt là các bài
tốn về liên quan đến góc, khoảng cách…rất đa dạng và phong phú vì thế địi hỏi
người dạy cần luyện cho học sinh khả năng suy luận có lí, biết quy lạ về quen đển
giải quyết các bài toán. Đối với học sinh THPT rất nhiều học sinh ngại khi gặp các
bài tốn liên quan đến góc và khoảng cách. Đối với việc hướng dẫn giải một số bài
toán liên quan đến góc, khoảng cách trong sách giáo khoa ở một lớp có nhiều đối
tượng học sinh, một mặt làm giảm đi việc "sợ" hình khơng gian ở nhiều học sinh,
mặt khác không làm nhàm chán học sinh khá giỏi khi giải dạng toán này, người
giáo viên nên hướng dẫn học sinh tìm ra các cách giải khác nhau, xây dựng thành
các chuỗi bài tập có hệ thống.
Trong quá trình giảng dạy tốn cần thường xun rèn luyện cho học sinh các
phẩm chất trí tuệ có ý nghĩa lớn lao đối với việc học tập, rèn luyện và tu dưỡng đạo
đức trong cuộc sống của học sinh. Đối với học sinh yếu kém cần tạo nên cho các
em có hứng thứ học tập mơn Tốn, cịn đối với các học sinh khá giỏi cần rèn luyện
cho các em tính linh hoạt, tính độc lập, tính sáng tạo, tính phê phán của trí tuệ là
những điều kiện cần thiết trong việc học tốn. Chính vì vậy việc dạy học Tốn
khơng đơn thuần chỉ cung cấp cho các em một số vốn kiến thức thông qua việc làm
bài tập càng nhiều càng tốt, càng khó càng hay mà phải cần thiết rèn luyện khả
năng tư duy, suy luận có lí để giải bài tốn.
Để có một bài giảng thu hút được học trị, giúp học trị phát triển tư duy về
mơn tốn và dẫn dắt học trị tới niềm say mê tìm tịi sáng tạo, tơi cũng như bao

giáo viên u nghề và yêu toán khác thường trăn trở với những khó khăn của học
trị trong q trình tiếp cận từng bài toán. Nếu dạy toán chỉ đơn thuần là dạy cho
học sinh các kiến thức có sẵn ở sách giáo khoa thì chắc chắn mơn tốn sẽ là mơn
học nhàm chán, khó khơi dậy ở học sinh sự tìm tịi, tự học, tự sáng tạo. Xuất phát
từ những lí do đó tơi chọn đề tài “Góp phần giúp học sinh học tốt hình học
khơng gian qua khai thác một số bài toán cơ bản”
2. Đối tượng nghiên cứu
Các bài toán hình học khơng gian liên quan đến góc, khoảng cách, thể tích.
Trang 1


Khó khăn thường gặp của học sinh trong q trình học tập nói chung và học
tốn nói riêng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các nội dung trong sách giáo khoa, sách giáo viên toán THPT; các tài
liệu liên quan đến việc dạy học theo chương trình mới 2018; các tài liệu tham khảo;
các đề thi tuyển sinh đại học, đề thi THPT Quốc gia; thực tiễn giảng dạy của giáo
viên và học sinh; thực tiễn giảng dạy của bản thân để hệ thống hóa, phân dạng và
đưa ra cách phân tích bài tốn cùng với các kỹ thuật tương ứng để giải quyết tốt các
bài tốn liên quan đến góc và khoảng cách.
4. Mục đích nghiên cứu
Đề tài “Góp phần giúp học sinh học tốt hình học khơng gian qua khai
thác một số bài toán cơ bản” nhằm nêu ra kinh nghiệm của bản thân về việc
giảng dạy cho học sinh học tập mơn tốn THPT, giúp học sinh được tiếp thu các
kiến thức tốn một cách chủ động, tích cực, tạo sự hứng thú trong học tốn qua đó
góp phần phát triển một số thành tố năng lực cho người học. Đề tài có thể áp dụng
để giảng dạy tất cả các đối tượng học sinh THPT sau khi học xong kiến thức góc,
khoảng cách, thể tích khối đa diện. Đề tài cũng giúp học sinh 12 ôn tập một số kiến
thức quan trọng phục vụ cho kì thi THPTQG.
5. Phương pháp nghiên cứu

5.1. Phương pháp chính
- Phương pháp nghiên cứu lí luận: tham khảo tài liệu, sách giáo khoa.
- Phương pháp điều tra thực tiễn: quan sát, khảo sát để tìm hiểu sự hứng thú
trong học tốn của học sinh cũng như trong việc giải các bài toán hình học khơng
gian.
- Phương pháp thực nghiệm sư phạm: thực hành thơng qua q trình giảng dạy.
5.2. Phương pháp bổ trợ
Phương pháp thống kê: Kiểm tra kết quả học tập của học sinh, điểm số của học
sinh qua các kì kiểm tra thực nghiệm, kì thi THPT quốc gia, từ đó thấy được mức
độ và hiệu quả đạt được của việc áp dụng đề tài.
---------------***-------------

Trang 2


II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU
Chương I. CƠ SỞ LÝ LUẬN
1. Khái niệm năng lực
Trong chương trình dạy học định hướng phát triển năng lực, khái niệm năng
lực được hiểu theo nhiều cách khác nhau, theo (W.Westera, 2001), năng lực thường
được liên tưởng với tay nghề cao và có mối liên hệ trực tiếp trong lĩnh vực giáo
dục giữa năng lực nghề nghiệp của giáo viên và thực hiện của học sinh. Có hai
nghĩa khác biệt của từ “năng lực” trong giáo dục.
Theo quan điểm lí thuyết, năng lực được hiểu là một cấu trúc nhận thức mà làm
cho dễ dàng các hành vi được định rõ. Theo quan điểm hoạt động, năng lực dường
như bao hàm một hàm vi rộng lớn các kĩ năng và hành vi bậc cao mà chúng tiêu
biểu cho khả năng giải quyết các tình huống phức tạp, khơng thể đốn trước. Định
nghĩa về mặt thực hành này bao gồm kiến thức, kĩ năng, thái độ, siêu nhận thức và
tư duy chiến lược, và phỏng đoán việc ra quyết định một cách có ý thức và chủ
tâm. Hiện nay, quan điểm thứ hai về năng lực ở trên được dùng phổ biến trong giáo

dục. Trong bài viết này tôi quan tâm sử dụng nội hàm này dưới góc độ: Năng lực là
sự kết nối tri thức, hiểu biết, khả năng và mong muốn.
Giáo dục định hướng phát triển năng lực (NL) nhằm mục tiêu phát triển NL
người học, đảm bảo chất lượng đầu ra của việc dạy học, thực hiện mục tiêu phát
triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú trọng NL vận dụng tri thức trong
những tình huống thực tiễn nhằm chuẩn bị cho con người năng lực giải quyết các
tình huống của cuộc sống và nghề nghiệp. Như vậy, ngay trong quá trình học tập ở
nhà trường phổ thơng, HS cần được hình thành và phát triển năng lực vận dụng
kiến thức.
Như vậy, có thể nhìn nhận một cách tổng qt, NL ln gắn với khả năng thực
hiện, nghĩa là phải biết làm chứ không dừng lại ở hiểu. Hành động “làm” ở đây lại
gắn với những yêu cầu cụ thể về kiến thức, kĩ năng, thái độ để đạt được kết quả.
1.1 Các loại năng lực
Hiện nay, người ta thường chia năng lực thành năng lực chung, cốt lõi và năng
lực chuyên biệt, trong đó năng lực chung, cốt lõi là năng lực cơ bản cần thiết làm
nền tảng để phát triển năng lực chuyên biệt.
1.1.1 Năng lực chung
- Năng lực chung NL chung là những NL cơ bản, thiết yếu hoặc cốt lõi làm
nền tảng cho mọi hoạt động của con người trong cuộc sống và lao động nghề
nghiệp như: NL trí tuệ, NL về ngơn ngữ và tính tốn, NL giao tiếp, NL vận động.
Các NL này được hình thành và phát triển dựa trên bản năng di truyền của con
người, quá trình giáo dục và trải nghiệm trong cuộc sống; đáp ứng yêu cầu của
Trang 3


nhiều loại hình hoạt động khác nhau. Tùy thuộc vào phương pháp thiết kế chương
trình, các nhà nghiên cứu có 2 cách tiếp cận phát triển chương trình giáo dục phổ
thơng, đó là:
- Tiếp cận dựa vào nội dung nghĩa là tập trung chủ yếu vào các chi tiết của
môn học, có tính chỉ đạo cao, cố định cả về cấu trúc và phân bổ thời gian. Việc học

tập của HS nhấn mạnh vào ghi nhớ và tái tạo kiến thức đã có.
- Tiếp cận dựa vào kết quả đầu ra nghĩa là xác định học sinh cần đạt đƣợc hệ
thống những nhóm NL chung ở từng mơn học vào cuối giai đoạn cụ thể. Chương
trình tiếp cận NL thực chất vẫn là cách tiếp cận kết quả đầu ra. Tuy nhiên đầu ra ở
đây tập trung vào hệ thống NL của ngƣời học, chú ý đầu ra cần đạt, các NL cần cho
cuộc sống, học tập và tham gia có hiệu quả trong xã hội. Cụ thể là những nhóm NL
sau:
+ Nhóm NL làm chủ và phát triển bản thân: NL tự học, NL giải quyết vấn
đề, NL tư duy, NL quản lí.
+ Nhóm NL về quan hệ xã hội: NL giao tiếp, NL hợp tác.
+ Nhóm NL cơng cụ: NL sử dụng công nghệ thông tin và truyền thơng
(ICT), NL sử dụng ngơn ngữ, NL tính tốn. Cách tiếp cận đầu ra trả lời cho câu
hỏi: chúng ta muốn học sinh biết những gì và có thể làm được những gì
1.1.2

Năng lực chuyên biệt
Năng lực chuyên biệt là những NL được hình thành và phát triển trên cơ sở
các NL chung theo định hướng chuyên sâu, riêng biệt trong các loại hình hoạt
động, cơng việc hoặc tình huống, môi trƣờng đặc thù, cần thiết cho những hoạt
động chuyên biệt, đáp ứng yêu cầu hẹp hơn của một hoạt động như toán học, âm
nhạc, mĩ thuật, thể thao…
Như vậy, NL chuyên biệt là sản phẩm của một môn học cụ thể, được hình
thành và phát triển do một lĩnh vực hoặc một mơn học nào đó.
Trong (Trần Kiều, 2015) cho rằng: một số năng lực chủ yếu cần được hình
thành và phát triển cho học sinh phổ thơng nước ta khi học toán trong mối quan hệ
chặt chẽ với những năng lực chung và phản ánh đặc thù của mơn Tốn, những năng
lực đó là:
- Năng lực tư duy với các thao tác chủ yếu như: phân tích và tổng hợp, so
sánh, trừu tượng hóa, khái quát hóa…; đặc biệt lưu ý đến năng lực tư duy logic
trong suy diễn, lập luận đồng thời coi trọng tư duy phê phán, sáng tạo, cũng như

các yếu tố dự đốn, tìm tịi, trực giác tốn học, tưởng tượng khơng gian.
- Năng lực giải quyết vấn đề đây là mọt trong những năng lực mà mơn Tốn
có nhiều thuận lợi để phát triển cho người học qua việc tiếp nhận khái niệm, chứng
minh các mệnh đề toán học và đặc biệt là qua giải toán.
Trang 4


- Năng lực mơ hình hóa tốn học từ các tình huống thực tiễn giả định hoặc
tình huống thực trong cuộc sống. Đây là năng lực cần phải được quan tâmnhiều
hơn nữa trong các trường phổ thông ở nước ta.
Năng lực giao tiếp (qua nói và viết) liên quan tới việc sử dụng có hiệu quả
ngơn ngữ tốn học (chữ, kí hiệu, biểu đồ, đồ thị, các liên kết logic,..) kết hợp với
ngôn ngữ thông thường. Năng lực này được thể hiện qua việc hiểu các văn bản
toán học, đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi, lập luận khi chứng minh sự đúng đắn của các
mệnh đề, khi giải toán.
Năng lực sử dụng các cơng cụ, phương tiện học tốn: bao gồm các phương
tiện thông thường, đặc biệt là phương tiện gắn chặt với việc sử dụng công nghệ
thông tin.
Năng lực tự học toán: với phương pháp phù hợp, đồng thời hợp tác được với
người khác một cách hiệu quả trong q trình học tập tốn.
2. Đổi mới phương pháp dạy học với việc phát năng lực của học sinh
Tổng quát về đổi mới phương pháp dạy học các môn học thuộc chương trình
giáo dục định hướng phát triển năng lực là:
Phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành
và phát triển năng lực tự học (sử dụng sách giáo khoa, nghe, ghi chép, tìm kiếm
thơng tin), trên cơ sở đó trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo của tư
duy. Có thể chọn lựa một cách linh hoạt các phương pháp chung và phương pháp
đặc thù của môn học để thực hiện. Tuy nhiên dù sử dụng bất kỳ phương pháp nào
cũng phải đảm bảo được nguyên tắc “Học sinh tự mình hồn thành nhiệm vụ nhận
thức với sự tổ chức, hướng dẫn của giáo viên”.

Việc sử dụng phương pháp dạy học gắn chặt với các hình thức tổ chức dạy
học. Tùy theo mục tiêu, nội dung, đối tượng và điều kiện cụ thể mà có những hình
thức tổ chức thích hợp như học cá nhân, học nhóm; học trong lớp, học ở ngoài lớp.
Sử dụng các phương pháp dạy học tích cực, chú ý cho học sinh thực hành, vận
dụng kiến thức vào tình huống có tính phức hợp, tìm tịi, khám phá, nghiên cứu,
thực hiện các dự án học tập, thảo luận, thuyết minh, nâng cao hứng thú cho người
học.
3. Một số kiến thức cơ bản được sử dụng trong đề tài.
3.1. Góc giữa hai đường thẳng trong khơng gian
Định nghĩa 1

a
b
Góc
giữa
hai
đường
thẳng
và
trong khơng gian là góc
a giữa
a'
b'
b hai đường thẳng
và cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với và .
cos ( a, b ) ≥ 0
a
b
Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng và ln khơng tù nên
3.2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Trang 5


Định nghĩa 2
Cho đường thẳng

d

(α)

và mặt phẳng
.
(α)
d
o
Trường hợp đườngdthẳng
vng( α
góc
thì ta nói rằng góc
) với mặt
90 phẳng
giữa đường thẳng và mặt phẳng
bằng
.
(α)
d
d
Trường hợp đường
thẳng
khơng

vng
góc
với
mặt
phẳng
thì
góc
giữa
α
(
)
d'
d
và
hình
chiếu
của
nó
trên
gọi
là
góc
giữa
đường
thẳng
và mặt phẳng
α
( )
.
cos ( d ,(α ) ) ≥ 0

Nhận xét:
3.3. Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa 3
Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vng góc với hai
mặt phẳng đó.
3.4. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
( O, a )
a
O
H
Cho điểm
vàO đườnga thẳng . Trong mặt phẳng
gọi
là hình chiếu
O
H
vng góc của
trênO . Khi đó khoảng cách
( O, a ) được gọi là
a giữa hai điểm d và
khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và được kí hiệu là
.

3.5. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
(α)
O
O
H
Cho điểm
( α ) và mặt phẳng . Gọi là hìnhOchiếuHvng góc của lên mặt

phẳng O . Khi đó khoảng( cách
O, ( α ) được
α ) giữa hai điểm d ( và
) gọi là khoảng cách
từ điểm đến mặt phẳng
và được kí hiệu
.

4. Một số tính chất bổ trợ được sử để giải quyết các bài toán trong đề tài

Trang 6


S . ABC
4.1.
Tính
chất
1:
Cho
hình
chóp
có
SA ⊥ ( ABC )
ABC
B
là tam giác vng tại .
H , K , đáy
A
Gọi
lần

SBlượt
, SClà hình chiếu vng góc của
lên các cạnh
. Ta có các kết quả sau
BC ⊥ ( SAB )
i.
.
AH ⊥ ( SBC )
ii.
.
SC ⊥ ( AHK )
iii.
.

Chứng minh

i. Từ giả thiết ta có

 BC ⊥ AB
⇒ BC ⊥ ( SAB )

 BC ⊥ SA

ii. Từ kết chứng minh trên ta có
hợp với giả thiết

SB ⊥ AH

BC ⊥ ( SAB )

ta suy ra

AH ⊥ ( SBC ) ⇒ AH ⊥ BC

iii. Do
SC ⊥ ( AHK )

.

mà
AH ⊥ ( SBC )

AH ⊂ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AH

, kết

.

, kết hợp giả thiết

SC ⊥ AK

suy ra

.

4.2. Tính chất 2: Thể tích tứ diện
VABCD =

ABCD

được tính theo công thức

2SVABC .SVDBC
sin ( ( ABC ),( DBC ) )
3BC

Chứng minh:

Gọi

H

là hình chiếu vng góc của

A

lên mặt phẳng

( BCD )

,

I = DH ∩ BC

ta có

Trang 7

1
1
VABCD = AH .SVDBC = AI .sin ·AIH . SVDBC
3
3
=

1 2 SVABC
.sin ·AIH . SVDBC
3 BC

=

2SVABC . SVDBC
.sin ( ( ABC ),( DBC ) )
3BC

. Đây là kết quả cần chứng minh.

5. Một số kí hiệu được sử dụng trong đề tài
TT

KÍ HIỆU

1

( a, b )

2

( a, ( P ) )

3

( ( P),(Q) )

4

SVABC

5

VS . ABC

NỘI DUNG KÍ HIỆU
Góc giữa hai đường thẳng
Góc giữa đường thẳng

a

Góc giữa hai mặt phẳng
Diện tích tam giác
Thể tích khối chóp

a

và

b

và mặt phẳng

( P)

và

( P)

( Q)

ABC
S . ABC

Chương II: THỰC TRẠNG TRONG DẠY HỌC MÔN TOÁN VÀ MỘT SỐ
KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC CỦA ĐỀ TÀI
1. Về cấu trúc SGK và cấu trúc đề thi THPTQG.
1.1 Về chương trình và sách giáo khoa
- Các kiến thức hình học khơng gian liên quan đến thể tích, góc, khoảng
cách ở sách giáo khoa được trình bày ở chương cuối sách Hình học 11 và Chương
đầu sách Hình học 12..
- Các hệ thống các bài tập được đưa ra ở sách giáo khoa nhiều nhưng chưa
đủ đáp ứng cho học sinh luyện tập thi THPTQG
1.2. Về đề thi THPTQG trong những năm qua.
Đề thi THPT quốc gia trong mấy năm qua bài tốn hình học liên quan đến
thể tích, góc, khoảng cách thường xuyên xuất hiện trong đề thi THPTQG ở đầy đủ
các mức độ NB, TH, VD, VDC.
2. Thực trạng của học sinh.
Trang 8

- Đa số học sinh chưa có thói quen tư duy khi gặp các bài tốn hình học mà
thường chỉ biết lặp lại những kiến thức của giáo viên truyền thụ nên không giải
được. Trong thực tế, nhiều học sinh chưa hứng thú với mơn hình học khơng gian,
học sinh thường ngại khi gặp các bài toán liên quan đến góc, khoảng cách bởi các
lí do:
- Học sinh khơng nắm vững lí thuyết cơ bản, chưa chịu khó khai thác sâu
hơn các bài toán cơ bản để thấy được mối liên hệ lơ-gic giữa các bài tốn, xâu
chuỗi các kiến thức với nhau.
- Trong quá trình giảng dạy giáo viên chưa thực sự đầu tư để luyện tập cho
học sinh biết suy luận có lí.
* Bảng số liệu khảo sát 3 lớp học sinh khối 12 năm học 2020 -2021 của
trường tơi với câu hỏi: Em có hứng thú khi gặp các bài tốn hình học khơng gian
khơng?
Tổng số HS
khảo sát

Số HS
hứng thú

Số HS
ít hứng thú

Số HS
khơng hứng thú

Số HS
khơng có ý kiến

115

8

37

68

2

Bảng khảo sát cho thấy thực trạng các em khơng hứng thú khi gặp các bài
hình học khơng gian cho thấy việc dạy học và luyện giải các bài tốn hình học
khơng gian chưa thực sự được chú trọng hoặc chưa tìm ra cách dạy học phù hợp.
3. Thực trạng của giáo viên
- Lâu nay, nhiều giáo viên dạy học làm các bài toán thuần túy mà chưa chú
trọng hướng dẫn học sinh cách suy luận có lí. Việc giảng dạy chỉ thuần túy truyền
thụ kiến thức một chiều mà chưa cho học sinh tìm tịi, mở rộng, phát triển bài toán.
Mặt khác, do áp lực khối lượng kiến thức môn học quá nhiều, thời lượng ngắn nên
việc rèn luyện kĩ năng giải toán cho học sinh là không nhiều.
- Chưa chú trọng việc dạy cho học sinh cách tư duy mà mới chỉ dạy học
truyền thụ một chiều.
- Một số giáo viên chưa chịu khó đầu tư về chun mơn, mới chỉ dừng lại ở
việc góp nhặt các bài toán để ra cho học sinh giải chứ chưa có định hướng để giúp
học sinh tìm tịi, mở rộng
4. Tổng quan về đề tài và một số kết quả đạt được.
- Hiện nay theo cá nhân tôi được biết có rất nhiều đề tài SKKN đề cập đến
chủ đề góc, khoảng cách. Các đề tài mà tơi được tìm hiểu chưa đề cập đến quá
trình thiết kế các hoạt động dạy học xây dựng cho học sinh tìm tịi, mở rộng các
bài tốn một cách hồn tồn tự nhiên để tạo sự hứng thú, gây kích thích tìm tịi học
tập cho học sinh;
- Trong đề tài này tơi xin được đề cập đến những vấn đề sau:
Trang 9

+ Đề tài đã xây dựng mới được hệ thống các bài tập xuất phát từ những bài
tập cơ bản.
+ Đề tài đã định hướng cho học sinh khai thác hiệu quả một số các tính chất
được xây dựng sau khi giải các bài toán cơ bản và vận dụng các tính chất đó giải
các bài tốn khó
+ Đề tài đã xây dựng được một số kỹ thuật giải các bài tốn liên quan đến
thể tích, góc, khoảng cách.
+ Đề tài cũng đưa ra một số hướng dẫn giúp giáo viên định hướng q trình
tìm tịi sáng tạo cho học sinh thơng qua xây dựng các bài tốn mới từ những bài
toán cơ bản.
---------------***---------------

Trang 10


Chương III. KHAI THÁC MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN
NHẰM PHÁT TRIỂN CHO NGƯỜI HỌC KHẢ NĂNG SUY LUẬN CÓ LÍ.
1. Khai thác bài tốn tìm góc giữa hai mặt phẳng bằng phương pháp sử dụng
định nghĩa.
Xuất phát từ bài toán sau

SA ⊥ ( ABC ) SA = a 2
S . ABC
ABC
Bài tốn 1. Cho hình chóp
có
,
.

Đáy
là tam
H, K
B AB = a
A
giác vng cân
. Gọi
lần lượt (làAHK
hình) chiếu
vng
SBtại
, SC ,
( ABC
) góc của
lên các cạnh
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Giải.

Dễ chứng minh được
Theo giả thiết

BC ⊥ ( SAB )

SC ⊥ AK

nên

suy ra

AH ⊥ ( SBC )

SC ⊥ ( AHK )

do đó

AH ⊥ SC

(1)

SA ⊥ ( ABC )

Lại có
nên kết hợp với (1) ta suy ra góc giữa hai mặt phẳng
( ABC )
SA
SC
và
là góc giữa hai đường thẳng
và
.
Từ giả thiết ta có

AC = a 2

Vậy góc giữa hai mặt phẳng

nên tam giác

( AHK )

và

SAC

( ABC )

vuông cân, suy ra
bằng

45o

( AHK )

·ASC = 45o

.

Nhận xét:
- Đây là bài tốn khơng q khó, nhưng với rất nhiều học sinh sẽ gặp khó khăn do
lựa chọn phương pháp giải không phù hợp.
- Ở bài toán trên ta đã sử dụng định nghĩa để tìm góc giữa hai mặt phẳng. Từ cách
giải quyết bài tốn trên ta có kết quả sau:

Trang 11


SA ⊥ ( ABC )
S . ABC

ABC
Tính chất 3: Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác vng
H, K
SB, SC
B
A
tại . Gọi
lần lượt là· hình chiếu vng góc của lên các cạnh
.
( ( AHK ),( ABC ) ) = ASC
Lúc đó

- Kết quả của bài toán trên tạo ý tưởng cho ta xây dựng một số bài toán hay như
sau

SA ⊥ ( ABC )

S . ABC

ABC
Bài tốn 2: Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác vuông
H, K
B AB = 3a 2
A

cân tại ,
. Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc của
lên các
SB, SC
( AHK )
S . ABC
cạnh
. Tính thể tích khối chóp
biết góc giữa hai mặt phẳng
o
( ABC ) 60
và
là
.

Giải:
Từ giả thiết suy ra

AC = 6a

. Sử dụng kết quả trên ta có

( ( AHK ),( ABC ) ) = 60 ⇒ ·ASC = 60o
o

Diện tích tam giác

ABC

Vậy thể tích khối chóp

SVABC =
là

S . ABC

là

suy ra

1
SA = AC.cos ·ASC = 6a. = 3a
2

1
AB.BC = 9a 2
2

1
VS . ABC = SA.SVABC = 9a 3
3

S . ABCD

SA ⊥ ( ABCD )

ABCD
Bài tốn 3: Cho hình chóp
có

, đáy
là hình thang
H
,
K
AD = 2 DC = 2CB = 2 AB = 2a
cân,
. Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc
Trang 12


SB, SD
S . ABCD
lên các cạnh
. Tính thể tích khối chóp
biết góc giữa hai
( AHK )
( ABCD ) 45o
mặt phẳng
và
là
.
của

A

Phân tích bài tốn:
Ở bài tốn này giáo viên cần định hướng (thơng qua phân tích yếu tố ở đáy hình
S . ABC

chóp) để học sinh nhận thấy các hình chóp
có các đặc điểm giống với hình
( AHK )
chóp ở Bài tốn 1, từ đó giúp học sinh thấy được góc giữa hai mặt phẳng
·ASD
( ABCD )
và
là góc
.
Giải:
O
OC = OB = a
ABCD
AD
Gọi là trung điểm cạnh
, dễ thấy
suy ra tứ giác
là một
·ABD = 90o
AD
nửa hình lục giác đều nội tiếp đường trong đường kính
, suy ra
.
Áp dụng kết quả ở tính chất 3 ta suy ra
Do đó

SA = AD.tan 45o = AD = 2a

Diện tích đáy

ABCD

Thể tích khối chóp

( ( AHK ),( ABCD) ) = ·ASD = 45o

.

S ABCD = 3.SVAOB
là

S . ABCD

S ABCD

là

a2 3
= 3.
4

1
1
3a 2 3 a 3 3
= SA.S ABCD = 2a.
=
3
3
4
2

.

Nhận xét:

Trang 13


- Ở bài tốn trên nếu trong q trình dạy học giáo viên khơng có các hoạt động
giúp học sinh nắm được Tính chất 1, khơng khai thác các yếu tố ở Bài tốn 1 thì
học sinh sẽ gặp khó khăn trong việc khai thác giả thiết góc giữa hai mặt phẳng
( AHK )
( ABCD )
và
dẫn đến khó khăn trong việc tìm ra lời giải bài tốn.
- Việc tìm ra góc giữa hai mặt phẳng

( AHK )

và

( ABCD )

ở bài tốn trên tuy có tạo
H, K
khó cho học sinh nhưng vẫn chưa thực sự “kín”. Nếu ta thay giả thiết
lần
SB, SD
H, K
A

lượt là hình chiếu vng góc của
lên các cạnh
bởi giả thiết
lần
SB, SC
A
lượt là hình chiếu vng góc của
lên các cạnh
thì bài tốn sẽ trở nên
“hấp dẫn” hơn. Ta có bài toán sau

SA ⊥ ( ABCD ) SA = 2a 3
ABCD
Bài tốn 4. Cho hình chóp
có
,
, đáy
là
H, K
AD = 2 DC = 2CB = 2 AB = 2a
hình thang cân,
. Gọi
lần lượt là hình chiếu
SB, SC
( AHK )
A
vng góc của
lên các cạnh
. Tính góc giữa hai mặt phẳng
và

( ABCD )
.
S . ABCD

Phân tích bài tốn:
- Ở bài này ta thấy hình chóp

S . ABC

chưa có tính chất như hình chóp ở Bài tốn
( AHK )
( ABCD )
1, do đó ta chưa xác định được ngay góc giữa hai mặt phẳng
và
.
I
- Ta tìm mối liên hệ giữa Bài tốn 4 và Bài tốn 3 bằng cách xác định điểm là
SD
A
I
hình chiếu vng góc của điêm
lên cạnh
. Dự đốn
sẽ nằm trong mặt
( AHK )
phẳng
.

Trang 14

Giải
SD
A
là hình chiếu vng góc của điểm
lên cạnh
, từ kết quả Bài toán 3 và

 SD ⊥ ( AHI )

( AHK ) ≡ ( AHI )

 SD ⊥ ( AKI )
các kết quả ở Tính chất 1 ta suy ra
nên
và do đó
Gọi

I

·
( ( AHK ),( ABCD) ) = ( ( AHI ),( ABCD) ) = ASD

Trong tam giác vuông
Vậy

SAD

tan ·ASD =

có

.

SA 2a 3
=
= 3 ⇒ ·ASD = 60o
AD
2a

( ( AHK ),( ABCD) ) = 60o

Nhận xét: Từ các kết quả trên ta thấy mấu chốt của vấn đề là ta cần tạo ra mơ hình
tứ diện ở Bài tốn 1, bản chất là tạo ra tứ diện có một cạnh đáy là đường kính của
đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy. Từ đó ta tạo ra bài tốn sau đây.
S . ABC

SA ⊥ ( ABC )

ABC
Bài tốn 5: Cho hình chóp
có
, đáy
là tam giác đều
H
,
K
SB, SC
a
A

cạnh . Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc của
lên các cạnh
.
( AHK )
( ABC )
S . ABC
Tính thể tích khối chóp
biết góc giữa hai mặt phẳng
và
là
o
60
.
Giải

Gọi

O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
·ABD = DCA
·
= 90o
O
qua . (Lúc này dễ thấy
)

ABC D
A

,
là điểm đối xứng với

Trang 15


SD
A
là hình chiếu vng góc của
lên đường thẳng
, theo các kết quả của
 SD ⊥ ( AHI )
⇒ ( AHK ) ≡ ( AHI )

 SD ⊥ ( AIK )
Tính chất 1 ta có
do đó theo Tính chất 3 ta có
o
·
= 60
( ( AHK ),( ABCD) ) = ( ( AHI ),( ABCD) ) = ASD
.
SAD
Trong tam giác vng
ta có
Gọi

I

4 a 3 1 2a

·
SA = AD cot ASD
⇔ SA = AD cot 60o ⇔ SA = .
.
=
3 2
3 3
1
1 2a 3a 2
3a 3
VS . ABC = SA.SVABC =
=
3
3 3 4
18

.

và do đó

( AHK )

Nhận
và
( ABCDxét:
) Ở bài tốn trên, việc xác định góc giữa hai mặt phẳng
có chút khó khăn( AHK
do học
) sinh chưa tìm được ngay đường thẳng nào
vng góc với mặt phẳng

. Nhưng nếu trong q trình dạy học giáo viên
biết tổ chức cho học sinh nghiên cứu, khai thác sâu bản chất bài toán 1 và kỹ thuật
D
giải của bài tốn đó thì ở Bài tốn 5 học sinh sẽ biết cách dựng thêm điểm
để
quy về bài toán quen thuộc. Bài toán 5 cho đáy là tam giác đặc biệt nên việc tìm ra
các kết quả tính tốn là khơng khó. Tiếp theo ta thay giả thiết đáy là tam giác
thường thì sẽ có bài tốn sau.

SA ⊥ ( ABC ) SA = 3a, AB = a, AC = 3a
S . ABC
Bài tốn 6: Cho hình chóp
có
,
,
·
H, K
BAC
= 60o
A
. Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc của
lên các cạnh
SB, SC
( AHK ) ( ABC )
. Tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng
và
.
Nhận xét:
D

- Ở bài tốn này ta cũng sẽ “học tập” cách giải ở Bài toán 5 là tạo ra điểm
để
( AHK )
( ABC )
xác định được góc giữa mặt phẳng
và mặt phẳng
, tuy nhiên trong
AD
trường hợp này học sinh sẽ gặp đơi chút khó khăn khi tìm độ dài
.
AD
- Để tìm
học sinh cần vận dụng kết hợp các hệ thức lượng trong tam giác

Giải:
Áp dụng định lí cosin cho tam giác

ABC

ta có
Trang 16


·
BC = AB 2 + AC 2 − 2 AB. AC.cos BAC
=a 7

Gọi

O

là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
·ABD = DCA
·
= 90o
O
qua . (Lúc này dễ thấy
)

ABC D
A
,
là điểm đối xứng với

SD
A
là hình chiếu vng góc của
lên đường thẳng
, theo các kết quả của
 SD ⊥ ( AHI )
⇒ ( AHK ) ≡ ( AHI )

 SD ⊥ ( AIK )
Tính chất 1 ta có
do đó theo Tính chất 3 ta có
·
( ( AHK ),( ABCD) ) = ( ( AHI ),( ABCD) ) = ASD
.
Gọi

I

SA
SD

SD
(1) . Ta cần tính
ABC
AD
Do
là đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
nên áp dụng định lí
BC
2 21a
AD =
⇔ AD =
·
3
ABC
sin BAC
sin cho tam giác
ta có
Trong tam giác vng

ta có

84a 2 a 165
SD = SA + AD = 9a +
=
9

3
2

Suy ra

SAD

cos ·ASD =

cos ·ASD =

2

2

. Thay vào (1) ta được

SA
9a
3 165
=
=
SD a 165
55

Trang 17


cos ( ( AHK ),( ABCD) ) =

Vậy

3 165
55

Nhận xét:
- Qua các bài toán trên ta thấy việc khai thác các tính chất của 1 dạng tứ diện đặc
biệt (đã nêu ở Tính chất 1) giúp học sinh nắm vững hơn phương pháp dùng định
nghĩa để giải quyết bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng qua đó sẽ có
cách nhìn sâu sắc hơn đối với các bài tốn hình học khơng gian.
- Từ ý tưởng trên ta có thể tiếp tục tạo ra nhiều bài tốn hay nữa bằng cách “lồng
ghép” các yếu tố trên vào khối lăng trụ. Bài tốn sau đây là một ví dụ.
Bài tốn 7. Cho hình lập phương
lượt là trung điểm các đoạn thẳng
( A ' B ' C ' D ')
và
.

ABCD. A ' B ' C ' D '

A ' B, A ' D

cạnh bằng

a

. Gọi

I, J

. Tính góc giữa hai mặt phẳng

lần
( AIJ )

Giải:

Ta có

( ( AIJ ), ( A ' B ' C ' D ') ) = ( ( AIJ ),( ABCD) )

Từ kết quả của các bài toán trên ta suy ra ngay

.

( ( AIJ ),( ABCD) ) = ·AA 'C = 45o

Nhận xét:
- Đây là bài tốn khơng khó (học sinh có thể giải theo nhiều cách khác nhau nhưng
cách nhìn nhận ở trên là đơn giản hơn), tuy nhiên nếu khơng có q trình phân tích,
định hướng một cách hợp lí thì học sinh sẽ khó nhìn nhận ra vấn đề hoặc giải được
nhưng mất nhiều thời gian. Việc định hướng khai thác các bài toán cơ bản để xây
dựng các bài toán mới sẽ giúp học sinh nắm bản chất và sâu sắc hơn các tính chất
hình học, qua đó giúp học sinh giải quyết nhanh hơn các bài tốn khó. (đặc biệt
trong kỳ thi THPT QG như hiện nay đòi hỏi học sinh cần giải nhanh các bài toán
để đảm bảo yêu cầu về mặt thời gian)
Trang 18


- Bài tốn trên khơng q khó do tính chất đặc biệt của hình lập phương, giáo viên

tiếp tục thay đổi giả thiết để tạo ra bài toán sau đây.
ABCD. A ' B ' C ' D '
A'
Bài toán 8. Cho hình hộp
có hình chiếu đỉnh
lên đáy
( ABCD )
G
A ' B 'C ' D '
ABD
là trọng tâm
của tam giác
, đáy
là hình thoi có
AC = 6a, BD = 2a
I, J
G
. Gọi
lần lượt là hình chiếu vng góc của
lên các cạnh
A ' B, A ' D
ABCD. A ' B ' C ' D '
. Tính thể tích của hình hộp
biết góc giữa hai mặt
( GIJ ) ( ABCD ) 45o
phẳng
và
là
.
Giải.

Gọi

O = AC ∩ BD

ngoại tiếp tam giác

Gọi

E

ta có
GBD

1
OG = AO = a
3

quả các bài toán trên suy ra
ABCD

BD = 2a

suy ra

O

là tâm đường trịn

.

là điểm đối xứng với

Diện tích đáy

, mà

G

O

·
·
GBE
= DBE
= 90o

qua điểm
ta có
· ' E = 45o
( (GIJ ),( ABCD) ) = GA

S ABCD =

do đó

nên theo kết

GA ' = GE = 2a

1
1
AC.BD = 6a.2a = 6a 2
2
2

là
suy ra thể tích khối hộp
2
3
ABCD. A ' B ' C ' D ' VABCD. A ' B ' C ' D ' = GA '.S ABCD = 2a.6a = 12a
là
.

Đáp số:

VABCD. A ' B ' C ' D ' = 12a 3

Nhận xét.
Trang 19


- Rõ ràng bài tốn trên có mức độ khó hơn bởi các yếu tố quen thuộc được dấu kín
hơn, thực tế tôi đã kiểm chứng khi cho học sinh trực tiếp giải bài tốn trên khi chưa
có các định hướng thơng qua hệ thống bài tập trên thì đa số học sinh gặp khó khăn
và khơng tìm ra kết quả, nhưng sau khi có các hoạt động thơng qua phân tích và
luyện tập các bài tốn đã nêu ở phần trước thì các học sinh đã tìm ra hướng giải
quyết Bài tốn 8 một cách nhanh chóng.
- Ở Bài tốn 8 có cảm giác “may mắn” khi tìm ra tâm đường tròn ngoại tiếp là giao
điểm hai đường chéo, tuy nhiên giáo viên có thể thay đổi giả thiết của

các yếu tố
GBD
đáy để mục đích tìm ra được bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác
.
- Tiếp tục ý tưởng trên ta cịn có thể tạo ra nhiều bài tốn hay khác nữa nhưng
trong khn khổ đề tài tơi xin trình bày sang ý tưởng khai thác bài tốn cơ bản
khác,
2. Khai thác bài tốn tìm góc giữa hai mặt phẳng bằng phương pháp sử dụng
Tính chất 2.

a
S . ABCD
Bài tốn 1: Cho hình chóp đều
có tất cả các cạnh bằng . Tính cosin
( SBC ) ( SCD )
của góc giữa hai mặt phẳng
và
.
* Bài tốn này học sinh có thể giải theo một số cách giải khác nhau như sau:
Cách 1:

 BM ⊥ SC

 DM ⊥ SC

SC
M
Gọi
là trung điểm cạnh
suy ra

do đó góc giữa hai mặt phẳng
( SBC ) ( SCD )
BM
DM
và
bằng góc giữa hai đường thẳng
và
.

Trang 20


BM = DM =

BMD
Xét tam giác
có
2
2.BM − BD 2
1
·
cos BMD =
=−
2
2.BM
3

a 3
2 BD = a 2
,

nên
cos ( ( SBC ), ( SCD ) ) =

. Vậy

1
3

.

Cách 2:

Gọi

M, N

lần lượt là trung điểm các cạnh

BC , CD

;

SM , SN
O
O
lần lượt là hình chiếu vng góc của lên các cạnh
(với là
OM ⊥ ( SBC )

( SBC )

ON ⊥ ( SCD )
ABCD
tâm đáy
). Dễ thấy
suy ra góc giữa hai mặt phẳng
và
( SCD )
OH
OK
bằng góc giữa hai đường thẳng
và
.
Gọi

H, K

Cách 3: Phương pháp vectơ hoặc gắn hệ trục tọa độ và dùng phương pháp tọa độ
để giải.
Cách 4: Sử dụng Tính chất 2 đã nêu ở phần đầu đề tài.

Trang 21


Dễ tìm được thể tích tứ diện

SBCD
VSBCD =

Mặt khác, theo Tính chất 2:

⇒ sin ( ( SBC ),( SCD ) ) =

VSBCD
là

a3 2
=
12

2SVSBC .SVSCD
sin ( ( SBC ),( SCD) )
3.SC

3.SC.VSBCD
2SVSBC .SVSCD

 a3 2 
3a 
÷
12  2 2

=
=
2
2
3
a 3
2
÷
 4 

2

2 2 1
⇒ cos ( ( SBC ),( SCD ) ) = 1 − 
÷ =
3
3



cos ( ( SBC ), ( SCD) ) =
. Vậy

1
3

.

Nhận xét:
- Đây là hình chóp đặc biệt nên ta có thể sử dụng được các cách 1, 2, 3. Nếu thay
đổi giả thiết để hình chóp trên khơng đặc biệt nữa thì các cách giải đó sẽ khó áp
dụng được.
- Nếu người dạy chỉ dừng lại ở đây thì học sinh sẽ khơng có cái nhìn sâu sắc hơn
về dạng tốn này. Trong q trình giảng dạy tơi thấy khai thác tính chất 2 để áp
dụng cho các bài tốn liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng (ở dạng không cơ bản)
nhiều khi rất hiệu quả, học sinh nắm được sâu sắc kiến thức và vận dụng linh hoạt
để giải toán.
- Giáo viên cần chú ý cho học sinh dấu hiệu để có thể sử dụng Tính chất 2 là trong
bài tốn có 4 điểm tào thành một tứ diện dễ tìm được thể tích, 2 mặt của tứ diện đó
có thể tính được diện tích đồng thời cạnh chung của hai mặt đó tính được độ dài thì

ta sẽ tìm được góc giữa hai mặt phẳng chứa hai mặt tứ diện đó. Ngược lại nếu cho
góc giữa hai mặt phẳng chứa 2 mặt bên của tứ diện, tìm được độ dài cạnh chung
của hai mặt và diện tích hai mặt đó thì ta tính được thể tích tứ diện đó.

Trang 22


- Trong q trình giảng dạy, tơi đã tạo ra một số bài tốn để giúp học sinh nắm
vững tính chất, sau đó lấy một số ví dụ trong các đề thi thử của một số trường trên
cả nước để giúp học sinh thấy được hiệu quả của phương pháp. Sau đây tơi xin
trình bày một số bài tốn mà tơi tạo ra trong q trình dạy học cũng như một số ví
dụ ở các đề thi nhằm minh họa tính hiệu quả của phương pháp một cách khách
quan.
- Tính chất 2 không chỉ cung cấp cho ta công cụ tính góc giữa hai mặt phẳng mà
cịn được áp dụng để tính thể tích các khối đa diện trong một số bài tốn “dấu
đường cao” sẽ được trình bày trong sau
- Từ Bài tốn 1, tơi thay đổi một số giả thiết để có bài tốn sau
S . ABC
ABC
A
Bài tốn 2. Cho khối chóp
có đáy
là tam giác vng tại ,
AB = a, AC = a 3
( ABC )
S
. Hình chiếu vng góc của lên mặt phẳng
trùng với
( SAB ) ( SAC )
BC

cosin
M
trung điểm
của cạnh
. Tính
góc giữa hai mặt phẳng
và
SM = a 3
biết
.

Phân tích:
Trang 23


Bài
SACtốn này ta khơng nên sử dụng Cách 1 ở Bài tốn 1 do hai tam giác
khơng bằng nhau

SAB

và

Ta hồn tồn có thể sử dụng phương phương pháp dùng định nghĩa góc giữa hai
mặt phẳng để giải bài tốn này nhưng sẽ mất nhiều thời gian cho tính tốn
SAB
SAC
Ở bài này, diện tích các tam giác
và
dễ dàng tìm được do biết được độ

dài các cạnh nên áp dụng Tính chất 2 để giải sẽ là hợp lí.
Giải:

Thể tích khối chóp

Từ giả thiết ta có

S . ABC

VS . ABC
là

SA = SB = SC = 2a

VSABC =
Theo Tính chất 2 ta có:

sin ( ( SAB), ( SAC ) ) =

Vậy

SVSAB
do đó

3.SAV
. S . ABC
2.SVSAB .SVSAC

65
65

.

a 2 15
a 2 39
=
SVSAC =
4
4
,

2.SVSAB .SVSAC
sin ( ( SAB), ( SAC ) )
3.SA

Suy ra
cos ( ( SAB), ( SAC ) ) =

1
1
1
a3
= SM .SVABC = .a 3. a.a 3 =
3
3
2
2

a3
3.2a.

8 65
2
=
=
2
2
65
a 15 a 39
2.
.
4
4

.

* Tiếp tục ý tưởng đó ta tạo ra bài tốn sau.
a
S . ABCD
Bài tốn 3: Cho hình chóp
có đáy là hình thoi cạnh . Các tam giác
SBC , SCD
30o
đều và nằm trong hai mặt phẳng tạo với nhau góc
. Tính thể tích
S . ABCD
khối chóp
.
Nhận xét.
- Đây là bài tốn chưa xác định được đường cao của chóp nên sẽ gây khó khăn cho
học sinh trong q trình giải.

S .BCD
- Do tứ diện
có hai mặt tìm đượcSCdiện tích, số đo góc giữa hai mặt phẳng
chứa hai mặt đó và độ dài cạnh chung
đã biết nên học sinh nắm vững Tính
chất 2 thì sẽ nhanh chóng tìm ra hướng giải quyết.

Trang 24


Giải: Áp dụng cơng thức ở Tính chất 2 ta có:

Thể tích tứ diện

SBCD

2SVSBC .SVSCD
sin ( ( SBC ),( SCD) )
3.SC

VSBCD =
là

2

⇔ VSBCD

 a2 3 
2
÷

4 
a3

=
sin 30o =
3.a
16

VS . ABCD = 2VSBCD =
suy ra

VS . ABCD
Vậy thể tích khối chóp cần tìm là

a3
=
8

a3
8

.

* Từ ý tưởng của Tính chất 2, giáo viên có thể lồng yếu tố tứ diện vào các hình
chóp, hình lăng trụ…ta sẽ có các bài tốn hay khác, sau đây là một ví dụ tơi đã
lồng yếu tố tứ diện vào hình hộp.

a
ABCD. A ' B ' C ' D '
ABCD

Bài tốn 4: Cho hình hộp
có đáy
là hình thoi cạnh ,
·
· ' A ' = 120o AA ' = 2a
( AA ' D ' D )
DAB
= DD
,
, góc giữa hai mặt phẳng
và
o
( A ' B ' C ' D ')
60
ABCD. A ' B ' C ' D '
bằng
. Tính thể tích của khối hộp
.
Nhận xét. Bài tốn này yếu tố đường cao của hình hộp chưa xác định được ngay,
nếu học sinh sử dụng phương pháp thơng thường sẽ gặp khó khăn, nếu nắm vững
bản chất học sinh sẽ giải quyết nhanh bài toán như sau.
Giải:

Trang 25