Phát triển năng lực toán học cho học sinh thông qua các bài toán sử dụng đồ thị của hàm đạo hàm chương trình giải tích 12 nhằm nâng cao chất lượng ôn thi tốt nghiệp THPT môn toán

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN
TRƯỜNG THPT LÊ VIẾT THUẬT
=====*=====

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Tên đề tài:

PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỐN HỌC CHO HỌC SINH THƠNG
QUA CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG ĐỒ THỊ CỦA HÀM ĐẠO HÀM
CHƯƠNG TRÌNH GIẢI TÍCH 12 NHẰM NÂNG CAO CHẤT
LƯỢNG ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT MƠN TỐN

Đề tài thuộc lĩnh vực: TỐN HỌC
Họ tên người thực hiện:
1) Nguyễn Mạnh Dũng - Trường THPT Lê Viết Thuật
2) Hoàng Thị Hương Huyền - Trường THPT Nghi Lộc 4
3) Phan Thị Thu Huyền – Trường THPT Nguyễn Trường Tộ

Tháng 12/2020


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Tốn học là mơn khoa học cơ bản, có liên quan đến nhiều ngành, nhiều
lĩnh vực khác nhau. Dạy toán học nhằm trang bị cho học sinh một hệ thống tri
thức khoa học phổ thông cơ bản tạo điều kiện cho các em được hình thành và
phát triển các phẩm chất, năng lực trí tuệ, đồng thời trang bị cho các em hệ
thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu và khám phá thế giới xung quanh.
Trong chương trình mơn Tốn bậc THPT, các em học sinh được học đạo
hàm từ cuối học kỳ II của lớp 11, nhưng đại đa số các em khi học xong những

kiến thức về đạo hàm thì chỉ biết vận dụng công thức để giải các bài tốn về tính
đạo hàm, hoặc khảo sát hàm số. Cịn việc ứng dụng đạo hàm để khai thác và giải
các bài toán như: Bài toán đồ thị hàm đạo hàm và sự biến thiên của hàm số, bài
toán đồ thị hàm đạo hàm và cực trị của hàm số, bài toán đồ thị hàm đạo hàm và
giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, bài toán đồ thị hàm đạo hàm và sự
tương giao của đồ thị các hàm số… qua thực tế giảng dạy nhiều năm ở bậc
THPT và tìm hiểu về tâm lý của đối tượng học sinh tơi thấy học sinh cịn rất
lúng túng, bỡ ngỡ. Nhằm giúp các em học sinh hứng thú trong học tập, biết cách
khai thác, vận dụng các kiến thức liên quan đến đạo hàm để giải quyết các bài
toán đồ thị hàm đạo hàm và các bài toán liên quan tơi đã chọn viết chun đề
này trình bày một số kinh nghiệm của bản thân đã tích luỹ khi giảng dạy: “Phát
triển năng lực toán học cho học sinh thơng qua các bài tốn sử dụng đồ thị
của hàm đạo hàm chương trình Giải tích 12 nhằm nâng cao chất lượng ơn
thi tốt nghiệp THPT mơn Tốn” nhằm phục vụ công tác dạy và học trong nhà
trường.
Trong quá trình giảng dạy tơi cố gắng làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hàm
số y  f '( x) và hàm số y  f ( x ) thông qua một số bài toán liên quan. Bằng cách
sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh,
phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học
sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội
dung ứng dụng phong phú và giúp học sinh định hướng được năng lực tư duy và
tiếp cận kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2021.
2. Mục đích nghiên cứu
Đề tài giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa hàm số y  f '( x) và hàm

2


số y  f ( x) thông qua một số bài tốn liên quan. Từ đó, học sinh định hướng
được năng lực tư duy và tiếp cận kỳ thi THPT mối quan hệ giữa hàm số

y  f '( x) và hàm số y  f ( x) thông qua một số bài toán liên quan. Bằng cách
sắp xếp các dạng toán, phương pháp truyền thụ phù hợp với đối tượng học sinh,
phát huy tính tích cực của học sinh, chú ý sửa sai cho các em, tôi đã giúp học
sinh hiểu đây là là phần bài tập có thuật giải rõ ràng, chính xác, có nhiều nội
Quốc Gia năm 2021.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu, đề tài có nhiệm vụ:
+ Hình thành cách giải một số bài toán về đồ thị hàm đạo hàm.
+ Đề xuất một số bài toán mới liên quan đến đồ thị hàm đạo hàm.
+ Làm sáng tỏ mối quan hệ giữa hàm số y  f ( x) và hàm đạo hàm của nó là

y  f '( x) .
+ Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
Từ đó, xây dựng được phương pháp dạy học phù hợp tiếp cận kỳ thi THPT
Quốc Gia năm 2021.
4. Đối tương và phạm vi nghiên cứu
4.1Đối tương nghiên cứu
Đề tài đã nghiên cứu các bài toán về đồ thị hàm đạo hàm và các bài tốn
liên quan nhằm mục đích để học sinh hiểu sâu sắc hơn về vấn đề khảo sát hàm
số như: hình dạng đồ thị, sự biến thiên, cực trị, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
của hàm số và sự tương giao của các đồ thị hàm số. Từ đó, giúp học sinh hồn
thiện kỹ năng và tiếp cận kỳ thi THPT Quốc Gia năm 2021.
4.2 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các bài toán về đồ thị của hàm số y  f '( x) và giải các bài toán
liên quan.
5. Phương pháp nghiên cứu
5.1Phương pháp nghiên cứu lý luận:
Nghiên cứu các tài liệu:
+ Sách giáo khoa, sách giáo viên, nội dung giảm tải chương trình, hướng dẫn

thực hiện chương trình Tốn 12.
+ Sách tham khảo và các tài liệu trên Internet về các vấn đề liên quan đến đề tài.

3


5.2Phương pháp điều tra, quan sát:
Dự giờ, quan sát, lập phiếu điều tra thực trạng việc giải quyết bài toán đồ
thị hàm đạo hàm và các bài toán liên quan.
5.3Phương pháp thực nghiệm sư phạm:
Tổ chức thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
6. Dự kiến những đóng góp của đề tài
+ Góp phần củng cố hệ thống kiến thức về khảo sát hàm số và các bài tốn liên
quan.
+ Có thể sử dụng đề tài để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên và học sinh
trong giảng dạy nội dung khảo sát.
7. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu
7.1Về mặt lý luận
Đề tài đã hệ thống kiến thức nền tảng theo từng bài tốn liên quan. Hình
thành cách tư duy giải các bài tốn.
7.2Về mặt thực tiễn
Giải quyết được tình huống thực tiễn khi nghiên cứu về đồ thị hàm số

y  f '( x) . Xây dựng được hệ thống bài tập nhằm rèn luyện kỹ năng cho học
sinh.

4


NỘI DUNG

ĐỒ THỊ HÀM ĐẠO HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN
1. Đồ thị hàm đạo hàm và sự biến thiên của hàm số
1.lKiến thức cơ bản
a) Đinh nghĩa
Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y  f ( x) xác
đinh trên K. Ta nói
+) Hàm số y  f ( x ) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi x1 , x2 K mà x1 nhỏ
hơn x2 thì f ( x1 ) nhỏ hơn f ( x2 ) , tức là
x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 );
+) Hàm số y  f ( x ) nghịch biến (giảm) trên K nếu với mọi x1 , x2 thuộc K mà
x1 nhỏ hơn x2 thì f ( x1 ) lớn hơn f ( x2 ) , tức là
x1  x2 � f ( x1 )  f ( x2 ).

Hàm số đồng biến hoặc nghich biến trên K được gọi chung là hàm số đơn điêu
trên K.
b) Tính đơn điêu và dấu của đạo hàm
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm trên K.
+) Nếu f '( x)  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) đồng biến trên K.
+) Nếu f '( x)  0 với mọi x thuộc K thì hàm số f ( x) nghịch biến trên K.
Tóm lại, trên K
o�
ng bie�
n
�f '( x)  0 � f ( x) �
�
ch bie�
n.
�f '( x )  0 � f ( x ) ngh�

Chú ý: Nếu f '( x)  0, x �K thì f ( x) khơng đổi trên K.

1.2Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 ( Câu 39 mã đề 123 đề thi THPT quốc gia năm 2019).
( x ) liên tục trên � và có đồ thị như hình vẽ bên.
Cho hàm số f ( x ) , hàm số y  f �
Bất phương trình f ( x)  x  m ( m là tham số thực) nghiệm đúng với mọi x �(0; 2)
khi và chỉ khi
A. m �f (2)  2.
B. m  f (0).
C. m  f (2)  2.
5


D. m �f (0).
Lời giải.
Ta có

f ( x)  x  m, x �(0;2) � m  f ( x)  x, x �(0;2)(*)

Dựa vào đồ thị của hàm số y  f '( x) ta có với x �(0;2) thì f '( x)  1 .
Xét hàm số g ( x )  f ( x)  x trên khoảng (0;2) .
g '( x)  f '( x)  1, x �(0;2).
Suy ra hàm số g ( x) nghịch biến trên khoảng (0;2) .
Do đó (*) ۳ m g (0)  f (0). Chọn phương án D.
Ví dụ 2 (Đề KSCL HK1, Chuyên Đại học Vinh, Nghệ An 2018).
Hàm số f ( x) xác định trên � có đồ thị f '( x) là đường
cong trong hình bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (1;2).
B. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (1;2).
C. Hàm số f ( x) đồng biến trên khoảng (2;1).
D. Hàm số f ( x) nghịch biến trên khoảng (0;2).

Lời giải.
Cách 1: Dựa vào đồ thị của hàm số y  f '( x ), suy ra rằng
2  x  0
0x2
�
�
f '( x)  0 � �
va�f '( x)  0 � �
� x2
�x  2
Do đó, hàm số nghịch biến trên khoảng (0;2). Chọn phương án D.
Cách 2: Từ đồ thị hàm số y  f '( x), suy ra
f '( x)  a( x  2).x.( x  2)  a.x.( x 2  4) với a  0 . Lập bảng biến thiên của hàm
số y  f ( x) như sau
x
f J (x)
f (x)

−∞

−2
0

−
+∞

f (−2)

f
(−2)

+

0
−
0
f (0)

2
0

+∞
+
+∞

f f (2)
(2)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f ( x ) , suy ra hàm số nghịch biến trên
6


khoảng (0;2).
Nhận xét:
 Chìa khóa trong bài tốn này, chính là kỹ năng đọc đồ thị hàm số

y  f '( x ) , từ đó xác định dấu đạo hàm và cuối cùng là đưa ra được bảng
xét dấu của biểu thức f '( x).
 ở cách 2, học sinh cần có kĩ năng xét sự tương giao của đồ thị hàm số

y  f '( x ) và trục hồnh. Từ đó, xây dựng được dạng của hàm số
y  f ( x ).
Ví dụ 3 (THPTQG - Minh họa lần 1 - 2018 - Câu 39).
Cho hàm số y  f ( x) . Hàm số y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số

−O 1
1

y  f (2  x) đồng biến trên khoảng
A.

 1;3 .

B.

C.  2;1 .

4x

 2; � .

D.  �;2  .

Lời giải. Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) , suy ra:
1  x  1
�
�x  1
f '( x)  0 � �
va�f '( x)  0 � �
1 x  4

� x4
�
Suy ra rằng:
1  2  x  1 �
1 x  3
�
f '(2  x )  0 � �
��
� 2 x4
�x  2
�2  x  1
� x3
f '(2  x)  0 � �
��
1 2  x  4
2  x  1
�
�
Đặt g ( x)  f (2  x). Hàm số y  g ( x) xác định trên � và có đạo hàm
g '( x )   f (2  x), x ��. Lập bảng biến thiên của hàm số y  g ( x) như sau
X
f '(2  x)
gJ (x)
g(x)

−∞

+�

+

−

−2
0
0
g(-2)

−
+

1
0
0
g(1)

+
−

3
0
0

+∞
−
+
+�

g(3)

7

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  g ( x) , suy ra hàm số y  f (2  x)
đồng biến trên các khoảng  2;1 và  3; � . Chọn phương án C.
Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) , suy ra f '( x)  a( x  1).( x  1).( x  4)
với a  0 .
Do đó,

y  f ( x)  �
f '( x ) d x  �
( ax 3  4ax 2  ax  4a )dx


a 4
a
a
x  4 x 3  x 2  4ax  C
4
3
2

với C là hằng số
a
a
a
g ( x)  (2  x)4  4 (2  x)3  (2  x) 2  4a(2  x)  C
4
3
2
Do đó:

3
2
Suy ra g '( x)  a( x  2 x  5 x  6)  a( x  1)( x  2)( x  3), lập bảng biến thiên

của hàm số y  g ( x) như sau
X
gJ (x)
g(x)

−∞
−
+∞

−2
0

+

g(−2)

1
0
g(1)

−

3
0

+∞

+
+∞

g(3)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số g '( x ) , suy ra các khoảng đồng biến của
hàm số y  g ( x) là khoảng  2;1 và  3; � .
Cách 3: Đặt g ( x)  f (2  x). Ta có

g '( x)   f (2  x)  '  (2  x)'. f '(2  x)   f (2  x). Từ đồ thị hàm số y  f '( x) ,
suy ra
�2  x  1
� x3
g '( x)  0 �  f '(2  x)  0 � f '(2  x)  0 � �
��
1 2  x  4
2  x  1
�
�
Hàm số y  g ( x) đồng biến trên các khoảng  2;1 và  3; � .
Nhận xét
 Ở cách 1, học sinh cần có kĩ năng xét dấu của f '( x) bằng cách chỉ ra được
phần đồ thị nằm phía trên, phía dưới trục hồnh, suy ra dấu của f '(2  x).
 Ở cách 2, học sinh cần chỉ ra
được sự tương giao của đồ thị hàm số
8


y  f '( x) với trục hồnh, từ đó xây dựng được dạng hàm số y  f '( x) có
đồ thị như hình vẽ, do đó suy ra được dạng của hàm số y  g ( x) . Việc xét

dấu của g '( x) là đơn giản chỉ cần dựa vào tích của các nhị thức bậc nhất
mà học sinh đã học ở lớp 10.
 Ở cách 2, để tìm sự phân tích của g'( x) chúng ta có thể tịnh tiến nghiệm suy
ra g'( x)  a( x  3)( x  1)( x  2).
 Ở cách 3, học sinh xét dấu f '(2  x) trực tiếp bằng cách dựa vào đồ thị
hàm số y  f '( x).
 Qua ba cách giải trên, các phương án gây nhiễu đều dựa vào những sai lầm
trong cách tư duy của học sinh. Chẳng hạn như phương án A,D dựa trên sai
lầm là học sinh chỉ đơn thuần là giải bất phương trình f '(2  x)  0 mà
chưa thấy được mối quan hệ giữa g '( x ) và f '(2  x) bởi quan hệ ràng buộc

g '( x)   f '(2  x). Phương án B chỉ là nhiễu số vì hàm số y  f (2  x)
đồng biến trên khoảng (3; �) �(2; �).

Với những phân tích như trên, chúng ta hồn
tồn có thể xây dựng được hàng loạt các bài tập tương tự để học sinh rèn luyện
kĩ năng cũng như tư duy một cách trực quan qua đồ thị hàm số y  f ( x ) như
sau:
Bài toán tổng quát 1.
Cho hàm số y  f ( x ) và a là một số thực bất kỳ. Hàm số y  f '( x) có đồ thị
như hình bên. Hàm số y  f (a  x) đồng biến trên khoảng
A.  a  n;a  m  .
B.  a  m 1; � .

m
O

p

n

C.  a  p;a  n  .
D.  �; p  .
Bài toán tổng quát 2.
Cho hàm số y  f ( x ) và a là một số thực bất kỳ. Hàm số y  f '( x) có đồ thị
như hình bên. Hàm số y  f (a  x) đồng biến trên khoảng

mO np

9


A.  a  n;a  m  .
B.  a  p; � .
C.  a  p  1;a  n  .
D.  a  m;  � .
Bài toán tổng quát 3.
Cho hàm số y  f ( x ) và a là một số thực bất kỳ. Hàm số y  f '( x) có đồ thị
như hình bên. Hàm số y  f (a  x) nghịch biến trên khoảng
A.  �;a  p  .
B.

mO p

 �;a  m  .

C.  a  p;a  m  .
D.  a  m; � .
Ví dụ 4 (HK1-Chun Lê Q Đơn-Quảng Trị).
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm liên tục trên � và đồ thị của hàm số

y  f '( x) cho ở hình bên. Xét hàm số g ( x)  f ( x 2  2). Mệnh đề nào dưới đây
y
sai ?
−112
A. Hàm số g ( x) đồng biến trên (2; �).
B. Hàm số g ( x) nghịch biến trên (1;0).
C. Hàm số g ( x) nghịch biến trên (�; 2).
D. Hàm số g ( x) nghịch biến tr ên (0;2).

Ox
−2
−4

Lời giải.
2
Cách 1: Do g ( x)  f ( x  2) nên

g '( x)  [f ( x 2  2)]'  ( x 2  2)'. f '( x 2  2)  2 x. f '( x 2  2).

Khi đó:

�
� x0
�x  0
x

0
�
g '( x )  0 � � 2

� �x 2  2  2 � �
x  �2
�
�
f '( x  2)  0
2
�
�
x  2  1 �
x  �1
�
�
�

10


Mặt khác, từ đồ thị hàm số y  f '( x) suy ra rằng

f '( x 2  2)  0 � x 2  2  2 � 2  x  2
�x  2
f '( x 2  2)  0 � x 2  2  2 � �
x  2
�
Do đó hàm số y  g ( x) có bảng biến thiên như sau
x
2x
f '( x 2  2)
g (x)
g(x)

−∞

-2



+
−

J

0
0

+�

0

-1


+



+




−
g(0)

1
+
0
0

+∞

2
+

−

0
0

+
+
+
+�

g(2)

g(-2)

Từ bảng biến thiên của hàm số y  g ( x) , hàm số y  g ( x) đồng biến trên
khoảng (2;0) nên khẳng định hàm số y  g ( x) nghịch biến trên khoảng (1;0)
là sai. Chọn phương án B.

y  f '( x ) suy ra rằng hàm số y  f '( x) có
Cách 2: Dựa vào đồ thị của hàm số
dạng f '( x)  a.( x  1) ( x  2) với a  0 , suy ra
2

f ( x) 

a 4 3a 2
x  x  2ax  C.
4
2

a
3a
g( x)  f ( x 2  2)  ( x 2  2) 4  ( x 2  2) 2  2a( x 2  2)  C
4
2
Do đó:

g'( x)  a( x 2  2)3.2 x  3a( x 2  2).2 x  4ax  2ax( x 2  1)( x 2  4)
Bảng biến thiên của hàm số y  g ( x) là:
x
−∞
−2
−1
0
1
2
+ 0 −
gJ (x)

− 0 +
0
0 −
0 +
+∞
g(0)
g(x)
g(−2)
g(2)
2
2
Cách 3: Từ g ( x)  f ( x  2) suy ra g '( x)  2 xf '( x  2). Khi đó

+∞
+∞

�
�� x  0
� x0
�
�� 2
(1)
�x  2
�
� f '( x 2  2)  0
��x  2  2
�
�
g '( x)  0 � �
��

2  x  0
�
� x0 � �
�
(2)
�
� x0
�
�2
�
�
�
� 2
�x  2  2
� x �1
�
�f '( x  2)  0
�
�
�x 2  2 �1
�
�
�
11


�
�
� x0
� x0

�
�2
�
�
0 x2
� 2
�x  2  2
�
�
�
f
'(
x

2)

0
(3)
�
�
�x 2  2 �1 � �
g '( x)  0 � �
��
x
�

1
�
�
�

�
�
� x0
�
(4)
�
�� x  0
� 2
�x  2
f
'(
x

2)

0
�
�
�
� x2  2  2
��
�
Từ (1) suy ra rằng phương án A đúng.
Từ (4) suy ra phương án C đúng.
Từ (2) suy ra phương án B sai.
Từ (3) suy ra phương án D đúng vì x  1 là một nghiệm của g '( x)  0.
Nhận xét

Như vậy, trong tình huống cụ thể mức độ bài toán sẽ thay đổi. Bài tốn
có thể tổng qt theo hướng tác động đồ thị của hàm số y  f '( x) hoặc tác

2
động vào hàm số y  g ( x)  f (k ( x)). Chẳng hạn như chọn g ( x)  f ( x  x).

Ví dụ 5 (THPT Trần Hưng Đạo, TPHCM).
Cho hàm số y  f ( x). Đồ thị của hàm số y  f '( x)
x2
h( x )  f ( x )  .
2 Mệnh đề nào dưới
như hình bên. Đặt
đây đúng?
A. Hàm số y  h( x) đồng biến trên khoảng (2;3).
B. Hàm số y  h( x) đồng biến trên khoảng (0;4).
C. Hàm số y  h( x) nghịch biến trên khoảng (0;1).
D. Hàm số y  h( x) nghịch biến trên khoảng (2;4).

Lời giải.
Do

h( x )  f ( x ) 

x2
.
2 nên h '( x )  f '( x)  x. Vẽ đường thẳng y  x , dựa vào sự

tương giao của đồ thị hàm số y  f '( x) và đường thẳng y  x , ta có:

12


2  x  2

�
�x  2
f '( x)  x � �
va�f '( x)  x � �
2 x4
� x4
�
Từ đó ta có
2  x  2
�
�x  2
h '( x)  0 � �
va�h '( x)  0 � �
2 x4
� x4
�
Suy ra, hàm số y  h( x) có bảng biến thiên như sau:
x
h J (x)
h (x)

−∞
−
+∞

−2
0
h(−2)

+

2
0
h(2)

−

4
0

+∞
+
+∞

h(4)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  h( x) , chọn phương án D.
Nhận xét
 Trong các ví dụ 1, ví dụ 2 và ví dụ 3 dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm số

y  f '( x) và trục hoành để xét dấu biểu thức g '( x). Để xét dấu của biểu thức
h '( x) trong ví dụ 4 lại dựa trên sự tương giao của đồ thị hàm số y  f '( x) và
đường thẳng y  x.

2

Đồ thị hàm đạo hàm và cực trị của hàm số

2.1Kiến thức cơ bản
a) Đinh nghĩa

Hàm số f ( x) xác đinh trên D ��.
 Điểm x0 �D được gọi là điểm cực đại của hàm số f ( x) nếu tồn tại một
khoảng (a; b) �D sao cho x0 �( a; b) và f ( x0 )  f ( x), x �(a; b) \  x0  .
 Điểm x1 �D được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f ( x) nếu tồn tại một
khoảng (a; b) �D sao cho x1 �(a; b) và f ( x1 )  f ( x), x �(a; b) \  x1 .
b) Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực tri Điều kiện cần
Nếu hàm số f ( x ) đạt cực tri tại điểm x0 và hàm số có đạo hàm tại x0 , thì
f '( x0 )  0.
Tuy nhiên hàm số có thể đạt cực tri tại một điểm mà tại đó hàm số khơng có đạo
hàm, chẳng hạn với hàm y  x , đại cực tri tại x0  0 nhưng khơng có đạo hàm
13


tại đó.
Điều kiện đủ

f '( x0 )  0, x �( x0 ; b) th�f ( x)�
a�
t c�
�
c tie�
u ta�
i x0 .
 Nếu f '( x0 )  0, x �(a; x0 ) va�
f '( x0 )  0, x �( x0 ; b) th�
f ( x)�
a�
t c�
�
c�

a�
i ta�
i x0 .
 Nếu f '( x0 )  0, x �(a; x0 ) va�

Tức là, nếu đạo hàm của hàm số y  f ( x ) đổi dấu từ âm sang dương khi qua x0
X
f J (x)

x0

−∞
−

+∞
+

0

+∞

+∞

f(x)

yCT

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực tiểu là M ( x0 , yCT ).
Nếu đạo hàm của hàm số y  f ( x ) đổi dấu từ dương sang âm khi qua x0 .
x0

x
−∞
+∞
f J (x)

+

−

0
yC �

f(x)

−∞

−∞

Ta nói, đồ thị hàm số có điểm cực đại là M ( x0 , yCD ).
2.2Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (Đề KSCL lớp 12, Việt Trì, Phú Thọ 2018).
Cho hàm số f ( x) xác định trên � và có đồ thị của
hàm f '( x) như hình vẽ. Hỏi hàm số f ( x) đã cho có
bao nhiêu cực trị?
A. 4.
B. 2.
C. 3.
D. 1 .
Lời giải.
Dựa vào đồ thi hàm số y  f '( x ) , suy ra bảng biến thiên như sau:

x

−∞

x1

x2

x3

x4

+∞
14


f J (x)
f(x)

−
+∞

+

0
f ( x1 )

0
f ( x2 )

−

0

+

0

+
+∞

f ( x3 )

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số y  f ( x) có 3 cực trị.
Ví dụ 2 (Thi thử THPTQG lần 1, 2017 - 2018, THPT Lương Văn Tụy, Ninh
Bình).
Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên �, đồ thị
của đạo hàm f '( x) như hình vẽ bên. Trong
các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. f ( x) đạt cực tiểu tại x  0.
B. f ( x) đạt cực tiểu tại x  2.
C. f ( x) đạt cực đại tại x  2.
D. Cực tiểu của f ( x) nhỏ hơn cực đại.
Lời giải.
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) suy ra bảng biến thiên của hàm số y  f ( x)
như sau:
x
f J (x)
f (x)

−∞

−∞

−2
+
0
f(−2)

−

0
0

+∞
+
+∞

f(0)

Từ bảng biến thiên suy ra:
 Hàm số đạt cực tiểu tại điểm x  0. Phương án A đúng.
 Hàm số đạt cực đại tại điểm x  0. Phương án C đúng.
 Hàm số có f (0)  f (2). Phương án D đúng. Chọn phương án B.
Ví dụ 3 (Đề KT HK1 Sở GD Kiên Giang 2017).
Cho hàm số đa thức y  f ( x) xác định, liên tục trên � và có đồ thị của f '( x)
như hình sau. Chọn phát biểu đúng khi nói về hàm số y  f ( x) .
A. Hàm số y  f ( x) có 2 điểm cực trị.
15

B. Giá trị của f (0) lớn hơn giá trị của f (3).
C. Hàm số nghịch biến trên khoảng (3; 2).

lim f ( x)  �va�
lim f ( x)  �.
x ��
D. x��
Lời giải.
Từ đồ thị hàm số y  f '( x) suy ra hàm số y  f ( x)
có bảng biến thiên như sau
x
f J (x)
f(x)

−∞

−4
0

−
+∞

+

f(−4)

-2
0

f(−2)

−

3
0

+∞
+
+∞

f(3)

Từ bảng biến thiên, suy ra
 Hàm số có 3 điểm cực trị là x  4, x  2, x  0 . Phương án A sai.
 Hàm số đồng biến trên khoảng (4; 2) nên hàm số đồng biến trên
khoảng (3; 2). Phương án C sai.
lim f ( x)  �.
 x��
Phương án D sai.

f '( x )  0 v�
�
i x �(2;3) nên hàm số
 Hàm số liên tục trên đoạn  2;3 va�
nghịch biến trên  2;3 . Do đó f (0)  f (3). Phương án B đúng. Chọn
phương án B.
Nhận xét

f '( x )  a .( x  4)( x  2)( x  3)  a .( x 3  3 x 2  10 x  24)

Có thể viết lại

� f ( x) 

a 4
x  ax 3  5ax 2  24ax  C
4

với C là hằng số, a > 0. Với mỗi C và với mỗi a suy ra

f (0)  aC ; f (3)  

279
a  aC.
4

f (0)  f (3)  aC  (
Khi đó:

279
279
a  aC ) 
a  0.
4
4
16


f (0)  f (3).

Vậy:

Ví dụ 4 (THPT Chun Hồng Văn Thụ, Hồ Bình, 2017).
Cho hàm số y  f ( x) xác định, liên tục trên � và có đồ thị của f '( x ) như hình
sau. Xác định điểm cực tiểu của hàm số
g ( x)  f ( x)  x.
A. x  2.
x  0.
C.

B. Khơng có điểm cực tiểu.
D. x  1.

Lời giải.
Cách 1
Vì g '( x)  f '( x)  1 , nên tịnh tiến đồ thị hàm số y  f '( x) dọc theo trục tung lên
trên 1 đơn vị, ta nhận được đồ thị hàm số y  g '( x)
(xem hình vẽ bên). Dựa vào đồ thị hàm số y  g '( x) , ta
thấy g'( x) đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua điểm

x  1. Vậy hàm số y  g ( x) đạt cực tiểu tại x  1.
Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) , suy ra
g '( x)  0 � f '( x)  1  0 � f '( x)  1 � 1  x  2
0 �x  1
�
g '( x)  0 � f '( x )  1  0 � f '( x)  1 � �
�x  2
Lập bảng biến thiên của hàm số y  g ( x) như sau:

x

g J (x)
g(x)

−∞
−

0
0

−

1
0

+∞
g(1)

+

2
0
g(2)

+∞
−
−∞

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  g '( x) , suy ra rằng hàm số đạt cực tiểu
tại x  1. Chọn phương án D.
Ví dụ 5 (TT-Chuyên Vĩnh Phúc lần 2 - 2018).

17


Cho hàm số y  f ( x) xác định trên � và có đồ thị của

f '( x) như hình vẽ. Đặt g ( x )  f ( x)  x. Hàm số g ( x)
đạt cực đại tại điểm nào sau đây?
x  2.
B. x  0.
A.
C.

x  1.

D. x  1.

Lời giải.
Do g ( x)  f ( x )  x nên g '( x)  f '( x)  1. Do đó đồ thị
của hàm số g '( x) có được bằng cách tịnh tiến đồ thị
của hàm số f '( x) dọc theo trục tung đi xuống 1 đơn
vị.
y  g '( x) ta thấy g '( x ) đổi dấu từ
Từ đồ thị hàm số
dương sang âm khi đi qua điểm x  1. Do đó g ( x)
đạt cực đại tại x  1.
Ví dụ 6 (Đề KSCL HK1, sở Thái Bình 2017 -2018).
Cho hàm số y  f ( x) liên tục trên �, hàm số y  f '( x) có
y  f ( x) 

đồ thị như hình vẽ. Hàm số
điểm cực trị là:
4.
B. 3.
A.
C. 2.

2017  2018 x
2017
có số

D. 1.

Lời giải.
Do

y  f ( x) 

Khi đó:

2017  2018 x
2018
y '  f '( x ) 
.
2017
2017
nên

y '  0 � f '( x) 

2018
2018
 0 � f '( x) 
.
2017
2017

Dựa vào đồ thị ta thấy phương trình y '  0 có 4 nghiệm phân biệt.
Do hàm số đã chho có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 7 (Đề sát hạch lần 2, Đoàn Thương, Hải Dương 2018).
18


Cho hàm số y  f ( x ) có đạo hàm liên tục trên �. Đồ thị hàm
số y  f '( x) như hình vẽ bên. Số điểm cực trị của hàm số

y  f ( x  2017)  2018 x  2019 là:
A. 3.
B. 1.
C. 4.

D. 2.

Lời giải:
Từ đồ thị hàm số

y  f '( x) , suy ra phương trình

f '( x)  2018 có nghiệm duy nhất x0  1.
Xét hàm số y  f ( x  2017)  2018 x  2019 , có y '  f '( x  2017)  2018.

Suy ra
y '  0 � f '( x  2017)  2018  0 � f '( x  2017)  2018
� x  2017  x0 � x  2017  x0 . Từ đồ thị hàm số

y  f '( x)

suy ra:

f '( x)  2018  0 � x  x0 va�
f '( x)  2018  0 � x  x0 .

Khi đó:
y '  0 � f '( x  2017)  2018  0 � x  2017  x0 � x  2017  x0 .
y '  0 � f '( x  2017)  2018  0 � x  2017  x0 � x  2017  x0 .

Lập bảng biến thiên của hàm số y  f ( x  2017)  2018 x  2019 như sau
x
f J (x)

x0  2017

−∞
−

0

+∞

+∞
+

+∞

f(x)
y ( x0  2017)

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số y  f ( x  2017)  2018 x  2019 , suy ra
hàm số đã cho có một điểm cực trị.
Ví dụ 8 (Chuyên Bắc Ninh, Lần 2, 2018).
Cho hàm số y  f ( x) với y  f '( x) có đồ thị như hình vẽ.

x3
g ( x)  f ( x)   x 2  x  2
3
Hàm số
đạt cực đại tại điểm nào
19


trong các điểm sau?
A. x  1.
B. x  1.

C. x  0.

D. x  2.

Lời giải.

x3
g ( x )  f ( x)   x 2  x  2

3
Do
nên
g '( x)  f '( x)  x 2  2 x  1  f '( x)  ( x  1) 2 .
2
Vẽ parabol y  ( x  1) , dựa vào sự tương giao của đồ thị hàm

số y  f '( x) và parabol ta có bảng biến thiên của hàm số

y  g ( x) như sau.
x
g J (x)
g(x)

−∞

0
0

−
+∞

g(0)

+

1
0
g(1)

−

2
0

+∞
+
+∞

g(2)

Vạy, hàm số g ( x ) đạt cực đại tại x  1. Chọn phương án B.

3 Đồ thị hàm đạo hàm và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
hàm số
3.1Kiến thức cơ bản
a) Đinh nghĩa
Cho hàm số y  f ( x ) xác đinh trên tạp D.
 Số M được gọi là giá tri lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên tập D nếu
i. x  D : f ( x) M ;
ii. x0 �D : f ( x0 )  M .
Kí hiệu

M  max f ( x).
D

 Số m được gọi là giá tri nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên tập D nếu
i. x  D : f ( x ) m;
ii. x0 �D : f ( x0 )  m.
m  min f ( x ).

D
Kí hiệu
b) Đinh lý
Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều có giá tri lớn nhất và giá tri nhỏ nhất
20


trên đoạn đó.
c) Quy tắc
Để tìm giá tri lớn nhất, giá tri nhỏ nhất của hàm số y  f ( x ) trên đoạn  a; b  ta
Làm như sau:
 Tìm f '( x) và các điểm x1 , x2 ,..., xn trên khoảng  a; b  mà tại đó f '( x)  0
hoặc f '( x ) khơng xác đinh.
 Tính f ( x1 ), f ( x2 ),..., f ( xn ), f (a), f (b).
 Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m trong các số trên. Khi đó

M  max f ( x); m  min f ( x).
 a ;b 

 a ;b

3.2 Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1 (Sở GD và ĐT Phú Thọ, 2017).
Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên đoạn  2;2
, có đồ thị của hàm số y  f '( x) như hình vẽ.
Tìm giá trị x0 để hàm số y  f ( x) đạt giá trị lớn nhất trên
đoạn  2;2 .
A. x0  1.
B. x0  1.

C. x0  2.

D. x0  2.

Lời giải.
Cách 1: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) trên đoạn  2;2  , suy ra hàm số

y  f ( x) có bảng biến thiên như sau:
x
f J (x)

−2
+

-1
0

+

1
0
f(1)

2
−

f(x)
f(-2)

f(-2)

Dựa vào bảng biến thiên, suy ra hàm số y  f ( x) đạt giá trị lớn nhất tại điểm
x0  1. Chọn phương án A.

Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) , suy ra dạng của hàm số là

21


y  f '( x )  a( x  1)2 ( x  1) với a  0. Do đó:
a
a
a
f ( x)  x 4  x3  x 2  ax  C
4
3
2
với C là hằng số.
Suy ra các giá trị của hàm số tại các điểm 2; 1;1;2 là:
4
5
11
8
f ( 2)  a  C ; f ( 1)  a  C ; f (1)   a  C ; f (2)  a  C
3
12
12
3
So sánh các giá trị này với điều kiện a  0, ta có f (2)  f ( 2)  f ( 1)  f (1).
Do đó hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x0  1 trên đoạn  2;2 .

Cách 3:
Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) , suy ra
0

1

�f '( x)dx  f (1)  f (2) � f (1)  f (2)

(1)

2
1

0

f '( x)dx  f (1)  f (1) � f (1)  f ( 1)
�

(2)

1

2

0  �
f '( x)dx  [f (2)  f (1)] � f (2)  f (1)

(3)

1

Từ (1), (2), (3) suy ra rằng:
�f (1)  f ( 1)  f (2)
�
f (1)  f (2)
�

Vậy hàm số đạt giá trị lớn nhất tại điểm x0  1 trên đoạn  2;2 .
Ví dụ 2 (Đề KSCL T10, Trực Ninh B, Nam Định 2017)
� 7�
0; �
,
�
y

f
(
x
)
2
Cho hàm số
xác định và liên tục trên đoạn � � có đồ thị của hàm
số y  f '( x) như hình vẽ. Hỏi hàm số y  f ( x ) đạt giá tri nhỏ nhất trên đoạn
� 7�
0; ,
�
� 2�
�tại điểm nào dưới đây?
A. x0  0.
B. x0  1.

C. x0  2.

D. x0  3.

Lời giải.
22


Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) ta có bảng biến thiên của hàm số y  f ( x) trên
� 7�
0; �
.
�
2
�
�
đoạn
0

x
f J (x)

1
+

0

7/2

3

+

0
f(1)

−

f(x)
f(-2)

f(-2)

� 7�
0; �
�
y

f
(
x
)
2�
�
Từ bảng biến thiên, suy ra hàm số
đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn
là tại điểm x0  3. Chọn phương án D.
Nhận xét
 Hoàn toàn tương tự như ở ví dụ 1, có thể xây dựng được hàm số
� 7�
0;

y  f '( x)  a( x  1) ( x  3) trên đoạn �
� 2�
�với a  0. Từ đó, xây dựng
2

� 7�
0; �
.
�
y

f
(
x
)
2
�
�
được hàm số
trên đoạn
 Dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) và bằng trực giác so sánh được diện
tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  f '( x) , trục và các đường.
Từ đó, chỉ ra được giá trị nhỏ nhất của hàm số là f (3).
Ví dụ 3 (Đề Thi Thử Lần 1, Kim Sơn A, Ninh Bình 2017 - 2018).
Cho hàm số y  f ( x) xác định và liên tục trên đoạn  1;2 có đồ thị của hàm số

y  f '( x) như hình bên, gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên đoạn

 1;2 . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

23


1
M  f ( ).
2
A.
B.
C.

D.

M  max{ f (1); f (1); f (2)}.
M  f (0).
3
M  f ( ).
2

Lời giải.
Gọi x  m, x  n với 1  m  1  n  2 là hoành độ giao điểm còn lại của đồ thị
hàm số y  f '( x) với trục hoành. Từ đồ thị ta có bảng biến thiên.
x
J
f (x)
f(x)

m

−1
−

f(−1)

0
f( m )

+

1
0
f(1)

n
−

0

2
+
f(2)

f( n )

Từ bảng biến thiên ta có M  max{ f (1); f (1); f (2)}. Chọn phương án B.
Nhận xét
 Hoàn toàn xây dựng được hàm số y  f ( x) trên đoạn  1;2 hoặc dựa vào
tích phân để so sánh các giá trị của hàm số nhưng độ phức tạp sẽ tăng lên vì
hai nghiệm của phương trình f '( x)  0 được tham số bởi m, n.
Ví dụ 4 (THPT Chuyên ĐH Vinh, 2017).
Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm là y  f '( x).
Đồ thị của hàm số y  f '( x) như hình vẽ bên.

Biết f (0)  f (3)  f (2)  f (5) . Tìm giá trị nhỏ
nhất, giá trị lớn nhất của hàm số y  f ( x) trên
đoạn  0;5 .
A. f (1), f (5).

B. f (2), f (0).

C. f (2), f (5).

D. f (0), f (5).

Lời giải.

24


Cách 1: Từ đồ thị hàm số y  f '( x) suy ra hàm số y  f ( x ) có bảng biến thiên
như sau
x
f J (x)
f(x)

Suy ra

min f ( x )  f (2)
 0;5

0
−
f(0)

2
0

5

3
0

+

+
f(5)

f(2)

và f (3)  f (2) . Ta lại có

max f ( x)  f (5).
f (5)  f (0)  f (3)  f (2)  0. Vậy  0;5
Chọn phương án C.
Cách 2: Xét hàm số y  f '( x ) trên đoạn  0;5
và dựa vào đồ thị hàm số y  f '( x) , suy ra rằng

y

5x
2

0  �

f '( x )dx  [f (2)  f (0)] � f (0)  f (2)

(1)

y = f '(x)

0

5

0�
f '( x)dx  f (5)  f (2) � f (5)  f (2)

(2)

2

2

5

�
f '( x) dx  �
f '( x)dx � f (0)  f (2)  f (5)  f (2) � f (0)  f (5)
0

(3)

2

Do phương trình f '( x)  0 có nghiệm duy nhất trên  0;5 nên hàm số y  f ( x)
đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm 0,1, 5. Lại từ (1),

min f ( x)  f (2) max f ( x)  f (5).
f
(2)

f
(0)

f
(5).
(2),(3) suy ra
Vậy  0;5
và  0;5
Chọn phương án C.
Nhận xét
 Giả thiết f (0)  f (3)  f (2)  f (5) có thể bỏ được.
 Có thể xây dựng một hàm số

y  f ( x) 

a 3
x  ax 2  C
3
với C và a  0 là

hằng số thỏa mãn yêu cầu bài tốn. Khi đó, với mỗi C và a  0 ta có

25