Xây dựng hệ thống câu hỏi bài tập theo định hướng phát triển năng lực của học sinh và vận dụng vào tiết luyện tập phương trình mặt phẳng hình học 12

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
Tác giả: Nguyễn Thị Liên
Đơn vị: Trường THPT Thanh Chương 3
ĐỀ TÀI:
Xây dựng hệ thống câu hỏi/ bài tập theo định hướng phát triển năng lực của học
sinh và vận dụng vào tiết luyện tập: Phương trình mặt phẳng-Hình học 12
PHẦN I. MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Để thực hiện yêu cầu đổi mới trong thời đại hiện nay, sự nghiệp giáo dục cần
được thay đổi về cả mục tiêu, nội dung và phương pháp dạy học. Phương pháp dạy
học phải phát huy được tính cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của người học,
bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, tự nghiên cứu tài liêu, tự khám phá, rèn
luyện kĩ năng thực hành, lịng say mê học hỏi và ý chí vươn lên trong cuộc sống.
Do đó phương pháp dạy học cần xây dựng theo định hướng phát triển năng
lực cho học sinh. Trong đó, dạy học mơn Tốn đóng vai trị quan trọng, cần hình
thành cho học sinh thơng hiểu một hệ thống về mạch kiến thức đã trang bị làm tiền
đề để phát triển khả năng vận dụng được những kiến thức đã học, tìm tịi mở rộng,
nâng cao khả năng thực hành ứng dụng vào thực tiễn. Trong dạy học định hướng
năng lực, thông qua tổ chức liên tiếp các hoạt động học tập, từ đó giúp học sinh tự
khám phá những điều chưa biết chứ không phải thụ động tiếp thu những tri thức
được sắp đặt sẵn. Khi đó, người giáo viên là người tổ chức và chỉ đạo học sinh tiến
hành các hoạt động học tập như nhớ lại kiến thức cũ, phát hiện kiến thức mới, vận
dụng sáng tạo kiến thức vào các tình huống học tập trong thực tiễn. Chú trọng rèn
luyện cho học sinh những tri thức phương pháp để họ biết đọc sách giáo khoa và
các tài liệu học tập, biết cách tự tìm lại những kiến thức đã có, biết suy luận tìm tịi
và phát hiện kiến thức mới, từ đó hình thành và phát triển tiềm năng sáng tạo của
học sinh. Tăng cường phối hợp học tập cá thể và học tập hợp tác để học sinh được
nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn.
Trong thực tiễn giảng dạy, bản thân tôi nhận thấy việc tìm tịi, mở rộng các
bài tập trong sách giáo khoa là một phương pháp khoa học, có hiệu quả nhất của
một tiết luyện tập. Phát triển từ dễ đến khó, xây dựng được hệ thống câu hỏi/ bài

tập, sắp xếp từng dạng bài toán theo mức độ nhận thức của học sinh là việc làm
1


cần thiết trong việc lập kế hoạch bài giảng, đó chính là cơ sở cần thiết để lựa chọn
thiết kế tổ chức các hoạt đông học tập phù hợp cho tiết dạy bài tập. Và với cách làm
đó tơi đã đưa vào áp dụng cho từng tiết dạy luyện tập, sau đây tơi lựa chọn trình bày cụ
thể chủ đề: Xây dựng hệ thống câu hỏi/ bài tập theo định hướng phát triển năng
lực của học sinh và vận dụng vào tiết luyện tập: Phương trình mặt phẳng-Hình
học 12.
2. Mục đích của đề tài:
Tìm hiểu, nghiên cứu để xác định rõ tầm quan trọng của việc xây dựng hệ
thống câu hỏi/ bài tập theo định hướng phát triển năng lực của học sinh và vận dụng
vào tiết luyện tập môn Tốn, qua đó giáo viên có thể lựa chọn và sử dụng các phương
tiện, kỹ thuật phù hợp nhằm nâng cao hiệu quả dạy học mơn Tốn THPT.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Để đạt được mục đích nói trên bản thân tìm tịi nghiên cứu qua các tài liệu
và các hoạt động dạy học trong thực tiễn. Cụ thể:
- Nghiên cứu thực trạng dạy học mơn Tốn trên địa bàn bản thân giảng dạy.
- Nghiên cứu tài liệu, kết hợp với hoạt động dạy học cụ thể để rút ra những
ưu điểm, hạn chế.
- Đề xuất các giải pháp cụ thể để nâng cao hiệu quả dạy học mơn Tốn
THPT.
4. Đối tượng nghiên cứu
- Học sinh lớp 12.
- Giáo viên giảng dạy Tốn bậc trung học phổ thơng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu SGK và các tài liệu hổ trợ.
- Kỹ thuật xây dựng hệ thống câu hỏi theo các mức độ nhận thức: Nhận
biết, thông hiểu, vận dụng, vận dụng cao. Cụ thể là xuất phát từ bài toán gốc sách

giáo khoa đi đến bài toán tổng quát, bài toán tương tự nhưng cách hỏi khác nhau
khi phát triển các bài toán để học sinh tư duy, tìm tịi mở rộng. Thiết kế một số
tình huống dạy học luyện tập trên cơ sở vận dụng hệ thống bài tập đã chuẩn bị.Từ
đó đề xuất biện pháp thiết kế bài giảng, tổ chức dạy học tiết luyện tập.
- Khảo sát tình hình thực tế, trao đổi với đồng nghiệp, tiến hành dạy học thể
nghiệm và đối chứng và rút ra kết quả so sánh.

2


6. Điểm mới và đóng góp của đề tài:
- Đề tài đề xuất quan điểm và giải pháp có tính khả thi về cách thực hiện
giảng dạy một tiết luyện tập Tốn trong chương trình THPT, góp phần đổi mới
phương pháp dạy học, nâng cao hiệu quả học tập.
- Đề tài có thể áp dụng để phát triển cho các chủ đề khác trong chương trình
Tốn THPT, làm tài liệu nghiên cứu giảng dạy cho giáo viên Toán và làm tài liệu
tham khảo để ôn thi THPTQG cho học sinh lớp 12.
PHẦN II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lí luận:
1.1. Năng lực Toán học của học sinh
a. Các năng lực chung và biểu hiện của nó:
Các thành phần
năng lực
Năng lực tự học

Biểu hiện
- Xác định được nhiệm vụ học tập một cách tự giác , chủ động
- Lập và thực hiện kế hoạch nghiêm túc, nề nếp.
- Nhận ra và điều chỉnh những sai sót hạn chế của bản thân.

Năng lực giải
quyết vấn đề
(GQVĐ)
Năng lực sáng
tạo

- Phân tích và phát hiện được tình huống trong học tập.
- Xác định tìm hiểu và đề xuất được giải pháp GQVĐ.
- Thực hiện các giải pháp GQVĐ.
- Đặt câu hỏi khác nhau về một lượng thơng tin, làm rõ thơng
tin đó, nêu ý tưởng mới, tìm tịi mở rộng…
- Hình thành ý tưởng trên các nguồn thông tin đã cho, đề xuất,
cải tiến hay thay thế các giả thiết không phù hợp.

Năng lực hợp tác - Chủ động đề xuất mục đích hợp tác khi được giao các nhiệm
vụ.
- Biết trách nhiệm vai trò của mình trong nhóm với cơng việc
cụ thể.
- Nhận biết được khả năng từng thành viên trong nhóm ứng với
cơng việc được giao.
- Biết mục đích đặt ra để tổng kết hoạt động của nhóm.
b) Năng lực cốt lõi và chun biệt của mơn Tốn
3


Các thành phần
năng lực

Biểu hiện

Năng lực tư duy - So sánh, phân tích, tổng hợp, đặc biệt hóa, tương tự hóa,
và lập luận tốn tương tự, quy nạp, diễn dịch.
học
- Chỉ ra được chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lý trước khi
kết luận.
- Giải thích hoặc điều chỉnh cách thức GQVĐ về phương diện
Tốn học.
Năng lực mơ - Sử dụng các mơ hình tốn học bao gồm cơng thức, phương
hình hóa Tốn trình, bảng biểu, đồ thị…
học
- Giải quyết các vấn đề tong mơ hình được thiết lập.
Năng lực giải
quyết vấn đề
Toán học

- Nhận biết, phát hiện các vấn đề cần giải quyết bằng toán học.
- Đề xuất, lựa chọn được cách thức, giải pháp GQVĐ.
- Sử dụng được kiến thức, kỹ năng Tốn học tương thích để
giải GQVĐ đặt ra.
- Đánh giá giải pháp và khái quát vấn đề tương tự.

Năng lực giao
tiếp Toán học

- Nghe hiểu, đọc hiểu, ghi chép các thơng tin tốn học được
trình bày dưới dạng văn bản học do người khác nói ra.
- Trình bày, diễn đạt( nói hoặc viết) được các nội dung, ý tương
trong sự tương tác với người khác.
-Sử dụng hiệu quả ngơn ngữ tốn học(số, chữ, kí hiêu…).

Năng lực sử
- Biết tên gọi, tác dụng, quy tắc sử dụng và cách thức bảo quản,
dụng công cụ,
các đồ dùng.
phương tiện Toán - Sử dụng thành thạo và linh hoạt các công cụ , áp dụng được
phương tiện khoa học. Chỉ rõ được ưu nhược của các phuơg
tiện hỗ trợ.
c. Các mức độ năng lực:
Có 4 mức độ : Nhận biết - Thông hiểu - Vận dụng - Vận dụng cao.
Nhận biết: Học sinh nhớ các khái niệm cơ bản, có thể nêu lên hoặc nhận ra
chúng khi được u cầu.
Thơng hiểu: Học sinh hiểu được các khí niệm cơ bản và có thể vận dụng khi
chúng được thể hiện theo các cách như GV đã giảng hoặc như những ví dụ tiêu biểu
trên lớp học.

4


Vận dụng: Học sinh có thể hiểu được khái niệm ở một cấp độ cao hơn “thông
hiểu’’tạo ra được một sự liên kết logic giữa các khái niệm cơ bản và có thể vân dụng để
tổ chức lại các thơng tin đã được trình bày trong bài giảng của GV hay trong SGK.
Vận dụng cao: Học sinh có thể sử dụng các khái niệm về môn học để giải quyết
vấn đề mới , không giống với những điều đã học hoặc đã trình bày trong SGK nhưng
phù hợp khi được giải quyết với những kỹ năng và kiến thức được giảng dạy ở mức độ
nhận thức này.
1.2. Dạy học Toán theo định hướng phát triển năng lực
Tổ chức quá trình dạy học theo hướng kiến tạo, trong đó học sinh được tham
gia tìm tịi, phát hiện, suy luận GQVĐ. Người GV đóng vai trị là người thiết kế, tổ
chức, hướng dẫn các hoạt động học tập, để HS chiếm lĩnh được nội dung học tập,
chủ động đạt các mục tiêu kiến thức, kỹ năng, thái độ theo yêu cầu của chương

trình.
1.3. Chức năng bài tập Tốn trong tiết luyện tập
Bài tập Toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập Tốn học. Trong
đó người GV phải xây dựng được một hệ thống các bài tốn có tính liên quan chặt
chẽ với nhau giúp HS củng cố vững chắc các kiến thức cơ bản và hình thành một
số kĩ năng.
Dựa trên các bậc nhận thức và chú ý đến đặc điểm của học tập định hướng
năng lưc, có thể xây dựng bài tập theo các dạng (Các bài tập tái hiện; các bài tập
vận dụng; các bài tập GQVĐ; các bài tập gắn với bối cảnh, tình huống thực tiễn).
1.4. Dạy học tiết luyện tập Toán theo định hướng phát triển năng lực
Dạy học tiết luyện tập theo định hướng năng lực chú trọng rèn luyện phương
pháp tự học, giúp học sinh biết cách đọc SGK, đọc tài liệu, biết cách tự tìm tịi và
phát hiện kiến thức mới. Cần rèn luyện cho HS các thao tác tư duy như phân tích,
tổng hợp, đặc biệt hóa, khái qt hóa, tương tự hóa, quy lạ về quen…dần dần hình
thành và phát triển tiềm năng sáng tạo ở HS.
2. Cơ sở thực tiễn:
2.1. Thuận lợi
- Từ năm học 2019-2020, trường học nơi bản thân cơng tác đã hồn thiện
nhà học đa chức năng, theo đó trường đã được đầu tư cơ sở vật chất phịng vi tính,
phịng máy chiếu, phịng học STEM, phòng thư viện…Năm học 2020-2021, các
phòng học cũng cơ bản được lắp mới tivi kết nối mạng, cùng hệ thống bảng hiện
đại rất thuận lợi cho việc lựa chọn hình thức tiết dạy đạt hiệu quả cao.
- Cùng từ đầu năm học 2020-2021, tất cả giáo viên đều được tham gia tập
huấn, hồn thành khóa học bồi dưỡng thường xuyên về chương trình GDPT mới
2018.
5


2.2. Khó khăn:
Mặc dù hiện nay, đại đa số giáo viên Toán bậc THPT đã và đang được tiếp

cận với các phương pháp dạy học tích cực, nhưng việc khai thác các ưu điểm của
PPDH lại chưa thực sự hiệu quả. Điều này thể hiện qua việc học sinh khám phá tri
thức còn thụ động, chấp nhận tri thức được sắp đặt sẵn, thiếu tính tích cực, tự giác
trong học tập. Một điểm quan trọng mà từ kinh nghiệm thực tiễn giảng dạy của
giáo viên ở trường phổ thông hiện nay vẫn cịn là dạy như một cơng thức giáo điều
rập khuôn, câu hỏi đặt ra thường quá đơn giản, chỉ cần học sinh trả lời “có” hoặc
”không”. Giáo viên rất ngại việc áp dụng phương pháp mới vì nó địi hỏi nhiều
thời gian đầu tư, tìm tịi và sáng tạo. Tiết dạy luyện tập chỉ là tiết chữa bài tập sách
giáo khoa, điều này khơng cịn phù hợp với với xu thế, khi công nghệ thông tin
phát triển đồng thời việc kiểm tra đánh giá học sinh trong giai đoạn hiện nay, phải
thể hiện được đánh giá được học sinh theo bốn mức độ: nhận biết, thông hiểu, vận
dụng và vận dụng cao. Cần chú trọng đánh giá kết quả học tập theo mục tiêu bài
học trong suốt tiến trình thơng qua hệ thống câu hỏi, bài tập.
2.3. Khảo sát thực trạng trước khi áp dụng đề tài:
Trước khi chưa áp dụng những nghiên cứu trong đề tài để dạy học nâng cao
năng lực học sinh giải quyết bài tập phần phương trình mặt phẳng các em học sinh
tại địa bàn giảng dạy thường thụ động trong việc tiếp cận các bài toán, chủ yếu các
em làm các bài tập trong SGK nên khi tiếp cận đề thi với nhiều cách hỏi khác
nhau, mức độ tăng dần các em thường lúng túng, khơng chuyển được về bài tốn
đã gặp.
Kết quả khảo sát học sinh ở một số lớp và các giáo viên Toán ở trường
THPT Thanh Chương 3 cho thấy số em học tôt vấn đề này chỉ ở mức 35%, cịn nữa
tâm lí ngại học hình nên các em khơng hứng thú dù kiến thức khơng khó.
3. Giải quyết vấn đề:
3.1. Xây dựng hệ thống câu hỏi/ bài tập theo định hướng phát triển năng lực
của học sinh ( phần: Phương trình mặt phẳng- Chương III- Hình học 12)
3.1.1. Cơ sở lý thuyết
a. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
r

r

r

 Vectơ n �0 là vectơ pháp tuyến (VTPT) nếu giá của n vng góc với
mặt phẳng ( )

 Chú ý:

r
r
(

)
(k �0) cũng là một
k
n
n
 Nếu
là một VTPT của mặt phẳng
thì
VTPT của mặt phẳng ( ) .

 Một mặt phẳng được xác định duy nhất nếu biết một điểm nó đi qua
và một VTPT của nó.
6


r r
u, v

r

r r

 Nếu
có giá song song hoặc nằm trên mặt phẳng ( ) thì n  [u, v] là
một VTPT của ( ) .
b. Phương trình tổng quát của mặt phẳng
 Trong không gian , mọi mặt phẳng đều có dạng phương trình:
Ax  By  Cz  D  0 với A2  B 2  C 2 �0
( ) có phương trình Ax  By  Cz  D  0 thì nó có một
 Nếu mặt phẳng
r

VTPT là

n( A; B; C ) .

 Phương
trình mặt
phẳng đi qua điểm M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) và nhận vectơ
r
r
n( A; B; C ) khác 0 là VTPT là: A( x  x0 )  B ( y  y0 )  C ( z  z0 )  0 .

 Các trường hợp riêng
2
2
2

Xét phương trình mặt phẳng ( ) : Ax  By  Cz  D  0 với A  B  C �0

 Nếu D  0 thì mặt phẳng ( ) đi qua gốc tọa độ O .

 Nếu A  0, B �0, C �0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Ox .
 Nếu A �0, B  0, C �0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oy .
 Nếu A �0, B �0, C  0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc chứa trục Oz .

 Nếu A  B  0, C �0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với  Oxy  .
 Nếu A  C  0, B �0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với  Oxz  .
 Nếu B  C  0, A �0 thì mặt phẳng ( ) song song hoặc trùng với  Oyz  .
Chú ý:
7


 Nếu trong phương trình ( ) khơng chứa ẩn nào thì ( ) song song hoặc
chứa trục tương ứng.
x y z
  1
a b c
 Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn
. Ở đây ( )
 a; 0; 0   0; b;0   0; 0;c 
abc �0

 :

cắt các trục tọa độ tại các điểm

,

,

với

.

c. Điều kiện song song, điều kiện vng góc của hai mặt phẳng
Trong không gian Oxyz , cho hai mặt phẳng    : A1 x  B1 y  C1 z  D1  0 và
   : A2 x  B2 y  C2 z  D2  0.
Khi đó :    //

  �

A1 B1 C1 D1


�
A2 B2 C2 D2

A

B

C

D

   �   � 1  1  1  1
A2 B2 C2 D2

       � A1.A2  B1.B2  C1.C2  0
d. Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Trong Oxyz , cho điểm M 0 (x 0 ; y0 ; z0 ) và mặt phẳng
   : Ax  By  Cz  D  0
Khi đó khoảng cách từ điểm M 0 đến mặt phẳng ( ) được tính:
d ( M 0 , (a )) =

| Ax0 + By0 + Cz0 + D |
A2 + B 2 + C 2

3.1.2. Bảng mô tả các mức độ nhận thức và năng lực được hình thành:

Nội dung

Nhận biết

Thông hiểu

Véc tơ pháp
tuyến của
mặt phẳng

HS biết được
khái niệm véc
tơ pháp tuyến.

HS nắm được HS vận dụng
mối quan hệ
tìm được tọa
giữa các

độ của VTPT
VTPT của một
mặt phẳng
Hình thành:
Hình thành:
NL GQVĐ, NL
NL mơ hình

Hình thành:
NL mơ hình
tốn học, tái

Vận dụng

Vận dụng cao

8


Phương trình
tổng qt của
mặt phẳng

Điều kiện
song song,
vng góc
của hai mặt
phẳng

Khoảng cách

từ một điểm
đến một mặt
phẳng

hiện định
nghĩa

toán học, hiểu
định nghĩa.

tư duy và lập
luận, NL tự
học, NL giao
tiếp...

HS nắm được
dạng phương
trình tổng quát
của mặt
phẳng.

HS hiểu các
yếu tố để lập
phương trình
mặt phẳng.

Vận dụng lập
PTMP khi biết
yếu tố cơ bản

Hình thành:
NL mơ hình
tốn học, tái
hiện định
nghĩa

Hình thành:
NL mơ hình
tốn học, hiểu
định nghĩa.

HS nhận biết
được các đk
về vị trí tương
đối của 2 mặt
phẳng.

Từ điều kiện
chỉ ra được
quan hệ giữa
hai mặt phẳng

Hình thành:
NL mơ hình
tốn học, tái
hiện định
nghĩa

Hình thành:
NL mơ hình

tốn học, hiểu
định nghĩa

Hình thành:
NL GQVĐ, NL
tư duy và lập
luận, NL tự
học...

HS biết được
cơng thức tính

HS hiểu và
thay cơng thức
để tính khoảng
cách từ một
điểm đến một
mặt phẳng

Lập PTMP khi
cho giả thiết
khoảng cách.
Vận dụng tính
bán kính mặt
cầu..

khoảng cách
từ một điểm
đến một mặt
phẳng.

Hình thành:
NL mơ hình
tốn học, tái

Hình thành:
NL mơ hình
tốn học, hiểu
định nghĩa

Lập PTMP
liên qua tới giả
thiết phương
trình đoạn
chắn, cực trị,
thể tích...

Hình thành:
NL GQVĐ,
Hình thành:
NL GQVĐ, NL NL tư duy và
lập luận, NL
tư duy và lập
tự học, NL
luận, NL tự
tính tốn...
học...
Vận dụng điều
kiện songsong,
vng góc của
hai mặt phẳng

lập PTMP

Kết hợp điều
kiện vng
góc, song song
và các đk hình
học tổng hợp
lập PTMP.
Hình thành:
NL GQVĐ,
NL tư duy và
lập luận, NL
tự học...

Giải quyết các
bài toán liên
quan đến
khoảng cách
và cực trị,
khoảng cách
và các điều
kiện khác của
Hình thành:
hình học tổng
NL GQVĐ, NL hợp.
tư duy và lập
Hình thành:
luận, NL tự
NL GQVĐ,
9

hiện định
nghĩa

học...

NL tư duy và
lập luận, NL
tự học...

3.1.3. Hệ thống câu hỏi/ bài tập:
Dạng 1: Tìm véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng
Mức 1: Nhận biết

r
Câu 1. Cho mặt phẳng  P  có vectơ pháp tuyến là n . Khẳng định nào sau là
đúng?
r
P
A. kn cũng là vectơ pháp tuyến của   với mọi k ��.
r
B. Giá của n nằm trong  P  .

r
C. Giá của vectơ n vng góc với  P  .

r
D. Giá của n song song với  P  .

HD giải: Chọn C. Nhận biết theo định nghĩa véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng.
Câu 2. Chọn khẳng định Sai

r
k
n
(k ��) cũng là một vectơ
A. Nếu là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng thì

pháp tuyến của mặt phẳng .
B. Một mặt phẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm nó đi qua và một
vectơ pháp tuyến của nó.
C. Mọi mặt phẳng trong không gian

Ax  By  Cz  D  0 ( A2  B 2  C 2 �0) .

đều có phương trình dạng:

2
2
2
D. Trong khơng gian , mỗi phương trình dạng Ax  By  Cz  D  0 ( A  B  C �0)
đều là phương trình của một mặt phẳng nào đó.

HD giải: Chọn A.

r

r

Theo lý thuyết nếu n là một VTPT của mặt phẳng ( ) thì k n (k �0) cũng là một
VTPT của mặt phẳng ( ) . Từ đó A sai vì thiếu điều kiện k �0.
Câu 3. Chọn khẳng định đúng
A. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó
song song.
B. Nếu hai mặt phẳng song song thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng cùng phương.
C. Nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì hai vectơ pháp tuyến tương ứng bằng nhau.
D. Nếu hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng cùng phương thì hai mặt phẳng đó
trùng nhau.
HD giải: Chọn B.
10


Nếu hai mặt phẳng song song thì đường thẳng vng góc với mặt này sẽ vng
góc mặt kia nên các véc tơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó có cùng giá.
Câu 4. Chọn khẳng định Sai

uuu
r uuur
�
AB
, CD �
�là một vectơ pháp tuyến của
A. Nếu hai đường thẳng song song thì vectơ �

mặt phẳng .

uuur uuur
�
AB, AC �

�là một vectơ pháp tuyến của
B. Cho ba điểm không thẳng hàng, vectơ �

mặt phẳng.

uuu
r uuur
�
AB
, CD �
� là một vectơ pháp tuyến của
C. Cho hai đường thẳng chéo nhau, vectơ �

mặt phẳng chứa đường thẳng và song song vớiuuuđường
r uuur thẳng .
�

�

AB, CD �
D. Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì vectơ �
là một vectơ pháp tuyến của
mặt phẳng .
uuu
r uuur
AB
, CD
u
u
u

r
u
u
u
r
r
HD giải: Chọn A.�Nếu hai
đường thẳng song song thì vectơ
� 0
AB
,
CD
�
phương hay vectơ �
nên không thể là véc tơ pháp tuyến.

có cùng

Mức 2: Thơng hiểu
Câu 5. Chọn khẳng định Sai

r
n   1;0;0 
A. Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz) là r
B. Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là nr   0;0;1
C. Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oyz) là nr   0;1;1
n   0;1;0 

D.

Một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) là

giải: Chọn C.Theo định nghĩa: Véc tơ có giá vng góc với mặt phẳng được
HD
gọi là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng . Từ đó ta có A, B, D đúng, C sai
Câu 6. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) vng góc với
trục Ox . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:
r
n
A. (0;1;1) .

r
n
B. (0; 0;1) .

r
r
n
(0;1;0)
n
C.
.
D. (2; 0; 0) .
r
r r
HD giải: Chọn D. vì Ox là giá của véc tơ i (n  2i)

Câu 7. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) vng góc với
P
trục Oy . Mặt phẳng ( ) có một vectơ pháp tuyến là:

r
n
A. (0;1;1) .

r
n
B. (0; 0;1) .

r
n
C. (0;1;0) .

r
n
D. (0; 2; 1) .

HD giải: Chọn C
Mặt phẳng (P) vng góc với trục Oy nên mặt phẳng (P) có một VTPT là
r r
n  j (0;1; 0).

11


Câu 8. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình
3 x  2 y  z  1  0 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:
r
n
A. (3; 2;1)

r
r
n
(

2;3;1)
n
B.
. C. (3; 2; 1) .

r
n
D. (3; 2; 1) .

HD giải: Chọn C.
trình Ax+ By+ Cz +D=0 có VTPT là
r Theo định nghĩa, mặt phẳng có phương
r
n  (A; B;C) từ đó các véc tơ có dạng k n (k �0) cũng là một VTPT của mặt phẳng .
r
n
Suy ra (P) có VTPT là  (2; 4;6) .
Câu 9. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , cho ba điểm A  1; 0; 0  , B  0; 2; 0  ,
C  0; 0; 5 
. Véc-tơ nào dưới đây là một VTPT của mặt phẳng  ABC  ?
uu
r � 1 1�
uu
r � 1 1 � ur � 1 1 �
uu

r � 1 1�
n4  �
1; ;  �
n2  �
1;  ;  � n1  �
1; ; �
n3  �
1;  ; �
2
5
2
5
2
5
2 5 �.
�
�
�
�
�
�
�
A.
.B.
.C.
.D.

HD giải: Chọn B. Phương trình mặt phẳng  ABC  là:
x y
z

1
1


 1 � x  y  z 1  0
1  2 5
2
5

uu
r � 1 1�
n2  �
1;  ;  �
� 2 5�
Từ đó, VTPT của mặt phẳng  ABC  là
.
A 1; 2; 3 
Câu 10. Trong không gian với hệ Oxyz cho hai điểm 
và B  3; 2; 1 . Véc
AB là:
tơ pháp
tuyến của mặt
r
r phẳng trung trực rcủa đoạn thẳng
r
n   1;1; 1
n   0;1; 1
n   1;0;1
n   1; 0;1

. B.
.
C.
.
D.
A.
ur
HD giải:uuChọn
C. Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB nhận véc tơ pháp
AB  2;0, 2   2  1;0;1 .
tuyến là
Câu 11. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P) : x  2 y  3z  6  0 .
Véc tơ nào sau đây không phải là vec tơ pháp tuyến của (P)?
r

r

A. n  (3;6; 9)

B. n  (1; 2;3).

r

r

C. n  (2; 4;6)

D. n  (1; 2;3)

HD giải: Chọn C. Theo

r định nghĩa mặt phẳng có phương trình
r Ax+ By+ Cz
n

(A;
B;C)
k
n
(k �0) cũng là
+D=0 có một VTPT là
từ đó các véc tơ cór dạng
VTPT của mặt phẳng . Suy ra (P) có véc tơ pháp tuyến là n  (2; 4;6) .
Câu 12. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng (P) có phương trình
2 x  2 y  z  3  0 . Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là:
r

A. n(4; 4; 2) .

r

B. n(2; 2; 3) .

r

C. n(4; 4; 2) .

r

D. n(0;0; 3) .

r
n
HD giải: Chọn C. Theo định nghĩa mặt phẳng (P) có VTPT là  (4; 4; 2).

Mức 3: Vận dụng
Câu 13. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm . Mặt phẳng (P) vng
góc với AB có một vectơ pháp tuyến là:
12


r
n
A. (4; 4; 2) .

r
r
n
(

1;1;0)
n
B.
. C. (4; 4; 2) .
r uuu
r
n

AB
( 1;1; 0).
HD giải: ChọnB. Theo định nghĩa,

r
n
D. (0; 0; 3) .

,
Câu 14. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz
, cho ba điểm 
r
C  2; 4; 2 
 ABC  là:
n
. Một vectơ
r
r pháp tuyến r của mặt phẳng r
A 1; 2;1

A. n   9; 4; 1 . B. n   9; 4;1 . C. n   4;9; 1 .

B  1;3;3 

,

D. n   1;9; 4  .

HD giải: Chọn C. Mặt phẳng song song với giá của hai véc tơ không cùng

r r
a
phương , b

thì VTPT là

r r r
n�
u, v �
�
�

. Từ đó

r
uuur uuur
n�
AB, AC �
�
�  9; 4  1


, 
,
Câu 15. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho
r bốn điểm
C  5;0; 4  C  4; 0;6 

,
Một vectơ pháp tuyến n của mặt phẳng   qua AB và
songr song CD là: r
r
r

A 5;1;3

 . C. n   4;9; 1 .
A. n   10;9;5  B. nr   9;uu4;1
ur uuu
r
n�
AB, CD �
�
�  10;9;5 

HD giải: Chọn A.

B 1; 6; 2

D. n   1;9; 4  .

Ta có
.
Câu 16. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng  P  đi qua điểm
A(3;1; 1) , B (2; 1; 4) và vng góc với mặt phẳng  Q  : 2 x  y  3 z  1  0 có
vécrtơ pháp tuyến là: r
r
r
A. n   1,13, 5 .

HD giải: Chọn B.

n   1; 13; 5 


B. n r 1, 13,5
. D. n   1;13;5 
uuur uur. C.

n�
AB, nQ �
�
�  1; 13; 5 

Ta có
P
Câu 17. Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz , mặt phẳng   đi qua điểm
A  0;0; 2 
và chứa trục hồnh
có có véc tơ
r
r
r pháp tuyến là:
r là
A. n   0, 2, 0  .

n   1, 0, 0 
B.
. C. n   0, 2,1 . D. n   0, 0, 2  .
r uuu
rr
n�
OA, i �
�
�  0; 2;1 .

HD giải: Chọn C.
Ta có
Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng (Khi xác định được điểm đi qua và véc tơ
pháp tuyến, hay biết các trường hợp riêng của mặt phẳng).

Mức 1: Nhận biết
Câu 18. ( Bài tập SGK tr80) Trong rkhông gian với hệ toạ độ Oxyz . PTMP (P) đi
qua điểm A(1; 2;0) và nhận n(1;0; 2) là VTPT có phương trình là:
A.  x  2 y  5  0 B.  x  2 z  5  0 C.  x  2 y  5  0 D.  x  2 z  1  0
HD giải: Chọn D.Trong cho mặt phẳngđi qua điểm và có một VTPT thì mặt
phẳngcó phương trình là:
. Thay số ta có kết quả.
Câu 19. ( Bài tập SGK tr80) Trong không gian với hệ trục tọa
r độ . Phương trình
a
mặt phẳng (P) đi qua điểmvà vng góc với véc tơ  (2;0;3)
A..

B..

C. x  y  2  0 .

D. 2 x  3 y  24  0 .

HD giải: Chọn D.
13


Mặt phẳng vng góc với véc tơ nên nhận làm VTPT.
Phương trình mặt phẳng là:.

Câu 20. Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Biết A, B, C là số thực khác 0 ,
mặt phẳng chứa trục Oz có phương trình là:
A. Ax  Bz  C  0 . B. Ax  By  0 C. By  Az  C  0 . D. Ax  By  C  0 .
HD giải: Chọn B.
Áp dụng trường hợp đặc biệt , mặt phẳng chứa Oz đi qua O, nên chỉ có B thỏa
mãn.

Câu 21. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0; 0; c  ,
 abc �0  . Khi đó phương trình mặt phẳng  ABC  là:
x y z
x y z
  1
  1
A. a b c .B. b a c .

x y z
x y z
  1
  1
C. a c b .D. c b a .

HD giải: Chọn A. Áp dụng trường hợp phương trình đoạn chắn của mặt phẳng.
Câu 22. Trong khơng gian với hệ trục toạ độ Oxyz . Mặt phẳng đi qua
vng góc với trục Oy có phương trình là:
A. y  4  0 .

M  1; 4;3

và

D. x r 4 y  3z  0 .
HD giải: Chọn A. Mặt phẳng qua M  1; 4;3 và có VTPT là j   0;1;0  có phương
trình y  4  0
B. x  1  0 .

C. z  3  0 .

Mức 2: Thông hiểu
A 2; - 1;1) , B ( 1;0; 4)
C 0; - 2; - 1)
Câu 23. Trong không gian Oxyz , cho ba điểm (
và (
.
BC
A
Phương trình mặt phẳng qua và vng góc với đường thẳng
là:

A. 2 x + y + 2 z - 5 = 0 . B. x - 2 y + 3z - 7 = 0 . C. x + 2 y + 5 z - 5 = 0 . D x + 2 y + 5 z + 5 = 0
HD giải:uuChọn
A.
r
( 1; 2;5) . Mặt phẳng qua A và vng góc với đường thẳng BC có một
uur
Ta có: CB
VTPT là CB ( 1; 2;5) nên có phương trình là: x + 2 y + 5 z - 5 = 0 .Vậy x + 2 y + 5 z - 5 = 0 .
Câu 24. ( Bài tập SGK tr80) Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai điểm .
Phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn là:
A..

B..

C. x  y  2  0 .D.

HD giải: Chọn C.
3 1
uuu
r
I ( ; ;1).
Ta có AB  (1;1;0) . Trung điểm I của đoạn AB là 2 2
3
1
( x  )  ( y  )  0
2
2
Mặt phẳng trung trực của đọan AB là
hay x  y  2  0 .

14


Câu 25. Cho hình chóp tứ giác đều ABCD biết hai điểm B(1; 0;1), D(2;1;1) . Viết
phương trình mặt phẳng (SAC).
A..

B..

C. x  y  2  0 . D.

HD giải: Chọn C. Nhận xét: (SAC) là mặt phẳng trung trực của BD. Tương tự

3 1
uuur
I ( ; ;1).
câu 24 ta có BD  (1;1; 0) . Trung điểm I của đoạn BD là 2 2

3
1
( x  )  ( y  )  0
2
2
Mặt phẳng (SAC) có phương trình là
hay x  y  2  0 .
Câu 26. Trong không gian với hệ trục tọa độ , phương trình mặt phẳng ( ) qua
A(3; 2; 2) hình chiếu vng góc của O lên mp () là:

A. () : 3x  2 y  2 z  17  0 .

B. () : x  3 y  2 z  13  0 .

C. () : x  y  z  7  0 .

D. () : x  2 y  3z  13  0

uuu
r
uuu
r
OA


(3;
2;
2)
OA
HD giải: Chọn A. Ta có
. Mặt phẳng cần lập qua A và nhận  (3; 2; 2)

làm VTPT

3( x  3)  2( y  2)  2  z  2   0

hay 3x  2 y  2 z  17  0 .

Câu 27. ( Bài tập SGK tr80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz . Mặt phẳng (P)
đi qua các điểm A(1;0;0) , B(0; 2;0) , C (0;0; 2) có phương trình là:
A. 2 x  y  z  2  0 . B. 2 x  y  z  2  0 . C. 2 x  y  z  2  0 . D. 2 x  y  z  2  0
x y z
 
1
HDgiải: Chọn A. Theo cơng thức phương trình mặt chắn ta có: 1 2 2
� 2 x  y  z  2  0 .Vậy 2 x  y  z  2  0 .

Mức 3: Vận dụng
Câu 28. ( Bài tập SGK tr80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình
mặt phẳng đi qua điểm và song song với giá của hai véc tơ là:
A. 5 x + 9 y - 14 z = 0 .B. x - y + z - 7 = 0 .C. 2 x + y - z + 2 = 0 . D. 2 x - y + z - 2 = 0
HD giải: Chọn D. Hai véc tơ không cùng phương có giá song song với mặt phẳng
là: VTPT của là :
Mặt phẳng đi qua điểm .
ptmp là:

Câu 29. ( Bài tập SGK tr 80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho tứ diện
có các đỉnh .Viết phương trình mặt phẳng đi qua và song song với .
A. - 5 x - y + z +17 = 0 B.10 x + 2 y + 2 z + 34 = 0 .
C. x + y + z - 17 = 0 .

D. 5 x - y - z - 17 = 0 .

15


HD giải: Chọn A. Hai véc tơ không cùng phương có giá song song hoặc được
chứa trong mặt phẳnglà: .
VTPT của mặt phẳng là :
Mặt phẳng đi qua điểm .
ptmp là:

Câu 30. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho mặt phẳngr   đi qua hai điểm
A( 5; - 2; 0) B ( - 3; 4;1)
,
và có một vectơ chỉ phương là a ( 1;1;1) . Phương trình

của mặt phẳng   là:


A. 5 x + 9 y - 14 z = 0 . B. x - y -uu7ur= 0 C. 5 x + 9 y - 14 z - 7 = 0 .D. - 5 x - 9 y - 14 z + 7 = 0 .
HD giải: Chọn C. Ta có: AB ( - 8;6;1) .
r
uuu
r r
�

�
n
=
AB
= ( 5;9; - 14)

A
5;
2;
0
(
)
� , a�
�
�
Mặt phẳng   đi qua điểm
và có một VTPT

có phương trình là: 5 x + 9 y - 14 z - 7 = 0 .

Câu 31. ( Bài tập SGK tr80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng (P)
chứa trục Ox và điểm P(4; 1; 2) có phương trình là:
A. 2 y  z  0 . B. x  yuuur z  0 .C. 2 y  z  2 . D. 2 y  z  0 .
HD giải: Chọn A. Ta có: OP ( 4; - 1; 2) .
r

O ( 0;0;0)

r
uuu

r rlà i ( 1; 0;0)
uuu
r
Mặt phẳng
đi qua điểm
và có cặp vectơ chỉ phương
�
n
=
OP
, i�
= ( 0; 2;1)
OP ( 4; - 1; 2)
�
�
�
�
nên có một VTPT là:
.
P
Mặt phẳng   có phương trình là: 2 y  z  0.

Câu 32. ( Bài tập SGK tr80) Trong không gian với hệ trục tọa độ . Phương trình

I 2; 3;1
của mặt phẳng   chứa trục Oz và qua điểm 
là:
A. 3 y  z  0 .

B. 3x  y  0 .

C.r x  3 y  0 .

D. y  3z  0 .

r
r uur  và có i   1;0;0  . mp   đi qua
HD giải: Chọn B. Trục Ox đi qua
n�
k , AI �
I  2; 3;1
�
�  3;1; 0  có phương trình y  3 x  0 .
và có vectơ pháp tuyến
A 1;0; 0



Cách khác : Sử dụng trường hợp đặc biệt của mặt phẳng loại trừ phương án A,
D thay tọa độ I vào các phương trình.
Câu 33. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , gọi ( a ) là mặt phẳng qua các hình
A 5; 4;3)
a
chiếu của (
lên các trục tọa độ. Phương trình của mặt phẳng ( ) là:
A. 12 x +15 y + 20 z - 60 = 0

B.12 x +15 y + 20 z + 60 = 0 .

x y z

x y z
+ + =0
+ + - 60 = 0
C. 5 4 3
.
D. 5 4 3
.
HD giải: Chọn A. Gọi M , N , P lần lượt là hình chiếu vng góc của điểm A trên
M 5;0; 0) N ( 0; 4;0) P ( 0; 0;3)
trục Ox, Oy, Oz . Ta có: (
,
,
.

Phương trình mặt phẳng ( a ) qua M ( 5; 0; 0) , N ( 0; 4; 0) , P ( 0;0;3) là:
16


x y z
+ + = 1 � 12 x +15 y + 20 z - 60 = 0
5 4 3
.

Mức 4: Vận dụng cao

 Các bài toán liên quan đến phương trình đoạn chắn

Câu 34. (Bài 15 -Tr89-HH12NC)Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz ,gọi    là
mặt phẳng qua G  1; 2;3 và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm
A, B, C (khác gốc O ) sao cho G là trọng tâm của tam giác ABC . Khi đó

mặt phẳng    có phương trình:
A. 3x  6 y  2 z  18  0 .B. 4 x  2 y  z  12  0 . C. 2 x  y  3z  9  0 . D 6 x  3 y  2 z  9  0
HD giải: Chọn B. Gọi A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C (0; 0; c) với abc �0
Phương trình mặt phẳng

 P

x y z
  1
là a b c

�a  0  0
1
� 3
�
�0  b  0
 2 � a  3; b  6; c  12
�
3
�
�0  0  c
4
� 3
�

M là trọng tâm của tam giác ABC suy ra
x

y

z


 1
Phương trình mặt phẳng  P  là 3 6 12
hay 4 x  2 y  z  12  0

Câu 35. (Bài 15 -Tr89-HH12NC)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho điểm
N  1;1;1
P
. Viết PTMP   cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C (không
trùng với gốc tọa độ O ) sao cho N là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
ABC

A. x  y  z  3  0 .B. x  y  z  1  0 .C. x  y  z  1  0 . D. x  2 y  z  4  0
HD giải: Chọn A. Gọi
với

A  a;0;0  , B  0; b;0  , C  0;0; c 

các trục Ox, Oy, Oz �

 P :

P
lần lượt là giao điểm của  

x y z
   1 a, b, c �0 
a b c

�1 1 1
�a  b  c  1
�N � P 
�
�
�NA  NB � �a  1  b  1 � a  b  c  3 � x  y  z  3  0
�NA  NC
�a  1  c  1
�
�
�
Ta có:

Câu 36. (Bài 15 -Tr89-HH12NC)Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt
a
M 1; 2;3)
phẳng ( ) đi qua điểm (
và cắt các trục Ox, Oy, Oz lần lượt tại A ,
17


B , C ( khác gốc toạ độ O ) sao cho M là trực tâm tam giác ABC . Mặt

phẳng ( a ) có phương trình là:

x y z
+ + - 1= 0
x
+

2
y
+
3
z
14
=
0
A.
.B. 1 2 3
.C. 3x + 2 y + z - 10 = 0 .D. x + 2 y + 3z +14 = 0

HD giải: Chọn A. Gọi H là hình chiếu vng góc của
C trên AB , K là hình chiếu vng góc B trên AC . M
là trực tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
M = BK �CH
uuur
OM ( 1; 2;3)
OM ^ ( ABC )

Ta có :
và
.
uuur( a ) đi qua điểm M ( 1; 2;3) và có một VTPT là
Mặt phẳng
OM ( 1; 2;3)
nên có phương trình là:
( x - 1) + 2 ( y - 2) + 3( z - 3) = 0 � x + 2 y + 3 z - 14 = 0
Câu 37. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng  P  qua
điểm M  4;  9;12  , A  2; 0; 0  và cắt tia Oy , Oz lần lượt tại B , C sao cho

OB  1  OC ( B , C không trùng gốc O ).
A. 12 x +15 y + 20 z - 60 = 0

B.12 x +15 y + 20 z + 60 = 0 .

x y z
+ + =1
C. 2 3 2

HD giải: Chọn C.
Gọi B  0; b;0  ,

x y z
+ + - 60 = 0
D. 5 4 3
.
C  0; 0; c 

( b  0; c  0 do  P  cắt tia Oy , Oz lần lượt tại B, C

Khi đó phương trình mặt phẳng
4

Có

 P :

x y z
  1
2 b c

. Có b  1  c .

9 12

M  4;  9;12  � P  � 2  b  c  1
,

Ta có hệ phương trình:

b  0; c  0
�
�4 9 12
b3
�
�
 1� �
� 
c2
b
c
�
�2
b  1 c
�
�

.

x y z
  1

2 3 2
Suy ra phương trình mặt phẳng
.
Câu 38. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , cho A  0;0;3 , M  1; 2;0  . Viết
phương trình mặt phẳng  P  qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C

 P :

sao cho tam giác ABC có trọng tâm thuộc đường thẳng AM .

A. x  y  z  3  0 .B. 6 x  3 y  4 z  12  0 .C. x  y  z  1  0 .

D. x  2 y  z  4  0

18


B �Ox � B  b; 0;0  , C �Oy � C  0; c;0 

HD giải: Chọn B.

nên  P  có dạng:

�b c �
r
G � ; ;1� uuuu
AM
  1; 2; 3
tâm ABC là �3 3 �.
.

x y z
  1
b c 3
và trọng

b c 2
 
Vì G �AM nên 3 6 3 � b  2, c  4 .

x

y

z

   1 � 6 x  3 y  4 z  12  0
Vậy phương trình  P  : 2 4 3
.

Câu 39. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , lập phương trình mặt phẳng  Q  qua
M  4;9;  12 

và cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại A, B, C sao cho
4



1



1

.

OC  OA  OB và OC OA OB
A. x  2 y  3z  2  0 . B. 2 x  2 y  z  14  0 .

C. x  y  z  6  0 D.  x  2 y  3z  2  0

HD giải: Chọn B.
Gọi

A  a; 0; 0 

,

B  0; b; 0  C  0; 0; c 

,

,( a, b, c  0 ). Phương trình mặt phẳng  Q 

x y z
  1
qua A, B, C có dạng a b c
(phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn).Từ giả
12
12

�4 9 12
�4 9
�4 9
�a  b  c  1
�a  b  a  b  1 �a  b  a  b  1
�
�
�
c  ab
� �c  a  b
��
c  a b
�
�4 1 1
�4
�
2
1 1
 a  b  0
� 
�
�
 
�a  b a b
�
thiết ta có �c a b
13 6
�
�a  a  1
a b 7

�
�
��
c  2a
��
c  14
�
�a  b
�
�
.

Vậy mặt phẳng

 Q

x y z
  1
� 2 x  2 y  z  14  0 .
là 7 7 14

Câu 40. Trong Oxyz , phương trình nào khơng phải là phương trình của  P  đi qua
A  1;1;1 , B  0; 2; 2 
sao cho  P  cắt các trục tọa độ Ox, Oy lần lượt tại hai
điểm phân biệt M , N sao cho OM  2ON .
A. x  2 y  3z  2  0 . B. x  2 y  z  4  0 .

C. x  y  z  6  0

D.  x  2 y  3z  2  0

.

2
2
2
HD giải: Chọn C. Giả sử  P  : ax  by  cz  d  0, a  b  c  0.
mp  P 
qua A  1;1;1 : a  b  c  d  0  1

mp  P 

qua

B  0; 2; 2  : 2a  2c  d  0

 2

19


�d
�
� d �
M   P  �Ox � M �
 ;0;0 �
; N   P  �Oy � N �
0;  ;0 �
.
�a

�
� b �
d 0
�
d
d
OM  2ON �
2 ��
.
a
b
�b  2 a

Với

d  0�bc  0�a  0

 l

b  2a
�
b 2a ��
.
b


2
a
�
Với

b2
�
�
a 1� �
c  1 �  P  : x  2 y  z  4  0.
�
d  1
�
Khi b  2a , chọn

Khi b  2a , chọn

b  2
�
�
a 1� �
c  3 �  P  : x  2 y  3z  2  0.
�
d  2
�

M 5; 4;3

Câu 41. Trong Oxyz ,cho 
, lập phương trình mp   qua M và cắt các tia
Ox, O y, Oz tại các điểm A, B, C sao cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều.

A. x  y  z  6  0 . B. x  y  z  12  0 .
HD giải : Chọn B . Gọi

C. x  y  z  6  0

A  a;0; 0  , B  0; b;0  , C  0;0; c 

với các trục Ox, Oy, Oz �

  :

D. x  y  z  3  0 .


lần lượt là giao điểm của  

x y z
5 4 3
   1 a, b, c f 0    
�   1
a b c
a b c
chứa M
� OA  OB  OC � a  b  c � a  b  c

Hình chóp O. ABC là hình chóp đều
Vậy phương trình x  y  z  12  0 .

Câu 42. Trong Oxyz , cho  
, 
. Lập phương

P , Q



trình mặt phẳng
chứa giao tuyến của
và cắt các trục tọa độ tại
A
,
B
,
C
các điểm
sao cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều.
P : x  4 y  2z  6  0

A. x  y  z  6  0 .

B. x  y  z  6  0 .

HD giải: Chọn B. Lấy

Q : x  2 y  4z  6  0

C. x  y  z  6  0 .

M  6;0;0  , N  2; 2; 2 

D. x  y  z  3  0 .

P , Q
thuộc giao tuyến của    

Gọi A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c  lần lượt là giao điểm của    với các trục
� 6
1
�
� a
��
x y z
�2  2  2  1
  :    1 a, b, c �0    

Ox, Oy, Oz �
a b c
chứa M , N �a b c
� OA  OB  OC � a  b  c
O. ABC

Hình chóp

là hình chóp đều

Vậy phương trình x  y  z  6  0 .
20


 , mặt phẳng   qua M và cắt các trục Ox, O y, Oz
Câu 43. Trong Oxyz ,cho 
tại các điểm A, B, C sao cho hình chóp O. ABC là hình chóp đều. Phương

trình nào sau khơng phải là phương trình của  



M 1; 2;3

A. x  y  z  6  0 . B. x  y  z  4  0 C. x  2 y  3z  14  0 . D. x  y  z  2  0 .
HD giải : Chọn C.

A  a;0; 0  , B  0; b;0  , C  0;0; c 
�

 :

lần lượt là giao điểm của    với các trục Ox, Oy , Oz

x y z
1 2 3
   1 a, b, c �0    
�    1 1
a b c
a b c
chứa M
� OA  OB  OC � a  b  c  2 
O. ABC

Hình chóp

là hình chóp đều

 .
Từ (1), (2) ta giải được A, B,D là phương trình  

Chú ý: Số mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu bài toán trên phụ thuộc vào số nghiệm của
hệ
�1 2 3
�   1
�a b c
�a  b  c
�

Khi thay đổi tọa độ của M, hệ có thể có 4 nghiệm, 3 nghiệm, 2 nghiệm, 1
nghiệm.

Câu 44. Trong Oxyz ,cho M  1; 2;5  , số phương trình mặt phẳng    qua M và cắt
các trục Ox, O y , Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA  OB  OC �0.
A. 1

B. 2

C. 3

D.4

Đáp số: Chọn D

 , số phương trình mặt phẳng   qua M và cắt
Câu 45. Trong Oxyz ,cho 
tia các trục Ox, O y , Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA  OB  OC �0.


M 1; 2;5

A. 1

B. 2

C. 3

D.4

� OA  OB  OC � a  b  c

Đáp số: Chọn A( do cắt các tia nên � a  b  c

)

M 1;1; 2 

Câu 46. Trong Oxyz ,cho 
, số phương trình mặt phẳng   qua M và cắt
các trục Ox, O y , Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA  OB  OC �0

A. 1

B. 2

C. 3

D.4

Đáp số: Chọn C.

 Các bài toán có yếu tố cực trị
21


Câu 47. ( Bài 3.30 Tr99- Sách bài tập HH12) Viết phương trình mặt phẳng  P  đi
qua M  1; 2;3 sao cho  P  cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại 3 điểm A, B, C
và tứ diện OABC có thể tích nhỏ nhất.
A. x  y  z  6  0 . B. 6 x  3 y  2 z  18  0 .
C. x  y  z  6  0 D. x  y  z  3  0 .
HD giải: Chọn B.Giả sử mặt phẳng  P  cắt các tia Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm
là
A  a; 0; 0  , B  0; b; 0  , C  0; 0; c 
với a, b, c  0 .
Khi đó phương trình của
Vì

 P

 P

x y z
  1
có dạng: a b c .

1 2 3
  1
đi qua M nên ta có: a b c
(1)

Thể tích khối tứ diện OABC là:

V

1
abc
6

1 2
1  �
a b
Từ (1), áp dụng BĐT Cơ si ta có:
�

3
6
33
c
abc

abc 27.6

1 2 3 1
   � a  3, b  6, c  9
a b c 3
.

Suy ra V �27 . Đẳng thức xảy ra
Vậy phương trình  P  : 6 x  3 y  2 z  18  0 .

Dạng 3: Điều kiện hai mặt phẳng song song, vng góc:
Mức 1: Nhận biết
Câu 48. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng ( ) : ax  by  cz  d  0
song song với mặt phẳng (  ) : a'x  b'y  c 'z  d'  0 nếu:
a
b
c
= =
A. a ' b ' c ' .

a
b
c
d
= = �
C. a ' b ' c ' d ' .

a
b
c
d
= = =
B. a ' b ' c ' d ' .

a
b
c
d
� � =
D. a ' b ' c ' d ' .

HD giải: Chọn C Theo điều kiện song song của 2 mặt phẳng.
Câu 49. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng ( ) : ax  by  cz  d  0
song song với mặt phẳng (  ) : a'x  b'y  c 'z  d'  0 nếu:
A. a.a ' = b.b ' = c.c ' . B. a.a ' �b.b ' �c.c ' . C. a.a '+ b.b '+ c.c ' = 0 .
.

D. a.a '+ b.b '+ c.c ' �0

HD giải: Chọn C . Theo điều kiện vng góc của 2 mặt phẳng.
Mức 2: Thông hiểu

22


Câu 50. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt phẳng song song
với mặt phẳng ( ) : 2 x  y z  10  0 có phương trình:
A. - 2 x - y + z = 0 .B. x - y + z - 10 = 0 .C. - 4 x + 2 y - 2 z + 20 = 0 .D. 2 x - y - z - 2 = 0 .
HD giải: Chọn C . Theo điều kiện song song của 2 mặt phẳng.
Câu 51. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , phương trình mặt phẳng vng góc
với mặt phẳng (  ) : 2 x  y  z  10  0 có phương trình:
A. - 2 x - y + z = 0 . B. x - y + z - 10 = 0 .C. - 4 x + 2 y - 2 z + 20 = 0 .
D.
x - y + z - 2 = 0 HD giải: Chọn C. Theo điều kiện vng góc của 2 mặt phẳng.
Câu 52. ( Bài tập SGK tr 80)Trong Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , phương
trình mặt phẳng ( ) đi qua điểm M (2;6; 3) và song song với mặt phẳng tọa
độ Oxy là:
A. y - 6 = 0 .

B. x - 2 = 0 .

C. z + 3 = 0 .

D. z - 3 = 0 .

HD giải: Chọn C. Sử dụng trường hợp đặc biệt,loại A,B. Thay tọa độ M.
Câu 53. ( Bài tập SGK tr 81)Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho hai mặt
 : 3x   m  1 y  4 z  2  0    : nx   m  2  y  2 z  4  0
phẳng  
,
. Với giá trị




m
,
n
thực của
bằng bao nhiêu để
song song
A. m  3; n  6 . B. m  3; n  6 .
HD giải:

C. m  3; n  6 D. m  3; n  6

3 m 1 4 4
�

 � � m  3; n  6

Chọn C. Để    song song    n m  2 2 2
.

Vậy m  3; n  6 .
Câu 54. Hệ thức giữa m, n để mặt phẳng ( ) : 2 x  my 3z 5  0 vng góc với mặt
phẳng (  ) : nx  8 y  6 z 2  0 :
A. n - 4m = 9 . B. 4m - n = 9 . C. n - 4m = 14 .
HD giải: Chọn A.

D. 4m - n = 14 .

Theo điều kiện vng góc của 2 mặt phẳng.

Câu 55. Trong không gian với hệ trục tọa độ , cho 4 mặt phẳng
 P  : x  2 y  4 x  3  0 ,  Q   2 x  4 y  8 z  5  0 ,  R  : 3x  6 y  12 z  10  0 ,
 W  : 4 x  8 y  8 z  12  0 . Có bao nhiêu cặp mặt phẳng song song với nhau.
A.2.

B. 3.

C.0.

D.1.

HD giải: Chọn C .Vận dụng điều kiện vng góc của 2 mặt phẳng.

Câu 56. Trong không gian , cho hai mặt phẳng  P  : x  my   m  1 z  2  0 ,
 Q  : 2 x  y  3z  4  0 . Giá trị số thực m để hai mặt phẳng  P  ,  Q  vng
góc
A. m  1

B.

m

1
2

C. m  2

D.

m

1
2
23


P , Q
HD giải: Chọn D. Theo điều kiện 2 mặt phẳng     vng góc

r uur
1
� n p .nQ  0 � 1.2  m.  1   m  1 .3  0 � m 
2.

Mức 3: Vận dụng
Câu 57. ( Bài tập SGK tr 80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng
 P  đi qua điểm M(2; 1; 2) ,

và song song
với mặt phẳng
 Q  : 2 x  y  3z  4  0 có phương trình là:
A. 2 x  y  3z  11  0 . B. x  13 y  5 z  15  0 C. x  13 y  5 z  5  0 .D. 2 x  y  3z  11  0
r
P

n (2; 1;3)
Mặt phẳng
nhận
là một VTPT. Phương trình (P)
HD giải: Chọn A. 2(
x  2)  ( y  1)  3( z  2)  0 � 2 x  y  3 z  11  0
Q

Câu 58. ( Bài tập SGK tr 80) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , mặt phẳng
 P  đi qua điểm A(3;1; 1) , B(2; 1; 4) và vng góc với mặt phẳng
 Q  : 2 x  y  3z  1  0 có phương trình là:
A. x  13 y  5 z  5  0 . B. x  13 y  5 z  15  0 C. x  13 y  5 z  5  0 .D. x  13 y  5z  11  0
.
uuu
r
HD giải: Chọn C. Ta có A(3;1; 1) , B(2; 1; 4) � AB   1; 2;5 
r
Q  : 2 x  y  3z  1  0

n (2; 1;3)
Mặt phẳng
nhận
là một VTPT.

Q

1)uu,ur Buu
(2;
r 1; 4) và vng góc với mặt
Mặt phẳng (P) đi qua điểm A(3;1; �
 Q  : 2 x  y  3z  1  0 nên nhận �AB, nQ �
� ( 1;13;5) là một VTPT.

Mặt phẳng (P) có phương trình là: 1( x  3)  13( y  1)  5( z  1)  0 .
hay x  13 y  5 z  5  0 .
Câu 59. Trong không gian với hệ trục tọa độ , gọi là mặt phẳng chứa trục và
vuông góc với mặt phẳng . Phương trình mặt phẳng
A..

B..

C..

D..

r
r
(
Q
)
i

(1;0;0)
n

( Q )  (1;1;1)
HD giải: Chọn B. Trục véctơ đơn vị
.r r u
có
.
uurVTPT
�
n�
i
,
n

(0;

1;1)
� (Q ) �
chứa trục và vng góc với nên có VTPT
. PTMP là: .
Câu 60. Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz , hai mặt phẳng  P  : x  y  z  7  0 ,
 Q  3x  2 y  12 z  5  0
 R

:
. Phương trình mặt phẳng
vng góc với hai mặt phẳng nói trên là.

đi qua gốc tọa độ và

A. x  2 y  3 z  0 .B. x  3 y  2 z  0 . C. 3x  2 y  z u0ur. D. 3x  2 y  z  0 .

 P  có véc tơ pháp tuyến nP   1;  1;1 .
uur
nQ   3;2;  12
Q

Mặtuphẳng
có véc tơ pháp tuyến
.
ur
R
Gọi nR là véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng   , khi đó:

HD giải: Chọn A. Mặt phẳng

24


uur uur
�
uur uur
�
nR  nP uur
 R   P  �
�
�
u
u
r
u
u

r
�
�
n

n
,n � 1;2;3
�
�
R
�P Q � 
n

n
 R   Q  �
�
�R
Q
.

Câu 61. Trong không gian , gọi là mặt phẳng chứa trục và vng góc với mặt
phẳng . Phương trình mặt phẳng là:
A.. B..

C..

D..

HD giải: Chọn B.
Mặt phẳng(P) đi qua O và có véc tơ pháp tuyến là

r r uur
n�
i, nQ �
�
� (0,1, 1)

.

Mức 4: Vận dụng cao:
Câu 62. Trong không gian với hệ trục tọa độ , gọi là mặt phẳng song song với mặt
phẳng và cắt mặt cầu theo đường trịn có chu vi lớn nhất. Phương trình
của là:
A.. B.. C.. D..
HD giải: Chọn D. Mặt phẳng cắt mặt cầu theo đường trịn có chu vi lớn nhất
nên mặt phẳng đi qua tâm I (1; 2;0) .
Phương trình mặt phẳng ( P) song song với mặt phẳng Oxz có dạng Ay  B  0
Do ( P) đi qua tâm I (1; 2;0) có phương trình dạng: .

Dạng 4: Khoảng cách – Góc:
Mức 1: Nhận biết
Câu 63. Trong Oxyz , cho điểm A(2 ;4 ;-3) và mặt phẳng (P): 2x-y+2z-9=0. Tính
khoảng cách từ M đến (P).
A. 7
HD

B. 5

C. 10

giải: Chọn B. Thay số vào công thức

D. 25
d  M , P  

Ax0  By0  Cz0  D
A2  B 2  C 2

.

Câu 63. Cho mặt phẳng  P  : ax  by  cz  0 và điểm M  a; b; c  . Tính khoảng cách từ
M đến  P  .

A.

d  M , P  

1
.
a  b2  c 2
2

B.

d  M ,  P    a2  b2  c 2 .

25