Bài tập xác định góc giữa hai đường thẳng, đường thẳng và mặt phẳng, hai mặt phẳng ôn thi THPT môn Toán

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

<b>DẠNG</b>

<b>17.</b>

<b>XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG</b>

<b>THẲNG, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG, HAI</b>

<b>MẶT PHẲNG</b>

<b>1</b>

<b>KIẾN THỨC CẦN NHỚ</b>

1) Góc giữa hai đường thẳng.

Phương pháp 1: Sử dụng định lý hàm số cosin hoặc tỉ số lượng giác.

Phương pháp 2: Sử dụng tích vơ hướng: nếu #»u và #»v lần lượt là hai véc-tơ chỉ phương của hai
đường thẳng a và b thì góc ϕ của hai đường thẳng này được xác định bởi công thức.

cosϕ=|cos (#»u ,#»v)|= |

#»_u _· #»_v_|
|#»u| · |#»v|.

2) Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

P

a0
a

Muốn xác định góc của đường thẳng a và (P) ta tìm hình chiếu vng góc a0 củaa trên (P).
Khi đó

÷

(a,(P)) = (’a0, a).

3) Góc giữa hai mặt phẳng:

Phương pháp 1: Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt vng góc với hai mặt phẳng (α) và (β).
Khi đó, góc giữa (α) và (β) là

÷

(α),(β)

=Ĕa, b

ä
.
Phương pháp 2:

α

β

ϕ
a

b

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Xác định giao tuyến c của hai mặt phẳng (α) và (β).

Dựng hai đường thẳng a, b lần lượt nằm trong hai mặt phẳng và cùng vng góc với giao
tuyến c tại một điểm trên c. Khi đó: (÷α),(β)

=Ĕa, b

ä
.

Cách khác: Ta xác định mặt phẳng phụ (γ) vng góc với giao tuyến c mà (α)∩(γ) = a,

(β)∩(γ) = b. Suy ra (÷α),(β)

=Ĕa, b

ä
.

4) Sử dụng phương pháp tọa độ trong khơng gian:
Chọn hệ trục thích hợp và cụ thể hóa tọa độ các điểm.

a) Giả sử đường thẳng a và b lần lượt có véc-tơ chỉ phương là #»a ,#»b.
Khi đó: cos(‘a, b) =

#»_a _· #»_b

|#»a| ·

#»
b

⇒(‘a, b).

b) Giả sử đường thẳng a có véc-tơ chỉ phương là #»a và (P) có véc-tơ pháp tuyến là #»n.
Khi đó: sin(÷a,(P)) =

|#»a · #»n|

|#»a| · |#»n| ⇒(÷a,(P)).

c) Giả sử mặt phẳng (α) và (β) lần lượt có véc-tơ pháp tuyến là #»a ,#»b.
Khi đó: cos((ÿα),(β)) =

#»
a · #»b

|#»a| ·

#»
b

⇒((ÿα),(β)).

<b>2</b>

<b>BÀI TẬP MẪU</b>

Ví dụ 1.

(ĐỀ MINH HỌA BDG 2019-2020) Cho hình chóp

S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a√3, SA vng
góc với mặt phẳng đáy, SA = a√2 (minh họa như hình
vẽ). Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)

bằng

A 30◦. B 45◦. C 60◦. D 90◦.

A

B C

D
S

Lời giải.

Phân tích hướng dẫn giải

1. DẠNG TỐN: Đây là dạng tốn tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
2. HƯỚNG GIẢI:

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

<b>LỜI GIẢI CHI TIẾT</b>

A

B C

D
S

Ta có: SA⊥(ABCD) nên AC là hình chiếu của SC trên mặt phẳng (ABC).
Do ú: (SC,Ô(ABCD)) = (SC, AC) = SCA.

Xột hỡnh vuụng ABCD ta có: AC =a√6.
Xét 4SAC vng tại A, ta có: tanSCA‘ =

SA
AC =

a√2
a√6 =

1
√

3 ⇒SCA‘ = 30

◦_.

Chọn phương án A

<b>3</b>

<b>BÀI TẬP TƯƠNG TỰ VÀ PHÁT TRIỂN</b>

Câu 1. Cho một hình thoi ABCD cạnh a và một điểm S nằm ngồi mặt phẳng chứa hình thoi
sao cho SA=a và vng góc với (ABC). Tính góc giữa SD và BC

A 60◦. B 90◦. C 45◦. D 30◦.

Lời giải.

A

B C

D
S

Ta có: AD kBC ⇒Ÿ(SD, BC) = Ÿ(SD, AD) = ADS‘ = 45◦.
Chọn phương án C

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Cho hình chópS.ABCD có đáyABCD là hình bình hành với BC =
2a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 3a (minh họa như
hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SD và BC nằm trong khoảng
nào?

A (20◦; 30◦). B (30◦; 40◦). C (40◦; 50◦). D (50◦; 60◦).

A

B C

D
S

Lời giải.

Ta có: BC k AD ⇒ Ÿ(SD, BC) = Ÿ(SD, AD) = SDA‘ (Do 4SAD
vuông tại A nên SDA <‘ 90◦).

Xét 4SAD vuông tại A, ta có: tanSDA‘ =

SA
AD =

3a

2a =

3
2

⇒SDA‘ = arctan

3

2 ≈56

◦_.

A

B C

D
S

3a

2a

Chọn phương án D

Câu 3. Cho tứ diệnABCD có AC =BD = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, AD. Biết rằng

M N =a√3. Tính góc giữa AC và BD.

A 45◦. B 30◦. C 60◦. D 90◦.

Lời giải.

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có IM =IN =a.
Áp dụng định lý cosin cho 4IM N ta có:

cosM IN’ =

IM2+IN2−M N2

2·IM ·IN =

a2+a2−3a2

2·a·a =−

1

2.

⇒M IN’ = 120◦.

Vì IM k AC, IN k BD ⇒ (ŸAC, BD) = (ÿIM, IN) = 180◦−120◦ =

60◦.

B

C

D
A

I N

M

2a

2a
a

a

a√3

Chọn phương án C

Câu 4. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M là trung điểm CD. Tính cosin góc của AC và

BM.

A
√

3

4 . B

√
3

6 . C

√
3

2 . D

√
2

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

50
D
ẠNG
TO
ÁN
PHÁ
T
TRIỂN
ĐỀ
MINH
HỌ
A
LẦN
1

Lời giải.
cos(ŸAC, BM) =

cos

Ä# »

AC,BM# Ȋ

=



# »
AC·BM# »

# »
AC
·

# »
BM

=



# »

AC·ÄCM# »−CB# »ä

a· a
√
3
2
.
=



# »

AC·CM# »−AC# »·CB# »

a2√3
2
=


a·
a

2cos 120

◦₋_a_·_a_·_{cos 120}◦

a2√3
2
=




−a
2
4 +
a2
2

a2√3
2

=
a2

4
a2√3

2
=

√
3

6 .

Chọn phương án B

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = 2a, BC =a. Các cạnh
bên của hình chóp cùng bằng a√2. Khi đó, góc giữa hai đường thẳng AB và SC bằng

A 45◦. B 30◦. C 60◦. D 90◦.

Lời giải.

Ta có: AB kCD nên ÄAB, SC◊
ä

=ÄCD, SC◊
ä

=SCD‘.

Gọi M là trung điểm của CD. Tam giác SCM vuông tại M và
có SC = a√2, CM = a nên là tam giác vuông cân tại M nên

‘

SCD = 45◦.
Vậy ÄAB, SC◊

ä

= 45◦.

A
B C
D
S
M
2a
a

a√2

Chọn phương án A

Câu 6. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Cho AB =
2a, CD= 2a√2 và M N =a√5. Tính góc ϕ=ÄAB, CD◊

ä

A 135◦. B 60◦. C 90◦. D 45◦.

Lời giải.

Theo tính chất đường trung bình trong tam giác:







IN kCD;IN = 1

2CD =a

√
2
IM kAB;IM = 1

2AB =a

.

⇒ϕ=(ŸAB, CD) =(ÿIM, IN). Áp dụng định lý cosin ta có:

cosϕ=

IM2+IN2−M N2

2·IM ·IN

=




−
√
2
2

=
√
2

2 ⇒ϕ= 45

◦_.
B
C
D
A
I
N
M

a√5

2a√2

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Chọn phương án D

Câu 7.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB =
a, AD = a√3, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = 2a (minh
họa như hình vẽ). Góc giữa hai đường thẳng SC và BD nằm trong
khoảng nào?

A (30◦; 40◦). B (40◦; 50◦). C (50◦; 60◦). D (60◦; 70◦).

A

B C

D
S

Lời giải.

Gọi O =AC∩BD và M là trung điểm SA.

Xét hình chữ nhật ABCD, ta có: OB = OA = BD

2 =

√

AB2₊_AD2

2 =

√

a2_{+ 3}_a2

2 =

2a

2 =a.

Xét 4M AB vng tại A, ta có: M B =√AB2+M A2 =√a2+a2 =
a√2.

Xét 4M AO vuông tại A, ta có: M O =√AO2₊_{M A}2 ₌√_a2₊_a2 ₌

a√2.

Xét 4M BO, ta có: cosM OB’ =

OB2+OM2−BM2

2·OB·OM =

a2+ 2a2−2a2

2·a·a√2 =

1

2√2 ⇒M OB’ ≈69

◦_.

Ta có: SC k M O ⇒ Ÿ(SC, BD) = (ŸM O, BD) = M OB’ ≈ 69◦ (Do
’

M OB <90◦).

A

B C

D
S

M

O

2a

a√3

a

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Axyz

như hình vẽ với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C a;a√3; 0, D 0;a√3; 0và

S(0; 0; 2a).

Ta có: SC# » = a;a√3;−2a ⇒ SC có một véc-tơ chỉ phương là

#»

u = 1;√3;−2.

# »

BD = −a;a√3; 0 ⇒ BD có một véc-tơ chỉ phương là #»v =
−1;√3; 0.

Suy ra: cosŸ(SC, BD) =

|#»u · #»v|
|#»u| · |#»v| =

2

2√2·2 =

1

2√2.

Vậy Ÿ(SC, BD)≈69◦.

z

y

x

A

B C

D
S

2a

a√3

a

Chọn phương án D

Câu 8. Cho hình chóp S.ABC có các 4ABC và 4SBC là các tam giác đều và nằm trong hai mặt

phẳng vng góc với nhau. Góc giữa đường thẳng SA và (ABC) bằng

A 45◦. B 75◦. C 60◦. D 30◦.

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

Theo giả thiết ta có (ABC)⊥(SBC).

Trong mặt phẳng (SBC) kẻ SH ⊥BC ⇒SH ⊥(ABC) nên AH là
hình chiếu củaSAtrên (ABC). Do ú,(ÔSA,(ABC)) =(SA, AH) =

SAH.

Gi s AB =a.

Ta cú:4SBC và 4ABC là tam giác đều nên H là trung điểm của

BC và AH =SH = a
√

3

2 .

Xét tam giác vng SHA ta có tanSAH‘ =

SH
AH = 1.
⇒SAH‘ = 45◦.

Vậy (ÔSA,(ABC)) = 45.

C

B

A
S

H

Chn phng ỏn A

Cõu 9.

Cho hỡnh chúp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng
góc với mặt phẳng đáy, SA = a√2 (minh họa như hình vẽ). Góc
giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (SAB) bằng

A 30◦. B 45◦. C 60◦. D 90◦.

A

B C

D
S

Lời giải.

Ta có:
®

BC ⊥SA

BC ⊥AB ⇒BC ⊥(SAB)nên SB là hình chiếu của SC trờn mt

phng (SAB).

Do ú: (ÔSC,(SAB)) = (SC, SB) = BSC.
Xột 4SAB vng tại A, ta có:

SB =√SA2₊_AB2 ₌p₍_a√₂₎2₊_a2 ₌_a√₃_.
Xét 4SBC vng tại B, ta có:

tanBSC‘ =

BC
SB =

a
a√3 =

1
√

3. Vậy: BSC‘ = 30

◦_.

A

B C

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ
trục Axyz như hình vẽ với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a;a; 0) và

S 0; 0;a√2.

Ta có: (SAB) : y = 0 ⇒ véc-tơ pháp tuyến của (SAB) là

#»

j = (0; 1; 0).

# »

SC = a;a;−a√2 ⇒ SC có một véc-tơ chỉ phương l

#ằ

u = 1; 1;2.

Suy ra: sin(ÔSC,(SAB)) =

#ằj à #ằu

#ằj

à |#ằu|

= 1

2.

Vy: (ÔSC,(SAB)) = 30.

z

y

x

A

B C

D
S

a2

a

a

Chn phng ỏn A

Cõu 10.

Cho hỡnh chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a, SA vng
góc với mặt phẳng đáy, SA = a√3 (minh họa như hình vẽ). Góc
giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAB) bằng

A 30◦. B 45◦. C 60◦. D 90◦.

A

B C

D

S

Lời giải.

Ta có: AD⊥ (SAB) nên SA là hình chiếu của SD trờn mt phng

(SAB).

Do ú: (ÔSD,(SAB)) =(SD, SA) = ASD.
Xột 4SAD vng tại A, ta có: tanASD‘ =

AD
SA =

a
a√3 =

1
√

3 ⇒

‘

ASD= 30◦. _A

B C

D
S

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ
trục Axyz như hình vẽ với A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), D(0;a; 0) và

S 0; 0;a√3.

Ta có: (SAB) : y = 0 ⇒ véc-tơ pháp tuyến của (SAB) là

#»

j = (0; 1; 0).

# »

SD = 0;a;−a√3 ⇒ SD có một véc-tơ chỉ phương là

#»

u = 0; 1;3.

Suy ra: sin(ÔSD,(SAB)) =

#ằj à #ằu

#ằ
jà |#ằu|

= 1

2 (ÔSD,(SAB)) =

30.

z

y

x

A

B C

D
S

a3

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

50

D

NG

TO

N

PH

T

TRIN

MINH

H

A

LN

1

Chn phng ỏn A

Cõu 11. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, 4ABC đều cạnh a. Tính góc giữa SB

và (ABC)

A 30◦. B 60◦. C 45◦. D 90◦.

Lời giải.

Ta cóSA⊥(ABC)⇒ABlà hình chiếu củaSB trên mặt phẳng(ABC).
⇒ϕ=ABS‘ =(ÿSB, AB) = 45◦.

A

B

C
S

Chọn phương án C

Câu 12. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = a, 4ABC đều cạnh a. Gọi β là góc giữa

SC và mặt phẳng (SAB). Khi đó, tanβ bằng

A

…

3

5. B

…

5

3. C

1
√

2. D

√

2.

Lời giải.

Gọi I là trung điểm của AB. Ta có:
®

CI ⊥AB

CI ⊥SA ⇒CI ⊥(SAB)
⇒SI là hình chiếu ca SC trờn mt phng (SAB).

(ÔSC,(SAB)) =(SC, SI) =CSI =

tan = tanCSI‘ =

CI
SI =

CI
√

SA2₊_AI2 =

a√3
2

…

a2₊a

2

2

=

…

3

5. A

B

C
S

I

a

a
a

Chọn phương án A

Câu 13. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnha, SA vng góc với (ABCD)

cà SA=a√6. Tính sin của góc tạo bởi AC và mặt phẳng (SBC).

A 1

3. B

1
√

6. C

1
√

7. D

√
3
√

7.

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Kẻ AH ⊥SB ⇒BC ⊥AH ⇒AH (SBC)

CH l hỡnh chiu caAClờn mt phng(SBC)(ÔAC,(SBC)) =

(AC, HC) = ACH’.

Tam giác SAB vng ⇒AH = SA·AB

SB =

a√6·a
a√7 =

a√6
√

7 .

Vì 4AHC vuông tại H ⇒sinACH’ =

AH
AC =

√
3
√

7.

A

B C

D
S

H

Chọn phương án D

Câu 14.

Cho hình chóp đềuS.ABCD có cạnh đáya√2, cạnh bên 2a (minh họa
như hình vẽ). Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng

A 30◦. B 45◦. C 60◦. D 90◦.

A

B C

D
S

Lời giải.

Ta có: góc giữa cạnh bên và mặt đáy là góc giữaSD và (ABCD).
Gọi O = AC ∩BD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO ⊥

(ABCD)

⇒OD là hình chiu ca SD trờn (ABCD).
Do ú: (SD,Ô(ABCD)) =(SD, OD) = SDO‘.
Xét hình vngABCD ta có:OD = BD

2 =

AB√2

2 =

a√2√2

2 =a.

Xét 4SOD vng tại O, ta có: cosSDO‘ =

OD
SD =

a

2a =

1

2 ⇒

‘

SDO = 60◦.

A

B C

D
S

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ.

Gọi O = AC ∩ BD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên

SO ⊥(ABCD).

Ta có: AC = BD = AB√2 = 2a và SO = √SD2₋_OD2 ₌

√

4a2₋_a2 ₌ _a√₃_{. Chọn hệ trục} _Oxyz _{như hình vẽ với}

O(0; 0; 0), C(a; 0; 0), D(0;a; 0) và S 0; 0;a√3.

Ta có: (ABCD) : z = 0 ⇒ (ABCD) có một véc-tơ pháp
tuyến là #»k = (0; 0; 1).

# »

SD = 0;a;−a√3 ⇒ SD có một véc-tơ ch phng l

#ằ

u = 0; 1;3.

Suy ra: sin(SD,Ô(ABCD)) =

#ằ
k à #ằu

#ằ
k

à |

#ằ_u_| =

3

2

Ô

(SD,(ABCD)) = 60.

z

y

x

A

B C

D
S

O
a3

a
a

Chn phng ỏn C

Cõu 15.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại

A và B với AD= 2AB = 2BC = 2a;SA vng góc với mặt phẳng
đáy, SA= 2a (minh họa như hình vẽ). Góc giữa đường thẳng SD

và mặt phẳng (SAC) bằng

A 30◦. B 45◦. C 60◦. D 90◦.

A

B C

D
S

Lời giải.

GọiM là trung điểmAD. Ta có:4ACM và 4DCM

vng cân tại M

⇒’ACD=ACM’ +DCM’ = 45◦+ 45◦= 90◦ ⇒CD ⊥

AC mà CD ⊥SA nên CD ⊥(SAC)

⇒SC là hình chiếu củaSD trên mặt phẳng (SAC).
Do đó: (SD,(SAC)) = (SD, SC) =CSD‘.

Xét4ACDvng cân tạiC, ta có:AC =CD =a√2.
Xét 4SAC vng tại A, ta có:

SC =√SA2₊_AC2 ₌√₄_a2_{+ 2}_a2₌_a√₆_.
Xét 4SCD vng tại C, ta có:

tanCSD‘ =

CD
SC =

a√2
a√6 =

1
√

3 ⇒CSD‘ = 30

◦_.

A

B C

D
S

M

a

a

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ.
Chọn hệ trục Axyz như hình vẽ với

A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a;a; 0), D(0; 2a; 0) và

S(0; 0; 2a).

Ta có: SD# » = (0; 2a;−2a) ⇒ SD có một
véc-tơ chỉ phương là #»u = (0; 1;−1).

®# »

AS = (0; 0; 2a)

# »

AC = (a;a; 0) ⇒

ỵ# »

AS,AC# »ó =
−2a2; 2a2; 0

⇒(SAC) có một véc-tơ pháp tuyến là

#»

n = (−1; 1; 0).

A

B C

D
S

M

a

a

a a

z

y

x

Suy ra: sin(ÔSD,(SAC)) =

|#ằu à #ằn|
|#ằu| Ã |#ằn| =

1

2 ⇒(SD,(SAC)) = 30

◦_.

Chọn phương án A

Câu 16. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a và SA=SB =SC =SD =a. Khi
đó, cosin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) bằng

A 1

4. B

1

3. C

√
3

2 . D −

1

3.

Lời giải.

Gọi I là trung điểm SA.

Do tam giác SAD v SAB u nờn
đ

BI SA
DI SA
(SABÔ),(SAD)

=BI, DIữ
ọ

.

p dng nh lý cosin cho tam giác BID ta có:

cosBID‘ =

IB2+ID2−BD2

2IB·ID

=

Å√

3

2 a

ã2

+

Å√

3

2 a

ã2

−(a√2)2

2·

√
3

2 aÃ

3

2 a

=1

3.

A

B C

D
S

I

Vy cos

Ô

(SAB),(SAD)

= 1

3.

Chn phng ỏn B

Cõu 17. Cho tam giác ABC vng cân tạiAcó AB=a, trên đường thẳngd vng góc với (ABC)

tại điểm A ta lấy một điểm D sao cho 4DBC đều. Khi đó, góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và

(DBC) nằm trong khoảng nào?

A (40◦; 50◦). B (50◦; 60◦). C (60◦; 70◦). D (70◦; 80◦).

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

Gọi M là trung điểm BC.
Ta có:

®

BC ⊥DM

BC ⊥DA BC (DM A).

Mt khỏc:

(ABD)(DBC) =BC

(DM A)BC

(DM A)(ABC) =AM

(DM A)(DBC) =DM

.

((ABCÔ),(DBC)) = (⁄AM, DM) = DM A.÷
Ta có: AM = BC

2 =

AB√2

2 =

a√2

2 , DM =

BC√3

2 =

a√6

2 .

Xét 4ADM vuông tại A, ta có: cosAM D’ =

AM
DM =

√
3

3 .

⇒AM D’ = arccos

√
3

3 ≈54

◦_.

A

B

C
D

M
a

a

a√2

Cách khác:

Gọi ϕ là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (DBC). Theo cơng thức diện tích hình chiếu của đa
giác.

Ta có: S₄_ABC =S₄_DBC ·cosϕ.
Mà: S₄DBC =

1

2DB·DC·sin 60

◦ ₌ 1

2a

√

2·a√2·

√
3

2 =

a2√3

2 .

Mặt khác: S4ABC =

1

2AB·AC =

1

2a

2

⇒cosϕ= S4ABC
S₄DBC

=
√

3

3 ⇒ϕ= arccos

√
3

3 ≈54

◦_.

Chọn phương án B

Câu 18.

Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh 2a, cạnh bên a√3 (minh
họa như hình vẽ). Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng

A 30◦. B 45◦. C 60◦. D 90◦.

B C

D
S

A

Lời giải.

Ta có: góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc giữa (SCD) và (ABCD).
Gọi O =AC∩BD. Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO⊥(ABCD).
Gọi M là trung điểm CD. Ta có:

®

CD ⊥SM
CD ⊥OM

</div>
<span class='text_page_counter'>(14)</span><div class='page_container' data-page=14>

Nhúm:

PH

T

TRIN

MINH

H

A

CD (SOM)

(SCD)(ABCD) =CD

(SOM)(SCD) =SM

(SOM)(ABCD) = OM

.

((SCDÔ),(ABCD)) =(SM, OM) = SM O.’
Xét hình vng ABCD ta có:

OM =a và OD = BD

2 =

AB√2

2 =

2a√2

2 =a

√

2.

Xét 4SOD vuông tại O, ta có:

SO =√SD2₋_OD2₌p₍_a√₃₎2₋₍_a√₂₎2 ₌_a_.
Xét 4SOM vng tại O, ta có:

tanSM O’ =

SO
OM =

a

a = 1 ⇒SM O’ = 45
◦_.

A

B C

D
S

O M

Cách khác:

GọiO =AC∩BD. VìS.ABCD là hình chóp đều nên

SO ⊥(ABCD).

Ta có: AC = BD = AB√2 = 2a√2 và SO =
√

SD2₋_OD2 ₌√₃_a2₋₂_a2 ₌_a_{. Chọn hệ trục} _Oxyz
như hình vẽ với O(0; 0; 0), C a√2; 0; 0, D 0;a√2; 0

và S(0; 0;a).

Ta có: (ABCD) : z = 0 ⇒ (ABCD) có một véc-tơ
pháp tuyến là #»k = (0; 0; 1).

(SCD) : x

a√2+
y
a√2+

z

a = 1 ⇔x+y+
√

2z−a√2 = 0

⇒ (SCD) có một véc-tơ phỏp tuyn l #ằn =

1; 1;2.

z

y

x
A

B C

D
S

O
a

a2

a2

Suy ra: cos((SCDÔ),(ABCD)) =

#ằ
k à #ằn

#ằ
k

à |

#ằ_n_| =

2

2 ((SCDÔ),(ABCD)) = 45

_.

Chn phng ỏn B

Cõu 19.

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vng cạnh a√2, SA vng góc
với mặt phẳng đáy, SA = a√3 (minh họa như hình vẽ). Góc giữa hai
mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

A 30◦. B 45◦. C 60◦. D 90◦.

B C

D
S

A

Lời giải.

Gọi O =AC∩BD. Ta có:
®

BD⊥SA

BD⊥AC ⇒BD ⊥(SAC).

</div>
<span class='text_page_counter'>(15)</span><div class='page_container' data-page=15>

50

D

NG

TO

N

PH

T

TRIN

MINH

H

A

LN

1

BD(SAC)

(SBD)(ABCD) =BD

(SAC)(SBD) = SO

(SAC)(ABCD) =AC

.

((SBDÔ),(ABCD))

=(SO, AC) =SOA.

Xột hỡnh vuụngABCDta cú:OA= AC

2 =

AB√2

2 =

a√2√2

2 =a.

Xét 4SAO vng tại A, ta có: tanSOA‘ =

SA
OA =

a√3
a =

√

3.

Vậy: SOA‘ = 60◦.

B C

D

S

O
A

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục

Axyz như hình vẽ với

A(0; 0; 0), B a√2; 0; 0, D 0;a√2; 0, S 0; 0;a√3.

Ta có: (ABCD) : z = 0⇒(ABCD)có một véc-tơ pháp
tuyến là #»k = (0; 0; 1).

(SBD) : x

a√2 +
y
a√2+

z

a√3 = 1⇔
√

3x+√3y+√2z−

a√6 = 0

⇒(SBD) có một véc-tơ pháp tuyn l

#ằ

n = 3;3;2.

Suy ra: cos((SBDÔ),(ABCD)) =

#ằ
k à #ằn

#ằ
k

à |

#ằ

n|

= 1

2

((SBDÔ),(ABCD)) = 60.

B

D

C
S

A y

x

z

a2

a

₂

a3

Chn phng ỏn C

Cõu 20.

Cho hỡnh chúp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật với AB = 2a, AD =

2a√3

3 , SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA = a (minh họa như hình

vẽ). Góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD) bằng

A 30◦. B 45◦. C 60◦. D 90◦.

B C

D
S

A

</div>
<span class='text_page_counter'>(16)</span><div class='page_container' data-page=16>

Nhóm:

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

Vẽ AM ⊥BD ti M. Ta cú:
đ

BDSA

BDAM BD(SAM).

Do ú:

BD(SAM)

(SBD)(ABCD) =BD

(SAM)(SBD) =SM

(SAM)(ABCD) =AM.

((SBDÔ),(ABCD))

=(SM, AM) =SM A.’

B C

D
S

A
M

Xét 4ABD vng tại A, ta có: 1

AM2 =

1
AB2 +

1
AD2 =

1

4a2 +

3

4a2 =

1

a2 ⇒AM =a.
Xét 4SAM vuông tại A, ta có: tanSM A’ =

SA
AM =

a
a = 1
⇒SM A’ = 45◦.

Cách khác: Sử dụng phương pháp tọa độ Chọn hệ trục Axyz như
hình vẽ với

A(0; 0; 0), B(2a; 0; 0), D

Å

0;2a

√
3

3 ; 0

ã

và S(0; 0;a).

Ta có: (ABCD) : z = 0 ⇒ (ABCD) có một véc-tơ pháp tuyến là

#»

k = (0; 0; 1).

(SBD) : x

2a +

y

2a√3

3

+z

a = 1⇔x+
√

3y+ 2z−2a= 0

⇒(SBD) có một véc-tơ pháp tuyến là #»n = 1;√3; 2.

B

D
C
S

A y

x

z

a

2a

Suy ra: cos((SBDÔ),(ABCD)) =

#ằ
k à #ằn

#ằ
k

à |

#ằ
n|

= 1

2 ((SBDÔ),(ABCD)) = 45

◦_.

</div>
<span class='text_page_counter'>(17)</span><div class='page_container' data-page=17>

50

D

ẠNG

TO

ÁN

PHÁ

T

TRIỂN

ĐỀ

MINH

HỌ

A

LẦN

1

BẢNG ĐÁP ÁN

1. C 2. D 3. C 4. B 5. A 6. D 7. D 8. A 9. A 10. A

</div>

<!--links-->
Bài tập xác định CTPT

• 1
• 501
• 0