Giao trinh hinh hoc dai so tinh toan da lat

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (719.33 KB, 152 trang )

(1)<div class='page_container' data-page=1>

HNH HC I Sẩ TNH TON 1

PhÔm Ti¸n Sìn

</div>
(2)<div class='page_container' data-page=2>

Mưc lưc

1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 3

1.1 a thùc v khæng gian affine . . . 3

1.2 a tÔp affine . . . 6

1.3 Tham số hõa cĂc a tÔp affine . . . 8

1.4 ideal . . . 12

1.5 a thùc mët bi¸n . . . 16

1.6 PhƠn tẵch thnh cĂc thnh phƯn bĐt kh£ quy v k¸t thùc . . . 19

1.6.1 a thực bĐt khÊ quy . . . 19

1.6.2 Kát thực . . . 20

2 Tứ in Ôi số-Hẳnh hồc 25
2.1 nh lỵ Hilbert vÃ cỡ s . . . 25

2.2 nh lỵ khổng im cừa Hilbert . . . 27

2.3 ideal radical v tữỡng ựng ideal-a tÔp . . . 30

</div>
(3)<div class='page_container' data-page=3>

2.4.1 Têng c¡c ideal . . . 35

2.4.2 T½ch c¡c ideal . . . 35

2.4.3 Giao c¡c ideal . . . 36

2.5 Bao âng Zariski v th÷ìng cừa cĂc ideal . . . 39

2.6 a tÔp bĐt kh£ quy v c¡c ideal nguy¶n tè . . . 43

2.7 PhƠn tẵch a tÔp thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy . . . 48

2.8 PhƠn tẵch nguyản sỡ cõa c¡c ideal . . . 53

3 a thùc v hm hỳu t trản a tÔp 57
3.1 nh xÔ a thùc . . . 57

3.2 Th÷ìng cõa c¡c v nh a thùc . . . 61

3.3 V nh tåa ë . . . 67

3.4 Hm hỳu t trản a tÔp . . . 74

4 Hẳnh hồc Ôi số xÔ Ênh 83
4.1 Khổng gian xÔ Ênh . . . 83

4.2 Tứ in Ôi số-hẳnh hồc xÔ Ênh . . . 91

4.3 Bao õng xÔ Ênh cừa mởt a tÔp affine . . . 97

4.4 Hẳnh hồc cừa cĂc siảu mt bêc hai . . . 101

4.5 nh lỵ Bzout . . . 107

</div>
(4)<div class='page_container' data-page=4>

5.1 Hm Hilbert v chiÃu cừa a tÔp . . . 113

5.1.1 ChiÃu cừa a tÔp affine . . . 114

5.1.2 ChiÃu cừa a tÔp xÔ Ênh . . . 115

5.2 CĂc tẵnh chĐt . . . 120

5.3 ChiÃu v phử thuởc Ôi số . . . 125

5.4 Khỉng gian ti¸p xóc . . . 129

5.5 Nân ti¸p xóc . . . 135

A Ph¦n phư lưc 143
A.1 Nhâm . . . 143

A.2 V nh . . . 144

A.3 Tr÷íng . . . 145

A.4 ành thùc . . . 146

</div>
(5)<div class='page_container' data-page=5></div>
(6)<div class='page_container' data-page=6>

Ch÷ìng 1

C¡c kh¡i ni»m cì bÊn

Chữỡng ny trẳnh by mởt số khĂi niằm cỡ bÊn ữủc sỷ dửng trong giĂo trẳnh. ối
tữủng quan tƠm chẵnh l cĂc a tÔp affine (bao gỗm cĂc ữớng cong v cĂc mt cong).
CĂc a tÔp ny xĂc nh bi cĂc phữỡng trẳnh a thực. tẳm hiu cĂc a tÔp affine ta
cƯn nghiản cựu cĂc ideal trong vnh a thùck[x1, x2, . . . , xn].

1.1 a thùc v khổng gian affine

Cho k l mởt trữớng.

nh nghắa 1.1.1. ỡn thùc theo c¡c bi¸n x1, x2, . . . , xn l biu thực cõ dÔng

1 x

2 . . . x

αn

n ,

trong â c¡c lôy thøa α1, α2, . . . , n l cĂc số nguyản khổng Ơm. Số nguy¶n

α1+α2 +· · ·+αn

</div>
(7)<div class='page_container' data-page=7>

º ìn gi£n, ta thữớng viát

:= (1, 2, . . . , n),

|| := α1 +α2+· · ·+αn,

xα := xα1

1 x

α2

2 . . . x

n .

nh nghắa 1.1.2. a thựcf theo cĂc bián x1, x2, . . . , xn vỵi c¡c h» số trong k l mởt
tờ hủp tuyán tẵnh hỳu hÔn c¡c ìn thùc vỵi c¡c h» sè trong k;tùc l

f =X

ax, a k,

trong õl têp con hỳu hÔn cừa têpNn.Kỵ hiằu k[x

1, x2, . . . , xn]l têp tĐt c£ c¡c a
thùc theo c¡c bi¸n x1, x2, . . . , xn vợi cĂc hằ số trong k.

Chú ỵ 1.1.3. Khi số bián l1,2v 3ta s kỵ hiằu mởt c¡ch ìn gi£n l k[x], k[x, y]v
k[x, y, z]. Ch¯ng hÔn,

f(x, y, z) = 2x3yz2+y3z3 2

3xyz

l mởt a thực trong v nh Q[x, y, z].

ành ngh¾a 1.1.4. Gi£ sû f :=P

α∈Λaαx

α l a thùc trongk[x

1, x2, . . . , xn].
(i) aα gåi l h» sè cõa ìn thùcxα.

(ii) N¸u aα 6= 0 th¼ aαxα gåi l mët tø cõa f.

(iii) Bêc cừa f, kỵ hiằu degf, l số nguyản lợn nhĐt||sao cho a 6= 0.
Vẵ dử 1.1.5. GiÊ sỷf(x, y, z) := 2x3y2z+5xy3+7xyz+9z3

Q[x, y, z].Ta cõdegf = 6.

Chú ỵ 1.1.6. Hin nhiản tờng v tẵch cừa hai a thực l mët a thùc. Ta nâi a thùc

g chia h¸t cho a thực f náu tỗn tÔi a thực hk[x1, x2, . . . , xn] sao cho g =f·h.
D¹ d ng chùng minh k[x1, x2, . . . , xn] vợi cĂc php toĂn cởng v nhƠn hai a thực
l mởt vnh giao hoĂn. Vẳ lỵ do ny m ta th÷íng nâik[x1, x2, . . . , xn] l v nh a thực.
nh nghắa 1.1.7. Chok l mởt trữớng v n l số nguyản dữỡng. Têp hủp

</div>
(8)<div class='page_container' data-page=8>

Khi n= 1 ta gåi k1 l ÷íng th¯ng affine; khin = 2 ta gåi k2 l m°t ph¯ng affine.

Méi a thùc f :=P

αcαxα ∈k[x1, x2, . . . , xn]x¡c ành mët h m sè

f: kn→k, (a1, a2, . . . , an)7→

cαaα11a

α2

2 . . . aαnn.

M»nh · 1.1.8. Gi£ sû tr÷íngkcâ vổ hÔn phƯn tỷ. Khi õ f = 0 trongk[x1, x2, . . . , xn]
n¸u v ch¿ n¸u h m số f: knk ỗng nhĐt khổng.

Hằ quÊ 1.1.9. GiÊ sỷ trữớng k cõ vổ hÔn phƯn tỷ. Khi õ f =g trong k[x1, x2, . . . , xn]
n¸u v ch¿ n¸u c¡c h m f, g: kn→k trịng nhau.

Ci cịng, mởt tẵnh chĐt c biằt cừa cĂc a thực trản trữớng số phực C l:

nh lỵ 1.1.10. GiÊ sỷ f l a thực mởt bián khĂc hơng trản trữớng số phực C. Khi

õ tỗn tÔi ẵt nhĐt aC sao cho f(a) = 0.

nh nghắa 1.1.11. Trữớngk gồi l õng Ôi số náu mồi a thực khĂc hơng trongk[x]

cõ mởt nghiằm thuởck.

Vẵ dử 1.1.12. Trữớng cĂc số thỹc R khổng õng ¤i sè v¼ a thùc x2 + 1 khỉng câ

nghi»m trong R. Trữớng cĂc số phựcC l õng Ôi số.

Bi têp

1. Cho pl số nguyản tố. Trản Zxt quan hằ ≡

m≡n mod p

n¸u v ch¿ n¸u m−n chia h¸t cho p.

(a) Chùng minh quan h»≡l quan h» t÷ìng ÷ìng. Kỵ hiằuFp l têp tĐt cÊ cĂc
lợp tữỡng ữỡng. Chựng minh Fp gỗm úng p phƯn tỷ.

(b) Chựng minh Fp\ {0} l mởt nhõm ối vợi php nhƠn.
(c) Chựng minh ap1 = 1 vợi mồi a

</div>
(9)<div class='page_container' data-page=9>

(e) Tẳm a thùc kh¡c khæng f ∈ Fp[x] sao cho f bơng khổng tÔi mồi im cừa

Fp.

2. Chựng minh náu f C[x1, x2, . . . , xn] bơng khổng trản Zn th¼ f ≡0.
3. Gi£ sû f ∈C[x1, x2, . . . , xn] v M := degx1f. °t

ZnM+1 :={(x1, x2, . . . , xn)∈Zn | 1≤xi ≤M + 1}.

Chựng minh náu f bơng khổng trản Zn

M+1 thẳ f 0.

1.2 a tÔp affine

nh nghắa 1.2.1. GiÊ sỷk l mởt tr÷íng v f1, f2, . . . , fs∈k[x1, x2, . . . , xn].Tªp hđp

V(f1, f2, . . . , fs) := {(a1, a2, . . . , an)∈kn | fi(a1, a2, . . . , an) = 0, i= 1,2, . . . , s}
gồi l a tÔp affine x¡c ành bði f1, f2, . . . , fs.

V½ dử 1.2.2. (i) TrongR2 a tÔp affine V(x2+y21)l ữớng trỏn tƠm tÔi gốc tồa

ở bĂn kẵnh ỡn v.

(ii) ỗ th cừa a thực f l mởt a tÔp affine.

(iii) a tÔp affine V(yx2, zx3)l ữớng cong bêc ba trong

R3.

(iv) Têp cĂc nghiằm cừa hằ cĂc phữỡng trẳnh tuyán tẵnh

a11x1+Ã Ã ·+a1nxn = b1,

a21x1+· · ·+a2nxn = b2,

... = ...
am1x1+· · Ã+amnxn = bm
l mởt a tÔp affine trong kn (gồi l a tÔp tuyán tẵnh).

Bờ Ã 1.2.3. GiÊ sỷ V, W kn l cĂc a tÔp affine. Khi õ V W v V W l cĂc
a tÔp affine.

Vẵ dử 1.2.4. Ta câ

</div>
(10)<div class='page_container' data-page=10>

B i tªp

1. Trong R2,v³ c¡c a tÔp affine

(a) V(x2+ 4y2+ 2x16y+ 1).

(b) V(x2y2).

(d) V(y2−x(x−1)(x−2)).

2. Trong R2,v³ h¼nh £nh minh håa

V(x2+y2−4)∩V(xy−1) = V(x2+y2−4, xy−1).

3. Trong R3,v cĂc a tÔp affine

(a) V(x2+y2+z21).

(b) V(x2+y21).

(d) V(xz2−xy).

(e) V(x2+y2+z2−1, x2+y2+ (z−1)2−1).

4. B i tªp n y chùng minh mồi têp con hỳu hÔn phƯn tỷ cừa kn l a tÔp affine.
(a) Chựng minh têp gỗm mởt im (p1, p2, . . . , pn)∈kn l mët a tÔp affine.
(b) Chựng minh mồi têp con hỳu hÔn phƯn tỷ cừa kn l a tÔp affine.

5. Chựng minh têp

{(x, x)R2 | x6= 1}

khổng phÊi a tÔp affine trong R2.

6. Chựng minh têp

{(x, y)R2 | y6= 0}

khổng phÊi a tÔp affine trong R2.

</div>
(11)<div class='page_container' data-page=11>

8. Chùng minh hñp, giao hỳu hÔn cĂc a tÔp affine l a tÔp affine.

9. Cho vẵ dử chựng tọ hủp tũy ỵ cĂc a tÔp affine khổng phÊi a tÔp affine.
10. Cho vẵ dử chựng tọ hiằu hai a tÔp affine khổng phÊi a tÔp affine.

11. Cho V km v W kn l cĂc a tÔp affine. Chựng minh tẵch Descartes V ìW

l mởt a tÔp affine.

1.3 Tham số hõa cĂc a tÔp affine

Trữợc hát ta bưt Ưu vợi mởt vi vẵ dử.
Vẵ dử 1.3.1. TrongR3 xt hằ cĂc phữỡng trẳnh

x+y+z = 1,
2 + 2yz = 3.

Têp cĂc nghiằm cừa hằ trản l mët ÷íng th¯ng ÷đc cho bði

z = t,

x = −1−2t,
z = 2 + 2t,

vỵi tham sèt ∈R; ta gåi biºu diạn ny l php tham số hõa cừa têp nghiằm ban Ưu.

Vẵ dử 1.3.2. Ta biát rơng ữớng trongV(x2+y21)

R2 cõ tham sè hâa

x = 1−t

1 +t2,

y = 2t

1 +t2,

vỵi t R. Chú ỵ rơng x = 11+tt22 vợi mồi t n¶n iºm (−1,0) khỉng thc £nh cõa ph²p

tham sè ny.

nh nghắa 1.3.3. GiÊ sỷ k l mởt trữớng. Thữỡng f /g cõa hai a thùc f, g ∈

</div>
(12)<div class='page_container' data-page=12>

vỵi c¡c h» sè trong k. Hai h m húu t f /g v p/q gồi l bơng nhau náu qf = pg trong
k[t1, t2, . . . , tm]. Têp cĂc hm hỳu t theo cĂc bián t1, t2, . . . , tm vỵi c¡c h» sè trong k kỵ
hiằu lk(t1, t2, . . . , tm).

Nhên xt 1.3.4. k(t1, t2, . . . , tm) vỵi c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n hai h m húu t¿ l
mët trữớng.

Cho a tÔp affine V :=V(f1, f2, . . . , fs)kn. Ta nõi hằ cĂc phữỡng trẳnh

f1 =f2 =Ã Ã Ã=fs= 0
l biu diạn ân cừa V.

GiÊ sỷ r1, r2, . . . , rn ∈ k(t1, t2, . . . , tm) sao cho c¡c iºm (x1, x2, . . . , xn) x¡c ành
bði

x1 = r1(t1, t2, . . . , tm),

x2 = r2(t1, t2, . . . , tm),
... = ...

xn = rn(t1, t2, . . . , tm),

thuëcV.Ta nâi r1, r2, . . . , rn l mët biºu di¹n tham sè hâa húu t¿ cừa a tÔpV. Náu cĂc

r1, r2, . . . , rn l c¡c h m a thùc, ta ÷đc mët tham số hõa a thực cừa V.
Vẵ dử 1.3.5. a tÔp affine V(x2−y2z2+z3) câ tham sè hâa a thùc

x = t(u2−t2),

y = u,

z = u2−t2,

trong â c¡c tham sèu, t ∈k.

N¸u biát biu diạn tham số cừaV ta cõ th sỷ dửng mĂy tẵnh v nõ. Mt khĂc,

náu biát cĂc phữỡng trẳnh xĂc nhV ta dạ dng kim tra im p∈kn câ thc V hay

khỉng.

</div>
(13)<div class='page_container' data-page=13>

• (Tham sè hõa) Mồi a tÔp affine cõ mởt tham số hõa hỳu t?

ã Cho trữợc mởt tham số hõa hỳu t biu diạn a tÔp affineV.Cõ th tẳm cĂc phữỡng

trẳnh xĂc nh V?

Vợi cƠu họi thự nhĐt: hƯu hát cĂc a tÔp affine Ãu khổng th tham số hõa hỳu
t ữủc. CĂc a tÔp nhữ vêy gồi l cĂc a tÔp khỉng húu t¿. Nâi chung, khâ câ thº bi¸t
mët a tÔp affine l hỳu t hay khổng.

Vợi cƠu họi thự hai: cho trữợc mởt biu diạn tham số, ta luổn luổn cõ th tẳm cĂc
phữỡng trẳnh xĂc nh.

Vẵ dử 1.3.6. X²t biºu di¹n tham sè

x = 1 +t,
y = 1 +t2.

Dạ thĐy cĂc phữỡng trẳnh tham số ny biu diạn a tÔp affineV(yx2+ 2x+ 2).

Vẵ dử 1.3.7. ữớng trỏn ỡn vàx2+y2 = 1 câ biºu di¹n tham sè

x = 1−t

1 +t2,

y = 2t

1 +t2.

Vẵ dử 1.3.8. a tÔp affine V(yx2, z−x3) câ biºu di¹n tham sè

x = t,

y = t2,
z = t3.

1. Tham sè hâa tªp nghi»m cõa h» c¡c phữỡng trẳnh sau

x+ 2y2z+w = 1,
x+y+zw = 2.

</div>
(14)<div class='page_container' data-page=14>

3. Cho tham sè hâa

x = t

1 +t,

y = 1− 1

t2.

(a) Tẳm a tÔp affine tữỡng ựng tham số hõa tr¶n.

(b) Chùng minh tham sè hâa tr¶n chùa måi iºm cừa a tÔp ngoÔi trứ mởt im

(1,1).

4. Xt hyperbol x2y2 = 1.

(a) Chùng minh c¡c iºm

x = cosh(t),
y = sinh(t)

thuëc hyperbol x2y2 = 1. PhƯn no cừa hyperbol ữủc phừ bi tham số

ny?

(b) Chựng minh ữớng thng bĐt ký cưt hyperbol nhiÃu nhĐt tÔi 3 im.

(d) Tham sè hâa ð ph¦n (c) khổng ữủc xĂc nh tÔi úng hai giĂ trt. GiÊi thẵch

mối quan hằ cừa sỹ kiằn ny vợi cĂc ÷íng th¯ng ti»m cªn cõa hyperbol.
5. Chùng minh câ thº tham sè hâa húu t¿ m°t c¦u x2+y2+z2−1 = 0 trong khæng

gian ba chi·u bði

x = 2u

u2+v2+ 1,

y = 2v

u2+v2+ 1,

z = u

2+v2−1

u2+v2+ 1.

6. T¼m mët tham sè hâa húu t¿ cõa m°t c¦u (n−1)chi·u
x21 +x22+· · ·+x2n = 1.

</div>
(15)<div class='page_container' data-page=15>

(a) Chựng minh ữớng thng bĐt ký cưt ữớng congC nhiÃu nhĐt tÔi 3 im.

(b) Chựng minh ữớng thngy=mx, m6= 0,cưt C\ {(0,0)}tÔi úng mởt im
náu m2 6=c.

v (0,0). ÷íng thng L cưt C tÔi mởt im (x, y). V h¼nh minh håa v sû

dưng h¼nh håc chùng minh C câ tham sè hâa húu t¿:
x = c−t2,

y = t(c−t2).

1.4 ideal

ành ngh¾a 1.4.1. ChoI ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. I gåi l ideal n¸u

(i) 0∈I.

(ii) N¸u f, g I thẳ f +g I.

(iii) Náu f I vg k[x1, x2, . . . , xn] thẳ f gI.
Vẵ dử 1.4.2. (i) Tªp

{xf+y2g | f, g∈k[x, y]}
l mët ideal trong v nh k[x, y].

(ii) Tªp hđp

{x1f1+x2f2+· · ·+xnfn | f1, f2, . . . , fn∈k[x1, x2, . . . , xn]}
l mët ideal trong v nh c¡c a thùc k[x1, x2, . . . , xn].

Gi£ sû f1, f2, . . . , fs ∈k[x1, x2, . . . , xn]. Kỵ hiằu

hf1, f2, . . . , fsi:=

( s

i=1

figi | g1, g2, . . . , gs ∈k[x1, x2, . . . , xn]

)

</div>
(16)<div class='page_container' data-page=16>

Dạ thĐyhf1, f2, . . . , fsil mët ideal trong k[x1, x2, . . . , xn].Ta gåihf1, f2, . . . , fsil ideal
sinh bði f1, f2, . . . , fs.

ideal I ⊂k[x1, x2, . . . , xn]gåi l húu hÔn sinh náu tỗn tÔi cĂc a thực f1, f2, . . . , fs
sao cho I =hf1, f2, . . . , fsi; khi â ta nâi f1, f2, . . . , fs l mët cì sð cõa I.

V½ dư 1.4.3. (i) ideal

{xf+y2g | f, g∈k[x, y]}
sinh bði c¡c a thùc x v y2.

(ii) C¡c a thùc x1, x2, . . . , xn tÔo thnh mởt cỡ sð cõa ideal

{x1f1+x2f2+· · ·+xnfn | f1, f2, . . . , fnk[x1, x2, . . . , xn]}.

Chú ỵ 1.4.4. Måi ideal trongk[x1, x2, . . . , xn]l hỳu hÔn sinh v cõ th cõ nhiÃu cỡ s
khĂc nhau.

Bê · 1.4.5. Gi£ sû f1, f2, . . . , fs v g1, g2, . . . , gt l c¡c cì sð cõa cịng mët ideal I
trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â V(f1, f2, . . . , fs) =V(g1, g2, . . . , gt).

Cho V kn l a tÔp affine. Kỵ hiằu

I(V) := {f ∈k[x1, x2, . . . , xn]| f(a1, a2, . . . , an) = 0 vỵi måi(a1, a2, . . . , an)∈V}.
Ta câ I(V) l mët ideal.

V½ dư 1.4.6. Gi£ sû V ={(0,0)} ⊂k2. Khi â

I(V) = hx, yi.

V½ dư 1.4.7. Gi£ sû k l mët trữớng cõ vổ hÔn phƯn tỷ. Khi õ
I(kn) = {0}.

Vẵ dö 1.4.8. Gi£ sû V =V(y−x2, z−x3)⊂

R3. Khi â

I(V) =hy−x2, zx3i.

</div>
(17)<div class='page_container' data-page=17>

chựng minh chiÃu ngữủc lÔi, nhên x²t r¬ng

xαyβzγ = xα(x2+ (y−x2))β(x3+ (z−x3))γ
= xα(x2β +g1(y−x2))(x3γ+g2(z−x3))

= h1(y−x2) +h2(z−x3) +xα+2β+γ

= h1(y−x2) +h2(z−x3) +r,

trong â g1 ∈R[x, y], g2 ∈R[x, z], h1, h2 ∈R[x, y, z]v r ∈R[x].

M°t kh¡c, måi a thùc f ∈R[x, y, z] ·u l tê hñp tuyán tẵnh (vợi hằ số trongR)

cừa cĂc ỡn thực, nản ta câ thº vi¸t

f =h1(y−x2) +h2(z−x3) +r

trong â h1, h2 ∈R[x, y, z]v r ∈R[x]. Do â n¸u f ∈I(V) thẳ

0 = f(t, t2, t3) = 0 + 0 +r(t)

vợi måit∈R. Do âr ≡0. Tùc l f ∈ hy−x2, z−x3i.

Bê · 1.4.9. Gi£ sûf1, f2, . . . , fs∈k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â

hf1, f2, . . . , fsi ⊂I(V(f1, f2, . . . , fs)).

V½ dư sau ch¿ ra bao h m thùc trong bê Ã trản cõ th thỹc sỹ.

Vẵ dử 1.4.10. Ta cõI(V(x2, y2)) =hx, yi.Hìn núax6∈ hx2, y2i.Vªy bao h m thùc sau

l thüc sü

hx2, y2i ⊂I(V(x2, y2)).

M»nh · 1.4.11. Gi£ sû V v W l cĂc a tÔp affine trong kn. Khi â
(i) V ⊂W n¸u v ch¿ n¸u I(V)⊃I(W).

</div>
(18)<div class='page_container' data-page=18>

Bi têp

1. Xt hằ cĂc phữỡng trẳnh

x2+y21 = 0,
xy1 = 0.

(a) Dũng lỵ luên, khỷ y tứ hằ trản.

(b) Chựng minh a thùc trong (a) thuëc ideal hx2+y2−1, xy−1i.

2. Cho ideal I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] v c¡c a thùc f1, f2, . . . , fs ∈ k[x1, x2, . . . , xn].
Chùng minh hai i·u sau l t÷ìng ÷ìng

(a) f1, f2, . . . , fs ∈I.
(b) hf1, f2, . . . , fsi ⊂I.

3. Chùng minh c¡c ¯ng thùc sau
(a) hx+y, x−yi=hx, yi.

(b) hx+xy, y+xy, x2, y2i=hx, yi.

4. Chùng minh V(x+xy, y+xy, x2, y2) =V(x, y).

5. Chùng minh I(V(xn, ym)) = hx, yivợi mồi n, mnguyản dữỡng.

6. Chùng minh I(V) l mët ideal radican vỵi måi a tÔp V kn.

7. Chựng minh ideal hx2, y2i khổng radican. Suy ra hx2, y2i 6= I(V) vợi mồi a tÔp

V trong k2.

8. Gi£ sû V :=V(y−x2, z−x3)⊂k3.

(a) Sû döng tham số hõa cừa ữớng cong V chựng tọy2xz I(V).

(b) HÂy biu diạn y2xz dÔng tờ hủp cừayx2 vzx3.

9. Chựng minh I(V(x−y)) =hx−yi.

10. Gi£ sû V ⊂R3 l ÷íng cong câ tham sè hâa (t, t3, t4), t∈

</div>
(19)<div class='page_container' data-page=19>

(a) Chựng minh V l a tÔp affine.

(b) XĂc nh I(V).

11. Gi£ sû V ⊂R3 l ÷íng cong câ tham sè hâa (t2, t3, t4), t∈

(a) Chùng minh V l a tÔp affine.

(b) XĂc nh I(V).

12. Cho têp hủp S kn. °t

I(S) := {f ∈k[x1, x2, . . . , xn] | f(a1, a2, . . . , an) = 0 vỵi måi(a1, a2, . . . , an)∈S}.
(a) Chùng minh I(S) l mët ideal.

(b) X¡c ành I(S)n¸u S ={(a, a)∈R2 |a 6= 1}.

1.5 a thùc mët bi¸n

Gi£ sû f ∈k[x] l a thùc mët bi¸n kh¡c a thùc khỉng:
f(x) =a0xm+a1xm−1+· · ·+am,

trong â ai ∈ k v a0 = 0.6 ìn thùc a0xm gåi l số hÔng Ưu tiản cừa f v kỵ hiằu l

LT(f) := a0xm.

V½ dư 1.5.1. Gi£ sû f(x) = 3x3−5x2+ 7. Khi â LT(f) = 3x3.

Tø ành ngh¾a suy ra n¸uf, g l c¡c a thùc kh¡c a thùc khỉng thẳdegf degg

náu v ch náu LT(g)chia hát cho LT(f).

Mằnh Ã 1.5.2. Cho k l tr÷íng v g ∈ k[x] l a thực khĂc khổng. Khi õ vợi mồi
f k[x] tỗn tÔi duy nhĐt cĂc a thực q, r k[x] sao cho

f =qg+r,

</div>
(20)<div class='page_container' data-page=20>

H» qu£ 1.5.3. Cho k l tr÷íng v f ∈k[x] l a thùc kh¡c khỉng. Khi â f câ nhi·u

nh§tdegf nghi»m trong k.

H» qu£ 1.5.4. Chok l trữớng v ideal I k[x].Khi õ tỗn tÔi duy nhĐt (sai khĂc mởt

hơng số khĂc khổng) a thực f ∈ k[x] sao cho I = hfi. Nâi c¡ch kh¡c mồi ideal trong
k[x] l ideal chẵnh.

nh nghắa 1.5.5. ìợc chung lợn nhĐt cừa cĂc a thực f1, f2, . . . , fs k[x], kỵ hiằu

USCLN(f1, f2, . . . , fs), l a thùc h thäa m¢n c¡c tẵnh chĐt sau:

(i) f1, f2, . . . , fs chia h¸t choh.

(ii) N¸u f1, f2, . . . , fs chia hát cho a thực p thẳ h cụng chia h¸t chop.
M»nh · 1.5.6. Chof1, f2, . . . , fsk[x]. Khi õ

(i) Tỗn tÔi duy nhĐt (sai khĂc h¬ng sè kh¡c khỉng) a thùc USCLN(f1, f2, . . . , fs) ∈

k[x].

(ii) a thùc USCLN(f1, f2, . . . , fs) l ph¦n tû sinh cõa ideal hf1, f2, . . . , fsi.
(iii) Tỗn tÔi thuêt toĂn tẳm USCLN(f1, f2, . . . , fs).

Vẵ dử 1.5.7. ìợc chung lợn nhĐt cừa cĂc a thực x3 3x+ 2, x4−1 v x6−1 l a

thùc x−1. Suy ra

hx3−3x+ 2, x41, x61i=hx1i.

Kát quÊ trản cho php giÊi bi toĂn thnh viản: Tỗn tÔi thuêt toĂn kim tra a thực

fcõ thuởc idealI :=hf1, f2, . . . , fsihay khỉng? Thªt vªy, °th= USCLN(f1, f2, . . . , fs).
Ta câ thº vi¸t f =qh+r, trong â degr <degh.Khi â f I náu v ch náu r = 0.

Vẵ dử 1.5.8. a thùcx3+ 4x2+ 3x−7khỉng thc idealhx3−3x+ 2, x4−1, x6−1i=

hx−1i v¼

</div>
(21)<div class='page_container' data-page=21>

B i tªp

1. Chùng minh hx, yi khỉng l ideal ch½nh trong v nh k[x, y].

2. Gi£ sûf, g ∈k[x]v h:= GCD(f, g). Chựng minh tỗn tÔi cĂc a thựcA, B ∈k[x]

sao cho Af+Bg=h.

3. Gi£ sû f, g ∈k[x]. Chùng minhhf −qg, gi=hf, gi vỵi måi q∈k[x].

4. Gi£ sû f1, f2, . . . , fs ∈ k[x] v h := GCD(f2, . . . , fs). Sû döng ¯ng thùc hhi =
hf2, . . . , fsi, h¢y chùng minh hf1, hi=hf1, f2, . . . , fsi.

5. Sû dửng phƯn mÃm mĂy tẵnh, hÂy xĂc nh
(a) GCD(x4+x2+ 1, x4−x2−2x−1, x3−1i.

(b) GCD(x3+ 2x2−x−2, x3−2x2−x+ 2, x3−x2−4x+ 4i.

6. óng hay sai: x2 −4∈ hx3+x2−4x−4, x3−x2−4x+ 4, x3−2x3−x−2i?

7. B i tªp n y kim tra khi no a tÔp affine V C l kh¡c trèng.

(a) Gi£ sû f ∈ C[x] l a thùc kh¡c a thùc khỉng. Chùng minhV(f) = ∅ n¸u
v ch¿ náu f l a thực hơng.

(b) GiÊ sỷ f1, f2, . . . , fs ∈C[x]. Chùng minh V(f1, f2, . . . , fs) = ∅n¸u v ch¿ n¸u

GCD(f1, f2, . . . , fs) = 1.
8. Gi£ sû

f :=c(x−a1)r1(x−a2)r2· · ·(x−al)rl ∈C[x]

fred:=c(x−a1)(x−a2)· · ·(x−al).
(a) Chùng minh V(f) = {a1, a2, . . . , al}.

(b) Chùng minh I(V(f)) =hfredi.

9. Ôo hm hẳnh thực cừa a thực

</div>
(22)<div class='page_container' data-page=22>

l a thùc

f0 :=na0xn−1+ (n−1)a1xn−2+· · ·+an−1+ 0.

Chùng minh c¡c quy tc sau

(af)0 = af0, c∈C,
(f+g)0 = f0+g0,

(f g)0 = f0g+f g0.

10. Bi têp ny tẳm ữợc chung lợn nhĐt cõa f v f0 n¸u f ∈C[x].

(a) Gi£ sûf = (x−a)rh trongC[x], vỵih(a)6= 0.Chùng minhf0 = (x−a)r−1h1

vỵi a thùc h1 C[x]khĂc khổng tÔi a.

(b) GiÊ sỷf := (xa1)r1(xa2)r2Ã Ã Ã(xal)rl,vợiai æi mët kh¡c nhau. Chùng
minh

f0 = (x−a1)r1−1(x−a2)r2−1· · ·(x−al)rl−1H,
trong â H C[x] khĂc khổng tÔi ai

fred=

f
GCD(f, f0).

(e) Sû dưng ph¦n mÃm mĂy tẵnh, hÂy xĂc nh a thực thu gồn cõa a thùc sau

x11−x10+ 2x8−4x7+ 3x5−3x4+x3+ 3x2−x−1.

11. T¼m cì sð cừa ideal I(V(x52x4+ 2x2x, x5x42x3 + 2x2+x1)).

1.6 PhƠn tẵch thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy v

kát thực

1.6.1 a thực bĐt khÊ quy

</div>
(23)<div class='page_container' data-page=23>

nh nghắa 1.6.1. Cho k l mët tr÷íng. a thùc f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] gồi l bĐt khÊ
quy trản k náu f khĂc hơng số v khổng tỗn tÔi cĂc a thùc g, h ∈ k[x1, x2, . . . , xn] cõ

bêc dữỡng sao chof =gÃh.

Vẵ dử 1.6.2. a thực x2+ 1 bĐt khÊ quy trản Q,R những khổng bĐt khÊ quy trản C.

Mằnh Ã 1.6.3. Mồi a thực kh¡c h¬ngf ∈k[x1, x2, . . . , xn] ·u cõ th phƠn tẵch thnh
tẵch hỳu hÔn cĂc a thực bĐt khÊ quy trản k.

nh lỵ 1.6.4. GiÊ sỷ f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] l a thực bĐt khÊ quy trản k v g, h

k[x1, x2, . . . , xn]. Náu tẵch gÃh chia hát cho f thẳ hoc g chia hát chof hoc h chia h¸t
cho f.

H» qu£ 1.6.5. Gi£ sûf, g∈k[x1, x2, . . . , xn]l hai a thùc vỵidegx1(f)>0,degx1(g)>
0. Khi õ f, g cõ ữợc chung hk[x1, x2, . . . , xn] vợi degx1(h)>0náu v ch náu f, g cõ

ữợc chung trong k(x2, . . . , xn)[x1].

nh lỵ 1.6.6. Gi£ sû f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ tỗn tÔi cĂc a thực bĐt kh£ quy

f1, f2, . . . , fr tr¶n k sao cho

f =f1Ãf2Ã Ã Ãfr.
Hỡn nỳa náu

f =g1Ãg2Ã Ã Ãgs

vợi gi l cĂc a thực bĐt khÊ quy thẳ r=s v sau khi Ănh số lÔi ta cõ fi v gi sai khĂc
mởt hơng số khĂc khổng.

1.6.2 Kát thực

Bờ Ã 1.6.7. Gi£ sû f, g∈k[x] l c¡c a thùc bªc t÷ìng ùng l >0 v m >0. Khi â f

v g cõ ữợc chung khĂc hơng náu v ch náu tỗn tÔi cĂc a thực A, B k[x] sao cho

(i) A, B khổng ỗng thới bơng khổng.

(ii) degAm1 v degB ≤l−1.

</div>
(24)<div class='page_container' data-page=24>

ành ngh¾a 1.6.8. Gi£ sû f, g l hai a thực cõ bêc dữỡng:
f = a0xl+a1xl1+Ã Ã ·+al, a0 6= 0,

g = b0xm+b1xm−1+· · ·+bm, b0 6= 0.

Ma trên vuổng cĐp (l+m) :

Syl(f, g, x) :=

a0 b0

a1 a0 b1 b0

a2 a1 ... b2 b1 ...

... ... a0 ... ... b0

... a1 ... b1

al bm

al ... bm ...

... ...

al bm























(câ m cët ai v l cët bj) gåi l ma trên Sylvester cừa f, g tữỡng ựng vợi bi¸n x. Gi¡ trà

Res(f, g, x) := det Syl(f, g, x)

gồi l kát thực cừa f v g tữỡng ựng bi¸n x.

M»nh · 1.6.9. Gi£ sû f, g ∈k[x] l cĂc a thực cõ bêc dữỡng. Khi õ Res(f, g, x) l

mởt a thực vợi cĂc hằ số nguyản theo c¡c bi¸n l c¡c h» sè cõa f v g. Hỡn nỳa, f, g

cõ ữợc chung khĂc hơng trongk[x] náu v ch náu Res(f, g, x) = 0.

Vẵ dử 1.6.10. Gi£ sû

f := 2x2+ 3x+ 1,
g := 7x2+x+ 3

l hai a thùc trong Q[x]. Ta câ

Res(f, g, x) =








2 0 7 0
3 2 1 7
1 3 3 1
0 1 0 3

= 1536= 0.

</div>
(25)<div class='page_container' data-page=25>

nh lỵ 1.6.11. GiÊ sỷ f, g k[x] l cĂc a thực cõ bêc dữỡng. Khi õ tỗn tÔi cĂc a

thực A, B k[x] sao cho

Af +Bg = Res(f, g, x).

Hìn núa, c¡c h» sè cõa A v B l c¡c a thùc nguy¶n theo cĂc bián l cĂc hằ số cừa f

v g.

Bi têp

1. Dữợi Ơy l vẵ dử vÃ cĂc a thực bĐt kh£ quy.

(a) Chùng minh måi a thùc f ∈k[x] bªc 1 l bĐt khÊ quy trảnk.

(b) GiÊ sỷf k[x] cõ bêc bơng 2 hoc 3. Chựng minhf bĐt khÊ quy trản k náu

v ch náu f khổng cõ nghiằm trản k.

Q những khổng bĐt khÊ quy

trản R.

(d) Chựng minh a thực x4 + 1 bĐt khÊ quy trản Q những khổng bĐt khÊ quy

trản R.

(e) Sỷ dửng phƯn (d) chựng minh (b) sai ối vợi cĂc a thực bêc 4.

2. Chựng minh trữớngkl õng Ôi số náu v ch náu mồi a thực bĐt khÊ quy trong
k[x] cõ bêc bơng1.

3. Gi£ sû f :=P

iaixi1 v g :=

ibixi1,trong â ai, bi ∈k[x2, x3, . . . , xn].

(a) Gi£ sûu∈k[x2, x3, . . . , xn].Chùng minhfchia h¸t choutrongk[x1, x2, . . . , xn]
n¸u v ch¿ n¸u trong k[x2, x3, . . . , xn] c¡c a thùc ai chia h¸t chou.

(b) GiÊ sỷ gÃh=P

icixi1. HÂy biu diạn ci qua ai v bi.
4. Gi£ sû f ∈k[x1, x2, . . . , xn].

(a) Chựng minh náuf bĐt khÊ quy v a thực h1h2. . . hs chia hát cho f thẳ tỗn
tÔi ch số i sao cho hi chia hát chof.

(b) Chựng minh tỗn tÔi cĂc a thực bĐt khÊ quy f1, f2, . . . , fr tr¶n k sao cho

</div>
(26)<div class='page_container' data-page=26>

Hỡn nỳa náu

f =g1Ãg2Ã Ã Ãgs

vợi gi l cĂc a thực bĐt khÊ quy thẳr =s v sau khi Ănh số lÔi ta cõ fi v

gi sai kh¡c mët h¬ng sè kh¡c khỉng.
5. Cho hai a thùc

f := x5 −3x4−2x3+ 3x2 + 7x+ 6,
g := x4 +x2+ 1.

Tẵnh kát thực cừa f v g. Hai a thực ny cõ ữợc chung trong Q[x]? GiÊi thẵch.

6. GiÊ sỷ f :=fa1

1 ·f

2 · · ·frar ∈ k[x], trong â fi k[x] bĐt khÊ quy v fi khổng l
tẵch mởt hơng số vợi fj, i6=j. Chựng minh náu k chựa trữớng cĂc số hỳu t Q thẳ

USCLN(f, f0) = fa1−1

1 ·f

a2−1

2 · · ·far

−1

r .

(Gi£ thi¸t k⊃Q º câ f0 6= 0).

7. Gi£ sû c¡c a thùcf, g ∈C[x]câ bêc dữỡng. Chựng minhf vg cõ nghiằm chung

trong C náu v ch¿ n¸u Res(f, g, x) = 0.

8. Gi£ sû f :=a0xl+a1xl−1+· · ·+al∈k[x]vỵi a0 6= 0 v l > 0. Ta gåi

Disc(f) := (−1)

l(l−1)/2

Res(f, f0, x)

l bi»t thùc cõa f. Chựng minh f cõ mởt ữợc bởi (tực l tỗn tÔi a thực h k[x]

sao cho f chia hát choh2)n¸u v ch¿ n¸u Disc(f) = 0.

9. a thùc f := 6x4−23x3+ 32x2−19x+ 4∈

C[x] câ nghi»m bëi?

10. T½nh bi»t thùc cõa a thùc f :=ax2+bx+c. Nhªn x²t.

11. Kh£o s¡t hai a thùc

f := 2x2+ 3x+ 1,
g := 7x2+x+ 3.

</div>
(27)<div class='page_container' data-page=27>

(b) T¼m c¡c a thùc A, B ∈k[x]sao cho Af +Bg= 1.

12. Chựng minh náu f, g Z[x] thẳ Res(f, g, x)Z.

13. Kh£o s¡t hai a thùc

f := xy−1,
g := x2+y2 −4.

T¼m c¡c a thùc A, B sao cho Af +Bg= 1.

14. Bi têp ny tẳm hiu kát thực cừa hai a thùc f v g trong tr÷íng hđp mët (ho°c

hai) a thùc ny cõ bêc bơng khổng.

(a) GiÊ sỷ l := deg(f)>0 v g =b0 l h¬ng sè. Chùng minh Res(f, g, x) = bl0.

(b) X¡c ành Res(f, g, x)n¸u f =a0 l hơng số v deg(g) = m >0.

Res(f, g, x) :=

0 náu hoc a0 = 0 hoc b0 = 0,

1 n¸u a0 6= 0 v b0 6= 0.

15. Chùng minh

Res(f, g, x) = (−1)deg(f) deg(g)Res(g, f, x).

16. Cho f :=a0xl+a1xl−1+· · ·+al v g :=b0xm+b1xm−1+· · ·+bm l hai a thùc
trong k[x]. Gi£ sûl ≥m.

(a) °tf˜:=f−(a0/b0)xl−mg.Khi âdeg( f)l1.Chựng tọ náudeg( f) =l1
thẳ

Res(f, g, x) = (1)mb0Res( f , g, x).

(b) Chùng minh

Res(f, g, x) = (−1)m(l−deg( ˜f))bl0−deg( ˜f)Res( ˜f , g, x).

Sỷ dửng (b) chựng minh

</div>
(28)<div class='page_container' data-page=28>

Chữỡng 2

Tứ in Ôi số-Hẳnh hồc

Chữỡng ny thiát lêp mối liản hằ giỳa cĂc ideal trong v nh a thùck[x1, x2, . . . , xn]
v cĂc a tÔp affine trong khổng giankn.

2.1 nh lỵ Hilbert v· cì sð

Trong gi¡o tr¼nh n y ta s³ gi£ sû c¡c v nh l giao ho¡n v câ ìn và l 1.

M»nh · 2.1.1. Gi£ sû R l mët v nh. C¡c i·u sau l t÷ìng ÷ìng:

(i) Måi ideal ⊂R l húu hÔn sinh; tực l vợi mồi idealI R tỗn tÔi f1, f2, . . . , fs∈I
sao cho I =hf1, f2, . . . , fsi.

(ii) Mồi dÂy tông cĂc ideal trong R:

I1 ⊂I2 ⊂ · · · ⊂Im ⊂ Ã Ã Ã
l dứng; tực l tỗn tÔi số tỹ nhi¶n N ≥1 sao cho

IN =IN+1 =IN+2 =· · · .

</div>
(29)<div class='page_container' data-page=29>

nh nghắa 2.1.2. VnhR thọa mÂn mởt trong ba iÃu kiằn tữỡng ữỡng trản gồi l

vnh Noether.

Mằnh · 2.1.3. (i) Gi£ sû R l v nh Noether v I l ideal trong R. Khi â v nh

th÷ìng R/I l Noether.

(ii) Gi£ sû R l Noether v l mi·n nguy¶n, k(R) l tr÷íng th÷ìng cõa R. Gi£ sû
06∈S ⊂R v °t

B :={a/b∈k(R) | a∈R, v b= 1 ho°c b l tẵch cừa cĂc phƯn tỷ thuởc S}.

Khi õ B l Noether.

nh lỵ 2.1.4. (nh lỵ Hilbert vÃ cỡ s) GiÊ sû R l mët v nh giao ho¡n v câ ìn

và l 1. Náu R l noether thẳ R[x] cụng l Noether.

H» qu£ 2.1.5. V nh c¡c a thùc k[x1, x2, . . . , xn] l Noether.

ành ngh¾a 2.1.6. Gi£ sû I ⊂k[x1, x2, . . . , xn] l ideal. Ta s kỵ hiằu

V(I) := {(a1, a2, . . . , an)∈kn | f(a1, a2, . . . , an) = 0 vợi mồif I}.

Mc dũ idealI cõ vổ hÔn cĂc phƯn tỷ, nhữngV(I)ữủc xĂc nh bi têp hỳu hÔn

cĂc phữỡng trẳnh a thực.

Mằnh Ã 2.1.7. V(I) l mởt a tÔp affine. Hỡn nỳa náu I =hf1, f2, . . . , fsi th¼

V(I) =V(f1, f2, . . . , fs).

H» qu£ 2.1.8. N¸u hf1, f2, . . . , fsi=hg1, g2, . . . , gri ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â

V(f1, f2, . . . , fs) =V(g1, g2, . . . , gr).

B i tªp

</div>
(30)<div class='page_container' data-page=30>

2. Gi£ sû câ d¢y gi£m c¡c a tÔp affine

V1 V2 V3 Ã Ã Ã .

Chựng minh tỗn tÔi số tỹ nhiản dữỡng N sao cho VN =VN+1 =VN+2 =· · · .

3. Cho d¢y c¡c a thùc f1, f2, . . . ∈k[x1, x2, . . . , xn]. Gi£ sû I :=hf1, f2, . . .i l ideal

sinh bði d¢y c¡c a thùc n y. Chùng minh tỗn tÔi số tỹ nhiản dữỡng N sao cho
I =hf1, f2, . . . , fNi.

4. Cho d¢y c¡c a thùc f1, f2, . . . ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Gi£ sû V(f1, f2, . . .) l a tÔp

affine gỗm tĐt cÊ cĂc nghiằm cừa hằ cĂc phữỡng trẳnh f1 = f2 =Ã Ã Ã = 0. Chựng

minh tỗn tÔi số tỹ nhiản dữỡng N sao cho V(f1, f2, . . .) =V(f1, f2, . . . , fN).
5. Chùng minh V(I(V)) =V.

6. Gi£ sû I :=hx2−y, x2+y−4i ⊂C[x, y] v V :=V(I).

(a) Chùng minh I =hx2−y, x2−2i.

(b) Suy ra V(I) = {(±√2,2)}.

7. Chùng minh n¸u g, g1, g2 ∈ k[x1, x2, . . . , xn] vợi g = g1g2 thẳ V(f, g) = V(f, g1)∪

V(f, g2) vỵi måi f ∈k[x1, x2, . . . , xn].

8. Chùng minh trong R3 câV(y−x2, xz−y2) = V(yx2, xzx4).

2.2 nh lỵ khổng im cừa Hilbert

nghiản cựu a tÔpV kn ta s nghiản cựu ideal:

I(V) :={f ∈k[x1, x2, . . . , xn] |f(x) = 0 vợi mồixV}.
Nõi cĂch khĂc, tỗn tÔi tữỡng ựng

cĂc a tÔp affine cĂc ideal

</div>
(31)<div class='page_container' data-page=31>

Ngữủc lÔi, cho ideal I ⊂k[x1, x2, . . . , xn] ta ành ngh¾a

V(I) := {(a1, a2, . . . , an)∈kn | f(a1, a2, . . . , an) = 0 vỵi mồif I}.

Theo nh lỵ vÃ cỡ s cừa Hilbert,V(I) l mởt a tÔp affine. Do õ ta cõ tữỡng ựng

cĂc ideal cĂc a tÔp affine

I 7 V(I)

Nhữ vêy, ta cõ tữỡng ựng giỳa cĂc a tÔp affine v cĂc ideal. Mửc ẵch cừa chữỡng
ny l tẳm hiu cĂc tẵnh chĐt cừa nhỳng tữỡng ựng ny.

Nhên xt 2.2.1. Tữỡng ựng ữủc thiát lêp trản khổng l mởt-mởt. Thêt vêy, ta câ
hxi v hx2i l hai ideal kh¡c nhau trong k[x] những xĂc nh cũng mởt a tÔp affine

V(x) = V(x2) = {0}. Mët v§n · kh¡c n£y sinh khi k khổng õng Ôi số. Chng hÔn,

xt cĂc a thực 1,1 +x2 v 1 +x2 +x4 trong

R[x]. C¡c a thùc n y sinh ra ba ideal

kh¡c nhau

I1 =h1i=R[x], I2 =h1 +x2i, I3 =h1 +x2+x4i.

Dạ thĐy

V(I1) =V(I2) = V(I3) = .

nh lỵ 2.2.2. (nh lỵ khổng im yáu-NullStellenSatz) GiÊ sỷk l trữớng õng ¤i

sè v I ⊂k[x1, x2, . . . , xn] l ideal thäa m¢n V(I) =∅. Khi â

I =k[x1, x2, . . . , xn].

Hằ quÊ 2.2.3. (nh lỵ cỡ bÊn cừa Ôi số) GiÊ sỷ I =hf1, f2, . . . , fsi l ideal con thüc
sü cõa v nh C[x1, x2, . . . , xn] sinh bði c¡c a thùc f1, f2, . . . , fs. Khi õ hằ cĂc phữỡng
trẳnh a thực

f1(x) =f2(x) =Ã Ã Ã=fs(x) = 0
cõ ẵt nhĐt mởt nghiằm trong Cn.

nh lỵ 2.2.2 cơng cho ta líi gi£i cõa b i to¡n: Khi n o hằ cĂc phữỡng trẳnh

</div>
(32)<div class='page_container' data-page=32>

cõ nghiằm chung trong Cn? Thêt vêy, hằ trản vổ nghiằm náu v ch náu

V(f1, f2, . . . , fs) =.

iÃu ny tữỡng ÷ìng 1 ∈ hf1, f2, . . . , fsi. Vẳ vêy, giÊi bi toĂn tỗn tÔi nghiằm, ta
cƯn x¡c ành khi n o1 thuëc mët ideal. i·u n y câ thº kiºm tra mët c¡ch d¹ d ng sû

dưng cì sð Grobner (xem [3]).

nh lỵ 2.2.4. (nh lỵ khổng im cừa Hilbert) Cho k l trữớng õng Ôi số. GiÊ

sỷ f, f1, f2, . . . , fs ∈k[x1, x2, . . . , xn] sao cho f ∈I(V(f1, f2, . . . , fs)). Khi õ tỗn tÔi số
nguyản m1 sao cho fm ∈ hf

1, f2, . . . , fsi (v ngữủc lÔi).

Bi têp

1. Nhưc lÔi V(yx2, zx3) l ÷íng cong xon bªc ba trong

R3.

(a) Chùng minh V((y−x2)2+ (z−x3)2)cơng l ữớng cong xoưn bêc ba.

(b) Chựng minh mồi a tÔp affine V(I) Rn, I

R[x1, x2, . . . , xn], ữủc xĂc
nh bi úng mởt phữỡng trẳnh (v do vêy bi mởt ideal chẵnh).

2. GiÊ sỷ J :=hx2+y2−1, y−1i.T¼m f ∈I(V(J)) sao cho f 6∈J.

3. Chùng minh trữớng õng Ôi số k cõ vổ hÔn phƯn tỷ.

4. Bi têp ny chựng tọ náu k khổng õng Ôi số thẳ mồi a tÔp affine V kn ữủc

xĂc nh bi úng mởt phữỡng trẳnh.

(a) GiÊ sỷf =a0xn+a1xn1+Ã Ã Ã+an1x+an.nh nghắa thuƯn nhĐt hõa cừa

f l a thực fh :=a0xn+a1xn1y+Ã · ·+an−1xyn−1+anyn. Chùng minh f
câ nghi»m trong k n¸u v ch náu tỗn tÔi(a, b)k2 sao cho (a, b)6= (0,0)v
fh(a, b) = 0.

(b) GiÊ sỷ k khổng õng Ôi số. Chựng minh tỗn tÔi f k[x, y] sao cho a tÔp
V(f)k2 gỗm úng mởt im (0,0)k2.

a thực f k[x1, x2, . . . , xs] sao cho a tÔp V(f) ks gỗm úng mởt im

</div>
(33)<div class='page_container' data-page=33>

(d) GiÊ sỷ k khổng õng Ôi số vW :=V(g1, g2, . . . , gs)kn. Chựng minh tỗn
tÔi f k[x1, x2, . . . , xn] sao W =V(f).

5. Gi£ sû S l tªp con cõa k[x1, x2, . . . , xs] gỗm cĂc a thực khĂc khổng trản kn.
Chựng minh náu I ⊂k[x1, x2, . . . , xs]l ideal sao cho IS = thẳ V(I)6=.
6. GiÊ sỷA:= (aij)l ma trên vuổng cĐpn vợi cĂc phƯn tỷ trongk.GiÊ sỷ x:=Ax.

nh nghắa Ănh xÔ

A:k[x1, x2, . . . , xs]k[x1,x2, . . . ,x˜s], f 7→f ,˜
trong â f(˜˜x) :=f(A˜x).

(a) Chùng minh A lk-tuyán tẵnh.

(b) Chựng minh A(fÃg) = A(f)ÃA(g).

(d) Gi£ sû I ∈k[x1, x2, . . . , xn] l ideal. Tªp hđp {αA(f) |f ∈I} l mët ideal?
(e) Gi£ sû I˜∈k[˜x1,x˜2, . . . ,x˜s] l ideal. Tªp hđp {f ∈k[x1, x2, . . . , xn] | αA(f)∈

I} l mët ideal?

7. Trong B i tªp 1, ta cõ hai ideal trongR[x, y]xĂc nh cũng mởt a tÔp kh¡c trèng.

Chùng tä mët trong hai ideal n y ÷đc chùa trong ideal khĂc. úng hay sai: tỗn
tÔi hai ideal I, J trong R[x, y] sao choV(I) = V(J)6=∅v I 6⊂J, J 6I? CƠu họi

tữỡng tỹ ối vợi vnh cĂc a thực mởt bián R[x].

2.3 ideal radical v tữỡng ựng ideal-a tÔp

Bờ Ã 2.3.1. Cho V l mởt a tÔp. Náu fm I(V) thẳ f I(V).

Chựng minh. GiÊ sỷxV. Náufm I(V)thẳ (f(x))m = 0.Suy raf(x) = 0.VẳxV
tũy ỵ nản f I(V).

</div>
(34)<div class='page_container' data-page=34>

ành ngh¾a 2.3.2. ideal I gåi l radican náu fm I vợi bĐt ký số nguyản m 1 thẳ
f I.

Hin nhiản

Hằ quÊ 2.3.3. I(V) l ideal radican.

Mt khĂc, theo nh lỵ khổng im cừa Hilbert, ideal I khổng trũng ideal gỗm

tĐt cÊ cĂc a thực triằt tiảu trản V(I) náu tỗn tÔi f 6 I v số nguy¶n m ≥ 1 sao cho
fm ∈I;nâi c¡ch kh¡c I khổng phÊi ideal radican. iÃu ny dăn án tỗn tÔi tữỡng ựng
mởt-mởt giỳa cĂc a tÔp affine v cĂc ideal radican. Ta câ ành ngh¾a sau

ành ngh¾a 2.3.4. Cho ideal I ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Tªp hđp
√

I :={f | tỗn tÔi số nguyảnm 1sao cho fm I}
gồi l radican cõaI.

V½ dư 2.3.5. Gi£ sû I :=hx2, y3i ⊂k[x, y]. Khi â√I :=hx, yi.

Tø ành ngh¾a ta câ

Bê · 2.3.6. Cho idealI ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â c¡c kh¯ng ành sau óng:

(i) I ⊂√I.

(ii) ideal I l radican n¸u v ch¿ n¸u I =√I.

(iii) √I l mët ideal. Hìn núa, √I l ideal radican.

ành lỵ 2.3.7. (nh lỵ khổng im mÔnh) GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v I

k[x1, x2, . . . , xn] l ideal. Khi â

I(V(I)) = √I.

ành lỵ khổng im cho php ta thiát lêp mởt tứ in giỳa hẳnh hồc v Ôi số,
cử th cõ cĂc tữỡng ựng

cĂc a tÔp affine I

cĂc ideal
v

cĂc ideal V

</div>
(35)<div class='page_container' data-page=35>

nh lỵ 2.3.8. (Tữỡng ựng V) GiÊ sỷ k l trữớng tũy ỵ. Khi õ tữỡng ựng V cõ cĂc

tẵnh chĐt sau

(i) V(0) =kn; V(k[x

1, x2, . . . , xn]) = ∅.

(ii) N¸u I1 ⊂I2 l c¡c ideal thẳ V(I1)V(I2).

(iii) V(I1I2) = V(I1)V(I1).

nh lỵ 2.3.9. (Tữỡng ựng I) Náu V1 V2 l cĂc a tÔp thẳ I(V1)I(V2). Hỡn nỳa,

vợi mồi a tÔpV ta cõ

V(I(V)) = V

v do vêy tữỡng ựng I l mởt-mởt.

c biằt

nh lỵ 2.3.10. (Tữỡng ựng ideal radican-a tÔp affine) GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi

số v ch xt cĂc ideal radican thẳ cĂc Ănh xÔ
cĂc a tÔp affine I

cĂc ideal radican
v

cĂc ideal radican V

cĂc a tÔp affine
l song Ănh bao hm £o ng÷đc v l ng÷đc cõa nhau.

M»nh · 2.3.11. Cho k l mët tr÷íng v ideal I := hf1, f2, . . . , fsi trong v nh a
thùc k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â f ∈

√

I n¸u v ch náu a thực hơng 1 thuởc ideal I:=

hf1, f2, . . . , fs,1−yfi ⊂k[x1, x2, . . . , xn, y].Trong tr÷íng hđp n yI˜=k[x1, x2, . . . , xn, y].
M»nh · 2.3.12. Cho ideal ch½nh I := hfi trong v nh a thùc k[x1, x2, . . . , xn]. N¸u

f = fα1

1 f

α2

2 · · ·fsαs l phƠn tẵch cừa f thnh tẵch cĂc a thực bĐt khÊ quy ổi mởt khĂc

nhau thẳ

I =phfi=hf1, f2, . . . , fsi.

</div>
(36)<div class='page_container' data-page=36>

Bði ành ngh¾a, c¡c a thùc thu gån cõa f sai kh¡c mët h¬ng số trong k.

Vẵ dử 2.3.14. Náuf := (x+y2)3(xy)k[x, y]thẳ f

red = (x+y2)(x−y).

ành ngh¾a 2.3.15. Gi£ sûf, g ∈k[x1, x2, . . . , xn]. a thùch∈k[x1, x2, . . . , xn]gồi l
ữợc chung lợn nhĐt cừaf v g náu cĂc iÃu sau thọa mÂn

(i) f v g chia hát choh.

(ii) N¸u f v g chia h¸t cho a thùc p thẳ h cụng chia hát cho p.

Kỵ hiằuUSCLN(f, g) := h l ữợc chung lợn nhĐt cừa f v g.

M»nh · 2.3.16. Chok l tr÷íng chùa tr÷íng c¡c sè húu t¿ Q.Gi£ sû I :=hfil ideal
ch½nh trong v nh a thùck[x1, x2, . . . , xn]. Khi â I =hfredi, trong õ

fred =

f
USCLN(f,xf

f
x2, . . . ,

f
xn)

Chú ỵ 2.3.17. Mằnh Ã trản khổng úng náu k khổng chựaQ.

Bi têp

1. GiÊ sỷ m, n l cĂc số nguyản dữỡng. Chựng minh r¬ng phxm, yni=hx, yi.

2. Gi£ sû f v g, f 6=g, l hai a thùc kh¡c h¬ng trongk[x, y]v I :=hf2, g3i. óng

hay sai: √I =hf, gi?

3. Chùng minh hx2+ 1i ⊂

R[x] l ideal radican nh÷ngV(I) = ∅.

4. Gi£ sû ideal I ⊂k[x1, x2, . . . , xn].
(a) Chùng minh ideal√I l radican.

(b) Chùng minh idealI l radican n¸u v ch¿ n¸u I =√I.

I =√I.

5. Chùng minh c¡c t÷ìng ùng V v I l bao h m £o ng÷đc.

</div>
(37)<div class='page_container' data-page=37>

(a) Trong tr÷íng hđp °c bi»t√I =hf1, f2i,vỵifimi ∈I,chùng minhfm1+m2−1 ∈

I vỵi måi f ∈√I.

(b) Vỵi ideal bĐt ký I, chựng minh tỗn tÔim0 sao cho fm0 ∈I vỵi måi f ∈

√

7. óng hay sai:
(a) x+y∈p

hx3, y3, xy(x+y)i?

(b) x2+ 3xz p

hx+z, x2y, xz2i?

Náu úng, tẳm lụy thøa nhä nh§t sao a thùc thuëc ideal.

8. Gi£ sû fm v fm+1 l cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc t÷ìng ùng m v m+ 1 sao cho

USCLN(fm, fm+1) = 1.Chùng minh fm+fm+1 l a thùc b§t kh£ quy.

9. Gi£ sû f, g ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh tỗn tÔi duy nhĐt (sai khĂc mởt h¬ng

sè trong k)USCLN(f, g).

10. Gi£ sû f, g, h ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Chùng minh h = USCLN(f, g) náu v ch náu
hhi J vợi mồi idealJ ⊃ hf, gi.

11. T¼m mët cì sð cõa ideal sau

hx5−2x4+ 2x2−x, x5−x4−2x3+ 2x2+x−1i.

12. Trong v nh Q[x, y] x²t a thùc

f :=x5+3x4y+3x3y2−2x4y2+x2y3−6x3y3−6x2y4+x3y4−2xy5+3x2y5+3xy6+y7.

T½nh p

hfi.

13. Gi£ sû J :=hxy,(x−y)xi. Mỉ t£ V(I) v chùng minh √J =hxi.

14. Chùng minh ideal I :=hxy, xz, yzi l radican.

2.4 Têng, t½ch v giao cõa c¡c ideal

</div>
(38)<div class='page_container' data-page=38>

2.4.1 Têng c¡c ideal

ành ngh¾a 2.4.1. Cho hai idealI, J ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Tªp hđp

I+J :={f +g | f ∈I v g ∈J}

gåi l têng cõa I v J.

M»nh · 2.4.2. Cho hai ideal I, J ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â I+J l ideal nhä nh§t
chùa I v J. Hìn núa, n¸u I =hf1, f2, . . . , fri v J =hg1, g2, . . . , gsi th¼

I +J =hf1, f2, . . . , fr, g1, g2, . . . , gsi.

M»nh · tr¶n suy ra

H» qu£ 2.4.3. N¸u f1, f2, . . . , fr ∈k[x1, x2, . . . , xn] th¼

hf1, f2, . . . , fri=hf1i+hf2i+· · ·+hfri.
V½ dư 2.4.4. Gi£ sû I := hx2 +yi v J := hzi l hai ideal trong

R[x, y, z]. Khi â

I+J =hx2+y, zi.Do â a tÔpV(I+J)gỗm tĐt cÊ cĂc im (x, y, z)

R3 m tÔi õ

x2+y=z = 0. Suy ra V(I+J) = V(I)V(J).

nh lỵ sau cho ta mối liản hằ giỳa tờng cĂc ideal vợi giao cĂc a tÔp.
nh lỵ 2.4.5. GiÊ sỷ I, , l hå c¡c ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ

V X

= \

V(I).

2.4.2 Tẵch cĂc ideal

nh nghắa 2.4.6. Cho hai idealI, J ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Têp hủp

</div>
(39)<div class='page_container' data-page=39>

Tứ nh nghắa dạ d ng suy ra t½ch cõa hai ideal l mët ideal. Hìn núa, ta câ
M»nh · 2.4.7. Cho hai ideal I =hf1, f2, . . . , fri v J = hg1, g2, . . . , gsi. Khi â ideal

I·J sinh bi têp tĐt cÊ cĂc tẵch cừa cĂc phƯn tû sinh cõa I v J :
I·J =hfigj | 1≤i≤r, 1j si.

nh lỵ 2.4.8. GiÊ sỷ I v J l c¡c ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â

V(I ·J) =V(I)∪V(J).

2.4.3 Giao c¡c ideal

ành ngh¾a 2.4.9. Cho hai idealI, J ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Tªp hđp

I∩J :={f |f ∈I v f ∈J}
gåi l giao cõa I v J.

Ta câ

M»nh · 2.4.10. Gi£ sû I v J l c¡c ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â I∩J cơng
l mët ideal.

Nhªn x²t 2.4.11. Ta ln ln câ IJ ⊂ I ∩J v¼ måi ph¦n tû cõa IJ l têng cõa

c¡c a thùc cõ dÔng f g vợi f I v g ∈ J. Tuy nhi¶n câ thº IJ chùa thüc sü trong
I J. Chng hÔn, náu I = J = hx, yi thẳ IJ = hx2, xy, y2i l têp con thüc sü cõa

I∩J =I =J =hx, yi (x∈I∩J nh÷ng x6∈IJ).

Bê · 2.4.12. (i) N¸u I l ideal trong v nh k[x1, x2, . . . , xn] sinh bði c¡c a thùc

p1(x), . . . , ps(x) th¼ f(t)I l ideal trong k[x1, x2, . . . , xn, t] sinh bði c¡c a thùc

f(t)p1(x), . . . , f(t)ps(x).

(ii) N¸u g(x, t)f(t)I v ck thẳ g(x, a)I.

nh lỵ 2.4.13. GiÊ sû I v J l c¡c ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â

</div>
(40)<div class='page_container' data-page=40>

ành lỵ 2.4.14. GiÊ sỷ I v J l cĂc ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â

V(I∩J) = V(I)V(J).

Do vêy, giao v tẵch cừa hai ideal xĂc nh cũng mởt a tÔp. Mc dũ tẵnh giao
hai ideal khõ hỡn tẵnh tẵch cừa chúng, những cõ lủi im khi t½nh radican: t½ch hai ideal
radican khỉng ph£i mët ideal radican nh÷ng giao cõa hai ideal radican l mët ideal
radican. Thªt vªy, ta câ

M»nh · 2.4.15. Gi£ sû I v J l c¡c ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â
√

I∩J =√I∩√J .

B i tªp

1. Chùng minh

h(x+y)4(x2+y)2(x−5y)i ∩ h(x+y)(x2+y)3(x+ 3y)i

=h(x+y)4(x2+y)3(x−5y)(x+ 3y)i.

2. Cho c¡c ideal I1, I2, . . . , Ir v J trong v nh k[x1, x2, . . . , xn].Chùng minh c¡c i·u
sau

(a) (I1+I2)J =I1J+I2J.

(b) (I1·I2· · ·Ir)m =I1m1 ·I

2 · · ·Irmr.

3. Cho c¡c ideal I v J trong v nh k[x1, x2, . . . , xn]. Chựng minh cĂc iÃu sau
(a) Náu Ik J vợi k nguyản dữỡng thẳI J .

(b) I+J =pI+J .

4. Cho hai a thùc

f := x4+x3y+x3z2−x2y2+x2yz2−xy3−xy2z2−y3z3,
g := x4+ 2x3z2−x2y2+x2z4−2xy2z2−y2z4.

</div>
(41)<div class='page_container' data-page=41>

(b) Sỷ dửng phƯn mÃm mĂy tẵnh, xĂc nh USCLN(f, g).

(c) GiÊ sỷp:=x2+xy+xz+yz vq :=x2xyxz+yz. Sỷ dửng phƯn mÃm

mĂy tẵnh, x¡c ành hf, gi ∩ hp, qi.

5. Chùng minh √IJ =√I∩J .

6. Cho v½ dư chùng tä t½ch c¡c ideal radican khỉng l radican.
7. Cho v½ dư chùng tä √IJ 6=√I√J .

8. Hai idealIv Jtrongk[x1, x2, . . . , xn]gåi l ối cỹc Ôi náuI+J =k[x1, x2, . . . , xn].
(a) GiÊ sỷk=C.Chựng minhI vJ ối cỹc Ôi náu v ch náuV(I)V(J) =.

Cho vẵ dử chựng tọ ng thực sai n¸u k6=C.

(b) Chùng minh n¸uI v J èi cüc Ôi thẳ IJ =IJ. iÃu ngữủc lÔi úng hay

sai?

dữỡng.

(d) Cho cĂc idealI1, I2, . . . , Ir ⊂k[x1, x2, . . . , xn].Gi£ sûIi v Ji :=j6=iIj l ối

cỹc Ôi. Chựng minh

I1mI2m Ã Ã · ∩Irm = (I1I2· · ·Ir)m = (I1∩I2∩ · · Ã Ir)m
vợi mồi m nguyản dữỡng.

9. Cho cĂc ideal I, J ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Gi£ sỷ I

J . Chựng minh tỗn tÔi m

nguyản dữỡng sao cho Im ⊂J.

10. Gi£ sû A := (aij) l ma trên kẵch thữợc mìn vợi cĂc phƯn tỷ trong k. GiÊ sỷ

x:=Ay. nh nghắa Ănh xÔ

A:k[x1, x2, . . . , xm]→k[y1, y2, . . . , yn], f 7→αA(f),
trong â αA(f)(y) := f(Ay).

</div>
(42)<div class='page_container' data-page=42>

(b) Cho v½ dö chùng tä {αA(f)| f ∈I} ⊂k[y1, y2, . . . , yn]khỉng l mët ideal, ð
¥y I l ideal trong k[x1, x2, . . . , xm].

(c) Chùng tä n¸uI0 l ideal trong k[y1, y2, . . . , yn] thẳ têp
{f k[x1, x2, . . . , xm]| αA(f)∈I0}
l ideal trong k[x1, x2, . . . , xm].

11. GiÊ sỷA vA nhữ trong bi têp trản. tK := ker(αA).Gi£ sû I, J l c¡c ideal
trong k[x1, x2, . . . , xm]. Chùng minh r¬ng

(a) I ⊂J suy ra hαA(I)i ⊂ hαA(J)i.

(b) hαA(I+J)i=hαA(I)i+hαA(J)i.

(d) hαA(I∩J)i ⊂ hαA(I)i ∩ hαA(J)i; ¯ng thùc x£y ra khi I ⊃K ho°c J ⊃K.
(e) hαA(

√

I)i ⊂p

hαA(I)i; ¯ng thùc x£y ra khi I ⊃K

12. GiÊ sỷ A v A nhữ trong bi têp trản. °t K := ker(αA). Gi£ sû I0, J0 l c¡c
ideal trong k[y1, y2, . . . , yn]. Chùng minh r¬ng

(a) I0 ⊂J0 suy ra α−A1(I0)⊂αA−1(J0).

(b) α−A1(I0 +J0) =αA−1(I0) +α−A1(J0).

(d) α−A1(I0 ∩J0) =αA−1(I0)∩α−A1(J).

(e) α−A1(√I0) =qα−1

A (I0).

2.5 Bao âng Zariski v thữỡng cừa cĂc ideal

GiÊ sỷ S kn. Khi õ dạ d ng chùng minh

I(S) = {f ∈k[x1, x2, . . . , xn]| f(a) = 0 vỵi måia ∈S}

</div>
(43)<div class='page_container' data-page=43>

M»nh · 2.5.1. Gi£ sû S l tªp con trong kn. Khi õ V(I(S)) l a tÔp affine nhọ

nhĐt chựa têp S.

nh nghắa 2.5.2. Bao õng Zariski cừa têp con S kn l a tÔp Ôi số affine nhọ
nhĐt chựa têpS v kỵ hiằu l S.

nh lỵ 2.5.3. Cho k l trữớng õng Ôi số. GiÊ sỷ V := V(f1, f2, . . . , fs) ⊂ kn v

πl: knknl l php chiáu lản nl tồa ở cuối. Náu

Il :=hf1, f2, . . . , fsi ∩k[xl+1, xl+2, . . . , xn]
th¼ V(Il) l bao âng Zariski cõa l(V).

Ká tiáp ta tẳm hiu cĂch tẵnh ideal tữỡng ựng bao õng Zariski cừa hiằu hai a
tÔp. Trữợc hát ta câ

M»nh · 2.5.4. Gi£ sû V, W l hai a tÔp sao cho V W. Khi õ
W =V (W V).

Chựng minh. Vẳ W l a tÔp chựa W V nản W V W. Những theo giÊ thiát
V W n¶n V ∪(W −V)⊂W.

M°t kh¡c, tø V ⊂ W ta câ W = V ∪(W −V). Tø W −V ⊂ W −V ta câ bao

h m thùc W ⊂V ∪W −V .Mằnh Ã ữủc chựng minh.

nh nghắa 2.5.5. Cho hai idealI, J trong k[x1, x2, . . . , xn].Tªp

I: J :={f ∈k[x1, x2, . . . , xn] | f g I vợi mồi g J}
gồi l ideal thữỡng cừa I bði J.

V½ dư 2.5.6. Trongk[x, y, z]ta câ

hxz, yzi: hzi = {f ∈k[x, y, z] | f·z ∈ hxz, yzi}

= {f ∈k[x, y, z] | f·z =Axz+Byz}

= {f ∈k[x, y, z] | f =Ax+By}

</div>
(44)<div class='page_container' data-page=44>

M»nh · 2.5.7. Gi£ sûI, J l hai ideal trong k[x1, x2, . . . , xn].Khi âI:J l mët ideal
trong k[x1, x2, . . . , xn] v I: J chùa I.

ành lỵ 2.5.8. Cho I v J l cĂc ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â

V(I:J)⊃V(I)−V(J).

Hìn núa, náu k l õng Ôi số v I l ideal radican thẳ
V(I: J) =V(I)V(J).

Chựng minh cừa nh lỵ trản cho ta h» qu£ sau:

H» qu£ 2.5.9. Gi£ sû V v W l cĂc a tÔp trong kn. Ta cõ

I(V) :I(W) = I(V −W).

M»nh · 2.5.10. Gi£ sû I, J, K l c¡c ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â

(i) I:k[x1, x2, . . . , xn] =I.

(ii) IJ ⊂K n¸u v ch¿ n¸u I ⊂K: J.

(iii) J ⊂I n¸u v ch¿ n¸u I:J =k[x1, x2, . . . , xn].

Chùng minh. B i tªp.

M»nh · 2.5.11. Gi£ sû I, Ii, J, Ji, K, i = 1,2, . . . , r, l c¡c ideal trong v nh c¡c a
thùc k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â

i=1

: J =

i=1

(Ii: J),

i=1

(I: Ji),

(I: J) : K = I: J K.

</div>
(45)<div class='page_container' data-page=45>

Trong tr÷íng hđp f l mët a thùc v I l mët ideal, ta vi¸tI: f thay cho I: hfi.

Chú ỵ rơng

I: hf1, f2, . . . , fri=
r

i=1

(I: fi).

nh lỵ 2.5.12. GiÊ sỷ I l mởt ideal v g ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. N¸u hh1, h2, . . . , hpi l
mët cì sð cõa ideal I∩ hgi th¼ hh1/g, h2/g, . . . , hp/gi l mët cì sð cõa I: g.

B i tªp

1. X¡c ành bao âng Zariski cõa c¡c tªp sau

(a) Hẳnh chiáu cừa hyperbol V(xy1)R2 lản trửc x.

(b) Biản cừa gõc phƯn tữ thự nhĐt trong R2.

(c) Hẳnh trỏn {(x, y)∈R2 | x2+y2 ≤4}.

2. Cho hai a thùc

f := (x+y)2(xy)(x+z2),
g := (x+z2)3(xy)(z+y).

Tẳm cĂc phƯn tỷ sinh cừa hfi: hgi.

3. Cho c¡c ideal I, J. Chùng minh n¸u I l radican th¼ ideal I: J l radican v
I:J =I:√J .

4. GiÊ sỷ A := (aij) l ma trên kẵch thữợc mìn vợi cĂc phƯn tỷ trong k. GiÊ sỷ

x:=Ay. nh nghắa Ănh xÔ

A:k[x1, x2, . . . , xm]k[y1, y2, . . . , yn], f 7→αA(f),
trong â αA(f)(y) := f(Ay).

(a) Chùng minh αA(I: J) ⊂ αA(I) : αA(J); d§u bơng xÊy ra náu I K :=

ker(A).

</div>
(46)<div class='page_container' data-page=46>

5. Cho ideal I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] v cè ành f ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. BÊo hỏa cừa I
tữỡng ựng vợi f l tªp

I:f∞ ={g ∈k[x1, x2, . . . , xn] | tỗn tÔim nguyản dữỡng sao cho fmg I}.
(a) Chùng minh I: f∞ l ideal.

(b) Chùng minh

I: f ⊂I:f2 I: f3 Ã Ã Ã.

Chùng minh I: f∞ =I: fN.

(d) Chùng minh I: f∞ =I: fm n¸u v ch¿ n¸u I: fm =I: fm+1.

6. Cho ideal I := hf1, f2, . . . , fsi ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] v cè ành f ∈ k[x1, x2, . . . , xn].
N¸u y l bi¸n mỵi, °t

I :=hf1, f2, . . . , fs,1−f yi ⊂k[x1, x2, . . . , xn, y].
(a) Chùng minh I: f∞ = ˜I: k[x1, x2, . . . , xn].

(b) Suy ra c¡ch t½nh I: f∞.

7. Chùng minh I: f∞ =k[x1, x2, . . . , xn] n¸u v ch náu f

2.6 a tÔp bĐt khÊ quy v cĂc ideal nguyản tố

nh nghắa 2.6.1. a tÔp affine V kn ữủc gồi l bĐt khÊ quy náu V = V

1 V2,

trong õ V1, V2 l hai a tÔp affine, thẳ hoc V =V1 hoc V =V2.

Vẵ dử 2.6.2. a tÔp affine V(xz, yz)khổng bĐt khÊ quy do ta cõ th viát V(xz, yz) =
V(x, y)V(z).

nh nghắa 2.6.3. ideal I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] gåi l nguyản tố náu f g I vợi f, g ∈

k[x1, x2, . . . , xn] th¼ ho°c f ∈I ho°c g ∈I.

M»nh · 2.6.4. Cho V l a tÔp affine trong kn. Khi õV bĐt khÊ quy náu v ch náu

</div>
(47)<div class='page_container' data-page=47>

Nhên xt 2.6.5. Mồi ideal nguyản tố l radican (tÔi sao?). Hỡn nỳa, sỷ dửng tữỡng
ựng giỳa cĂc ideal radican v cĂc a tÔp affine ta câ h» qu£ sau:

H» qu£ 2.6.6. Cho k l trữớng õng Ôi số. Khi õ tỗn tÔi mởt tữỡng ựng mởt-mởt

giỳa cĂc a tÔp bĐt khÊ quy trong kn vợi cĂc ideal nguyản tố trong vnh k[x1, . . . , xn].
V½ dư 2.6.7. Gi£ sû V l ÷íng cong xon bªc ba. Ta s³ chùng minh I(V) l ideal

nguyản tố. GiÊ sỷf g I(V).Vẳ V cõ tham sè hâa (t, t2, t3) n¶n
f(t, t2, t3)g(t, t2, t3) = 0 vỵi måit.

Suy ra ho°c f(t, t2, t3) ho°c g(t, t2, t3)l a thùc khỉng. Vªy f ho°c g bơng khổng trản
V. Do õf hoc g thuởc I(V).

Tờng quĂt hìn ta câ

M»nh · 2.6.8. Gi£ sû k l tr÷íng cõ vổ hÔn phƯn tỷ v V l a tÔp affine xĂc nh

bi hằ cĂc phữỡng trẳnh tham số:

x1 = f1(t1, t2, . . . , tm),

x1 = f1(t1, t2, . . . , tm),
... = ...

xn = fn(t1, t2, . . . , tm),

trong â f1, f2, . . . , fn l c¡c a thùc trong k[t1, t2, . . . , tm]. Khi â V b§t kh£ quy.

Chựng minh. Xt Ănh xÔ a thựcF: km kn xĂc ành bði

F(t1, t2, . . . , tm) := (f1(t1, t2, . . . , tm), f2(t1, t2, . . . , tm), . . . , fn(t1, t2, . . . , tm)).
Tø gi£ thi¸t ta câV l bao âng Zariski cõa F(km). °c bi»t I(V) =I(F(km)).

Vỵi måig ∈k[x1, x2, . . . , xn]ta câg◦F ∈k[t1, t2, . . . , tm].Nhữngk cõ vổ hÔn phƯn
tỷ nản

I(V) = I(F(km)) = {g ∈k[x1, x2, . . . , xn] |gF = 0}.

BƠy giớ giÊ sỷghI(V). Thẳ (gh)F = (gF)(hF) = 0.H» qu£ l ho°c g◦F = 0,

ho°c h◦F = 0. Tùc l ho°c g ∈ I(V) ho°c h ∈ I(V). Do â I(V) l ideal nguy¶n tè.

</div>
(48)<div class='page_container' data-page=48>

Lỵ luên trản dạ dng m rởng cho a tÔp x¡c ành bði c¡c tham sè hâa húu t¿. Ta
câ

M»nh Ã 2.6.9. GiÊ sỷ k l trữớng cõ vổ hÔn phƯn tỷ v V l a tÔp affine xĂc nh

bi h» c¡c tham sè húu t¿:

x1 =

f1(t1, t2, . . . , tm)

g1(t1, t2, . . . , tm)

,
x1 =

f2(t1, t2, . . . , tm)

g2(t1, t2, . . . , tm)

... = ...
xn =

fn(t1, t2, . . . , tm)

gn(t1, t2, . . . , tm)

trong â f1, f2, . . . , fn, g1, g2, . . . gn∈k[t1, t2, . . . , tm]. Khi â V bĐt khÊ quy.

Vẵ dử 2.6.10. Ta cõV :={(a1, a2, . . . , an)} kn l a tÔp affine xĂc nh bi phữỡng
trẳnh tham số

fi(x1, x2, . . . , xn) =ai, i= 1,2, . . . , n,
v do õ bĐt khÊ quy. Hỡn nỳa, dạ thĐy

I(V) = hx1a1, x2−a2, . . . , xn−ani

l ideal nguy¶n tè. ideal ny cõ tẵnh chĐt c biằt: náuJ l ideal chựa thüc süI(V) th¼
J =k[x1, x2, . . . , xn].

ành ngh¾a 2.6.11. idealI ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] gồi l cỹc Ôi náu I 6=k[x1, x2, . . . , xn]

v måi ideal J chùaI th¼ ho°c J =I ho°cJ =k[x1, x2, . . . , xn].

Ta cụng cƯn khĂi niằm sau

nh nghắa 2.6.12. ideal I k[x1, x2, . . . , xn] gåi l thüc sỹ náu I khổng bơng

k[x1, x2, . . . , xn].

M»nh · 2.6.13. Gi£ sû k l mët tr÷íng v (a1, a2, . . . , an)∈kn. Khi â ideal

</div>
(49)<div class='page_container' data-page=49>

Nhên xt 2.6.14. Ta biát rơng

V(x1a1, x2a2, . . . , xn−an) ={(a1, a2, . . . , an)}.

Nản mồi im(a1, a2, . . . , an)kn tữỡng ựng mởt ideal cỹc Ôimacừa k[x1, x2, . . . , xn].
iÃu ngữủc lÔi khổng úng náu k khổng õng ¤i sè. Thªt vªy, câ thº chùng minh

hx2+ 1i l ideal cỹc Ôi trong

R[x]. Những V(x2+ 1) = R. Tuy nhiản ta cõ

Mằnh Ã 2.6.15. GiÊ sỷk l mởt trữớng. NáuI l ideal cỹc Ôi trong vnhk[x1, x2, . . . , xn]
thẳ I l ideal nguyản tố.

nh lỵ 2.6.16. GiÊ sỷk l mởt trữớng õng Ôi số. Khi õ mồi ideal cỹc Ôi cừa vnh
k[x1, x2, . . . , xn] cõ dÔng

hx1 a1, x2a2, . . . , xn−ani
vỵi (a1, a2, . . . , an)∈kn n o â.

Chùng minh. Gi£ sû I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l ideal cỹc Ôi. Vẳ I 6= k[x1, x2, . . . , xn] v
nh lỵ 2.2.2 ta cõV(I)6=.Vêy tỗn tÔi (a1, a2, . . . , an)V(I). H» qu£ l

I(V(I))⊂I({(a1, a2, . . . , an)}).

Nh÷ng I(V(I)) =I do nh lỵ 2.3.7. Chú ỵ I l ideal cỹc Ôi nản s l ideal nguyản

tố. Nản cõ ng thùc I =√I.Tø â

I ⊂I({(a1, a2, . . . , an)}) =hx1 a1, x2a2, . . . , xnani=:ma.
Chú ỵma6=k[x1, x2, . . . , xn]. Suy ra I =ma doI l cỹc Ôi.

nh lỵ trản suy ra

Mằnh Ã 2.6.17. GiÊ sỷk l mởt trữớng õng Ôi số. Khi õ tỗn tÔi tữỡng ựng mởt-mởt

giỳa cĂc im trong kn v cĂc ideal cỹc Ôi trong vnh k[x

1, x2, . . . , xn].

B i tªp

</div>
(50)<div class='page_container' data-page=50>

2. Chùng minh idealI l nguyản tố náu v ch náu vợi mồi idealJ, K sao choJ K ⊂I

th¼ ho°c J ⊂I ho°c K ⊂I.

3. Cho c¡c ideal I1, I2, . . . , In v P l ideal nguy¶n tè chùa ∩ni=1Ii. Chùng minh tỗn
tÔi ch số i sao cho P Ii. Hỡn nỳa, náu P = ni=1Ii thẳ tỗn tÔi ch sè i sao cho

P =Ii.

4. Cho a thùc f :=x2z−6y4+ 2xy3z. T¼m c¡c a thùcf

1, f2, f3 ∈k[x, y, z]sao cho

f =f1(x+ 3) +f2(y−1) +f3(z−2).

5. Cho k l tr÷íng vỉ hÔn.

(a) Chựng minh mồi ữớng thng trong kn l bĐt khÊ quy.

(b) Chựng minh mồi khổng gian con tuyán tẵnh trong kn l b§t kh£ quy.
6. Chùng minh

I({a1, a2, . . . , an}) =hx1−a1, x2−a2, . . . , xn−ani.
7. Chùng minh c¡c i·u sau

(a) hx2+ 1il ideal cüc ¤i trong

R[x].

(b) N¸uI ⊂R[x1, x2, . . . , xn]l ideal cỹc Ôi thẳV(I) hoc bơng trống hoc gỗm
úng mởt im trong Rn.

(c) Cho vẵ dử ideal cỹc Ôi I ⊂R[x1, x2, . . . , xn]sao cho V(I) = .
8. Cho k l trữớng vổ hÔn khổng nhĐt thiát õng Ôi số.

(a) Chựng minh náu I k[x1, x2, . . . , xn] l ideal cỹc Ôi thẳ V(I) hoc bơng
trống hoc gỗm úng mởt im trong kn.

(b) Chựng tọ tỗn tÔi ideal cỹc Ôi I k[x1, x2, . . . , xn]sao cho V(I) = ∅.

hx1−a1, x2 −a2, . . . , xn−ani.

9. Cho a thùc b§t kh£ quy f ∈C[x1, x2, . . . , xn]. Chùng minhV(f)b§t kh£ quy.
10. Cho ideal thüc sü I ⊂C[x1, x2, . . . , xn]. Chùng minh

√

I b¬ng giao cừa tĐt cÊ cĂc

</div>
(51)<div class='page_container' data-page=51>

2.7 PhƠn tẵch a tÔp thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ

quy

Ta bưt Ưu vợi tẵnh chĐt sau:

Mằnh Ã 2.7.1. GiÊ sỷ cõ dÂy giÊm cĂc a tÔp affine

V1 V2 V3 Ã Ã Ã

trong kn. Khi õ tỗn tÔi số tỹ nhiản N sao cho VN =VN+1 =· · · .

Chùng minh. Thªt vêy, tứ giÊ thiát ta cõ dÂy tông cĂc ideal

I(V1)I(V2)I(V3) · · ·

trong k[x1, x2, . . . , xn]. Do k[x1, x2, . . . , xn] l v nh Noether, tỗn tÔi số tỹ nhiản N sao

choI(VN) =I(VN+1) =Ã Ã Ã . Những V(I(V)) =V vợi mồi a tÔp affine. Vêy

VN =VN+1 =VN+2 =Ã Ã Ã .

Kát quÊ trản cho ta kát quÊ cỡ bÊn vÃ cĐu trúc cừa cĂc a tÔp affine.
nh lỵ 2.7.2. GiÊ sỷ V kn l a tÔp affine. Khi õ cõ phƠn tẵch

V =V1 ∪V2∪. . .∪Vm,
trong â Vi, i= 1, . . . , m, l a tÔp affine bĐt khÊ quy.
Vẵ dử 2.7.3. Xt a tÔp affine

V :=V(xzy2, x3yz).

Vẳ cĂc a thựcxzy2 vx3yz bơng khổng trản trửcz nản V(x, y)V. xĂc ành
V −V(x, y),ta x²t ideal th÷ìng

</div>
(52)<div class='page_container' data-page=52>

Ta s³ thĐy rơng ideal hxzy2, x3yzi l radican. Chú ỵ l
hxzy2, x3−yzi: hx, yi= (I:x)∩(I: y),

trong âI :=hxz−y2, x3−yzi.º t½nh I: xta s tẵnhI hxi.Sỷ dửng thự tỹ tứ in

lex vợi z > y > x ta nhên ữủc

I hxi=hx2zxy2, x4−xyz, x3y−xz2, x5−xy3i.

Ta câ thº bä qua x5−xy3 do nâ l tờ hủp cừa cĂc phƯn tỷ thự nhĐt v thù hai trong

cì sð. Do â

I: x = hx

2z−xy2

x ,

x4−xyz

x ,

x3yxz2

x i

= hxzy2, x3yz, x2yz2i

= I+hx2yz2i.

Tữỡng tỹ, tẵnhI: y ta t½nh

I∩ hyi=hxyz−y3, x3y−y2z, x2y2−yz2i.

Ta câ

I: y = hxyz−y

y ,

x3y−y2z

y ,

x2y2−yz2

y i

= hxz−y2, x3−yz, x2y−z2i

= I +hx2y−z2i

= I:x.

Vªy

I: hx, yi=hxz−y2, x3yz, x2yz2i.

a tÔpW :=V(xzy2, x3yz, x2yz2)l ữớng cong bĐt khÊ quy do nâ câ thº tham

sè(t3, t4, t5). Vªy ta cõ phƠn tẵchV thnh hai thnh phƯn bĐt khÊ quy
V =V(x, y)∪W.

ành ngh¾a 2.7.4. Cho V ⊂ kn l a tÔp affine. PhƠn tẵch V thnh cĂc thnh phƯn
bĐt khÊ quy

</div>
(53)<div class='page_container' data-page=53>

nh lỵ 2.7.5. GiÊ sỷ V kn l a tÔp affine. Khi õ tỗn tÔi phƠn tẵch tèi thiºu
V =V1 ∪V2∪. . .∪Vm,

trong âVi, i= 1, . . . , m,l a tÔp affine bĐt khÊ quy v Vi 6Vj vợi mồi i6=j. Hỡn nỳa
phƠn tẵch trản l duy nh§t (sai kh¡c ph²p ¡nh thù tü c¡cVi).

Sû dưng t÷ìng ùng mët-mët giúa c¡c ideal radican v c¡c a tÔp Ôi số, ta cõ
nh lỵ 2.7.6. GiÊ sỷkl trữớng õng Ôi số vI l ideal radican trongk[x1, x2, . . . , xn].
Khi õ I cõ phƠn tẵch tèi thiºu

I =P1 ∩P2. . .∩Pr,
trong â Pi l ideal nguyản tố v Pi 6Pj vợi mồi i6=j.

Ta cụng cõ thº sû dưng c¡c ideal th÷ìng º mỉ t£ c¡c ideal nguyản tố xuĐt hiằn
trong biu diạn tối thiu cừa ideal radican.

nh lỵ 2.7.7. GiÊ sỷ k l trữớng õng ¤i sè v I l ideal radican thüc sü trong
k[x1, x2, . . . , xn] sao cho

I =P1 ∩P2. . .Pr,

vợi Pi l cĂc ideal nguyản tố v Pi 6Pj vợi mồi i6=j. Khi õ Pi l ideal nguyản tố thỹc
sỹ xuĐt hiằn trong têp {I: f | f ∈k[x1, x2, . . . , xn]}.

V½ dư 2.7.8. Gi£ sỷI :=hxzy2, x3yzi.Trữợc hát ta giÊ sỷI l ideal radican (thỹc

sỹ, iÃu ny úng nhữ ữủc ch ra dữợi Ơy). Ta hÂy viátI dÔng cĂc ideal nguyản tố.

Ta biát rơng

V :=V(I) =V(x, y)∪W,

trong â

W :=V(xz−y2, x3−yz, x2y−z2).

Suy ra

I =hx, yi=hxz−y2, x3−yz, x2y−z2i.

Hìn núa, tø ¯ng thùc

</div>
(54)<div class='page_container' data-page=54>

ta nhªn ÷đc

I =hx, yi ∩(I: x).

º biºu di¹n hx, yi nh÷ mởt thữỡng cừa ideal I ta hÂy quan sĂt lĐy V trứ W. Vẳ
V =V(xzy2, x3yz)nản ta cõ th thĐy I: (x2yz2) =hx, yi. Vêy

I = (I: (x2yz2))(I: x).

Ká tiáp ta ch¿ ra c¡c ideal I: (x2y−z2) v I: xl ideal nguy¶n tè. Hiºn nhi¶n

I: (x2y−z2) = hx, yi

l ideal nguy¶n tè. M°t kh¡c, W =V(xz−y2, x3−yz, x2y−z2) l a tÔp bĐt khÊ quy,

nản

I(W) =hxzy2, x3yz, x2yz2i=I: x

l ideal nguyản tố. Vêy phƠn tẵch

I = (I: (x2yz2))(I: x)

l biu diạn cừa ideal I dÔng giao cừa cĂc ideal nguyản tố. Vẳ giao cĂc ideal nguyản tố

l ideal radican, ta suy raI l radican.

Chú ỵ 2.7.9. Lỵ luên ữủc sỷ dửng trong vẵ dử trản khổng Ăp dửng ữủc trong trữớng
hủp tờng quĂt. Lỵ do l chựng minh cừa nh lỵ biu diạn cừa cĂc ideal radican trong
phƯn ny ch chựng tọ tỗn tÔi mởt biu diạn tối thiu m khổng ch ra cĂch tẳm mởt
biu diạn ideal radican thnh cĂc ideal nguyản tố. Mởt số vĐn Ã nÊy sinh:

(i) Tỗn tÔi thuêt toĂn kim tra mởt ideal l nguyản tố?

(ii) Tỗn tÔi thuêt toĂn kim tra mởt a tÔp affine l bĐt khÊ quy?

(iii) Tỗn tÔi thuêt toĂn tẳm phƠn tẵch tối thiu cừa mởt a tÔp affine hay mởt ideal
radican?

</div>
(55)<div class='page_container' data-page=55>

Bi têp

1. Chựng minh giao (tũy ỵ) cõa c¡c ideal nguy¶n tè l mët ideal radican.
2. Cho ideal nguy¶n tè P ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Chùng minh

P:f =






P n¸u f 6∈P,

h1i n¸u f ∈P.

3. Cho idealI :=hxz−y2, x3−yzi.

(a) Chùng minh I: (x2y−z2) =hx, yi.

(b) Chùng minh I: (x2y−z2)l ideal nguy¶n tè.

4. Cho idealJ :=hxz−y2, x3−yz, z2x2yi.

(a) Chựng minh mồi im cừa W :=V(J)cõ dÔng (t3, t4, t5)vỵi t ∈k n o â.

(b) Chùng minh J =I(W).

5. Cho idealI :=hxzy2, z3x5i.

(a) Viát V(I)dÔng hủp cừa cĂc a tÔp bĐt khÊ quy.

(b) Viát I dÔng giao cừa cĂc ideal nguy¶n tè. Suy ra I radican.

6. Cho V, W l cĂc a tÔp affine trong kn vợi V W. Chựng minh mồi thnh phƯn
bĐt khÊ quy cừa V chựa trong mởt thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa W.

7. Cho a thùc f ∈ C[x1, x2, . . . , xn]. Gi£ sû f = f1a1f

2 · · ·fsas l ph¥n tẵch cừa f
thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy. Chựng minh

V(f) = V(f1)V(f2) Ã Ã Ã V(fs)
l phƠn tẵch cừa V(f) thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy v

</div>
(56)<div class='page_container' data-page=56>

2.8 PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa cĂc ideal

nh nghắa 2.8.1. idealI ⊂k[x1, x2, . . . , xn] gåi l nguyản sỡ náu f gI suy ra hoc

f I hoc gm I vợi m nguyản dữỡng no õ.

Vẵ dử 2.8.2. C¡c ideal nguy¶n tè l nguy¶n sì. idealhx, y2i l nguyản sỡ.

Bờ Ã 2.8.3. Náu I l ideal nguyản sỡ thẳ I l ideal nguyản tố v l ideal nguyản tố

nhọ nhĐt chựa I.

Bờ Ã ny dăn án nh nghắa sau:

nh nghắa 2.8.4. Náu I l ideal nguyản sỡ vI =P thẳ ta nõi I l P-nguyản sỡ.

nh lỵ 2.8.5. Måi ideal I trong v nh k[x1, x2, . . . , xn] cõ th viát dÔng giao hỳu hÔn
cĂc ideal nguyản sỡ.

nh nghắa 2.8.6. PhƠn tẵch nguyản sỡ cừa ideal I l biu diạn
I =r

i=1Qi

trong õQi l ideal nguyản sỡ. PhƠn tẵch gồi l tối thiu náu cĂc ideal

Qi l phƠn biằt
v Qi 6 rj6=iQj.

Bờ Ã 2.8.7. Náu I, J l cĂc ideal nguyản sỡ v I =J thẳ IJ l ideal nguyản sỡ.

nh lỵ 2.8.8. (Lasker-Noether) Mồi ideal I trong v nh k[x1, x2, . . . , xn] cõ mởt phƠn
tẵch nguyản sỡ tối thiu.

Chú ỵ 2.8.9. PhƠn tẵch thnh cĂc nguyản sỡ tối thiu l khổng duy nhĐt. Chng hÔn
ideal I :=hx2, xyi k[x, y] cõ hai phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiu

hx2, xyi=hxi hx2, xy, y2i=hxi ∩ hx2, yi.

Tuy c¡c ideal hx2, xy, y2i v hx2, yi l kh¡c nhau nh÷ng chóng câ cịng radican.

Bê · 2.8.10. Gi£ sû I l ideal nguy¶n sì, P :=√I, v f ∈k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ
náu f I thẳ I: f =h1i;

náu f 6I thẳ I: f l P-nguyản sỡ;

</div>
(57)<div class='page_container' data-page=57>

nh lỵ 2.8.11. (Lasker-Noether) GiÊ sỷ I =r

i=1Qi l phƠn tẵch nguyản sì tèi thiºu
cõa ideal thüc sü I ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â Pi :=

√

Qi l c¡c ideal nguyản tố thỹc sỹ
xuĐt hiằn trong têp {I: f | f ∈k[x1, x2, . . . , xn]}.

Nhªn x²t 2.8.12. °c bi»t, c¡c ideal Pi khỉng phư thc ph¥n tẵch nguyản sỡ cừa I.
Ta nõi Pi thuởc I.

Trong phƯn trữợc ta Â chựng minh nh lỵ phƠn rÂ ối vợi cĂc ideal trản trữớng
õng Ôi số. Sỷ dửng cĂc nh lỵ cừa Lasker-Noether ta nhên ữủc kát quÊ sau trản
trữớng tũy ỵ.

Hằ quÊ 2.8.13. GiÊ sỷ I =r

i=1Qi l phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiu cừa ideal radican
thỹc sỹ I ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â Qi l ideal nguy¶n tè v l ideal nguy¶n tè thỹc sỹ
xuĐt hiằn trong têp {I: f | f k[x1, x2, . . . , xn]}.

B i tªp

1. Cho idealI :=hx, y2i ⊂

C[x, y].

(a) Chùng minh hx, yi2

( I ( hx, yi. Suy ra I khỉng l lơy thøa cõa mët ideal

nguy¶n tè.

(b) Chùng minh I l nguy¶n sì.

2. Cho idealI ⊂k[x1, x2, . . . , xn].

(a) Chùng minh I bơng giao hỳu hÔn cĂc ideal bĐt khÊ quy.

(b) GiÊ sû g ∈k[x1, x2, . . . , xn]. Chùng minhI: gk ⊂I: gk+1 vỵi måik ≥1.
(c) Gi£ sû f, g∈I sao cho I:gN =I: gN+1.Chùng minh

(I +hgNi)∩(I+hfi) = I.

3. Ta biát rơng mồi ideal bĐt khÊ quy l nguyản sỡ. Bi têp ny chựng tọ iÃu ngữủc
lÔi khổng úng. Gi£ sû I :=hx2, xy, y2i ⊂k[x, y].

(a) Chùng minh I l nguy¶n sì.

</div>
(58)<div class='page_container' data-page=58>

4. Cho idealI :=hx2, xyi ⊂Q[x, y].

(a) Chùng minh

I =hxi ∩ hx2, xy, y2i=hxi hx2, yi
l cĂc phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiu cõa ideal I.

(b) Chùng minh vỵi måi a∈Q ta câ

I =hxi hx2, yaxi

l phƠn tẵch nguyản sỡ tối thiu cừa ideal I. Suy ra I cõ vổ hÔn cĂch phƠn

tẵch nguyản sỡ tối thiu.

5. Chựng minh ideal I l thüc sü n¸u v ch¿ n¸u radican√I l thüc sü.

6. Gi£ sû ideal I l thüc sü. Chùng minh måi ideal J ⊂I công l ideal thüc sü.

7. Gi£ sû P1, P2, . . . , Pr l c¡c ideal nguy¶n tè chùa trong ideal I.
(a) Chùng minh √I =∩r

i=1Pi.
(b) Chựng minh I = r

i=1Pi khổng nhĐt thiát l phƠn t½ch tèi thiºu cõa ideal

</div>
(59)<div class='page_container' data-page=59></div>
(60)<div class='page_container' data-page=60>

Chữỡng 3

a thực v hm hỳu t trản a tÔp

Chữỡng ny khÊo sĂt cĂc Ănh xÔ giỳa cĂc a tÔp. CĂc tẵnh chĐt Ôi số cừa a thực
v hm hỳu t trản a tÔp cho ta nhỳng tẵnh chĐt hẳnh hồc cừa chẵnh a tÔp õ.

3.1 nh xÔ a thực

nh nghắa 3.1.1. ChoV knv W km l cĂc a tÔp. Ta nõi: V W l Ănh xÔ
a thực (hay Ănh xÔ chẵnh quy) náu tỗn tÔi cĂc a thực f1, f2, . . . , fn ∈k[x1, x2, . . . , xn]
sao cho

φ(a1, a2, . . . , am) = (f1(a1, a2, . . . , am), f1(a1, a2, . . . , am), . . . , fn(a1, a2, . . . , am))
vỵi måi (a1, a2, . . . , am) ∈ V. Trong tr÷íng hđp n y (f1, f2, . . . , fn) gåi l biºu diạn cừa
Ănh xÔ .

Vẵ dử 3.1.2. Xt cĂc a tÔp

V := V(y−x2, z−x3)⊂k3,
W := V(y3−z2)⊂k2.

X²t ph²p chi¸u

</div>
(61)<div class='page_container' data-page=61>

Ta câ

π1(V) ={(x2, x3) | x∈k} ⊂W.

Suy ra π1: V →W l Ănh xÔ a thực.

Mằnh Ã 3.1.3. ChoV km l a tÔp affine. Khi õ

(i) f v g biu diạn cũng mởt hm a thực trản V náu v ch n¸u
f−g ∈I(V).

(ii) (f1, f2, . . . , fn) v (g1, g2, . . . , gn) biºu di¹n cịng mởt Ănh xÔ a thực : V kn
náu v ch náu

figi I(V) vợi mồi i= 1,2. . . , n.

nh nghắa 3.1.4. Kỵ hiằu k[V]l têp tĐt cÊ cĂc h m a thùc φ: V →k.

Gi£ sû φ, ψ∈k[V]. ành nghắa

(+)(p) := (p) +(p),
(Ã)(p) := (p)Ã(p).

Dạ thĐy, k[V] vợi cĂc ph²p to¡n têng v t½ch n y l mët v nh giao hoĂn. Tuy nhiản,
k[V] khổng l miÃn nguyản.

Vẵ dử 3.1.5. GiÊ sû

V =V(x3+xy2−xz, x2y+y3−yz).

Ta câ V khỉng b§t kh£ quy doV :=V(x2+y2−z)∪V(x, y)⊂k3. X²t c¡c a thùc

f :=x2+y2−z g := 2x2−3y4z ∈k[x, y, z]

v gi£ sû φ, ψ l c¡c ph¦n tỷ tữỡng ựng cừa k[V]. Chú ỵ rơng , khổng ỗng nhĐt

bơng khổng trản V : chng hÔn, tÔi (0,0,5)V những (0,0,5) =f(0,0,5) =56= 0.

Tữỡng tỹ, tÔi (1,1,2) V ta câ ψ(1,1,2) =g(1,1,2) =−4 6= 0. Tuy nhi¶n φ·ψ bơng

khổng tÔi mồi im thuởc V. Lỵ do l

f Ãg = (x2+y2−z)(2x2−3y4z)

= 2x(x3+xy2−xz)−3y3z(x2y+y3−yz)

∈ hx3+xy2−xz, x2y+y3−yzi.

</div>
(62)<div class='page_container' data-page=62>

M»nh · 3.1.6. GiÊ sỷ V, W kn l cĂc a tÔp affine. CĂc khng nh sau l tữỡng

ữỡng

(i) V bĐt khÊ quy.

(ii) I(V) l ideal nguy¶n tè.

(iii) k[V] l mët mi·n nguyản.

Bi têp

1. GiÊ sỷ V := V(yx2, zx3) R3 v W := V(vuu2)

R2. Chựng minh

Ănh xÔ (x, y, z) := (xy, z+x2y2)xĂc nh mởt Ănh xÔ tứ V voW.

2. GiÊ sỷV :=V(yx)R2v xt Ănh xÔ:

R2 R3,(x, y)7(x2y, y2, x3y2).

nh cừa V qua l mởt a tÔp affine trongR3.Tẳm hằ cĂc phữỡng trẳnh xĂc nh

Ênh (V).

3. Cho a tÔp affine V :=V(x2−y2z2+z3)⊂

R3.

(a) Gi£ sû φ: V → R,(x, y, z) 7 z, l Ănh xÔ a thực. Vợi mội c R, chựng

minh 1(c)l a tÔp affine xĂc nh bi hằ cĂc phữỡng trẳnh

x2y2z2+z3 = 0,
zc = 0.

(b) Khỷ z giỳa hai phữỡng trẳnh trản xĂc nh phữỡng trẳnh cừa a tÔp
V {z =c}.

hđp c=1,0,1.

(d) Tữỡng tỹ cƠu họi trản ối vợi Ănh xÔ : V R,(x, y, z)7y.

(e) XƠy dỹng mởt Ănh xÔ a thùc ψ: R→V v t¼m £nh ψ(R).

4. Cho a tÔp affine V := V(z2(x2 +y2 1)(4x2y2)) R3 v php chiáu

</div>
(63)<div class='page_container' data-page=63>

(a) Tẳm (a, b)R2 sao cho 1(a, b) cõ nhiÃu phƯn tỷ nhĐt.

(b) Tẳm cĂc têp con RR2 sao cho (a, b)R thẳ 1(a, b) gỗm óng hai, mët,

khỉng iºm.

5. Chựng minh cĂc Ănh xÔ 1(x, y, z) = (2x2 +y2, z2 −y3 + 3xz) v φ2(x, y, z) =

(2y +xz,3y2) biu diạn cũng mởt Ănh xÔ a thực tứ ÷íng cong xon bªc ba

V :=V(y−x2, z−x3)⊂

R3 v oR2.

6. Cho ¡nh xÔ : R2

R5,(u, v)7(u, v, u2, uv, v2).

(a) a tÔp S :=(R2) gồi l mt Veronese. Tẳm cĂc phữỡng trẳnh ân xĂc nh

(b) Chựng minh php chiáu : S → R2,(x

1, x2, x3, x4, x5) 7→ (x1, x2) l Ănh xÔ

ngữủc cừa : R2 S.Suy ra quan hằ giỳa S v

R2.

7. Bi têp ny c trững cĂc a tÔp affine V m I(V) ={0}.

(a) Gi£ sûk l tr÷íng vỉ hÔn vV knl a tÔp affine. Chựng minhI(V) ={0}
náu v ch náu V =kn.

(b) Chựng tọ náuk hỳu hÔn thẳ khổng th xÊy ra I(V) = {0}.

8. Cho a tÔp affine V :=V(xy, xz)⊂R3.

(a) Chùng minh c¡c h m a thùc f = y2+z3 v g = x2 x khổng ỗng nhĐt

bơng khổng trản V những tẵch cừa chúng ỗng nhĐt bơng khổng trản V.

(b) Tẳm V1 =V V(f)v V2 =V V(g).

9. Cho V l a tÔp b§t kh£ quy v c¡c h m f, g ∈ k[V] ÷đc biºu di¹n bði c¡c a

thùc f, g. Gi£ sû , khổng ỗng nhĐt bơng khổng trong k[V] những tẵch cừa

chúng ỗng nhĐt bơng khổng trản V.

(a) Chựng minh V = (V ∩V(f))∪(V ∩V(g)).

(b) Chùng minh V ∩V(f) ho°c V V(g) khổng th bơng V. Suy ra mởt mƠu

</div>
(64)<div class='page_container' data-page=64>

10. Bi têp ny chựng tọ khổng tỗn tÔi Ănh xÔ a thực khĂc hơng tứ V = R vo
W =V(y2x3+x)R2. Do õ cĂc a tÔp ny khổng ¯ng c§u.

(a) Gi£ sû φ: R → W l ¡nh xÔ a thực biu diạn bi (t) = (a(t), b(t)) vợi
a(t), b(t)R[t].TÔi sao cõ ng thực b(t)2 =a(t)(a(t)21)?

(b) Chựng tọ a(t)v a(t)21 nguyản tố cũng nhau trong

R[t].

(d) Chùng minh c2 =a2−1. Suy ra c, av do vªy b l c¡c a thùc hơng.

3.2 Thữỡng cừa cĂc vnh a thực

nh nghắa 3.2.1. GiÊ sû I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l ideal v f, g ∈ k[x1, x2, . . . , xn]. Ta

nõi f v g ỗng dữ modulo I n¸u f −g ∈I;khi â ta vi¸t

f ≡g mod I.

V½ dư 3.2.2. Gi£ sû I := hx2 −y2, x+y3 + 1i ⊂ k[x, y]. Khi â f := x4 y4+x v
g :=x+x5+x4y3+x4 ỗng dữ modulo I vẳ

fg = x4y4x5x4y3x4

= (x2 +y2)(x2y2)x4(x+y3+ 1)I.

Ta cõ tẵnh chĐt sau

Mằnh Ã 3.2.3. GiÊ sû I ⊂k[x1, x2, . . . , xn] l ideal. Khi õ quan hằ ỗng dữ modulo

I l mởt quan hằ tữỡng ữỡng.

Nhữ vêy cõ th nh nghắa lợp t÷ìng ÷ìng

[f] :={g ∈k[x1, x2, . . . , xn]| g ≡f mod I}.

°c bi»t, n¸uI =I(V) l ideal cõa a tÔp V thẳ g f mod I(V) náu v ch¿ n¸u f

</div>
(65)<div class='page_container' data-page=65>

M»nh · 3.2.4. Gi£ sû

Ψ : k[V]k[x1, x2, . . . , xn]/I(V), 7[f],

thiát lêp t÷ìng ùng mët h m a thùc φ: V → k vợi lợp tữỡng ữỡng [f] trong õ f l

mởt biu diạn cừa. Khi õ l mởt-mởt.

nh nghắa 3.2.5. Têp cĂc lợp tữỡng ữỡng

k[x1, x2, . . . , xn]/I :={[f] | f ∈k[x1, x2, . . . , xn]}
gåi l th÷ìng cõa k[x1, x2, . . . , xn] modulo idealI.

V½ dư 3.2.6. Gi£ sû k =R, n = 1 v I :=hx2−1i. Theo thuªt to¡n chia Euclid, måi

a thựcf R[x] cõ th viát

f =q(x22) +r

trong õ r=ax+b vợi a, bR.Suy ra

f r mod I.

Vêy

R[x]/I ={[ax+b] | a, bR}.

Trản k[x1, x2, . . . , xn]/I x²t c¡c ph²p to¡n

[f] + [g] := [f+g],
[f]·[g] := [f·g].

Ta câ

M»nh · 3.2.7. CĂc php toĂn nh nghắa trản l hủp lằ.

Vẵ dử 3.2.8. Xt thữỡng R[x]/hx21i={[ax+b] |a, bR}. Dạ dng kim tra

[ax+b] + [cx+d] = [(a+c)x+ (b+d)],
[ax+b]·[cx+d] = [(ad+bc)x+ (bd+ 2ac)].

</div>
(66)<div class='page_container' data-page=66>

nh lỵ 3.2.10. GiÊ sỷ

:k[x1, x2, . . . , xn]/I(V)→k[V], [f]7→φ,

trong â φ: V →k l h m a thực ữủc biu diạn bi f k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â

Φ([f] + [g]) := Φ([f]) + Φ([g]),
Φ([f]·[g]) := Φ([f])·Φ([g]).

H» qu£ 3.2.11. Ta câ ¯ng c§u v nh

k[x1, x2, . . . , xn]/I(V)'k[V].
V½ dư 3.2.12. Gi£ sû V :={(0,0)} Ta câ I(V) =hx, yi. Do â

k[x, y]/I(V)'k[V].

Hìn núa, câ thº chùng minh

Φ : k[x, y]/I(V)→k, [f]7→f(0,0)

l ng cĐu vnh.

Vẵ dử 3.2.13. GiÊ sỷI :=hx3+y2,3y4i k[x, y].Dạ thĐy V(I) = {(0,0)}.Tuy nhiản

k[x, y]/I khổng ng cĐu vợi k.Thªt vªy, x²t [y]∈k[x, y]/I. Ta câ y6∈I. Do vªy trong

v nhk[x, y]/I ta câ [y]6= 0.Nh÷ng[y]4 = [y4] = 0 vẳy4 I.Do õ tỗn tÔi phƯn tỷ khĂc

khổng trongk[x, y] cõ lụy thứa bêc bốn bơng khổng. iÃu ny khổng th xÊy ra trong

mởt trữớng. Vêy k[x, y]/I khổng phÊi tr÷íng. H» qu£ l k[x, y]/I(V) ' k v k[x, y]/I

khỉng ¯ng c§u.

Gi£ sû I l ideal v V :=V(I). Khi â câ thº x£y ra

k[x1, x2, . . . , xn]/I(V)6'k[x1, x2, . . . , xn]/I.

Thªt vªy, gi£ sû ideal I khổng l radican. Khi õ tỗn tÔi f ∈ √I nh÷ng f 6∈ I. Do â

trong k[x1, x2, . . . , xn]/I câ [f] 6= [0] nh÷ng [f]n = [0] vợi n nguyản dữỡng no õ. Bi
vêy v nhk[x1, x2, . . . , xn]/I câ c¡c ph¦n tỷ lụy linh, trong khi õ khổng tỗn tÔi phƯn tû
lôy linh trong v nh k[x1, x2, . . . , xn]/I(V) do ideal I(V) l radican .

</div>
(67)<div class='page_container' data-page=67>

M»nh · 3.2.14. Gi£ sûI l ideal trongk[x1, x2, . . . , xn].Khi õ tỗn tÔi tữỡng ựng
mởt-mởt giỳa c¡c ideal trong v nh th÷ìngk[x1, x2, . . . , xn]/Ivỵi c¡c ideal trongk[x1, x2, . . . , xn]
chùa I.

V½ dư 3.2.15. Gi£ sûI :=hx3−4x+ 3i ⊂R:=

R[x].Ta câ R l mi·n ideal ch½nh. Tùc

l måi ideal trong R sinh bði mët a thùc. Suy ra c¡c ideal chùa I l c¡c ideal sinh bði

a thùc chia h¸t chox3 −4x+ 3.Vêy thữỡng R/I cõ úng 4 phƯn tỷ

CĂc ideal trong R/I c¡c ideal trong R/I chùaI

{[0]} I

{[x−1]} hx−1i
{[x−3]} hx−3i

R/I R

Ta cơng câ thº x¡c ành R/I b¬ng c¡ch x¡c ành phƯn dữ khi chia a thực f cho
x34x+ 3.

Hằ quÊ 3.2.16. Måi ideal trong v nh th÷ìng k[x1, x2, . . . , xn]/I l hỳu hÔn sinh.

Bi têp

1. Bi têp ny xƠy dỹng mởt trữớng chựaQ.

(a) Chựng minh vợi mồi f Q[x] tỗn tÔi a, bQ sao cho

f =ax+b mod I,

trong â I =hx2−2i ⊂Q[x].

(b) Chùng minh lỵp cõa x trong Q[x]/I thäa m¢n [x]2 = [2].

(d) Tẳm mởt trữớng con cừa F ng cĐu vợiQ.

</div>
(68)<div class='page_container' data-page=68>

(a) Chựng minh vợi mồi f Q[x] tỗn tÔi a, bQ sao cho

f =ax+b mod I,

trong â I =hx2+ 1i ⊂

R[x].

(b) Chùng minh lỵp cõa x trong Q[x]/I thọa mÂn [x]2 = [2].

(d) Tỗn tÔi mởt vnh khĂc ng cĐu vợiR[x]/I?

3. Chựng minh R[x]hx24x+ 3i khổng phÊi miÃn nguyản.

4. Bi têp ny chựng tọ cõ th xƠy dỹng vnh thữỡng R/I khi I l mët ideal cõa

v nh giao ho¡n R.

(a) Gi£ sû I =hpi R =Zvợi pl số nguyản tố. Xt quan h»
m≡n mod p ⇔ m−n chia h¸t cho p.

Chùng minh Ơy l quan hằ tữỡng ữỡng. Liằt kả tĐt cÊ cĂc lợp tữỡng ữỡng.
Kỵ hiằu têp cĂc lợp tữỡng ữỡng l Z/hpi.

(b) X¥y düng c¡c ph²p to¡n cëng v nh¥n trản Z/hpi.

(d) Chựng minh trữớng hỳu hÔnFp ng cĐu vnh vợi Z/hpi.

5. GiÊ sỷR, S l cĂc vnh vợi phƯn tỷ ỡn v l1R,1S.Cho ỗng c§u v nhφ: R →S.
(a) Chùng minh φ(1R) = 1S.

(b) Chùng minh náu r R cõ phƯn tỷ ngữủc r1 R ối vợi php nhƠn thẳ

(r1)l phƯn tỷ ngữủc cừa (r) ối vợi php nhƠn (trong S).

mởt trữớng.

6. Chựng minh Ănh xÔ : k[x, y] k, f 7 f(0,0), c£m sinh mët ¯ng c§u v nh
k[x, y]/hx, yi 'k.

</div>
(69)<div class='page_container' data-page=69>

(a) Chùng minh [x] l ph¦n tû lơy linh trongR/I. Tẳm số nguyản dữỡng n nhọ

nhĐt sao cho [x]n= 0.

(b) Chựng minh mồi phƯn tỷ thuởcR/I cõ biu diạnb+a trong õ a, bk v
kỵ hiằu cho [x].

tữỡng ựng mội x=b+a vợi phƯn tỷf(x)R. Vẵ dử náu b+a = 2 + v
f(x) =x2 th¼ (2 +)2 = 4 + 4+2 = 4+ 4. Chựng minh

f(b+a) = f(b) +aÃf0(b),

trong õ f0 l Ôo hm hẳnh thực cừa a thực f.

(d) GiÊ sỷ= [x]k[x]/hx3i.Thiát lêp cổng thực tữỡng tỹ phƯn (c) chof(b+a).

8. GiÊ sỷ R l vnh giao hoĂn. Chựng minh têp tĐt cÊ c¡c ph¦n tû lơy linh cõa R l

mët ideal trong R.

9. (a) Gi£ sû I ⊂J l c¡c ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]. Chùng minh

J ={f ∈k[x1, x2, . . . , xn] | [f]∈J/I},
trong â J/I :={[J] | j ∈J}.

(b) Gi£ sû J˜l ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]/I.Chùng minh
˜

J ={[f]∈k[x1, x2, . . . , xn]/I | f ∈J},
trong â J :={j | [j]∈J˜}.

10. Gi£ sû R, S l c¡c v nh giao hoĂn v : RS l ỗng cĐu vnh.

(a) Chựng minh náu J S l ideal thẳ1(J) l ideal trong R.

(b) Chựng minh náu l ng cĐu vnh thẳ tỗn tÔi mởt tữỡng ựng mởt-mởt v

lản, bÊo ton quan h» bao h m, giúa c¡c ideal trong R vỵi c¡c ideal trongS.

11. Bi têp ny nghiản cựu cĂc ideal trong v nh th÷ìng.
(a) Cho ideal I = hx2 −xi ⊂ R =

R[x]. X¡c ành c¡c ideal trong v nh th÷ìng

R/I.

</div>
(70)<div class='page_container' data-page=70>

12. Bi têp ny nghiản cựu cĂc ideal trong vnh th÷ìng cõa R[x, y].

(a) Cho ideal I =hx2−xi ⊂R=R[x, y]. X¡c ành c¡c ideal trong v nh th÷ìng
R/I.

(b) óng hay sai: R[x, y]/hx3, yi ng cĐu vnh vợiR[x, y]/hx2, y2i?

13. Cho çng c§u v nh φ: k[x1, x2, . . . , xn]→S.

(a) Chùng minh kerφ := {r ∈ k[x1, x2, . . . , xn] | φ(r) = 0 ∈ S} l ideal trong

k[x1, x2, . . . , xn].

(b) Chùng minh tẵnh hủp lằ cừa Ănh xÔ

v: k[x1, x2, . . . , xn]/kerφ →S, [r]7→φ(r).
(c) Chùng minh v l ỗng cĐu vnh.

(d) GiÊ sỷ l Ănh xÔ lản. Chựng minh v l mởt-mởt v lản.

14. Cho Ănh xÔ φ: k[x1, x2, . . . , xn] → k[V], f 7 (f), trong õ (f) ữủc biu diạn
bi a thực f. XĂc nh ker.

3.3 Vnh tồa ở

PhƯn ny nghiản cựu vnh k[V] cĂc hm a thực trản a tÔp affine V ⊂ kn. Sû

dưng ¯ng c§u

k[V]'k[x1, x2, . . . , xn]/I(V)

ta s ỗng nhĐt k[V] vợi k[x1, x2, . . . , xn]/I(V). Do â vỵi f ∈ k[x1, x2, . . . , xn] kỵ hiằu

[f] cõ nghắa l hm a thực trong k[V] biu diạn bi f.

°c bi»t, méi bi¸n xi x¡c ành mët h m [xi] : V →k,(p1, p2, . . . , pn)7→pi. Ta gồi

[xi]l hm tồa ở thựi trảnV.Khi õ ng cĐuk[V]'k[x1, x2, . . . , xn]/I(V)ch¿ ra c¡c
h m tåa ë sinh ra k[V]: måi h m a thùc tr¶n V l tê hủp tuyán tẵnh (vợi cĂc hằ số

trongk) cừa cĂc tẵch cừa [xi]. iÃu ny dăn án nh nghắa sau

</div>
(71)<div class='page_container' data-page=71>

NhiÃu kát quÊ cừa phƯn trữợc cõ th phĂt biu lÔi theo thuêt ngỳ cừa vnh tồa
ở. Vẵ dử:

ã a tÔp affine V bĐt khÊ quy náu v ch náu k[V] l miÃn nguyản.

ã GiÊ sỷ k =C. Khi õ a tÔp V Cn cõ hỳu hÔn phƯn tỷ náu v ch náu

C[V] l

khổng gian vector hỳu hÔn chiÃu trản C.

nh nghắa 3.3.2. Cho a tÔp affineV kn.

(i) Vợi méi ideal J :=hφ1, φ2, . . . , φsi k[V], kỵ hiằu

VV(J) :={(a1, a2, . . . , an)V | φ(a1, a2, . . . , an) = 0 vợi mồiJ}
v gồi l a tÔp con cừa V.

(ii) Vợi mội têp con W V kỵ hiằu

IV(W) :={ k[V] | φ(a1, a2, . . . , an) = 0 vỵi måi(a1, a2, . . . , an)∈W}.
V½ dư 3.3.3. Gi£ sỷ V :=V(zx2y2)R3. NáuJ :=h[x]i

R[V] thẳ

W =VV(J) ={(0, y, y2) | yR} V

l a tÔp con cừaV.Chú ỵ rơng kát quÊ ny cụng úng cho a tÔpV(zx2y2, x)R3.

Tữỡng tỹ, náu W ={(1,1,2)} V thẳ

IV(W) = h[x1],[y1]i.

Khng nh sau thiát lêp quan hằ giỳa cĂc a tÔp con cừa a tÔp affine V v cĂc

ideal trongk[V].

Mằnh Ã 3.3.4. GiÊ sỷ V l a tÔp affine trong kn. Khi õ

(i) Vợi méi ideal J ⊂k[V], tªp W :=VV(J)⊂V l mët a tÔp affine trong kn.
(ii) Vợi mội têp con W V, IV(W) l mët ideal cõa k[V].

</div>
(72)<div class='page_container' data-page=72>

(iv) N¸u W l mởt a tÔp con cừa V thẳ W =VV(IV(W)).

Ta cơng câ c¡c ideal radican trong k[V] t÷ìng ùng vỵi c¡c ideal radican trong
k[x1, x2, . . . , xn] chùaI(V). Cö thº

M»nh · 3.3.5. Gi£ sû J l ideal trong k[V] v
˜

J :={f ∈[x1, x2, . . . , xn] | [f]∈J} ⊂k[x1, x2, . . . , xn].
Khi â J l radican n¸u v ch¿ n¸u J˜l radican.

nh lỵ 3.3.6. GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v V l a tÔp affine trong kn. Khi õ
(i) Náu J l ideal trong k[V] thẳ

IV(VV(J)) =

J ={[f]k[V] | [f]m J}.

(ii) CĂc tữỡng ựng

(

cĂc a tÔp con affine

W ⊂V

) IV

−→
VV

←−

(

c¡c ideal radican

J ⊂k[V]

)

l song ¡nh bao h m £o ng÷đc v l ng÷đc cõa nhau.

(iii) Hìn núa, qua t÷ìng ựng IV, cĂc im cừa V tữỡng ựng vợi cĂc ideal cỹc Ôi trong

k[V]

nh nghắa 3.3.7. GiÊ sỷ V km v W kn l cĂc a tÔp Ôi số. Ta nõi V v W
l ng cĐu Ôi số náu tỗn tÔi cĂc Ănh xÔ a thực : V → W v β: W → V sao cho
α◦β = idW v = idV.

Vẵ dử 3.3.8. a tÔpW kn ng cĐu vợikm náu tỗn tÔi Ănh xÔ a thực mởt-mởt lản

: km W vợi Ănh xÔ ngữủc cụng l a thùc. Khi â ta câ mët tham sè hâa a thùc
cõa W.

V½ dư 3.3.9. TrongR3 kh£o s¡t hai m°t

Q1 := V(x2xyy2 +z2) = V(f1),

</div>
(73)<div class='page_container' data-page=73>

Ta hÂy nghiản cựu ữớng congC :=V(f1, f2). Nhên xt rơng

C =V(f1, f1+cf2) cR, c6= 0.

Vẳ vêy mtFc :=V(f1 +cf2)cụng chựa C.Ta hÂy chồn c sao cho mt Fc cõ dÔng ỡn
giÊn. Chng hÔn, lĐyc=1ta ữủc

F1 =V(f1f2) =V(zxy).

Ta cõ F1 ng cĐu vợiR2.Thêt vêy, xt cĂc Ănh xÔ a thực

: R2 Q, (x, y)7→(x, y, xy),

π: Q→R2, (x, y, z)7→(x, y).

Ta câ α◦π = idQ v π◦α= idR2.

Do â ÷íng cong C ⊂Q câ thº ÷a v· c¡c ÷íng cong trong m°t ph¯ngR2 nh÷

sau. nh cõaC qua ph²p chi¸u π x¡c ành bði

π(C) =V(x2y2 +x2xyy2).

VẳC v (C) ng cĐu, nản cĂc tẵnh chĐt cừa C ữủc bÊo ton qua php chiáu . c

biằt, mội iºm (a, b) ∈π(C) t÷ìng ùng óng mët iºm (a, b, ab)∈C. M°t kh¡c, ÷íng

cong π(C) câ tham sè hâa

x := −t

2+t+ 1

t2+ 1

y := −t

2+t+ 1

t(t+ 2) .

Tø â, sỷ dửng Ănh xÔ , dạ dng suy ra tham số cừa ữớng congC.

Vẵ dử trản dăn án cƠu họi: khi no hai a tÔp l ng cĐu? Phữỡng phĂp Ơy
l sỷ dửng cĂc ng cĐu

k[V]'k[x1, x2, . . . , xn]/I(V) v k[W]'k[x1, x2, . . . , xn]/I(W).

Thêt vêy, ta thĐy rơng náu cõ Ănh xÔ a thực : V W thẳ vợi mồi hm a thùc
φ: W →k ta câ h m a thùc φ◦α: V k. Nhữ vêy ta ữủc Ănh xÔ tứ k[W] vo k[V]

</div>
(74)<div class='page_container' data-page=74>

M»nh · 3.3.10. Gi£ sû V v W l cĂc a tÔp.

(i) GiÊ sỷ : V W l Ănh xÔ a thực. Khi õ vợi mồi h m a thùc φ: W →k ta

câ φ◦α:V →k công l mởt hm a thực. Hỡn nỳa, Ănh xÔ
: k[W]k[V], 7,

l mởt ỗng cĐu vnh v l ỗng nhĐt trản cĂc hm hơng.

(ii) Ngữủc lÔi, giÊ sỷ f: k[W] k[V] l mởt ỗng cĐu vnh v l ỗng nhĐt trản cĂc

Ănh xÔ hơng. Khi õ tỗn tÔi duy nhĐt Ănh xÔ : V W sao cho f =.

nh lỵ 3.3.11. Hai a tÔp affineV v W l ng cĐu náu v ch náu tỗn tÔi ng cĐu
f: k[V]k[W] m l ỗng nhĐt trản cĂc Ănh xÔ hơng.

Vẵ dử 3.3.12. Xt Ănh xÔ tuyán tẵnh LA: kn kn, x 7 Ax, trong õ A l ma trên
vuổng cĐpn khÊ nghch vợi cĂc phƯn tỷ thuởc k.Khi õ Ănh xÔ

LA: k[x1, x2, . . . , xn]→k[x1, x2, . . . , xn]

l ¯ng c§u v nh. Suy ra LA l ¯ng cĐu v bi vêy V ' LA(V) vợi mồi a tÔp con

V kn.

Vẵ dử 3.3.13. GiÊ sỷ f k[x, y] v xt ỗ th cừaf :
V :=V(zf(x, y))k3.

Ta cõ V 'k2.Thêt vêy, php chiáu

:V k2, (x, y, z)7(x, y),

l Ănh xÔ ngữủc cừa php tham số hõa cừa ỗ th cõaf :
α: k2 →V, (x, y)7→(x, y, f(x, y)).

¯ng c§u giỳa cĂc vnh tồa ở tữỡng ựng Ănh xÔxĂc nh bơng cĂch thayz =f(x, y)

</div>
(75)<div class='page_container' data-page=75>

Vẵ dử 3.3.14. GiÊ sỷ V :=V(y5x2)

R2. nh xÔ a thực f: V R,(x, y)7x l

mởt-mởt, những V khổng ng cĐu vợi R. Thêt vêy, giÊ sỷ ngữủc lÔi tỗn tÔi ng cĐu
: RV. Khi õ Ănh xÔ: R[V]R[u] l mởt ng cĐu v nh, trong â

α∗([x]) = c(u), α∗([y]) =d(u),

vỵi c(u), d(u)∈ R[u]. Vẳ y5 x2 biu diạn hm bơng khổng trản V nản (y5x2) =

(d(u))5(c(u))2 = 0 trong

R[u].

Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt, bơng cĂch sưp xáp sao cho (0) = (0,0) ∈ V, câ

thº gi£ sû c(0) =d(0) = 0. Ta câ thº vi¸t

c(u) = c1u+c2u2+· · · ,

d(u) = d1u+d2u2+· Ã Ã ,

trong õ ci, dj R. Chú ỵ (d(u))5 khổng chựa lụy thứa cừa u bêc thĐp hỡn u5. Tø h»

thùc(d(u))5−(c(u))2 = 0 suy ra (c(u))2 cơng khỉng chựa lụy thứa cừau bêc thĐp hỡn
u5.Tuy nhiản

(c(u))2 =c21u2 + 2c1c2u3+ (c22+ 2c1c3)u4+· · ·

Vªy c1 = c2 = 0 v do â lơy thøa nhä nh§t xu§t hi»n trong (c(u))2 l u2. Tø â câ

d1 = 0.

Suy ra u khổng thuởc Ênh cừa vẳ Ênh cừa gỗm cĂc a thực c(u) v d(u).

iÃu ny mƠu thuăn do l mởt ng cĐu vnh tứ R[V] lản R[u].

Bi têp

1. GiÊ sỷ C l ữớng cong xoưn bêc ba trong k3.

(a) Chựng minh C l a tÔp con cừa mt S =V(xz−y2).

(b) T¼m ideal J ⊂k[S] sao cho C=VS(J).
2. Gi£ sỷ V Cn l a tÔp affine khĂc trống.

(a) GiÊ sû φ ∈C[V]. Chùng minhVV(φ) =∅ n¸u v ch¿ n¸u φ kh£ nghàch trong

</div>
(76)<div class='page_container' data-page=76>

(b) Kh¯ng ành tr¶n cán óng khỉng n¸u thay C bði R?

3. ChoV =V(y−xn, zxm)vợi n, ml cĂc số nguyản dữỡng. Chựng minh V ng
cĐu vợi k.(HÂy xƠy dỹng tữớng minh cĂc Ănh xÔ a thùcα:k →V v β:V →k

sao cho α◦β = 1V v β◦α= 1k).

4. Chùng minh måi m°t trong k3 x¡c nh bi phữỡng trẳnh xf(y, z) = 0 hoc

yg(x, z) = 0 Ãu ng cĐu (nhữ mởt a tÔp) vợi k2.

5. Cho a tÔp affine V =V(xnf(x1, x2, . . . , xn1))kn. Chựng minh V ng cĐu

(nhữ mởt a tÔp) vợi kn1.

6. Chựng minh mồi heperbol trong R2 cõ cĂc ữớng tiằm cên ngang v ựng v i

qua cĂc im (0,0)v (1,1)ữủc xĂc nh bi phữỡng trẳnh dÔng
xy+tx(t+ 1)y= 0

vỵi t∈R n o â.

7. Gi£ sûα: V →W l mët ng cĐu a thực giỳa cĂc a tÔp affineV vW. Gi£ sû
U = VV(I) vỵi ideal I n o â trong vnh k[V]. Chựng minh (U) l a tÔp con
cừa W. T¼m idealJ ⊂k[W] sao cho α(U) =VW(J).

8. Gi£ sûf: k[V]→k[W]l ¯ng c§u v nh giúa c¡c v nh tåa ë sao cho hÔn chá cừa
f trản k l Ănh xÔ ỗng nhĐt. GiÊ sỷ rơng V km vợi cĂc tồa ở x

1, x2, . . . , xm.
Chùng minh n¸uF ∈k[x1, x2, . . . , xm]th¼ f([F]) =F(f([x1]), f([x2]), . . . , f([xm]).
9. Cho a tÔp affine V =V(zx2y2)

R3.

(a) Chựng minh a tÔp conW ={(1,1,2)} V chẵnh l a tÔpV([x1],[y1]).

Tứ â suy ra h[x−1],[y−1]i ⊂IV(W).
(b) Chùng minh h[x−1],[y−1]i=IV(W).

10. Cho a tÔp affine V =V(y23x2z+ 2)R3 v Ănh xÔ tuyán tẵnh L

A: R3 R3
nh nghắa bi ma trên

2 0 1
1 1 0
0 1 1



</div>
(77)<div class='page_container' data-page=77>

(a) Chùng minh LA l ng cĐu tuyán tẵnh.
(b) Tẳm phữỡng trẳnh xĂc nh Ênh LA(V).

11. Cho ữớng cong xoưn bêc ba V =V(yx2, zx3)

R3.

(a) Tẳm ma trên biu diạn php quay ngữủc chiÃu kim ỗng hỗ quanh trửcz mởt

gõc /6.

(b) Tẳm phữỡng trẳnh xĂc nh Ênh cừaV qua php quay trản.

12. Bi têp ny chựng tọV =V(y5x2)

R2 khổng ng cĐu (giỳa cĂc a tÔp affine)

vợi R.Chựng minh ny sỷ dửng cĐu trúc Ôi số cừaR[V].Chúng ta s chựng minh
R[V] khổng ng cĐu vnh vợi R[t]-vnh tồa ở cừa R.

(a) GiÊi thẵch tÔi sao mội phƯn tỷ cừaR[V]ữủc biu diạn duy nhĐt bi a thực

cõ dÔng a(y) +b(y)x,trong õ a, b,R[y].

(b) Biu diạn tẵch(a+bx)(a0 +b0x) trongR[V] cõ dÔng nhữ trong phƯn (a).

(c) GiÊ sỷ tỗn tÔi ng cĐu vnh: R[t]R[V].Vẳ l lản, tỗn tÔi cĂc a thùc
f, g ∈ R[t] sao cho x =α(f(t)) v y = (g(t)). Sỷ dửng phƠn tẵch duy nhĐt

cừa f, g v phƯn (b) suy ra mƠu thuăn.

13. GiÊ sỷ V R3 l mt tiáp xúc cừa ữớng cong xoưn bªc baC =V(y−x2, z−x3).

(a) Chùng minh tham sè hâa thỉng thữớng trản V thiát lêp tữỡng ựng mởt-mởt

giỳa cĂc im thc V vỵi c¡c iºm thc R2.

(b) Chùng minh c¡c im thuởcC l cĂc im ký d cừa a tÔp V.

(c) Gi£ sûα: R2 →V l tham sè hâa a thực cừaV.Chựng minh náu(a, b)C

thẳ ma trên Ôo hm cừa tÔi (a, b) cõ hÔng <2.

(d) GiÊ sỷ: V R2 l Ănh xÔ ngữủc cừa. Sỷ dửng Ôo hm h m hđp, chùng

tä (c) sai n¸u ta x²t iºm (a, b) vợi (a, b)C.

3.4 Hm hỳu t trản a tÔp

Kỵ hi»u

k(x1, x2, . . . , xn) :=

f(x1, x2, . . . , xn)

g(x1, x2, . . . , xn)

| f, g∈k[x1, x2, . . . , xn], g6= 0

</div>
(78)<div class='page_container' data-page=78>

l tr÷íng c¡c h m húu t¿.

Gi£ sû R l miÃn nguyản. Khi õ cõ th nh nghắa trữớng thữỡng hay trữớng cĂc

phƠn thựcQF(R)cừaR nhữ sau: cĂc phƯn tỷ cừaQF(R)cõ dÔngr/strong õr, sR

v s6= 0. TrảnQF(R) xt cĂc php to¡n cëng v nh¥n:

r/s+t/u= (ru+ts)/(su) v r/s·t/u=rt/(su).

Hai ph¥n thùc r/s v t/u biu diạn cũng mởt phƯn tỷ trong QF(R) náu rs0 = r0s. Dạ

dng chựng minhQF(R)l mởt trữớng. Hỡn nỳa,QF(R)chựa têp con {r/1|r R} '

Náu V l a tÔp bĐt khÊ quy thẳ k[V] l miÃn nguyản. Do õ cõ trữớng thữỡng
QF(k[V]).Bi vêy cõ nh nghắa:

nh nghắa 3.4.1. GiÊ sỷ V kn l a tÔp bĐt khÊ quy. Ta gồi QF(k[V]) l trữớng
hm trản V v kỵ hiằu l k(V).

Bði ành ngh¾a ta câ

k(V) = {φ/ψ |φ, ψ ∈k[V], ψ 6= 0}

= {[f]/[g] | f, g ∈k[x1, x2, . . . , xn], g 6I(V)}.

Chú ỵ rơng phƯn tỷ /k(V) xĂc nh mởt hm ch trản phƯn bũ cừa VV(ψ).
V½ dư 3.4.2. Gi£ sû V =kn.Khi â k[V] =k[x1, x2, . . . , xn] v do â

k[V] =k(x1, x2, . . . , xn).

V½ dư 3.4.3. X²t a tÔp affine V = V(y5 x2) R2. Ta cõ V bĐt khÊ quy. Do õ

R[V] l miÃn nguyản. Bơng cĂch biu diạn cĂc phƯn tỷ cừa R[V] qua phƯn dữ modulo

G={y5x2} ta ữủc

R[V] ={a(y) +xb(y) |a, bR[y]}.

TrảnR[V] cõ php nhƠn

</div>
(79)<div class='page_container' data-page=79>

Ká tiáp ta mổ tÊ trữớng hm R(V). Náuc+xdR[V] thẳ ta cõ th viát

a+xb
c+xd =

a+xb
c+xd Ã

cxd
cxd
= (acy

5d) +x(bc−ac)

c2−y5d2

= ac−y

5d

c2−y5d2 +x

bc−ac
c2−y5d2.

â l mët ph¦n tû cõa R(y) +xR(y).

M°t khĂc, dạ thĐy rơng mội phƯn tỷ cừa R(y) +xR(y) cụng xĂc nh mởt phƯn

tỷ cừaR(V). Vêy cõ th ỗng nhĐt

R(V)R(y) +xR(y).

Ká tiáp xt cĂc Ănh xÔ

: V R, (x, y)7x/y2,
: RV, u7(u5, u2).

Ta cõ xĂc nh tÔi mồi iºm thuëc V \ {(0,0)}, trong khi β l tham số hõa a thực

cừa V. Xt cĂc Ănh xÔ cÊm sinh

α∗: R(u)→R(V), f(u)7→f(x/y2),

β∗: R(V)→R(u), a(y) +xb(y)7→a(u2) +u5b(u2).

Ta chùng minh α∗ v l cĂc ng cĐu vnh. Thêt vêy, cõ thº ch¿ ra α∗ v β∗ b£o

to n c¡c ph²p to¡n têng v t½ch. º chùng minhα∗ v β∗ kh£ nghàch, ta nhên xt rơng
(f) = f(x/y2) vợi mồi f(u) R(u). Suy ra β∗(α∗(f)) =f(u5/(u2)2) = f(u). Do â
β∗◦α∗ l Ănh xÔ ỗng nhĐt trảnR(u).

Tữỡng tỹ, trong trữớng R(V)ta cõx2 =y5 nảnx2/y4 =y vx5/y10 =xy10/y10 =

x.Vêy l Ănh xÔ ỗng nhĐt trảnR(V).

Tõm lÔi, v l cĂc ng cĐu vnh giỳa cĂc trữớng hm R(V) vR[u].

</div>
(80)<div class='page_container' data-page=80>

V½ dư 3.4.5. Trong khỉng gianR3 x²t m°t hyperboloid mët tớQ:=V(x2+y2z2+ 1)

v mt phngW :=V(x+ 1).LĐyp= (1,0,0)Q.Vợi mội qV, q6=p,kỵ hiằu Lq l
ữớng thng nốip vợi q v nh nghắa Ănh xÔ

: V \ {p} Ã Ã Ã R3, q 7(q)

nhữ sau: náu ữớng thngLq cưt mt phng W thẳ t(q) :=LqW;ngữủc lÔi (q)
khổng xĂc nh.

tẳm phữỡng trẳnh xĂc nhxtq:= (x0, y0, z0)Q.Khi õLq cho bi phữỡng
trẳnh

x = 1 +t(x0−1),

y = ty0,

z = tz0.

Tø ành ngh¾a φ(q) = Lq∩W ta câ 1 +t(x0−1). N¶n t= x−0−21. H» qu£ l

φ(q) =

1, 2y0
x01

, 2z0
x01

Vêy xĂc nh tÔi mồi im trảnQngoÔi trứ c¡c iºm thc hai ÷íng th¯ng sau
Q∩V(x−1) ={(1, t, t) | t∈R} ∪ {(1, t,−t) |t ∈R}.

Ta s³ gåiφ: Q\VQ(x−1)→W l Ănh xÔ hỳu t trản Q.

i theo hữợng khĂc, náu (1, a, b) W thẳ ữớng thng L qua p = (1,0,0) v
(−1, a, b)câ tham sè hâa

x = 1−2t,

y = ta,

z = tb.

Bði vªy

L∩Q=

(1,0,0),

a2−b2−4

a2−b2+ 4,

4a
a2−b2+ 4,

4b
a2−b2+ 4

°tH :=VW(a2b2+ 4). Ta cõ Ănh xÔ hỳu t

</div>
(81)<div class='page_container' data-page=81>

cho bði cæng thùc

ψ(−1, a, b) :=

a2−b2 −4

a2−b2+ 4,

4a
a2−b2+ 4,

4b
a2−b2+ 4

Theo c¡ch x¥y düng ta câ ngay φ◦ψ l ¡nh xÔ ỗng nhĐt trản W \H W v
l Ănh xÔ ỗng nhĐt trản Q\VQ(x1). Hỡn nỳa dạ dng chựng tọ v

l cĂc Ănh xÔ ỗng nhĐt trản cĂc trữớng hm. (Chú ỵ rơng hai a tÔp Q v W

khổng ng cĐu.)

nh nghắa 3.4.6. GiÊ sỷ V km v W kn l cĂc a tÔp affine. nh xÔ
: V W, (x1, x2, . . . , xm)7

f1(x1, x2, . . . , xm)

g1(x1, x2, . . . , xm)

, . . . ,fn(x1, x2, . . . , xm)
gn(x1, x2, . . . , xm

vỵi fi, gi ∈k(x1, x2, . . . , xm),gåi l húu t¿ náu nõ thọa mÂn

(i) xĂc nh tÔi ẵt nhĐt mởt im thuởc V.

(ii) Náu xĂc nh tÔi im (a1, a2, . . . , am)∈V th¼ φ(a1, a2, . . . , am)W.

Chú ỵ 3.4.7. nh xÔ hỳu t tứV vo W cõ th khổng xĂc nh tÔi mồi im thuởc
V. Bi vêy kỵ hiằu sau thữớng ữủc sû dưng

φ: V − − →W.

Do i·u ki»n (i), tªp cĂc im tÔi õ Ănh xÔkhổng xĂc nh úng bơngVV(g1, g2, . . . , gn).
ành ngh¾a 3.4.8. Gi£ sû cĂc Ănh xÔ hỳu t , : V →W cho bði

φ:=

, . . . ,fn
gn

v ψ :=

, . . . ,hn
kn

Ta nâi φ=ψ n¸u

fiki−higi ∈I(V), i= 1,2, . . . , n.

Ta cõ tiảu chuân hẳnh hồc sau

Mằnh Ã 3.4.9. GiÊ sỷ cĂc Ănh xÔ hỳu t , ψ: V − − →W. Khi â φ =ψ n¸u v ch

náu tỗn tÔi a tÔp con thỹc sỹV0 V sao cho φ, ψ x¡c ành tr¶n V \V0 v φ(p) = ψ(p)

</div>
(82)<div class='page_container' data-page=82>

ành ngh¾a 3.4.10. Cho c¡c Ănh xÔ hỳu t : V W v : Z. Ta nõi

Ănh xÔ hủp ữủc xĂc nh náu tỗn tÔi p V sao cho ữủc xĂc nh tÔi p v

ữủc xĂc nh tÔi(p).

Mằnh Ã 3.4.11. GiÊ sỷ : V →W v ψ: W − − →Z l c¡c ¡nh xÔ hỳu t sao

cho Ănh xÔ hủp ữủc xĂc nh. Khi õ tỗn tÔi a tÔp con thỹc sỹ V0 ⊂V sao cho

(i) φ x¡c ành tr¶n V \V0 v ψ x¡c ành tr¶n φ(V \V0).

(ii) ψ ◦φ: V − Z l Ănh xÔ hỳu t ữủc xĂc nh trản V \V0.

Vẵ dử sau chựng tọ cõ th khổng ữủc xĂc nh.

Vẵ dử 3.4.12. Xt cĂc Ănh xÔ húu t¿

φ: R− − →R3, t 7→(t,1/t, t2)

ψ: R3− − R, (x, y, z)7 x+yz

xyz.

Dạ thĐy khổng ữủc xĂc nh.

nh nghắa 3.4.13. (i) Hai a tÔp bĐt khÊ quy V ⊂ km v W ⊂ kn gåi l t÷ìng
÷ìng song hỳu t náu tỗn tÔi cĂc Ănh xÔ hỳu t¿ φ: V − − →W v ψ: W− − →V

sao cho cĂc Ănh xÔ v ữủc xĂc nh v = idW, = idV.
(ii) a tÔpV gồi l hỳu t náu tỗn tÔi số nguyản dữỡngn sao cho V tữỡng ữỡng song

hỳu t vợi kn.

nh lỵ 3.4.14. Hai a tÔp bĐt khÊ quy V v W tữỡng ữỡng song hỳu t náu v ch

náu tỗn tÔi mởt ng cĐu

:k(V)k(W)

sao cho hÔn chá cừa trản k k(V) l Ănh xÔ ỗng nhĐt.

Bi têp

</div>
(83)<div class='page_container' data-page=83>

(a) Chựng minh tẵnh hủp lằ cừa php toĂn cởng trản QF(R). Tực l náu r/s =
r0/s0 v t/u=t0/u0 thẳ

(ru+ts)/su= (r0u0+t0s0)/s0u0.

(b) Chựng minh tẵnh hủp lằ cừa php toĂn nhƠn trảnQF(R).

2. Cho a tÔp affine V =V(y5x2)R2.

(a) Chùng minh y5−x2 b§t kh£ quy trong

R[x, y].

(b) Chùng minh I(V) =hy5−x2i.

3. Chùng minh a tÔp affineV(y2x3)l a tÔp hỳu t. (Tực tữỡng ữỡng song hỳu

t vợi k).

4. Xt ữớng cong Vc =V(y2cx2+x3), c k. Chựng minhVc l a tÔp hỳu t v
tẳm cĂc a tÔp con Vc0 Vc v W k sao cho Ănh xÔ hỳu t ữủc thiát lêp trản

xĂc nh t÷ìng ùng mët-mët giúa Vc \Vc0 v k\W.

5. Sû dưng php chiáu nời, chựng minh V(x2+y2+z21)R3 tữỡng ữỡng song

hỳu t vợi mt phng V(z).

6. Tỗn tÔi Ănh xÔ hỳu t khĂc hơng tứ R lản V = V(y2 x3+x)? V tữỡng ữỡng

song hỳu t vợi R?

7. GiÊ sỷ V l a tÔp bĐt khÊ quy v f k(V). Náu viát f = / vợi , k[V]

thẳ f xĂc nh trản V \VV().Ta s thĐy rơngf xĂc nh trản têp lợn hỡn thổng
qua vẵ dử V =V(xzyw)C4.

(a) Chựng minh xz−yw b§t kh£ quy trong C[x, y, z, w].

(b) Chựng minh hxzywil ideal nguyản tố.
(c) Suy ra V bĐt kh£ quy v I(V) = hxz−ywi.

(d) Gi£ sû f = [x]/[y]∈C(V). Khi âf x¡c ành tr¶n V \VV([y]). Chùng minh

VV([y]) l hñp cõa hai m°t ph¯ng

</div>
(84)<div class='page_container' data-page=84>

(e) Chùng minhf = [w]/[z].Suy raf xĂc nh tÔi mồi im ngoÔi trứ mt phng

{(x,0,0, w) | x, wC}.

Chú ỵ rơng ta câ hai biºu di¹n kh¡c nhau cõa h m húu t¿ f. iÃu ny giÊi thẵch

tÔi sao nản xt cĂc hm hỳu t!

8. Cho cĂc Ănh xÔ hỳu t: R →R3 v ψ:

R3− − →R, trong â

φ(t) = (t,1/t, t2) v ψ(x, y, z) = x+yz
x−yz.

Chùng minh hđp ψ◦φ khỉng ÷ñc x¡c ành.

9. Gi£ sû V v W l c¡c a tÔp bĐt khÊ quy v : k(V) k(W) l ng cĐu giỳa

cĂc trữớng hm sao cho hÔn chá cừa trản k l Ănh xÔ ỗng nhĐt. Chựng minh

tỗn tÔi cĂc Ănh xÔ hỳu t khÊ nghch : V − − →W v ψ: W − − →V.

10. GiÊ sỷ : V W l Ănh xÔ hỳu t xĂc nh trảnV \V0.GiÊ sỷW0 l a tÔp

con cõa W. Chùng minh

V00 =V0∪ {p∈V \V0 | φ(p)∈W0}

l a tÔp con cừa V.

11. GiÊ sỷ V tữỡng ữỡng song hỳu t vợiW thổng qua cĂc Ănh xÔ hỳu t kh£ nghàch
φ: V − − → W v ψ: W V. Bi têp ny chựng tọ tỗn tÔi cĂc a tÔp con
V1 V v W1 W sao cho φ v ψ c£m sinh c¡c song Ănh giỳa cĂc a tÔp con

V \V1 v W \W1.

(a) Gi£ sû V0 ⊂V v W0 ⊂W l c¡c a tÔp con thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt sau
xĂc nh tr¶n V \V0,

ψ x¡c ành tr¶n φ(V \V0),
ψ◦φ x¡c ành tr¶n V \V0.

</div>
(85)<div class='page_container' data-page=85>

°t

V = {p∈V \V0 | φ(p)∈W \W0},

W = {q∈W \W0 | ψ(q)∈V \V0}.

Chùng minhφ:V → W v ψ: W → V l c¡c song ¡nh v l ngữủc cừa nhau.
(b) Chựng minh tỗn tÔi cĂc a tÔp con thỹc sỹ V1 v W1 cừa V v W sao cho

V = V \V1,

</div>
(86)<div class='page_container' data-page=86>

Chữỡng 4

Hẳnh hồc Ôi số xÔ Ênh

Chữỡng ny xt khổng gian xÔ £nhPn(k): â l khỉng gian affinekn vỵi c¡c iºm

ð vỉ cũng. Chúng ta s nghiản cựu cĂc a tÔp xÔ Ênh trongPn(k).Mối liản hằ giỳa cĂc

a tÔp xÔ Ênh v cĂc ideal thuƯn nhĐt cụng ữủc thiát lêp.

4.1 Khổng gian xÔ Ênh

Trản kn+1\ {0}nh nghắa quan hằ

(x00, x01, . . . , x0n)(x0, x1, . . . , xn)

náu tỗn tÔik, 6= 0, sao cho (x00, x01, . . . , x0n) = λ(x0, x1, . . . , xn). Dạ thĐy l quan
hằ tữỡng ữỡng.

nh nghắa 4.1.1. Têp cĂc lợp tữỡng ữỡng trản kn+1\ {0} gồi l khổng gian xÔ Ênh
trản trữớng k v kỵ hiằu l Pn(k). Mội bë (x

0, x1, . . . , xn) ∈ kn+1 \ {0} x¡c ành mët
iºmp∈Pn(k)v ta nâi(x

0, x1, . . . , xn)l cĂc tồa ở thuƯn nhĐt cừa p.Ta cơng s³ vi¸t

p= (x0, x1, . . . , xn)º kỵ hiằu cĂc tồa ở thuƯn nhĐt cừa pPn(k).

Ta cõ th coi Pn(k) l têp tĐt cÊ cĂc ữớng thng i qua gèc tåa ë trong kn+1.

</div>
(87)<div class='page_container' data-page=87>

M»nh Ã 4.1.2. Kỵ hiằu

U0 ={(x0, x1, . . . , xn)Pn(k) | x0 6= 0}.

Khi õ Ănh xÔ

: knPn(k), (a

1, a2, . . . , an)7→(1, a1, a2, . . . , an),

l mët-mët v câ £nh l tªp U0 ⊂Pn(k).

Tø ành ngh¾a ta câ Pn(k) =U0∪H, trong â

H ={p∈Pn(k)| p= (0, x

1, . . . , xn)}.

Náu ỗng nhĐt U0 vỵi khỉng gian affine kn ta câ thº xem H l siảu phng tÔi vổ hÔn.

Dạ thĐy cĂc im thuởcH tữỡng ựng mởt mởt vợi cĂc im thuởc Pn1(k). Do vêy cõ

th ỗng nhĐt H vợi Pn1(k). Suy ra

Pn(k) = knPn1(k).

ị nghắa hẳnh hồc cừa ỗng nhĐt H Pn−1(k) : iºm p ∈

Pn−1(k) x¡c ành mët

÷íng th¯ngL ⊂kn i qua gốc. Hằ quÊ trong phƠn tẵch

Pn(k) =knPn1(k) ta coi p

biu diạn hữợng tiằm cên cừa tĐt cÊ cĂc ÷íng th¯ng trong kn song song vỵi L. i·u
n y câ nghắa l xemp l mởt im tÔi vổ cũng.

Vẵ dử 4.1.3. Ta cõP0(k)gỗm úng mởt im, kỵ hiằu .Do vêy

P1(k) =k1P0(k) =k1 {}.

CĂc im thuởc P1(k) tữỡng ựng vợi cĂc ÷íng th¯ng trong k2 i qua gèc tåa ë. C¡c

÷íng th¯ng n y °c tr÷ng bði h» sè gâc cõa chóng (ữớng thng ựng cõ hằ số gõc
bơng ).

Hằ quÊ 4.1.4. °t

Ui ={(x0, x1, . . . , xn)∈Pn(k) | xi 6= 0}, i= 0,1, . . . , n.

</div>
(88)<div class='page_container' data-page=88>

(ii) PhƯn bũ Pn(k)\Ui ỗng nhĐt vợi Pn1(k).
(iii) Pn(k) = ni=0Ui.

Chựng minh. Bi têp.

nh nghắa 4.1.5. GiÊ sỷ f1, f2, . . . , fr ∈ k[x0, x1, . . . , xn] l cĂc a thực thuƯn nhĐt.
Têp hñp

V(f1, f2, . . . , fr) ={(a0, a1, . . . , an)∈Pn(k) | fi(a0, a1, . . . , an), i= 1,2, . . . , r}
gåi l a tÔp xÔ Ênh xĂc nh bif1, f2, . . . , fr.

Vẵ dử 4.1.6. CĂc a thực thuƯn nhĐt bªc mët

`(x0, x1, . . . , xn) =c0x0+c1x1+· · Ãcnxn

xĂc nh mởt a tÔp xÔ Ênh V(`) Pn(k) v gồi l siảu phng. Chng hÔn siảu phng
tÔi vổ hÔn H = V(x0). Khi n = 2 ta gåi V(`) l ÷íng th¯ng; khi n = 3 ta gåi V(`) l

mt phng. CĂc a tÔp xÔ Ênh xĂc nh bi cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc mởt gồi l cĂc
a tÔp tuyán tẵnh trongPn(k).

Vẵ dử 4.1.7. CĂc a tÔp xÔ Ênh V(f) xĂc nh bi mởt a thực thuƯn nhĐt f gåi l

si¶u m°t.

M»nh · 4.1.8. Gi£ sûV(f1, f2, . . . , fr)l a tÔp xÔ Ênh. Khi õ cõ th ỗng nhĐt W =

V U0 vợi a tÔp affineV(g1, g2, . . . , gr),trong âgi(y1, y2, . . . , yn) = fi(1, y1, y2, . . . , yn)
vợi i= 1,2, . . . , r.

Vẵ dử 4.1.9. Xt a tÔp xÔ Ênh

V =V(x21x2x0, x31x3x20)P
3(

R).

Giao V U0 l a tÔp affine

V(x21x2, x13x3)R3.

Giao V U1 l a tÔp affine

</div>
(89)<div class='page_container' data-page=89>

GiÊ sỷ f k[x1, x2, . . . , xn] l a thùc bªc d.Ta gåi

fh =xd0Ãf

,x2
x0

, . . . ,xn
x0

l thuƯn nhĐt hõa cừa f. Tứ nh nghắa ta cõ fh l a thực thuƯn nhĐt bêc d.
Vẵ dử 4.1.10. GiÊ sỷ

f =x2 x31 +x21 ∈k[x1, x2, x3].

Khi â

fh =x2x20−x
3
1+x

1x0 ∈k[x0, x1, x2, x3].

Tø ành ngh¾a ta câ

M»nh · 4.1.11. fh ∈k[x0, x1, . . . , xn] l a thực thuƯn nhĐt bêc d.

Nhên x²t 4.1.12. Gi£ sûW =V(f1, f2, . . . , fr)kn l a tÔp affine. Bơng cĂch thuƯn
nhĐt hõa cĂc a thực fi ta nhên ữủc a tÔp xÔ Ênh V = V(f1h, f2h, . . . , frh) ⊂ Pn(k).
Hìn núa,V ∩U0 =W. Do âW l ph¦n affine cõa a tÔp xÔ Ênh V.

Vẵ dử 4.1.13. Trong vẵ dử n y ta s³ sû döng (x, y, z) l tåa ở thuƯn nhĐt cừa cĂc

im trong P2(k). Vợi cĂch Ănh sè n y ta câ U2 = {z = 1} ' k2. Xt a tÔp affine

W =V(f)U2 trong õf =yx3+xk[x, y].Ta biát rơngW l phƯn affine V U2

cừa a tÔp xÔ Ênh

V =V(fh) =V(yz2x3+xz2).

Ta cõ V gỗm W cũng vợi cĂc iảm tÔi vổ hÔn V V(z). PhƯn affine W l ỗ th

cừa ữớng cong (bêc ba) khổng ký d. CĂc im tÔi vổ hÔn thóa mÂn hằ cĂc phữỡng
trẳnh

yz2x2+xz2 = 0,

z = 0.

Suy ra V ∩V(z) ={p= (0,1,0)} ⊂P2(k).Vªy V =W ∪ {p}.

B¥y gií x²t V ∩U1, trong â U1 ={y= 2}.Ta cõ

</div>
(90)<div class='page_container' data-page=90>

Dạ thĐy im pV tữỡng ựng vợi im(0,0)cừa W0. Chú ỵ rơng (0,0)l im ký d

cừa W0.

Nhữ vêy tứ mởt ối tữủng ỡn giÊn (khổng ký d) W qua quĂ trẳnh thuƯn nhĐt

hõa, ta cõ mởt ối tữủng phực tÔp hỡn (cõ ký d) V.

Vẵ dử 4.1.14. Xt ữớng cong xoưn bêc ba W =V(x2 −x21, x3−x31) trong R3. Ta câ

W =V ∩U0 trong â V =V(x2x0−x21, x3x20−x31) ⊂P3(R). Ph¦n bị cõa W trong V

l V H trong õ H =V(x0)l mt phng tÔi vổ hÔn. Do â

V ∩H=V(x2x0−x21, x3x20−x
3

1, x0) = W ∪V(x0, x1).

V¼ W l ữớng cong trong R3 nản mởt cĂch trỹc quan W ch cõ mởt số hỳn cĂc

im tÔi vổ hÔn. Bi vêy V l quĂ lợn v ta cƯn tẳm mởt a tÔp xÔ Ênh nhọ hỡn chựa
W.

Ta biát rơngW câ tham sè hâa(t, t2, t3).Suy rax1x3−x22 ∈I(W).¥y l a thực

thuƯn nhĐt. Vẳ vêy

V0 =V(x2x0x21, x3x20x
3

1, x1x3x22)V

l a tÔp xÔ Ênh. Chú ỵ rơng V0 U0 = W. Hỡn nỳa V0 H gỗm úng mởt im

p= (0,0,0,1). Do õV0 =W {p} l a tÔp xÔ Ênh (nhọ hỡn a tÔpV) chùaW.Kh¡c

nhau giúa V v V0 ð chéV chùa mët th nh phƯn phử tÔi vổ hÔn. Trong cĂc phƯn tiáp

theo ta s chựng tọV0 l a tÔp xÔ Ênh nhọ nhĐt chựa W.

Bi têp

1. Bi têp ny xƠy dỹng khổng gianPn(k) thổng qua hẳnh hồc. Kỵ hiằu L l têp tĐt

cÊ c¡c ÷íng th¯ng trong kn+1 i qua gèc tåa ë.

(a) Chựng minh vợi mội ữớng thng L L tỗn tÔi vector v ∈kn+1, v 6= 0, sao

cho L={tv | t∈k}.

(b) Chùng minh hai vectorv v v0 cịng x¡c ành mët ÷íng th¯ngL∈ Ln¸u v
ch¿ n¸u v ∼v0.

</div>
(91)<div class='page_container' data-page=91>

2. B i têp ny thiát lêp mối quan hằ giỳa cĂc ữớng thng trongRn v cĂc im tÔi

vổ hÔn trong Pn(R). Mội ÷íng th¯ngL trongRn câ tham sè hâa a+bttrong â

b l vector ch phữỡng cừa ữớng thng L. Ta s viát tham số hõa ny dÔng tồa

ở:

(a1+b1t, a2+b2t, . . . , an+bnt).

(a) Sỷ dửng tồa ở thuƯn nhĐt

(1, a1+b1t, a2+b2t, . . . , an+bnt),
cõ th xem Lnơm trongPn(

R). tẳm hiºu i·u gi x£y ra khit → ±∞,chia

cho t ta ÷ñc

1
t,

t +b1,
a2

t +b2, . . . ,
an

t +bn

Khi t → giợi hÔn trản tián án nhỳng im no trong siảu phng H =

Pn1(R)?

(b) ữớng thngLcõ nhiÃu tham số hõa. Chùng minh chóng x¡c ành cịng mët

iºm thc Pn−1(R). Suy ra mội ữớng thngLtrong Rn xĂc nh cũng mởt

im tÔi vổ hÔn thuởc H =Pn1(

R).

hÔn.

3. Bi têp ny nghiản cựu cĂc têp con Ui Pn(k).

(a) TrongP4(k) x¡c ành c¡c tªp con U2, U2∩U3 v U1 U3 U4.

(b) HÂy ỗng nhĐt P4(k)\U2,P4(k)\(U2U3)v P4(k)\(U1U3U4)vợi bÊn

sao cừa mởt khổng gian xÔ Ênh.
(c) TrongP4(k) xĂc nh4i=0Ui.

(d) Tờng quĂt, xĂc ành c¡c tªp con Ui1 ∩Ui2 ∩ · · · ∩Uir ⊂P

n(k), trong â

1≤i1 < i2 <· · ·< ir ≤n.
4. Gi£ sû f ∈k[x0, x1, . . . , xn].

(a) Vi¸t f =P

ifi trong â fi l a thùc thuƯn nhĐt bêc i. Chựng minh

f(a0, a1, . . . , λan) =

fi(λa0, λa1, . . . , λan)

= X

</div>
(92)<div class='page_container' data-page=92>

(b) Suy ra f(λa0, λa1, . . . , λan) = 0 vỵi måi λ ∈ k, λ 6= 0, n¸u v ch¿ n¸u

fi(a0, a1, . . . , an) = 0 vỵi måi i.

5. TrongP2(R)câ c¡c tåa ở thuƯn nhĐt(x, y, z).GiÊ sỷV =V(x2+y2z2)P2(R).

Tẳm cĂc phữỡng trẳnh cõaV ∩U0 v V ∩U2. Ph¡c th£o c¡c ÷íng cong ny. Nhên

xt.

6. GiÊ sỷV =V(x0x2x3x4, x20x3x1x22)P4(R).Tẳm cĂc phữỡng trẳnh cừaV ∩U0

v V ∩U3.

7. Gi£ sûV =V(f1, f2, . . . , fr)l a tÔp xÔ Ênh xĂc nh bi cĂc a thực thuƯn nhĐt

fi k[x0, x1, . . . , xn]. Chựng minh cõ th ỗng nhĐt têp con W =V Ui vợi a
tÔp affine V(g1, g2, . . . , gr),trong â

gj(x1, x2, . . . , xi−1, xi+1, . . . , xn) =fj(x1, x2, . . . , xi−1,1, xi+1, . . . , xn).

8. Gi£ sû f ∈k[x1, x2, . . . , xn]v F ∈k[x0, x1, . . . , xn]l a thùc thu¦n nh§t sao cho

F(1, x1, x2, . . . , xn) = f(x1, x2, . . . , xn). Chùng minh tỗn tÔi số nguyản e 0 sao
cho F =xe

0fh.

9. Xt a tÔp affine W0 = V(z2x2 +xz2) k2. Chùng minh (0,0) l iºm ký dà

cõa W0.

10. Vỵi méi a tÔp affine W hÂy tẳm a tÔp xÔ Ênh V sao cho W = V ∩U0. Suy ra

V \W =V H, vợi H l siảu phng tÔi vổ hÔn.

(a) W =V(y2 −x3−ax−b)⊂

R2 vỵi a, b∈ R. iºm thc V H l im ký

d cừa V?

(b) W =V(x1x3x22, x21x2)R3.Tỗn tÔi thnh phƯn phử tÔi vổ hÔn?

3x21x22)R3.

11. Xt ữớng cong xon bªc ba W =V(x2−x21, x3−x31)⊂R3.

(a) Sû dưng tham sè hâa (t, t2, t3) cõa W trong R3. Chùng minh khi t → ±∞
iºm (1, t, t2, t3) trong P3(R) ti¸n ¸n (0,0,0,1). Do â W câ mët iºm tÔi

</div>
(93)<div class='page_container' data-page=93>

(b) Xt a tÔp xÔ Ênh

V0 =V(x2x0 −x21, x3x20 −x31, x1x3 −x22)⊂P3(R).

Chùng minh V0∩U0 =W v V0 ∩H ={(0,0,0,1)}.

0∪V(x

0, x1).Suy ra

V l hủp cừa hai a tÔp xÔ Ênh.

12. a thực thuƯn nhĐtf k[x1, x2, . . . , xn]xĂc nh a tÔp affineC=Va(f)kn+1.
Ta gồi C l nõn affine trản a tÔp xÔ Ênh V =V(f)Pn(k).

(a) Chựng minh náuC chựa imP 6= (0,0, . . . ,0)thẳC chựa ữớng thng trong
kn+1 i qua P v gèc tåa ë.

(b) Kh£o s¡t im p Pn(k) vợi cĂc tồa ở thuƯn nhĐt P. Chựng minh p V

náu v ch náu ữớng th¯ng i qua gèc x¡c ành bði P n¬m trong C.

vợi cĂc im trong V.

13. Gi£ sû f ∈ k[x0, x1, . . . , xn] l a thực thuƯn nhĐt bêc d. Chùng minh cỉng thùc

Euler n

i=0

∂f
∂xi

=d·f.

14. B i tªp n y kh£o s¡t c¡c si¶u ph¯ng trong Pn(k).

(a) Chùng minh hai a thùc thuƯn nhĐt bêc 1:

a0x0 +a1x1 +Ã Ã Ã+anxn = 0

b0x0+b1x1+Ã Ã Ã+bnxn = 0

xĂc nh cũng mởt siảu phng trongPn(k)náu v ch náu tỗn tÔik, 6= 0,

sao cho bi =ai vỵi måii= 0,1, . . . , n.
(b) X²t ¡nh xÔ

: {siảu phng trong Pn(k)} (kn+1\ {0})/

</div>
(94)<div class='page_container' data-page=94>

15. Gi£ sû k l trữớng õng Ôi số. Chựng minh mồi a thực thuƯn nhĐtf k[x0, x1]

cõ biu diạn

f(x0, x1) =

i=1

(aix0+bix1),

trong õ d= deg(f) v ai, bi ∈k.
16. Kh£o s¡t tham sè hâa

x = 1 +t

1−t2,

y = 2t

1−t2

cõa ÷íng cong heperbol x2 y2 = 1 trong R2. Trong khổng gian xÔ Ênh P2(R)

tham số hõa ny cõ dÔng

x = 1 +t

1t2 = 1 +t
2

y = 2t

1−t2 = 2t,

z = 1 = 1−t2.

Vỵi (a, b)∈P1(

R), a6= 0, ta câ thº vi¸t(1, t) = (1, b/a).Thayt =b/a vo tham số

hõa trản v khỷ mău số. Chựng minh iÃu ny xĂc nh Ănh xÔ P1(R)P2(R).

4.2 Tứ in Ôi số-hẳnh hồc xÔ Ênh

Mửc ẵch cừa phƯn ny l nghiản cựu tứ in Ôi số-hẳnh hồc trong cĂc a tÔp xÔ
Ênh.

nh nghắa 4.2.1. ideal I k[x0, x1, . . . , xn] gồi l thuƯn nhĐt náu mồi f I cõ cĂc
thnh phƯn thuƯn nhĐtfi cừa f thuởcI.

Nhên xt 4.2.2. HƯu hát cĂc ideal khổng cõ tẵnh chĐt thuƯn nhĐt: chng hÔn I =

hxy2i k[x, y] l ideal khổng thuƯn nhĐt vẳ a thực f := xy2 I cõ hai thnh

phƯn thuƯn nhĐt l f1 :=x v f2 :=y2 khæng thuëc I. Tuy nhiản ta cõ c trững hỳu

</div>
(95)<div class='page_container' data-page=95>

nh lỵ 4.2.3. Gi£ sû I l ideal trong k[x0, x1, . . . , xn]. C¡c i·u sau l t÷ìng ÷ìng:

(i) I l ideal thuƯn nhĐt trong k[x0, x1, . . . , xn].

(ii) I =hf1, f2, . . . , fri vợi fi l cĂc a thực thuƯn nhĐt.

(iii) Cỡ sð Gr'obner thu gån cõa I (t÷ìng ùng thù tü ỡn thực bĐt ký) gỗm cĂc a thực

thuƯn nhĐt.

nh lỵ trản ch ra rơng vợi mồi ideal thuƯn nhĐt I ⊂ k[x0, x1, . . . , xn] ta câ th
nh nghắa

V(I) :={pkn | f(p) = 0 vợi mồi f ∈I}.

Ta câ

M»nh · 4.2.4. Gi£ sû I ⊂k[x0, x1, . . . , xn] l ideal thuƯn nhĐt v I =hf1, f2, . . . , fri

trong â fi l cĂc a thực thuƯn nhĐt. Khi õ

V(I) =V(f1, f2, . . . , fr).
Do vêy V(I) l a tÔp xÔ Ênh.

Chựng minh. Chựng minh l bi têp dạ dng.

Mằnh Ã 4.2.5. ChoV Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh v

I(V) ={f ∈k[x0, x1, . . . , xn] | f(a0, a1, . . . , an) = 0 vỵi måi (a0, a1, . . . , an)V}.
Náuk l vổ hÔn thẳ I(V) l ideal thuƯn nhĐt trong k[x0, x1, . . . , xn].

Vêy ta cõ cĂc thnh phƯn cừa mởt tứ in giỳa cĂc a tÔp Ôi số xÔ Ênh trong

Pn(k)v cĂc ideal thuƯn nhĐt trong k[x0, x1, . . . , xn].Ta cõ
nh lỵ 4.2.6. GiÊ sỷ k l trữớng tũy ỵ vổ hÔn. Khi õ Ănh xÔ

cĂc a tÔp xÔ Ênh I

cĂc ideal thuƯn nhĐt
v

cĂc ideal thuƯn nhĐt V

</div>
(96)<div class='page_container' data-page=96>

l bao hm Êo ngữủc, tực l náu I1 I2 l cĂc ideal thuƯn nhĐt thẳ V(I1) V(I2) v

tữỡng tỹ, náu V1 V2 l cĂc a tÔp xÔ Ênh thẳ I(V1)I(V2). Hỡn nỳa, vợi mồi a tÔp

xÔ Ênh V ta cõ

V(I(V)) = V

v do vêy I ln ln l mët-mët.

Chùng minh. Chùng minh t÷ìng tü nh÷ trong tr÷íng hđp affine.
M»nh · 4.2.7. Chok l mët trữớng.

(i) GiÊ sỷ cõ dÂy giÊm cĂc a tÔp xÔ £nh trong Pn(k) :

V1 ⊃V2 ⊃V3 ⊃ · · · .

Khi õ tỗn tÔi số tỹ nhiản N sao cho VN =VN+1 =Ã Ã Ã.

(ii) Mồi a tÔp xÔ ÊnhV Pn(k) cõ phƠn tẵch duy nhĐt thnh hủp hỳu hÔn cĂc a tÔp
xÔ Ênh bĐt khÊ quy

V =V1V2. . .Vm,
trong õ Vi 6Vj vợi i6=j.

Chựng minh. Thêt vêy, tứ giÊ thiát ta cõ dÂy tông cĂc ideal

I(V1)I(V2)I(V3) Ã Ã Ã

trongk[x0, x1, . . . , xn].Do tẵnh Noether, tỗn tÔi số tỹ nhiảnN sao choI(VN) =I(VN+1) =

Ã Ã Ã. Những V(I(V)) = V vợi mồi a tÔp xÔ Ênh. Vêy VN =VN+1 =· · · .

Kh¯ng ành (ii) l h» quÊ trỹc tiáp cừa (i).

Tữỡng tỹ nhữ trong trữớng hủp affine, ta cơng câ c¡c ành ngh¾a cõa c¡c ph²p
to¡n nhữ tờng, tẵch v giao cừa cĂc ideal thuƯn nhĐt v cĂc tẵnh chĐt tữỡng ựng trản
cĂc a tÔp xÔ Ênh.

Nhưc lÔi rơng radican cừa ideal I trong k[x0, x1, . . . , xn]l tªp hđp
√

</div>
(97)<div class='page_container' data-page=97>

M»nh Ã 4.2.8. GiÊ sỷ I l ideal thuƯn nhĐt trong k[x0, x1, . . . , xn]. Khi â
√

I công

l mởt ideal thuƯn nhĐt.

BƠy giớ giÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số. Nhưc lÔi hai nh lỵ khổng im yáu v

mÔnh: giÊ sỷI l ideal trong k[x1, x2, . . . , xn].Ta câ

(i) (Khỉng iºm y¸u) Va(I) =∅ trong kn n¸u v ch¿ n¸u I =k[x1, x2, . . . , xn].
(ii) (Khổng im mÔnh) I =Ia(Va(I))trong k[x1, x2, . . . , xn].

é ƠyIa v Va kỵ hiằu cĂc ideal v a tÔp trong khung cÊnh affine. CƠu họi tỹ nhiản l
cĂc kát quÊ ny cõ th m rởng cho cĂc a tÔp xÔ Ênh v cĂc ideal thuƯn nhĐt.

iÃu Ăng ngÔc nhiản l khổng. Vẵ dử sau ch ra nh lỵ khổng im yáu sai ối
vợi cĂc ideal thuƯn nhĐt.

Vẵ dử 4.2.9. Xt ideal I := hx0, x1, . . . , xni ⊂ C[x0, x1, . . . , xn]. Khi â V(I) =

V(x0, x1, . . . , xn). Nh÷ng (0 : 0 : Ã Ã Ã: 0)6Pn(C). Vêy V(I) = .

Tuy nhiản,I :=hx0, x1, . . . , xnich¿ l mët trong c¡c ngoÔi lằ cĂc ideal mV(I) =.
Thêt vêy, ta cõ

nh lỵ 4.2.10. GiÊ sỷ k l mởt trữớng õng Ôi số v I l ideal thuƯn nhĐt trong
k[x0, x1, . . . , xn]. C¡c kh¯ng ành sau la t÷ìng ÷ìng:

(i) V(I)⊂Pn(k) l tªp trèng.

(ii) Gi£ sû G l cì sð Grobner thu gån cõa ideal I. Khi â vỵi méi 0 in tỗn tÔi
g G v số nguyảnmi 0 sao cho LT(g) =xmi i.

(iii) Vợi mội 0in tỗn tÔi số nguyản mi 0 sao cho xmi i I.
(iv) Tỗn tÔi sè nguy¶n r≥1 sao cho hx0, x1, . . . , xnir I.

</div>
(98)<div class='page_container' data-page=98>

nh lỵ 4.2.11. (nh lỵ khổng im xÔ Ênh mÔnh) GiÊ sỷk l trữớng õng ¤i sè v
I ⊂ k[x0, x1, . . . , xn] l ideal thuƯn nhĐt. Náu V = V(I) l têp trống trong khổng gian
xÔ Ênh Pn(k) thẳ

I(V(I)) = I.

nh lỵ khổng im cho php ta thiát lêp mởt tứ in giỳa cĂc a tÔp Ôi số xÔ
Ênh v cĂc ideal thuƯn nhĐt. Mởt ideal thuƯn nhĐt radican trongk[x0, x1, . . . , xn]l ideal
thuƯn nhĐt thọa mÂn I = I. T÷ìng tü tr÷íng hđp affine ta câ t÷ìng ựng mởt-mởt

giỳa cĂc a tÔp xÔ Ênh affine v cĂc ideal thuƯn nhĐt náu ta loÔi trứ cĂc trữớng hủp

I =hx0, x1, . . . , xni v I =h1i.

ành lỵ 4.2.12. (Tữỡng ựng ideal thuƯn nhĐt-a tÔp xÔ Ênh) GiÊ sỷ k l trữớng tũy

ỵ. Xt trong khung cÊnh ideal thuƯn nhĐt radican v a tÔp xÔ Ênh. Khi õ tỗn tÔi cĂc
song Ănh giỳa cĂc cĂc a tÔp xÔ Ênh khĂc trống v cĂc ideal thuƯn nhĐt radican thüc sü
chùa trong hx0, x1, . . . , xni.

Chóng ta cụng mởt tữỡng ựng giỳa cĂc a tÔp xÔ bĐt khÊ quy v cĂc ideal nguyản
tố thuƯn nhĐt. Chi tiát dnh cho bÔn ồc.

Bi têp

1. Bi têp ny tẳm hiu khi no ideal chẵnh l ideal thuƯn nhĐt.
(a) Chựng minh I =hx2yx3il ideal thuƯn nhĐt trong k[x, y].

(b) Chựng minh hfi ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l ideal thuƯn nhĐt náu v ch náu f l
a thực thuƯn nhĐt.

2. Bi têp ny tẳm hiu mởt số tẵnh chĐt cừa cĂc thnh phƯn thuƯn nhĐt cừa a thùc

(a) Gi£ sûf =P

ifi v g =

igi l khai triºn cừaf v g thnh cĂc thnh phƯn

thuƯn nhĐt. Chựng minh f =g náu v ch náu fi =gi vợi mồi i.

(b) Gi£ sû f =P

ifi v g =

jgj l khai triºn cừaf vg thnh cĂc thnh phƯn
thuƯn nhĐt. Chựng minh thnh phƯn thuƯn nhĐt hk cừa h=fÃg úng bơng

</div>
(99)<div class='page_container' data-page=99>

3. Gi£ sû I1, I2, . . . , Is l cĂc ideal thuƯn nhĐt trong vnh k[x0, x1, . . . , xn].
(a) Chùng minh I1+I2+· · ·+Is l ideal thuƯn nhĐt.

(b) Chựng minh giao I1I2 Ã Ã Ã Is l ideal thuƯn nhĐt.
(c) Chựng minh tẵch I1ÃI2Ã Ã ÃIs l ideal thuƯn nhĐt.

4. GiÊ sỷ I1, I2, . . . , Is l cĂc ideal thuƯn nhĐt trong v nh k[x0, x1, . . . , xn]. °t Vi =

V(Ii) l a tÔp xÔ Ênh tữỡng ựng trong Pn(k).

(a) Chùng minh V(I1+I2+· · ·+Is) = ∩si=1V(Ii).

(b) Chùng minh V(I1∩I2∩ · · · ∩Is) = V(I1 ·I2· · ·Is) =∪si=1V(Ii).

5. Gi£ sû f1, f2, . . . , fs l cĂc a thực thuƯn nhĐt cõ bêc d1 < d2 ≤ · · · ≤ ds v

I =hf1, f2, . . . , fsi ⊂k[x0, x1, . . . , xn].

(a) Chùng minh n¸u g ∈ I l a thùc thuƯn nhĐt bêc d1 thẳ g sai khĂc f mởt

hơng sè.

(b) Chùng minh giao I1∩I2∩ · · · ∩Is l ideal thuƯn nhĐt.
(c) Chựng minh náu g I thẳ g hfi | deg(fi)deg(g)i I.

6. Bi têp ny tẳm hiu mởt số tẵnh chĐt cừa idealI0 =hx0, x1, . . . , xni ⊂k[x0, x1, . . . , xn].
(a) Chựng minh náu J l ideal thuƯn nhĐt thỹc sỹ trong v nh k[x0, x1, . . . , xn]

th¼ J ⊂I0.

(b) Chùng minh I0r = hxr0

0 x

1 · · ·xrnn | r0+r1+· · ·+rn =ri Suy ra n¸u f l a
thực thuƯn nhĐt bêcr thẳ f I0r.

(c) tV =V(I0)Pn(k)vCV =Va(I0)kn+1.Chựng minhIa(CV)6=I(V).
7. Cho ideal thuƯn nhĐtI k[x0, x1, . . . , xn],trong õk l õng Ôi số. Chựng minh

V(I) = trong Pn(k)tữỡng ữỡng vợi mởt trong hai iÃu sau

(a) Tỗn tÔi r1 sao cho mồi a thực thuƯn nhĐt bêc ≥r ·u thuëc ideal I.

(b) Radican cõa I ho°c b¬ng hx0, x1, . . . , xni ho°c b¬ng k[x0, x1, . . . , xn].

</div>
(100)<div class='page_container' data-page=100>

(a) Chùng minh ideal thuƯn nhĐt I k[x0, x1, . . . , xn] l nguyản tố náu v ch
náu tẵch cừa hai a thực thuƯn nhĐtF, GthọaF ÃGI thẳ hocF I hoc
GI.

(b) Cho ideal thuƯn nhĐt I k[x0, x1, . . . , xn]. Chùng minh n¸u I l nguyản tố
thẳ a tÔp xÔ ÊnhV(I) l bĐt khÊ quy. iÃu ngữủc lÔi cụng úng náu idealI

l radican.

ùng mët-mët giúa c¡c ideal thuƯn nhĐt nguyản tố I k[x0, x1, . . . , xn] vỵi

I (hx0, x1, . . . , xniv cĂc a tÔp xÔ Ênh bĐt khÊ quy khĂc trống trongPn(k).

9. Chựng minh náu I l ideal nguyản tố thuƯn nhĐt trong k[x0, x1, . . . , xn] th¼ I l
radican trong k[x0, x1, . . . , xn].

4.3 Bao õng xÔ Ênh cừa mởt a tÔp affine

Xt cĂc tồa ở thuƯn nhĐt x0, x1, . . . , xn trong khổng gian xÔ Ênh Pn(k). t

U0 ={x0 6= 0} ⊂Pn(k).

ành ngh¾a 4.3.1. Gi£ sû I l ideal trong k[x1, x2, . . . , xn]. Tªp hđp

Ih :={fh | f I}

gồi l thuƯn nhĐt hõa cừa I.Trong õ fh l thuƯn nhĐt hõa cừa f.

Mằnh Ã 4.3.2. Cho ideal I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ Ih l ideal thuƯn nhĐt trong

k[x0, x1, . . . , xn].

Chú ỵ 4.3.3. GiÊ sỷ I = hf1, f2, . . . , fri ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. D¹ d ng chùng minh
hfh

1, f2h, . . . , frhi l ideal thuƯn nhĐt chựa trong Ih. Tuy nhiản vẵ dử sau ch ra ideal Ih
câ thº lỵn hìn thüc sühf1h, f2h, . . . , frhi.

V½ dư 4.3.4. Gi£ sûI :=hf1, f2i=hx2−x21, x3−x31i. Khi â J :=hf1h, f2hi=hx0x2−

x21, x20x3−x31i ⊂R[x0, x1, x2, x3]. Ta chùng täIh 6=J. Thªt vªy, x²t a thùc

</div>
(101)<div class='page_container' data-page=101>

Ta cõf3h =x0x3x1x2 l a thực thuƯn nhĐt bêc 2 thuởc ideal Ih.Những cĂc phƯn tỷ

sinh cừa ideal J cụng l cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc 2 v 3, nản náu cõ quan hằ
f3h =A1f1h+A2f2h

thẳ bơng cĂch sỷ dưng c¡c khai triºn cõaA1 v A2 th nh c¡c th nh ph¦n thuƯn nhĐt ta

ữủcfh

3 =cf1h vợi cR no õ m l mƠu thuăn. Do õ f3h 6J. Vêy J 6=Ih.

PhƯn cỏn lÔi ta s thÊo luên ỵ nghắa hẳnh hồc cừa thuƯn nhĐt hõa cừa mởt ideal.
Trữợc hát xt thuƯn nhĐt hâa ideal Ia(W) cõa t§t c£ c¡c a thùc tri»t tiảu trản a tÔp
affineW. iÃu ny dăn án nh nghắa sau:

nh nghắa 4.3.5. Cho a tÔp affine W kn. Bao õng xÔ Ênh cừa W l a tÔp xÔ
Ênh W :=V(Ia(W)h) Pn(k), trong õ Ia(W)h l thuƯn nhĐt hõa cõa ideal Ia(W)⊂

k[x1, x2, . . . , xn].

Tø ành nghắa ta cõ

Mằnh Ã 4.3.6. Cho a tÔp affine W kn v W Pn(k) l bao õng xÔ Ênh cừa W.
Khi õ

(i) W U0 =W kn=W.

(ii) W l a tÔp xÔ Ênh nhọ nhĐt trong Pn(k) chựa W.
(iii) Náu W bĐt khÊ quy thẳ W cụng bĐt khÊ quy.

(iv) Mồi thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa W Ãu khổng nơm trong siảu phng tÔi vổ hÔn
V(x0)Pn(k).

Vẵ dử 4.3.7. GiÊ sỷ

W :=V(x2−x21, x3−x31).

Ta câ

Ia(W) = hx2−x21, x3−x31i,

Ia(W)h = hx0x2−x21, x1x2−x0x3, x1x3−x22i.

</div>
(102)<div class='page_container' data-page=102>

Khõ khôn chẵnh khi xĂc nh bao õng xÔ Ênh cừa W l cƯn biát Ia(W).Khi k l
trữớng õng Ôi số ta cõ th tẵnh trỹc tiáp bao õng xÔ Ênh cừaW náu biát ideal xĂc

nh nõ. Cử th l

nh lỵ 4.3.8. Cho k l trữớng õng Ôi sè v ideal I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ

V(Ih)Pn(k) l bao õng xÔ Ênh cừa V

a(I)kn.

Vẵ dử sau chựng tọ nh lỵ trản sai náu k khổng õng Ôi số.

Vẵ dử 4.3.9. Xt idealI =hx21+x42i R[x1, x2].Ta cõW =Va(I) ={(0,0)} R2.Chú
ỵ {(1,0,0)} P2(

R) l a tÔp xÔ Ênh nhọ nhĐt chựa W. NảnW ={(1,0,0)} P2(R).

M°t kh¡c Ih =hx2

0x21 +x42i. Suy ra

V(Ih) ={(1,0,0),(0,1,0)} ⊂P2(

R).

Vªy V(Ih) lợn hỡn thỹc sỹ bao õng xÔ Ênh cừa W =V(I).

Bi têp

1. Chựng minh vợi mồi f, g k[x1, x2, . . . , xn] ta câ

(f g)h = fhgh,

(fm)h = (fh)m.

2. Chùng minh I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn] l ideal nguyản tố náu v ch náu Ih l ideal
nguyản tố trong k[x0, x1, . . . , xn].

3. Chùng minh I(W) =Ia(W)h vỵi måi a tÔp affine W kn.

4. GiÊ sỷ W =V1V2. . . Vm l phƠn tẵch cừa a tÔp xÔ Ênh W thnh cĂc thnh
phƯn bĐt khÊ quy sao cho Vi 6Vj, i6=j. Chùng minhV1 6⊂V2∪. . . Vm.

5. Gi£ sû Cn⊂kn l ÷íng cong húu t¿ ÷đc tham sè hâa bði

φ: k →kn, t 7→(t, t2, . . . , tn).

</div>
(103)<div class='page_container' data-page=103>

(b) ThuƯn nhĐt hõa cĂc phữỡng trẳnh trong (a) v xt cĂc a tÔp xÔ Ênh xĂc nh
bi cĂc a thực thuƯn nhĐt ny. úng hay sai: cĂc a thực ny xĂc nh bao
õng xÔ Ênh cừa ữớng cong affine Cn? Tỗn tÔi cĂc thnh phƯn phử tÔi vổ
hÔn?

(d) Chùng minh bao âng xÔ Ênh Cn l a tÔp xĂc nh bi têp cĂc a thực
thuƯn nhĐt bêc hai nhên ữủc bơng cĂch lĐy tĐt cÊ cĂc khÊ nông cừa nh
thực con cĐp 2ì2 cừa ma trên

x0 x1 . . . xn1

x1 x2 . . . xn

6. Nhưc lÔi rơng a tÔp VeroneseS ⊂k5 l £nh cõa tham sè hâa a thùc φ: k2 →k5,

trong â

φ(x1, x2) = (x1, x2, x21, x1x2, x22).

Bao õng xÔ Ênh S cừa S l mởt a tÔp xÔ Ênh gồi l mt Veronese.

(a) Tẳm têp cĂc phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt xĂc nh S P5(k).

(b) Chựng minh tham sè hâa cõa S câ thº th¡c triºn th nh ¡nh xÔ : P2(k)

P5(k)sao cho Ênh cừa P2(k) qua Ănh xÔ ny trũng vợi S.

7. So sĂnh vÃ mt têp hủp cĂc khổng gian Pn+m(k) v Pn(k)ìPm(k).

8. Bi têp ny chựng tọ cõ th ỗng nhĐt Pn(k)ìPm(k) vợi mởt a tÔp con trong
Pn+m+nm(k).Gi£ sû p= (x0, x1, . . . , xn)v q= (y0, y1, . . . , ym)l c¡c tồa ở thuƯn
nhĐt tữỡng ựng cừa pPn(k) v q

Pm(k).nh nghắa Ănh xÔ Segre

: Pn(k)ìPm(k)Pn+m+nm(k)

Ănh xÔ im (p, q) thnh im cõ tồa ở thuƯn nhĐt

(x0y0, x0y1, . . . , x0ym, x1y0, . . . , x1ym, . . . , xny0, . . . , xnym).
nh cừa Ănh xÔ ny l a tÔp xÔ Ênh gồi l a tÔp Segre.

</div>
(104)<div class='page_container' data-page=104>

(b) Chựng minh Ănh xÔ l mởt-mởt v Ănh xÔ phƯn affine knìkm thnh a

tÔp affine trong kn+m+nm Pn+m+nm(k) m l ng cĐu vợi kn+m.

nhĐt cừa Ênh cừa Ănh xÔ σ.

(d) Gi£ sû n = 2, m = 1. T¼m cĂc phữỡng trẳnh thuƯn nhĐt cừa a tÔp Segre

trong P5(k).

(e) Tẳm giao cừa a tÔp Segre v mt Veronese trong P5(k).

4.4 Hẳnh hồc cừa cĂc siảu mt bêc hai

PhƯn ny chúng ta nghiản cựu cĂc siảu mt bêc hai trong khổng gian xÔ Ênh

Pn(k). ỡn giÊn kỵ hiằu, ta s viát Pn thay cho Pn(k). CĂc tồa ở thuƯn nhĐt trong
Pnữủc kỵ hiằu l x0, x1, . . . , xn.Ta cụng giÊ thiát k l trữớng cõ c sè kh¡c 2 (tùc l ,

2 = 1 + 16= 0 trong k).

Kỵ hiằuGL(n+1, k)l têp tĐt cÊ cĂc ma trên khÊ nghch kẵch thữợc(n+1)ì(n+1).

Mội phƯn tỷ A := (aij)0i,jn GL(n + 1, k) tữỡng ựng mởt ng cĐu tuyán tẵnh

A: kn+1 kn+1.ng cĐu ny cÊm sinh Ănh xÔ A:

PnPn, gồi l php bián ời tuyán

tẵnh xÔ Ênh, ữủc thiát lêp nhữ sau: Vợi mộip= (b0, b1, . . . , bn)∈Pn ta cho t÷ìng ùng

A(p) = (a00b0+· · ·+a0nbn, . . . , an0b0+· · ·+annbn)∈Pn.

D¹ kiºm traA: Pn

Pn l Ănh xÔ mởt-mởt lản v Ănh xÔ ngữủc cừa nõ tữỡng ựng ma

trên A1 GL(n+ 1, k).

Mằnh Ã 4.4.1. N¸u A∈ GL(n+ 1, k) v V ⊂Pn l mởt a tÔp thẳ A(V)

Pn cụng

l mởt a tÔp. Ta nõi rơng V v A(V) l tữỡng ữỡng xÔ Ênh.

Ta câ thº xem A = (aij) l ph²p bi¸n êi x0, x1, . . . , xn th nh c¡c tåa ë mỵi

X0, X1, . . . , Xn trong â

Xi :=ai0x0+ai1x1+Ã Ã Ã+ainxn.

Vẳ AGL(n+ 1, k), bián ời ny cho ta cĂc tồa ở thuƯn nhĐt trản Pn. Suy ra cõ th

</div>
(105)<div class='page_container' data-page=105>

Ká tiáp ta s phƠn loÔi cĂc a tÔp thổng qua php bián ời xÔ Ênh.
GiÊ sỷ siảu phng H Pn cho bi phữỡng trẳnh

a0x0+a1x1+Ã Ã ·+anxn.
trong â a0, a1, . . . , an khæng ỗng thới bơng khổng.

Mằnh Ã 4.4.2. Mồi siảu phng trong Pn l tữỡng ữỡng xÔ Ênh.

Nhên xt 4.4.3. Ta biát rơng cõ th ỗng nhĐt V(x0) vợi khổng gian Pn1. Mằnh Ã

trản chựng tọ mồi siảu phng trongPn ỗng nhĐt vợi Pn1.

Ká tiáp ta s phƠn loÔi cĂc quadratic thổng qua php bián ời xÔ Ênh.

nh nghắa 4.4.4. GiÊ sỷf l a thực thuƯn nhĐt bêc ton th hai. a tÔpV(f)P2

gồi l siảu mt bêc hai hay quadratic.

Vẵ dử 4.4.5. ÷íng cong conicC trongR2 câ ph÷ìng tr¼nh

ax2+bxy+cy2+dx+ey+f = 0.

Bao âng xÔ Ênh cừa C l ữớng cong trong P2(R) cõ phữỡng trẳnh
ax2+bxy+cy2+dxz +eyz+f z2 = 0.

nh lỵ 4.4.6. (DÔng chuân cõa quadratic) Gi£ sûf :=Pn

i,j=0aijxixj ∈k[x0, x1, . . . , xn]

l a thực thuƯn nhĐt bêc ton th 2. Gi£ sû k l tr÷íng câ °c tr÷ng kh¡c 2. Khi õ
V(f) tữỡng ữỡng xÔ Ênh vợi quadratic xĂc nh bi phữỡng trẳnh

c0x20+c1x12+Ã Ã Ã+cnx2n,
trong õ c0, c1, . . . , cn khổng ỗng thới bơng khổng.

Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt cõ th giÊ thiát ci 6= 0 vợi i = 1,2, . . . , p v ci = 0 vợi

</div>
(106)<div class='page_container' data-page=106>

Vẵ dử 4.4.7. TrongP2(R) cĂc a tÔp sau

V(x2+y2z2), V(x2z2), V(x2)

cõ hÔng tữỡng ựng bơng 3,2,1.

GiÊ sû f :=Pn

i,j=0aijxixj ∈ k[x0, x1, . . . , xn] l a thực thuƯn nhĐt bêc ton th

2. Khổng mĐt tẵnh tờng quĂt cõ th giÊ sỷ aij =aji.Hỡn núa, câ thº vi¸t

f(x) = xtQx

trong â Q m ma trên ối xựng cĐp (n + 1)ì(n+ 1) v xt l chuyºn và cõa x :=
(x0, x1, . . . , xn).

M»nh · 4.4.8. Gi£ sûf(x) = xtQx vỵi Q m ma trên ối xựng cĐp (n+ 1)ì(n+ 1).
(i) GiÊ sû A∈GL(n+ 1, k) v B :=A−1. Khi â

A(V(f)) =V(g),

trong õ g(x) :=xtBtQBx.

(ii) HÔng cừa siảu mt bêc V(f) bơng hÔng cừa ma trên Q.

c biằt

Mằnh Ã 4.4.9. GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số cõ c trững khĂc 2. Khi õ siảu mt

bêc hai cõ hÔng p+ 1 tữỡng ữỡng xÔ Ênh vợi siảu mt xĂc nh bi phữỡng trẳnh
x20+x21+Ã Ã Ã+x2p = 0.

c biằt, hai siảu mt tữỡng ữỡng xÔ Ênh náu v ch náu chúng cõ cũng hÔng.

Chú ỵ 4.4.10. HÔng khổng l bĐt bián cừa cĂc siảu mt bêc 2. Thêt vêy, trong P2(R)

cĂc a tÔp V(x2 +y2 +z2) = v V(x2 +y2z2) 6= cõ hÔng bơng 3 những chúng

khổng tữỡng ữỡng xÔ Ênh.

nh nghắa 4.4.11. Siảu mt bêc 2 trong Pn gồi l khổng suy bián náu nõ cõ hÔng

</div>
(107)<div class='page_container' data-page=107>

Siảu mt bêc hai khổng ký d cõ phữỡng trẳnh f =xtQx trong õQl ma trên cõ

hÔng n+ 1. Vêy

Hằ quÊ 4.4.12. GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số. Khi õ tĐt cÊ cĂc siảu mt bêc hai

khổng ký d l tữỡng ữỡng xÔ Ênh.
Vẵ dử 4.4.13. Xt Ănh xÔ

F:P1 P3, (u, v)7(u2, uv, v2),

trong õ(u, v) l tồa ở thuƯn nhĐt trong P1. Ta cõ F

P1 V(x0x2x21) l song Ănh.

Suy ra conic V(x0x2x21)tữỡng ữỡng xÔ Ênh vợi P1.

Vẵ dử 4.4.14. Xt Ănh xÔ Segre

: P1ìP1

P3, (x0, x1, y0, y1)7→(x0y0, x0y1, x1y0, x1y1).

Ta câ σ l mët-mët v £nh cõa nâ l quadratic khỉng ký dà V(z0z3−z1z2).

B i tªp

1. Chựng minh GL(n+ 1, k) vợi php toĂn nhƠn hai ma trªn l mët nhâm. Méi ma

trªn A ∈ GL(n+ 1, k) tữỡng ựng php bián ời tuyán tẵnh xÔ £nh A: Pn →

Pn.

Tr¶n GL(n+ 1, k) x²t quan h»

A0 A náu v ch náu tỗn tÔi 6= 0 sao cho A0 =λA.

(a) Chùng minh `∼' l quan h» t÷ìng ữỡng. Kỵ hiằu PGL(n+ 1, k) l têp tĐt

cÊ cĂc lợp tữỡng ữỡng.

(b) Chựng minh náu A A0 v B B0 thẳ AB A0B0. Do õ tẵch cĂc ma trên

cÊm sinh php toĂn nhƠn trản cĂc lợp tữỡng ữỡng. Hằ quÊ PGL(n+ 1, k)

vợi php toĂn nhƠn ny l mởt nhõm. Ta gồi PGL(n+ 1, k) l nhõm tuyán

tẵnh xÔ Ênh.

</div>
(108)<div class='page_container' data-page=108>

2. Chựng minh quan hằ tữỡng ữỡng xÔ Ênh l quan hằ tữỡng ữỡng trản têp cĂc a
tÔp xÔ Ênh trong Pn.

3. Chựng minh V(xi) tữỡng ữỡng xÔ Ênh vợiV(x0).

4. (a) GiÊ sỷ f =Pn

i,j=0aijxixj trong â a016= 0 v aii= 0 vỵi måi i. Chùng minh

ph²p ời bián

X0 =x0, X1 =x1x0, Xi =xi vợi i2
bián f th nhPn

i,j=0cijXiXj trong â c00=a01.

(b) Gi£ sû f =Pn

i,j=0aijxixj trong â a006= 0.Chùng minh ph²p êi bi¸n

X0 =x0+

a00

i=1

ai0

2 xi, Xi =xi vợi i1

bián f thnha00X02+

i,j=1dijXiXj.

5. GiÊ sỷ f =Pn

i,j=0aijxixj v Q= (aij) l ma trên kẵch thữợc (n+ 1)ì(n+ 1).

(a) Chựng minh rơng f(x) =xtQx.

(b) GiÊ sỷ k cõ c trững 2 v f = x0x1. Chựng minh khổng tỗn tÔi ma trên

vuổng Q ối xựng cĐp 2 vợi cĂc phƯn tû trongk sao cho f(x) = xtQx.

6. Gi£ sû k =C.Viát cĂc a thực sau dÔng tờng cĂc bẳnh phữỡng:

(a) x0x1+x0x2+x22.

(b) x20+ 4x1x3+ 2x2x3+x24.

7. Gi£ sû f = Pn

i,j=0aijxixj l a thùc kh¡c khỉng vỵi c¡c h» sè trong R. Chựng
minh tỗn tÔi cĂc số nguyản r 1 v s ≥ 0 vỵi 0≤ r+s ≤ n sao cho f cõ th

bián ời vÃ dÔng

x20 +Ã Ã Ã+x2rx2r+1 · · · −x2r+r.

Câ thº chùng minh c¡c sè nguy¶n r v s ữủc xĂc nh duy nhĐt.

8. GiÊ sỷ f =Pn

</div>
(109)<div class='page_container' data-page=109>

(a) Chùng minh f câ ký d náu v ch náu tỗn tÔi im a = (a0, a1, . . . , an) ∈P
sao cho

∂f
∂x0

(a) = ∂f
∂x1

(a) = · · ·= ∂f
∂xn

(a) = 0.

(b) Chùng minh náu aP thọa mÂn phữỡng trẳnh trản thẳa V(f).

9. GiÊ sỷ V(f)Pn l siảu mt bêc hai cõ hÔng bơng p+ 1 vợi p < n. Chựng minh
tỗn tÔi a tÔp bêc hai V(g) Pp khổng ký d sao cho V(f)' V(g)ì

Pnp. HD:

Cõ th giÊ thiát f cõ dÔng

f =c0x20+c1x21+· · ·+cpx2p
trong â c0, c1, . . . , cp khĂc khổng.

10. Cho Ănh xÔ F: P1

P2,(u, v)7(u2, uv, v2).

(a) Chùng minh £nh cõa F chùa trong a tÔpV(x0x2x21).

(b) Chựng minh F: P1 V(x

0x2x21) l song Ănh.

11. Xt Ănh xÔ Segre :P1ì

P1 P3.

(a) Chựng minh Ênh cừa chựa trong a tÔp V(z0z3z1z2).

(b) Chựng minh l mởt-mởt.

12. Cho hai iºm ph¥n bi»t p, q ∈Pn. Câ thº xem p v q l cĂc vector ởc lêp tuyán
tẵnh trong kn+1.

(a) Chựng minh tẵnh hủp lằ cừa Ănh xÔ F: P1 →

Pn,(u, v)7→up−vq. Hìn núa

F l mët-mët.

(b) Gi£ sû ` =a0x0 +a1x1+Ã Ã Ã+anxn l a thực thuƯn nhĐt bêc mởt. Chựng
minh ` bơng khổng trản Ênh cừa F n¸u v ch¿ n¸u p, q ∈V(`).

hÔng bơng 2. nh nghắa Ănh xÔ tuyán tinh : kn+1 k2, x 7 x. Chựng

minhker cừa Ănh xÔ ny cõ chiÃu b¬ngn−1.Gåi v1, v2, . . . , vn−1 l cì s cừa

ker v `i l a thực tuyán tẵnh vợi c¡c h» sè l c¡c th nh ph¦n cõa vector vi.
Chùng minh £nh cõaF n¬m trongV(`1, `2, . . . , `n1).HD: Nghiản cựu khổng

</div>
(110)<div class='page_container' data-page=110>

13. Bi têp ny tẳm hiu cĂc tẵnh chĐt cừa ữớng thng trong Pn.

(a) Chựng minh vợi mộip, q Pn tỗn tÔi duy nhĐt mët ÷íng th¯ng i qua pv

(b) Gi£ sûLl ÷íng th¯ng trongPnv U

i ={xi 6= 0} 'kn.Chùng minhL∩Ui
l ÷íng th¯ng trong kn theo nghắa thổng thữớng.

14. GiÊ sỷ : P1ìP1

P3 l Ănh xÔ Segre.

(a) Chựng minh L0a=({a} ìP1) l mởt ữớng thng trong

P3.

(b) Chựng minh mồi iºm cõa V(z0z3 −z1z2) thc v o óng mët ÷íng th¯ng

L0a.

4.5 nh lỵ Bzout

PhƯn ny s kỵ hiằu P2 :=P2(C).

Mằnh Ã 4.5.1. Gi£ sû f ∈ C[x, y, z] l a thực thuƯn nhĐt khĂc khổng. Khi õ cĂc

ữợc bĐt khÊ quy cừaf cụng l cĂc a thực thuƯn nhĐt. Náu phƠn tẵch f thnh cĂc thnh

phƯn bĐt khÊ quy

f =fa1

1 · · ·fsas
trong â fi khỉng chia h¸t cho fj vợi i6=j thẳ

V(f) = V(f1)V(f2). . .V(fs)

l phƠn tẵch tối thiu cừa V(f) thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy trong P2. Hìn núa
I(V(f)) =phfi=hf1, f2,· · ·fsi.

Gi£ sû f l a thực thuƯn nhĐt v C := V(f). Mằnh · tr¶n suy ra I(C) =

</div>
(111)<div class='page_container' data-page=111>

Bê · 4.5.2. Gi£ sû f, g ∈ C[x, y, z] l cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc ton th m v
n tữỡng ựng. Náu f(0,0,1) v g(0,0,1) khĂc khổng thẳ kát thực Res(f, g, z) l a thực

thuƯn nhĐt theo bián x v y vợi bêc ton th mn.

Bờ Ã sau ch ra cĂc a thực thuƯn nhĐt theo hai bián câ c§u tróc r§t ìn gi£n.
Bê · 4.5.3. Gi£ sûh C[x, y] l a thực thuƯn nhĐt. Khi õ cõ thº vi¸t

h=c(s1x−r1y)m1(s2x−r2y)m2· · ·(slx−rly)ml,

trong â c∈ C, c 6= 0, v (r1, s1),(r2, s2), . . . ,(rl, sl) l c¡c iºm ph¥n bi»t cõa P1. Hìn
núa

V(h) = {(r1, s1),(r2, s2), . . . ,(rl, sl)} P1.

ng dửng Ưu tiản cừa cĂc bờ Ã trản l

nh lỵ 4.5.4. GiÊ sỷ C, D l cĂc ữớng cong xÔ Ênh trong P2 khổng cõ chung mởt

thnh phƯn bĐt khÊ quy. Náu cĂc bêc cừa cĂc phữỡng trẳnh thu gồn cừa C v D tữỡng

ựng l m v n thẳ giao CD l hỳu hÔn v cõ nhiÃu nhĐt mn im.

GiÊ sỷ C, D l c¡c ÷íng cong trong P2 khỉng câ chung mởt thnh phƯn bĐt khÊ

quy v cõ cĂc phữỡng trẳnh thu gån t÷ìng ùng l f = 0 v g = 0. Vợi mội p, q

CD, p6=q, kỵ hiằuLpq l ữớng thng xÔ Ênh nối pvợi q.Bơng cĂch bián êi tåa ë,
câ thº gi£ sû

(0,0,1)6∈C∪D∪p,q∈C∩D,p6=qLpq.

Hìn núa n¸u p= (u, v, w) CD thẳ kát thực Res(f, g, z) triằt tiảu tÔi (u, v). Do õ
vxuy l mởt ữợc cừa a thực thuƯn nhĐt Res(f, g, z) C[x, y]. t Ip(C, D) l lụy
thứa cừa vxuy trong phƠn tẵch cõaRes(f, g, z).

ành ngh¾a 4.5.5. SèIp(C, D) gåi l giao bởi cừa hai ữớng congC, D tÔi p.
Bờ Ã 4.5.6. Giao bởi ữủc xĂc nh nhữ trản ữủc nh nghắa tèt.

V½ dư 4.5.7. Gi£ sû C := V(f) v D:= V(g) l hai ữớng cong trong khổng gian xÔ

Ênh P2, trong â

</div>
(112)<div class='page_container' data-page=112>

g := 2x3−4x2y+ 3xy2+y3−2y2z.

Ta câ

Res(f, g, z) = 2y(xy)3(2x+y).

Suy ra CD gỗm 3 im

p= (0,0,1), q= (1,1,1), r= (4/7,−8/7,1).

°c bi»t, C v D khæng câ th nh phƯn chung. Vẳ (0,0,1) C nản kát thực ữủc x¡c

ành tr¶n khỉng cho gi¡ trà óng cõa giao bëi. Vẳ vêy ta cƯn thay ời tồa ở. XuĐt phĂt
tứ im

(0,1,0)6CDp,qCD,p6=qLpq

ta tẳm ma trên A GL(3,C) sao cho A(0,1,0) = (0,0,1). Chng hÔn A(x, y, z) =
(z, x, y). Suy ra A(p) = (1,0,0), A(q) = (1,1,1)v A(r) = (1,4/7,8/7).

Chú ỵ rơng

(u, v, w)A(C) A1(u, v, w)C f(A1(u, v, w)) = 0.

Suy ra phữỡng trẳnh xĂc nh ữớng congA(C) cõ dÔng
f(y, z, x) = 0.

Tữỡng tỹ, phữỡng trẳnh xĂc nh ữớng congA(D) cõ dÔng
g(y, z, x) = 0.

Ta câ

Res(f(y, z, x), g(y, z, x), z) = 8y5(x−y)3(4x−7y).

Vªy

Ip(C, D) = 5, Iq(C, D) = 3, Ir(C, D) = 1.

nh lỵ 4.5.8. (nh lỵ Bzout) GiÊ sỷ C, D l cĂc ữớng cong trong khổng gian xÔ

Ênh P2 khổng cõ thnh phƯn chung cõ bêc cừa cĂc phữỡng trẳnh thu gån cõa C v D

t÷ìng ùng l m v n. Khi â

p∈C∩D

</div>
(113)<div class='page_container' data-page=113>

B i tªp

1. B i tªp n y liản quan án parabol y =x2 v ellipse x2+ 4(y)2 = 4 trong

R2.

(a) Chựng minh náu < 1 thẳ hai ữớng cong ny khổng giao nhau. V hẳnh

minh hồa trong cĂc trữớng hủp <1v =1.

(b) Tẳm số thỹc dữỡng nhọ nhĐt 0 sao cho hai ữớng cong cõ giao bơng trống

khi > 0. V hẳnh minh hồa trong c¡c tr÷íng hđp λ > λ0 v λ=λ0.

hẳnh minh hồa.

(d) Trong c¡c h¼nh cõa (a), (b) v (c) x¡c ành trữớng hủp bởi giao >1.

(e) Khổng sỷ dửng nh lỵ Bzout, giÊi thẵch tÔi sao trản C số cĂc giao im

(ám vợi bởi) tông lản 4 khi thỹc.

2. Xt paraboly=x2 v ÷íng th¯ng L⊂k2.Gi£ sû Lkhỉng l ÷íng th¯ng ùng.

(a) Gi£ sû k = R. Chùng minh sè c¡c iºm giao ch¿ câ thº l 0,1 ho°c 2. Hìn

núa câ úng mởt giao im khi L tiáp xúc vợi parabol y=x2.

(b) GiÊ sỷ k =C. Khổng sỷ dửng nh lỵ Bzout, chựng minh số cĂc giao im

(ám vợi bởi) úng b¬ng 2.

3. Gi£ sû

g = gm+· · ·+g0,

h = hn+· Ã Ã+h0,

l phƠn tẵch cừa g v h thnh cĂc thnh phƯn thuƯn nhĐt. GiÊ sỷ f = gh l a

thực thuƯn nhĐt. Chựng minh f =gmhn.

4. GiÊ sỷ f, g C[x, y, z] l cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc m v n tữỡng ựng
f = a0zm+Ã Ã Ã+am,

g = b0zn+· · ·+bn,

trong â ai ∈ C[x, y] v bi C[x, y] l cĂc a thực thuƯn nhĐt bªc i. Gi£ sû

</div>
(114)<div class='page_container' data-page=114>

(a) Chùng minh R(tx, ty)l nh thực cừa ma trên m cĂc phƯn tỷ b¬ng 0ho°c

b¬ng tiai(x, y)ho°c b¬ng tibi(x, y).
(b) Chùng minh R(tx, ty) =tmnR(x, y).

5. (a) Gi£ sû f ∈ C[x1, x2, . . . , xn] l a thùc kh¡c khæng. Chựng minh cĂc a tÔp

V(f)v Cn\V(f) khĂc trống.

(b) GiÊ sỷC, D l cĂc ữớng cong xÔ Ênh trongP2(

C)khổng cõ chung mởt thnh

phƯn bĐt khÊ quy. GiÊ sỷ pi, i= 1,2, . . . , nm+ 1,l c¡c iºm ph¥n bi»t thuởc

CD, trong õm vn l bêc cừa C vD. Kỵ hi»uLij,1≤i < j ≤nm+ 1,
l ÷íng th¯ng i qua pi v pj. Chựng minh tỗn tÔi qCDi<j Lij.
(c) Cho q ∈P2(

C). T¼m A∈GL(3,C) sao cho A(q) = (0,0,1).

(d) Chùng minh ữớng thng xÔ Ênh i qua cĂc im (0,0,1) v (u, v, w) cưt

ữớng thng z= 0 tÔi im (u, v,0).

6. Gi£ sû C :=V(f) v D := V(g) l hai ữớng cong trong khổng gian xÔ Ênh P2,

trong õ

f := x3+y3−2xyz,

g := 2x3 −4x2y+ 3xy2+y3−2y2z.

(a) Chùng minh câ óng ba giao iºm cõa ÷íng congCv Dl p= (0,0,1), q =
(1,1,1) v r= (4/7,−8/7,1).

(b) Chùng minh f v g l thu gån.

7. Trong cĂc bi têp dữợi Ơy, h¢y x¡c ành c¡c iºm giao v c¡c bëi giao.
(a) C =V(yz−x2)v D=V(x2+ 4(y−z)2−4z2).

(b) C =V(x2y3−2xy2z2+yz4+z5)v D=V(x2y2−xz3−z4).

8. (a) Gi£ sû f ∈ C[x] l a thùc kh¡c khæng. Chùng minh C\V(f) liản thổng

ữớng.

(b) M rởng cƠu (a) cho a thực nhiÃu bián.

</div>
(115)<div class='page_container' data-page=115>

9. GiÊ sỷ C l ữớng cong bĐt khÊ quy bêc ba trong P2(C).Sỷ dửng nh lỵ Bzout

chựng minh ữớng thng L cưt C nhiÃu nhĐt tÔi hai im. iÃu gẳ xÊy ra khi C

khổng bĐt khÊ quy? Kát qua nhữ thá no khi C = V(f) vợi f C[x, y, z] l a

thực thuƯn nhĐt bĐt khÊ quy bêc n.

10. GiÊ sỷ C, D l c¡c ÷íng cong trong P2(

C).

(a) Chùng minh C∩D6=∅.

(b) Gi£ sû C khỉng ký dà. Chùng minh C b§t kh£ quy.

11. (a) Trong P2(C), chùng minh mët ÷íng th¯ngL ct mởt ữớng cong bêc n tÔi

n im (k cÊ bởi).

(b) Náu ữớng cong C cõ bêc n cưt hủp cừa m ữớng thng. Cõ bao nhiảu giao

im cõ th cõ?

cĂc giao im khổng thay ời khi nhiạu cĂc ữớng cong C hoc D.

(d) Suy ra náu m ữớng thng trong phƯn (b) trũng nhau (gồi l ữớng thng

bởi m) thẳ số cĂc giao im (ám vợi bởi) văn khổng ời.

(e) Suy ra nh lỵ Bzout úng trong trữớng hủp tờng quĂt bơng cĂch di chuyn

</div>
(116)<div class='page_container' data-page=116>

Chữỡng 5

ChiÃu cừa a tÔp

Mửc ẵch cừa chữỡng ny l nh nghắa chiÃu cừa mởt a tÔp affine.

5.1 Hm Hilbert v chiÃu cừa a tÔp

GiÊ sû V l khæng gian vector v W l khæng gian con cừa V. TrảnV nh nghắa

quan hằ `':

v v0 náu vv0 W.

Dạ dng chựng minh l quan hằ tữỡng ữỡng. Kỵ hiằu [v] l lợp tữỡng ữỡng cừa
v V v V /W l têp hủp cĂc lợp tữỡng ÷ìng; tùc l

V /W ={[v] | v ∈V}.

Tr¶nV /W x²t c¡c ph²p to¡n cëng[v] + [v0] = [v+v0]v ph²p nh¥n vổ hữợnga[v] = [av]

vợi a k v v, v0 V. Dạ kim tra tẵnh úng ưn cừa cĂc php toĂn ny. Vêy V /W l

mởt khổng gian vector trản k.Ta câ

Bê · 5.1.1. Gi£ sû W l khæng gian vector con cừa mởt khổng gian vector hỳu hÔn

</div>
(117)<div class='page_container' data-page=117>

5.1.1 ChiÃu cừa a tÔp affine

Ta biát rơng vnh a thùck[x1, x2, . . . , xn]l khæng gian vector trảnk.Vợi mội số
nguyảns kỵ hiằu

k[x1, x2, . . . , xn]≤s ={f ∈k[x1, x2, . . . , xn] | deg(f)≤s}.
Bê · 5.1.2. k[x1, x2, . . . , xn]≤s l khæng gian vector câ chi·u n+ss

Chùng minh. B i tªp.

Gi£ sû I ⊂k[x1, x2, . . . , xn] l ideal. Vợi mội số nguyản s kỵ hiằu

Is =I ∩k[x1, x2, . . . , xn]≤s.
Hiºn nhi¶n I≤s l khæng gian vector con cõa k[x1, x2, . . . , xn]≤s.
ành ngh¾a 5.1.3. Gi£ sû I ⊂k[x1, x2, . . . , xn] l ideal. Ta gåi

aHF

I(s) = dimk[x1, x2, . . . , xn]≤s/I≤s

= dimk[x1, x2, . . . , xn]≤s−dimI≤s
l h m Hilbert affine cõaI.

M»nh · 5.1.4. Cho ideal I ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â vỵi måi s õ lỵn, h m Hilbert
affine cõa I cõ dÔng

HFI(s) =
d

i=0

s
di

trong õ bi l cĂc số nguyản v b0 >0.

nh nghắa 5.1.5. a thực bơngaHF

I(s)vợi sừ lợn gồi l a thực Hilbert affine cừa

I v kỵ hiằu laHP
I(s).

Vẵ dö 5.1.6. Gi£ sû I =hx3y2+ 3x2y2 +y3+ 1i ⊂k[x, y]. Câ thº chùng minh

aHF

I(s) = 5s−5
khis ≥5. Suy ra a thùc Hilbert affine cõa I l

aHP

</div>
(118)<div class='page_container' data-page=118>

M»nh · 5.1.7. Cho idealI ⊂k[x1, x2, . . . , xn].Khi â a thùc Hilbert affine cõa I v
a thùc Hilbert affine cừa I cõ cũng bêc.

nh nghắa 5.1.8. ChiÃu cừa a tÔp affineV kn,kỵ hiằu dimV,l bêc cừa a thùc

Hilbert affine cõa idealI(V)⊂k[x1, x2, . . . , xn].
V½ dư 5.1.9. Gi£ sû V =V(y−x2, z−x3)⊂

R3 l ÷íng cong xoưn bêc ba. Ta biát

rơng I =I(V) = hyx2, zx3i ⊂R[x, y, z]. Hìn núa câ thº chùng minh dimV = 1.

Vẵ dử 5.1.10. GiÊ sỷk l trữớng vổ hÔn v I =hxα1

1 x

α2

2 . . . xαnnil ideal ìn thùc trong

k[x1, x2, . . . , xn]. Ta câ I(V(I)) =
√

I. Suy ra

dimV(I) = degaHPI(V(I)) = degaHP√I = deg
aHP

Vªy dimV(I) bơng số chiÃu lợn nhĐt cừa khổng gian tồa ở chựa trong V(I).

Vẵ dử 5.1.11. Mởt trữớng hủp thú v l chiÃu cừa a tÔp trống. Chú ỵ rơng 1I(V)

náu v ch¿ n¸u k[x1, x2, . . . , xn]≤s=I(V)≤s vợi mồi s. Do õ

V = aHPI(V) = 0.

Vẳ ta khổng nh nghắa bêc cừa a thực khổng nản ta cụng khổng nh nghắa chiÃu cừa
a tÔp trống.

Chú ỵ 5.1.12. Nâi chung dimV 6= degaHP

I trong â I l ideal tũy ỵ xĂc nh V.
Chng hÔn, náu I = hx2 +y2i

R[x, y]. Khi õ aHPI cõ bêc bơng 1. M°t kh¡c V =

V(I) ={(0,0)} ⊂R2 câ chi·u b¬ng 0.

Tuy nhiản, khi k l trữớng õng Ôi số, ta cõ kát quÊ sau:

nh lỵ 5.1.13. GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số v V = V(I) kn l a tÔp affine,
trong õ ideal I k[x1, x2, . . . , xn]. Khi â

dimV = degaHPI.

5.1.2 Chi·u cõa a tÔp xÔ Ênh

Vợi mội số nguyản s kỵ hiằu

</div>
(119)<div class='page_container' data-page=119>

Bê · 5.1.14. k[x0, x1, . . . , xn]s l khæng gian vector câ chi·u n+ss

Gi£ sû I ⊂k[x0, x1, . . . , xn] l ideal thuƯn nhĐt. Kỵ hiằu

Is =I k[x0, x1, . . . , xn]s.

Ta cõ Is l khổng gian vector hỳu hÔn chi·u cõa khæng giank[x0, x1, . . . , xn]s. Ta gåi

HFI(s) = dimk[x0, x1, . . . , xn]s/Is
l hm Hilbert (xÔ Ênh) cừa ideal I.

Mằnh Ã 5.1.15. Cho ideal thuƯn nhĐt I k[x0, x1, . . . , xn]. Khi â vỵi måi s õ lỵn,
h m Hilbert cõaI cõ dÔng

HFI(s) =
d

i=0

s
di

trong õ bi l cĂc số nguyản v b0 >0.

nh nghắa 5.1.16. a thực bơngHFI(s)vợi s ừ lợn gồi l a thực Hilbert cừaI v
kỵ hiằu l HPI(s).

nh nghắa 5.1.17. Số nguyản degHPI(V) gồi l chiÃu cừa a tÔp xÔ Ênh V Pn(k)

v kỵ hiằu ldimV.

nh lỵ 5.1.18. GiÊ sỷk l trữớng õng Ôi số v V =V(I)Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh,
trong õ I k[x0, x1, . . . , xn] l ideal thuƯn nhĐt. Náu V khĂc trống thẳ

dimV = degHPI.

GiÊ sỷ I l ideal thuƯn nh§t trong k[x0, x1, . . . , xn]v V =V(I)⊂Pn(k)l a tÔp
xÔ Ênh. Ta gồi CV =Va(I)kn+1 l nõn affine cừaV. Ta cõ

nh lỵ 5.1.19. (i) GiÊ sỷ I k[x0, x1, . . . , xn] l ideal thuƯn nhĐt. Khi õ

HFI(s) =aHFI(s)aHFI(s1)

vợi mồi s1. Tỗn tÔi cổng thực tữỡng tỹ cho cĂc a thực Hilbert affine v xÔ Ênh.

Ngữủc lÔi, náu V Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh v C

V ⊂kn+1 l nân affine cõa nâ th¼

</div>
(120)<div class='page_container' data-page=120>

(ii) Gi£ sû I ⊂k[x1, x2, . . . , xn] l ideal thuƯn nhĐt v kỵ hiằuIh k[x0, x1, . . . , xn] l
thuƯn nhĐt hõa cừa nõ tữỡng ựng x0. Khi õ

aHF

I(s)aHFIh(s)

vợi mồi s0.

Bi têp

1. Bi têp n y chùng minh n¸u W l khỉng gian con cõa khỉng gian vector V th¼
V /W cơng l khỉng gian vector.

(a) Chựng minh quan hằ `' trản V nh nghắa bi
v v0 náu vv0 W

l mởt quan hằ tữỡng ữỡng. Kỵ hiằu [v] l lợp tữỡng ữỡng cừa v V v
V /W l têp hủp cĂc lợp tữỡng ữỡng; tùc l

V /W ={[v]| v ∈V}.

(b) Tr¶nV /W x²t c¡c ph²p to¡n cëng[v] + [v0] = [v+v0]v ph²p nh¥n vỉ hữợng

a[v] = [av] vợi a k v v, v0 V. Chùng minh t½nh óng n cõa c¡c ph²p

to¡n n y.

2. GiÊ sỷ V l khổng gian vector hỳu hÔn chiÃu vỵi cì sð {v1, v2, . . . , vn+m v W l
khỉng gian con cõaV vỵi cì sð{v1, v2, . . . , vm.Chùng minh{[vm+1],[vm+2], . . . ,[vn+m]}
l cì sð cõa khỉng gian V /W.

3. Cho ideal I ⊂ k[x1, x2, . . . , xn], I 6= 0. Chựng minh I l khổng gian vector vổ hÔn
chiÃu trản k.HD: LĐy f I, f 6= 0,v xt xf.

4. T¼m c¡c a thùc Hilbert affine cõa c¡c ideal sau:
(a) I =hx3y, xy2i ⊂k[x, y].

</div>
(121)<div class='page_container' data-page=121>

(d) I =hx3−yz2, y4−x2yzi ⊂k[x, y, z].

5. Tẳm ch số chẵnh quy (tực l số nguyản nhọ nhĐt s0 sao cho aHFI(s) = aHPI(s)
vợi mồi ss0) ối vợi mội ideal trong bi têp trản.

6. Chựng minh náu I1 ⊂I2 l c¡c ideal trongk[x1, x2, . . . , xn] thẳ

degaHPI2 deg

HPI1.

7. Chựng minh a tÔp V ={p} kn cõ chiÃu bơng khổng.

8. GiÊ sỷ k l trữớng vổ hÔn. Cho ideal ỡn thựcI k[x1, x2, . . . , xn].
(a) Chùng minh r¬ng I(V(xi1, xi2, . . . , xir)) =hxi1, xi2, . . . , xiri.

(b) Chùng minh giao cõa c¡c ideal ìn thùc l mët ideal ìn thùc.
(c) Chùng minh I(V(I))l ideal ìn thùc.

(d) Chùng minh I(V(I)) =I. Ta biát rơng I(V(I)) I. Vẳ I(V(I))l ideal

ỡn thực, nản cƯn chựng minh náu x I(V(I)) thẳ tỗn tÔi r > 0 sao cho
xr I.

(e) GiÊ sûI =hxi ⊂F2[x, y].Chùng minhI(V(I)) =hx, y2−yi.ideal n y khỉng

l ìn thùc v lỵn hìn ideal √I.

9. Cho idealI =hx2+y2i ⊂R[x, y].

(a) Chùng minh degaHPI = 1.
(b) Chùng minh dimV = 0.

10. GiÊ sỷ k l trữớng õng õng Ôi số. Tẵnh chiÃu cừa cĂc a tÔp affineV(I),trong

(a) I =hxz, xy1i ⊂k[x, y, z].

(b) I =hzw−y2, xy−z3i ⊂k[x, y, z, w].

11. Kh£o s¡t v nh a thùc k[x0, x1, . . . , xn].

(a) Cho vẵ dử chựng tọ têp cĂc a thực bêcskhổng õng ối vợi php toĂn cởng

</div>
(122)<div class='page_container' data-page=122>

(b) Chựng minh têp cĂc a thực thuƯn nhĐt bêc s cũng vợi a thực khổng l

khổng gian vector trản k.Chùng minh chi·u cõa khỉng gian n y b¬ng n+ss.

12. Gi£ sỷ I l ideal thuƯn nhĐt. Chựng minh cĂc a thùc Hilbert HPI v HP√I câ
cịng bªc.

13. B i tªp n y t¼m hiºu khi n o a thùc Hilbert l a thùc khæng.

(a) Gi£ sûI ⊂k[x0, x1, . . . , xn]l ideal thuƯn nhĐt. Chựng minhhx0, x1, . . . , xnir ⊂

I, r ≥0, n¸u v ch¿ n¸u a thùc Hilbert cõa ideal I l a thùc khæng.

(b) Gi£ sû V Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh. Chựng minh V = ∅ n¸u v ch¿ n¸u a
thùc Hilbert cõa V l a thùc khỉng.

14. Gi£ sû kl tr÷íng âng õng Ôi số. Tẵnh chiÃu cừa cĂc a tÔp xÔ £nhV(I),trong

(a) I =hx2−y2, x3−x2y+y3i ⊂k[x, y, z].

(b) I =hy2−xz, x2y−z2w, x3−yzwi ⊂k[x, y, z, w].

15. (a) Cho ideal ìn thùc I. Chùng minh

HFI(s) =aHFI(s)−aHFI(s−1)

vỵi måi s≥1.

(b) Gi£ sûI ⊂k[x1, x2, . . . , xn]l ideal thuƯn nhĐt v kỵ hiằuIh k[x0, x1, . . . , xn]
l thuƯn nhĐt hõa cừa nõ tữỡng ựng x0. Chựng minh

aHF

I(s)aHFIh(s)

vợi mồi s0.

16. Cho a tÔp xÔ Ênh V Pn(k) v kỵ hiằuC

V ⊂kn+1 l nân affine cõa nâ. Chùng
minh ¯ng thùc sau trong v nh k[x0, x1, . . . , xn] :

</div>
(123)<div class='page_container' data-page=123>

5.2 CĂc tẵnh chĐt

PhƯn ny trẳnh by mởt số tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa chiÃu.

Mằnh Ã 5.2.1. GiÊ sỷ V1, V2 l cĂc a tÔp xÔ Ênh hoc affine trản trữớng k. Náu

V1 V2 thẳ dimV1 dimV2.

Chựng minh. Bi têp.

Mằnh Ã 5.2.2. GiÊ sỷk l trữớng õng Ôi sè, f ∈k[x0, x1, . . . , xn] l a thực thuƯn

nhĐt khĂc hơng v V(f)Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh xĂc nh bi f. Khi õ

dimV(f) =n1.

Do õ khik õng Ôi số, siảu mtV(f)trong Pn(k)luổn cõ chiÃu n1. i·u n y
cơng óng cho c¡c si¶u m°t affine. Tuy nhi¶n, vẵ dử sau chựng tọ cĂc kát quÊ ny khổng
úng náu k khổng õng ai số.

Vẵ dử 5.2.3. GiÊ sỷ f =x2+y2 ∈R[x, y].Ta câ V(f) ={(0,0)} ⊂R2 câ chi·u 0.

Chú ỵ rơng náu I l ideal vf l a thực thẳ V(I+hfi) = V(I)V(f).

nh lỵ 5.2.4. GiÊ sỷkl trữớng õng Ôi số vI l ideal thuƯn nhĐt trongk[x0, x1, . . . , xn].
Náuf l a thực thuƯn nhĐt khĂc hơng thẳ

dimV(I)dimV(I+hfi)dimV(I)1.

c biằt ta cõ

Hằ quÊ 5.2.5. GiÊ sỷkl trữớng õng Ôi số vI l ideal thuƯn nhĐt trongk[x0, x1, . . . , xn].
Náuf l a thực thuƯn nhĐt khĂc hơng sao cho lợp cừaf trong vnh thữỡngk[x0, x1, . . . , xn]/I
khổng l ữợc cừa khổng. Khi õ

dimV(I+hfi) = dimV(I)1.

Chú ỵ 5.2.6. nh lỵ 5.2.4 cõ th khổng úng ối vợi cĂc a tÔp affine. Thêt vªy, x²t
ideal I =hxz, yzi ⊂ C[x, y, z]. Ta câ V(I) =V(z)∪V(x, y)⊂ C3. °c bi»t dimV = 2.

</div>
(124)<div class='page_container' data-page=124>

Kát quÊ sau m rởng nh lỵ 5.2.4 cho nhi·u a thùc.

M»nh · 5.2.7. Gi£ sûkl tr÷íng âng Ôi số vIl ideal thuƯn nhĐt trongk[x0, x1, . . . , xn].
N¸uf1, f2, . . . , fr l cĂc a thực thuƯn nhĐt khĂc hơng trong k[x0, x1, . . . , xn] th¼

dimV(I +hf1, f2, . . . , fri)≥dimV(I)−r.

Chùng minh. Chùng minh suy trüc ti¸p tø nh lỵ 5.2.4 v quy nÔp.
Mằnh Ã 5.2.8. Chok l trữớng õng Ôi số.

1. GiÊ sỷ V Pn(k) l a tÔp xÔ Ênh cõ chiÃu >0. Khi õ

V V(f)6=

vợi mồi a thực thuƯn nhĐt khĂc hơng f. Do õ mởt a tÔp xÔ Ênh cõ chiÃu dữỡng

cưt mồi siảu mt trong Pn(k).

2. GiÊ sỷ W kn l a tÔp affine cõ chiÃu >0. Náu W l bao õng xÔ Ênh cõa W

trong Pn(k) th¼ W 6=W .Suy ra mët a tÔp affine cõ chiÃu dữỡng luổn luổn cõ cĂc

im tÔi vổ hÔn.

Ká tiáp ta nghiản cựu hủp cừa hai a tÔp.

Mằnh Ã 5.2.9. GiÊ sỷ V v W l cĂc a tÔp affine trong kn hoc cĂc a tÔp xÔ £nh

trong Pn(k). Khi â

dim(V ∪W) = max(dimV,dimW).

M»nh · tr¶n suy ra

H» qu£ 5.2.10. Gi£ sû V = V1 ∪V2 ∪. . .Vr l phƠn tẵch cừa a tÔp V thnh cĂc
thnh phƯn bĐt khÊ quy. Khi õ

dim(V) = max

i=1,2,...,rdimVi.

Mằnh Ã 5.2.11. Cho k l trữớng õng Ôi số v V Pn(k) l a tÔp bĐt khÊ quy.
1. Náu f k[x0, x1, . . . , xn] l a thùc thu¦n nhĐt khổng bơng khổng trản V thẳ

dim(V V(f)) = dimV 1.

</div>
(125)<div class='page_container' data-page=125>

Bi têp

1. GiÊ sỷkl trữớng õng Ôi sè v f ∈k[x1, x2, . . . , xn]l a thực khĂc hơng. Chựng
minh siảu mt affine V(f)kn cõ chiÃu n1.

2. Trong R4 hÂy cho cĂc a tÔp affine xĂc nh bi úng mởt phữỡng trẳnh cõ cĂc

chiÃu tữỡng ựng l 1,2,3, v 4.

3. Xt Ănh xÔ

: k[x0, x1, . . . , xn]s/Is →k[x0, x1, . . . , xn]s/(I+hfi)
x¡c ành bði π([g]) = [g]vỵi måi g ∈k[x0, x1, . . . , xn]s.

(a) Chùng minh t½nh hđp l» cừa Ănh xÔ . Tực chựng minh Ênh cừa lợp [g] qua

Ănh xÔ khổng phử thuởc vo biu diạn ữủc chồn.

(b) Chựng minh l Ănh xÔ tuyán tẵnh tr¶n c¡c khỉng gian vector.

4. GiÊ sỷ f l a thực thuƯn nhĐt bêc r v I l ideal thuƯn nhĐt. Chựng minh tẵnh

hủp lằ cừa Ănh xÔ

f:k[x1, x2, . . . , xn]s−r/Is−r→k[x1, x2, . . . , xn]s/Is
trong â αf([h]) = [f ·h].

5. Cho f ∈k[x0, x1, . . . , xn] l a thực thuƯn nhĐt bêc r >0.

(a) Tẳm cæng thùc x¡c ành a thùc Hilbert chohfi.Cæng thùc n y ch¿ phö thuëc

v o n, r v s. °c bi»t måi a thực thuƯn nhĐtn bián bêc r cõ cũng a thùc

Hilbert.

(b) Têng qu¡t: gi£ sû V = V(I) v lỵp cừa f khổng l ữợc cừa khổng trong
k[x0, x1, . . . , xn]/I. Chùng minh a thùc Hilbert cõa I +hfi ch¿ phö thuëc
v o V v r.

6. Gi£ sû I =hxz, yzi. Chùng minhV(I+hz−1i) = {(0,0,1)}.

</div>
(126)<div class='page_container' data-page=126>

(a) Gi£ sû 1≤r≤n. Chùng minh x0, x1, . . . , xr lR-dÂy.
(b) Chựng minh náu k õng Ôi số v f1, f2, . . . , fr lR-dÂy thẳ

dimV(f1, f2, . . . , fr) =n−r.

8. °t R =k[x0, x1, . . . , xn]. ideal thuƯn nhĐt I gồi l giao Ưy ừ náu nõ ữủc sinh
bi mởt R-dÂy. a tÔp xÔ Ênh V gồi l giao Ưy ừ náuI(V)l ideal giao Ưy ừ.

(a) Chựng minh mồi khổng gian con tuyán tẵnh bĐt khÊ quy cừa Pn(k) l giao

Ưy ừ.

(b) Chựng minh cĂc siảu mt xÔ Ênh v affine l giao Ưy ừ.

(d) Gi£ sû V =V(yx2, zx3)l ữớng cong xoưn bêc ba trong k3.Bao õng

xÔ £nh cõa V l giao ¦y õ?

9. Cho ideal I ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. B i tªp n y chựng minh a thực Hilbert affine l
a thực hơng náu v ch náu vnh thữỡng k[x1, x2, . . . , xn]/I l khổng gian vector
hỳu hÔn chiÃu trản k.Hỡn nỳa, náu iÃu ny xÊy ra thẳ hơng số chẵnh l chi·u cõa

khæng gian vector k[x1, x2, . . . , xn]/I.
(a) Chựng minh tẵnh úng cừa Ănh xÔ

s: k[x1, x2, . . . , xn]<s/I<s→k[x1, x2, . . . , xn]/I, [f]7→[f].
Chùng tä αs l mët-mët.

(b) Gi£ sû khæng gian vector k[x1, x2, . . . , xn]/I húu hÔn chiÃu. Chựng minh s
l ng cĐu vợi mồi s ừ lợn. Suy ra a thực Hilbert affine l hơng (b¬ng

chi·u cõa khỉng gian k[x1, x2, . . . , xn]/I.)

αs n¸u s ≤ t. Chựng minh náu s, t ừ lợn thẳ cĂc £nh n y trịng nhau. Suy
ra αs l ¯ng c§u èi vợi s ừ lợn v kát luên khổng gian k[x1, x2, . . . , xn]/I
l hỳu hÔn chiÃu.

</div>
(127)<div class='page_container' data-page=127>

bi têp trữợc ta cõ a thực Hilbert affine cõa ideal I(V)l a thùc h¬ng. Gi£ sû
V ={p1, p2, . . . , pm}, vỵi m= #V.

(a) Chùng minh tẵnh hủp lằ cừa Ănh xÔ

: k[x1, x2, . . . , xn]/I(V)→km

trong â φ([f]) = (f(p1), f(p2), . . . , f(pm)). Chùng tä φ l mët-mët.
(b) Cè ànhi v °t Wi ={pj | j 6=i}.Chùng minh I(Wi) +I({pi}) = 1.

(c) Chựng minh tỗn tÔi fi I(Wi) v gi ∈ I({pi}) sao cho fi +gi = 1. Chùng
minh φ([fi]) l vector trong km câ tåa ë thù i bơng 1 v cĂc tồa ở cỏn lÔi
bơng 0.

(d) Chựng minh φ l ¯ng c§u v suy ra dimk[x1, x2, . . . , xn]/I(V) =m = #V.
11. Cho ideal thuƯn nhĐt I k[x0, x1, . . . , xn].Bi têp ny tẳm hiu ỵ nghắa hẳnh hồc

cừa hằ số b0 trong a thùc Hilbert

HPI(s) =
d

i=0

s
d−1

Ta s³ gåi b0 l bêc cừa idealI.

(a) Chựng minh bêc cừa ideal hfi bơng bêc cừa a thực f.

(b) Chựng minh náu k õng Ôi số thẳ bêc cừa siảu mt V(f) bơng bêc cõa a

thùc thu gån fred cõa a thùcf.

degf1Ãdegf2Ã Ã Ãdegfr.

(d) Tẵnh bêc cừa bao õng xÔ Ênh cừa ữớng cong xoưn bêc ba.

12. Chựng minh a thực Hilbert HPI+hfi khỉng thº b¬ng khỉng khi dimV >0.

13. Gi£ sû V = V(x) ⊂ k2. Chùng minh V ∩V(x−1) = . TÔi sao iÃu ny khổng

</div>
(128)<div class='page_container' data-page=128>

14. GiÊ sỷ W =V(x2+y21)R2. Chựng minh W =W trong

P2(R). TÔi sao iÃu

ny khổng mƠu thuăn vợi Mằnh Ã 5.2.8(ii)?

15. Cho c¡c ideal I, J ⊂k[x1, x2, . . . , xn]. Chùng minh c¡c bao h m thùc sau

IJ ⊂I∩J ⊂√IJ .

16. GiÊ sỷ k õng Ôi số v V Pn(k)bĐt khÊ quy.

(a) Chựng minh náu dimV > 0 thẳ tỗn tÔi a tÔp bĐt khÊ quy W V sao cho
dimW = dimV 1.

(b) t m= dimV. Chựng minh tỗn tÔi dÂy cĂc a tÔp bĐt khÊ quy
V0 V1 · · · ⊂Vm =V

sao cho Vi 6=Vi+1 vỵi 0≤i≤m−1.

liản hằ giỳa chiÃu cừa a tÔp bĐt khÊ quy V vợi dÂy cĂc a tÔp con bĐt khÊ

quy chựa trong V.

5.3 ChiÃu v phử thuởc Ôi số

Cho V l a tÔp affine. Nhưc lÔi rơng vnh tồa ở k[V] gỗm tĐt cÊ cĂc hm a

thực trản V.

nh nghắa 5.3.1. Ta nõi cĂc phƯn tỷ1, 2, . . . , rk[V]l ởc lêp Ôi số trảnk náu
khổng tỗn tÔi a thực khĂc khổng p phử thuëc v or bi¸n sao chop(φ1, φ2, . . . , r) = 0
trongk[V].

Nhên xt 5.3.2. Náu cĂc phƯn tỷ 1, φ2, . . . , φr ∈ k[V] ëc lªp Ôi số trản k thẳ i
khĂc khổng v ổi mởt kh¡c nhau. Hìn núa, måi tªp con cõa tªp {φ1, 2, . . . , r} cụng
ởc lêp Ôi số trảnk.

Vẵ dử 5.3.3. GiÊ sỷ V = kn. Náu k l trữớng vổ hÔn thẳ I(V) = {0} v do vêy

</div>
(129)<div class='page_container' data-page=129>

Vẵ dử 5.3.4. GiÊ sỷ V =V(yx2, z−x3) ⊂R3. Khi â I(V) = hy−x2, z−x3i. Ta

câ [x] R[V] ởc lêp Ôi số trản R. Thêt vêy, giÊ sỷ p l a thực mởt bián vợi cĂc

hằ sè trong R sao cho p([x]) = 0 trong R[V]. Tứ nh nghắa ta cõ [p(x)] = [0]. Suy ra

p(x)I(V).Những R[x]∩ hy−x2, z−x3i={0}.Vªy pl a thùc khỉng. M°t kh¡c, tø

¯ng thùc [y]−[x]2 = [0] trong

R[V] d¹ d ng suy ra c¡c phƯn tỷ [x] v [y] trong R[V]

khổng ởc lêp Ôi số trản R.

nh lỵ 5.3.5. Cho a tÔp affine V kn. Khi õ dimV bơng số lợn nhĐt cĂc phƯn tỷ
trong k[V] ởc lêp Ôi số trản k.

Hằ quÊ 5.3.6. GiÊ sỷV v V0 l cĂc a tÔp bĐt khÊ quy trong kn. NáuV tữỡng ữỡng
song hỳu t vợi V0 thẳ dimV = dimV0.

Hằ quÊ 5.3.7. Cho a tÔp affine V kn. Khi õ dimV bơng số nguyản lợn nhĐt r 
tỗn tÔi r bián xi1, xi2, . . . , xir sao cho I(V)∩k[xi1, xi2, . . . , xir] ={0}.

Chựng minh. Bi têp.

Trong phƯn cỏn lÔi ta s giÊ sỷ V bĐt khÊ quy. Khi õ I(V) nguyản tố v k[V] l

miÃn nguyản. Vẳ vêy cõ th thiát lêp trữớng cĂc hm hỳu t k(V) trản V.

nh lỵ 5.3.8. Cho a tÔp bĐt khÊ quy V kn. Khi õ dimV bơng số lợn nhĐt cĂc
phƯn tỷ trong k(V) ởc lêp Ôi số trản k.

Trong lỵ thuyát trữớng, cõ khĂi niằm bêc siảu viằt nh nghắa nhữ sau

nh nghắa 5.3.9. GiÊ sỷK l trữớng chựa k.Ta nõi d l bêc siảu viằt cừa K trản k

náu d l số nguyản lợn nhĐt cĂc phƯn tỷ cừaK ởc lêp Ôi số trản k.

Vẵ dử 5.3.10. GiÊ sỷ k l trữớng vổ hÔn v V =kn. Khi õ k(V) =k(x

1, x2, . . . , xn).
Do kn câ chi·u b¬ngn ta suy ra bêc siảu viằt cừa k(x

1, x2, . . . , xn) trản k bơng n.

Tứ nh nghắa suy ra

</div>
(130)<div class='page_container' data-page=130>

B i tªp

1. Gi£ sû φ1, φ2, . . . , r k[V] l ởc lêp Ôi sè tr¶n k.
(a) Chùng minh φi kh¡c khỉng v ỉi mët kh¡c nhau.

(b) Chùng minh måi tªp con kh¡c trèng cõa tªp{φ1, φ2, . . . , φr} ·u ëc lêp ai
số trản k.

(c) GiÊ sỷ y1, . . . , yr l cĂc bián v xt Ănh xÔ : k[y1, . . . , yr] → k[V] x¡c ành
bði α(p) =p(φ1, φ2, . . . , φr). Chùng minh ỗng cĐu vnh l mởt-mởt.
2. Cho k l trữớng õng Ôi số v ideal I k[x1, x2, . . . , xn]. Khi õ dimV bơng số

nguyản lợn nhĐt r tỗn tÔi r bián xi1, xi2, . . . , xir sao cho

I(V)∩k[xi1, xi2, . . . , xir] ={0}.

3. Cho ideal I = hxy−1i ⊂ k[x, y]. XĂc nh hẳnh chiáu cừa V(I) lản cĂc trửc tồa

ở.

4. Cho k l trữớng õng Ôi số v ideal I =hxy, xzi ⊂k[x, y, z].

(a) Chùng minh I∩k[x] = 0 nh÷ng I∩k[x, y]v I ∩k[x, z] kh¡c0.

(b) Chùng minh I∩k[y, z] = 0 những Ik[x, y, z]6= 0.

5. Cho k l trữớng õng Ôi số v ideal I =hz−x2, zy −xyi ⊂k[x, y, z].

(a) Chùng minh I∩k[x] = 0.ideal I∩k[x, y] ho°c I∩k[y, z] b¬ng 0?

(b) Chùng minh I∩k[x, y] = 0 nh÷ng I∩k[x, y, z]6= 0.

6. GiÊ sỷ : V W l Ănh xÔ a thực giỳa cĂc a tÔp affine. Ta nõi l trởi náu

a tÔp con nhọ nhĐt cừa W chựa (V) chẵnh l W. Nõi cĂch khĂc, l trởi náu

Ênh cừa nõ trũ mêt trong W.

(a) Chùng minh φ l trëi n¸u v ch¿ náu ỗng cĐu vnh : k[W] k[V] l

mởt-mởt.

</div>
(131)<div class='page_container' data-page=131>

7. Bi têp ny tẳm hiu mối quan hằ giúa tham sè hâa v chi·u. Gi£ sû k l trữớng

vổ hÔn.

(a) GiÊ sỷ F: km V l tham số hõa a thực cừa a tÔp V. Do õm l số cĂc
tham số v V l a tÔp nhọ nhĐt chùa F(km). Chùng minhm ≥dimV.
(b) Cho v½ dư tham sè hâa a thùcF: km →V vỵi m >dimV.

(c) Gi£ sû F: km\W →V l tham sè hâa húu t¿ cõa V. Ta biát rơng V l bĐt
khÊ quy. Chựng minh cõ th nh nghắa Ănh xÔ F: k(V)k(t1, t2, . . . , tm)

v Ănh xÔ ny l mởt-mởt.

(d) Chựng minh n¸uF: km\W →V l tham sè hâa húu t¿ cừaV thẳ mdimV.
8. Bi têp ny nh nghắa trữớng cĂc hm hỳu t trản a tÔp bĐt khÊ quyV Pn(k).
Náu f ∈ k[x0, x1, . . . , xn] th¼ f khổng xĂc nh mởt hm trản V. Thêt vêy giÊ sỷ

pV cõ tồa ở thuƯn nhĐt(a0, a1, . . . , an).Khi â(λa0, λa1, . . . , λan) cụng l tồa
ở thuƯn nhĐt cừa p v

f(a0, a1, . . . , λan) =λdf(a0, a1, . . . , an),
trong õ d= deg(f).

(a) GiÊi thẵch tÔi sao phữỡng trẳnh trản khổng th nh nghắaf(p)nhữ mởt hm

ỡn tr trản V.

(b) Gi£ sûg ∈k[x0, x1, . . . , xn] câ bêc bơngdv g 6I(V).Chựng minh tẵnh hủp
lằ cừa hm =f /g trản têp khĂc trống V \V V(g)V.

con thỹc sỹW cừa V sao cho=0 trản V \W;kỵ hiằu0.Chựng minh

quan hằ l quan hằ tữỡng ữỡng. Lợp tữỡng ữỡng trản V gồi l hm hỳu

t trản V. Têp cĂc lợp tữỡng ữỡng kỵ hiằu l k(V).

(d) Chùng minh câ thº ành ngh¾a c¡c ph²p to¡n cởng v nhƠn trản cĂc lợp tữỡng
ữỡng. Suy ra k(V)l mët tr÷íng. Ta gåi k(V)l tr÷íng c¡c h m húu t¿ trản

a tÔp xÔ Ênh V.

(e) Náu t Ui = {xi = 1} Pn(k) thẳ ta cõ mởt a tÔp affine bĐt khÊ quy

V Ui Ui 'kn.Chựng minh náu V Ui 6=thẳ k(V)ng cĐu vợi trữớng

</div>
(132)<div class='page_container' data-page=132>

9. Cho a tÔp bĐt khÊ quy V Pn(k) v k(V) l trữớng cĂc hm hỳu t trản V.
(a) Chựng minh dimV bơng bêc siảu viằt cừa k(V)trản k.

(b) Hai a tÔp xÔ Ênh bĐt khÊ quy V v V0 gồi l tữỡng ữỡng song hỳu t

náu V Ui tữỡng ữỡng song húu t¿ vỵi V0 ∩Uj vỵi måi i, j. Chùng minh

V v V0 tữỡng ữỡng song hỳu t náu v ch náu tỗn tÔi ng cĐu trữớng
:k(V)k(V0)sao cho hÔn chá cừa lản k l Ănh xÔ ỗng nhĐt.

5.4 Khổng gian tiáp xúc

nh nghắa 5.4.1. GiÊ sỷ V kn l a tÔp affine v p= (p

1, p2, . . . , pn)∈V.
(i) Gi£ sû f ∈k[x1, x2, . . . , xn]. a thùc

dp(f) :=

∂f
∂x1

(p)(x1−p1) +

f
x2

(p)(x2p2) +Ã Ã Ã+

f
xn

(p)(xnpn)

gồi l phƯn tuyán tẵnh cừa f tÔi p. Chú ỵ rơngdeg(dp(f))1.
(ii) a tÔp affine

Tp(V) :=V(dp(f)| f I(V))
gồi l khổng gian tiáp xúc cừa V tÔi p.

Náu k = R thẳ cĂc Ôo riảng xf

i nhữ trong php tẵnh vi phƠn. ối vợi trữớng k

tũy ỵ, Ôo hm riảng hẳnh thực:

f
xi

1...n

c1...nx

1 . . . x

i . . . x
αn

= X

α1...αn

cα1...αnαix

α1

1 . . . x

αi−1

i . . . x
n

n .

Ta cõ tẵnh chĐt ỡn giÊn cừa khổng gian ti¸p xóc.
M»nh · 5.4.2. Gi£ sû p∈V ⊂kn.

</div>
(133)<div class='page_container' data-page=133>

(ii) Khỉng gian ti¸p xóc Tp(V) l tành ti¸n cõa khổng gian con tuyán tẵnh cừa kn.
Mằnh Ã 5.4.3. GiÊ sû L l ÷íng th¯ng i qua p∈V câ tham sè hâa F(t) =p+tv.

Khi âL⊂Tp(V)n¸u v ch¿ n¸u0l mët nghi»m bởi2cừa fF(t)vợi mồif I(V).
Chựng minh. Bi têp.

Vẵ dử 5.4.4. GiÊ sû V = V(f) ⊂ Cn l si¶u m°t x¡c ành bði f = 0, trong â

f ∈k[x1, x2, . . . , xn] l a thùc kh¡c h¬ng. Khi â

I(V) =I(V(f)) =phfi=hfredi,

trong â fred = f1f2. . . fr l tẵch cừa cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa f. Ta gi£ sû

f =fred. Khi â

V =V(f) = V(f1f2. . . fr) = V(f1)V(f2)Ã Ã Ã V(fr)

l phƠn tẵch cừa V(f) thnh cĂc thnh phƯn bĐt khÊ quy. c biằt, mội thnh phƯn

cừa V cõ chiÃu n1.

Vẳ I(V) = hfi, ta cõ Tp(V) l a tÔp xĂc nh bi

f
x1

(p)(x1p1) +

f
x2

(p)(x2p2) +Ã Ã Ã+

f
xn

(p)(xnpn) = 0.

Suy ra

dimTp(V) =

n1 náu tỗn tÔi ch số i sao cho xf

i(p)6= 0,

n náu xf

i(p) = 0 vỵi måi i= 1,2, . . . , n.

Vẵ dử 5.4.5. KhÊo sĂt ữớng cong C = V(x+y+z, x2 −y2z2 +z3) ⊂

C3. Ta câ

hf1, f2i = hx +y+z, x2 −y2z2 +z3i l ideal nguy¶n tè. Suy ra C bĐt khÊ quy. Vẳ

ideal nguyản tố l radican, nh lỵ khỉng iºm cõa Hilbert suy raI(C) =hf1, f2i.N¸u

p= (a, b, c)C thẳ Tp(C)xĂc nh bi hằ cĂc phữỡng trẳnh tuyán t½nh sau

dp(f1) = 1·(x−a) + 1·(y−b) + 1·(z−c) = 0,

dp(f2) = 2a·(x−a) + (−2bc2)·(y−b) + (−2b2c+ 3c2)·(z−c) = 0.

°t

Jp(f1, f2) =

1 1 1

2a −2bc2 −2b2c+ 3c2

</div>
(134)<div class='page_container' data-page=134>

Ta câ Tp(C) l tnh tián cừa kerJp(f1, f2). Vêy

dimTp(C) = 3rankJp(f1, f2).

Hỡn nỳa cõ th chựng minh Tp(C) cõ chiÃu1 tÔi mồi im cừaC ngoÔi trứ gốc tồa ở.
TÔi gốc tồa ë, Tp(C)l m°t ph¯ng x+y+z = 0.

V½ dư 5.4.6. Kh£o sĂt a tÔp affineV =V(xz, yz)R3. Dạ dng chựng tọ

dimTp(V) =











2 n¸u p thuëc m°t ph¯ng (x, y)v p6= (0,0,0),
1 n¸u p thc trưc z v p6= (0,0,0),

3 n¸u p= (0,0,0),

nh nghắa 5.4.7. ChoV l a tÔp affine v pV. Số chiÃu lợn nhĐt cừa a tÔp con

bĐt khÊ quy cừa V chựap gồi l chiÃu cừa V tÔi p v kỵ hiằu l dimpV.
Tứ nh nghắa ta cõ

Hằ quÊ 5.4.8. Ta câ

dimV = max

p∈V dimpV.

V½ dư 5.4.9. Gi£ sûV =V(f)Cnl siảu mt. Ta biát rơng mồi thnh phƯn bĐt kh£
quy cõa V câ chi·u b¬ng n−1. Suy ra dimpV =n1 vợi mồipV.

nh nghắa 5.4.10. Cho a tÔp affine V v p ∈V. iºm p gåi l iºm ch½nh quy cừa
V náu dimTp(V) = dimpV. Náu pkhổng l im chẵnh quy ta nâi nâ l iºm ký dà.
V½ dư 5.4.11. GiÊ sỷV =V(f)Cn l siảu mt. Ta cõ dim

pV =n1vợi mồipV.
Vêy p l im ký d cừa V náu v ch náu tĐt cÊ cĂc Ôo hm riảng cừa f tÔi p bơng

khổng. Suy ra têp cĂc im ký d cừaV l a tÔp
= V(f, f

(p), . . . , f
xn

(p)).

Vẵ dử 5.4.12. KhÊo sĂt ữớng cong C = V(x+y+z, x2 y2z2+z3)

C3. Ta biát

rơng C bĐt khÊ quy. Suy ra dimpC = 1 vợi mồi pC. Vêy pC l iºm ký dà cõa C

n¸u dimTp(C)6= 1. Do â gèc tåa ë l iºm ký dà duy nh§t cõa C.

</div>
(135)<div class='page_container' data-page=135>

nh lỵ 5.4.13. GiÊ sỷ V kn l a tÔp affine v

={pV | p l im ký dà cõa V}.

Ta gåi Σ l tªp ký dà cừa V. Khi õ

(i) l a tÔp affine chựa trong V.

(ii) Náu p thẳ dimTp(V)>dimpV.

(iii) khổng chựa thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa V.

(iv) Náu Vi, Vj l hai thnh phƯn bĐt khÊ quy phƠn biằt cừa V th¼ Vi∩Vj ⊂Σ.
Gi£ sû f1, f2, . . . , fr k[x1, x2, . . . , xn]. Kỵ hiằu

J(f1, f2, . . . , fr) =







∂f1
∂x1
∂f1

∂x2 . . .

∂f1

∂xn,

∂f2

∂x1

∂f2

∂x2 . . .

∂f2

∂xn,

... ... · · · ...
∂fr

∂x1

∂fr

∂x2 . . .

fr
xn

nh lỵ 5.4.14. GiÊ sỷ V = V(f1, f2, . . . , fr) Cn l a tÔp affine v ma trên

J(f1, f2, . . . , fr) tÔi p V cõ hÔng bơng r. Khi õ p l iºm ch½nh quy cõa V v p
thc óng mët thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa V chiÃu nr.

Bi têp

1. (a) Chựng minh

xi l k-tuyán tẵnh.

(b) Chựng minh
xi

= ∂x∂

∂
∂xi

vỵi måii, j.

α2

2 . . . frαr).
(d) Ph¡t biºu v chùng minh cổng thực Ôo hm hm hủp.

2. Chựng minh dp(hf) =h(p)Ãdp(f) +dp(h)·f(p).
3. Gi£ sû p= (p1, p2, . . . , pn)∈kn v f ∈k[x1, x2, . . . , xn].

</div>
(136)<div class='page_container' data-page=136>

(b) GiÊ sỷ khi biu diạnf dÔng a thực cừa xipi mồi số hÔng cừa a thực ny
cõ bêc 2. Chựng minh xf

i(p) = 0 vợi mồi i.

4. GiÊ sỷ f =x2 −y2z2+z3 ∈C[x, y, z] v V =V(f)⊂C3.

(a) Chùng minh f b§t kh£ quy trong C[x, y, z].

(b) Chùng minh V chựa trửcy.

ch náu p thuởc trửc y.

5. GiÊ sỷ A l ma trên cĐp mìn, vợi n m. Náu r m ta nõi B l ma trên con

cừa A cĐp rìr náu B nhên ữủc tứ A bơng cĂch Ưu tiản lĐyr cởt cừa A v sau

â chån r h ng trong c¡c cët n y.

(a) Cho vẵ dử ma trên A cĐp 3ì4 v liằt kả tĐt cÊ cĂc ma trên con cừaA cĐp
3ì3v cĐp 2ì2.

(b) Chựng minh rankA = r náu v ch náu tĐt cÊ cĂc ma trên con cừa A cĐp
tìt, r ≤t≤m, câ ành thùc b¬ng khỉng.

ch náu p thuởc trửc y.

6. KhÊo sĂt ữớng cong C = V(x+y +z, x2 − y2z2 +z3) ⊂

C3. X²t ideal I =

hx+y+z, x2−y2z2+z3i ⊂

C[x, y, z].

(a) Chùng minh I l ideal nguyản tố. HD: ời bián X = x +y +z, Y = y

v Z = z. Chùng tä I = hX, F(Y, Z)i trong â F ∈ C[Y, Z]. Chùng minh

C[X, Y, Z]/I 'C[Y, Z]/hFi v F b§t kh£ quy.

(b) Suy ra C l a tÔp bĐt khÊ quy v I(C) =I.

(d) XĂc nh tĐt cÊ cĂc iºm (a, b, c)∈C sao cho ma trªn
Jp(f1, f2) =

1 1 1

2a −2bc2 2b2c+ 3c2

</div>
(137)<div class='page_container' data-page=137>

7. Cho f =x2 ∈k[x, y]. Trong k2 chùng minh Tp(V(f))6=V(dp(f))vỵi måi p∈V.
8. Gi£ sû V =V(xy, xz)⊂k3 v gi£ sû k l trữớng vổ hÔn.

(a) Tẵnh ideal I(V).

(b) Tẵnh dimTp(V).

9. GiÊ sỷf ∈k[x1, x2, . . . , xn]sao cho ∂x∂f

i = 0 vợi mồii.Chựng minh náuk l trữớng

cõ c trững 0(khi õ k chựa mởt trữớng ng cĐu vợi Q) thẳ f l a thùc h¬ng.

10. Gi£ sûV =V1∪V2∪. . .∪Vr l phƠn tẵch cừa a tÔpV thnh cĂc thnh phƯn b§t
kh£ quy.

(a) Gi£ sû iºm p ∈ V thuëc v o úng mởt thnh phƯn bĐt khÊ quy Vi cừa V.
Chựng minh dimTp(V) = dimTp(Vi).

(b) Vợi giÊ thiát trong cƠu (a), chùng minh p khỉng ký dà cõaV n¸u v ch¿ náu

nõ khổng phÊi im kẳ d cừa Vi.

Σ =[

i6=j

(ViVj)

[

(d) Chựng minh náu mội i l mởt têp con thỹc sỹ cừa Vi thẳ khổng chựa cĂc

thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa V.

11. GiÊ sỷk l trữớng õng Ôi số. Tẳm tĐt cÊ cĂc im ký d cừa c¡c ÷íng cong sau

trong k2.

(a) y2 =x3−3.

(b) y2 =x3−6x2+ 9x.

(d) x2 =x4+y4.

(e) xy=x6+y6.

(f) x2y+xy2 =x4+y4.

</div>
(138)<div class='page_container' data-page=138>

12. GiÊ sỷ k l trữớng õng Ôi số. Tẳm tĐt cÊ cĂc im ký d cừa cĂc m°t cong sau

trong k3.

(a) xy2 =z2.

(b) x2+y2 =z2.

(d) x3−xyz+y3 = 0.

13. Chùng minh V(y−x2+z2,4x−y2+w3)⊂

C4 l mët m°t khĂc trống.

14. GiÊ sỷV kn l mởt siảu mt bêc2v pV l im chẵnh quy cừa V.Chựng
minh a tÔp V Tp(V) cõ mởt im ký d tÔi p.

15. GiÊ sỷ V Cn l a tÔp bĐt khÊ quy v p ∈V l iºm ch½nh quy cõa V. Gi£ sû

dimV =d.

(a) Chựng minh tỗn tÔi cĂc a thực f1, f2, . . . , fn−d ∈ I(V) sao cho Tp(V) =

V(dp(f1), dp(f2), . . . , dp(fn−d)).

(b) Gi£ sûf1, f2, . . . , fndI(V)nhữ trong (a). Chựng minh ma trênJp(f1, f2, . . . , fnd)
cõ hÔng bơngnd.Suy raV l mởt thnh phƯn bĐt khÊ quy cừaV(f1, f2, . . . , fnd).
16. GiÊ sỷ V Cn l a tÔp b§t kh£ quy chi·ud v gi£ sû I(V) =hf

1, f2, . . . , fsi.
(a) Chùng minh p∈V l iºm chẵnh quy cừa V náu v ch náu

rankJp(f1, f2, . . . , fs) = n−d.
(b) Chùng minh tªp c¡c im chẵnh quy cừa V khĂc trống.

(c) Kỵ hiằuD l têp tĐt cÊ cĂc nh thực con cĐp(nd)ì(nd)cừa ma trên
Jp(f1, f2, . . . , fs).Chùng minh tªp c¡c iºm ký dà cõa V l

Σ = V ∩V(g |g ∈D).

5.5 Nõn tiáp xúc

PhƯn ny nghiản cựu nõn tiáp xúc cừa a tÔp affine V tÔi im p V. Ta biát

</div>
(139)<div class='page_container' data-page=139>

khổng gian tiáp xúc Tp(V). Trong trữớng hđp p l iºm ký dà cõa V ta c¦n kh¡i ni»m
kh¡c.

Gi£ sû p= (p1, p2, . . . , pn)∈kn. N¸u α= (α1, α2, . . . , αn)∈Zn≥0, kỵ hiằu

(xp) = (x1p1)1(x2p2)2Ã Ã Ã(xnpn)n
v ||=1+2 +Ã Ã Ã+n. Gi£ sû f ∈k[x1, x2, . . . , xn].Ta câ thº vi¸t

f =fp,0+fp,1 +· · ·+fp,d,
trong âd= deg(f)v fp,i =P||=ia(xp)

.Chú ỵ rơng f

p,0 =f(p) v fp,1 =dp(f).
Ta cõ nh ngh¾a sau:

ành ngh¾a 5.5.1. Gi£ sû V ⊂kn l a tÔp affine v p= (p1, p2, . . . , pn)∈V.

(i) N¸u f ∈k[x1, x2, . . . , xn], ta ành ngh¾a

fp,min =ford(f,p),p,
trong â

ord(f, p) = min{j | fj,p6≡0}.

(ii) a tÔp

Cp(V) = V(fp,min | f I(V))

gồi l nõn tiáp xóc cõa V.

M»nh · 5.5.2. Gi£ sû p∈V ⊂kn. Khi õ Cp(V) l tnh tián cừa nõn affine cừa a
tÔp xÔ Ênh Pn1(k).

Vẵ dử 5.5.3. Xt ữớng cong V = V(y2 −x2(x+ 1)) ⊂

R2. Gi£ sû p = (0,0). Ta câ

ord(f, p) = 2 v fp,min =x2−y2. Suy ra Cp(V) =V(xy)V(x+y).
Vẵ dử 5.5.4. Xt ữớng congV =V(y2x3)

R2.GiÊ sỷp= (0,0).Ta cõord(f, p) = 2

v fp,min =y2. Suy ra Cp(V) = V(y).

V½ dư 5.5.5. X²t si¶u m°t affine V = V(f) ⊂ kn. Dạ dng chựng minh Cp(V) =

</div>
(140)<div class='page_container' data-page=140>

Ká tiáp ta s nghiản cựu nõn tiáp xúc xĐp x a tÔp V gƯn im p V. Ta biát

rơng Cp(V) l tnh tián cừa mởt nõn affine. Bi vêy Cp(V) ữủc hẳnh thnh bi cĂc
ữớng thng quap.Vẳ vêy nghiản cựu nõn tiáp xúc ta s nghiản cựu cĂc ÷íng th¯ng

quap v thuëc Cp(V)

Gi£ sû k = Cn. Trong trữớng hủp ny ta cõ th nh nghắa sỹ hởi tử cừa dÂy

qk C án qC.

Ta s nghiản cựu cĂc ÷íng th¯ng thỉng qua tham sè hâa. Bði vªy, gi£ sû ÷íng
th¯ngL câ tham sè hâa p+tv trong â v ∈Cn l vector (kh¡c khỉng) song song vỵi L
v t∈C.

ành nghắa 5.5.6. Ta nõi ữớng thng L Cn i qua p

Cn l giợi hÔn cừa cĂc

ữớng thngLk, k = 1,2, . . . , i qua pn¸u cho trữợc tham số hõa p+tv cừa L tỗn tÔi
tham số hâap+tvk cõa Lk sao cho limk→∞vk=v trong Cn.

K¸t qu£ sau chựng tọ cõ th xĐp x nõn tiáp xúc Cp(V) bi cĂc ữớng thng i
quap.

nh lỵ 5.5.7. Cho a tÔp affine V ⊂Cn. Khi â ÷íng th¯ng L i qua p∈ V thc
nân ti¸p xóc Cp(V) n¸u v ch¿ n¸u tỗn tÔi dÂy {qk}k1 V \ {p} hởi tử án p sao cho

náu Lk l ữớng thng i qua p v qk thẳ Lk hởi tử án L.
nh lỵ 5.5.8. Cho a tÔp affine V kn v pV. Khi õ

dimpV = dimCp(V).

Kát quÊ trản chựng tọ cõ th xĂc nh dimpV thổng qua nõn tiáp xúc.
Tứ nh nghắa ta cõ

Hằ qu£ 5.5.9. Gi£ sû p∈V ⊂kn. Khi â

Cp(V)⊂Tp(V).

°c bi»t

</div>
(141)<div class='page_container' data-page=141>

Suy ra

H» qu£ 5.5.10. Gi£ sûk l tr÷íng âng ¤i sè v pl iºm thuëc a t¤p affine V ⊂kn.
C¡c khng nh sau l tữỡng ữỡng

(i) p l im chẵnh quy cõa V.

(ii) dimCp(V) = dimTp(V).
(iii) Cp(V) = Tp(V).

B i tªp

1. GiÊ sỷ k l trữớng c trững 0. Vợi mội p ∈ kn v f ∈k[x

1, x2, . . . , xn] ta câ thº
vi¸t f =P

αcα(x−p)

α, trong â c

α k. Kỵ hiằu

x =

2
2x

Ã Ã Ã
n

trong õ i

ixi cõ nghắa vi phƠn i lƯn tữỡng ựng vợi bián xi. t

! =1!Ã2!Ã Ã Ãn!.
(a) Chựng minh rơng

(xp)
x (p) =

! náu =,
0 náu ngữủc lÔi.

(b) GiÊ sỷ f =P

c(xp)

.Chựng minh

c =

1
!

f
x(p).
Suy ra

f =X

1
!

f

x(p)(xp)
.

</div>
(142)<div class='page_container' data-page=142>

(e) Bơng vẵ dử cử th, chựng minh trản trữớng hỳu hÔn khổng th biạu diạn f

theo cĂc Ôo hm riảng cõa nâ.
2. Cho si¶u m°t V ⊂kn.

(a) Gi£ sû I(V) = hfi. Chựng minhCp(V) =V(fp,min).

(b) GiÊ sỷ k õng Ôi sè v V =V(f). Chùng minhCp(V) = V(fp,min).

3. B i tªp n y chùng minh I =hxy, xz+z(y2−z2)i ⊂k[x, y, z]l ideal radican náu
k cõ c trững0.

(a) Chựng minh

hx, z(y2z2)i=hx, zi hx, yzi hx, y+zi.

Hỡn nỳa, ba ideal vá bản phÊi l c¡c ideal nguy¶n tè.
(b) Chùng minh

hx, xz−z3i=hy, zi ∩ hy, xz2i.

Hỡn nỳa, hai ideal vá bản phÊi l cĂc ideal nguy¶n tè.
(c) Chùng minh

I =hx, z(y2−z2)i ∩ hy, xz−z3i.

(d) Suy ra I l giao cõa c¡c ideal nguy¶n tè. Chựng minh I l ideal radican. Sỷ

dửng phƠn tẵch cừa I hÂy mổ tÊ a tÔpV =V(I)k3.

(e) XĂc nh I(V) náu k l trữớng õng Ôi số.

4. Tẵnh chiÃu cừa nõn tiáp xúc v cừa khổng gian tiáp xúc tÔi gốc tồa ở cừa a tÔp

V(I)náu

(a) I =hxz, xyi.

(b) I =hx−y2, x−z3i.

5. Gi£ sû si¶u m°t S⊂R3 x¡c ành bði phữỡng trẳnh

x3z(3/4)x2y2(3/2)xyz + (1/4)z2 = 0.

(a) Chựng minh têp ký d cừa S chẵnh l ữớng cong xoưn bêc ba V = V(y

</div>
(143)<div class='page_container' data-page=143>

(b) Tẵnh nõn tiáp xúc v khổng gian tiáp xúc tÔi gốc tồa ở cừa si¶u m°t S.

6. (a) Gi£ sû trong Cn câ hai d¢y vector vk v tkvk, tk ∈C, sao cho vk → v 6= 0 v

tkvk→0. Chùng minhtk →0.

(b) Gi£ sûv = (z1, z2, . . . , zm)v vk= (zk1, zk2, . . . , zkn).Chùng minhvk→v suy
ra zki →zi vỵi mồii= 1,2, . . . , n.

7. Cho a tÔp affine chùa gèc tåa ë V ⊂kn v °t

V ={(v, t)∈kn×k | tv∈V, t 6= 0} ⊂kn+1.

(a) Chùng minh (kn× {}) V =V

ì {} vợi mồi k, trong â Vλ ={v ∈

kn | λv∈V}.

(b) Chùng minh Vλ l a tÔp affine.
(c) Chựng minh V, 6= 0, ng cĐu V.

(d) Gi£ sû k =C ho°c R v gi£ sû 6= 0 gƯn gốc tồa ở. GiÊi thẵch V l hẳnh
Ênh thu gồn cừa V vợi hằ số co 1/λ.

(e) Chùng minh V0 =C0(V).

8. Cho iºmp∈V ⊂kn. Chùng minh C

p(V)Tp(V).

9. GiÊ sỷ k l trữớng vổ hÔn vV kn l khæng gian vector con cõa khæng gian kn.

Chùng minh V bĐt khÊ quy.

10. Cho a tÔp xÔ Ênh W Pn1(

C)v kỵ hiằu CW Cn l nõn affine cừa nõ.

(a) Chựng minh khổng gian tiáp xúc cừa CW chẵnh lCW.

(b) Chùng minh gèc tåa ë l iºm ch½nh quy cõaCW náu v ch náuW l khổng
gian con tuyán tẵnh xÔ £nh cõa khỉng gian Pn−1(C).

11. Gi£ sû k l tr÷íng tũy ỵ v t Pn1 =Pn1(k). Kỵ hiằu y1, y2, . . . , yn l cĂc tồa
ở thuƯn nhĐt trong Pn−1 v x1, x2, . . . , xn l c¡c tåa ë trong kn. °t

Γ ={((y1, y2, . . . , yn),(x1, x2, . . . , xn))∈Pn−1×kn | xiyj−xjyi = 0}.
(a) Chùng minh (p, q)∈Γ n¸u v ch náu tỗn tÔi tk sao cho q=tp.

</div>
(144)<div class='page_container' data-page=144>

(d) Xt php chiáu π: Γ →kn,(p, q)7→q. Chùng minh π−1(q), q 6= 0, gỗm úng

mởt im trong khi õ 1(0) l bÊn sao cừaPn1.Suy ra cõ th xeml a

tÔp nhên ữủc tứ kn bơng cĂch thay gốc tồa ở bi khổng gian xÔ £nh Pn−1.

(e) Chùng minh c¡c iºm (v, tv) ∈ Pn−1×kn thuởc v do õ tÔo thnh mởt
ữớng cong L .XĂc nh cĂc im giao cừa L vợi Pn1ì {0}.

(f) Suy ra cĂc ữớng thng phƠn biằt i qua gốc tồa ở trong kn tữỡng ựng vợi
cĂc im thuởc 1(0). Ta gồi : kn l php nờ cừa kn tÔi gốc tồa ở.
12. Cho a tÔp affine V kn i qua gèc tåa ë v gi£ sû gèc khæng l mởt thnh

phƯn bĐt khÊ quy cừa V. Ta s nh nghắa php nờ cừa V tÔi gốc tồa ở. GiÊ

sỷ Pn1 ìkn nhữ trong bi têp trữợc. Gồi V l a tÔp nhọ nhĐt trong

Pn1 ìkn chựa (Pn1 ì(V \ {0})). Xt php chiáu : → kn,(p, q) 7→ q.

Chùng minh π( ˜V)⊂V. Ta gåi : V V l php nờ cừaV tÔi gốc tồa ở.

13. Cho a tÔp affine V kn i qua gèc tåa ë v gi£ sû gèc khæng l mët thnh

phƯn bĐt khÊ quy cừa V. Ta biát rơng nõn tiáp xúc C0(V) l nõn affine CW trản
a tÔp xÔ Ênh W Pn1.Ta nõi W l nõn tiáp xúc xÔ Ênh cừa V tÔi p.

(a) Chựng tọ giÊ thiát {0} khổng l thnh phƯn bĐt khÊ quy cừa V suy ra k l

trữớng vổ hÔn v V l bao õng Zariski cõa V \ {0}.

(b) Gi£ sû g ∈ k[y1, y2, . . . , yn, x1, x2, . . . , xn]. Chùng minh g ∈ I( ˜V) n¸u v ch
náu g(tq, q) = 0 vợi mồi qV \ {0} v måi t∈k\ {0}.

(d) TÔi sao I( V) sinh bi cĂc a thực thuƯn nhĐt theo bián (y1, y2, . . . , yn)?
(e) Gi£ sû g = P

αgα(y1, y2, . . . , yn)x

α ∈ I( ˜V). Ta câ g

α l c¡c a thực thuƯn
nhĐt cũng bêc. t

f(x1, x2, . . . , xn) =

gα(x1, x2, . . . , xn)xα.

Chùng minh f ∈I(V).

(f) Chùng minh W × {0} ⊂V˜ ∩(Pn−1× {0}).

</div>
(145)<div class='page_container' data-page=145>

14. Cho k l trữớng õng Ôi số v a tÔp affine V =V(f1, f2, . . . , fr)kn chựa gốc
tồa ở.

(a) Tẳm cĂc phữỡng trẳnh xĂc nh php nờ V .

(b) Tẳm php nờ tÔi gốc tồa ë cõa V(y2 −x2 −x3).

</div>
(146)<div class='page_container' data-page=146>

Phư lưc A

Ph¦n phử lửc

PhƯn ny cung cĐp mởt vi phĂt biu, nh nghắa v cĂc tẵnh chĐt trong Ôi số
thữớng ữủc sỷ dửng trong giĂo trẳnh.

A.1 Nhõm

nh nghắa A.1.1. Nhõm l mởt têpGv mởt php toĂn hai ngổi trảnG thoÊ cĂc

iÃu kiằn sau:

(i) Kát hủp: (ab)c=a(bc).

(ii) Tỗn tÔi e G sao cho ae =ea =a. PhƯn tỷe ữủc gồi l phƯn tỷ ỡn v cừa

nhõm G.

(iii) Vợi mồi aG tỗn tÔib Gsao cho ab =ba=e.

Vẵ dử A.1.2. (i) Trản Z xt cĂc php toĂn cởng + v nhƠn ì thổng thữớng. Khi

õ(Z,+) l nhõm những (Z,ì) khổng l nhõm.

</div>
(147)<div class='page_container' data-page=147>

(iii) Vợi mội nN ta kỵ hiằu

Sn ={ :{1, . . . , n} → {1, . . . , n} l song ¡nh}.
Khi â(Sn,◦) vỵi ph²p to¡n hđp hai Ănh xÔ l mởt nhõm v #Sn=n!.

nh nghắa A.1.3. GiÊ sû (G,∗) l mët nhâm. Tªp con H cõa G ữủc gồi l nhõm

con cừa Gnáu

(i) PhƯn tỷ ỡn v e cõa nhâm G thc H.

(ii) Vỵi måi a, b∈H thẳ abH.

(iii) Vợi mồi aH thẳ a1 H.

A.2 Vnh

nh nghắa A.2.1. Vnh giao hoĂn l mởt têp R cũng vợi hai php toĂn hai ngổi ì
v + trản R thoÊ mÂn cĂc iÃu kiằn sau:

(i) Giao hoĂn: Vợi mồi a, bR thẳ a+b=b+a v aìb =bìa.

(ii) Kát hủp: Vợi mồi a, b, cRthẳ (a+b) +c=a+ (b+c), v(aìb)ìc=aì(bìc).

(iii) PhƠn phối: Vợi mồi a, b, cR thẳ aì(b+c) =aìb+aìc.

(iv) Tỗn tÔi hai phƯn tỷ 0,1R sao cho a+ 0 = aì1 =a vỵi måi a∈k.

(v) Kh£ nghàch èi vỵi ph²p to¡n +: vợi mồi ak tỗn tÔi bk sao cho a+b= 0.

Vẵ dử A.2.2. Têp cĂc số nguyản Z vợi cĂc php toĂn nhƠn v cởng thổng thữớng l

mởt vnh.

Trữớng hủp c bi»t cõa c¡c v nh giao ho¡n l c¡c mi·n nguy¶n.

</div>
(148)<div class='page_container' data-page=148>

(i) Giao hoĂn: Vợi mồi a, bD thẳ a+b =b+a v aìb=bìa.

(ii) Kát hủp: Vợi mồi a, b, cDthẳ(a+b) +c=a+ (b+c),v(aìb)ìc=aì(bìc).

(iii) PhƠn phối: Vợi mồi a, b, cD thẳ aì(b+c) =aìb+aìc.

(iv) Tỗn tÔi cĂc phƯn tỷ 0,1D vợi 06= 1 sao cho a+ 0 =aì1 = a vợi måia ∈D.

(v) Kh£ nghàch èi vỵi ph²p to¡n +: vỵi mồi aD tỗn tÔib D sao cho a+b = 0.

(vi) Náu ab= 0 thẳ hoc a= 0 hoc b = 0.

Vẵ dử A.2.4. GiÊ sỷ k l mởt trữớng. Khi â v nh a thùc k[x1, x2, . . . , xn] l miÃn
nguyản.

nh nghắa A.2.5. GiÊ sỷ(R,+,ì)l mởt vnh giao hoĂn. Têp conI cừa R ữủc gồi

l ideal náu
(i) 0I.

(ii) a, bI thẳ a+b I.

(iii) Vợi mồi aI v mồi bR thẳ aìb I.

ideal I cừa vnh (R,+,ì) gồi l ideal cỹc Ôi náu I 6=R v náu ideal J 6=R thẳ
J I.

nh nghắa A.2.6. (R,+,ì) gồi l vnh a phữỡng náu vnh (R,+,ì) cõ duy nhĐt

mởt ideal cỹc Ôi.

A.3 Trữớng

nh nghắa A.3.1. Trữớng l mởt têpk v hai php toĂn hai ngổi ì v + trản k

thoÊ mÂn cĂc iÃu kiằn sau:

</div>
(149)<div class='page_container' data-page=149>

(ii) Kát hủp: Vợi mồia, b, ck thẳ (a+b) +c=a+ (b+c),v(aìb)ìc=aì(bìc).

(iii) PhƠn phối: Vợi mồi a, b, ck thẳ aì(b+c) = aìb+aìc.

(iv) Tỗn tÔi 0,1k sao cho a+ 0 =aì1 = a vợi mồiak.

(v) KhÊ nghch ối vợi php toĂn +: vợi mồi ak tỗn tÔi bk sao cho a+b= 0.

(vi) KhÊ nghch ối vợi php toĂn ì: vợi mồi a k, a N, a 6= 0, tỗn tÔi c k sao

cho aìc= 1.

CĂc tr÷íng th÷íng ÷đc sû dưng:
(i) Q,R,C,F2.

(ii) k(x1, x2, . . . , xn)l tr÷íng c¡c h m húu t¿ theo c¡c bián x1, x2, . . . , xn vợi cĂc hằ số
trong trữớng k.

Nhên xt A.3.2. Trữớng l mởt vnh giao hoĂn.

A.4 nh thực

nh nghắa A.4.1. Vợi mội Sn kỵ hiằu P l ma trên cõ ữủc bơng cĂch hoĂn v
theo cĂc cởt cừa ma trên ỡn v Inìn. GiĂ tr

sgn() := det(P)
gồi l kỵ số cừa.

Tứ nh nghắa d¹ d ng suy ra sgn =±1.Hìn núa

M»nh · A.4.2. Gi£ sỷ A= (aij) l ma trên vuổng cĐp nìn. Khi â

det(A) = X

σ∈Sn

sgn(σ)a1σ(1)· · ·anσ(n).

</div>
(150)<div class='page_container' data-page=150>

M»nh · A.4.3. GiÊ sỷ A = (aij) l ma trên vuổng cĐp nìn khÊ nghch. Khi õ hằ
phữỡng trẳnh tuyán tẵnh Ax=b câ duy nh§t nghi»m x= (x1, . . . , xn) trong â

xi =

det(Mi)

det(A) ,

</div>
(151)<div class='page_container' data-page=151></div>
(152)<div class='page_container' data-page=152>

T i li»u tham kh£o

[1] Brieskorn E., Knorrer, H., Plane algebraic curves, Birkhauser, Boston, 1986.
[2] Cox D., Little J., O'Shea D., Using algebraic geometry, Graduate Texts in

Mathe-matics, 185. Springer, New York, 2005.

[3] Cox D., Little J., O'Shea D., Ideals, varieties, and algorithms, Undergraduate Texts
in Mathematics. Springer, New York, 2007.

[4] Fulton W., Algebraic curves. An introduction to algebraic geometry, Advanced Book
Classics. Redwood City, CA etc.: Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 1989.
[5] Griffiths P., Harris J., Principles of algebraic geometry, John Wiley & Sons, Inc.,

New York, 1994.

[6] Hartshorne R., Algebraic geometry, Graduate Texts in Mathematics, No. 52.
Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

[7] Lang S., Algebra, Graduate Texts in Mathematics, No. 211. Springer-Verlag, New

York, 2002.

[8] Reid M., Undergraduate algebraic geometry, London Mathematical Society,
Cam-bridge University Press, 1988.

[9] Shafarevich I., Basic Algebraic Geometry, Vol. 1 & 2, Springer-Verlag, 1994.
[10] Walker R. J., Algebraic curves, Princeton University, 1950.

</div>