giáo trình hình học đại số của GS Ngô Bảo Châu

 
 
 
 

 

Giáo trình hình học
đại số
 

Ngơ Bảo Châu

Tháng 8 năm 2003


GiĂo trẳnh hẳnh hồc Ôi số

Ngổ BÊo ChƠu

bÊn thĂng 8 n«m 2003


2

Lới m Ưu

Trong hẳnh hồc Ôi số,

cĂc ối tữủng hẳnh hồc ữủc mổ tÊ bơng mởt

ngổn ngỳ Ôi số thuƯn tuỵ.

Bản ngoi trỹc quan hẳnh hồc v Ôi số hẳnh

thực cõ v ối lêp nhau, sỹ phĂt trin cừa hẳnh hồc Ôi số trong thá k 20
 chựng minh iÃu ngữủc lÔi :

mởt ngổn ngỳ Ôi số phũ hủp cõ khÊ nông

diạn Ôt trỹc quan hẳnh hồc mởt cĂch rĐt chẵnh xĂc.
Vo cuối thá k 19 hẳnh hồc Ôi số Â phĂt trin mÔnh Italia vợi nhỳnh
tản tuối nhữ Castelnuovo hay Severi, gt hĂi ữủc nhiÃu kát quÊ àp ³ v·
c¡c èi t÷đng t÷ìng èi cư thº nh÷ ÷íng cong v mt Ôi số. Do thiáu mởt
nÃn tÊng Ôi sè vúng ch­c, c¡c nh  to¡n håc Italia cán dòng nhi·u cỉng cư
gi£i t½ch v  ỉi khi m­c ph£i nhúng ngở nhên hẳnh hồc dăn án nhỳng chựng
minh khổng Ưy ừ. PhÊi án Zariski v Weil, Ôi số giao hoĂn mợi tr thnh
cổng cử chẵnh trong hẳnh hồc Ôi số. Vo nhỳng nôm giỳa thêp k 20, hẳnh
hồc Ôi số cõ thảm mởt lƯn lởt xĂc.

Nhụng ngữới i tiản phong trong giai

oÔn ny l Serre v Grothendieck.

Grothendieck sỷ dửng lỵ thuyát phÔm

trũ vo hẳnh hồc Ôi số mởt cĂch cõ hằ thống.

ị tững cừa ổng coi a tÔp

Ôi số nhữ mởt hm tỷ l mởt ỵ tững then chốt trong lỵ thyát lữủc ỗ.

Mởt cĂi hay cừa ngổn ngỳ hẳnh hồc Ôi số l, mc dũ phÔm trũ v hm
tỷ l nhỳng khĂi niằm rĐt trứu tữủng, nõ cho php ta diạn Ôt mởt cĂch
trong sĂng nhỳng trỹc quan hẳnh hồc cử th nhĐt v thêt sỹ giúp ta hiu
thảm và nhỳng ối tữủng cử th vẵ dử nhữ ữớng cong, mt ...

Những õ

cụng ỗng thới l cĂi khõ cho ngữới hồc hẳnh hồc Ôi số v cho ngữỏi viát
giĂo trẳnh hẳnh hồc Ôi số.

Xem cĂc giĂo trẳnh tiáng nữợc ngoi  cõ, nời

tiáng nhĂt l cĂc cuốn cừa Hartshorne, Mumford, Shafarevich, ta th§y c¡c
cuèn n y câ nëi dung r§t khĂc nhau, hƯu nhữ ẵt cõ phƯn giao nhau.

Ngữới

viát cuốn ny cụng phÊi lỹa chồn mởt tuyán ữớng riảng,  dăn dưt bÔn
ồc tham quan xự s diằu ký cừa hẳnh hồc Ôi số. Theo quan im sữ phÔm
riảng, tuyán ữớng ữủc chồn l cĂc Ôi lở chẵnh, cõ th khổng cõ gẳ thêt
ngoÔn mửc, những nõ giúp ta di xa hìn v  câ thº tr¡nh cho ng÷íi tham
quan câ cÊm giĂc b lÔc ữớng.
Nởi dung quyn giĂo trẳnh ny tĐt nhiản khổng cõ gẳ mợi. Náu cõ gẳ mợi
thẳ nõ nơm trong cĂch trẳnh by v thự tỹ sưp xáp cĂc khĂi niằm.

Trong

tứng phƯn riảng r, chưc chưn l ngữới viát cõ vay mữủn tứ cĂc sĂch  cõ,
chừ yáu tứ cuốn cừa Hartshorne v cừa Mumford.

Ngữới viát cụng khổng

hà ngƯn ngÔi lữủc bợt i hon ton mởt số chùng minh qu¡ r­c rèi ho°c ch¿
tr¼nh b y chùng minh trong mët tr÷ìng hđp °c bi»t nh÷ng °c thị.

C¡c


3

chựng minh chi tiát v Ưy ừ thẳ bÔn ồc náu cƯn cõ th tham khÊo sĂch
cừa Hartshorne.

é Ơy,

tổi ch mong muốn bÔn ồc nđm ữủc cĂch tẵnh

toĂn cử th trong mët sè tr÷ìng hđp cư thº v  hiºu ÷đc nởi dung cừa nh
lỵ thổng qua cĂc tẵnh toĂn õ.


PhƯn I

Ôi số

5


7

Mửc ẵch cừa chữỡng ny l im lÔi mởt số khĂi niằm cỡ bÊn cừa Ôi số
giao hoĂn v lỵ thuyát phÔm trũ.

TĂc giÊ khổng cõ tham vồng viát chữỡng

ny th nh mët t i li»u tham kh£o. Mưc ½ch cõa nâ l im lÔi mởt số khĂi
niằm cỡ bÊn cừa Ôi số giao hoĂn v lỵ thuyát phÔm trũ m theo chừ quan
cừa mẳnh, tĂc giÊ cho l khổng thiáu ữủc cho ngữới bưt Ưu hồc hẳnh hồc
Ôi số. NhiÃu chựng minh ch ữủc trẳnh by vưn tưt, hoôc thêm chẵ bọ qua.
Náu cÊm thĐy cƯn thiát, ngữới ồc cõ th tham khÊo cuốn sĂch kinh in vÃ
Ôi số giao hoĂn cõa Matsumura hay l  cuèn cõa Atyah v  Macdonald.
Ta chó ỵ c biằt án phÔm trũ cĂc vnh giao hoĂn v cĂc hm tỷ tứ
phÔm trũ ny vo phÔm trũ cĂc têp hủp.

KhĂi niằm a phữỡng hoĂ trong

Ôi số giao hoĂn v khĂi niằm hm tỷ biu diạn ữủc cừa lỵ thuyát phÔm
trũ ữủc nhĐn mÔnh.


Chữỡng 1

Sỡ lữủc và Ôi số giao hoĂn

1.1

Vnh giao hoĂn

Trong têp hủp cĂc số nguyản
php nhƠn.

Z

ta cõ hai php toĂn cì b£n l  ph²p cëng v 

C¡c ph²p to¡n n y thäa mÂn mởt số tẵnh chĐt nhữ tẵnh giao

hoĂn, tẵnh kát hủp v tẵnh phƠn phối.

0,

Php cởng cõ mởt phƯn tỷ ỡn v l

php nhƠn cõ mởt phƯn tỷ ỡn v l

1.

Vnh giao hoĂn l cĐu trúc Ôi số

trứu tữủng, mổ phọng cĂc tẵnh chĐt cừa php cởng v php nhn số nguyản.

nh nghắa 1 Vnh giao hoĂn l mởt têp hủp

R

cũng vợi

(+, 0, ì, 1)

thoÊ

mÂn

R,

- têp
vợi

+,

cũng vợi php cởng

+

v phƯn tỷ

0R

l phƯn tỷ ỡn v ối

tÔo thnh mởt nhõm Abel.

-têp

R

cũng vợi php nhƠn

ì

v phƯn tỷ

1R

ỡn v vợi php

.,

tÔo

thnh mởt nỷa nhõm Abel, tực l nhữ mởt nhõm Abel ch thiáu tiản à l
mồi phƯn tỷ Ãu nghch Êo ữủc.
-php

+

v php nhƠn thoÊ mÂn tẵnh chĐt phƠn phối

x ì (y + z) = x ì y + x ì z.
TĐt nhiản vẵ dử cỡ bÊn nhĐt cừa vnh giao hoĂn chẵnh l vnh cĂc số
nguyản

Z.

Têp hủp cĂc số hỳu t

tÔo nản mët v nh.
húu t¿

Q[x],

Q,

c¡c sè thüc

R,

hay c¡c sè phùc cơng

Tªp c¡c a thực mởt bián vợi hằ số nguyản

hay hằ số phực

C[x]

Z[x],

hằ số

ró rng cụng tÔo nản mởt vnh.

Vẵ dử suy bián v tƯm thữớng l vẵ dử mởt vnh vợi
chựng minh ữủc l vnh ny ch cõ úng mởt phƯn tû.

9

0 = 1.

Khi â ta

CHìèNG 1.

10

nh nghắa 2 ỗng cĐu vnh giỳa
thẵch vợi cĂc cĐu trúc

(+, 0, ì, 1)

Sè LìẹC V I Sẩ GIAO HON

R

v

R

cừa

R

v

l mởt Ănh xÔ

:RR

tữỡng

R.

Ta lữu ỵ tợi khng nh hin nhiản sau Ơy.

Mằnh à 3 Vợi mồi vnh giao hoĂn

R,

tỗn tÔi duy nhĐt mởt ỗng cĐu vnh

R : Z R .
n, R bưt buởc phÊi gỷi n lản phƯn tỷ 1+Ã Ã Ã+1,
n lƯn, cừa R. Cỏn náu n l nguyản Ơm, ta phÊi gỷi n lản R (n). Dạ thĐy
Vợi mồi số nguyản dữỡng

Ănh xÔ nh nghắa nhữ trản l mởt ỗng cĐu vnh.

nh nghắa 4 Mởt phƯn tỷ
sao cho

xR

ữủc gồi l khÊ nghch náu tỗn tÔi

yR

xy = 1.

Ta kỵ hiằu

Rì

tƠp hủp cĂc phƯn tỷ khÊ nghch cừa vnh

R = R {0}. Vẵ
những Z thẳ khổng.

ữủc gồi l mởt trữớng náu nhữ
hỳu t, hay

R, C

Ãu l trữớng,

ì

R.

dử nhữ vnh

Vnh

Q

R

cĂc số

Têp hủp cĂc lợp ỗng

p l mởt trữớng m ngữới ta thữớng kỵ hiằu
l Fp .
CĂc trữớng hỳu hÔn Fp vợi p nguyản tố, v Q ữủc gồi l trữớng
nguyản thu, tữỡng tỹ nhu Z l vnh nguyản thu, do mằnh à sau Ơy. Ta
dữ modulo mởt số nguyản tố

cõ th chựng minh nõ cũng mởt kiu nhữ mằnh à 3.

Mằnh à 5 Mởt trữớng
cĂc trữớng hỳu hÔn

k

bĐt ký hoc l chựa

Trong trữớng hủp Ưu, ta nõi
sau,

k

cõ c số

p.

Q,

hoc l chựa mởt trong

Fp .
k

l trữớng cõ c số

Hẳnh hồc Ôi số trản

hỳu t cừa phữỡng trẳnh Ôi số.

Q

Hẳnh hồc Ôi số trản

giÊi phữỡng trẳnh ỗng dữ modulo

0,

trong trữớng hủp

liản quan án viằc tẳm nghiằm

Fp

thẳ giống nhữ viằc

p.

x R ữủc gồi l ữợc số cừa 0 náu tỗn tÔi mởt
phƯn tỷ y R khĂc 0 sao cho xy = 0. Mët ph¦n tû x ∈ R gåi l lu linh
n
náu tỗn tÔi n N sao cho x
= 0.

Mởt vnh R ữủc gồi l miÃn nguyản náu R khổng chựa cĂc phƯn tỷ khĂc
khổng m lÔi l ÷ỵc sè cõa khỉng. V nh R ÷đc gåi l  rót gồn náu R khổng
nh nghắa 6 Mởt phƯn tỷ

chựa phƯn tỷ khĂc khổng m lÔi l lụy linh.


1.2.

MOUN TRN MậT V
NH

1.2

11

Moun trản mởt vnh

nh nghắa 7 Moun trản mởt vnh
php nhƠn vổ hữợng

RìM M

R

l mởt nhỏm Abel

kỵ hiằu l

(, x) x

M

cũng vợi mởt

thoÊ mÂn cĂc tẵnh

chĐt

( + )x = x + x v (x + y) = αx + αy ,
-(αβ)x = α(βx) v  1.x = x
ỗng cĐu R-moun l mởt Ănh xÔ bÊo ton cĐu trúc R-moun.
-

R m ta cõ th xem nhữ mởt moun trản R.
Cho hai R-moun bĐt ký M1 , M2 , tẵch trỹc tiáp M1 ì M2 cõ mởt cĐu tróc
R-moun hiºn nhi¶n α(x1 , x2 ) = (αx1 , αx2 ). Ta gåi nâ l  têng trüc ti¸p cõa
M1 v M2 v kỵ hiằu l M1 M2 . Mởt R-moun l moun tỹ do cĐp n náu
n
nõ ng cĐu vợi R
= R Ã Ã Ã R, n lƯn.
Vẵ dử ỡn giÊn nhĐt l têp

M
Rn M

nh nghắa 8
ton Ănh

l mởt moun hỳu hÔn sinh náu tỗn tÔi mởt ỗng cĐu

tứ mởt moun tỹ do cĐp hỳu hÔn vo

Nõi mởt cĂch khĂc, M l hỳu hÔn
x1 , . . . , xn ∈ M sao cho måi phƯn
dÔng x = 1 x1 + Ã Ã Ã + n xn .
tỷ

nh nghắa 9
cho

M M

M

M.

sinh náu tỗn tÔi mởt số hỳu hÔn phƯn
tỷ

xM

Ãu cõ th viát ữủc dữợi

l mởt moun xÔ Ênh náu tỗn tÔi mởt

R-moun M

sao

l mởt moun tỹ do cĐp hỳu hÔn.

Mởt moun tỹ do hỳu hÔn sinh l dắ nhiản l mởt moun xÔ Ênh. Mằnh
à ngữủc lÔi thẳ khổng úng nhữ ta s thĐy nhỳng chữỡng sau khi nghiản
cựu cĂc phƠn thợ vectỡ.

1.3

Iảan, iảan nguy¶n tè v  phê

Mỉun con cõa mët

R-moun M

cëng v  ph²p nhƠn vổ hữợng.

M/N

tỹ ởng cõ mởt cĐu trúc

nh nghắa 10 Ta xt

R

Rữ

cừa

l mởt mổun con

I

l mởt têp con

Náu

N

N M , õng õi vợi php
M , thữỡng

l mởt mổun con cừa

R-moun.

nhữ l mởt moun trản chẵnh nõ.

R.

Mởt iảan cừa


CHìèNG 1.

12

R, moun thữỡng R/I tỹ ởng cõ mởt cĐu tróc
v nh gåi l  v nh c¡c d÷ cõa R moulo I . Thêt vêy lợp ỗng dữ modulo I
cừa tờng hay tẵch hai phƯn tỷ x, y R ch phử thuởc vo cĂc lợp ỗng dữ
cừa x v y modulo I ÷. Trong tr÷íng hđp I = R ta câ vnh suy bián ch cõ
Náu

I

Sè LìẹC V I Sẩ GIAO HON

l mởt iảan cừa

mởt phƯn tỷ.

nh nghắa 11 Iảan
Iảan

I

I

ữủc gồi l nguyản tố náu

ữủc gồi l tối Ôi náu

R/I

R/I

l mởt miÃn nguyản.

l mởt trữớng.

ối tữủng hẳnh hồc thổng dửng ựng vợi mởt vnh giao hoĂn
phờ

Spec(R)

cĂc iảan nguyản tố cừa

R.

R,

l têp

Têp phờ ny cỏn ữủc trang b

nhiÃu cĐu trúc khĂc nỳa nhữ cĐu trúc tổpổ v cĐu trúc bõ vnh m chúng
ta s xem xt k chữỡng sau.

Hiằn tÔi ta tÔm coi

têp hủp, cĂc phƯn tỷ cừa nõ ữủc gồi l im.

Spec(R)

ch nhữ mởt

Ta cũng nhau khÊo sĂt têp

ny trong mởt số trữớng hủp ỡn giÊn.

Spec(Z) bao gỗm duy nhĐt mởt iảan nguyản tố m
khổng tối Ôi l iảan {0}. CĂc iảan nguyản tố khĂc Ãu cõ mởt phƯn tỷ

sinh l mởt số nguyản tố p no õ. im tữỡng ựng vợi iảan {0} gồi l
im tờng quĂt. Ta cõ th hẳnh dung Spec(Z) nhữ mởt ữớng cong vợi mội
Náu

R = Z,

têp

im l mởt số nguyản tố, cởng thảm vợi mët iºm têng qu¡t.

C[x] câ phê l  mët ÷íng cong quen thuởc hỡn. Nõ cụng chựa mởt
duy nhĐt mởt iảan nguyản tố khổng tối Ôi l iảan {0}. CĂc iảan tối Ôi
ữủc sinh bời mởt ỡn thực dÔng x − α vỵi α l  mët sè phùc n o â. Nhữ
vêy, phờ cừa C[x] l têp cĂc số phực C cõ bờ sung thảm mởt im tờng quĂt.
Nõi chung, náu R l  mët mi·n nguy¶n, i¶an {0} l  mët i¶an nguyản
tố. im tữỡng ựng vợi nõ trong phờ cừa R gồi l im tờng quĂt.
Vnh

Mằnh à 12 Vợi mồi ỗng cĐu vnh
nguyản tố

p

iảan tối Ôi

bĐt ký cừa

p

R

bĐt ký cừa

:RR,

tÔo Ênh

cụng l mởt iảan nguản tố.

R

p

cừa mổt iảan

TÔo Ênh

p

cừa mổt

cụng l mởt iảan tối Ôi.

p l tÔo Ênh cừa p , ỗng cĐu vnh R/p R /p cÊm sing tứ , l mởt
Do R /p l vnh nguyản vàn nản R/p cụng phÊi l vnh nguyản
Tữỡng tỹ nhu vêy, náu R /p l mởt trữớng thẳ R/p cụng phÊi l mởt

Do

ỡn Ănh.

vàn.

trữớng.

R R
cừa R.

Nhữ vêy mội ỗng cĐu vnh

Spec(R)

tứ phờ cừa

R

vo phờ

cho ta mởt Ănh xÔ

Spec(R )


1.4.

TCH TENXè

1.4

13

Tẵch tenxỡ

R-moun. Ta cõ th inh nghắa tẵch tenxỡ M ⊗R N nh÷
sau. Chån hai h» sinh {xi |i ∈ I} cõa M v  {yj | j ∈ J} cừa N . è Ơy M , N
khổng nhĐt thiát phÊi hỳu hÔn sinh nản cĂc têp I, J khổng nhĐt thiát l têp
hỳu hÔn. Xt R-moun tỹ do V vợi cỡ s l cĂc phƯn tỷ kỵ hiằu l xi yj
vợi têp ch số l I ì J . X²t R-moun con W sinh bði c¡c ph¦n tû dÔng

Cho

M

v

N

- hoc l
hằ số
cho

i

cho

iI

i xi yj

vợi mởt ch số cố nh

jJ

no õ, v vợi cĂc

bơng khổng vợi hƯu hát ngoÔi trứ mởt số hỳu hÔn cĂc ch số

iI

j

j xi ⊗ yj

j∈J

i∈I

vỵi mët ch¿ sè cè ành

sao

n o â, v  vợi cĂc

bơng khổng vợi hƯu hát ngoÔi trứ mởt số hỳu hÔn cĂc ch số

jJ

i,

i xi = 0,

- hoÔc l
hằ sè

l  hai

j,

sao

αj yj = 0.

M ⊗R N = V /W .
x ∈ M, y ∈ N ta câ thº vi¸t dữợi dÔng x = iI i xi v
y = jJ j yj vợi i , j bơng khong vợi hƯu hát cĂc ch số ngoÔi trứ mởt
số hỳu hÔn cĂc ch¿ sè i, j . Ta d¹ d ng kiºm tra ữủc rơng Ênh cừa phƯn tỷ
iI i xi
i,j i j xi yj ∈ V trong V /W khỉng phư thc v o c¡ch vi¸t x =
v  y =
βj yj m  ch¿ phử thuởc vo bÊn thƠn x v y . Nhữ vêy ta cõ mởt
jJ
Ănh xÔ : M ì N → M ⊗R N m  ta câ thº kiºm tra dạ dng l mởt Ănh xÔ
Ta t

Mồi phƯn tỷ

song tuyán tẵnh.
Cp

(M R N, )

thoÊ mÂn mởt tẵnh chĐt phờ dửng.

: M ì N L l mởt Ănh xÔ
xÔ tuyán tẵnh : M R N L

Mằnh à 13 Cho

song tuyán tẵnh. Tỗn tÔi

duy nhĐt mởt Ănh

sao cho

Nhớ vo tẵnh chĐt phờ dửng, ta thĐy rơng cp

(M R N, )

nh duy nhĐt vợi sai khĂc l mởt ng cĐu duy nhĐt.
phử thuởc gẳ vo hằ sinh

{xi }

v

{yj }

= .
ữủc xĂc

Nhữ vêy nõ khổng

m ta chồn trong cĂch xƠy dỹng.

Dỹa theo cĂch xƠy dỹng trản ta thĐy viằc tẵnh toĂn tẵch tenxỡ khổng
khõ. Vẵ dử :

M = RI v  N = RJ l  c¡c moun tỹ do thẳ M R N = RIìJ ,
I
- náu M l  mët moun tü do R
th¼ M ⊗R N ch l tờng trỹc tiáp iI Ni
vợi mội Ni l mởt phiản bÊn cừa N ,
- náu M = R/p vợi p l mởt iảan cừa R thẳ M N = N/pN vỵi pN l 
moun con cõa N sinh bi cĂc phƯn tỷ cõ dÔng y vợi p v  y ∈ N .
- n¸u


14

CHìèNG 1.

nh nghắa 14 Cho

R

l mởt vnh giao hoĂn bĐt ký. Mët

R cịng vỵi mët
(φ1 , R1 ) v  (φ2 , R2 )

vnh giao hoĂn

R-Ôi số
1 = 2 .

hai

R-Ôi

số l mởt

: R R . ỗng cĐu giỳa
cĐu vnh : R1 R2 sao cho

ỗng cĐu vnh
l mởt ỗng

R-Ôi số v M l mởt R-moun. Ta xt tẵch tenxỡ M R R
vợi R ch xem nhữ l R-moun. Dạ thĐy M R R cõ mởt cĐu tróc R -moun
cho bði β(m ⊗ α) = m ⊗ (αβ) vỵi måi m ∈ M v  α, β ∈ R . N ¸u M l  mët
R-moun tü do, ho°c l hỳu hÔn sinh, hoc l xÔ Ênh, thẳ M ⊗R R cơng l 
Cho

R

SÌ L×ĐC V— „I SÈ GIAO HON

l  mởt

mởt moun tỹ do, hoc l hỳu hÔn sinh, hoc l xÔ Ênh.
Cõ mởt tẵnh chĐt bưc cƯu Ăng lữu ỵ l vợi mồi

R

v

R -Ôi

số

R

R-moun M , R-Ôi

số

, ta cõ

(M ⊗R R ) ⊗R R = M ⊗R R .
R v R l hai R-Ôi số. Xem chúng nhữ l c¡c R-moun, ta câ
thº x²t R ⊗R R . Ta cõ hai cĐu ỗng cĐu R-Ôi số : R → R ⊗R R
v 
φ : R → R ⊗R R ÷đc x¡c ành bði φ (x ) = x ⊗ 1 v  φ (x ) = 1 ⊗ x .
Bë ba (R ⊗R , R ; φ , φ ) cụng thoÊ mÂn mởt tẵnh chĐt phờ dửng.
Cho

R-Ôi số : R → S v 
ψ : R → S . Khi õ tỗn tÔi duy nhĐt mởt ỗng cĐu R-Ôi sè ψ : R ⊗R R →
S sao cho ψ = ψ ◦ φ v  ψ = ψ ◦ φ

M»nh à 15 Cho mởt

R-Ôi

số

S

v hai ỗng cĐu

R R R vợi R v R -l R-Ôi số cụng khổng
hÔn náu R = R[x1 , . . . , xn ]/ f1 , . . . , fm
l  v nh

Vi»c t½nh to¡n t½ch tenxỡ
cõ gẳ l khõ khôn.
cĂc a thực

n-bián

Chng

chia cho mổt iảan hỳu hÔn sinh no õ, thẳ

R R R = R [x1 , . . . , xn ]/ f1 , . . . , fm .
1.5

àa ph÷ìng ho¡ v  v nh àa ph÷ìng

Kh¡i ni»m àa ph÷ìng ho¡ l  mët kh¡i ni»m then chốt trong hẳnh hồc Ôi số.
Php toĂn ngữủc cũa nõ l php dĂn cho php ta chuyn tứ Ôi số giao hoĂn

sang hẳnh hồc Ôi số.

Tuy l php toĂn ngữủc những php dĂn cụng ữủc

xƠy dỹng trản cỡ s cừa php a phữỡng hoĂ.

R, mởt têp con S cừa R
x, y ∈ S , ta câ xy ∈ S .

Cho mởt vnh giao hoĂn

nhƠn náu

1S

v vợi mồi

ữủc gồi l mët tªp


1.5.

A PHìèNG HO V
V
NH A PHìèNG

nh nghắa 16 a phữỡng hoĂ cừa vnh

R

15

ối vợi têp nhƠn

S

l têp cĂc

lợp tữỡng ữỡng

S 1 R = {(x, s) R ì S}/ ∼
vỵi

(x1 , s1 ) ∼ (x2 , s2 )

s ∈ S sao cho s(x1 s2 − x2 s1 ) = 0.
(x, s) l x/s. Tỗn tÔi trản têp S 1 R mët
cho x1 /s1 + x2 /s2 = (x1 s2 + x2 s1 )/s1 s2 v

náu tỗn tÔi

Kỵ hiằu lợp tữỡng ữỡng cừa
cĐu

trúc

vnh

duy

nhĐt

sao

(x1 /s1 )(x2 /s2 ) = x1 x2 /s1 s2 .
PhƯn thự hai cừa nh nghắa trản thêt ra l mởt mằnh Ã.

Ta cƯn kim

tra rơng php cởng v php nhƠn cho nhữ trản xĂc nh duy nhĐt mởt cĐu
trúc vnh trản têp cĂc lợp tữỡng ữỡng

S 1 R.

BÔn ồc cân thên cõ th dạ

dng tỹ kim tra kh¯ng ành n y v  c£ m»nh · sau ¥y.

M»nh · 17 Tỗn tÔi

duy

nhĐt

mởt

ỗng

: R S 1 R vợi
chĐt : £nh φ(s) cõa måi

c§u

v nh

−1

φ(x) = x/1 ∈ S R. ỗng cĐu thoÊ mÂn tẵnh
1
phƯn tỷ s S l khÊ nghch trong S
R. Ngữủc lÔi, mồi ỗng cĐu v nh
φ : R → R sao cho φ(s) ∈ R khÊ nghch vợi mồi s S , Ãu phƠn tẵch ữủc
1
mởt cĂch duy nhĐt thnh = vợi : S
R R l mởt ỗng cĐu
vnh.

Ta cõ th dạ dng mổ tÊ phờ cừa vnh a phữỡng hoĂ
con cừa phờ cừa

tưc

Spec(S

nhữ mởt têp

R.

Mằnh à 18 ỗng cĐu vnh

1

S 1 R

: R S 1 R

cÊm sinh mởt Ănh xÔ chuân

R) Spec(R). nh xÔ n y l  ìn ¡nh, £nh cõa nâ l 
R khỉng chùa bƠt ký mởt phƯn tỷ no cừa S .

têp cĂc

iean nguyản tố cừa

Cho
phƯn

p

tỷ

l mởt iảan nguyản tố bĐt ký cừa

cõ

dÔng

x/s

vợi

x p

v

xem nhữ moun con trản chẵnh nõ.

p S = ∅. Trong
−1
tè v  φ
(p ) = p.

s ∈ S

R.

l 

Tªp con

mởt

Nõ bơng chẵnh

trữớng hủp ngữỡc lÔi,

p

p

moun

S 1 R

con

S 1 R cĂc
1
cừa S
R

náu v ch náu

nhĐt thiát l mởt iảan nguyản

Ta xt hai vẵ dử m ta s cỏn gp lÔi ð c¡c ch÷ìng sau.

2

Cho

f ∈R

l 

S = {1, f, f , . . .} l têp nhƠn tối thiu
Spec(S 1 R) v têp
con cừa Spec(R) bao gỗm cĂc iảan nguyản tố cừa R khổng chựa phƯn tỷ f .
Trong vẵ dử thự hai ta lĐy mởt iảan nguyản tố p bĐt ký v lĐy S l phƯn

bũ S = R p.
Vẳ p l mởt iảan nguyản tố cho nản S l mởt têp nhƠn.
mởt phƯn tỷ bĐt ký cừa vnh
chựa

f.

R.

cừa

t

Khi õ tỗn tÔi mởt song Ănh chuân tưc giỳa têp


CH×ÌNG 1.

16

SÌ L×ĐC V— „I SÈ GIAO HON

S −1 R l têp cĂc iảan cừa R khổng cõ giao vợi S . Nõi mởt
1
cĂch khĂc Spec(S
R) l têp cĂc iảan cõa R bà chùa trong p. Iean p cõa
R t÷ìng ựng vợi iảan tối Ôi duy nhĐt cừa S 1 R. V nh S −1 R l  mët v nh
Phê cõa v nh

àa phữỡng theo nghắa sau Ơy.

nh nghắa 19 Mởt vnh l vnh a phữỡng náu nõ cõ duy nhĐt mởt iảan
tối Ôi.

Nõi chung tĐt cÊ cĂc vnh a phữỡng Ãu ữủc xƠy dỹng bơng cĂch a
a phữỡng hoĂ theo têp nhƠn S l phƯn bũ cừa
p, ta nhên ữủc mởt vnh a phữỡng vợi iảan tối Ôi
l iảan sinh bi Ênh cừa p. Ngữủc lÔi, náu p  l iảan tối Ôi cừa mởt
vnh a phữỡng R rỗi, mồi phƯn tỷ cừa R p Ãu nghch Êo ữủc cho nản
a ph÷ìng ho¡ theo R − p khỉng l m thay êi v nh R.
Tø gií trð i, vỵi måi v nh R, vỵi mồi iảan nguyản tố p, ta s kỵ hiằu
Rp l vnh a phữỡng xƠy dỹng bơng cĂch a phữỡng hoĂ R theo tÔp nhƠn
R p.
phữỡng hoĂ nhữ trản.

mởt i¶an nguy¶n tè

R, i¶an {0} l  mët i¶an nguy¶n tè, tữỡng
ựng vợi im tờng quĂt cừa Spec(R). Vêy nản têp R {0} l mởt têp nhƠn.
a phữỡng hõa R theo têp nhƠn ny cho ta mởt trữớng vẳ mồi phƯn tỷ
khĂc 0 cừa R Ãu tr nản nghch Êo ÷đc.
Ng÷íi ta gåi tr÷íng n y l 
tr÷íng c¡c th÷ìng cõa R v kỵ hiằu l K(R).
Trong mởt vnh nguyản vàn

BÔn ồc câ thº tü kiºm tra m»nh · sau ¥y.

M»nh · 20 Cho
ký.

p

l  mët i¶an nguy¶n tè cõa mët v nh giao hoĂn

Vnh cĂc thng dữ

cĂc thữỡng cừa

R/p.

R/p

l vnh nguyản vàn, kỵ hiằu

Kỵ hiằu

(p)

K(R/p)

R

bĐt

l trữớng

l iảan tối Ôi cừa vnh a phữỡng

Rp .

Khi â ta câ

Rp /(p) = K(R/p).
p cõa R cho ta mởt ỏng cĐu vnh tứ R
Rp /(p). Ngữủc lÔi, náu ta cõ mởt ỗng cĐu : R K tứ R vo
mởt trữớng K , tÔo Ênh cừa {0} l mởt iảan nguyản tố. L dắ nhiản, K ch
chựa chự khổng nhĐt thiát phÊi bơng Rp /(p).
Ta cõ th hẳnh dung cĂc phƯn tỷ cừa R nhữ cĂc hm số trản têp Spec(R).
Cho mởt im p Spec(R) v f R, giĂ tr cừa f tÔi R l Ênh cừa f qua
ỗng cĐu R Rp /(p). KhĂc vợi cĂc hm số thổng thữớng, Ơy têp cĂc
giĂ tr l mởt trữớng bián thiản theo p.
Nhữ vêy mội iảan nguyản tố

vo trữớng


1.6.

MOUN TRN MậT V
NH A PHìèNG

17

f l mởt phƯn tỷ lôy linh cõa R, £nh cõa
φ : R → K vo mởt trữớng K , Ãu bơng 0. Vêy

Ta cụng nhên xt thảm l náu

f

qua mồi ỗng cĐu vnh

nản náu ch xt

R

nhữ têp cĂc hm số trản têp phờ nhữ trản Ơy, ta b mĐt

cĂc thổng tin và cĂc phƯn tỷ lụy linh.

Ta i án khĂi niằm a phữỡng hoĂ cừa mởt moun.

R-moun, S

l mởt têp nhƠn cừa

t a phữỡng hoĂ

S 1 M

cừa

M

R.

Cho

M

l mởt

CĂch ngưn gồn nhĐt  nh nghắa l

theo têp nhƠn

S

bơng

S 1 M = M R S 1 R.
S 1 M nhữ l têp cĂc lợp tữỡng ữỡng (m, s) ∈
(x1 , s1 ) ∼ (x2 , s2 ) náu tỗn tÔi s S sao cho s(x1 s2

Ta cụng cõ th nh nghắa

M ì S theo quan hằ
x2 s1 ) = 0. nh nghắa

Ưu tuy cõ km cử th những dạ nhợ v dạ sỷ dửng

hỡn.

qua

Chng

hÔn,

ch

cổng

thực

S 1 R-moun.
Náu p l mởt iảan nguyản tố,
theo têp nhƠn R − p. Ta cán câ

ành

S −1 M

l 

l  àa ph÷ìng hoĂ cừa

M

nghắa,

ta kỵ hiằu

Mp

ta

thĐy

ngay

M(p) = Mp Rp (Rp /(p))
l mởt khổng gian vectỡ trản trữớng
Ta cõ th hẳnh dung
theo

M,

p Spec(R).

(Rp /(p)).

nhữ mởt hồ cĂc khổng gian vectỡ

M(p)

Cho

bián thiản

Hẳnh dung nhữ vêy ta văn nưm ữủc mồi thổng tin vÃ

trứ cĂc thổng tin cõ liản quan án cĂc phƯn tỷ lụy linh cừa

1.6

k

M

R.

Moun trản mởt vnh a phữỡng

R

l mởt vnh a phữỡng.

l trữớng cĂc dữ

R/m.

Ta kỵ hiằu

nh lỵ sau,

m

l iảan tối Ôi cừa

R

v

m ngữới ta thữớng gồi l bờ Ã

Nakayama bưt chĐp sỹ phÊn ối cừa nh toĂn hồc Nhêt ny, õng mởt vai
trỏ cỡ bÊn trong hẳnh hồc Ôi số.

M l mởt moun hỳu hÔn sinh trản vnh a ph÷ìng R.

¯
x1 , . . . , xm cõa k -khỉng gian vectì M ⊗R k . Chån c¡c ph¦n
¯
¯
m
¯
tû x1 , . . . , xm cõa M sao cho £nh cõa xi trong M l  xi . Gåi : R

M
l cĐu xÔ xĂc nh bi x1 , . . . , xn . Khi â φ l  mởt ton cĐu. Náu M l mởt
moun tỹ do thẳ l mởt ng cĐu.
nh lỵ 21 Cho

Chồn mởt cỡ sð


CH×ÌNG 1.

18

SÌ L×ĐC V— „I SÈ GIAO HON

N l  £nh cừa cĐu xÔ : Rn M v N = M/N . Ta cƯn chựng
minh rơng N
= 0. Vẳ M l mởt moun hỳu hÔn sinh nản thữỡng cừa nõ
N cụng l hỳu hÔn sinh. Chồn y1 , . . . , yn l  mët h» sinh cõa N . Chån c¡c
ph¦n tû y1 , . . . , yn cõa M sao cho £nh cõa yi trong N
l  y . °t yi l  £nh
¯
i

¯ . Vi¸t nâ theo cì sð x1 , . . . , xn cõa M ta cõ :

cừa yi trong M


Kỵ hiằu

m

yi =


ij xj .
¯ ¯
j=1

Chån

αij ∈ R

câ £nh l 

αij ∈ k .
¯

Ta câ

m

yi

ij xj mM.
j=1

nh cừa phƯn tỷ ny trong
nản ta cõ th viát

yi


N

yi


l

vẳ

xj N ,

cho nản

yi


thuởc

mN

.

Vêy

dữợi dÔng

n

yi =


ij yj

j=1

vợi cĂc hằ số

ij m.

Ta cõ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh

(1 , . . . , yn ).
y
¯
thû trong R vỵi

Idn y = y

vợi



vectỡ cởt

Nhên xt rơng nh thực cừa ma trên

phƯn

Ênh bơng

phƯn tỷ khÊ nghch cừa

Idn

R.

1

ij , vợi y l

Idn l mởt

l ma trên

trong trữớng cĂc dữ

k,

cho nản nõ l mởt

Theo cổng thực Cramer thẳ bÊn thƠn ma trên

l ma trên khÊ nghch.

Vêy nản vectỡ

y


bơng khổng v vẳ thá

N

cụng bơng khổng.
Mằnh à thự hai cừa nh lỵ cụng chựng minh tữỡng tỹ nhữ vêy.

GiÊ

M l mët R-moun tü do vỵi cì sð l  v1 , . . . , vr . Rã r ng l  c¡c £nh
¯
¯
v1 , . . . , vr trong M l  mët cì sð cõa khỉng gian vectì M , cho nản r = n.


n
CĐu xÔ : R
M xĂc ành bði c¡c ph¦n tû x1 , . . . , xn cõ th viát dữợi
dÔng mởt ma trên vuổng φij vỵi

sû

n

xi =

φij vj .
j=1

¯
¯
φ : k n → M l mởt ng cĐu giỳa cĂc khổng gian
ì
ì


vectỡ cho nản ành thùc cõa φ l  det(φ) ∈ k . Vªy det() R
v vẳ thá
n
l mởt ma trên khÊ nghàch, hay nâi c¡ch kh¡c φ : R
→ M l  mởt ng cĐu.

Ró rng l cĐu xÔ cÊm suy


1.7.

V
€NH NOETHER V
€ „I SÈ D„NG HÚU H„N

H» qu£ 22 Mồi moun xÔ Ênh hỳu hÔn sinh

M

19

trản vnh a phữỡng

R

Ãu

l moun tü do.

M sao cho M ⊕
¯
¯
Rn . °t M = M ⊗R k v  M = M ⊗R k .
¯
¯ = k n . Chån x1 , . . . , xm ∈ M sao vỵi £nh x1 , . . . , xm ∈ M
¯
Ta câ M ⊕ M
¯
¯
¯ T÷ìng tü ta chån x1 , . . . , x ∈ M sao vỵi £nh
l  mët cì sð cõa M .
m
¯ l  mët cì sð cõa M . CĂc phƯn tỷ ny xĂc nh cĂc cĐu

x1 , . . . , xm M


m
xÔ : R
M v  φ : Rm → M m  ta bi¸t theo bờ Ã Nakayama trản,
m+m
l nhỳng cĐu xÔ ton Ănh. Ta cán bi¸t l  φ ⊕ φ : R
→ Rn l mởt ng
cĐu, vẳ thá cÊ v Ãu l ỡn Ănh. Vêy nản l mởt âng cĐu.
Vẳ

M

M

l xÔ Ênh nản theo nh nghắa, tỗn tÔi mởt moun

ng cĐu vợi mởt moun tỹ do

1.7

Vnh Noether v Ôi số dÔng hỳu hÔn

 xt cĂc vĐn à cõ tẵnh nh tẵnh, ngữới ta hay cƯn án mởt số tẵnh chĐt
hỳu hÔn.

Mởt trong nhỳng khĂi niằm quan trồng nhĐt l khĂi niằm vnh

Noether.

nh nghắa 23 Mởt vnh
cừa

R

l vnh Noether náu mồi dÂy tông cĂc iảan

R
I1 I2 Ã Ã Ã ⊂ In ⊂ · · ·

·u l  d¢y døng.

M»nh · 24 Cho

M

l mởt moun hỳu hÔn sinh trản mởt vnh Noether

Khi â, måi moun con

M = R,

måi i¶an

I

M ⊂M

cơng »u l hỳu hÔn sinh.

cừa mởt vnh Noether

R,

xem nhữ

R.

c biằt vợi

R-moun,

Ãu l

hỳu hÔn sinh.

Trữợc hát ta xt trữớng hủp c biằt

M = R.

Náu tỗn tÔi mởt iảan

I

khổng hỳu hÔn sinh, ta cõ th xƠy dững ữủc mởt dÂy tông m khổng dứng
cĂc iảan con cừa

I,

mƠu thuăn vợi giÊ thiát Noether cừa

Tron trữớng hủp tờng quĂt, do

M

R.

l hỳu hÔn sinh, tỗn tÔi mởt ỗng cĐu

Rn M v ta cõ th quy và trữớng hủp ôc biằt cĂc moun tỹ
n
n
do M = R . Trữớng hủp M = R
lÔi cõ và quy và trữớng hủp M = R bơng

ton Ănh

qui nÔp.

HƯu hát c¡c v nh giao ho¡n quen thuëc ·u l  v nh Noether. Mởt trữớng
bĐt ký hin nhiản l vnh Noether bi vẳ nõ cõ mởt iảan duy nhĐt l iảan


CHìèNG 1.

20

{0}.

Vnh

Z

Sè LìẹC V I Sẩ GIAO HON

cĂc số nguyản công l  v nh Noether.

C¡c v nh a thùc công

l  v nh Noether nhớ vo nh lỵ cỡ bÊn sau ay cừa Hilbert.

nh lỵ 25 (Hilbert) Náu
cĂc a thực

n

R

l mởt vnh Noether thẳ vnh

bián vợi hằ số trong

R

R[x1 , . . . , xn ]

cụng l vnh Noether.

Chựng minh nh lỵ Hilbert tữỡng ối di v vữủt qu khuổn khờ cừa

chữỡng ny. BÔn åc câ thº tham kh£o trong c¡c s¡ch kh¡c º t¼m hiºu c¡ch
chùng minh cõa nâ.

M»nh · 26 Cho

¯
R = R/I

R

l  mët v nh Noether,

cơng l  mët v nh Noether. Cho

àa ph÷ìng hõa

S

1

R

S

I

R.
cừa R.

l mởt iảan cừa

l mởt têp nhƠn

Khi õ
Khi õ

cụng l  v nh Noether.

¯
¯
¯
¯
φ : R → R = R/I . Mổt dÂy tông I1 I2 Ã Ã Ã cĂc iảan cừa R
1
cho ta mởt dÂy tông I1 ⊂ I2 ⊂ · · · c¡c i¶an cõa R vâi Ii = φ
(Ii ). Do φ
¯i = φ(φ−1 (Ii )). Do R l  Noether, d¢y Ii l  d¢y døng, vêy nản
l ton cĐu, I

dÂy Ii cụng phÊi l dÂy dứng.
1
Kỵ hiằu R = S
R v : R R . Cho I1 ⊂ I2 ⊂ · · · l mởt dÂy tông
cĂc iảan cừa R , ta cõ mởt dÂy tông I1 I2 Ã Ã Ã cĂc iảan cừa R vợi
Ii = 1 (Ii ). Dạ th§y Ii = S −1 Ii . Do Ii l  dăy dứng nản Ii cụng phÊi l dÂy
Kỵ hiằu

dứng.

nh nghắa 27 Mởt

mởt ỗng cĐu

R-Ôi

vợi hỳu hÔn bián vo

GiÊ sỷ R
R[x1 , . . . , xn ]

R-Ôi

số

R ữủc gồi l cõ dÔng
: R[x1 , . . . , xn ] → R

sè to n ¡nh

R

tø mët v nh a thùc

R.

l  mët vnh Noether.
cụng s l Noether.

Theo inh lỵ Hilbert cĂc vnh a thực

Vêy nản mồi thữỡng

cụng l Noether. Nhên xt thảm rơng iảan
nản

hỳu hÔn náu tỗn tÔi

I

R = R[x1 , . . . , xn ]/I

bưt buởc l hỳu hÔn sinh, cho

phÊi cõ dÔng

R = R[x1 , . . . , xn ]/ f1 , . . . , fm
vỵi

f1 , . . . , f m

l  i¶an sinh bði c¡c ph¦n tû

f1 , . . . , f m ∈ R .


Chữỡng 2

Sỡ lữủc và lỵ thuyát phÔm trũ

PhÔm trũ ỡn giÊn nhĐt l phÔm trũ cĂc têp hủp.

Những náu lĐy têp hủp

cừa tĐt cÊ cĂc têp hủp, ta cõ th rìi v o váng lu©n qu©n cõa lỉgic. º tr¡nh
c¡i váng luân quân ny, ngữới ta  ữa ra khĂi niằm têp hủp "nhọ" ối vợi
mởt vụ trử no õ.

Têp cĂc têp hủp nhọ thẳ khổng cỏn l nhọ nỳa.

KhĂi

niằm vụ trử do Grothendieck vữủt ra ngoi phÔm vi cừa cuổn giĂo trẳnh ny
v ra ngoi tƯm hiu biát cừa ngữới viát, vêy nản ta s ngƯm qui ữợc vợi
nhau và sỹ tỗn tÔi cừa mởt vụ trử m trong õ ta cõ thà nõi án phÔm trũ
cĂc têp hủp m khổng rỡi vo lỏng luân quân.

2.1

PhÔm

trũ,

hm

tỷ

v

cĐu

xÔ

giỳa

cĂc

hm tỷ
Lỵ thuyát phÔm trũ cõ ba khĂi niằm chẵnh l phÔm trũ, hm tỷ giỳa hai
phÔm trũ v cĐu xÔ giỳa hai hm tỷ.

nh nghắa 1 Cho mởt phÔm trũ

C

l cho cĂc dỳ kiằn thọa mÂn cĂc tẵnh

chĐt nhữ sau.
1.

Ta cõ mởt têp hủp

ỗng cĐu cừa

C.

Ob(C)

cĂc vêt cừa

C

v mởt têp hủp

Hom(C)

cĂc

Ta cõ mởt Ănh xÔ

s ì b : Hom(C) Ob(C) ì Ob(C),
s : Hom(C) → Ob(C)
b : Hom(C) → Ob(C) gåi l  ¡nh xÔ

trong õ Ănh xÔ thự nhĐt
xÔ thự hai

21

gồi l Ănh xÔ nguỗn v Ănh


CHìèNG 2.

22

Sè LìẹC V Lị THUYT PHM TRề

A, B Ob(C), t HomC (A, B) l têp cĂc ỗng cĐu
Hom(C) vợi nguỗn l A v ẵch l B .
2. Vợi mội A Ob(C) ta cõ mởt phƯn tỷ idA HomC (A, A) gồi l ỗng
cĐu ỡn và cõa A. Vỵi måi A, B, C ∈ Ob(C) ta cõ mởt Ănh xÔ

ẵch.

Vợi mồi

HomC (A, B) ì HomC (B, C) → HomC (A, C)
(φ, ψ) → ψ ◦ thọa mÂn hai tẵnh chĐt sau
i = 0, 1, 2, 3 v  cho φi ∈ HomC (Ai−1 , Ai ), ta cõ

gồi l php hủp thnh kỵ hiằu l
a) cho

Ai ∈ Ob(C)

vỵi

:

(φ2 ◦ φ1 ) ◦ φ0 = φ2 ◦ (φ1 ◦ φ0 ),
b) cho

φ ∈ HomC (A, B)

ta cõ

Vẵ dử in hẳnh l phÔm trũ

idA = idB ◦ φ = φ.
Set

m  vªt l  c¡c tªp hđp v ống cĐu l

cĂc Ănh xÔ têp hủp. Ta cỏn cõ phÔm trũ

Ring

m vêt l cĂc vnh giao hoĂn

R ta cõ
R-Ôi số v ỗng cĐu l cĂc ỗng cĐu R-Ôi

v ỗng cĐu l cĂc ỗng cĐu vnh. Tữỡng tỹ nhữ vêy, vợi mồi vnh
phÔm trũ

R Alg

m vêt l cĂc

số.
Cho mởt phÔm trũ
mởt phÔm trũ mợi

C

C

v cho mởt têp con

Ob(C ) cừa têp Ob(C), ta s cõ
Ob(C ) v vợi HomC (A, B) =

m vêt l cĂc phƯn tỷ cừa

HomC (A, B); cĂc ỗng cĐu ỡn v idA v php hủp
C . CĂc phÔm trũ nhữ vêy gồi l phÔm trũ con Ưy

thnh cụng cÊm sinh tứ

Ring

khổng l phÔm trũ con Ưy cừa

Set

C.
Set,

cừa

trũ cĂc têp hủp hỳu hÔn l phÔm trũ con Ưy cừa

Vẵ dử nhữ phÔm
những phÔm trũ

vẳ mởt Ănh xÔ giỳa hai vnh giao

hoĂn khổng nhĐt thiát l mởt ỗng cĐu vnh.

nh nghắa 2 Cho mởt hm tỷ

F

tứ mởt phÔm trũ

C

vo mởt phÔm trũ

l cho cĂc dỳ kiằn thọa mÂn cĂc tẵnh chĐt nhữ sau :

Ob(C) Ob(C ) kỵ hiằu
A, B Ob(C) ta cõ mởt Ănh xÔ

1. Ta cõ mởt Ănh xÔ
2. Vợi mồi

l

A F A.

HomC (A, B) → HomC (F A, F B)
φ → F (φ) tháa m¢n :
a) F (φ ◦ ψ) = F (φ) ◦ F (ψ).
b) F (idA ) = idF A .

kỵ hiằu l

C


2.1.

PH„M TRÒ, H€M TÛ V
€ C‡U X„ GIÚA CC H€M T

Vẵ dử tƯm thữớng nhĐt l hm tỷ ỡn v
cừa

C

chẵnh vêt Đy v cho ựng vợi mội ỗng

idC C C
cĐu cừa C

23

cho ựng vợi mội vêt

chẵnh ỗng cĐu Đy.
Ta cán câ mët h m tû hiºn nhi¶n

R

Ring → Set ùng vợi mội vnh R l têp

bọ i cĐu trúc vnh, ựng vữõi mội ỗng cĐu vnh l Ănh xÔ giỳa hai têp

hủp. Tữỡng tỹ nhữ vêy vợi mồi vnh

R, ta cơng câ h m tû R−Alg → Ring.

C¡c h m tû nh÷ tr¶n câ t¶n chung l  h m tû qu¶n.
Ta câ mỉt vẵ dử thú v hỡn nhữ sau.
cho

A

l mởt vêt cừa

C.

Cho

C

l mởt phÔm trũ bĐt ký v

Ta cõ mởt hm tỷ

hA : C Set
ựng vợi mội vêt
cĐu

:BC

B Ob(C)

hA (B) = HomC (A, B),

l têp

ựng vợi mội ỗng

l Ănh xÔ

HomC (A, B) → HomC (A, C)
cho bði

ψ → φ ◦ ψ.
F : C → C ÷đc gåi l  chung thõy náu vợi mồi
HomC (A, B) HomC (F A, F B) l ỡn Ănh. Náu Ănh
song Ănh thẳ hm tỷ F ữủc gồi l hm tỷ Ưy v chung

nh nghắa 3 Mởt hm tỷ

A, B Ob(C)

Ănh xÔ

xÔ ny luổn luổn l
thừy.

F, F l hai hm tỷ tứ phÔm trũ C vo phÔm trũ C . Cho
mởt cĐu xÔ f : F F
l cho mởt ỗng cĐu f (A) : F (A) → F (A) vỵi méi
A ∈ Ob(C), thọa mÂn tẵnh chĐt sau. Vợi mồi HomC (A, B) ta cõ mởt sỡ
nh nghắa 4 Cho

ỗ giao ho¡n :

f (A)

FA − − F A
−→





F (φ)

F (φ)

FB − F B

f (B)

Vẵ dử tƯm thữớng nhĐt l lĐy
cho ựng vợi mội vêt

A Ob(C)

F =F

.

l ỗng cĐu

Khi õ ta cõ cĐu xÔ ỡn v

idF

idF (A) = idF A : F A → F A.

f : F → F l mổt ng cĐu náu tỗn tÔi
f f = idF v  f ◦ f = idF .
Mët h m tû F : C C l mởt tữỡng ữỡng phÔm trũ náu tỗn tÔi mởt
hm tỷ F : C C sao cho F F ng cĐu vợi hm tỷ on v idC v F F
ng cĐu vợi idC .
nh nghắa 5 Mởt cău xÔ hm tỷ

f :F →F

sao cho


CHìèNG 2.

24

Sè LìẹC V Lị THUYT PHM TRề

Xin lữu ỵ rơng trong nh nghắa tữỡng ữỡng phÔm trũ, ngữới ta khæng
ái häi

idC .

F ◦ F = idC

m  ch¿ ái häi mởt mởt cĂi yáu hỡn l

F F

ng cĐu

Ơy l mởt trong nhỳng im khĂc nhau cỡ bÊn giỳa lỵ thuyát phÔm

trũ v lỵ thuyát têp hủp.

2.2

PhÔm trũ ối

nh nghắa 6 Cho

C

l mởt phÔm trũ.

trũ m cĂc vêt văn l cĂc vêt cừa

C

PhÔm trũ ối

C opp

cừa

C

l phÔm

những cĂc ỗng cĐu thẳ bà êi chi·u câ

ngh¾a l 

HomC opp (A, B) = HomC (B, A).
C opp l  ph²p hñp th nh trong C m  ta ch âo thự tỹ
cĂc ỗng cĐu. Cho HomC opp (A, B) v  ψ ∈ HomC opp (B, C) th¼ hđp th nh
ψ ◦ φ trong C opp l  hñp th nh φ ◦ ψ trong C .

Ph²p hñp th nh trong

KhĂi niằm phÔm trũ ối quÊ l vổ v náu nõ khổng phÊn Ănh sỹ ối ngău
cỡ bÊn giỳa Ôi số v hẳnh hồc. Nhữ ta s thĐy chữỡng sau, phÔm trũ cĂc
lữủc ỗ aphin cõ th coi nhữ phÔm trũ ối cừa phÔm trũ
hoĂn.

A, phờ Spec(A)
Ringopp .

Vợi mồi vnh giao hoĂn

ựng vợi

A

2.3

Ring cĂc vnh giao

cõ th xem nhữ vêt tữỡng

nh lỵ Yoneda

trong phÔm trũ

C l mởt phÔm
trũ bĐt ký. Xt phÔm trũ F(C) m cĂc vêt l cĂc h m tû F : C → Set. Cho
F, F : C → Set hai vªt cõa F(C) ta °t HomF(C) l têp cĂc cĐu xÔ f : F F
tứ h m tû F v o h m tû F . Trong F(C) ta cõ cĂc ỗng cĐu ỡn v idF hin
Ta i án mởt im then chốt cừa lỵ thuyát phÔm trũ.

Cho

nhiản v  ph²p hđp th nh hiºn nhi¶n.

A ∈ ObC , ta câ mët
hA : C → Set cho bði B → HomC (A, B). Náu ta cõ mởt ỗng cĐu
: A A thẳ ta cõ mởt cĐu xÔ hm tỷ theo chiÃu ngữủc lÔi hA hA .
Thêt vêy, vợi mồi B ObC ta cõ mởt Ănh xÔ
Nhữ ta ô thĐy trong cĂc vẵ dử hm tỷ, vợi måi vªt

h m tû

HomC (A , B) → HomC (A, B).


2.3.

ÀNH LÞ YONEDA

cho bði

ψ → ψ ◦ φ.

25

º kiºm tra rơng cĂc Ănh xÔ ny cho ta mởt cĐu xÔ h m

tû, nâi c¡ch kh¡c l  kiºm tra t½nh giao ho¡n cừa cĂc sỡ ỗ cõ dÔng

HomC (A , B) −
− → HomC (A, B)




HomC (A , B ) − HomC (A, B )

ta dũng tẵnh kát hủp cừa php hủp thnh.
Nhữ vêy ta cõ mởt hm tỷ

h : C opp F(C).

nh lỵ 7 (Yoneda) Hm tỷ

h : C opp F(C)

cho bi

A hA

xƠy dỹng

nhữ trản, l mởt hm tỷ Ưy v nguyản thu.

Ta cƯn chựng minh rơng vợi mồi

A, A Ob(C),

Ănh xÔ

h : HomC (A, A ) → HomF(C) (hA , hA )
l  mët song Ănh.

,
h()(idA ) =

Trữợc hát ta chựng minh nâ l  ìn ¡nh.

Cho

HomC (A, A ). L§y B = A v  φ = idA ∈ HomC (A , A ). Ta câ
v  h(φ )(idA ) = φ . Náu h() = h( ) thẳ ưt v phÊi bơng nhau.
Chựng minh nõ l ton Ănh cụng tữỡng tỹ nhữ vêy. Cho f : hA hA l
mởt cĐu xÔ hm tỷ bĐt ký. Ta t HomC (A, A ) l  ph¦n tû φ = f (idA ).
Dạ dng kim tra ữủc l h() = f .
nh nghắa 8 Mởt hm tỷ

tÔi mởt vêt

Cp

A ObC

(A, f )

F : C Set

ữủc gồi l biu diạn ữủc náu tỗn

v mởt ng cĐu hm tỷ

f : hA F.

trong nh nghắa trản khổng nhĐt thiát l duy nhĐt, những

náu tỗn tÔi mởt cp

(A , f )

thẳ

f −1 f

l  mët ¯ng c§u giúa

Y(A) → Y(A).

h l  mët hm tỷ Ưy v chung thu cho nản
f 1 f : hA → hA x¡c ành duy nh§t mët ¯ng c§u φ : A → A sao
−1
cho h(φ) = f
f . Vêy ta cõ th nõi l náu hm tỷ F : C Set l biu diạn
ữủc, thẳ cĂi cp (A, f ) biu diạn nõ l duy nhĐt vợi sai khĂc l mởt ng

Theo inh lỵ Yoneda, hƯm tỷ
ng cĐu

cĐu duy nhĐt.

f m ch nõi rơng F biu
A trong õ A ữủc xĂc nh vợi sai khĂc l mởt ng cĐu duy

 tiát kiằm kỵ hiằu thi ngữới ta thữớng lớ i
diạn ữủc bi

nhĐt, dũ nhữ thá khổng ữủc chẵnh xĂc lưm.


CHìèNG 2.

26

2.4

Vẵ dử hm tỷ biu diạn ữủc

Xt hm tỷ

R

Sè LìẹC V Lị THUYT PHM TRề

A1 : Ring Set

cho ựng vợi mội vnh giao hoĂn

R

l têp hủp

b tữợc mĐt cĐu trúc vnh.
Hm tỷ ny biu diạn ữỡc bi vnh

Z[t]

cĂc a thực vợi mởt bián

t.

Thêt vêy, mởt ỗng cĐu vnh : Z[t] R ữủc xac nh duy nhĐt bi Ênh
(t) R vêy nản ta cõ mởt ông cĐu hm tỷ hA F vợi A = Z[t]. é
1
Ơy A
khổng hn l vnh Z[t], m chẵnh xĂc hỡn l vêt ựng vợi vnh ny
opp
trong phÔm trũ Ring
nhúng vo trong F(Ring). Vêy nản ta cõ th viát

A1 Spec(Z[t]).
Tữỡng tỹ, vỵi méi v nh giao ho¡n R h m tû F : R Alg Set cho
ựng vợi mội R-Ôi số R , têp R , cõ th biu diạn ữủc bði v nh R[t]. Ta
1
Spec(R[t]).
gåi h m tû n y l  ÷íng th£ng aphin trản R, kỵ hiằu l A
R
ì
Xt hm tỷ Gm : Ring → Set cho ùng vỵi méi v nh R têp R
cĂc phƯn
tỷ khÊ nghch cừa R. Ta cõ th kiºm tra d¹ d ng kiºm tra l  h m tû n y cõ
th biu diạn ữủc bỡi vnh Z[x, y]/ xy 1 .
Thêt vêy, mởt ỗng cĐu : Z[x, y]/ xy−1
→ R ho n to n ÷đc x¡c ành
bði £nh α = φ(x) v  β = φ(y), vỵi α v  β l  hai phƯn tỷ trong R thọa mÂn
= 1. Vẳ thá phƯn tỷ l mởt phƯn tỷ khÊ nghch cõa R v  trong tr÷íng
hđp n y α cơng x¡c ành luổn . Vêy nản Gm
Spec(Z[x, y]/ xy 1 ).
Nảu mởt vẵ dử thú v khĂc l ham tỷ µn : Ring → Set vỵi n ∈ N. Nâ
cho ựng vợi mồi vnh R têp hủp cĂc côn bÔc n cõa ìn và

µn (R) = {x ∈ R | xn = 1}.
CĂc phƯn tỷ cừa

àn (R)

tữỡng ựng 1-1 vợi cĂc ỗng cĐu vnh

Z[x]/ xn 1 R.
Vêy nản

àn = Spec(Z[x]/ xn 1 ).

2.5

Giợi hÔn quy nÔp v giợi hÔn xÔ Ênh

Cho mởt têp sưp thự tỹ bở phên

J.

J l cho
cĂc dỳ kiằn nhữ sau. Vợi mội phƯn tû j ∈ J , ta cho mët tªp hđp Sj ; vỵi
mët c°p i ≤ j trong J ta cho mởt Ănh xÔ sji : Si Sj sao cho sii = 1 v 
skj ◦ sji = ski vỵi måi i ≤ j ≤ k .
Cho mët h» qui nÔp trong phÔm trũ têp hủp vợi têp ch số


2.5.

GIỴI H„N QUY N„P V
€ GIỴI H„N X„ ƒNH

27

Cho mët hằ xÔ Ênh trong phÔm trũ têp hủp vợi têp ch số
dỳ

kiằn

nhữ

sau.

Vợi

mội

phƯn

J

j J , ta cho mởt têp hủp Sj ; vợi
Ănh xÔ sij : Sj Si sao cho sii = 1 v 

tû

i ≤ j trong J ta cho mët
sij ◦ sjk = sik vỵi måi i ≤ j ≤ k .
Ta công câ thº coi J l  mởt phÔm trũ vợi cĂc vêt l phƯn tỷ
HomJ (i, j) l têp vợi duy nhƠt mởt phƯn tỷ hay l têp rộng tuý
mởt cp

l cho cĂc

cừa

J , vợi
ij

theo

hay khổng. Ngữủc lÔi náu ta cõ mởt phÔm trũ sao cho têp cĂc ỗng cĐu giỳa
hai vêt ch cõ khổng hoc mởt phƯn tỷ, khi õ têp cĂc vêt cõ mởt quan h»
thù tü :

i≤j

HomJ (i, j) kh¡c
tø J v o Set.

khi v ch khi

cĂc têp hủp l mởt hm tỷ

nh nghắa 9 Vợi mởt phÔm trũ
số trong

J

l mởt hm tỷ

mởt phÔm trũ

C

S

tứ

J

C

rộng. Khi õ mởt hằ quy nÔp

bĐt ký, mởt hằ quy nÔp trong

vo

C

vợi ch

C . Tữỡng tỹ nhữ vêy hằ xÔ Ênh trong
J l mởt hm tỷ S tứ J vo C opp .

bĐt ký vợi ch số trong

C l mët vªt C cõa C cịng
cj : Sj → C sao cho vữợi mồi i j , ta cõ ci = cj ◦ sji sao
cho vỵi måi (C ; (c )jJ ) thoÊ mÂn cũng mởt tẵnh chĐt nhữ (C, (cj )jJ ), tỗn
j
tÔi duy nhĐt mởt ỗng cĐu b : C → C sao cho c
j = b ◦ cj , nâi c¡ch kh¡c l 
c°p (C, (cj )j∈J ) l cp phờ dửng cho tẵnh chĐt ny.
Giợi hÔn xÔ Ênh cừa mởt hằ xÔ Ênh trong C l mởt vêt C cũng vợi cĂc
ỗng cĐu cj : C → Sj sao cho ci = sij ◦ cj vỵi måi i ≤ j v  sao cho c°p
(C, (cj )j∈J ) l cp phờ dửng.
Giợi hÔn quy nÔp cừa mởt hằ quy nÔp trong

vợi cĂc ỗng cĐu

Bờ Ã 10 Mồi hằ quy nÔp (hay xÔ Ênh) vợi giĂ tr trong trong phÔm trũ têp
hủp

Set

Ãu cõ giợi hÔn quy nÔp (hay xÔ Ênh).

Cho

C

l mởt phÔm trũ bĐt

ký. Khng nh trản văn cỏn úng vợi phÔm trũ cĂc hm tỷ tứ

C

vo

Set.

Khng nh thự hai suy ra ữủc tứ khng nh thự nhĐt. Ta lĐy giợi hÔn

Fj : C Set bơng cĂch lĐy giợi hÔn
Fj (C) cho tứng ối tữủng C ob(C).
Cho mởt hằ quy nÔp (Sj , sji ) trong Set. Ta xƠy dỹng giợi hÔn quy nÔp
cừa nõ nhữ sau : têp C l têp cĂc lợp tữỡng ữỡng c¡p c°p (j, x) vỵi j ∈ J

v  x ∈ Sj , theo quan h» t÷ìng ÷ìng (j, x) ∼ (j , x ) náu tỗn tÔi i lợn hỡn
cÊ j v  j
sao cho sij (x) = sij (x ) ; vợi mồi j J , Ănh xÔ cj : Sj C l
Ănh xÔ gĂn vợi mội phƯn tỷ x Sj lợp tữỡng ữỡng cừa (j, x).
Cho mởt hằ xÔ Ênh (Sj , sij ) trong Set. Ta xƠy dỹng giợi hÔn xÔ Ênh cừa
nõ nhữ sau : têp C l têp cĂc dÂy (xj )jJ vợi xj Sj thoÊ mÂn sij (xj ) = xi
vợi mồi i j . Têp hủp C l giợi hÔn xÔ Ênh ta cƯn.
quy nÔp (hoc xÔ Ênh) cừa hồ hm tỷ
qui nÔp (hoÔc xÔ Ênh) cho hồ têp hñp