Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian để giải một số bài toán hình học không gian nhằm nâng cao chất lượng môn toán ở trường THPT nông cống 3

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA
TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG 3

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

HƯỚNG DẪN HỌC SINH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA
ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH
HỌC KHƠNG GIAN LIÊN QUAN ĐẾN GĨC VÀ KHOẢNG
CÁCH NHẰM NÂNG CAO CHẤT LƯỢNG MƠN TỐN TRONG
KÌ THI TỐT NGHIỆP Ở TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG 3

Người thực hiện: Nguyễn Thị Hiền
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc mơn: Tốn

THANH HĨA NĂM 2021
1


MỤC LỤC
Tiêu đề
TRANG BÌA
MỤC LỤC
A. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng
2. Cơ sở lí luận
2.1. Kiến thức cơ bản
2.2. Một số kinh nghiệm nhận dạng bài toán và cách chọn hệ
trục tọa độ

2.3. Các bước thực hiện
3. Bài tốn minh họa
DẠNG 1: TÍNH GĨC
1.1. Một số kiến thức cơ bản
1.2. Một số ví dụ
1.3. Bài tập áp dụng
DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH
2.1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
2.1.1. Kiến thức cơ bản
2.1.2. Một số ví dụ
2.2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
2.2.1. Kiến thức cơ bản
2.2.2. Một số ví dụ
2.3. Bài tập áp dụng

4. Kiểm nghiệm
C. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO

Trang
1
2
3
4
4
4
4
4
6
7

7
7
7
13
14
14
14
14
18
18
19
23
24
26
27

2


A. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong các năm học 2019-2020, 2020-2021 tôi đều dạy lớp 12, trong thời gian
ôn tập để chuẩn bị cho đợt thi THPT quốc gia tôi nhận thấy rằng đa số học sinh cảm
thấy khó khi học phần hình nhất là các phần hình liên quan đến lớp 11 như: tính góc,
tính khoảng cách. Đặc biệt là những bài hình cần đến sự tư duy như vẽ thêm các
đường phụ trong hình thì phần lớn học sinh gặp khó khăn, từ đó dẫn đến sự chán nản
và ít quan tâm đến mơn hình học. Hơn nữa trong thời gian ôn tập này học sinh phải ôn
tập quá nhiều môn nên mỗi lần phải ôn lại kiến thức tốn của lớp 11 thì học sinh cảm
thấy q tải. Các vấn đề về tính góc, tính khoảng cách chủ yếu nằm ở chương 3 của
hình học 11, đa số học sinh lớp 12 đã quên đi những kiến thức trong chương này. Bởi
vậy khi ôn tập lại phần kiến thức này trong khoảng thời gian ngắn thì đa số học sinh

không tiếp thu được hoặc lĩnh hội một cách lơ mơ. Đặc điểm của phần kiến thức này là
phải kẻ thêm những đường phụ trong hình, đây là điểm yếu khó khắc phục của phần
lớn học sinh, chỉ có những học sinh khá giỏi về mơn tốn mới làm được. Vì thế cần
hướng dẫn các em một phương pháp tiếp cận những dạng tốn này mà khơng phải
đụng chạm tới những điểm yếu của phần lớn học sinh.
Dựa vào tình hình thực tiễn của học sinh lớp 12 của trường THPT Nông Cống
3, tôi thấy rằng các em thích học phần hình học giải tích hơn phần hình học khơng
gian thuần túy, bởi vì hình vẽ khơng q phức tạp, việc tính tốn nhiều hơn sự tư duy
trên hình vẽ. Chẳng hạn việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng thì có
cơng thức tính, các em khi tìm được đủ các yếu tố thì hồn tồn tính được, cịn nếu
trong hình học thuần túy thì các em phải dựng hình, phải chứng minh quan hệ vng
góc. Đây thật sự là việc rất khó với nhiều học sinh.
Vì vậy tơi nghĩ cần phải đưa ra giải pháp nhằm giải quyết một phần những khó
khăn mà học sinh đang gặp phải. Chính vì thế tơi chọn đề tài “Hướng dẫn học sinh
sử dụng phương pháp tọa độ trong khơng gian để giải một số bài tốn hình học
khơng gian nhằm nâng cao chất lượng mơn Tốn ở trường THPT Nông Cống 3” để
giải quyết một phần những khó khăn đó. Dùng phương pháp tọa độ để giải các bài
tốn khơng gian là một vấn đề khơng mới, nó được nhiều giáo viên chọn để viết sáng
kiến kinh nghiệm. Trong tình hình hiện nay học sinh thi bằng hình thức trắc nghiệm,
với kiến thức rộng hơn, nên tơi muốn sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian
học sinh mới vừa học xong trong chương trình 12 để giải quyết nhiều dạng tốn hình
học khơng gian mà học sinh đã học ở lớp 11 trong các đề thi THPT Quốc gia năm
2020 và trong các đề tự luyện thi Tốt Nghiệp năm 2021.

3


B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
1. Thực trạng
Trong năm học 2019 – 2020 tôi được phân công giảng dạy bộ môn Tốn

ở lớp 12C3, 12C7 trường THPT Nơng Cống 3. Tơi nhận thấy: Hầu hết học sinh
rất ngại khi gặp các bài tốn về hình học khơng gian. Có rất ít học sinh có khả
năng giải quyết được các bài tốn này, đa số các em khơng thể tự nhìn ra hướng
giải quyết bài tốn. Thấy vậy, tơi Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ
trong không gian để giải một số bài tốn hình học khơng gian và học sinh đã làm được
nhiều bài tập. Năm 2020 – 2021 tơi cũng được phân cơng dạy bộ mơn Tốn ở lớp
12A6, 12A7 trường THPT Nông Cống 3. Qua kết quả khảo sát ở lớp 12A6, 12A7
trường THPT Nông cống 3 trước khi Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp
tọa độ trong không gian để giải một số bài tốn hình học khơng gian thu được kết

quả như sau:

Lớp
12A
6
12A
7

Điểm Giỏi
SL tỷ lệ
1/45 2,2
%
1/47 2,1
%

Điểm Khá
SL tỷ lệ
4/45 8,9%
6/47 12,8
%

ĐiểmTB
SL
tỷ lệ
14/4 31,1
5
%
18/4 38,3
7
%

Điểm Yếu
SL
tỷ lệ
19/4 42,2
5
%
17/4 36,2
7
%

Điểm Kém
SL tỷ lệ
7/45 15,6
%
5/47 10,6
%

Với mong muốn góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn ở
trường THPT và giúp học sinh đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc Gia

2021 sắp tới tôi chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp tọa độ
trong không gian để giải một số bài tốn hình học khơng gian nhằm nâng cao chất
lượng mơn Tốn ở trường THPT Nơng Cống 3 ”. Nhằm đơn giản các bài tốn về

hình học khơng gian đồng thời khắc sâu kiến thức về phương pháp tọa độ trong
không gian để học sinh vừa giải các bài tốn hình học tọa độ trong khơng gian
một cách nhuần nhuyễn, vừa có thể giải được các bài tốn hình học khơng gian
thơng thường.
2. Cơ sở lí luận
2.1. Kiến thức cơ bản
Khi sử dụng phương pháp tọa độ trong khơng gian để giải một số bài
tốn hình học khơng gian các em học sinh cần ôn lại các kiến thức về véc tơ,
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, góc giữa hai vec tơ, góc giữa
hai đường thẳng, góc giữa hai mặt phẳng để có thể nhanh chóng nhận dạng và
tiếp cận được với phương pháp này.
2.2. Một số kinh nghiệm nhận dạng bài toán và cách chọn hệ trục tọa độ
Những bài tốn hình khơng gian có yếu tố về hình hộp chữ nhật, hình lập
phương, hoặc hình lăng trụ đứng và cả những hình chóp đi kèm với những câu hỏi

4


như: chứng minh quan hệ vng góc, tính góc, tính khoảng cách. Ta có thể chuyển
sang hệ trục tọa độ để giải quyết.
Với những hình có sẵn ba cạnh đơi một vng góc như hình hộp chữ nhật hay
hình lập phương thì ta có thể chọn ngay ba cạnh đó làm ba cạnh nằm trên ba trục của
hệ trục tọa độ, sau đó dựa vào độ dài các cạnh này để chọn tọa độ các điểm. Cịn với
hình chóp, hình lăng trụ thì có thể dựa vào giả thiết cho hoặc suy ra từ giả thiết. Chẳng
hạn:
z

•
Cho
hình
lập
phương
ABCD. A ' B ' C ' D ' với cạnh bằng a … thì
ta có thể chọn được hệ trục tọa độ Oxyz sao
cho một trong 8 đỉnh là gốc của hệ trục,
chẳng hạn ta chọn A �O ; các cạnh
AB, AD, AA ' lần lượt nằm trên ba trục
Ox, Oy, Oz . Khi đó chọn tọa độ các điểm
là:
A  0;0;0  , B  a;0;0  , D  0; a;0  , A '  0;0; a 

A' a

D'

B'

C'

A

y

a
D

B

.

C

a

x
z
C'

B'

• Khi giả thiết cho hình hộp chữ nhật
ABCD. A ' B ' C ' D ' . Chẳng hạn hình hộp chữ
nhật có các cạnh BA  a, BC  2a, BB '  3a
thì ta có thể chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao
cho B �O ; các cạnh BA, BC , BB ' lần lượt

3a
A'

D'

B

y

2a

C

nằm trên các trục Ox, Oy, Oz. ta chọn tọa độ

A

D

a

x

B  0;0;0  , A  a;0;0  , C  0;2a;0  , B '  0;0;3a 

.
z
S

• Nếu giả thiết cho hình chóp đều
S.ABCD thì khi đó gọi I là tâm của hình vng
ABCD, ta có ngay ba đường đơi một vng góc
với nhau là IS, IA, IB. Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz sao cho I �O , các đoạn IA, IB, IS lần
lượt nằm trên các trục Ox, Oy, Oz

D
C
A

I

B

y

x

 Nếu giả thiết cho hình chóp có một mặt bên là tam giác cân hoặc tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy thì chọn trung điểm của cạnh đáy tam
giác cân đó là gốc hệ trục tọa độ. Chẳng hạn hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật, SAB là tam giác cân và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy, gọi H là

5


trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz ,
H �O . Ta có hình vẽ sau:

z
S

 Cịn nếu giả thiết cho hình lăng trụ tứ giác
đều thì ta chọn một đỉnh là gốc của hệ trục tọa độ
còn ba cạnh có chung đỉnh đó nằm trên ba trục tọa
độ (giống với cách làm đối hình hộp chữ nhật)

D
C

H

 Cịn nếu giả thiết cho hình lăng trụ tam
y
A
B
giác đều, chẳng hạn hình lăng trụ tam giác đều x
ABC. A ' B ' C ' . Khi đó gọi H là trung điểm của AB
và chọn H là gốc của hệ trục tọa độ AB �Ox, HC �Oy , HK �Oz ( K là trung điểm
của A ' B ' )
z

z

B'

C'

K
A'

y

y
B
C
H

x

Hình lăng trụ tứ giác đều

A

x

Hình lăng trụ tam giác đều

Chú ý: Với hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân, chẳng hạn hình lăng trụ
đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân tại C ta cũng làm hoàn toàn giống với
lăng trụ tam giác đều.
 Với hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác vng thì hiển nhiên chọn ngay
đỉnh góc vng làm gốc của hệ trục tọa độ và ba cạnh chung đỉnh đó nằm trên ba trục
tọa độ
Khi xác định tọa độ một điểm ta cần chú ý đến một số tính chất và kĩ năng sau:
A a; b; c 
Giả sử ta có điểm 
A a;0;0 
- Hình chiếu của điểm A trên trục Ox là 1 
(giữ nguyên thành phần
hoành độ của A)
A 0; b;0 
- Hình chiếu của điểm A trên trục Oy là 2 
(giữ nguyên thành phần
tung độ của A)
A 0;0; c 
- Hình chiếu của điểm A trên trục Oz là 3 
(giữ nguyên thành phần cao
độ của A)
A a; b;0 
- Hình chiếu của điểm A trên (Oxy) là 4 
(giữ nguyên hoành độ và

tung độ của A)
A a;0; c 
- Hình chiếu của điểm A trên (Oxz) là 5 
(giữ nguyên hoành độ và cao
độ của A)

6


- Hình chiếu của điểm A trên (Oyz) là
của A)

A6  0; b; c 

(giữ nguyên tung độ và cao độ

2.3. Các bước thực hiện
Bước 1: Khéo léo gán hệ trục tọa độ cho từng bài tốn, từng hình vẽ.
Bước 2: Sử dụng các kiến thức về tọa độ trong khơng gian để giải và đưa
ra kết luận.
3. Bài tốn minh họa
DẠNG 1: TÍNH GĨC
1.1. Một số kiến thức cơ bản
Góc giữa đường thẳng d1 và d 2 được tính theo công thức
uu
r uu
r
u1.u2
uu
r uu

r
a1.a2  b1.b2  c1.c2
cos  d1 , d 2   cos u1, u2  uu
r uu
r 
u1 . u2
a12  b12  c12 . a22  b22  c22





P
Góc giữa đường thẳng d1 và mặt phẳng phẳng  1  được tính theo cơng thức
uu
r uu
r
u1.n1
uu
r uu
r
sin  d1,  P1    cos u1 , n1  uu
r uu
r
u1 . n1



Góc giữa hai mặt phẳng

 P1 

và



 P2 

cos   P1  ,  P2  

được tính theo cơng thức
uu
r uu
r
n1.n2
 uu
r uu
r
n1 . n2

1.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A ' B ' C ' D ' có AB  2a, AD  3a, AA '  4a .
Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng
a) A ' D và CD '

b) A ' C và BD

Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A �O với
B  2a;0;0  , D  0;3a;0  , A '  0;0;4a 

.

z
A'

Suy ra:
C  2a;3a;0  B '  2a;0;4a  ,
,
D '  0;3a;4a  , C '  2a;3a;4a 
uuuur
uuuu
r
A ' D   0;3a; 4a  , CD '   2a;0;4a 
a)

D'
C'

B'

A
D
B

y

C

x

7


uuuur uuuu
r
A ' D.CD '

cos  A ' D, CD ' 



16a 2



8

A ' D.CD ' 5a.2a 5 5 5
uuuur
uuur
A ' C   2a;3a; 4a  , BD   2a;3a;0 
b)
. Ta có
uuuur uuur
A ' C.BD
4a 2  9a 2  0
5
cos  A ' C , BD  



A ' C.BD
2.a 39.2a 5
4 195

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với (ABC), tam giác ABC vuông tại
A, tam giác SAC cân. Biết AB  2a, AC  4a . Gọi M, N lần lượt là trung
điểm của AC, SC.
z
a) Tính góc giữa BM và SC.
S

b) Tính sin của góc giữa AN và BC.
N

Lời giải:
Nhận xét: ta có AS, AB, AC đơi một vng góc

A

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho A �O và
B  2a;0;0  , C  0; 4a;0  , S  0;0; 4 a 

AN , BC  �900
Vì 
Ví dụ 3









2
10

nên ta có

sin  AN , BC   1  cos

y

x

8a 2
1

2.4a 2 2

2

C

B

M  0;2a;0  , N  0; 2a; 2a 

Suy ra
uuuu

r
uuu
r
BM   2a;2a;0  , SC   0;4a; 4a 
a)
uuuu
r uuu
r
BM .SC
uuuu
r uuu
r
cos  BM , SC   cos BM , SC 

BM .SC 2a
uuur
uuur
AN   0;2a;2a  , BC   2 a;4a;0 
b) Ta có
uuur uuur
8a 2
cos  AN , BC   cos AN , BC 

2a 2.2a 5

M



�  BM , SC   600

2

3
�2 �
AN , BC   1  � � 
5
� 10 �

: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B. Biết AB  3cm, BC '  3 2cm . Tính góc hợp bởi đường thẳng BC ' và mặt
ACC ' A '
phẳng 
0
A. 30

0
B. 45

8


0
C. 60

0
D. 90

z

B'

C'

A'

Lời giải:
Ta dễ dàng tính được BB '  3cm

y

B

Ta có ba đường BA, BB’, BC đơi một vng góc nên
A
ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho B �O , với các
x
A 3;0;0  , C  0;3;0  B '  0;0;3
điểm 
,
uuuu
r
BC '   0;3;3
A '  3;0;3 , C '  0;3;3
Suy ra
. Ta có
,
uuur
uuuu
r

AC   3;3;0  , AA '   0;0;3
uuur uuuu
r
AC
�
AA
'   9;9;0 
�
r
n   1;1;0 
ACC ' A '

Mặt phẳng
có một vector pháp tuyến là
. Ta có
uuuu
rr
BC '.n
uuuu
r r
3
1
sin  BC ',  ACC ' A '   cos BC ', n  uuuur r 

BC '. n 3 2. 2 2



Vậy

C



 BC ',  ACC ' A '  =30 .
0

Đáp án A
B'

Cách giải thông thường:
Gọi H là trung điểm của cạnh AC, khi đó

A'

�BH  AC
� BH   ACC ' A '
�
�BH  CC '
ACC ' A ' 
Vậy HC ' là hình chiếu của BC ' trên 

C'

B
A

C
H

�  BC ',  ACC ' A '    BC ', HC ' 
Trong tam giác vuông BHC ' (vng tại H) ta có
AC 3 2
BH 

2
2 )

sin C ' 

BH 1

BC ' 2

(

�'  300 �  BC ',  ACC ' A '   300
�C

Nhận xét: Với cách giải thơng thường thì cần phải xác định được hình chiếu
của một đường thẳng trên mặt phẳng. Đây là một điểm yếu của phần lớn học sinh, nhất
là phải nhìn hình khơng theo chiều thuận. Cịn với cách giải dùng phương pháp tọa độ
thì với kiến thức đang học phần tọa độ trong khơng gian việc tính tọa độ vector chỉ

9


phương của đường thẳng và vector pháp tuyến của mặt phẳng là việc đơn giản hơn.
Giáo viên không phải mất nhiều thời gian cho việc nhắc lại kiến thức lớp 11.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, có AB  2a và

�  1200
BAD
. Hình chiếu vng góc của S xuống mặt đáy trùng với giao điểm I của hai
a
SI 
2 . Tính góc tạo bởi hai mặt phẳng
đường chéo và
 SAB  và (ABCD).
z
S
0
A. 30

0
B. 45

0
C. 60

0
D. 90

D

A

Nhận xét: AC, BD, IS là ba đường đơi một vng
góc, vì vậy ta có thể dùng chuyển sang phương pháp tọa
độ. Để thuận tiện cho việc chọn tọa độ ta phải đi tính độ
dài AC, BD trước.

I

B

C

x

y

Lời giải:
0
�
Ta có tam giác ABI vng tại I, BAD  60 , AB  2a
0
Nên ta có AI  AB.cos60  a

BI  AB.sin 600  a 3

� a�
0;0; �
B a 3;0;0 , C  0; a;0  S �
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho I �O và
, � 2�
� A  0; a;0 





Ta có:
uuu
r
uuu
r � a�
AB  a 3; a;0 , AS  �
0; a; �
� 2 ��
uuu
r uuu
r �a 2 a 2 3 2 � a 2
�
AB, AS �
�
� �2 ;  2 ; a 3 � 2 1;  3;2 3
�
�
ur
n
SAB 
1  1;  3;2 3
Suy ra: 
có một vector pháp tuyến là
uu
r
uur
uu
r uur
IA   0;  a;0  , IB  a 3;0;0 � �

IA
, IB �
 0;0; a 2 3  a 2 0;0; 3
�
�
Ta có
uu
r
n
ABCD 
2  0;0; 3
Suy ra 
có một vector pháp tuyến là
ur uu
r
n1.n2
6
3
cos   ur uu

r 
2
n1 . n2 4. 3
SAB 
ABCD 
Gọi  là góc giữa 
và 
. Ta có





























� góc giữa hai mặt phẳng  SAB  và  ABCD  bằng 300.

10

Đáp án A.
 Cách giải thông thường

S

SAB 
ABCD 
Gọi  là góc giữa 
và 
. Giao tuyến của
(SAB) và (ABCD) là AB, gọi H là hình chiếu của I trên
AB.

Ta có

AB   SHI  � AB  SH

Do đó

�
   SH , IH   SHI

Xét

tam
giác
vuông
IA.IB a.a 3 a 3

IH 


AB
2a
2

tan  

D

A
H
I

B

ABI

ta

C

có:

SI
1

�   300
IH

3

Vậy góc giữa (SAB) và (ABCD) bằng 300
Nhận xét:
Với cách giải bằng phương pháp tọa độ thì có vẻ dài dịng nhưng những kiến
thức này gần gũi với học sinh 12 bởi các em đang học phần tọa độ hoặc vừa học xong.
Còn với cách giải hoàn toàn sử dụng kiến thức lớp 11 thì học sinh thường gặp khó
khăn ở cơng đoạn khó nhất là phải xác định được góc giữa hai mặt phẳng trên hình,
bởi ở cơng đoạn này học sinh phải vẽ thêm đường phụ, và tất nhiên đa số học sinh
khơng biết dựng đường phụ như thế nào. Vì thế tôi thấy rằng nếu dùng phương pháp
tọa độ nhiều thì học sinh sẽ quen dần. Giáo viên khơng cần giải thích nhiều, học sinh
cũng khơng cần phải mất thời gian để ơn lại kiến thức lớp 11.
Ví dụ 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có độ dài cạnh đáy bằng a , cạnh bên

a 5
bằng 2 . Tính góc giữa mặt bên và mặt đáy.
0
A. 30

0
B. 45

0
C. 60

0
D. 90

z

Lời giải:

S

Gọi H là giao điểm của AC và BD. Ta dễ dàng tính được
a 3
BD  AC  a 2, SH 
2
Ta có HB, HC, HS đơi một vng góc nên ta chọn hệ
trục tọa độ Oxyz sao cho H �O ,

A

D
H

x

B

C

y

�a 2
� � a 2 � � a 3�
B�
;0;0 �
, C�
0;

;0 �
, S�
0;0;
�
2 �
�2
� � 2
� �

11


Xét mặt phẳng

 SBC 

và

 ABCD  . Ta có:

uuur � a 2 a 2 � a 2
uuu
r �a 2
a 3� a
BC  �
;
;0 �
;0;
 1;1;0  BS  �
�  2;0; 3

2
2
2
2
2 � 2
�
�
�
*
,
ur
n1   1;1;0  �  2;0; 3  3; 3; 2
�  SBC 
có một vector pháp tuyến





uuur a 2
uuur a 2
HB 
 1;0;0  , HC 
 0;1;0 
2
2
*
�  ABCD 

có một vector pháp tuyến là

 





uu
r
n2   1;0;0  � 0;1;0    0;0;1

SBC 
ABCD 
Gọi  là góc giữa 
và 
, ta có:
ur uu
r
n1.n2
2
1
cos   ur uu
 �   600
r 
8.1 2
n1 . n2
.

Vậy góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600
Đáp án C.

S

Cách giải thơng thường
Xét (SCD) và (ABCD). Ta có CD là giao tuyến
của hai mặt phẳng , gọi E là chân đường vng góc hạ
từ H xuống CD, suy ra SE  CD (định lí 3 đường
vng góc)
Vậy góc giữa (SCD) và (ABCD) bằng góc giữa đường
thẳng ES và EH. Trong tam giác SHE có
�  SH  3
tan SEH
AE

SH 

A

D
H

B

E
C

a 3
a
, HE 
�  600

2
2 ). Suy ra SEH

(
� góc giữa mặt (SCD) và đáy bằng 600.

Nhận xét: Trong cách giải thuần túy lớp 11 có vẻ ngắn gọn hơn nhưng đòi hỏi
học sinh phải biết kẻ những đường phụ để xác định được góc giữa hai mặt phẳng, sau
đó học sinh phải có kĩ năng chứng minh quan hệ vng góc. Cịn với cách giải bằng
phương pháp tọa độ tuy có hơi dài nhưng học sinh khơng cần kẻ đường phụ mà chỉ
cần tính tốn sau khi đã chọn tọa độ các điểm.
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B và BC=2AB, SA  a .
Mặt bên SAB là tam giác vuông cân tại A và nằm trong mặt phẳng vng góc
với mặt đáy . Tính cosin góc giữa hai đường thẳng AB và SC.

12


Lời giải:
z
S

Lấy điểm D sao cho ABCD là hình chữ nhật
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A �O ,
AB �Ox, AD �Oy, AS �Oz . Ta có độ dài các đoạn
thẳng là AB  AS  a, AD  BC  2a . Chọn tọa độ

D

A

B  a;0;0  , D  0; 2 a;0  , S  0;0; a  � C  a;2a;0 
uuu
r
uuu
r
AB   a;0;0  , SC   a;2a; a 
Ta có

y

C
B

x

uuu
r uuu
r
a.a  0.2a  0.  a 
a2
1
cos  AB, SC   cos AB, SC 
 2

2
a 6
6
a. a 2   2a   a 2





Lời giải thơng thường:
0
�
Dựng hình bình hành ABCD, do ABC  90 nên ABCD là hình chữ nhật. Ta có

cos  AB, SC   cos  CD, SC 

.

AC 2  a 2   2a   5a 2 � AC 2  a 2  5a 2  6a 2
2

SD 2  SA2  AD 2  a 2  4a 2  5a 2

Suy ra SC  a 6, SD  a 5
2
2
2
2
2
2
�  CD  SC  SD  a  6a  5a  6  0
cos DCS
2CD.SC
6
2.a.a 6

� cos  AB, SC  

6
6

1.3. Bài tập áp dụng:
Câu 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 4a , SA  a 10 .
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SD và BC; gọi H là hình chiếu của S trên
(ABCD). Biết rằng H nằm trên đoạn AB và HB  3HA .Tính cosin góc giữa hai đường
thẳng BM và DN.
Đáp số:

cos  BM , DN  

18
370

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a ,
SA  a, SB  a 3 và mặt phẳng (SAB) vng góc với đáy. Gọi M, N lần lượt là
trung điểm của AB và BC. Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SM và DN.
(TSĐH 2008-B)

13


Đáp số:

5
5

cos  SM , DN  

Câu 3. Cho hình lập phương ABCD. A ' B ' C ' D ' . Gọi  là số đo góc giữa hai mặt
BA ' C 
DA C
phẳng 
và  1  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
0
A.   30

0
B.   45

0
D.   90

0
C.   60

Câu 4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng 2a . Gọi E là điểm đối
xứng của điểm D qua trung điểm của SA. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của
AE, BC. Gọi  là góc giữa hai đường thẳng MN và BD. Mệnh đề nào sau đây
đúng?
0
A.   30

0
B.   45

0
D.   90

0
C.   60

Câu 5. Cho tam giác đều SAD và hình vng ABCD nằm trong hai mặt phẳng vng
góc với nhau. Gọi I, M, F lần lượt là trung điểm của AD, AB, SB. Gọi  là góc
CMF 
SIB 
giữa hai mặt phẳng 
và 
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
0
A.   30

0
B.   45

0
D.   90

0
C.   60

Câu 6. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác cân với
�  1200
AB  AC  2a , góc BAC
, cạnh bên AA '  2a , gọi I là trung điểm của
CC ' . Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  AB ' I  . Khẳng định nào sau

đây đúng?
A.

cos 

3
10

B.

cos 

30
10

C.

cos 

3
5

D.

cos  

2
5

Câu7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với

AB  a, AD  a 2, SA  a và SA vuông góc với (ABCD). Gọi M, N lần lượt là

SAC 
hai trung điểm của AD và SC. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng 
và
SMB

 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. cos  0

B.

cos 

1
2

C.

cos 

3
2

D.

cos 

2

2

DẠNG 2: TÍNH KHOẢNG CÁCH
2.1. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng:
2.1.1. Kiến thức cơ bản
Giả sử ta có:

M  xM ; yM ; zM 

d  M ,( P )  

,

 P  : Ax  By  Cz  D  0

A.xM  B. yM  C.z M  D
A2  B 2  C 2

14


Chú ý: Một số trường hợp viết phương trình của mặt phẳng cần lấy tích có
hướng
1
2
3

r
r
u

v
(P) chứa giá của hai vector và

� (P) có vector pháp tuyến là
r
r r
u
(P)
�
r song song với giá của hai vector và �
u
�, v �
v
r
u
(P) chứa
giá của
và song song với giá
r
của v
2.1.2. Một số ví dụ

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tam giác SAB
là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABCD). Tính theo a
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD).
(ĐH 2013-Khối B)
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH vng
góc với (ABCD). Gọi K là trung điểm của CD, ta
có ngay ba đường HB, HS, HK đơi một vng góc

nên ta chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho

S

� a 3�
�a
�
H �O, B � ;0;0 �
, K  0; a;0  , S �
0;0;
�
2 �
�2
�
�



D

A
H

x

�a
� �a
� �a
�
A � ;0;0 �

, C � ; a;0 �
, D � ; a;0 �
� �2
� �2
�
Suy ra �2
uuu
r �a
a 3 � a
SC  � ; a;
� 1;2;  3
2
2
�
� 2

z

K

B
C



uuu
r �a
a 3 � a
SD  � ; a;
� 1;2;  3

2
2
�
� 2
r
n  1;2;  3 � 1;2;  3  0;2 3;4
(SCD) có một vector pháp tuyến là







Phương trình mặt phẳng

Ta có

d  A,  SCD   

 SCD  :

a 3
7

y



 

 



3y  2z  a 3  0

a 21
7

Cách giải thông thường:
d  A,  SCD    d  H ,  SCD  
Do AB//CD và H �AB nên

15


SHK    SCD 
SHK  � SCD   SK
Ta có 
và 
. Gọi I là hình chiếu của H trên SK
d  H ,  SCD    HI
SI   SCD 
thì
. Vậy

Xét tam giác SHK ta có

HS .HK

HI 

HS  HK
2

2



a 21
a 21
� d  A,  SCD   
7
7

 Nhận xét:
-Với cách giải trong đáp án thì học sinh phải tính khoảng cách từ A đến (SCD)
gián tiếp thông qua khoảng cách từ H đến (SCD). Học sinh phải có kiến thức vững
mới nhìn thấy mối quan hệ giữa khoảng cách từ A và H đến (SCD). Trong cách giải
này nhiều học sinh lúng túng trong việc dựng chân đường vng góc hạ từ H xuống
(SCD).
- Trong cách giải bằng phương pháp tọa độ nhìn có vẻ dài dịng hơn, nhưng học
sinh chủ yếu tính tốn, khơng cần nhiều kĩ năng kẻ đường phụ hay chứng minh vng
góc. Việc tính tọa độ tích có hướng của hai vector, viết phương trình mặt phẳng, tính
khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là các kiến thức học sinh 12 đang học
nên các em có thể sử dụng dễ dàng.
Ví

dụ 2: Cho hình hộp

AB  a, AD  2a, CC '  3a

chữ

tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng

nhật

ABCD. A ' B ' C ' D '

A

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A ' �O và

DA ' C ' 
Suy ra 



có một vec tơ pháp tuyến là

Phương trình tổng quát của

Vậy

d  B,  DA ' C '   

D
C

D'

A'
B'

x

r
n   6; 3;2 

C'

y

.

 DA ' C ' : 6 x  3 y  2 z  0

6a  0  2.3a
6 3 2
2

B

z

. Suy ra

C '  a; 2a;0  , D  0; 2a;3a  B  a;0;3a 
,

uuuuu
r
uuuur
A ' C '   a; 2a;0  , A ' D   0;2a;3a 
Ta có
uuuuu
r uuuur
2
2
2
2
�
�
A
'
C
� ', A ' D � 6a ; 3a ;2a  a  6; 3;2 



cạnh

 DC ' A '  .

Lời giải:
B '  a;0;0  , D '  0;2a;0  , A '  0;0;3a 

có

2

2



12a
7

Cách giải thơng thường

16


DA ' C ' 
B ' AC 
Ta có hai mặt phẳng 
và 
song song và
BD
'
cắt đường chéo
lần lượt tại K và I, ta có kết quả
BI  IK  KD nên d  B,  DA ' C '   2d  D ',  DA ' C '  

Trong hình chóp D. A ' C ' D ' có D ' A ', D ' C ', D ' D đôi một
DA ' C ' 
vuông góc. Gọi H là hình chiếu của D trên 
ta có

B

A

D
C
I

K
D'

A'
B'

C'

1
1
1
1
49




2
2
2
2
D'H
D ' A'

D 'C '
D'D
36a 2
� d  D ',  DA ' C '  

6a
7

� d  B,  DA ' C '  

12a
7

 Nhận xét:
- Trong cách giải thơng thường địi hỏi người giải phải có kiến thức tổng hợp
mới giải được bài toán này bởi nó địi hỏi nhiều kiến thức đan xen, chẳng hạn: việc
B ' AC 
DA ' C ' 
chứng minh hai mặt phẳng 
và 
cắt đoạn BD ' theo ba đoạn bằng
d  B,  DA ' C ' 
BK

d  D ',  DA ' C '  D ' K
nhau, việc sử dụng công thức
, sử dụng kết quả
1
1
1

1



2
2
2
D'H
D ' A'
D 'C '
D ' D 2 trong bài tập hình học 11.
- Cịn khi sử dụng phương pháp tọa độ, ngồi việc xác định tọa độ các điểm ra
thì hầu như khơng cần tư duy trên hình, chỉ cần viết phương trình mặt phẳng và sử
dụng cơng thức tính khoảng cách có sẵn để tính tốn.
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vng tại A và D, AD  CD  a
AB  2a, SA  3a  a  0 

. Đường thẳng SA vng góc với

 ABCD  .

a) Tính khoảng cách từ C đến (SBD).
b) Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABD đến (SBC).
Lời giải:

z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A �O
D  a;0;0  , B  0;2a;0  , S  0;0; a 
và

� C  a; a;0 
uuur
uuur
DB    a;2a;0  , DS   a;0; a 
a)
uuur uuu
r
�
�  2a 2 ; a 2 ;2a 2   a 2  2;1;2 
DB
,
DS
�
�

S

B

A

y
x

D

C

17

mặt phẳng (SBD) có một vec tơ pháp tuyến là

r
n   2;1;2 

.

Ta có phương trình (SBD): 2 x  y  2 z  2a  0

Ta có

d  C ,  SBD   

2a  a  0  2a
22  1  2 2



a
3

�a 2a �
G � ; ;0 �
b) Ta có �3 3 �
uur uuu
r
uur
uuu
r

�
�   a 2 ; a 2 ; 2a 2   a 2  1;1; 2 
�
SB
,
SC
SB   0;2a; a  , SC   a; a;  a 
�
�
r
n   1;1;2 
SBC 

Mặt phẳng
có một vector pháp tuyến là
Phương trình mặt phẳng

� d  G,  SBC  

 SBC  :

x  y  2 z  2a  0

a 2a

 0  2a
a
3 3



6
6

Ví dụ 4:
Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A ' B ' C ' D ' có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc
�  600
BAD
, gọi O và O ' lần lượt là hai tâm đáy ABCD và A ' B ' C ' D ' , biết OO '  2a
KAB 
. Gọi K là trung điểm của OO ' . Tính khoảng cách từ O đến 
Lời giải:
Ta có tam giác ABD là tam giác đều cạnh a , suy
a 3
AO 
2 . Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:
ra

C'

z

D'
O'

B'

A'
K

C

B

x

O

D
A

y

�a
� � a 3 �
O  0;0;0  , B � ;0;0 �
, A�
0;
;0 �
, O '  0;0;2a 
�2
� � 2
�
Suy ra:

K  0;0; a 

. Ta có:

uuu
r � a 3
� uuur

a
�
KA  �
0;
; a � KB  �
;0;  a �
�
� 2
�,
�2
�

18


uuu
r uuu
r �a 2 3 a 2 a 2 3 � a 2
�
KA, KB �
�
� � 2 ; 2 ; 4 � 4 2 3;2; 3
�
�
r
n
KAB
 có một vec tơ pháp tuyến là  2 3; 2; 3
Suy ra 







Phương trình mặt phẳng
� d  O,  KAB   

 KAB  : 2

a 3
19





3x  2 y  3z  a 3  0

a 3
19

D'

C'

Cách giải thông thường

O'

B'

A'

Học sinh có thể sử dụng kết quả của bài tốn trong
sách giáo khoa 11 đối với hình chóp K.OAB là
1
1
1
1



2
2
2
OH
OA OB
OK 2

C

Trường hợp khơng nhớ kết quả này thì học sinh
phải làm các bước như sau:
Gọi M là hình chiếu của O trên AB, khi đó
Suy ra

K

H

O
B

M

D
A

AB   KMO 

 KMO    KAB  , ta có  KMO  � KAB   KM

Gọi H là hình chiếu của O trên KM
Xét tam giác OAB , tính được

� d  O,  KAB    OH

OM 

OA.OB a 3

AB
4

1
1
1
16

1
19





2
OM 2 OK 2 3a 2 a 2 3a 2
Xét tam giác KOM: OH

� d  O,  KAB   

a 3
19

 Nhận xét:
- Trong cách giải khơng dùng phương pháp tọa độ thì địi hỏi học sinh phải có
kĩ năng dựng hình, sử dụng kiến thức lớp 11 để chứng minh quan hệ vng góc để xác
định được khoảng cách trên hình. Việc này tương đối khó với phần lớn học sinh.
- Cịn khi dùng phương pháp tọa độ học sinh sử dụng kiến thức 12 đang học để
giải quyết bài tốn.
2.2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b
2.2.1. Kiến thức cơ bản
Phương pháp:
- Xác định mặt phẳng

 P

chứa b và song song với a

19


- Lấy điểm A trên đường thẳng a . Khi đó

d  a, b   d  a,  P    d  A,  P  

r
 Chú ý:r Nếu đường thẳng a có vec tơ chỉ phương u , đường thẳng b có vec tơ chỉ
phương v
r r
�
u
,v�
P
Thì khi đó   có vec tơ pháp tuyến là � �
2.2.2. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vng tại A,
cạnh AB  a, AC  AA '  2a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng B ' C '
và A ' B .
Lời giải:
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
B  a;0;0  , C  0;2a;0  A '  0;0;2a 
� B '  a;0;2a  , C '  0;2a; 2a 

sao

cho

A �O ,

A'

z
C'

B'

Gọi (P) là mặt phẳng chứa BA ' và song song với B ' C '
uuur
uuuuu
r
BA '   a;0;2a  , B ' C '   a;2a;0 
uuur uuuuu
r
2
2
2
2
��
BA
',
B
'
C
'�
�
�  4a ; 2 a ; 2a   2 a  2;1;1
r

 P  có một vector pháp tuyến là n   2;1;1

A
C

B

y

x

(P) đi qua B nên có phương trình tổng quát là 2 x  y  z  2a  0
d  B ' C ', BA '  d  B ' C ',( P )   d  B ',  P   

Suy ra

2a  0  2a  2a
2 11
2

Cách giải thơng thường
Ta thấy
B 'C '
Khi đó

 BCA '

là mặt phẳng chứa BA ' và song song với

 BCA '

C'

B'
H

d  B ' C ', BA '   d  B ' C ',  BCA '   d  B ',  BCA '  

Gọi H là hình chiếu của A trên

2a
6

A'

đi qua trung điểm của đoạn AB ' nên khoảng
A ' BC 
cách từ B ' đến 
bằng khoảng cách từ A đến
 A ' BC 
Ta có



A
B

C
K

 A ' BC  , ta có

20


1
1
1
1
1
1
1
6



 2

 2
2
2
2
2
2
2
AH
AB
AC
A' A
a  2a 

 2a  4a
� AH 

2a
2a
2a
� d  B ',  A ' BC   
� d  B ' C ', BA '  
6
6
6

Nhận xét:
- Trong lời giải trên tôi sử dụng kết quả của bài tập hình học 11 (bài 4, SGK 11
cơ bản, chương 3, trang 105). Nếu học sinh khơng sử dụng kết quả của bài tốn này thì
việc tính độ dài AH phức tạp hơn, bao gồm việc đi dựng đoạn AH và thiết lập biểu
thức tính AH. Trong lời giải trên những điểm nhấn quan trọng đó là việc xác định mặt
phẳng chứa đường này và song song với đường kia, việc nhận xét được trung điểm của
BCA '
A ' BC 
đoạn BA ' nằm trên mặt phẳng 
để từ đó tính khoảng cách từ B ' đến 
BCA '
thông qua khoảng cách từ A đến 
. Những kĩ năng này thường rất khó với phần
lớn học sinh.
- Với cách dùng phương pháp tọa độ tôi nhận thấy rằng mặt phẳng (P) khơng
nhất thiết phải nhìn thấy trên hình, chỉ biết rằng nó có vector pháp tuyến chính là tích
có hướng của hai vector chỉ phương của hai đường thẳng B ' C ' và BA ' . Cách viết
phương trình mặt phẳng (P) thì đơn giản, phần lớn học sinh làm được. Từ đó tính được

khoảng cách giữa hai đường chéo nhau.
Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , SA vng góc với mặt
phẳng (ABCD), góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD) bằng 45 0. Tính theo a khoảng
cách giữa hai đường thẳng SB và AC .
(TSĐH năm 2015-Khối A)
Lời giải:
Ta có AC  a 2 . Tam giác SAC vuông cân
� SA  a 2

S

B a;0;0 
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho A �O , 



D  0; a;0  S 0;0; a 2
,



� C  a; a;0 

Gọi (P) là mặt phẳng chứa SB và song song với AC.
uur
uuur
SB  a;0; a 2 , AC   a; a;0 
.
uur uuur

2
2
2
2
�
SB, AC �
2;  2;1
�
� a 2; a 2; a  a
r
n
 P  có một vector pháp tuyến là  2; 1;1



z

D

A

x

B

y
C













Phương trình mặt phẳng

 P

là:



2x  2 y  z  a 2  0

21


d  AC , SB   d  AC ,  P    d  A,  P   

a 2
5



a 10
5

Cách giải thông thường: Kẻ đường thẳng d đi qua B và song song với AC, gọi M là
hình chiếu của A trên đường thẳng d, gọi H là hình chiếu của A trên SM.
Ta
có:
� AH  BM
Suy ra:

SA  BM , MA  BM �  SAM   BM

S
H

AH   SBM 

A
D
M
B

C

� d  AC , SB   d  AC ,  SBM    d  A,  SBM    AH
0
�
Tam giác ABM vuông tại M và có AMB  45

suy ra:

AM 

a 2
2

Tam giác SAC vuông cân tại A nên SA  AC  a 2
1
1
1
1
4
5
 2
 2 2  2
2
2
SA
AM
2a
2a
2a
Ta có AH

Vậy

d  AC , SB  

a 10
5

Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh 2a , mặt phẳng
(SAB) vng góc với đáy và tam giác SAB cân tại S, SC tạo với đáy góc 60 0. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD theo a .
Lời giải:

S

z

Gọi H là trung điểm của AB � SH  AB
Do

 SAB    ABCD  � SH   ABCD 

D

A
H

Gọi K là trung điểm của CD � HK  2a

K

B

y

C

Ta có HC  a 5 � SH  a 15

x

Do HS, HB, HK đôi một vng góc.
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz, sao cho:





H �O, B  a;0;0  , K  0; 2a;0  , S 0;0; a 15 � A  a;0;0  , D   a;2a;0 

Gọi (P) là mặt phẳng chứa BD và song song với SA.

22


Ta có:
uur
uuur
SA   a;0;  a 15 , BD   2a;2a;0 
uur uuur
2
2
2
2
��
SA, BD �
�

� 2a 15, 2a 15, 2a  2a













15; 15; 1

(P) có phương trình là 15 x  15 y  z  15a  0
d  SA, BD   d  SA,  P    d  A,  P   

 a 15  0  0  15a
31



2a 15
31

Ví dụ 4:
0
�

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , ABD  60 ,
SA   ACBD 
,

SA  2a . Gọi M là trung điểm của SB, tính khoảng cách giữa AM và SD theo a .
Lời giải:
Gọi E là trung điểm của SC, H là giao điểm của AC và
BD
Tam giác ABD là tam giác đều

� HB 

S

a
a 3
, HA 
2
2

E

M
A

Ta có HE là đường trung bình trong tam giác SAC
Ta có HE, HB, HC đơi một vng góc, nên ta chọn hệ
H �O ,
trục
tọa

độ
Oxyz
sao
cho
�a
� � a 3 �
B � ;0;0 �
,C �
0;
;0 �
, E  0;0; a 
�2
� � 2
�

z

D
H

x

B

C

y

� a 3 � �a
�

�a a 3 �
� � a 3
� A�
0;
;0 �
, D � ;0;0 �S �
0;
;2a �� M � ;
;a�
� � 2
� 2
� �2
�
�4 4
�
Gọi (P) là mặt phẳng chứa AM và song song với SD.
Ta có:
uuuu
r �a 3a 3 � a
AM  � ;
; a � 1;3 3;4
4
4
�
� 4
uuur �a a 3
� a
DS  � ;
;2a � 1; 3;4
�2 2

� 2









Suy ra (P) có vec tơ pháp tuyến là:
r
n  1;3 3;4 � 1; 3; 4  8 3;0; 2 3  2 3  4;0; 1



 

 



Phương trình của (P) là: 4 x  z  0

23


d  SD, AM   d  SD ,  P    d  D,  P   

2a

17

Ví dụ 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với hai đáy AD và
BC. Hình chiếu của S trùng với trung điểm H của AD. Biết rằng
AB  BC  CD  a, AD  2a , SH  a . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và
CD theo a .
z
Lời giải:
S
Gọi I là trung điểm của BC, K là trung điểm của HD.
Ta có:
A

2

�a � a 3
HI  KC  CD  KD  a  � � 
2
�2 �
2

2

K

D

H

2

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H �O ,

B

I

x

y
C

�a 3
�
I � ;0;0 �
, D  0; a;0  , S  0;0; a 
�2
�
�a 3 a �
� A  a;0;0  , C � ; ;0 �
�2 2 �
Gọi

 P

là mặt phẳng chứa SA và song song với CD.

uuu
r
uuur �a 3 a � a

AS   a;0; a   a  1;0;1 , DC  � ; ;0 �
3; 1;0
2
2
2
�
�
r
n   1;0;1 � 3; 1;0  1; 3; 1
(P) có vector pháp tuyến:







 



Phương trình của (P): x  3 y  z  a  0

Ta có:

d  CD, SA   d  CD,  P    d  D,  P   

a





3 1
5

2.3. Bài tập áp dụng
Câu 1. Cho lăng trụ đều ABCD. A ' B ' C ' D ' , tam giác A ' AC vuông cân, A ' C  a .
BCD '
Tính khoảng cách từ A đến 
theo a .

a 6
A. 5

a 6
B. 6

a 5
C. 6

a 6
D. 4

Câu 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB  2a, AD  a .
Mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với đáy. Tính
theo a khoảng cách từ D đến (SBC).

24

A. a 3

a 3
B. 2

a 3
C. 3

a 3
D. 4

Câu 3. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại AB  AC  a 2 .
Tam giác SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vng góc với (ABC).
Tính khoảng cách từ B đến (SAC).

2a 3
3
A.

a 3
B. 3

2a 3
7
C.

2a 3
D. 5

Câu 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, trong đó
�
�  900 BA  BC  a, AD  2a SA
ABC  BAD
,
vng góc với mặt đáy ABCD
và SA  a 2 . Tính khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác ABC đến (SCD).
.a

a
B. 4

a
C. 3

a
D. 2

A
Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a , cạnh SA vng
góc với mặt đáy, SC hợp với đáy góc 450 . Gọi E là trung điểm của BC. Tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng DE và SC theo a .

a 38
A. 19

a 5
B. 10

2a 3

C. 13

a 13
D. 18

Câu 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân với hai đáy BC và
AD. Biết SB  a 2, AD  2a, AB  BC  CD  a . Hình chiếu vng góc của
đỉnh S xuống mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm H của cạnh AD. Tính
theo a khoảng cách giữa SB và AD.

a 21
A. 10

a 7
B. 5

a 21
2a 5
C. 7
D. 12
Câu 7. Cho tam giác đều SAD và hình vng ABCD cạnh a nằm trong hai mặt phẳng
vng góc với nhau. Gọi M là trung điểm của AB.
a) Tính khoảng cách giữa AB và SD.
a
A. 2

a 3
B. 2

a 5

C. 4

a 7
D. 3

a 3
C. 6

a 3
D. 4

b) Tính khoảng cách giữa CM và SA.

a 3
A. 5

a 3
B. 2

Câu 8. Cho hình lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A,
BC  2a , AB  a và mặt bên BCC ' B ' là hình vng. Tính theo a khoảng cách
giữa hai đường thẳng AA ' và BC ' .

25