SKKN Những vấn đề cần lưu ý khi giải một số bài toán hình học trong lập trình

MỤC LỤC .........................................................................................................................1

PHẦN 1. MỞ ĐẦU.....................................................................................................................2
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI ......................................................................................................2
2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI .................................................................................................2
3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI.....................................................................2
3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI ...............................................................2
PHẦN 2. NỘI DUNG .................................................................................................................3
I – BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC........................................3
I.1. Biểu diễn điểm, đoạn thẳng và đường thẳng ................................................................3
I.2. Kiểu dữ liệu số..............................................................................................................3
II. THUẬT TỐN GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC CƠ BẢN ................................4
II.1. Tính tốn hoặc so sánh độ dài của đoạn thẳng, chu vi, diện tích các hình..................4
II.2 Vị trí tương đối giữa ba điểm liên tiếp A, B, C:...........................................................5
II.3. Phương trình đường thẳng...........................................................................................5
II.4. Vị trí tương đối giữa điểm và đường thẳng.................................................................6
II.5. Xác định điểm M có thuộc đoạn thẳng P1P2 ...............................................................6
II.6. Xác định điểm M có thuộc tia AB...............................................................................7
II.7. Xác định vị trí tương đối giữa 2 điểm M1,M2 so với đường thẳng p1p2 ......................7
II.8. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng .............................................................................8
II.8. Xác định 2 đoạn thẳng có giao nhau hay khơng ........................................................9
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐA GIÁC................................................................9
1. Một số định nghĩa ...........................................................................................................9
1.1. Đường gấp khúc......................................................................................................9
1.2. Đa giác .....................................................................................................................9
1.3. Đa giác tự cắt ...........................................................................................................9
1.4. Đa giác lồi ................................................................................................................9
1.5. Định lý về bao lồi...................................................................................................10
2. Một số bài tốn cơ sở:...................................................................................................10
2.1. Tính diện tích một đa giác .....................................................................................10
2.2. Kiểm tra đa giác lồi................................................................................................10

2.3. Vị trí tương đối một điểm và đa giác .....................................................................11
2.4. Tìm bao lồi có chu vi nhỏ nhất ..............................................................................14
PHẦN 3. KẾT LUẬN...............................................................................................................19
Tài liệu tham khảo ..................................................................................................................20
PHỤ LỤC: MỘT SỐ BÀI TẬP VÍ DỤ ....................................................................................21

SangKienKinhNghiem.net


PHẦN 1. MỞ ĐẦU

1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Giải các bài tốn có nội dung hình học ln là một phần quan trọng trong
chương trình tin học hiện nay. Khi giải các bài tốn về hình học bằng lập trình,
có một số công việc sẽ xuất hiện với các em học sinh học tin học, đầu tiên là
việc đưa được ra mơ hình tốn thứ đến nữa là phải chuyển đổi mơ hình tốn đó
thành chương trình. Có điều khó khăn là, khi giải các bài tốn về hình học việc
so sánh giá trị của hai đối tượng nào đó thường phải xử lý dưới dạng số nguyên
(máy tính so sánh hai số thực có khi khơng chính xác), hơn nữa trong tin học
việc giải các bài tốn hình học lại thiên về việc xử lý trên rất nhiều đối tượng vì
vậy cách thức tổ chức dữ liệu, cách thức xây dựng cơng thức, phương pháp tính
tốn là những vấn đề cần hệ thống lại để xây dựng cho các em học sinh có cách
nhìn tổng quan về vấn đề này, giúp các em khơng bị rối khi lập trình giải các bài
tốn hình học. Tuy nhiên các tài liệu như sách giáo khoa Tin học, sách bài tập
Tin học chưa đi sâu vào vấn đề này.
Vì những lý do nói trên nên trong đề tài này tơi đã mạnh dạn trình bày
những kinh nghiệm của mình tích lũy được trong quá trình giảng dạy về lập
trình giải các bài tốn hình học, với mong muốn đề tài này có thể có ích cho học
sinh, bạn bè đồng nghiệp và những người u lập trình.

2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI
Đề tài có mục đích đưa ra các cấu trúc dữ liệu phù hợp để biểu diễn các
yếu tố hình học, xây dựng các cơng thức (Thuật tốn) giải các bài tốn hình học
cơ bản. Ngồi ra trong phần phụ lục của đề tài cịn đưa ra một số bài tốn hình
học thường gặp và thuật tốn giải để bạn đọc tham khảo.

3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
Các cấu trúc dữ liệu để biểu diễn các đối tượng hình học, các thuật tốn
giải các bài tốn hình học cơ bản, một số bài tốn hình học thường gặp và thuật
toán giải chúng.

3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
- Xây dựng cơ sở lý thuyết.

- Điều tra khảo sát thực tế, đối sánh.

2
SangKienKinhNghiem.net


PHẦN 2. NỘI DUNG

I – BIỂU DIỄN CÁC ĐỐI TƯỢNG CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC
I.1. Biểu diễn điểm, đoạn thẳng và đường thẳng
Như chúng ta đã biết, các khái niệm: điểm, đoạn thẳng, đường thẳng là
những đối tường cơ bản nhất trong hình học nói chung. Để biểu diễn các đối
tượng nói trên trong tin học có nhiều cách khác nhau, tuy nhiên ta có thể sử
dụng cách biểu diễn bằng các cấu trúc dữ liệu như sau:
Type

// Điểm
Point = record
x,y : longint
// Đường thẳng, đoạn thẳng
Line = Record
p1, p2 : Point
//Đa giác, tập hợp điểm
Polygon = Array[1..MAXN] of Point
Để thuận lợi thì khi biểu diễn đa giác ta cũng có thể thêm hai đỉnh ở đầu
và cuối: đỉnh 0 bằng đỉnh n và đỉnh n + 1 bằng đỉnh 1.
Điều cần lưu ý ở đây là ta có thể dùng hai biến đơn x, y để biểu diễn một
điểm, nhưng nếu như vậy khi càn biểu diễn một tập hợp nhiều điểm ta phải dùng
hai mảng hoặc một mảng hai chiều, điều này sẽ không lợi khi phải sắp xếp các
điểm này theo một thứ tự nào đó.

I.2. Kiểu dữ liệu số
Trong các bài tốn hình học, phần lớn các đối tượng đều được thể hiện
trên hệ trục tọa độ Descartes, việc biểu diễn các thành phần tọa độ có thể sử
dụng cả kiểu số thực và kiểu số ngun của ngơn ngữ lập trình. Một số kiểu dữ
liệu của Pascal hay sử dụng.
+ Kiểu số nguyên:
Tên kiểu

Phạm vi

Dung lượng

3
SangKienKinhNghiem.net

Shortint

-128 → 127

1 byte

Byte

0 → 255

1 byte

Integer

-32768 → 32767

2 byte

Word

0 → 65535

2 byte

LongInt

-2147483648 → 2147483647

4 byte

+ Kiểu số thực:
Tên kiểu

Phạm vi

Dung lượng

Single

1.5×10-45 → 3.4×10+38

4 byte

Real

2.9×10-39 → 1.7×10+38

6 byte

Double

5.0×10-324 → 1.7×10+308

8 byte

Extended

3.4×10-4932 → 1.1×10+4932

10 byte

Trong khi sử dụng kiểu dữ liệu kiểu số thực, mặc dù chỉ khi ta dùng
Double hoặc Extended ta mới phải khai báo biên dịch ở chế độ {$N+}, nhưng ta
nên lúc nào cũng làm như vậy. Vì khi đó máy tính sẽ dùng bộ đồng xử lý toán
học, các phép toán với số thực sẽ thực hiện nhanh chẳng kém gì so với số
ngun (thậm chí còn nhanh hơn nếu ta dùng kiểu số thực Double).

II. THUẬT TỐN GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN HÌNH HỌC CƠ
BẢN
II.1. Tính tốn hoặc so sánh độ dài của đoạn thẳng, chu vi, diện tích
các hình
Đối với đoạn thẳng, việc tính toán hay so sánh độ dài của đoạn thẳng này
với đoạn thẳng khác dựa trên tọa độ sẽ không thể thực hiện được một cách chính
xác nếu như trong cơng thức có xuất hiện dấu căn. Thay vào đó ta phải viết biến
đổi cơng thức tốn học thành một dạng khác sao cho khơng cịn xuất hiện dấu
căn thức.
- Để so sánh độ dài của hai đoạn thẳng, đoạn thẳng thứ nhất nối giữa hai
điểm M1(x1; y1) , M2(x2;y2) và đoạn thẳng thứ hai nối giữa hai điểm M3(x3; y3),
M4(x4;y4).
Function EQA (x,y : doan) : boolean;

4
SangKienKinhNghiem.net


Begin
EQA := true;
if sqr(x.hc – x.hd) + sqr(x.tc – x.td) = sqr(y.hc – y.hd) + sqr(y.tc –
y.td) .

đoạn x}

{ x.hc là hoành độ điểm cuối đoạn x, x.hd là hoành độ điểm đầu
then exit(False)

End;
Ở đây chúng ta cần lưu ý là ta đã so sánh bình phương độ dài hai đoạn
thẳng, điều này giúp giảm chi phí tính tốn đồng thời không phải so sánh 2 số
thực nếu tọa độ nguyên.
- Điều kiện 3 điểm A(XA,YA), B(XB,YB), C(XC,YC) thẳng hàng:
(XA-XB)*(YA-YC) = (XA-XC)(YA-YB).

II.2 Vị trí tương đối giữa ba điểm liên tiếp A, B, C:
Có 3 khả năng xảy ra:

0
B.x  A.x C.x  B.x

k
 (B.x - A.x)(C.y - B.y) - (B.y - A.y)(C.x-B.x)  k   0
B. y  A. y C. y  B. y
 0


Nếu k = 0 thì ba điểm A, B, C thẳng hàng, k <0 thì rẽ phải tại B, k > 0 thì
ta có rẽ trái tại B.
Khi lập trình ta có thể dùng hàm như sau:
Function CCW (A,B,C : point) : integer;
Begin
If (B.x - A.x)*(C.y - B.y) - (B.y - A.y)*(C.x-B.x) = 0 then exit(0);

If (B.x - A.x)*(C.y - B.y) - (B.y - A.y)*(C.x-B.x) < 0 then exit(1)
Else exit(-1);
End;

5
SangKienKinhNghiem.net


II.3. Phương trình đường thẳng
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt P1, P2 có dạng:
f(x,y) = (x- P1.x)*(P2.y – P1.y) - (y – P1.y)*(P2.x – P1.x) = 0.
Viết dưới dạng tổng quát : f(x,y) = Ax + By + C = 0 như sau:
f(x,y)=(P2.y – P1.y) x +(P1.x – P2.x) y +((P2.x – P1.x)*P1.y - (P2.y – P1.y)*
P1.x)=0฀ f(x,y)=(P2.y – P1.y) x +(P1.x – P2.x) y +P2.x*P1.y - P2.y * P1.x=0.
Ở đây chúng ta không nên sử dụng phương trình đường thẳng dạng
y=ax+b vì nếu p1p 2 vng góc với trục ox thì sẽ bị sai.
Để tính giá trị của hàm f(x,y) đi qua hai điểm p1; p2 tại một điểm p3 ta có
thể sử dụng đoạn chương trình:
Function fx (p1,p2,p3 : point) : real;
Begin
exit(p3.x*(p2.y – p1.y) + p3.y*(p1.x – p2.x) + ( p2.x*p1.y-p1.x*p2.y));
End;

II.4. Vị trí tương đối giữa điểm và đường thẳng

uuuuuur
Cho 3 điểm P1, P2, M, Vị trí tương đối giữa M và so với vector p1 , p2 , xác

định như sau:
VT := (p2.x-p1.x)(M.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)(M.x-p1.x);

uuuuuur

- Nếu VT>0 thì M bên trái véctơ p1 , p2

uuuuuur

- Nếu VT<0 thì M bên phải véctơ p1 , p2

uuuuuur

- Nếu VT=0 thì M nằm trên đường thẳng chứa véctơ p1 , p2
Function PoInLn (p1,p2,M : point) : integer;
Var temp : longint;
Begin

Temp:=(p2.x-p1.x)*(M.y-p1.y)-(p2.y-p1.y)*(M.x-p1.x);
If Temp = 0 then exit(0);
If Temp > 0 then exit(1) Else exit(-1);
uuuuuur

End; { hàm = 1 thì M bên trái p1 , p2 , hàm = -1 thì M bên phải}

6
SangKienKinhNghiem.net


II.5. Xác định điểm M có thuộc đoạn thẳng P1P2
M thỏa 2 điều kiện sau:
- M nằm trên đường thẳng p1p2
- Tọa độ M thỏa : (M.x>=min(p1.x,p2.x)) and (M.x<=max(p1.x,p2.x)) and

(M.y>=min(p1.y,p2.y)) and (M.y<=max(p1.y,p2.y)))
Function PoInLi (p1,p2,M : point) : boolean;
Var temp : longint;
Begin
Temp:=PoInln(p1, p2,M);
Exit((Temp=0) and (M.x>=min(p1.x,p2.x)) and
(M.x<=max(p1.x,p2.x))
and (M.y>=min(p1.y,p2.y)) and (M.y<=max(p1.y,p2.y))) ;
End;

II.6. Xác định điểm M có thuộc tia AB
≥0:

uuuur

uuur

Điểm M thuộc tia AB nếu M thuộc đường thẳng AB và AM  k . AB với k
f(M.x,M.y)=0, (M.x-A.x)( B.x-A.x)>=0 và (M.y-A.y)( B.y-A.y)>=0
Function PinRay (p1,p2,M : point) : boolean;
Var temp : longint;
Begin
Temp:=PoInln(p1, p2,M);
Exit((Temp=0) and ((M.x-A.x)*( B.x-A.x)>=0) and
((M.y-A.y)*( B.y-A.y)>=0));
End;

II.7. Xác định vị trí tương đối giữa 2 điểm M1,M2 so với đường thẳng
p1p2
Function Po2PoLi (p1,p2,M1,M2 : point) : boolean;

7
SangKienKinhNghiem.net


Var temp1, Temp2 : longint;
Begin
Temp1:= PoInLi (p1,p2,M1 : point);
Temp2:= PoInLi (p1,p2,M2 : point) ;
Exit(Temp1 *Temp2 >= 0);
End; { hàm = true thì M1, M2 cùng phía, ngược lại thì khác phía}

II.8. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng
Cho 4 điểm A, B, C, D. Vị trí tương đối giữa 2 đường thẳng qua 2 điểm
AB và qua 2 điểm CD được xác định như sau:
- Tính hệ số A1, B1, C1 của đường thẳng AB.
- Tính hệ số A2, B2, C2 của đường thẳng CD.
- Tính d 

a1 b1
a2 b2

; dx 

c1 b1
c2 b2

; dx 

a1 c1

a2 c2

- Nếu D<>0 thì cắt nhau
- Ngược lại
- Nếu (dx=0) and (dy=0) thì trùng nhau - Ngược lại song song.
Function Pos2Li(var I:Point;A,B,C,D: Point): integer;
Var a1, b1, c1, a2, b2, c2:real; d, dx, dy: real;
Begin
Extract(A,B,a1, b1, c1); // tìm các hệ số a1, b1, c1.
Extract(C,D,a2, b2, c2); // tìm các hệ số a2, b2, c2.
d:=a1*b2- a2*b1;
dx:= c2*b1- c1*b2;
dy:= a1*c2- a2*c1;
If (d = 0) then
If (dx= 0) and (dy= 0) then exit(0) // trùng nhau

8
SangKienKinhNghiem.net


Else exit(-1) // song song
Else // d<>0
Begin
I.x:=dx/d; I.y:=dy/d; exit(1);
End;
End;

II.8. Xác định 2 đoạn thẳng có giao nhau hay khơng
Hai đoạn thẳng giao nhau nếu thỏa điều kiện:
- Hai đường thẳng qua 2 điểm đó phải cắt nhau tại một điểm I

- Và I thuộc 2 đoạn thẳng
Cần lưu ý điều kiện thứ hai, có nhiều học sinh hay bỏ sót điều kiện này.
Function Intersect1(A,B,C,D: Point; var I:Point): boolean;
Begin
Exit((Pos2Li(I,A,B,C,D)=1) and PoInLi(I,A,B) and PoInLi(I,C,D);
End;

III. MỘT SỐ BÀI TOÁN CƠ BẢN VỀ ĐA GIÁC
1. Một số định nghĩa
1.1. Đường gấp khúc
Một đường gấp khúc trên mặt phẳng gồm 1 dãy liên tiếp các đoạn thẳng
[A1,A2], [A2,A3],…, [Ak-1,Ak], mỗi đoạn thẳng được gọi là cạnh, các đầu mút của
các đoạn thẳng gọi là đỉnh.
1.2. Đa giác
Một đa giác là một đường gấp khúc khép kín tức điểm Ak trùng với điểm
A1.

9
SangKienKinhNghiem.net


1.3. Đa giác tự cắt
Một đa giác được gọi là tự cắt nếu có hai cạnh khơng liên tiếp có điểm
chung.
1.4. Đa giác lồi
Một đa giác lồi được gọi là lồi nếu đa giác ln nằm cùng một phía đối
với đường thẳng đi qua một cạnh bất kỳ. Đa giác lồi là đa giác không tự cắt.
1.5. Định lý về bao lồi
Với một tập hữu hạn M các điểm trên mặt phẳng(có ít nhất 3 điểm khơng
thẳng hàng) ta ln tìm được một tập con H của M sao cho H là tập các đỉnh

của đa giác lồi P mà mọi điểm của M đều thuộc đa giác này.

2. Một số bài tốn cơ sở:
2.1. Tính diện tích một đa giác

1 n
S   ( xi 1  xi )( yi 1  yi ) // Cơng thức diện tích kiểu tích phân.
2 1
Function Area(P:polygon;n:longint):int64;
Var i:longint; S:real;
Begin
S:=0;
For i:=1 to n do S:= S+(P[i+1].x-P[i].x)*(P[i+1].y+P[i].y)/2;
Exit(abs(S));
End;
Ở đây cần chú ý là P[n+1] trùng với điểm P[1]. Mặt khác cách tính này học
sinh lớp 11 chưa được biết vì vậy khi đưa ra cơng thức ta có thể khơng cần
chứng minh để khỏi sa vào dài dòng, quá sức học sinh.
2.2. Kiểm tra đa giác lồi
Kiểm tra dựa theo định nghĩa:
Function Convex (P:polygon;n:longint):boolean;
Var i,j,l,k:longint;

10
SangKienKinhNghiem.net


Begin
For i:=1 to n do
Begin

l:=i+1; if l=n+1 then l:=1; // đỉnh kế với i
k:=i+2; if l=n+1 then k:=1; // đỉnh xét cùng phía
for j:=1 to n do // vét tất cả các đỉnh //
if (j<>i) and (j<>k) and
(j<>l) and (not Pos2PoLi(P[i],P[l],P[k],P[j]))
then exit(false);
End;
exit(true);
End;

2.3. Vị trí tương đối một điểm và đa giác
+ Đối với đa giác lồi
Điểm thuộc đa giác nếu điểm nằm trên các cạnh hoặc thuộc miền đa giác.
Ta thấy nếu xét các cạnh của đa giác theo 1 chiều nào đó thì điểm M thuộc
đa giác nếu nằm cùng 1 bên (trái hoặc phải) với mọi vector cạnh cuả đa giác.

Function Inside (P:polygon;n:longint;M:point):boolean;
Var i:longint; VT, VT1:integer;

11
SangKienKinhNghiem.net


Begin
If PoInLi(P[1], P[2],M) then exit(true);
VT:=PosPoVec(P[1],P[2],M);
For i:=2 to n do
Begin
If PoInLi(P[i], P[i+1],M) then exit(true);
VT1:=PosPoVec(P[i],P[i+1],M);

If (VT* VT1)<0 then exit(false);
end;
exit(true);
End;
+ Đối với đa giác bất kỳ:

- Vẽ trục song với trục tung với tọa độ x=max{các hoành độ}+1.

12
SangKienKinhNghiem.net


- Vẽ đoạn thẳng song song với trục hoành và cắt trục vẽ bên trên. Ta nhận
xét nếu số giao điểm với đa giác là số lẻ thì điểm thuộc đa giác. Cịn ngược lại
điểm nằm ngồi đa giác.
- Các trường hợp cắt sau ta chỉ tính cắt tại 1 giao điểm:

Function Inside (P:polygon;n:longint;M:point):boolean;
Var I,count:longint; I,N point; xmax:real;
Begin
P[n+2]:=P[2]; // phần tử cầm canh. Ta có sẵn P[0]:=P[n],
P[n+1]:=P[1]
Count:=0; // đếm số giao điểm
xmax:=findxmax(P); // tìm hồnh độ lớn nhất của đa giác
N.x:=xmax+1; // điểm N
N.y:=M.y;
For i:=1 to n do
Begin
If PoInLi(P[i],P[i+1],M) then exit(true); // M thuộc cạnh
If not PoInLi(M,N,P[i]) then

Begin
If
(not
(Intersect(M,N,P[i],P[i+1],I))

PoInLi(M,N,

P[i+1]))

and

13
SangKienKinhNghiem.net


then inc(count) // trường hợp 3
Else
if
not
Pos2PoLi(M,N,P[i],P[i+2]))

PoInLi(M,N,

P[i+2])

and

(not

then inc(count); // trường hợp 1

End;
Else if PoInLi(M,N, P[i+1]) and (not Pos2PoLi(M,N,P[i1],P[i+2]))
Then inc(count) // trường hợp 2
End;
If (count mod 2 <> 0) then exit(true);
Exit(false);
End;
2.4. Tìm bao lồi có chu vi nhỏ nhất
Bài tốn: Cho tập M gồm N điểm phân biệt.Tìm tập con H của M sao cho H
là tập các đỉnh của đa giác lồi chứa tất cả các điểm của M trong miền đa giác đó.
.

2.4.1. Thuật tốn bọc gói
Đây là một giải thuật rất “con người”. Bắt đầu bằng việc chọn một điểm
chắc chắn thuộc bao, dùng một tia quét ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi
gặp một điểm khác, ta được thêm một đỉnh thuộc bao, lại tiếp tục với điểm vừa
tìm được…Quá trình kết thúc khi gặp lại đỉnh đầu tiên.
Có nhiều cách chọn điểm đầu tiên, một trong cách đó là ta chọn điểm có
hồnh độ nhỏ nhất trong các điểm có tung độ nhỏ nhất.
Một điều đáng chú ý ở đây là việc quét một tia ngược theo chiều kim đồng
hồ để tìm điểm đầu tiên chạm phải thực chất là ta tìm điểm mà tia nối từ điểm
gốc tới nó tạo với trục hồnh một góc bé nhất (điều này khá dễ hiểu). Vì vậy
chúng ta cũng cần phải biết cách tính góc khi cho điểm gốc và điểm cần xét đã.
Nhưng chỉ với việc sắp xếp (tìm góc nhỏ nhất) thơi mà phải làm phức tạp đến
vậy thì thật là uổng cơng. Ta có thể đưa ra một thứ tự hồn tồn giống với việc
tính góc cụ thể mà chương trình thì đơn giản hơn nhiều:
function Angle(p1, p: Point): Real;
var
dx, dy, ax, ay, t: Real;
begin {p là điểm gốc}

14
SangKienKinhNghiem.net


dx := p1.x – p.x;
dy := p1.y – p.y;
ax := Abs(dx);
ay := Abs(dy);
if ax + ay < Eps then t := 0
else t := dy/(ax + ay);
if dx < 0 then t := 2 – t
else
if dy < 0 then t := 4 + t;
Angle := t;
end;
Sau đây là thủ tục tìm bao lồi theo thuật tốn bọc gói.
procedure Wrap;
var
i, li: Integer;
min, tmp: Real;
t: Point;
begin
t := p[1];
li := 1;
for i := 2 to n do
if (p[i].y < t.y)or(p[i].y = t.y)and(p[i].x < t.x) then
begin
t := p[i];
li := i;
end;

p[n + 1] := t; {để phát hiện thời điểm kết thúc}
m := 0; {m sẽ là số điểm trên bao}
repeat
Inc(m);
p[li] := p[m];
15
SangKienKinhNghiem.net


p[m] := t;
min := max;
for i := m + 1 to n + 1 do
begin
tmp := Angle(p[i], p[m]);
if (tmp < min) or ((tmp = min) and
(Abs(t.x–p[m].x) < Abs(p[i].x–p[m].x))) then
begin {nếu nhiều điểm thoả mãn, chọn điểm ở xa nhất}
min := tmp;
li := i;
t := p[i];
end;
end;
until li = n + 1;
end;

2.4.2.Thuật tốn Grahamscan
Thuật tốn bọc gói địi hỏi một chi phí là O(M*N) (trong đó M là số điểm
trên bao). Vì vậy nó chỉ làm việc tốt trong trường hợp số điểm nằm trên bao nhỏ
hơn nhiều so với tổng số. Nhưng trong trường hợp xấu nhất (tất cả mọi điểm đều
nằm trên bao) thì chi phí thuật tốn sẽ lên tới O(N2). Chúng ta sẽ tiếp cận một

phương pháp tốt hơn – phương pháp quét Graham. Phương pháp này có chi phí
thuật tốn ổn định và khơng tốn kém lắm. Hầu như tất cả chi phí là dành cho
việc khởi một tạo đường khép kín đơn từ tập điểm đã cho.
Chọn điểm chốt có hồnh độ x lớn nhất trong các điểm có tung độ y nhỏ
nhất (khi hiểu rõ thuật toán các bạn sẽ biết được nguyên nhân). Chuyển điểm
chốt về vị trí 1 để tiện cho tính tốn. Ta sắp xếp các điểm theo khố là góc tạo
bởi điểm đó và điểm chốt với trục hồnh theo thứ tự tăng dần. Khi đi theo thứ tự
p[1], p[2], …p[N], p[1] ta thu được một đa giác khép kín đơn.
Ta đi vòng quanh đa giác này, thử đặt một điểm vào bao và kiểm tra xem
các điểm trước đó có cịn nằm trên bao hay khơng. Nếu khơng ta chỉ việc loại
các điểm đó ra khỏi bao.Việc kiểm tra một điểm có cịn nằm trên bao hay khơng
16
SangKienKinhNghiem.net


có thể làm như sau: Khi cho một điểm mới vào bao, ta sẽ lần ngược lại những
điểm đã nằm trong bao. Trong quá trình, nếu gặp một điểm là khúc rẽ phải thì
điểm này sẽ khơng thuộc bao nữa, ta loại nó ln. Q trình kết thúc khi ta gặp
một điểm là khúc rẽ trái, vì tất cả các điểm từ đó lùi về 1 chắc chắn sẽ thuộc bao.

.
Cài đặt khơng phải là một vấn đề khó nhưng phải cảnh giác với sai số và
các điểm thẳng hàng.
Việc xây dựng đường khép kín đơn khơng thực sự phải dùng hàm Angle vì
dễ gây sai số và chi phí hơi lớn. Vì tất cả các tia tạo bởi điểm chốt và một điểm
bất kỳ đều trong góc phần tư I và II nên ta có thể dùng hàm Lower sau để làm
phép so sánh cho việc sắp xếp.
function Lower(p1, p2: Point): Boolean;
var
a1, b1, a2, b2: Real;

begin
a1 := p1.x – p[1].x;
b1 := p1.y – p[1].y;
a2 := p2.x – p[1].x;
b2 := p2.y – p[1].y;
Lower := a1*b2 > a2*b1;
end;
Thực chất ta đã so sánh hai giá trị a1/b1 và a2/b2, tức là cotg của hai góc.
Nhưng ta khơng làm như vậy vì phải xét b1, b2 liệu có bằng 0 hay khơng.
Sau đây là đoạn chương trình miêu tả phương pháp quét Graham. Ta coi
mọi công việc khởi tạo đã xong xuôi. Hàm CCW đã nói tới ở phần trước.
procedure GrahamScan;
var
i: Integer;
begin
m := 2;
for i := 3 to n do
begin
while CCW(p[m - 1], p[m], p[i]) <> 1 do Dec(m);
Inc(m);
17
SangKienKinhNghiem.net


p[m] := p[i];
end;
end;
Chi phí cho thủ tục trên tỷ lệ thuận với N. Đúng vậy, mặc dù trong vịng
lặp có một vịng lặp, nhưng ta để ý là khơng điểm nào bị loại quá một lần nên
vòng lặp này chỉ hoạt động khơng đến N lần.

Như vậy chi phí cho thuật toán này là O(NlogN) nếu ta dùng phương
pháp sắp xếp tốt (như Quick Sort chẳng hạn).
Ta có thể làm giảm chi phí tính tốn đi rất nhiều bằng cách loại bỏ những
điểm chắc chắn khơng thuộc bao.
Ví dụ như ta loại đi những điểm nằm hoàn toàn trong tứ giác có các đỉnh
là các điểm có hồnh độ lớn nhất, hoành độ nhỏ nhất, tung độ lớn nhất, tung độ
nhỏ nhất. Đối với những bộ dữ liệu được tạo một cách ngẫu nhiên thì việc này
rất có ích. Nhưng nếu tất cả các điểm đều thuộc bao thì việc này là vơ nghĩa. Nói
chung mọi cách tham lam thì cũng đều tốt trong một số trường hợp nhất định mà
thôi.

18
SangKienKinhNghiem.net


PHẦN 3. KẾT LUẬN

Trong khuôn khổ một đề tài sáng kiến kinh nghiệm nên đề tài mới chỉ đề
xuất cách sử dụng một số cấu trúc dữ liệu dể biểu diễn các yếu tố hình học, đưa
ra thuật tốn giải một số bài tốn hình học cơ bản (trong mục I PHẦN 2). Trong
mục II đề tài trình bày một số bài tốn hình học cơ bản, trong đó các bài đều có
nêu thuật tốn giải, một số bài có chương trình minh họa kèm theo, một số bài
để các em học sinh luyện tập rèn luyện kỹ năng lập trình. Mục III trình bày
thuật tốn giải một số bài tốn cơ bản về đa giác Việc lập trình giải các bài tốn
hình học thường là vấn đề địi hỏi học sinh phải chịu khó, cẩn thận và nắm được
những kiến thức cơ bản về hình học và thường là khó đối với học sinh. Tuy
nhiên nếu thầy cơ có phương pháp tốt để học sinh tích cực, chủ động lĩnh hội
được các kiến thức, chủ động rèn luyện kỹ năng kỹ xảo thì việc giải các bài
tốn này sẽ trở nên dễ dàng hơn đối với học sinh.
Qua quá trình giảng dạy mơn Tin học cho các đối tượng học sinh bậc THPT

cả chuyên và không chuyên, khi dạy về phần lập trình giải các bài tốn hình học
tơi đều cung cấp cho các em các kiến thức như đã trình bày trong đề tài (mức độ
có khác nhau tùy từng đối tượng). Qua theo dõi đánh giá thì đa số học sinh đều
tiếp thu được và sau khi đã nắm được các kiến thức cơ bản như trong đề tài thì
khi gặp các bài tốn hình học khác các em giải quyết các bài tốn đó hiệu quả
hơn rất nhiều so với trước đó.
Vì điều kiện hạn chế về thời gian và khuôn khổ của đề tài nên các bài tập ví
dụ chưa nhiều và cũng chưa bao quát hết các dạng, mặt khác đề tài cũng không
tránh khỏi hạn chế, thiếu sót nhất định. Tơi hy vọng nhận được những góp ý
đóng góp của bạn bè đồng nghiệp để đề tài được hồn thiện hơn, góp phần nhỏ
cho công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh .
Tôi xin chân thành cảm ơn!
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 15 tháng 5 năm 2017
Tơi xin cam đoan đây là SKKN của mình
viết, khơng sao chép nội dung của người
khác.

Nghiêm Quang Khải

19
SangKienKinhNghiem.net


Tài liệu tham khảo

1. Tài liệu tập huấn phát triển chuyên môn giáo viên Tin học - Nhiều tác
giả

2. Chuyên đề hình học – Một số vấn đề phát triển môn Tin học – Nguyễn
Xuân My
3. VNOI - Olympic tin học Việt Nam
4. Website:

20
SangKienKinhNghiem.net