Nâng cao hiệu quả dạy và học chủ đề ứng dụng tích phân thông qua hệ thống bài tập liên hệ thực tiễn tại trường THPT tĩnh gia 1

1. MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Tốn học có nguồn gốc thực tiễn và là "chìa khố" trong hầu hết các hoạt động
của con người. Toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá các sự vật hiện tượng trong
thực tiễn trên những bình diện khác nhau và có vai trị rất quan trọng trong việc thực
hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông. Mặc dù là ngành khoa học có tính trừu
tượng cao nhưng Tốn học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có thể ứng dụng
rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau: là công cụ để học tập các môn học trong nhà
trường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học và là công cụ để hoạt động trong sản xuất
và đời sống thực tế. Trong thư gửi các bạn trẻ yêu toán, thủ tướng Phạm Văn Đồng đã
nhấn mạnh: "Dù các bạn phục vụ ở nghành nào, trong cơng tác nào, thì các kiến thức
và phương pháp toán cũng cần cho các bạn". Tốn học có liên hệ mật thiết với thực
tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công
nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống. Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nên
thiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày càng
hiện đại và văn minh hơn. Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng
kiến thức Toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và
phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học.
Những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong Chương trình và sách giáo
khoa, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúng
mức và thường xuyên. Trong các sách giáo khoa mơn Tốn và các tài liệu tham
khảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ
Toán học; số lượng ví dụ, bài tập Tốn có nội dung liên mơn và thực tế trong các
sách giáo khoa Đại số THPT và Giải tích để học sinh học và rèn luyện cịn rất ít.
Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy Tốn ở trường phổ thơng, các giáo
viên không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng của
Toán học vào thực tiễn mà theo Nguyễn Cảnh Tồn đó là kiểu dạy Tốn ''xa rời
cuộc sống đời thường'' cần phải thay đổi.
Việc tăng cường rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Tốn học
để giải quyết các bài tốn có nội dung thực tiễn là rất thiết thực và có vai trị quan
trọng trong hoàn cảnh giáo dục của nước ta. Trong thời gian gần đây, với hình thức

thi trắc nghiệm các dạng bài tập vận dụng giải toán thực tế được khai thác nhiều
hơn. Chủ đề ứng dụng tích phân là dạng tốn hay vì được ứng dụng rất hiệu quả
trong nhiều bài tốn thực tế nhưng khó đối với học sinh bước đầu làm quen do học
sinh lúng túng với những khái niệm mới cùng với áp lực công thức có tính máy
móc. Việc xây dựng một hệ thống bài tập có tính gần gũi, gắn liền với những tình
huống thực tế hằng ngày phần nào đó giúp các em tự tin hơn trong việc tiếp cận
dạng toán này.


Vì những lí do trên đây tơi chọn đề tài là: “Nâng cao hiệu quả dạy và học
chủ đề ứng dụng tích phân thơng qua hệ thống bài tập liên hệ thực tiễn tại
trường THPT Tĩnh Gia 1”.
1.2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là tìm hiểu mối liên hệ của một số kiến thức chủ đề Ứng
dụng tích phân trong chương trình Giải tích 12 và xây dựng hệ thống bài tập liên hệ
thực tiễn tại trường THPT Tĩnh Gia 1 trong việc xây dựng, củng cố và ơn tập nhằm
góp phần nâng cao hứng thú học tập của học sinh và hiệu quả dạy học trong mỗi
tiết học.
Các nội dung trong đề tài giúp học sinh có cái nhìn tồn diện về bài tốn ứng
dụng tích phân cũng như rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán
để giải quyết một số bài tốn có nội dung thực tiễn.
1.3. Đối tượng nghiên cứu.
Đề tài đựơc nghiên cứu thực hiện tại trường THPT Tĩnh Gia 1 trong quá trình
dạy và học chủ đề Ứng dụng tích phân chương trình Giải tích 12. Trên cơ sở lý
thuyết cơ bản, bằng việc khai thác từ các tình huống thực tiễn xây dựng hệ thống
bài tập để học sinh giải quyết củng cố kiến thức đã học.
Đề tài được thử nghiệm ở lớp 12A2, 12A6 trường THPT Tĩnh Gia 1 năm học
2020-2021.
1.5. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm.

2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lý luận:
Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích tốn học. Những
người mới bắt đầu làm quen với tích phân thường gặp một số khó khăn hoặc chưa
hiểu một cách cặn kẽ, đặc biệt chưa vận dụng linh hoạt vào thực tế. Trong thực tế
có nhiều bài tốn cần đến sự can thiệp của phép tốn tích phân.
Kiến thức trọng tâm về ứng dụng tích phân bao gồm:
2.1.1. Ứng dụng tính diện tích hình phẳng
y = f (x)

Định lý 1: Cho hàm số

liên tục, khơng âm trên

hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
b

x = a, x = b

S = ∫ f (x)dx
a

là:
Bài toán liên quan:

y = f (x)

 a; b

. Khi đó diện tích S của

, trục hồnh và 2 đường thẳng


Bài tốn 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

y = f (x)

liên tục trên
b

đoạn

a;b

, trục hoành và hai đường thẳng

x =a x =b

,

S=

được xác định:

∫ f (x) dx
a


b

S=

∫ f (x) dx
a

b
c3

y


Bài tốn 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số
tục trên đoạn

a;b

và hai đường thẳng
S=

b

x =a x =b

,

∫ f (x) − g(x) dx
a

y = f (x) y = g(x)

được xác định:

,

liên


c2

Bài tốn 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường

x = g(y) x = h(y)

,

và


d

hai đường thẳng

y=c y=d

,

S=

được xác định:

∫ g(y) − h(y) dy
c

Bài tốn 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị
S=

xn

∫

f (x) − g(x)dx

x1

. Trong đó:

x1 , xn

(C1) : f1(x) (C2 ) : f2(x)

,

là:

tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình

f (x) = g(x)

2.1.2. Ứng dụng tính thể tích

Thể tích vật thể:
Gọi

B

là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vng góc với trục Ox tại các

điểm a và b;

S(x)

là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vng góc
x (a ≤ x ≤ b)

với trục Ox tại điểm ,

. Giả sử

S(x)

là hàm số liên tục trên đoạn

[a;b]

.


x

(V )

S(x)

a

b

O

Thể tích khối trịn xoay:
Bài tốn 1: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi
các đường

y = f (x)

, trục hoành và hai đường thẳng

x =a x =b

,

quanh trục Ox:


Bài tốn 2: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi
các đường

x = g(y)

, trục hoành và hai đường thẳng

y=c y=d

,

quanh trục Oy:


d

O

y

c

x

 (C ): x = g(y)

 (Oy): x = 0

 y= c
 y = d

d

V y = π ∫ [ g( y )] dy
2

c

Bài tốn 3: Thể tích khối trịn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi
y = f (x) y = g(x)
x =a x =b
các đường
,
và hai đường thẳng
,
quanh trục Ox:
b

V = π ∫ f 2(x) − g2(x) dx
a

2.2. Thực trạng của vấn đề
Thực tế giáo viên thường chú trọng rèn luyện kĩ năng giải bài tập tích phân mà
xem nhẹ các dạng bài tập ứng dụng tích phân trong thực tiễn.
Bên cạnh đó, nhìn chung khi học tích phân nhiều học sinh chỉ vận dụng cơng
thức một cách máy móc, chưa có sự phân tích, thiếu tư duy thực tế và trực quan nên
các em hay nhầm lẫn dẫn đến làm sai kết quả, đặc biệt là những bài tốn cần có
những hình vẽ để chia nhỏ mới có thể tính được. Sách giáo khoa lại có rất ít ví dụ
minh họa chi tiết để học sinh có thể tránh “ những sai lầm “ đó. Đa số học sinh cịn


bế tắc khi gặp bài tốn ứng dụng tích phân mà yêu cầu phải vẽ hình hoặc vận dụng
vào thực tế. Đặc biệt, cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT hầu hết đều có mặt bài tập
vận dụng thực tế, nếu khơng rèn luyện các em sẽ khó hình thành kỉ năng, kỉ xảo
trong việc giải bài tập giải quyết vấn đề thực tế.
Vì vậy đề tài là cần thiết, phù hợp đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy, là tài
liệu tham khảo hữu ích cho học sinh góp phần chuẩn bị cho các em một kiến thức

vững vàng và đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPTQG.
2.3. Một số biện pháp
2.3.1. Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn
Bài 1: Trong chương trình văn nghệ chào mừng “Thành lập Thị xã Nghi Sơn”
được tổ chức tại trường THPT Tĩnh Gia 1, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnh
trưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ. Biết rằng Đồn trường sẽ
ABCD
yêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật
, phần cịn
200.000
lại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp. Chi phí dán hoa văn là
đồng cho
2
một m bảng. Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là bao
nhiêu (làm trịn đến hàng nghìn)?
A

B

D

C

4m

4m

A.
C.

900.000
902.000

đồng.

B.

đồng.
y

D.

1.232.000
1.230.000

đồng.
đồng.

4

A

B

4m

−2

D

O

4m

C

x
2
Hướng dẫn giải


Đặt hệ trục tọa độ như hình vẽ,
Khi đó phương trình đường parabol có dạng:
y = ax 2 + b

( 0; 4 )

Parabol cắt trục tung tại điểm

.

và

( 2;0 )

cắt trục hoành tại
nên:
b = 4
 a = −1
⇔

 2
a.2 + b = 0
b = 4
.
y = − x2 + 4

Do đó, phương trình parabol là
.
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường parabol và trục hoành là:
2

 x3

2
S1 = ∫ ( − x + 4 ) d x =  − + 4 x ÷ = 32
 3
 −2 3
−2
2

Gọi

2
C ( t ; 0 ) ⇒ B ( t; 4 − t )

Diện tích hình chữ nhật

với

0

ABCD

là

Xét hàm số

32
3

với

. Ta có

và

BC = 4 − t 2

.

.

32
32
3
3
S = S1 − S2 = 3 − ( −2t + 8t ) = 2t − 8t + 3

0

2

t = 3 ∈ ( 0; 2 )
⇔
2

t=−
∉ ( 0; 2 )
2

f ′ ( t ) = 6t − 8 = 0
3


Ta có
Bảng biến thiên:

CD = 2t

2
S 2 = CD.BC = 2t. ( 4 − t ) = −2t 3 + 8t

Diện tích phần trang trí hoa văn là
f ( t ) = 2t 3 − 8t +

.

.

.

.


Như vậy, diện tích phần trang trí nhỏ nhất là bằng

nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là:
Bài tập tương tự:
A

12 m
I

F

96 − 32 3 2
m
9

, khi đó chi phí thấp

96 − 32 3
.200000 ≈ 902000
9

đồng.

B

E

6m
M

D

N

C

4m

Một cơng ty quảng cáo X muốn làm một

bức tranh trang trí hình
ABCD

có chiều cao

hình chữ nhật có
đỉnh

I

MNEIF

BC = 6 m

MN = 4 m

, chiều dài

; cung

là trung điểm của cạnh
900.000

m

ở chính giữa của một bức tường hình chữ nhật
EIF

AB

CD = 12 m

(hình vẽ bên). Cho biết

MNEF

là

có hình dạng là một phần của cung parabol có
và đi qua hai điểm

C

,

D

. Kinh phí làm bức

2

tranh là
đồng/ .
Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?
20.400.000
20.600.000
A.
đồng.
B.
đồng.
C.

20.800.000

đồng.

D.

21.200.000

đồng

Bài 2: Một khu vực khn viên sân trường THPT Tĩnh Gia 1 có chiều dài
60m

100

và

chiều rộng là
nhà trường làm một con đường nằm trong sân (như hình vẽ).
Biết rằng viền ngồi và viền trong của con đường là hai đường elip, Elip của đường


viền ngồi có trục lớn và trục
song song với các cạnh hình

bé lần lượt
chữ nhật và
2m

chiều rộng của mặt đường là
m

2

.

Kinh

600.000

phí cho mỗi
làm đường
đồng. Tính tổng số tiền làm
đó. (Số tiền được làm trịn đến

con đường
hàng nghìn).

100m
2m
60m

A.
B.
C.

293904000.

283904000.
293804000.
283604000.

D.
Hướng dẫn giải
Oxy

Xét hệ trục tọa độ

đặt gốc tọa độ

O

vào tâm của hình Elip.

( E1 ) :
Phương trình Elip của đường viền ngồi của con đường là

Phần đồ thị của

( E1 )

y = 30 1 −

nằm phía trên trục hồnh có phương trình

( E2 ) :
Phương trình Elip của đường viền trong của con đường là

( E2 )

Phần đồ thị của
y = 28 1 −

x2
= f2 ( x )
482

x2
y2
+
=1
502 302

.

.

x2
= f1 ( x )
502

x2
y2
+
=1
482 282

.

nằm phía trên trục hồnh có phương trình


Gọi

S1

là diện tích của

( E1 )

trục hồnh và đồ thị hàm số

và bằng hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi
y = f1 ( x )

. Gọi

S2

là diện tích của

( E2 )

diện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số
Gọi

S

y = f2 ( x )

.

là diện tích con đường.
50

S = S1 − S 2 = 2 ∫ 30 1 −
−50

Khi đó

a

I = 2 ∫ b 1−
−a

Tính tích phân
Đặt

và bằng hai lần

48

x2
x2
d
x
−
2
28
1
−
dx
∫−48
50 2
482

x2
dx , ( a , b ∈ ¡
a2

+

Đổi cận

)
.

π
 π
x = a sin t ,  − ≤ t ≤ ÷⇒ dx = a cos tdt
2
 2
x = −a ⇒ t = −

.

π
π
;x = a ⇒t =
2
2

π
2

.

.
π
2

π
2

I = 2 ∫ b 1 − sin 2 t .a cos t dt = 2ab ∫ cos 2 t dt = ab ∫ ( 1 + cos 2t ) dt
−

Khi đó

π
2

−

π
2

−

π
2

π

 sin 2t  2
= ab  t +
÷ = abπ
2  −π

2

Do đó

.

S = S1 − S 2 = 50.30π − 48.28π = 156π

Vậy tổng số tiền làm con đường đó là
Bài tập tương tự:

.

600000.S = 600000.156π ≈ 294053000

(đồng).

O

Sân trường THPT Tĩnh Gia 1 có một bồn hoa hình trịn tâm . Một nhóm
học sinh lớp 12 được giao thiết kế bồn hoa, nhóm này định chia bồn hoa thành bốn
phần, bởi hai đường parabol có cùng đỉnh
parabol này cắt đường trịn tại bốn điểm

O

và đối xứng nhau qua

A B C D

,

,

,

O

. Hai đường

tạo thành một hình vng có


cạnh bằng
tích

S3 S 4

,

4m

(như hình vẽ). Phần diện tích

Sl

,

S2

dùng để trồng hoa, phần diện

dùng để trồng cỏ (Diện tích làm trịn đến chữ số thập phân thứ hai). Biết
150.000

100.000

kinh phí trồng hoa là
đồng /1m , kinh phí để trồng cỏ là
đồng/1m2.
Hỏi nhà trường cần bao nhiêu tiền để trồng bồn hoa đó? (Số tiền làm trịn đến hàng
chục nghìn)
A.

6.060.000

đồng.

2

5.790.000

B.

3.270.000

3.000.000

C.
đồng.
D.
Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

y = ax 2 + bx + c

Parabol có hàm số dạng

đồng.

y

có đỉnh là gốc tọa độ

và đi

1 2
x
2

y=

B ( 2; 2 )

đồng.

O

qua điểm
nên có phương trình
Đường trịn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính
OB = 2 2

nên có phương trình là

x2 + y 2 = 8

. Do ta chỉ xét

trên của đường tròn nên ta chọn hàm số nhánh trên là

nhánh

y = 8 − x2

.

2

Vậy diện tích phần

1 

S1 = ∫  8 − x 2 − x 2 ÷dx
2 
−2 
2

1 

S1 + S 2 = 2 ∫  8 − x 2 − x 2 ÷dx ≈ 15, 233...
2 
−2 

Do đó, diện tích trồng hoa sẽ là

Vậy tổng số tiền để trồng bồn hoa là:

(

(

15, 233 × 150.000 + π 2 2

)

2

)

− 15, 233 × 100.000 ≈ 3.274.924

Làm trịn đến hàng chục nghìn nên ta có kết quả là

đồng.
3.270.000

x

đồng.


Bài 3: Trường THPT Tĩnh Gia 1 xây dựng một sân
bóng đá mini hình chữ nhật có chiều rộng 30m và
50 m

chiều dài
. Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng
cỏ nhân tạo, trường chia sân bóng ra làm hai phần
(tơ màu và khơng tơ màu) như hình vẽ.
.
- Phần tơ màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và
đường cong

AIB

là một parabol có đỉnh

I.

.
130

- Phần tơ màu được trồng cỏ nhân tạo với giá
90

m

nghìn đồng/

m2

và phần cịn lại

2

được trồng cỏ nhân tạo với giá
nghìn đồng/ .
Hỏi trường phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?
A.

165

triệu đồng.

B.

C.
triệu đồng.
Lời giải

D.

195

151

triệu đồng.

135

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ,
Khi đó, đường cong
y=

đường parabol

AIB

2 2
x
45

triệu đồng.
O≡I

là hình phẳng giới hạn

và đường thẳng

Phương trình hồnh độ giao điểm
15

S1 = 2 ∫

Diện tích phần tơ màu là:

.

−15

y = 10

bởi

.

2 2
x = 10 ⇔ x = ±15
45

.

2 2
x − 10 dx = 400 ( m 2 )
45

.

Mặt khác diện tích sân bóng đá mini hình chữ nhật là

S = 30.50 = 1500 ( m 2 )

S 2 = S − S1 = 1100 ( m

Phần khơng tơ màu có diện tích là:
Số tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng:

2

S1.130000 + S 2 .90000 = 400.130000 + 1100.90000 = 151000000

Bài tập tương tự:

)

.

.

.

các


200m 2

Sân bóng hình chữ nhật với diện tích
. Người ta muốn trồng cỏ trên sân bóng
theo hình một parabol bậc hai sao cho đỉnh của parabol trùng với trung điểm một
cạnh của sân bóng như hình vẽ bên. Biết chi phí trồng cỏ là 300 ngàn đồng cho mỗi
mét vng. Xác định chi phí trồng cỏ cần có cho sân bóng trên?

A.

30

triệu đồng.

B.

50

60

triệu đồng.

40

C.
triệu đồng.
D.
triệu đồng
Lời giải
Ta có: Giả sử sân bóng có chiều dài a chiều rộng b.
4a
2
b.300 = ab.300 = 40
32
3

Chi phí trồng cỏ là
triệu.
Bài 4: Một khu vực khuôn viên sân trường THPT
Tĩnh Gia 1 được lát bằng những viên gạch hoa hình
40

vng cạnh
cm được thiết kế như hình bên dưới.
Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng

A.

800
3 cm 2

250 cm

C.
Lời giải

.

B.

2

.

D.

400
3 cm 2

800 cm

.

2

.

Diện tích một cánh hoa là diện tích hình phẳng
theo cơng thức sau:
20

1 

S = ∫  20 x − x 2 ÷dx
20 
0 
20

1 
2
=  . 20. x 3 − x 3 ÷ = 400
60  0
3
3

( cm )
2

.

được tính


Bài tập tương tự: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ
10

một miếng bìa mỏng hình vng cạnh bằng
cm
bằng cách kht đi bốn phần bằng nhau có hình dạng
AB = 5

parabol như hình bên. Biết
diện tích bề mặt hoa văn đó.

A.

160 2
cm
3

B.

14 2
cm
3

cm,

OH = 4

cm. Tính

140 2
cm
3

C.

50 cm 2

D.

Lời giải
Đưa parabol vào hệ trục

( P) : y = −
phương trình là:
Diện tích hình

( P) : y = −

16 2 16
x + x
25
5

Oxy

ta tìm được

16 2 16
x + x
25
5

phẳng

.

giới

hạn

bởi

, trục hoành và các đường
5

thẳng

x=0 x=5

,

là:

16 
40
 16
S = ∫  − x 2 + x ÷dx =
25
5 
3
0
S1 = 4S =

Tổng diện tích phần bị kht đi:
Diện tích của hình vuông là:

S hv = 100 cm

.

160
3 cm 2

.

2

.

S2 = S hv − S1 = 100 −

160 140
=
cm 2
3
3

Vậy diện tích bề mặt hoa văn là:
.
Bài 5: Cổng chính trường THPT Tĩnh Gia 1 được thiết kế như hình vẽ, vịm cổng
có hình dạng là một parabol. Giá
(nghìn đồng) là:

1m 2

cửa Inox là

1.660.000

đồng. Cửa Inox có giá


A.
B.
C.

6500
55 3
.10
6

5600
6050

D.
Lời giải
Từ hình vẽ ta chia cửa thành 2 phần như
Khi đó
Để tính

sau:

S = S1 + S 2 = S1 + 5.1,5 = S1 + 7,5
S1

ta vận dụng kiến thức diện tích hình phẳng của tích phân.

Gắn hệ trục

Oxy

trong đó

O

trùng với trung điểm

AB OB ⊂ Ox, OC ⊂ Oy

,

Theo đề bài ta có đường cong có dạng hình Parabol. Giả sử
Khi đó:

( P ) : y = ax

2

,

+ bx + c

  5 
5
 25
2
a− b+c = 0
 A  − 2 ;0 ÷∈ ( P )



a=−

4
2
 


25
 5 

5
2
1
 25
⇒ ( P ) : y = − x2 +
 B  ;0 ÷∈ ( P ) ⇔  a + b + c = 0 ⇔ b = 0
2
25
2
 2 
4

1
1
  1

c =
2


C  0, ÷∈ ( P )
c = 2

  2
2,5

Diện tích

1
10
 2
S 2 = 2 ∫  − x 2 + ÷dx =
m 2 ) ⇒ S = 55 ( m 2 )
(
25
2
6
0 
6

.

55
x 1.660.000 ≈ 15.217.000
6

Vậy giá tiền cửa sắt là:
(đồng).
Bài toán 2: Úng dụng tính thể tích vật thể

Bài 1: Trong chương trình nơng thơn mới, tại phường Hải Hịa, Thị xã Nghi Sơn có
xây một cây cầu bằng bê tơng như hình vẽ. Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cây
cầu. (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol).
19m3

A.
.
Hướng dẫn giải

B.

Oxy

Chọn hệ trục

như hình vẽ.

21m3

.

C.

18m3 .

D.

40m3

.

0, 5m

2m

5m
0, 5m

19m

0,5m

Ta có
Gọi

( P1 ) : y = ax

2

+c

là Parabol đi qua hai điểm

Nên ta có hệ phương trình sau:
Gọi

( P2 ) : y = ax

2

2

8

 19 
8 2
0 = a.  ÷ + 2
a = −
⇔
x +2
361 ⇒ ( P1 ) : y = −

 2
361
2 = b
b = 2


+c

là Parabol đi qua hai điểm

Nên ta có hệ phương trình sau:

Ta có thể tích của bê tơng là:
Bài tập tương tự:

 19 
A  ;0 ÷, B ( 0; 2 )

 2 

 5
C ( 10; 0 ) , D  0; ÷
 2

5
1
2


0 = a. ( 10 ) + 2
a = − 40
1
5
⇔
⇒ ( P2 ) : y = − x 2 +

40
2
5 = b
b = 5
 2

2

19
 10  1 2 5 
 8 2
 

V = 5.2  ∫  − x + ÷dx − ∫ 2  −
x + 2 ÷dx  = 40m3
0
0
2
 361
 
  40

8 dm

8 dm

2m

Một bồn nước được thiết kế với chiều cao
, ngang
, dài
, bề mặt cong
đều nhau với mặt cắt ngang là một hình parabol như hình vẽ bên dưới. Bồn chứa
được tối đa bao nhiêu lít nước.


.
1280
3

2560
3

1280π

1280

A.
(lít).
B.
(lít).
C.
(lít).
D.
(lít).
Hướng dẫn giải
Xét mặt cắt parabol, chọn hệ trục như hình vẽ. Ta thấy Parabol đi qua các điểm
A ( −4; 4 )

B ( 4; 4 ) C ( 0;0 )

,
như sau:

,

y=

nên có phương trình

1 2
x
2

. Diện tích phần mặt cắt tính

.
4

1 2
64 128
x dx = 64 −
=
dm2 )
(
2
3
3
−4

S = Shv − ∫

20

V = ∫ S dx =

Do đó thể tích của bồn

0

.

20

128
2560
dx =
dm3 )
(
3
3
0

∫

Bài 3: Trống trường THPT Tĩnh Gia 1 có bán kính các đáy là

(

30

1600π cm 2

vng góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là
1m

)

cm, thiết diện

, chiều dài của

trống là . Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các

đường Parabol. Hỏi thể tích của cái trống là bao nhiêu?


.
A.

425, 2

(lít).

B.

C.
(lít).
Lời giải

D.

212, 6

Ta có chọn hệ trục

Oxy

425162
212581

(lít).
(lít).

như hình vẽ.

y

x

.
Thiết diện vng góc với trục và cách đều hai đáy là hình trịn.
có bán kính

r

có diện tích là

r π = 1600π ⇒ r = 40cm

1600π ( cm 2 )

, nên.

2

Ta có: Parabol có đỉnh

.

I ( 0; 40 )

y=−

Nên có phương trình
Thể tích của trống là.
50

và qua

1 2
x + 40
250

A ( 50;30 )

.

.

2

406000 3
 1 2

V = π ∫ −
x + 40 ÷ dx = π .
cm ≈ 425, 2dm3 = 425, 2
250
3

−50 

(lít).

Bìa tập tương tự:
Một thùng rượu có bán kính các đáy là
40 cm

30 cm

, thiết diện vng góc với trục và cách
1 m

đều hai đáy có bán kính là
, chiều cao thùng rượu là
(hình vẽ). Biết rằng
mặt phẳng chứa trục và cắt mặt xung quanh thùng rượu là các đường parabol, hỏi
thể tích của thùng rượu ( đơn vị lít) là bao nhiêu ?


.
425162

A.
lít.
Lời giải

B.

212581

lít.

C.

212, 6

lít.

D.

425, 2

lít.

.
Đơn vị tính là
Gọi

dm

.

( P ) : x = ay 2 + by + c

qua

A ( 4;0 ) , B ( 3;5 ) , C ( 3; −5 )


a = 4

1 2

⇒ b = 0 ⇒ ( P ) : x = −
y +4
25

1
c = −
25

5

.

.

2

 1 2

V =π ∫ −
y + 4 ÷ dy ; 425, 2 dm3 = 425, 2 ( l )
25

−5 

.

2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm
2.4.1. Một số đánh giá chung
Theo dõi tiến trình thực nghiệm sư phạm, tơi thấy rằng: nhìn chung đa số học
sinh học tập tích cực, sơi nổi hơn, thích thú hơn với những bài tốn có nội dung

thực tiễn. Sự hấp dẫn của các bài tốn có nội dung thực tiễn cũng chính là chỗ gắn
với các kiến thức Toán học với các ứng dụng thực tế đa dạng và sinh động của nó
trong học tập cũng như trong đời sống, lao động và sản xuất .
Các tiềm năng ứng dụng và ý nghĩa to lớn của những bài tốn có nội dung
thực tiễn được gợi mở và dần được củng cố bằng Hệ thống các bài tốn có nội dung
thực tiễn đa dạng, phong phú. Điều đó kích thích hứng thú của cả thầy và trò trong
thời gian thực nghiệm. Nhận định chung cho rằng, điều khó khăn nhất và có thể
vượt qua – nếu ý tưởng này được triển khai về sau – là lựa chọn được một Hệ thống
bài tập có nội dung thực tiễn cho mỗi tiết học, để cùng một lúc đạt được nhiều mục
đích dạy học như đề tài đã đặt ra.
2.4.2. Một số kết quả định lượng


Việc phân tích định lượng dựa vào kết quả kiểm tra trong đợt thực nghiệm tại
hai lớp thực nghiệm và đối chứng, nhằm minh họa bước đầu kiểm nghiệm tính khả
thi, hiệu quả của việc lựa chọn hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn.
Trong q trình thực nghiệm, tôi đã tiến hành một bài kiểm tra để đánh giá.
Đề gồm 5 câu với 5 tình huống giải quyết thực tế
Thời gian 45 phút để học sinh trình bày ngắn gọn đưa ra đáp án trắc nghiệm.
Đối tượng tham gia kiểm tra gồm 2 lớp là
Lớp 12A2 là lớp thực nghiệm được triển khai hệ thống bài tập đầy đủ, củng cố
kiến thức chủ đề ứng dụng tích phân.
Lớp 12A6 là lớp đối chứng chưa được củng cố qua hệ thống bài tập thực tiễn,
nội dung giảng dạy vừa đủ theo nội dung sách giáo khoa và tài liệu cơ bản.
Câu 1: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hố
có
dạng hình Parabol. Người ta dự định lắp cửa
kính cường lực cho vịm cửa này. Hãy tính diện
8m

tích mặt kính cần lắp vào biết rằng vịm cửa cao
và rộng
A.
C.

8m

(như hình vẽ)∙.

131 2
(m )
3
26 2
(m )
3

.

B.

.

D.

28 2
(m )
3

.

128 2
(m )
3

.

E
3, 5 m

B
2m

1m
A

4m M

C

Câu 2: Chướng ngại vật “tường cong” trong

một sân thi đấu X-Game là một khối bê tơng có chiều cao từ mặt đất lên là
Giao của mặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng
tường cong cắt bởi mặt phẳng vng góc với

AB

tại

AB = 2 m

A

3,5 m

.

. Thiết diện của khối

là một hình tam giác vng