phep toan vecto

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

Vấn đề 1: <b>VECTƠ – TỔNG, HIỆU VECTƠ, TÍCH VECTƠ VỚI SỐ</b>

<b>A- Tóm tắt cơ sở lý thuyết</b>: ( GV hệ thống lại kiến thức về vectơ)

I- VECTƠ:
1- Định nghĩa

2- Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng, vectơ ngược hướng.
3-Độ dài vectơ

4- Hai vectơ bằng nhau – Hai vectơ đối nhau – Vectơ không.
II- TỔNG VÀ HIỆU HAI VECTƠ:

1- Định nghĩa 2- Tính chất 3- Các qui tắc cơ bản:
4-Công thức cần nhớ: + Trung điểm + Trong tâm tam giác
II TÍCH MỘT SỐ VỚI VECTƠ:

1 Định nghĩa
2Tính chất

3 Hệ thức trung điểm Hệ thức trọng tâm.
<b>B- Luyện tập:</b>

<i><b>I- Chứng minh hai vectơ bằng nhau</b></i>:
<i>Phương pháp</i>:

1- Dùng định nghĩa:

<i>a cùng hướng b</i>
<i>a b</i>

<i>a</i> <i>b</i>


  





 

 

 

2- Đưa về hình bình hành rồi áp dụng tính chất hình bình hành.

Bài 1: Cho tứ giác ABCD. Gọi M,N,P,Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA.
Chứng minh : 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 

<i>MN QP</i>_.

Bài 2: Cho tam giác ABC cân tại A, trên cạnh AB lấy điểm M và trên phần kéo dài cạnh AC về
phía C lấy điểm N, sao cho BM = CN. Đoạn thẳng MN cắt BC tại E. Chứng minh: <i>ME EN</i>  _.
Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi D là trung điểm của BC, các điểm M, N, E, F lần lượt là trung
điểm của AB, AC, CD, DB. Chứng minh: 

 
<i>MF</i> <i>NE</i>_.

Bài 4: Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BD, CD. Chứng minh : Tứ
giác ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi 

 

<i>MN</i> <i>NP</i>

<i><b>II- Chứng minh đẳng thức vectơ</b></i>:
<i>Phương pháp</i>:

1- Biến đổi vế phức tạp để có vế đơn giản
2- Dùng phép tương đương.

3- Dùng quan hệ bắc cầu.

Bài 5: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh: a)  D D
   

<i>AB C</i> <i>A</i> <i>CB</i> _b)  D D

   

<i>AC B</i> <i>A</i> <i>BC</i>

Bài 6: Cho 5 điểm A, B, C, D, E. Chứng minh:  D A  D
    

<i>AB C</i> <i>E</i> <i>CB E</i> _.

Bài 7: Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh: D       
        

<i>A</i> <i>BE CF</i> <i>AE BF CD</i> <i>AF BD CE</i>_.

Bài 8: Cho tam giác ABC, gọi M, N, E lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB. Chứng

minh   0

   

<i>AM BN CE</i> _.

Bài 9: Cho ABC có M là trung điểm của BC , G là trọng tâm , H là trực tâm , O là tâm đường
tròn ngoại tiếp . Chứng minh:

a) 2

 

<i>AH</i> <i>OM</i> _b)   2

   

<i>HA HB HC</i> <i>HO</i> _c)   

   

<i>OA OB OC OH</i>
Bài 10: Cho 4 điểm A,B,C,D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

Qui tắc 3 điểm
+ Tổng
+ Hiệu

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

a) Chứng minh: nếu 
 

<i>AB CD</i>_thì 
 

<i>AC</i> <i>BD</i>

b) Chứng minh:    2

    

<i>AC BD</i> <i>AD BC</i> <i>IJ</i>

c) Gọi G là trung điểm của IJ. CMR:    
    

<i>GA GB GC GD O</i>

d) Gọi P, Q là trung điểm của AC và BD; M, N là trung điểm của AD và BC . Chứng minh IJ.
PQ, MN có chung trung điểm.

Bài11: Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J là trung điểm của BC và CD.
Chứng minh: 2(    ) 3

    

<i>AB AI JA DA</i> <i>DB</i>

Bài 12: Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.
a) CMR: 2   0

   

<i>IA IB IC</i> _{b) Với 1 điểm O bất kỳ. CMR:}2   4

   

<i>OA OB OC</i> <i>OI</i>

<i><b>III. Chứng minh 3 điểm thẳng hàng</b></i>

<i>Phương pháp</i>:

<i>Ba điểm A, B, C thẳng hàng </i><i>( </i> 0,  ) (   , /  0)

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

    

<i>k</i> <i>AB k AC</i> <i>AB</i> <i>AC</i>

Bài 13:Cho bốn điểm O, A, B, C sao cho: 2  3 0

   

<i>OA</i> <i>OB</i> <i>OC</i> _{.Chứng tỏ rằng A,B,C thẳng hàng.}
Bài14: Cho hình bình hành ABCD . Trên BC lấy điểm H , trên BD lấy điểm K sao cho:

1 1

,

5 6

 

   

<i>BH</i> <i>BC BK</i> <i>BD</i>

. CMR: A, K, H thẳng hàng. (<i><b>HD:</b></i> <i>BH</i> <i>AH AB BK</i>   ; <i>AK AB</i> ₎
Bài 15: Cho ABC với I, J , K lần lượt được xác định bởi:

1

2 , ,

2

  

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

<i>IB</i> <i>IC</i> <i>JC</i> <i>JA KA</i> <i>KB</i>

a) Tính , , AC

   

<i>IJ IK theo AB</i> _(HD:

4

3

 

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
<i>IJ</i> <i>AB</i> <i>AC</i>

)

b) Chứng minh I, J, K thẳng hàng (HD: J là trọng tâm AIB)

Bài 16: Cho hình bình hành ABCD. Trên các tia AD, AB lần lượt lấy các điểm F, E sao cho AD =
1

2_{AF, AB =}
1

2_{AE. Ch. minh: a) Ba điểm F, C, E thẳng hàng b) Các tứ giác BDCF, DBEC là}
hình bình hành.

Bài 17: Cho ABC. Hai điểm I, J được xác định bởi: 3 0
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  

<i>IA</i> <i>IC</i> _, 2 3 0

   _

<i>JA</i> <i>JB</i> <i>JC</i>

Chứng minh 3 điểm I, J, B thẳng hàng.

Bài 18:Cho ABC . Lấy các điểm M N, P:  2  2   0

     

     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     

      

<i>MB</i> <i>MC</i> <i>NA</i> <i>NC PA PB</i>

a) Tính ,

   

<i>PM PN theo AB va AC</i>

b) Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng.

Bài 19: Cho tam giác ABC, G là trọng tâm các điểm M, N định bỡi hệ thức 3<i>MA</i>4<i>MB</i>0
  
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

và

3 0

<i>NB</i> <i>NC</i> 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

  
  

a). Chứng minh M, G, N thẳng hàng.
b) Biểu diễn <i>AC</i>



theo <i>AG</i>


và <i>AN</i>


.
<i><b>IV. Chứng minh 2 điểm trùng nhau</b></i>
Phương pháp<b>:</b>

Cách 1: A trùng B M/ 
 
<i>MA MB</i>_.
Cách 2: A trùng B  <i>AB</i>0

 

<b>1.</b> Cho ABC , vẽ các hình bình hành ABIJ , BCPQ , CARS.
Chứng minh: RIP và JQS có cùng trọng tâm.

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

điểm đối xứng của C qua A. Chứng minh các tam giác ABC và A’B’C’ có chung trọng tâm.
<b>3.</b> Cho các tam giác ABC, A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của 2 tam giác. CMR:

' ' ' 3 '
<i>AA BB CC</i>   <i>GG</i>
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   
   

. Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để 2 tam giác có cùng trọng tâm .
<b>4.</b> Cho ABC. Gọi A, B, C là các điểm định bởi: 2<i>A B</i> 3<i>A C</i> 0

  _

, 2<i>B C</i> 3<i>B A</i> 0

  _

,
2<i>C A</i> 3<i>C B</i> 0

  _

. Chứng minh các tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm.
<b>5.</b> Trên các cạnh AB, BC, CA của ABC lấy các điểm A, B, C sao cho:

<i>AA</i> <i>BB</i> <i>CC</i>
<i>AB</i> <i>BC</i> <i>AC</i>

  

 

CMR: các tam giác ABC và ABC có chung trọng tâm.

<b>MỘT SỐ BÀI TỐN CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC VECTƠ</b>
<i><b>Theo hướng phân tích một véc tơ theo hai vectơ không cùng phương</b></i>

<b>6.</b> Cho tam giác ABC. Gọi M là điểm trên cạnh BC sao cho MB=2MC. Chứng minh:

1 2

3 3

<i>AM</i> <i>AB</i> <i>AC</i>

  

<b>7.</b> Cho tam giác ABC. Gọi M là trung điểm của AB, D là trung điểm của BC, N là điểm thuộc
AC sao cho <i>CN</i> 2<i>NA</i>

 

. K là trung điểm của MN. Chứng minh:
a)

1 1

4 6

<i>AK</i> <i>AB</i> <i>AC</i>

  

b)

1 1

4 3

<i>KD</i> <i>AB</i> <i>AC</i>

  

<b>8.</b> Cho hình thang OABC. M, N lần lượt là trung điểm của OB và OC. Chứng minh rằng:
a)

1
2

<i>AM</i> <i>OB OA</i>

  

b)

1
2

<i>BN</i>  <i>OC OB</i>

  

c)





1
2

<i>MN</i>  <i>OC OB</i>

  

<b>9.</b> Cho ABC. M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. CMR:
a)

2 4

3 3

<i>AB</i> <i>CM</i> <i>BN</i>

  

b)

4 2

3 3

<i>AC</i> <i>CM</i> <i>BN</i>

  

c)

1 1

3 3

<i>MN</i>  <i>BN</i> <i>CM</i>

  

<b>10.</b>Cho lục giác đều ABCDEF. Phân tích các vectơ <i>BC và BD</i>
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 

theo các vectơ <i>AB vaø AF</i>
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

.
<b>11.</b>OABC là hình thang, AM là trung tuyến của tam giác ABC. Hãy phân tích vectơ <i>AM</i>



theo
các vectơ <i>OA OB OC</i>, ,

  

.

<b>12.</b>Cho ABC. Trên các đường thẳng BC, AC, AB lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho

3 , 3 , 0

<i>MB</i> <i>MC NA</i> <i>CN PA PB</i> 

      _

.
a) Tính <i>PM PN</i>,

 

theo <i>AB AC</i>,
 

. b) CMR: M, N, P thẳng hàng.

<b>13.</b>Cho ABC. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB.
a) CMR: <i>AA BB CC</i>1 1 1 0

   _

b) Đặt <i>BB u CC</i>1 , 1 <i>v</i>

 

 

. Tính <i>BC CA AB</i>, ,
  

theo <i>u vaø v</i> .

<b>14.</b>Cho ABC. Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi F là điểm trên cạnh BC kéo
dài sao cho 5FB = 2FC.

a) Tính <i>AI AF theo AB vaø AC</i>,

   

.

b) Gọi G là trọng tâm ABC. Tính <i>AG theo AI và AF</i>

  

.

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

a) CMR:

2 1

3 3

<i>AH</i>  <i>AC</i> <i>AB</i>

  

và





1
3

<i>CH</i> <i>AB AC</i>

  

b) Gọi M là trung điểm của BC. CMR:

1 5

6 6

<i>MH</i>  <i>AC</i> <i>AB</i>

  

.

<b>16.</b>Cho ABC có trọng tâm G. Gọi H là điểm đối xứng của G qua B.
a) CMR: <i>HA</i> 5<i>HB HC</i> 0

   _

b) Đặt <i>AG a AH b</i> , 

  _



. Tính <i>AB AC</i>,
 

theo <i>a và b</i>



.

<b>TẬP HỢP ĐIỂM THOÃ MÃN ĐẲNG THỨC VECTƠ</b>
<b>17.</b>Cho 2 điểm cố định A, B. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:

a) <i>MA MB</i> <i>MA MB</i>

   

b) 2<i>MA MB</i> <i>MA</i>2<i>MB</i>

   

<b>18.</b>Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho:
a)

3

MA MB MC MB MC
2

   

    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    

b) <i>MA BC</i> <i>MA MB</i>

   
   
   
   
   

   
   
   
   
   
   
   
   
   

(HD: dựng hình bình hành ABCD)
<b>19.</b>Cho ABC.

a) Xác định điểm I sao cho: 3<i>IA</i> 2<i>IB IC</i> 0
  

  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  

   _

.

b) CMR đường thẳng nối 2 điểm M, N xác định bởi hệ thức: <i>MN</i> 2<i>MA</i> 2<i>MB MC</i>

   

ln đi qua một điểm cố định.

c) Tìm tập hợp các điểm H sao cho: 3<i>HA</i> 2<i>HB HC</i> <i>HA HB</i>

    

d) Tìm tập hợp các điểm K sao cho: 2 <i>KA KB KC</i>  3<i>KB KC</i>

    

<b>20.</b>Cho ABC.

a) Xác định điểm I sao cho: <i>IA</i>3<i>IB</i> 2<i>IC</i>0

   _

.
b) Xác định điểm D sao cho: 3<i>DB</i> 2<i>DC</i>0

 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

  

.
c) Chứng minh 3 điểm A, I, D thẳng hàng.

d) Tìm tập hợp các điểm M sao cho: <i>MA</i>3<i>MB</i> 2<i>MC</i> 2<i>MA MB MC</i> 

     

</div>

<!--links-->