BO DE THI HSG TOAN 8 CO DAP AN

<span class='text_page_counter'>(1)</span><div class='page_container' data-page=1>

ĐỀ THI CHO HSG LỚP 8

<b>Bài 1</b>: Cho biểu thức M =

[

<i>x</i>2

<i>x</i>3<i>₋</i>₄<i>_x</i>+

6
6<i>−</i>3<i>x</i>+

1

<i>x</i>+2

]

:

(

<i>x −</i>2+

10<i>− x</i>2
<i>x</i>+2

)

a) Rút gọn M

b) Tính giá trị của M khi |<i>x</i>| = 1

2

<b>Bài 2</b>: Cho biểu thức: A = ( b2_{+ c}2_{- a}2₎2_{- 4b}2_c2

a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.

b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.

<b>Bài 3</b>:

a)Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau :

A = x2_{- 2xy + 2y}2_{- 4y + 5}

b)Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau :
B = 3(<i>x</i>+1)

<i>x</i>3

+<i>x</i>2+<i>x</i>+1

<b>Bài 4</b>: Cho hình bình hành ABCD . Với AB = a ; AD = b. Từ đỉnh A , kẻ một
đường thẳng a bất kỳ cắt đường chéo BD tại E, cắt cạnh BC tại F và cắt tia DC
tại G.

a) Chứng minh: AE2_=EF.EG

b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG
không đổi.

<b> Bài 5</b>: CMR nếu <i>x</i>2<i>−</i>yz

<i>x</i>(1<i>−</i>yz)=

<i>y</i>2<i>−</i>xz

<i>y</i>(1<i>−</i>xz) Với x y ; xyz 0 ; yz 1 ; xz 1.

Thì : xy + xz + yz = xyz ( x + y + z)

</div>
<span class='text_page_counter'>(2)</span><div class='page_container' data-page=2>

Bài 1: a) Rút gọn M
M=

[

<i>x</i>2

<i>x</i>3<i>−</i>4<i>x</i>+

6
6<i>−</i>3<i>x</i>+

1

<i>x</i>+2

]

:

(

<i>x −</i>2+
10<i>− x</i>2

<i>x</i>+2

)

=

[

<i>x</i>2

<i>x</i>(<i>x −</i>2)(<i>x</i>+2)<i>−</i>
6
3(<i>x −</i>2)+

1

<i>x</i>+2

]

:
6

<i>x</i>+2

M = <i>−</i>6

(<i>x −</i>2)(<i>x</i>+2).

<i>x</i>+2

6 =

1
2<i>− x</i>

b) |<i>x</i>| = 1

2 <i>⇔</i> x =

1

2 hoặc x =
-1
2

Với x = 1₂ ta có : M =

1
2<i>−</i>1

2

=

1
3
2

= ₃2 ; Với x = - 1₂ ta có : M =

1
2+1

2

=

1
5
2

= ₅2

Bài 2: a) Phân tích biểu thức A thành nhân tử.

Ta có : A = ( b2_{+ c}2_{- a}2₎2_{- 4b}2_c2_{= ( b}2_{+ c}2_{- a}2₎2_{- (2bc)}2_{= ( b}2_{+ c}2_{- a}2_{-2bc)( b}2

+ c2_{- a}2_{+2bc) = (b+c -a) (b+c+a) (b-c-a) (b-c+a)}

b) Chứng minh rằng : Nếu a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác thì A < 0.
Ta có: (b + c - a) >0 ( BĐT trong tam giác)

(b + c + a) >0 ( BĐT trong tam giác)
(b - c -a) <0 ( BĐT trong tam giác)

(b + c -a) >0 ( BĐT trong tam giác). Vậy A< 0
Bài 3: a) Ta có : A = x2_{- 2xy + y}2_+y2_{- 4y +4 + 1}

= (x-y)2_{+ (y - 2)}2_{+ 1}

Do (x-y)2 _{0 ; (y - 2)}2 _{0. Nên A= (x-y)}2_{+ (y - 2)}2_{+ 1} ₁

Dấu ''='' xãy ra <i>⇔</i> x = y và y = 2
Vậy GTNN của A là 1 <i>⇔</i> x = y =2
b) B = 3(<i>x</i>+1)

<i>x</i>3

+<i>x</i>2+<i>x</i>+1 =

3(<i>x</i>+1)

<i>x</i>2

(<i>x</i>+1)+<i>x</i>+1 =

3(<i>x</i>+1)

(<i>x</i>2+1)(<i>x</i>+1) =
3

<i>x</i>2+1

Do x2_{+1>0 nên B =} 3
<i>x</i>2

+1 3

Dấu ''='' xãy ra <i>⇔</i> x = 0

</div>
<span class='text_page_counter'>(3)</span><div class='page_container' data-page=3>

Bài 4:
a)

Do AB//CD nên ta có:
EA_EG=EB

ED =

AB

DG (1)

Do BF//AD nên ta có:
EF_EA=EB

ED =

AD

FB (2)

Từ (1) và (2) <i>⇒</i> EA

EG=

EF

EA Hay AE2 = EF. EG

b). Chứng minh rằng khi đường thẳng a quay quanh A thay đổi thì tích BF.DG
khơng đổi.

Từ (1) và (2) <i>⇒</i> AB

DG=

FB

AD Hay BF.DG = AB.AD = ab (không đổi)

Bài 5: Từ GT <i>⇒</i> (x2_{-yz)y(1-xz) = x(1- yz)(y}2_{- xz)}

<i>⇔</i> x2_{y- x}3_yz-y2_{z + xy}2_z2_{= xy}2_-x2_{z - xy}3_{z +x}2_yz2

<i>⇔</i> x2_{y- x}3_{yz - y}2_{z+ xy}2_z2_{- xy}2_+x2_{z + xy}3_{z - x}2_yz2_{= 0}

<i>⇔</i> xy(x-y) +xyz(yz +y2_{- xz - x}2_)+z(x2_{- y}2_{) = 0}

<i>⇔</i> xy(x-y) - xyz(x -y)(x + y +z)+z(x - y)(x+y) = 0

<i>⇔</i> (x -y) [xy<i>−</i>xyz(<i>x</i>+<i>y</i>+<i>z</i>)+xz+yz] = 0

Do x - y 0 nên xy + xz + yz - xyz ( x + y + z) = 0
Hay xy + xz + yz = xyz ( x + y + z) (đpcm)

E

F

A B

</div>
<span class='text_page_counter'>(4)</span><div class='page_container' data-page=4>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI </b>
<b>Mơn : Tốn lớp 8</b>

<b>Thời gian: 120 phút ( Không kể thời gian giao đề)</b>

Câu 1: (2.5 điểm)

Cho <i>P</i>= <i>a</i>

2

(<i>a</i>+<i>b</i>)(1<i>−b</i>)<i>−</i>

<i>b</i>2

(<i>a</i>+<i>b</i>)(1+<i>a</i>)<i>−</i>

<i>a</i>2<i>_b</i>2

(1+<i>a</i>)(1<i>−b</i>)

a. Rút gọn P.

b. Tìm các cặp số nguyên (a, b) để P = 3
Câu 2: (1.5 điểm): Giải phương trình: <i>x</i>3

+ <i>x</i>

3

(<i>x −</i>1)3=2<i>−</i>
3<i>x</i>2

<i>x −</i>1

Câu 3: (1.5 điểm)

Cho x,y là hai số dương thoả x.y = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

<i>A</i>= <i>x</i>

<i>x</i>4+<i>y</i>2+

<i>y</i>
<i>y</i>4+<i>x</i>2

Câu 4: (2.0 điểm)

Cho hình vng ABCD. Gọi M, N, P lần lượt trung điểm các cạnh AB,
BC, CD. AN cắt BP tại E. AN cắt DM tại F.

a. Chứng minh FA = FE.
b. Chứng minh DE = DC.
Câu 5: (2.5 điểm)

Cho hình bình hành ABCD. F là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC. AF cắt BD tại E và
cắt DC tại G.

a. Chứng minh AE_AF=GE

GA .

</div>
<span class='text_page_counter'>(5)</span><div class='page_container' data-page=5>

ĐÁP ÁN:
Câu 1: (2.5 điểm)

- Điều kiện <i>a ≠ −</i>1<i>, b≠</i>1<i>, a ≠− b</i>
- <i>P</i>=<i>a</i>

2

(1+<i>a</i>)<i>−b</i>2(1<i>− b</i>)<i>− a</i>2<i>b</i>2(<i>a</i>+<i>b</i>)
(<i>a</i>+<i>b</i>)(1<i>−b</i>)(1+<i>a</i>) =

<i>a</i>2+<i>a</i>3<i>−b</i>2+<i>b</i>3<i>− a</i>2<i>b</i>2(<i>a</i>+<i>b</i>)
(<i>a</i>+<i>b</i>)(1<i>− b</i>)(1+<i>a</i>)

<i>a −b</i>+<i>a</i>2<i>−</i>ab+<i>b</i>2<i>− a</i>2<i>b</i>2

¿

(<i>a</i>+<i>b</i>)¿
¿(<i>a − b</i>)(<i>a</i>+<i>b</i>)+(<i>a</i>+<i>b</i>)(<i>a</i>

2

<i>−</i>ab+<i>b</i>2)<i>−a</i>2<i>b</i>2(<i>a</i>+<i>b</i>)
(<i>a</i>+<i>b</i>)(1<i>−b</i>)(1+<i>a</i>) =¿

(<i>a</i>+<i>b</i>)(1+<i>a</i>)(<i>a− b</i>+<i>b</i>2<i>− b</i>2<i>a</i>)

¿(<i>a</i>+<i>b</i>)(<i>a</i>(1+<i>a</i>)<i>−b</i>(1+<i>a</i>)+<i>b</i>
2

(1<i>− a</i>)(1+<i>a</i>))
(<i>a</i>+<i>b</i>)(1<i>− b</i>)(1+<i>a</i>) =¿

¿

(<i>a</i>+<i>b</i>)(1<i>− b</i>)(1+<i>a</i>)
(<i>a</i>+<i>b</i>)(1+<i>a</i>)(<i>a</i>(1<i>−b</i>)(1+<i>b</i>)<i>− b</i>(1<i>−b</i>))

(<i>a</i>+<i>b</i>)(1+<i>a</i>)(1<i>−b</i>)(<i>a</i>(1+<i>b</i>)<i>−b</i>)

¿ ¿ ¿

(<i>a</i>+<i>b</i>)(1<i>− b</i>)(1+<i>a</i>)=¿

¿

(<i>a</i>+<i>b</i>)(1<i>− b</i>)(1+<i>a</i>)=<i>a</i>+ab<i>− b</i>

b.- Để P =3: <i>a</i>+ab<i>− b</i>=3<i>⇔a</i>(1+<i>b</i>)<i>−</i>(1+<i>b</i>)=2<i>⇔</i>(<i>a −</i>1)(1+<i>b</i>)=2

- Lập các hệ:

{

<i>a −_b</i> 1=1

+1=2 ;

{

<i>a −</i>1=<i>−</i>1

<i>b</i>+1=<i>−</i>2 ;

{

<i>a −</i>1=2

<i>b</i>+1=1 ;

{

<i>a −</i>1=<i>−</i>2

<i>b</i>+1=<i>−</i>1

- Giải:

{

<i>a_b</i>=₌2₁ ;

{

<i>_ba</i>₌=<i>₋</i>0₃ ;

{

<i>a_b</i>=₌3₀ ;

{

<i>a_b</i>=₌<i>−₋</i>1₂
- Đối chiếu điều kiện và kết luận nghiệm:

{

<i>_ba</i>=0

=<i>−</i>3 ;

{

<i>a</i>=3

<i>b</i>=0

(Mỗi ý cho 0,25 điểm – Riêng ý 6: 0,50 điểm)
Câu 2: (1.5 điểm)

<i>x −</i>1¿2

(¿¿)=2<i>−</i>3 <i>x</i>

2

<i>x −</i>1

<i>x</i>2<i>₋</i> <i>x</i>2

<i>x −</i>1+

<i>x</i>2
¿

(

<i>x</i>+ <i>x</i>

<i>x −</i>1

)

¿

Có:

<i>x −</i>1¿2
¿
¿
<i>x</i>2

+<i>x</i>

2
¿

.
Đặt <i>t</i>=<i>x</i>+ <i>x</i>

<i>x −</i>1=

<i>x</i>2<i>_{− x}</i>

+<i>x</i>

<i>x −</i>1 =

<i>x</i>2

<i>x −</i>1 được:

<i>t −</i>1¿3=1<i>⇔t −</i>1=1<i>⇔t</i>=2

<i>t</i>(<i>t</i>2<i>−</i>2<i>t −t</i>)=2<i>−</i>3<i>t⇔t</i>3<i>−</i>3<i>t</i>2+3<i>t −</i>1=1<i>⇔</i>¿ .
<i>x −</i>1¿2+1=0

<i>x</i>2

<i>x −</i>1=2<i>⇔x</i>

2

=2<i>x −</i>2<i>⇔</i>¿ (Vô nghiệm).

</div>
<span class='text_page_counter'>(6)</span><div class='page_container' data-page=6>

Câu 3: (1.5 điểm)
- <i>x</i>4+<i>y</i>2<i>≥</i>2<i>x</i>2<i>y⇒</i> <i>x</i>

<i>x</i>4+<i>y</i>2<i>≤</i>

<i>x</i>

2<i>x</i>2 <i>y</i>=

1

2 xy (x, y là các số dương)

- <i>y</i>4+<i>x</i>2<i>≥</i>2<i>y</i>2<i>x⇒</i> <i>y</i>

<i>y</i>4

+<i>x</i>2<i>≤</i>

<i>y</i>

2<i>y</i>2<i>_x</i>=

1

2 xy (x, y là các số dương)

- <i>A</i>= <i>x</i>

<i>x</i>4+<i>y</i>2+

<i>y</i>
<i>y</i>4+<i>x</i>2<i>≤</i>

1
2 xy+

1
2 xy=

1
xy=1

- Dấu “=” xãy ra khi

{

<i>x</i>
4

=<i>y</i>2

<i>x</i>2

=<i>y</i>4
xy=1

<i>⇔</i>

{

<i>x</i>6=<i>y</i>6

xy=1 <i>⇔</i>

{

<i>x</i>=1

<i>y</i>=1 (x, y là các số dương)

0,50
0,25
0,25

0,50
Câu 4: (2.0 điểm)

- Chứng minh được MBPD là hình bình
hành.

- => FM // BE

- M là trung điểm của AB nên MF là đường
trung bình của ABE

- => FA = FE.

- Chứng minh được AN vng góc với DM.
- Suy ra  DAE cân tại D

- => DE = DA. Do DA = DC nên DE = DC.

0,25
0,25
0,25
0,25
0,50
0,25
0,25

Câu 5: (2.5 điểm)
- BF// AD => EB_ED=EF

EA

- AB//DG => EB_ED=EA

EG

- => EF_EA=EA
EG

- => EF_EA+1=EA

EG +1

- => AF_AE=AG

EG <i>⇒</i>

AE

AF=

GE
GA

- CM: EAD  EFB để được BF_DA=EB
ED

- CM: EBA  EDG để được EB_ED=AB
GD

- <i>⇒</i>BF

DA =

<i>AB</i>

GD <i>⇒</i>BF . DG=DA . AB

- Do DA, AB không đổi nên BF.DG không
đổi.

Mỗi ý cho 0,25 điểm

A M B

N

D P C

E
F

A

B C

D
E

F

G

</div>
<span class='text_page_counter'>(7)</span><div class='page_container' data-page=7>

<b>ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI </b>

<b>Môn : Tốn lớp 8</b>

<b>Thời gian: 120 phút ( Khơng kể thời gian giao đề)</b>

<b>C©u 1</b>. Cho P =



 

 

 



2

1 2 3 4 1

5 5

<i>x</i> <i>x</i> <i>x</i> <i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

    

 

a) Rót gọn P.

b)Tìm giá trị nhỏ nhất của P.

<b>Cõu 2</b>. a) Xác định các số a, b sao cho:

3x3_{+ ax}2_{+ bx + 9 chia hÕt cho x}2_{– 9.}
b) Giải phơng trình với tham số a, b

a(ax + b) = b2_{(x – 1)}

<b>Câu 3 </b>. Quãng đờng từ A đến B gồm đoạn lên dốc AC, đoạn nằm ngang CD,
đoạn xuống dốc DB tổng cộng là 30km.Một ngời đi từ A đến B rồi từ B về A hết
tất cả 4h 25 phút.Tính quãng đờng nằm ngang,biết vận tốc khi lên dốc là

10km/h, vận tốc khi xuống dốc là 20km/h và vận tốc đi trên đờng nằm ngang là
15km/h.

<b>Câu 4</b>. Cho tam giác ABC vuông ở A, trung tuyến BD, phân giác của góc ADB
và góc BDC lần lợt cắt AB, BC ở M và N, biÕt AB = 8, AD = 6.

a) Chøng minh r»ng: MN//AC.

b)Tứ giác MNCA là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCA?

<b>Câu 5</b>. a) Giải bất phơng trình:

2
1

2 3

<i>x</i>

<i>x</i> <i>x</i>

b) Cho 4x + y = 1.Chøng minh r»ng:
4x2_{+ y}2 ≥

1
5

c) Chứng minh m,n,p,q ta đều có m _❑2 _{+ n}

❑2 + p ❑2 + q ❑2

+1 m(n+p+q+1) dấu bằng xảy ra khi nào?

<b>Câu 6</b>. a, Chøng minh r»ng <i>a</i>2_+b2

+<i>c</i>2<i>≥</i>ab+bc+ac

b , Cho a, b, c là các số dơng thoả mÃn a + b = 1.Chứng minh r»ng:

1 1

1 1 9

<i>a</i> <i>b</i>

   

  

   

   

</div>
<span class='text_page_counter'>(8)</span><div class='page_container' data-page=8>

ĐÁP ÁN:
C©u 1. a) P = (<i>x</i>

2

+5<i>x</i>+4)(<i>x</i>2+5<i>x</i>+6)+1

<i>x</i>2+5<i>x</i>+5

P =

<i>x</i>2+5<i>x</i>+4¿2(<i>x</i>2+5<i>x</i>+4)+1

¿
¿
¿
P = (<i>x</i>

2

+5<i>x</i>+5)

<i>x</i>2+5<i>x</i>+5

2

=<i>x</i>+5<i>x</i>+5

b) P =

(

<i>x</i>+5

2

)

2

<i>−</i>5

4<i>≥</i>

<i>−</i>5
4

VËy min P = - 5/4 khi x = - 5/2 ,giá trị này của x thoả mÃn <i>_x</i>2

+5<i>x</i>+5<i></i>0

Cõu 2. a, Chia 3x3_{+ ax}2_{+ bx + 9 cho x}2_{– 9}
đợc 3x + a d (b + 27)x + (9 + 9a)

Để phép chia hết cần : (b + 27)x + (9 + 9a) = 0 víi mäi x.

<i>⇔</i> {

b + 27 = 0

<i>⇔</i>

9 + 9a = 0

{ B = - 27

a = - 1
b) <i>⇔</i> a2_{x + ab = b}2_{x – b}2

<i>_⇔</i> _a2_{x – b}2_{x = - ab – b}2

<i>⇔</i> (a2_{– b}2_{)x = - ab – b}2
<i>⇔</i> (a – b)(a + b)x = - b(a + b)
+) Nếu a = b thì pt có dạng 0x = - 2b2
Suy ra a = b = 0 pt ngiệm đúng mọi x

a = b ≠ 0 pt v« ngiƯm

+) Nếu a = - b thì pt có dạng 0x = 0 suy ra pt nghiệm đúng mọi x
+) Nếu a ≠ b thì pt có 1 ngiệm duy nhất x = ± <i>_{a− b}− b</i>

Câu 3. Gọi quãng đờng nằm ngang CD là x(km) ( x > 0)
Thì quãng đờng AC + BD = 30 – x

Cả đi và về quãng đờng nằm ngang là 2x
Cả đi và về quãng đờng lên dốc là 30 – x
Cả đi và về quãng đờng xuống dốc là 30 –x
Ta có phơng trình: 2<i>x</i>

15 +

30<i>− x</i>

10 +

30<i>− x</i>

20 =4

5

12<i>⇔x</i>=5(tm)

C©u 4.
a) MA

MB =

BD

AD<i>;</i>

NB

NC=

BD

DC mà AD =

DC nên MB

MA=

NB

NC<i></i>MN // AC

b) Tứ giác AMND là hình thang
vuông.

SAMND = 1

2 (MN + AC)AM

</div>
<span class='text_page_counter'>(9)</span><div class='page_container' data-page=9>

MA

MB=

AD

BD <i>→</i>MA=3(cm)<i>;</i>MB=5(cm)<i>;</i> AC = 2AD = 12(cm)

MN // AC (cmt) MN

AC =

MB

AB <i>→</i>MN=7,5(cm) ; SAMND = 292,5 (cm2)

Câu 5. Dành cho hs không học trêng.
a) 2 < x <3.

b) y = 1 – 4x suy ra y2_{= (1 4x)}2

Xét

5<i>x </i>12

4

1<i></i>4<i>x</i>2<i></i>1

5=
4<i>x</i>2

+<i>y</i>2<i></i>1
5=4<i>x</i>

2

+

(đpcm)

Câu 5. Dµnh cho hs trêng.

a)

(

1+1

<i>a</i>

)(

1+

1

<i>b</i>

)

<i>≥</i>9
<i>⇔a</i>+1

<i>a</i> .
<i>b</i>+1

<i>b</i> <i>≥</i>9
<i>⇔</i>ab+<i>a</i>+<i>b</i>+1<i>≥</i>9 ab

¿

<i>⇔a</i>+<i>b</i>+1<i>≥</i>8 ab<i>⇔</i>2<i>≥</i>8 ab

<i>a</i>+<i>b</i>¿2<i>≥</i>4 ab
¿
<i>a −b</i>¿2<i>≥</i>0
<i>⇔</i>1<i>≥</i>4 ab<i>⇔</i>¿

b)

<i>A=(x</i>+<i>y)(x −</i>xy+<i>y)+</i>xy
<i>A</i>=x −xy+<i>y</i>+xy

<i>A</i>=<i>x</i>2+<i>y</i>2

Thay y = 1 – x vào A đợc:

1<i>− x</i>¿2+2(<i>x</i>2<i>− x</i>)+1

<i>A</i>=<i>x</i>2+¿
<i>A</i>=2

(

<i>x −</i>1

2

)

2
+1
2<i>≥</i>
1
2

Suy ra Min A = 1/2 khi x = 1/2 ;
Vµ y = 1/2

<i>⇔</i>

(

<i>m</i>2

4 <i>−</i>mn+<i>n</i>

2

)

+

(

<i>m</i>

2

4 <i>−</i>mp+<i>p</i>

2

)

+

(

<i>m</i>

2

4 <i>−</i>mq+<i>q</i>

2

)

+

(

<i>m</i>

2

4 <i>− m</i>+1

)

<i>≥</i>0

<i>⇔</i>

(

<i>m</i>

2 <i>− n</i>

)

2

+

(

<i>m</i>
2 <i>− p</i>

)

2

+

(

<i>m</i>
2<i>− q</i>

)

2

+

(

<i>m</i>
2<i>−</i>1

)

2

<i>≥</i>0 _{(ln đúng)}

DÊu b»ng x¶y ra khi

{

<i>m</i>

2<i>−n</i>=0

<i>m</i>

2<i>− p</i>=0

<i>m</i>

2<i>−q</i>=0

<i>m</i>

2<i>−</i>1=0

<i>⇔</i>

{

<i>n</i>=<i>m</i>

2

<i>p</i>=<i>m</i>
2

<i>q</i>=<i>m</i>
2

<i>m</i>=2

<i>⇔</i>

{

<i>m</i>=2
<i>n</i>=<i>p</i>=<i>q</i>=1

Giải: Dùng bất đẳng thức Bunhiacopski

Cách 1: Xét cặp số (1, 1, 1) vµ (a, b, c) ta cã
(12

+12+12)(<i>a</i>2+<i>b</i>2+<i>c</i>2)<i>≥</i>(1 .<i>a</i>+1.<i>b</i>+1 .<i>c</i>)2

<i>⇒</i> 3 (<i>a</i>2

+<i>b</i>2+<i>c</i>2)≥ a2+<i>b</i>2+<i>c</i>2+2(ab+bc+ac)

<i>⇒</i> <i>a</i>2

</div>
<span class='text_page_counter'>(10)</span><div class='page_container' data-page=10>

<b>Đề cho đội tuyển học sinh giỏi toán 8</b>

<i> </i>

<i>Câu 1</i>: (5điểm) Tìm số tự nhiên n để:

a, A=n3_-n2_{+n-1 là số nguyên tè.}
b, B = <i>n</i>

4

+3<i>n</i>3+2<i>n</i>2+6<i>n </i>2

<i>n</i>2

+2 Có giá trị là một sè nguyªn.

c, D= n5_{-n+2 là số chính phơng. (n} ₂₎

<i>Câu 2</i>: (5điểm) Chøng minh r»ng :

a, <i>a</i>

ab+<i>a</i>+1+

<i>b</i>

bc+<i>b</i>+1+

<i>c</i>

ac+<i>c</i>+1=1 biÕt abc=1

b, Víi a+b+c=0 th× a4_+b4_+c4_=2(ab+bc+ca)2
c, <i>a</i>

2

<i>b</i>2+

<i>b</i>2
<i>c</i>2+

<i>c</i>2
<i>a</i>2<i></i>

<i>c</i>
<i>b</i>+

<i>b</i>
<i>a</i>+

<i>a</i>
<i>c</i>

<i>Câu 3</i>: (5điểm) Giải các phơng trình sau:

a, <i>x −</i>214

86 +

<i>x −</i>132

84 +

<i>x −</i>54

82 =6

b, 2x(8x-1)2_(4x-1)=9

c, x2_-y2_{+2x-4y-10=0 với x,ynguyên dơng.}

<i>Cõu 4</i>: (5im). Cho hỡnh thang ABCD (AB//CD), 0 là giao điểm hai đờng

chéo.Qua 0 kẻ đờng thẳng song song với AB cắt DA tại E,cắt BCtại F.
a, Chứng minh :Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC.
b. Chứng minh: 1

AB +

1

CD=

2
EF

c, Gọi K là điểm bất kì thuộc OE. Nêu cách dựng đờng thẳng đi qua Kvà chia
đơi diện tích tam giác DEF.

<i><b>C©u</b></i> <i><b>Néi dung </b></i> <i><b>§i</b></i>
<i><b>Ĩ</b></i>
<i><b>m</b></i>

a, (1®iĨm) A=n3_-n2_+n-1=(n2_+1)(n-1)

Để A là số nguyên tố thì n-1=1 <i></i> n=2 khi ú A=5

</div>
<span class='text_page_counter'>(11)</span><div class='page_container' data-page=11>

<b>Câu 1</b>
(5điểm)
0,
5
0,
5
0,
5
0,
5
0,
5
0,
5
0,
5
0,
5
0,
5
b, (2®iĨm) B=n2_+3n- 2

<i>n</i>2

+2

B có giá trị nguyên <i>⇔</i> 2 ⋮ n2₊₂
n2_{+2 là ớc tự nhiên của 2}

n2_{+2=1 không có giá trị thoả mÃn}

Hoặc n2₊₂₌₂ <i>_⇔</i> _{n=0 Víi n=0 th× B cã giá trị nguyên.}
c, (2điểm) D=n5_-n+2=n(n4_{-1)+2=n(n+1)(n-1)(n}2₊₁₎₊₂
=n(n-1)(n+1)

_[

(n2<i>₋</i>₄₎

+5

]

+2= n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2)+5 n(n-1)

(n+1)+2

Mµ n(n-1)(n+1)(n-2)(n+2 ⋮ 5 (tich 5sè tù nhiªn liªn
tiÕp)

Vµ 5 n(n-1)(n+1 ⋮ 5 VËy D chia 5 d 2

Do đó số D có tận cùng là 2 hoặc 7nên D không phải số chính
phơng

Vậy khơng có giá trị nào của n D l s chớnh phng

<b>Câu 2</b>

(5điểm)

a, (1điểm) <i>a</i>

ab+<i>a</i>+1+

<i>b</i>

bc+<i>b</i>+1+

<i>c</i>

ac+<i>c</i>+1=¿
ac

abc+ac+<i>c</i> +
abc

abc2+abc+ac+

<i>c</i>

ac+<i>c</i>+1

= ac

1+ac+<i>c</i>+
abc

<i>c</i>+1+ac+

<i>c</i>

ac+<i>c</i>+1=

abc+ac+1
abc+ac+1=1

0,
5
0,
5
0.
5
0.
5
0.
5
0.
5
0,
5
0,
5
0,
5
0,
5
b, (2®iĨm) a+b+c=0 <i>⇒</i> a2_+b2_+c2_{+2(ab+ac+bc)=0} <i>_⇒</i> _a2_+b2_+c2₌
-2(ab+ac+bc)

<i>⇒</i> a4_+b4_+c4_+2(a2_b2_+a2_c2_+b2_c2_{)=4( a}2_b2_+a2_c2_+b2_c2_{)+8abc(a+b+c) V×}
a+b+c=0

<i></i> a4_+b4_+c4_=2(a2_b2_+a2_c2_+b2_c2_{) (1)}

Mặt khác 2(ab+ac+bc)2_=2(a2_b2_+a2_c2_+b2_c2_{)+4abc(a+b+c) . V×}

a+b+c=0

<i>⇒</i> 2(ab+ac+bc)2_=2(a2_b2_+a2_c2_+b2_c2_{) (2)}
Tõ (1)vµ(2) <i>⇒</i> a4_+b4_+c4_=2(ab+ac+bc)2

c, (2điểm) áp dụng bất đẳng thức: x2_+y2 _{2xy Dấu bằng khi}
x=y

<i>a</i>
2

<i>b</i>2+
<i>b</i>2

<i>c</i>2<i>≥</i>2 .
<i>a</i>
<i>b</i>.

<i>b</i>
<i>c</i>=2 .

<i>a</i>

<i>c</i> ;
<i>a</i>2

<i>b</i>2+
<i>c</i>2

<i>a</i>2<i>≥</i>2 .

<i>a</i>
<i>b</i>.

<i>c</i>
<i>a</i>=2 .

<i>c</i>
<i>b</i> ;
<i>c</i>2

<i>a</i>2+
<i>b</i>2
<i>c</i>2<i>≥</i>2 .

<i>c</i>
<i>a</i>.

<i>b</i>
<i>c</i>=2 .

<i>b</i>
<i>a</i>

Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ta có:
2(<i>a</i>

2

<i>b</i>2+

<i>b</i>2
<i>c</i>2+

<i>c</i>2
<i>a</i>2)<i></i>2(

<i>a</i>
<i>c</i>+

<i>c</i>
<i>b</i>+

<i>b</i>

<i>a</i>) <i></i>
<i>a</i>2
<i>b</i>2+

<i>b</i>2
<i>c</i>2+

<i>c</i>2
<i>a</i>2<i></i>

</div>
<span class='text_page_counter'>(12)</span><div class='page_container' data-page=12>

<b>Câu 3</b>

(5điểm)

a, (2®iĨm) <i>x −</i>214

86 +

<i>x −</i>132

84 +

<i>x −</i>54

82 =6

<i>⇔</i> (<i>x −</i>214

86 <i>−</i>1)+(

<i>x −</i>132

84 <i>−</i>2)+(

<i>x −</i>54

82 <i>−</i>3)=0

<i>⇔</i> <i>x −</i>300

86 +

<i>x −</i>300

84 +

<i>x −</i>300

82 =0

<i>⇔</i> (x-300)

(

1

86+
1
84+

1

82

)

=0 <i>⇔</i> x-300=0 <i>⇔</i> x=300 Vëy S =

{300}

1,0
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b, (2®iĨm) 2x(8x-1)2_(4x-1)=9

<i>⇔</i> (64x2_-16x+1)(8x2_-2x)=9 <i>_⇔</i> _(64x2_-16x+1)(64x2_{-16x) = 72}
Đặt: 64x2_{-16x+0,5 =k Ta cã: (k+0,5)(k-0,5)=72} <i>_⇔</i> _k2_=72,25

<i>⇔</i> k= 8,5±

Víi k=8,5 tacó phơng trình: 64x2_-16x-8=0 <i></i> _{(2x-1)(4x+1)=0;}

<i></i> x= 1

2<i>; x</i>=

<i></i>1
4

Với k=- 8,5 Ta có phơng trình: 64x2_-16x+9=0 <i>_⇔</i> _(8x-1)2_{+8=0 v«}
nghiƯm.

Vëy S =

{

1

2<i>,</i>

<i>−</i>1

4

}

c, (1®iĨm) x2_-y2_{+2x-4y-10 = 0} <i>_⇔</i> _(x2_+2x+1)-(y2_+4y+4)-7=0
<i>⇔</i> (x+1)2_-(y+2)2₌₇ <i>_⇔</i> _{(x-y-1)(x+y+3) =7 Vì x,y nguyên}
dơng

Nªn x+y+3>x-y-1>0 <i>⇒</i> x+y+3=7 vµ x-y-1=1 <i>⇒</i> x=3 ;
y=1

Phơng trình có nghiệm dơng duy nhất (x,y)=(3;1)

<b>Câu 4</b>

(5điểm)

a,(1im) Vỡ AB//CD <i></i> S DAB=S CBA
(cùng đáy và cùng đờng cao)

<i>⇒</i> S DAB –SAOB = S CBA- SAOB
Hay SAOD = SBOC

b, (2điểm) Vì EO//DC <i></i> EO

DC=

AO

AC Mặt khác AB//DC

<i>⇒</i>

<i>AB</i> <i>AO</i> <i>AB</i> <i>AO</i> <i>AB</i> <i>AO</i> <i>EO</i> <i>AB</i>

<i>DC</i> <i>OC</i>  <i>AB DC</i> <i>AO OC</i>  <i>AB DC</i> <i>AC</i>  <i>DC</i> <i>AB DC</i>

<i>⇒</i> EF

2 DC=

AB

AB+DC<i>⇒</i>

AB+DC

AB . DC =

2
EF <i>⇒</i>
1
DC+
1
AB=
2
EF

c, (2®iĨm) +Dùng trung tuyÕn EM ,

+ Dựng EN//MK (N DF) +Kẻ đờng thẳng KN là đờng thẳng phải
dựng

Chøng minh: SEDM=S EMF(1).Gọi giao của EM và KN là I thì
SIKE=SIMN

(cma) (2) Tõ (1) vµ(2) <i>⇒</i> SDEKN=SKFN.

0,5
0,5
0,5
1,0

0,5
1,0
1,0
A B
C
D
O

E K F

I

</div>
<span class='text_page_counter'>(13)</span><div class='page_container' data-page=13></div>

<!--links-->